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2014 年湖北省天门市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）在下列各小题中，均给出四个答案，
其中有且只有一个正确答案）
1．（3分）（2014•仙桃）﹣ 的倒数等于（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．2
﹣
2．（3分）（2014•仙桃）美丽富饶的江汉平原，文化底蕴深厚，人才辈出．据统计，该地区的天
门、仙桃、潜江和江汉油田2014年共有约25000名初中毕业生参加了毕业生参加了统一的学
业考试，将25000用科学记数法可表示为（ ）
A．25×103 B．2.5×104 C．2.5×105 D．0.25×106
3．（3分）（2014•仙桃）如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，
则∠2的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
4．（3分）（2014•仙桃）下列事件中属于不可能事件的是（ ）
A．某投篮高手投篮一次就进球
B．打开电视机，正在播放世界杯足球比赛
C．掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6
D．在一个标准大气压下，90℃的水会沸腾
5．（3分）（2014•仙桃）如图所示，几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2014•仙桃）将（a﹣1）2﹣1分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣1） B．a（a﹣2） C．（a﹣2）（a﹣1） D．（a﹣2）（a+1）7．（3分）（2014•仙桃）把不等式组 的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2014•仙桃）已知m，n是方程x2﹣x﹣1=0的两实数根，则 + 的值为（ ）
A．﹣1 B． C． D．1
﹣
9．（3分）（2014•仙桃）如图，正比例函数y =k x和反比例函数y = 的图象交于A（1，2），B
1 1 2
两点，给出下列结论：
①k
1
＜k
2
；
②当x＜﹣1时，y ＜y ；
1 2
③当y ＞y 时，x＞1；
1 1
④当x＜0时，y 随x的增大而减小．
2
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．（3分）（2014•仙桃）如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知 的长为2π，且
OD∥BC，则BD的长为（ ）
A．3 B．6 C．6 D．12二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分）将结果直接填写在对应的横线上。
11．（3分）（2014•仙桃）化简 = ．
12．（3分）（2014•仙桃）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），点C的坐标为（﹣3，
0），将点C绕点A逆时针旋转90°，再向下平移3个单位，此时点C的对应点的坐标为
．
13．（3分）（2014•仙桃）纸箱里有双拖鞋，除颜色不同外，其它都相同，从中随机取一只（不放
回），再取一只，则两次取出的鞋颜色恰好相同的概率为 ．
14．（3分）（2014•仙桃）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱
桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为 米．
15．（3分）（2014•仙桃）将相同的矩形卡片，按如图方式摆放在一个直角上，每个矩形卡片长
为2，宽为1，依此类推，摆放2014个时，实线部分长为 ．
三、解答题（本大题共10小题，满分75分）
16．（5分）（2014•仙桃）计算：（ ﹣1）0﹣|﹣5|+（ ）﹣1．17．（6分）（2014•仙桃）解方程： ．
18．（6分）（2014•仙桃）为弘扬中华传统文化，某校组织八年级1000名学生参加汉字听写大
赛，为了解学生整体听写能力，从中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进
行统计分析，请根据尚未完成的下列图表，解答问题：
组别 分数段 频数 频率
一 50.5～60.5 16 0.08
二 60.5～70.5 30 0.15
三 70.5～80.5 50 0.25
四 80.5～90.5 m 0.40
五 90.5～24 n
（1）本次抽样调查的样本容量为 ，此样本中成绩的中位数落在第 组内，表
中m= ，n= ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩超过80分为优秀，则该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有多少人？
19．（6分）（2014•仙桃）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F为对角线AC上两点，连接
ED，EB，FD，FB．给出以下结论：①BE∥DF；②BE=DF；③AE=CF．请你从中选取一个条件，
