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2022 年湖北省襄阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答．
1. 如果温度上升2℃记作 ℃，那么温度下降3℃记作（ ）
A. ℃ B. ℃ C. ℃ D. ℃
【答案】D
【解析】
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【详解】解：如果温度上升2℃记作+2℃，那么温度下降3℃记作-3℃．
故选：D．
【点睛】此题考查正负数的意义，运用正负数来描述生活中的实例．
2. 襄阳牛杂面因襄阳籍航天员聂海胜的一句“最想吃的还是我们襄阳的牛杂面”火爆出圈，引发了全国人民
的聚焦和关注．襄阳某品牌牛杂面的包装盒及对应的立体图形如图所示，则该立体图形的主视图为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据主视图的意义，从正面看该立体图形所得到的图形进行判断即可．
【详解】解：从正面看，是一个矩形，
故选：A．
【点睛】本题考查简单几何体的主视图，理解三视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的关键．
3. 2021年，襄阳市经济持续稳定恢复，综合实力显著增强，人均地区生产总值再上新台阶，突破100000
元大关．将100000用科学记数法表示为（ ）【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；
当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将100000用科学记数法表示为 ．
故选：B．
【点睛】此题考查了科学记数法．解题的关键是掌握科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为
的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点
A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（ ）
A. 30° B. 40° C. 60° D. 70°
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质求得∠ABD，再根据角的和差关系求得结果．
【详解】解：∵m n，∠1=70°，
∴∠1=∠ABD=70°，
∵∠ABC=30°，
∴∠2=∠ABD-∠ABC=40°，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质．
5. 襄阳市正在创建全国文明城市，某社区从今年6月1日起实施垃扱分类回收．下列图形分别是可回收物、
厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握定义：如果一个图形沿着一
条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转
180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件
B. 成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件
C. “襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天一定降雨
D. 若抽奖活动的中奖概率为 ，则抽奖50次必中奖1次
【答案】A【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】根据概率 的意义，概率公式，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
【详解】解：A、自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件，故A符合题意；
B、成语“水中捞月”所描述的事件，是不可能事件，故B不符合题意；
C、襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天降雨的可能性是60%，故C不符合题意；
D、若抽奖活动的中奖概率为 ，则抽奖50次不一定中奖1次，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了概率的意义，概率公式，随机事件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
7. 如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
▱
A. 若OB＝OD，则 ABCD是菱形 B. 若AC＝BD，则 ABCD是菱形
▱ ▱
C. 若OA＝OD，则 ABCD是菱形 D. 若AC⊥BD，则 ABCD是菱形
▱ ▱
【答案】D
【解析】
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC= AC，OB=OD= BD，
∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
是解题的关键．
8. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送
到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知
快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意找出题目中的等量关系列出方程即可．
【详解】设规定时间为x天，
则可列方程为 ，
故选：B．
【点睛】此题考查了分式方程应用题，解题的关键是根据题意找出题目中的等量关系列出方程．
9. 若点A（-2，y），B（-1，y）都在反比例函数y＝ 的图象上，则y，y 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A. y＜y B. y＝y C. y＞y D. 不能确定
1 2 1 2 1 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解．
【详解】解：∵点A（-2，y），B（-1，y）都在反比例函数y= 的图象上，k=2＞0，
1 2
∴在每个象限内y随x的增大而减小，
∵-2＜-1，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象与性质是解题的关键．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
10. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝ 在同一平面直角坐标
系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＜0，
然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线 ＞0，
∴b＞0，
∵与y轴的负半轴相交，
∴c＜0，
的
∴y=bx+c 图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y= 图象在第二四象限，
只有D选项图象符合．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性
质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的相应位置上．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
11. 化简分式： ＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据同分母的分式加法运算法则求解后约分即可得到结论．
【详解】解：
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式的化简，掌握同分母的分式求和及约分是解决问题的关键．
12. 不等式组 的解集是_____．
【答案】x＞2
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到，确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＞2，
