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2022 年湖北省宜昌市初中学业水平考试数学试题
一、选择题（下列各题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指
定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号，每题3分，计33分）
1. 下列说法正确的个数是（ ）
①－2022的相反数是2022；②－2022的绝对值是2022；③ 的倒数是2022．
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数、绝对值、倒数的定义逐个判断即可．
【详解】①－2022的相反数是2022，故此说法正确；②－2022的绝对值是2022，故此说
法正确；③ 的倒数是2022，故此说法正确；正确的个数共3个；
故选：A．
【点睛】本题考查相反数、绝对值、倒数的含义，只有符号相反的两个数叫做互为相反数，
数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，分子分母互换位置相乘等于1
的两个数互为倒数，熟知定义是解题的关键．
2. 将四个数字看作一个图形，则下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能
与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐项判定
即可．
【详解】解：根据中心对称图形定义，可知 符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称图形，掌握中心对称图形定义，能根据定义判定图形是否是中
心对称图形是解决问题的关键．
3. 我市围绕创建全国文明典范城市、传承弘扬屈原文化，组织开展了“喜迎二十大、永远
跟党走、奋进新征程”等系列活动．在2022年“书香宜昌·全民读书月”暨“首届屈原文
化月”活动中，100多个社区图书室、山区学校、农家书屋、“护苗”工作站共获赠了价
值100万元的红色经典读物、屈原文化优秀读物和智能书柜．“100万”用科学记数法表
学科网（北京）股份有限公司示为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解： ，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 下列运算错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项等计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、 ，计算正确，不符合题意；
B、 ，计算正确，不符合题意；
C、 ，计算正确，不符合题意；
D、 ，计算错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，熟知相关计算法则
是解题的关键．
5. 已知经过闭合电路的电流 （单位： ）与电路的电阻 （单位： ）是反比例函数
关系．根据下表判断 和 的大小关系为（ ）
5 … … … … … 1
20 30 40 50 60 70 80 90 100
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据电流 与电路的电阻 是反比例函数关系，由反比例函数图像是双曲线，在
同一象限内x和y的变化规律是单调的，即可判断
【详解】∵电流 与电路的电阻 是反比例函数关系
由表格： ；
∴在第一象限内，I随R的增大而减小
∵
∴
故选：A
【点睛】本题考查双曲线图像的性质；解题关键是根据表格判断出双曲线在第一象限，单
调递减
6. 如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于
点 ， ．作直线 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 ，
， ，则 的周长为（ ）
A. 25 B. 22 C. 19 D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由 ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋
CD＝AB＋AC得到答案．
△
【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵ ， ，
∴ ABD的周长＝AB＋AD＋BD
＝AB＋AD＋CD
△
＝AB＋AC
＝19．
故选：C
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知
学科网（北京）股份有限公司识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
7. 如图，四边形 内接于 ，连接 ， ， ，若 ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质求出 ，根据圆周角定理可得 ，再根据
计算即可．
【详解】∵四边形 内接于 ，
∴ ，
由圆周角定理得， ，
∵
∴
故选：B．
【点睛】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解
题的关键．
8. 五一小长假，小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小
船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船
与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（ ）
A. 30 B. 26 C. 24 D. 22
【答案】B
【解析】
【分析】设1艘大船与1艘小船分别可载x人，y人，根据“1艘大船与2艘小船一次共可以
满载游客32人”和“2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人”这两个等量关系列方程
组，解出（x+y）即可．
【详解】设1艘大船与1艘小船分别可载x人，y人，
学科网（北京）股份有限公司依题意：
（①+②）÷3得：
故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用；注意本题解出（x+y）的结果即可．
9. 如图是小强散步过程中所走的路程 （单位： ）与步行时间 （单位： ）的函数
图象．其中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象得出匀速步行的路程和所用的时间，即可求出小强匀速步行的速度．