使∠1=∠2成立，并给出证明．20．（6分）（2014•仙桃）如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广
告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广
告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．
21．（8分）（2014•仙桃）反比例函数y= 在第一象限的图象如图所示，过点A（1，0）作x轴的
垂线，交反比例函数y= 的图象于点M，△AOM的面积为3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点B的坐标为（t，0），其中t＞1．若以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y=
的图象上，求t的值．
22．（8分）（2014•仙桃）如图，已知BC是以AB为直径的⊙的切线，且BC=AB，连接OC交
⊙O于点D，延长AD交BC于点E，F为BE上一点，且DF=FB．（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若BE=2，求⊙O的半径．
23．（8分）（2014•仙桃）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在江汉堤坡种植白杨树，
现甲、乙两家林场与相同的白杨树苗可供选择，其具体销售方案如下：
甲林场 乙林场
购树苗数量 销售单价 购树苗数量 销售单价
不超过1000棵时 4元/棵 不超过2000棵时 4元/棵
超过1000棵的部分 3.8元/棵 超过2000棵的部分 3.6元/棵
设购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲 （元）、y乙 （元）．
（1）该村需要购买1500棵白杨树苗，若都在甲林场购买所需费用为 元，若都在乙林
场购买所需费用为 元；
（2）分别求出y甲 、y乙 与x之间的函数关系式；
（3）如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？
24．（10分）（2014•仙桃）如图①，△ABC与△DEF是将△ACF沿过A点的某条直线剪开得
到的（AB，DE是同一条剪切线）．平移△DEF使顶点E与AC的中点重合，再绕点E旋转
△DEF，使ED，EF分别与AB，BC交于M，N两点．
（1）如图②，△ABC中，若AB=BC，且∠ABC=90°，则线段EM与EN有何数量关系？请直接
写出结论；（2）如图③，△ABC中，若AB=BC，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明：若
不成立，请说明理由；
（3）如图④，△ABC中，若AB：BC=m：n，探索线段EM与EN的数量关系，并证明你的结论．
25．（12分）（2014•仙桃）已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（ ，0）三点，一动点P从原
点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于
点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当BQ= AP时，求t的值；
（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接
写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．2014 年湖北省天门市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）在下列各小题中，均给出四个答
案，其中有且只有一个正确答案）
1．（3分）（2014•仙桃）﹣ 的倒数等于（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．2
﹣
考点：倒数．
分析：
根据倒数定义可知，﹣ 的倒数是﹣2．
解答：
解：﹣ 的倒数是﹣2．
故选：C．
点评：本题主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（3分）（2014•仙桃）美丽富饶的江汉平原，文化底蕴深厚，人才辈出．据统计，该地区的天
门、仙桃、潜江和江汉油田2014年共有约25000名初中毕业生参加了毕业生参加了统一的学
业考试，将25000用科学记数法可表示为（ ）
A．25×103 B．2.5×104 C．2.5×105 D．0.25×106
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于
25000有5位，所以可以确定n=5﹣1=4．
解答：解：25 000=2.5×104．
故选B．
点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
3．（3分）（2014•仙桃）如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，
则∠2的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
考点：平行线的性质．
专题：计算题．
分析：先根据互余计算出∠3=90°﹣40°=50°，再根据平行线的性质由a∥b得到∠2=180°﹣∠3=130°．
解答：解：∵∠1+∠3=90°，