∴不等式组的解集为x＞2，
故答案为：x＞2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握求不等式公共解集的方法是解题的关键．
13. 经过某十字路口的汽车，它可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性大小相同，那么两
辆汽车经过这个十字路口，一辆向左转，一辆向右转的概率是_____．
【答案】【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】列举出所有情况，让一辆向左转，一辆向右转的情况数除以总情况数即为所求的可能性．
【详解】
一辆向左转，一辆向右转的情况有两种，则概率是 ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：可能性=所求情况数与总情况数之比．
14. 在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m
高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的
竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝ x2+ x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为
_____m时，竖直高度达到最大值．
【答案】8
【解析】
【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴当x=8时， y有最大值，最大值为4，
∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值．
故答案为：8．
【点睛】本题考查二次函数的应用，根据函数的性质求解是解题的关键．
15. 已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为 ，那么弦AC所对的圆周角的度数等于_____．
【答案】45°或135°【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】直径所对圆周角是直角，勾股定理求出BC，证得 ABC为等腰直角三角形
即可解得． △
【详解】解：如图
连接BC，
∵⊙O的直径AB
∴∠ACB=90°
根据勾股定理得
∴
∴ ABC为等腰直角三角形
∴∠△ABC=45°
=135°
∴弦AC所对的圆周角的度数等于45°或者135°
【点睛】此题考查了求圆周角，解题的关键是构造直角三角形．
16. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，
AB+BE＝3 ，则△ABC的周长为_____．
【答案】【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】如图，过点 作 于点 ， 于点 ，过点 作 交 于点 ．
证明 ，设 ，证明 ，设 ，则 ，求出 ，可得
结论．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ， 于点 ，过点 作 交 于点
．
平分 ， ， ，
，
，
，
设 ，则 ，
， ，
，
，
设 ，则 ，
，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
，
的周长 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解
决问题．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并
且写在答题卡上每题对应的答题区域内．
17. 先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝ - ，b＝ + ．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【详解】解：原式＝
；
a＝ - ，b＝ + ，
∴原式
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算
法则是解题关键．
18. 在“双减”背景下，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生的课后书面作业时长
情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业时长数据（保留整数），整理分析过程
如下：
【收集数据】A学校50名九年级学生中，课后书面作业时长在70.5≤x＜80.5组的具体数据如下：
74，72，72，73，74，75，75，75，75，
75，75，76，76，76，77，77，78，80
【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下，不完整的A学校频数分布直方图如图所示：【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
组别 50.5≤x＜60.5 60.5≤x＜70.5 70.5≤x＜80.5 80.5≤x＜90.5 90.5≤x＜100.5
A学校 5 15 x 8 4
B学校 7 10 12 17 4
【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表：
特征
平均数 众数 中位数 方差
数
A学校 74 75 y 127.36
B学校 74 85 73 144.12
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查是 调查（选填“抽样”或“全面”）；
（2）统计表中，x＝ ，y＝ ；
（3）补全频数分布直方图；
（4）在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是 学校（选填“A”或“B”）；
（5）按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，能在
90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有 人．
【答案】（1）抽样 （2）
（3）见解析 （4）A
（5）920
【解析】
【分析】（1）根据题意知本次调查是抽样调查；
（2）用总数减去其它组的频数求x，利用求中位数的方法求y；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（3）根据A学校的频数分布表补全频数分布直方图；
（4）根据方差即可判断；
（5）分别求出在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生即可．
【小问1详解】
根据题意知本次调查是抽样调查；
故答案为：抽样．
【小问2详解】
x=50-5-15-8-4=18，
中位数为第25个和第26个平均数
故答案为：18，74.5．
【小问3详解】
补全频数分布直方图：
【小问4详解】
因为A学校的方差为127.36，B学校的方差为144.12，
.
12736＜144.12，
∴课后书面作业时长波动较小的是A学校，
故答案为：A．
【小问5详解】
（人）
故答案为：920．
【点睛】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
19. 位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、
第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士的而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测
量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人
机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，
cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）
【答案】烈士塔的高度约为28m．
【解析】