【详解】解：根据图象可知，小强匀速步行的路程为 （m），
匀速步行的时间为： （min），
这一时间段小强的步行速度为： ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，根据图象得出匀速步行的路程和时间，
是解题的关键．
10. 如图是一个教室平面示意图，我们把小刚 的座位“第1列第3排”记为 ．若小丽
的座位为 ，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是
（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据小丽的座位坐标为 ，根据四个选项中的座位坐标，判断四个选项中与
其相邻的座位，即可得出答案．
【详解】解：∵只有 与 是相邻的，
∴与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是 ，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，关键是根据有序数对表示点的位置，根据点的坐
标确定位置．
11. 某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下
三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤．
则小明和小慧选择参加同一项目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据题意画出树状图，然后再根据概率的计算公式进行计算即可．
【详解】解：根据题意画出树状图，如图所示：
∵共有9种等可能的情况，其中小明和小慧选择参加同一项目的有3种情况，
学科网（北京）股份有限公司∴小明和小慧选择参加同一项目的概率为 ，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了概率公式、画树状图或列表格求概率，根据题意画出树状图或列
出表格，是解题的关键．
二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每题3分，计12分）
12. 中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出
现使用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及
其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．请计算以下涉及“负数”的式子的值：
________．
【答案】-10
【解析】
【分析】根据有理数运算法则进行计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查含乘方的有理数混合运算，掌握乘方的计算法则，有理数混合运算的计
算法则是解题的关键．
13. 如图，点 ， ， 都在方格纸的格点上， 绕点 顺时针方向旋转 后得到
，则点 运动的路径 的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出AB的长，再根据弧长公式计算即可．
【详解】由题意得，AC=4，BC=3，
∴ ,
∵ 绕点 顺时针方向旋转 后得到 ，
∴ ,
学科网（北京）股份有限公司∴ 的长为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理和弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．
14. 如图， 岛在A岛的北偏东 方向， 岛在 岛的北偏西 方向，则 的大
小是_____．
【答案】 ##85度
【解析】
【分析】过 作 交 于 ，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解．
【详解】解： 岛在A岛的北偏东 方向，
，
岛在 岛的北偏西 方向，
，
过 作 交 于 ，如图所示：
，
学科网（北京）股份有限公司，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度，理解方位角的定义，并熟练掌握
平行线的性质是解决问题的关键．
15. 如图，在矩形 中， 是边 上一点， ， 分别是 ， 的中点，连接
， ， ，若 ， ， ，矩形 的面积为________．
【答案】48
【解析】
【分析】根据三角形中位线的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出相关线段
长，利用勾股定理逆定理判定 ，再结合
即可得出结论．
【详解】解：在矩形 中， ，
在矩形 中， ， 分别是 ， 的中点， ，
是 的中位线，即 ，
在 中， 是的中点， ，
是 斜边上的中线，即 ，
，
在 中， 是的中点， ，
是 斜边上的中线，即 ，
，
在 中， ， ， ，即 ，
是直角三角形，且 ，
过 作 于 ，如图所示：
学科网（北京）股份有限公司，
故答案为： ．
【点睛】本题考查矩形面积，涉及到中位线的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半、矩形的性质、勾股定理逆定理、三角形等面积法等知识，熟练掌握相关性质，准确
作出辅助线表示是解决问题的关键．
三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置．本大题共有9题，计75
分）
16. 求代数式 的值，其中 ．
【答案】1
【解析】
【分析】先将原式化为同分母，再利用同分母分式的减法法则计算，约分到最简结果，将
代入计算即可求出值．
【详解】原式 ；
当 时， ，
原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17. 解不等式 ，并在数轴上表示解集．
【答案】 ，在数轴上表示解集见解析
【解析】
【分析】通过去分母，去括号，移项，系数化为1求得 ，在数轴上表示解集即可．
【详解】解：
学科网（北京）股份有限公司去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，合并同类项得 ，
系数化为1，得 ，
在数轴上表示解集如图：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是正确
的解一元一次不等式，解集为“ ”时要用实心点表示．
18. 某校为响应“传承屈原文化·弘扬屈原精神”主题阅读倡议，进一步深化全民阅读和
书香宜昌建设，随机抽取了八年级若干名学生，对“双减”后学生周末课外阅读时间进行