∴∠3=90°﹣40°=50°，
∵a∥b，∴∠2+∠3=180°．
∴∠2=180°﹣50°=130°．
故选D．
点评：本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
4．（3分）（2014•仙桃）下列事件中属于不可能事件的是（ ）
A．某投篮高手投篮一次就进球
B．打开电视机，正在播放世界杯足球比赛
C．掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6
D．在一个标准大气压下，90℃的水会沸腾
考点：随机事件．
分析：不可能事件就是一定不会发生的事件，依据定义即可判断．
解答：解：A、是随机事件，选项错误；
B、是随机事件，选项错误；
C、是必然事件，选项错误；
D、正确．
故选D．
点评：本题考查了不可能事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概
念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的
事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（3分）（2014•仙桃）如图所示，几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图．
分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解答：解：几何体的主视图是两个长方形，其中一个在另一的上面的左侧，
故选：A．
点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
6．（3分）（2014•仙桃）将（a﹣1）2﹣1分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣1） B．a（a﹣2） C．（a﹣2）（a﹣1） D．（a﹣2）（a+1）
考点：因式分解-运用公式法．
专题：计算题．
分析：原式利用平方差公式分解即可．
解答：解：原式=（a﹣1+1）（a﹣1﹣1）=a（a﹣2）．
故选B．
点评：此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．
7．（3分）（2014•仙桃）把不等式组 的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在
数轴上即可．
解答：
解： 解得 ，
故选：B．
点评：本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右
画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条
数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时
“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
8．（3分）（2014•仙桃）已知m，n是方程x2﹣x﹣1=0的两实数根，则 + 的值为（ ）
A．﹣1 B． C． D．1
﹣
考点：根与系数的关系．
专题：计算题．
分析：
先根据根与系数的关系得到m+n=1，mn=﹣1，再利用通分把 + 变形为 ，然后利用整体代
入的方法计算．
解答：解：根据题意得m+n=1，mn=﹣1，
所以 + = = =﹣1．
故选A．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x ，x ，则
1 2
x +x =﹣ ，x •x = ．
1 2 1 2
9．（3分）（2014•仙桃）如图，正比例函数y =k x和反比例函数y = 的图象交于A（1，2），B
1 1 2
两点，给出下列结论：
①k
1
＜k
2
；
②当x＜﹣1时，y ＜y ；
1 2
③当y ＞y 时，x＞1；
1 1
④当x＜0时，y 随x的增大而减小．
2
其中正确的有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：①根据待定系数法，可得k ，k 的值，根据有理数的大小比较，可得答案；②根据观察图象，可
1 2
得答案；③根据图象间的关系，可得答案；④根据反比例函数的性质，可得答案．
解答：
解：①正比例函数y =k x和反比例函数y = 的图象交于A（1，2），
1 1 2
∴k =2，k =2，k =k ，故①错误；
1 2 1 2
②x＜﹣1时，一次函数图象在下方，故②正确；
③y
1
＞y
2
时，﹣1＜x＜0或x＞1，故③错误；
④k
2
=2＞0，当x＜0时，y
2
随x的增大而减小，故④正确；
故选：C．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，图象与不等式的关系．
10．（3分）（2014•仙桃）如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知 的长为2π，且
OD∥BC，则BD的长为（ ）
A．3 B．6 C．6 D．12
考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；解直角三角形．
专题：计算题．
分析：连结OC交BD于E，设∠BOC=n°，根据弧长公式可计算出n=60，即∠BOC=60°，易得△OBC
为等边三角形，根据等边三角形的性质得∠C=60°，∠OBC=60°，BC=OB=6，由于BC∥OD，则