【分析】在Rt ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，则BD=AD=10m，在Rt ACD中，tan∠DAC=tan61°=
△ △
≈1.80，解得CD≈18m，由BC=BD+CD可得出答案．
【详解】解：由题意得，∠BAD=45°，∠DAC=61°，
在Rt ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，
∴BD△=AD=10m，
在Rt ACD中，∠DAC=61°，
△
tan61°= ≈1.80，
解得CD≈18，
∴BC=BD+CD=10+18=28（m）．
∴烈士塔的高度约为28m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．
（1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：AD＝AE．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．
（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．
【小问1详解】
为
解：如图所示，CE即 所求．
【小问2详解】
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线，
∴ ， ，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，
∴△ACE≌△ABD（ASA），
∴AD＝AE．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图步骤以及全等三角形的
判定与性质是解答本题的关键．
21. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的
过程．结合已有经验，请画出函数 的图象，并探究该函数性质．
（1）绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ ．
﹣
x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 1 2 3 4 5 ……
1
﹣
y …… ﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a ﹣2.5 ﹣3.8 ……
1
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
（2）探究函数性质，请写出函数y＝ -|x|的一条性质： ；
（3）运用函数图象及性质
①写出方程 -|x|＝5的解 ；
②写出不等式 -|x|≤1的解集 ．
【答案】（1）①1；②见解析，③见解析【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（2） 的图象关于 轴对称轴（答案不唯一）
（3）① 或 ；② 或
【解析】
【分析】（1）①把x=2代入解析式即可得a的值；②③按要求描点，连线即可；
（2）观察函数图象，可得函数性质；
（3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案．
【小问1详解】
①列表：当x=2时， ，
故答案为：1；
②描点，③连线如下：
【小问2详解】
观察函数图象可得： 的图象关于y轴对称，
故答案为： 的图象关于y轴对称；
【小问3详解】
①观察函数图象可得：当y=5时，x=1或x=-1，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
的解是x=1或x=-1，
故答案为：x=1或x=-1，
②观察函数图象可得，当x≤-2或x≥2时，y≤1，
∴ 的解集是x≤-2或x≥2，
故答案为：x≤-2或x≥2．
【点睛】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息
是解题的关键．
22. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为 的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相
交于点G，过点D作直线DE BC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若 ，CG＝2 ，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，根据已知条件，由OD⊥BC ，DE BC，证明OD⊥DE即可；
（2）根据 相等，再由（1）中 可得， ，从而得到
∠CAD=∠BAD=∠ABC=30°，在Rt△ACG中，利用锐角三角函数求出AC、AG的长，从而求出△CAG的面积，
在Rt△ABD中利用锐角三角函数求出AD的长，根据DE BC可得△ACG∽△AED，利用相似三角形的面积
比等于相似比的平方求出 ，进而即可阴影部分的面积．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【小问1详解】
证明：连接OD，如图所示，
∵点D为 的中点，
∴OD⊥BC
∵DE BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
【小问2详解】
连接BD，如图所示，
∴BD=AC
∵点D为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴∠CAD=∠BAD=30°．
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
在Rt△ACG中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴BD=CA=6，
，
在Rt△ABD中，
∴
∵DE∥BC，
∴△CAG∽△EAD，
∴ ，
即 ，
∴
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定定理、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的性质，解直角三角形，
掌握以上知识是解题的关键．
23. 为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、
乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．
（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，
且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额一成本），请求出w（单位：
元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，
甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．
【答案】（1） ．
（2） ；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为
288000元．
（3） 的最大值为 ．
【解析】
【分析】（1）分当 时，当 时，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可知，分当 时，当 时，分别列出 与 的函数关系式，根
据一次函数的性质可得出结论；
（3）根据题意可知，降价后， 与 的关系式，并根据利润不低于15000，可得出 的取值范围．
【小问1详解】
当 时，设 ，根据题意可得， ，
解得 ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
；
当 时，设 ，
根据题意可得， ，
解得 ，
．
．
【小问2详解】
根据题意可知，购进甲种产品 千克，
，
当 时， ，
，
当 时， 的最大值为 ；
当 时， ，
，
当 时， 的最大值为 （元 ，
综上， ；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为
288000元．
【小问3详解】
根据题意可知，降价后，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
当 时， 取得最大值，
，解得 ．