了调查.根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
时间段/分钟
组中值 75 105 135
频数/人 6 20 4
请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）扇形统计图中，120~150分钟时间段对应扇形 的圆心角的度数是_______；
_______；样本数据的中位数位于________~________分钟时间段；
（2）请将表格补充完整；
（3）请通过计算估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间．
【答案】（1） ；25；60，90
（2）表格见解析 （3）该校八年级学生周末课外平均阅读时间为84分钟
【解析】
【分析】（1）根据120~150分钟时间的占比和人数计算出调查的总数人为40，根据总人
数和图表即可计算出相应的答案；
（2）30~60分钟时间段组中值为30和60的平均值；
学科网（北京）股份有限公司（3）分别计算出各个统计时间段调查人数的比例，根据加权平均数计算方法求得答案．
【小问1详解】
∵根据扇形统计图中，120~150分钟时间段的占比为10%
∴120~150分钟时间段对应扇形的圆心角的度数为
∵120~150分钟时间段的人数为4人
∴调查总人数为 人
∴90~120分钟时间段的人数为 人
∴90~120分钟时间段的人数与总人数的比为
∴
∵调查总人数为40人，且样板的中位数为第20和21位的平均数
∴样本数据的中位数位于60~90分钟时间段
故答案为： ；25；60，90；
【小问2详解】
30~60分钟时间段组中值为
90~120分钟时间段的频数/人为
表格补充如下：
时间段/分钟
组中值 45 75 105 135
频数/人 6 20 10 4
【小问3详解】30~60分钟时间段的调查人数占总人数的比例为 ；
60~90分钟时间段的调查人数占总人数的比例为 ；
90~120分钟时间段的调查人数占总人数的比例为 ；
120~140分钟时间段的调查人数占总人数的比例为 ；
∴八年级学生周末课外平均阅读时间为：
分钟，
∴该校八年级学生周末课外平均阅读时间为84分钟．
【点睛】本题考查数据统计相关知识，解题的关键是掌握数据扇形统计图、中位数、加权
平均数的性质，从而完成求解．
学科网（北京）股份有限公司19. 石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有
1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，
桥的主桥拱是圆弧形，表示为 ．桥的跨度（弧所对的弦长） ，设 所在
圆的圆心为 ，半径 ，垂足为 ．拱高（弧的中点到弦的距离） ．连
接 ．
（1）直接判断 与 的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到 ）．
【答案】（1）
（2）这座石拱桥主桥拱半径约为
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理即可得出结论；
（2）设主桥拱半径为 ，在 中，根据勾股定理列出方程，即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵半径 ，
∴ ．
故答案为： ．
【小问2详解】
设主桥拱半径为 ，由题意可知 ， ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理，得 ，
即 ，
解得 ，
∴ ，
因此，这座石拱桥主桥拱半径约为 ．
【点睛】此题考查垂径定理和勾股定理，是重要考点，根据题意利用勾股定理列出方程是
解题关键．
学科网（北京）股份有限公司20. 知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角
一般要满足 ．如图，现有一架长 的梯子 斜靠在一竖直的墙 上．
（1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端 与地面距离的最大值；
（2）当梯子底端 距离墙面 时，计算 等于多少度？并判断此时人是否能安
全使用这架梯子？
（参考数据： ， ， ， ，
， ， ， ， ）
【答案】（1）梯子顶端 与地面的距离的最大值3.8米
（2） ，人能安全使用这架梯子
【解析】
【分析】（1）AB的长度固定，当∠ABO越大，OA的高度越大，当 时， 取最
大值，此时，根据∠ABO的正弦三角函数计算出OA长度即可；
（2）根据AB=4，OB=1.64，利用∠ABO的余弦函数值，即可求出∠ABO的大小，从而得
到答案．
【小问1详解】
∵
当 时， 取最大值，
在 中， ，
∴ ，
所以梯子顶端 与地面的距离的最大值3.8米．
【小问2详解】
在 中， ，
学科网（北京）股份有限公司，
，
∴ ，
∵ ，
∴人能安全使用这架梯子．
【点睛】本题考查三角函数的应用，属于中考常见考题，利用图形中的直角三角形，建立
三角函数模型是解题的关键．
21. 已知菱形 中， 是边 的中点， 是边 上一点．
（1）如图1，连接 ， ． ， ．
①求证： ；
②若 ，求 的长；
（2）如图2，连接 ， ．若 ， ，求 的长．
【答案】（1）①见解析；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据 可证得： ，即可得出结论；
②连接 ，可证得 是等边三角形，即可求出 ；
（2）延长 交 的延长线于点 ，根据 可证得 ，可得出
， ， ，则 ，即可证得 ，即可
得出 的长．
【小问1详解】
（1）①∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
学科网（北京）股份有限公司②如图，连接 .
∵ 是边 的中点， ，
∴ ，
又由菱形 ，得 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ .
【小问2详解】
如图，延长 交 的延长线于点 ，
由菱形 ，得 ， ，
∴ ， ，
∵ 是边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，而 为公共角.
∴ ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司又∵ ，
∴ .
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，锐角三角函数求线段长度，
全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识点并灵活运用是解题
的关键.