∠2=∠C=60°，再根据圆周角定理得∠1= ∠2=30°，即BD平分∠OBC，根据等边三角形的性质
得到BD⊥OC，接着根据垂径定理得BE=DE，在Rt△CBE中，利用含30度的直角三角形三边
的关系得CE= BC=3，CE= CE=3 ，所以BD=2BE=6 ．
解答：解：连结OC交BD于E，如图，
设∠BOC=n°，
根据题意得2π= ，得n=60，即∠BOC=60°，
而OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，∴∠C=60°，∠OBC=60°，BC=OB=6，
∵BC∥OD，
∴∠2=∠C=60°，
∴∠1= ∠2=30°，
∴BD平分∠OBC，
∴BD⊥OC，
∴BE=DE，
在Rt△CBE中，CE= BC=3，
∴CE= CE=3 ，
∴BD=2BE=6 ．
故选C．
点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了弧长公
式、等边三角形的判定与性质和圆周角定理．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分）将结果直接填写在对应的横线上。
11．（3分）（2014•仙桃）化简 = ．
考点：二次根式的性质与化简．
分析：根据二次根式的意义直接化简即可．
解答：解： = =3 ．
点评：本题考查二次根式的化简，需注意被开方数不含能开的尽方的因数．
12．（3分）（2014•仙桃）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），点C的坐标为（﹣3，
0），将点C绕点A逆时针旋转90°，再向下平移3个单位，此时点C的对应点的坐标为 （ 1 ，
﹣ 3 ） ．
考点：坐标与图形变化-平移．
分析：根据旋转变换与平移的规律作出图形，然后解答即可．
解答：解：如图，将点C绕点A逆时针旋转90°后，对应点的坐标为（1，0），
再将（1，0）向下平移3个单位，此时点C的对应点的坐标为（1，﹣3）．
故答案为（1，﹣3）．点评：本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转与平移，作出图形，利用数形结合求解更加简便．
13．（3分）（2014•仙桃）纸箱里有双拖鞋，除颜色不同外，其它都相同，从中随机取一只（不放
回），再取一只，则两次取出的鞋颜色恰好相同的概率为 ．
考点：列表法与树状图法．
专题：计算题．
分析：假设两双拖鞋的颜色分别为红色与黑色，列表得出所有等可能的情况数，找出两次取出的鞋颜
色恰好相同的情况数，即可求出所求的概率．
解答：解：列表如下：
红左 红右 黑左 黑右
红左 ﹣﹣﹣ （红右，红左） （黑左，红左） （黑右，红左）
红右 （红左，红右） ﹣﹣﹣ （黑左，红右） （黑右，红右）
黑左 （红左，黑左） （红右，黑左） ﹣﹣﹣ （黑右，黑左）
黑右 （红左，黑右） （红右，黑右） （黑左，黑右） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中两次取出的鞋颜色恰好相同的情况有4种，
则P= = ．
故答案为：
点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．（3分）（2014•仙桃）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱
桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为 米．
考点：二次函数的应用．
分析：根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出
水面宽度，即可得出答案．
解答：解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图
可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C
坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），
到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的
距离，
可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：
﹣1=﹣0.5x2+2，
解得：x= ，
所以水面宽度增加到 米，
故答案为： 米．
点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题
的关键．
15．（3分）（2014•仙桃）将相同的矩形卡片，按如图方式摆放在一个直角上，每个矩形卡片长
为2，宽为1，依此类推，摆放2014个时，实线部分长为 503 5 ．
考点：规律型：图形的变化类．
分析：根据图形得出实线部分长度的变化规律，进而求出答案．
解答：解：由图形可得出：摆放一个矩形实线长为3，
摆放2个矩形实线长为5，摆放3个矩形实线长为8，
摆放4个矩形实线长为10，摆放5个矩形实线长为13，
即第偶数个矩形实线部分在前一个的基础上加2，
第奇数个矩形实线部分在前一个的基础上加3，
∵摆放2014个时，相等于在第1个的基础上加1006个2，1007个3，
∴摆放2014个时，实线部分长为：3+1006×2+1007×3=5035．
故答案为：5035．
点评：此题主要考查了图形变化类，得出实线部分按第奇数与偶数个长度变化规律是解题关键．
三、解答题（本大题共10小题，满分75分）