的最大值为 ．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式．
24. 矩形ABCD中， ＝ （k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形
的外角平分线CF交于点F．
（1）【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．
证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．
∵k＝2，
∴AB＝BC．
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴∠3＝ ∠DCG＝45°．
∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．
∴……
（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）
（2）【类比探究】如图（2），当k≠2时，求 的值（用含k的式子表示）；
（3）【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°， ，
求BC的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）证明△AHE≌△ECF（ASA）即可；
（2）在BA上截取BH=BE，连接EH．证明△AHE∽△ECF，即可求解；
（3）以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H，设AB=3a，则BC=2a，连接P'E，HE，延长P'H
交CD于点G，连接EG，证明△AEP'≌△AEP（SAS），△PEG≌△P'EH（AAS），可得四边形APEP'是正方形，
再证明△APD≌△PEC（AAS），由（2）得△AHE∽△ECF，过点P作PK⊥AE交于K，进而证明四边形PKEF
是矩形，则有PF= = a，即可求出BC= ．
【小问1详解】
证明：如图，在BA上截取BH=BE，连接EH．
∵k=2，
∴AB=BC．
∵∠B=90°，BH=BE，
∴∠1=∠2=45°，
∴∠AHE=180°-∠1=135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，
∴∠3= ∠DCG=45°，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴∠ECF=∠3+∠4=135°，
∵AE⊥EF，
∴∠6+∠AEB=90°，
∵∠5+∠AEB=90°，
∴∠5=∠6，
∵AB=BC，BH=BE，
∴AH=EC，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
【小问2详解】
解：在BA上截取BH=BE，连接EH．
∵∠B=90°，BH=BE，
∴∠BHE=∠BEH=45°，
∴∠AHE=135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，
∴∠DCF= ∠DCG=45°．
∴∠ECF=135°，
∵AE⊥EF，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△AHE∽△ECF，
∴ ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ ，E是BC边的中点，
∴EC=HB= BC，
∴AH=AB- BC= BC，
∴ ；
【小问3详解】
解：以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H，
∵k=3，
∴ ，
设AB=3a，则BC=2a，
∵∠PAE=45°，
∴∠P'AP=90°，
连接P'E，HE，延长P'H交CD于点M，连接EM，
∵AH=AD=2a，
∴BH=a，
∵E是BC的中点，
∴BE=a，
∴HE= a，∠BHE=45°，
∴∠P'HE=135°，
∵CG=EC=a，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴∠MEC=45°，
∴∠PME=135°，
∵AP'=AP，∠PAE=∠P'AE，AE=AE，
∴△AEP'≌△AEP（SAS），
∴PE=P'E，
∴△PEM≌△P'EH（AAS），
∴∠PEG=∠P'EH，
∵∠HEG=∠EGH=45°，
∴∠HEG=90°，
∴∠PEP'=90°，
∴∠AEP=∠AEP'=45°，
∴∠APE=∠AP'E=90°，
∴四边形APEP'是正方形，
∴AP=PE，
∵∠DAP+∠APD=90°，∠APD+∠EPC=90°，
∴∠DAP=∠EPC，
∵AP=PE，
∴△APD≌△PEC（AAS），
∴AD=PC=2a，PD=ED=a，
∴PE= a，
由（2）得△AHE∽△ECF，
∴ ，
∵
∴ ，
∵∠HEM=∠AEF=90°，
∴∠HEA=∠MEF，
∵∠PEM=∠P'EH，
∴∠PEF=∠P'EH=45°，
过点P作PK⊥AE交于K，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵EF⊥AE，
∴PK EF，
∵ ，
∴PK=EF，
∴四边形PKEF是矩形，
∴PF=KE，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形是判
定及性质，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质是解题的关键．
25. 在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-
x2+2mx-m2+2与y轴交于点C．
（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
（2）在y轴上有一点M（0， m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
②求线段BC长度的最大值．
【答案】（1）①A（2，0），B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）；
②△PAB的面积的最大值是3，点P（1，1）；
（2）① 或 ；
②13
【解析】
【分析】对于（1），先求出点A，B的坐标，再将抛物线关系式配方表示出点D的坐标，令
x=0，表示出点C的坐标，然后将m的值代入即可得出①的答案；对于②，先求出直线和抛物线的解析式，
再作 轴，设点P的横坐标为t，即可表示出点P，E的坐标，然后表示出PE，进而根据三角形的面
积公式表示△PAB的面积，再配方讨论极值即可；
对于（2），由（1）可知，点B，C的坐标，再根据点C在线段MB上，分两种情况讨论，求出①的答案
即可；对于②，根据①中的情况分别表示BC，再配方二次函数的性质求出答案即可．
【小问1详解】
∵直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，-2m）．
∵ ，
∴抛物线的顶点坐标是D（m，2）．
令x=0，则 ，
∴ ．
①当m=2时，-2m=-4，则 ，
∴点B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）；
②由上可知，直线AB的解析式为 ，抛物线的解析式为 ，
如图，过点P作 轴交直线AB于点E．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
设点P的横坐标为t，
∴ ， ，
∴ ，
∴△PAB的面积= ，
∵-1＜0，
∴当t=1时，△PAB的面积的最大值为3，此时P（1，1）；
【小问2详解】
由（1）可知，B（0，-2m），C（0，-m2+2），
①∵y轴上有一点 ，点C在线段MB上，
∴需分两种情况讨论：
当 时，解得： ，
当 时，解得： ，
∴m的取值范围是 或 ；
②当 时，
∵ ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴当m=1时，BC的最大值为3；
当 时，
∴ ，
当m=-3时，点M与点C重合，BC的最大值为13，
∴BC的最大值是13．
【点睛】这是一道关于一次函数和二次函数的综合问题，考查了求函数关系式，二次函数图象的性质，二
次函数与三角形的综合，根据二次函数关系式求极值等．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