16．（5分）（2014•仙桃）计算：（ ﹣1）0﹣|﹣5|+（ ）﹣1．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．
分析：原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用负整数
指数幂法则计算即可得到结果．
解答：解：原式=1﹣5+3
=﹣1．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（6分）（2014•仙桃）解方程： ．
考点：解分式方程．
专题：计算题．
分析：本题的最简公分母是3（x+1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
解答：解：方程两边都乘3（x+1），
得：3x﹣2x=3（x+1），
解得：x=﹣ ，
经检验x=﹣ 是方程的解，
∴原方程的解为x=﹣ ．
点评：当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．分式方程里
单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．
18．（6分）（2014•仙桃）为弘扬中华传统文化，某校组织八年级1000名学生参加汉字听写大
赛，为了解学生整体听写能力，从中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进
行统计分析，请根据尚未完成的下列图表，解答问题：
组别 分数段 频数 频率
一 50.5～60.5 16 0.08
二 60.5～70.5 30 0.15
三 70.5～80.5 50 0.25
四 80.5～90.5 m 0.40
五 90.5～24 n
（1）本次抽样调查的样本容量为 20 0 ，此样本中成绩的中位数落在第 四 组内，表中
m= 8 0 ，n= 0.1 2 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩超过80分为优秀，则该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有多少人？考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．
分析：（1）根据第一组的频数是16，频率是0.08，即可求得总数，即样本容量；
（2）根据（1）的计算结果即可作出直方图；
（3）利用总数1000乘以优秀的所占的频率即可．
解答：解：（1）样本容量是：16÷0.08=200；
样本中成绩的中位数落在第四组；
m=200×0.40=80，
n= =0.12；
（2）补全频数分布直方图，如下：
（3）1000（0.4+0.12）=520（人）．
答：该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有520人．
点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必
须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
19．（6分）（2014•仙桃）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F为对角线AC上两点，连接
ED，EB，FD，FB．给出以下结论：①BE∥DF；②BE=DF；③AE=CF．请你从中选取一个条件，
使∠1=∠2成立，并给出证明．
考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
分析：欲证明∠1=∠2，只需证得四边形EDFB是平行四边形或△ABF≌△CDE即可．
解答：解：方法一：
补充条件①BE∥DF．
证明：如图，∵BE∥DF，
∴∠BEC=∠DFA，
∴∠BEA=∠DFC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE与△CDF中，
，∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴ED∥BF，
∴∠1=∠2；
方法二：
补充条件③AE=CF．
证明：∵AE=CF，∴AF=CE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAF=∠DCE，
在△ABF与△CDE中，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠1=∠2．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全
等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定
条件．
20．（6分）（2014•仙桃）如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广
告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广
告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，过点B作BF⊥CD于F，在Rt△BFD中，分别
求出DF、BF的长度，在Rt△ACE中，求出AE、CE的长度，继而可求得AB的长度．
解答：解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，过点B作BF⊥CD于F，
在Rt△BFD中，
∵∠DBF=30°，sin∠DBF= = ，cos∠DBF= = ，
∵BD=6，
∴DF=3，BF=3 ，∵AB∥CD，CE⊥AB，BF⊥CD，
∴四边形BFCE为矩形，
∴BF=CE=3 ，CF=BE=CD﹣DF=1，
在Rt△ACE中，∠ACE=45°，
∴AE=CE=3 ，
∴AB=3 +1．
答：铁塔AB的高为（3 +1）m．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的根据题目所给的坡角构造直角三角形，利用三角
函数的知识求解．
21．（8分）（2014•仙桃）反比例函数y= 在第一象限的图象如图所示，过点A（1，0）作x轴的
垂线，交反比例函数y= 的图象于点M，△AOM的面积为3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点B的坐标为（t，0），其中t＞1．若以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y=
的图象上，求t的值．
考点：待定系数法求反比例函数解析式；解一元二次方程-因式分解法；反比例函数系数k的几何意
义；反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．
分析：
（1）根据反比例函数k的几何意义得到 |k|=3，可得到满足条件的k=6，于是得到反比例函数解
析式为y= ；
（2）分类讨论：当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数y= 的图象上，则D点
与M点重合，即AB=AM，再利用反比例函数图象上点的坐标特征确定M点坐标为（1，6），则AB=AM=6，所以t=1+6=7；当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数y= 的图
象上，根据正方形的性质得AB=BC=t﹣1，
则C点坐标为（t，t﹣1），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征得到（t t﹣1）=6，再解方程
得到满足条件的t的值．
解答：解：（1）∵△AOM的面积为3，
∴ |k|=3，
而k＞0，
∴k=6，
∴反比例函数解析式为y= ；
（2）当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数y= 的图象上，则D点与M点重
合，即AB=AM，
把x=1代入y= 得y=6，
∴M点坐标为（1，6），
∴AB=AM=6，
∴t=1+6=7；
当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数y= 的图象上，
则AB=BC=t﹣1，
∴C点坐标为（t，t﹣1），
∴t（t﹣1）=6，
整理为t2﹣t﹣6=0，解得t =3，t =﹣2（舍去），
1 2
∴t=3，
∴以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y= 的图象上时，t的值为3或7．
点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析
式y=xk（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系
数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．也考查了反比例函数k的几何意义、反
比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质．
22．（8分）（2014•仙桃）如图，已知BC是以AB为直径的⊙的切线，且BC=AB，连接OC交
⊙O于点D，延长AD交BC于点E，F为BE上一点，且DF=FB．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若BE=2，求⊙O的半径．
考点：切线的判定；勾股定理；解直角三角形．
分析：（1）连接BD，根据等边对等角可得∠FDB=∠FBD，∠ODB=∠OBD，然后根据切线的性质即可证得；
（2）根据直角△OBC和直角△CDF中，tanC的定义即可列方程气的CD的长，在直角△CDF
中利用勾股定理即可求解．
解答：（1）证明：连接BD，
∵BC是⊙O的切线，AB是直径，
∴AB⊥BC，
∴∠BFD+∠OBD=90°，
∵DF=FB，
∴∠FDB=∠FBD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠FDB+∠ODB=∠FBD+∠OBD=90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是圆的切线；
（2）解：∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，∠FDB+∠FDE=∠FBD+∠FED=90°，
∵∠FDB=∠FBD，
∴∠FDE=∠FED，
∴FD=FE=FB，
在直角△OBC中，tanC= = = ，
在直角△CDF中，tanC= ，
∴ = ，
∵DF=1，
∴CD=2，
在直角△CDF中，由勾股定理可得：CF= ，
∴OB= BC= ，
∴⊙O的半径是 ．
点评：本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上
某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
23．（8分）（2014•仙桃）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在江汉堤坡种植白杨树，
现甲、乙两家林场与相同的白杨树苗可供选择，其具体销售方案如下：
甲林场 乙林场
购树苗数量 销售单价 购树苗数量
销售单
价
不超过1000棵时 4元/棵 不超过2000棵时 4元/棵超过1000棵的部分 3.8元/棵 超过2000棵的部 3.6
分 元/棵
设购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲 （元）、y乙 （元）．
（1）该村需要购买1500棵白杨树苗，若都在甲林场购买所需费用为 590 0 元，若都在乙林
场购买所需费用为 600 0 元；
（2）分别求出y甲 、y乙 与x之间的函数关系式；
（3）如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？
考点：一次函数的应用．
分析：（1）由单价×数量就可以得出购买树苗需要的费用；
（2）根据分段函数的表示法，分别当0≤x≤1000，或x＞1000.0≤x≤2000，或x＞2000，由由单价×
数量就可以得出购买树苗需要的费用表示出y甲 、y乙 与x之间的函数关系式；
（3）分类讨论，当0≤x≤1000，1000＜x≤2000时，x＞2000时，表示出y甲 、y乙 的关系式，就可以
求出结论．
解答：解：（1）由题意，得．
y甲=4×1000+3.8（1500﹣1000）=5900元，
y乙=4×1500=6000元；
故答案为：5900，6000；
（2）当0≤x≤1000时，
y甲=4x，
x＞1000时．
y甲=4000+3.8（x﹣1000）=3.8x+200，
∴y甲= ；
当0≤x≤2000时，
y乙=4x
当x＞2000时，
y乙=8000+3.6（x﹣2000）=3.6x+800
∴y乙= ；
（3）由题意，得
当0≤x≤1000时，两家林场单价一样，
∴到两家林场购买所需要的费用一样．
当1000＜x≤2000时，甲林场有优惠而乙林场无优惠，
∴当1000＜x≤2000时，到甲林场优惠；
当x＞2000时，y甲=3.8x+200，y乙=3.6x+800，
当y甲=y乙 时
3.8x+200=3.6x+800，
解得：x=3000．
∴当x=3000时，到两家林场购买的费用一样；
当y甲 ＜y乙 时，
3.8x+200=3.6x+800，
x＜3000．
∴2000＜x＜3000时，到甲林场购买合算；
当y甲 ＞y乙 时，
3.8x+200＞3.6x+800，
解得：x＞3000．
∴当x＞3000时，到乙林场购买合算．综上所述，当0≤x≤1000或x=3000时，两家林场购买一样，
当1000＜x＜3000时，到甲林场购买合算；
当x＞3000时，到乙林场购买合算．
点评：本题考查了运用一次函数的解析式解实际问题的运用，方案设计的运用，单价×数量=总价的
运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
24．（10分）（2014•仙桃）如图①，△ABC与△DEF是将△ACF沿过A点的某条直线剪开得
到的（AB，DE是同一条剪切线）．平移△DEF使顶点E与AC的中点重合，再绕点E旋转
△DEF，使ED，EF分别与AB，BC交于M，N两点．
（1）如图②，△ABC中，若AB=BC，且∠ABC=90°，则线段EM与EN有何数量关系？请直接
写出结论；
（2）如图③，△ABC中，若AB=BC，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明：若
不成立，请说明理由；
（3）如图④，△ABC中，若AB：BC=m：n，探索线段EM与EN的数量关系，并证明你的结论．
考点：相似形综合题；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；多边形内角
与外角；相似三角形的判定与性质．
专题：证明题；探究型．
分析：（1）由四边形的内角和为360°可以推出∠HEM=∠GEN，由等腰三角形的三线合一及角平分线
的性质可以推出EH=EG，从而可以证到△HEM≌△GEN，进而有EM=EG．
（2）借鉴（1）的证明方法同样可以证到EM=EG．
（3）借鉴（2）中解题经验可以证到△HEM∽△GEN，从而有EM：EN=EH：EG．由点E为AC的
中点可得S =S ，可证到EH：EG=BC：AB，从而得到EM：EN=BC：AB=n：m．
△AEB △CEB
解答：解：（1）EM=EN．
证明：过点E作EG⊥BC，G为垂足，作EH⊥AB，H为垂足，连接BE，如答图②所示．则∠EHB=∠EGB=90°．
∴在四边形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．
∵∠HBG+∠DEF=180°，
∴∠HEG=∠DEF．
∴∠HEM=∠GEN．
∵BA=BC，点E为AC中点，
∴BE平分∠ABC．
又∵EH⊥AB，EG⊥BC，
∴EH=EG．
在△HEM和△GEN中，
∵∠HEM=∠GEN，EH=EG，∠EHM=∠EGN，
∴△HEM≌△GEN．
∴EM=EN．
（2）EM=EN仍然成立．
证明：过点E作EG⊥BC，G为垂足，作EH⊥AB，H为垂足，连接BE，如答图③所示．
则∠EHB=∠EGB=90°．
∴在四边形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．
∵∠HBG+∠DEF=180°，
∴∠HEG=∠DEF．
∴∠HEM=∠GEN．
∵BA=BC，点E为AC中点，
∴BE平分∠ABC．
又∵EH⊥AB，EG⊥BC，
∴EH=EG．
在△HEM和△GEN中，
∵∠HEM=∠GEN，EH=EG，∠EHM=∠EGN，
∴△HEM≌△GEN．
∴EM=EN．（3）线段EM与EN满足关系：EM：EN=n：m．
证明：过点E作EG⊥BC，G为垂足，作EH⊥AB，H为垂足，连接BE，如答图④所示．
则∠EHB=∠EGB=90°．
∴在四边形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．
∵∠HBG+∠DEF=180°，
∴∠HEG=∠DEF．
∴∠HEM=∠GEN．
∵∠HEM=∠GEN，∠EHM=∠EGN，
∴△HEM∽△GEN．
∴EM：EN=EH：EG．
∵点E为AC的中点，
∴S =S ．
△AEB △CEB
∴ AB•EH= BC•EG．
∴EH：EG=BC：AB．
∴EM：EN=BC：AB．
∵AB：BC=m：n，
∴EM：EN=n：m．
点评：本题通过图形的变换，考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性
质、相似三角形的判定与性质、四边形的内角和等知识，同时也渗透了变中有不变的辩证思
想，而运用等积法又是解决第三小题的关键，是一道好题．
25．（12分）（2014•仙桃）已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（ ，0）三点，一动点P从原
点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于
点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当BQ= AP时，求t的值；
（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接
写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．
分析：（1）已知3点求抛物线的解析式，设解析式为y=ax2+bx+c，待定系数即得a、b、c的值，即得解
析式．
（2）BQ= AP，要考虑P在OC上及P在OC的延长线上两种情况，有此易得BQ，AP关于t的
表示，代入BQ= AP可求t值．
（3）考虑等边三角形，我们通常只需明确一边的情况，进而即可描述出整个三角形．考虑
△MPQ，发现PQ为一有规律的线段，易得OPQ为等腰直角三角形，但仅因此无法确定PQ运
动至何种情形时△MPQ为等边三角形．若退一步考虑等腰，发现，MO应为PQ的垂直平分
线，即使△MPQ为等边三角形的M点必属于PQ的垂直平分线与抛物线的交点，但要明确这
些交点仅仅满足△MPQ为等腰三角形，不一定为等边三角形．确定是否为等边，我们可以直接
由等边性质列出关于t的方程，考虑t的存在性．
解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（ ，0）三点，
∴ ，
解得 ，
∴y=﹣ x2﹣ x+2．
（2）∵AQ⊥PB，BO⊥AP，
∴∠AOQ=∠BOP=90°，∠PAQ=∠PBO，
∵AO=BO=2，
∴△AOQ≌△BOP，
∴OQ=OP=t．
①如图1，当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ=2﹣t，AP=2+t．∵BQ= AP，
∴2﹣t= （2+t），
∴t= ．
②如图2，当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ=t﹣2，AP=2+t．
∵BQ= AP，
∴t﹣2= （2+t），
∴t=6．
综上所述，t= 或6时，BQ= AP．
（3）当t= ﹣1时，抛物线上存在点M（1，1）；当t=3+3 时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3）．
分析如下：
∵AQ⊥BP，
∴∠QAO+∠BPO=90°，
∵∠QAO+∠AQO=90°，
∴∠AQO=∠BPO．
在△AOQ和△BOP中，
，
∴△AOQ≌△BOP，
∴OP=OQ，
∴△OPQ为等腰直角三角形，
∵△MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线上，
∵直线y=x垂直平分PQ，
∴M在y=x上，设M（x，y），∴ ，
解得 或 ，
∴M点可能为（1，1）或（﹣3，﹣3）．
①如图3，当M的坐标为（1，1）时，作MD⊥x轴于D，
则有PD=|1﹣t|，MP2=1+|1﹣t|2=t2﹣2t+2，PQ2=2t2，
∵△MPQ为等边三角形，
∴MP=PQ，
∴t2+2t﹣2=0，
∴t=﹣1+ ，t=﹣1﹣ （负值舍去）．
②如图4，当M的坐标为（﹣3，﹣3）时，作ME⊥x轴于E，
则有PE=3+t，ME=3，
∴MP2=32+（3+t）2=t2+6t+18，PQ2=2t2，
∵△MPQ为等边三角形，
∴MP=PQ，
∴t2﹣6t﹣18=0，
∴t=3+3 ，t=3﹣3 （负值舍去）．
综上所述，当t=﹣1+ 时，抛物线上存在点M（1，1），或当t=3+3 时，抛物线上存在点M
（﹣3，﹣3），使得△MPQ为等边三角形．
点评：本题是二次函数、一次函数及三角形相关知识的综合题目，其中涉及的知识点有待定系数法求
抛物线，三角形全等，等腰、等边三角形性质及一次函数等基础知识，在讨论动点问题是一定
要注意考虑全面分情形讨论分析．总体来说本题难度较高，其中技巧需要好好把握．