22. 某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的
生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份
的2倍少100吨．
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加 ．5月份每
吨再生纸的利润比上月增加 ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求 的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6
月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了 ．
求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
【答案】（1）4月份再生纸的产量为500吨
（2） 的值20
（3）6月份每吨再生纸的利润是1500元
【解析】
【分析】（1）设3月份再生纸产量为 吨，则4月份的再生纸产量为 吨，然后
根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可；
（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为 ，5月份再生纸的产量为 吨，根据
总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；
【小问1详解】
解：设3月份再生纸产量为 吨，则4月份的再生纸产量为 吨，
由题意得： ，
解得： ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
答：4月份再生纸的产量为500吨；
【小问2详解】
解：由题意得： ，
解得： 或 （不合题意，舍去）
∴ ，
∴ 的值20；
【小问3详解】
解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为 ，5月份再生纸的产量为 吨，
∴
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列
出方程求解是解题的关键．
23. 已知，在 中， ， ，以 为直径的 与 交于点 ，
将 沿射线 平移得到 ，连接 ．
（1）如图1， 与 相切于点 ．
①求证： ；
②求 的值；
（2）如图2，延长 与 交于点 ，将 沿 折叠，点 对的称点 恰好
落在射线 上．
①求证： ；
②若 ，求 的长．
【答案】（1）①见解析；②
（2）①见解析；② 的长为
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）①用切线角定理即可证
②连接 ， ， ，证明 ，利用相似对应边成比例即可得到
（2）①延长 交 于点 ，设 ，利用题目中平移，折叠的对应角相等，
和 用α表示出来，得到 即可
②连接 ，交 于点 ，证明 ，设 ，利用
，算出x；在 中， ，在
中，即可求出 的长
【小问1详解】
①如第23题图1
∵ 沿射线 方向平移得到
∴
∵
∴
方法一：连接 ，
∵ 与 相切于点
∴
∴
∵ ， 为公共边
∴
∴
方法二：∵ 是 的直径
∴ 与 相切于点
∵ 与 相切于点
∴
②如第23题图2
学科网（北京）股份有限公司方法一 ：
过点 作 于点
∴
由（1）已证
∴四边形 是矩形
∴ ，
由（1）已证：
同理可证：
设 ，
在 中，
∴
∴
即
方法二：
图3，连接 ， ，
∵ 与 相切于点 ， 与 相切于点 ， 与 相切于点
∴ ， ， ，
∵
学科网（北京）股份有限公司∴
∴
∴
∴
又∵ 与 相切于点
∴
∴
∴
∴
∴ ，即
∵ 的直径为6
∴
∴
【小问2详解】
①方法一：
如图4
延长 交 于点
设
∵在 中，
∴
∴
∴
∵ 沿射线 方向平移得到 ， 沿 折叠得到
学科网（北京）股份有限公司∴
∴
∴
∴
方法二：
∵ 是 的直径，
∴ ，
设 ，在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 沿射线 方向平移得到 ，
沿 折叠得到 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ .
方法三：
如图，延长 交 于点
∵ 沿射线 方向平移得到
∴ ，
∵ 沿 折叠得到
∴
∴
∴ ，
∵
∴
学科网（北京）股份有限公司∵ 是直径
∴
∵
∴
∴
∴
∴
即
∴
②连接 ，交 于点 ，如图6
∵ 沿 折叠，点 的对称点为
∴ ，
∵ 是 的直径
∴ ，点 恰好落在射线 上
∴
∵ 沿射线 方向平移得到
∴ ，
∴点B在 的延长线上
∴点B， ， 这三点在同一条直线上
而 为 的直径
∴
在 和 中
； ；
∴
学科网（北京）股份有限公司∴
设 ，则
∵
∴
而
∴
∴
∴
解得： ， （不合题意，舍）
∴
在 中，
∴
∴
在 中，
∴
即 的长为
【点睛】本题考查折叠，三角形全等，三角形相似，圆的性质；巧妙构造辅助线，利用上
题目所给条件是本题的关键
24. 已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
直线 由直线 平移得到，与 轴交于点 ．四边形 的四个顶点的坐标分
别为 ， ， ， ．
学科网（北京）股份有限公司（1）填空： ______， ______；
（2）若点 在第二象限，直线 与经过点 的双曲线 有且只有一个交点，求 的
最大值；
（3）当直线 与四边形 、抛物线 都有交点时，存在直线 ，对于
同一条直线 上的交点，直线 与四边形 的交点的纵坐标都不大于它与抛物线
的交点的纵坐标．
①当 时，直接写出 的取值范围；
②求 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）当 时， 可以取得最大值，最大值为2
（3）① 的取值范围为： 或 ；② 的取值范围：
【解析】
【分析】（1）将点 ， 代入函数解析式 得
，解之即可；
（2）设直线 的解析式为 ，将点 和 代入得
，求出直线 的解析式 ；再求出直线 的解析式为 ，
根据反比例函数图象上点的坐标特征得 ，再由直线 与
双曲线有公共点 ，由直线 与双曲线有且只有一个交点得
，进而可求得；
学科网（北京）股份有限公司（3）当直线 与抛物线有交点时，联立直线 与抛物线 的解析
式，得 ，可求得 ；当 时，直线 与抛物线有且
只有一个交点 ；①当 时，四边形 的顶点分别为 ，
， ， ．第一种情况：如第24题图2， 时，直线 与四
边形 ，抛物线 都有交点，且满足直线 与矩形 的交点的纵
坐标都不大于与抛物线 的交点的纵坐标．第二种情况：当直线 经过点
时，如24题图3所示， ，解得， ，当直线 经过点 时，如24题
图4所示得 ， ，最终可得 的取值范围为： 或 ．
②（Ⅰ）当 的值逐渐增大到使矩形 的顶点 在直线 上
时，直线 与四边形 、抛物线 同时有交点，且同一直线 与四边形
的交点的纵坐标都小于它与抛物线的交点的纵坐标，得解得， ．
（Ⅱ）如图24题图5，当 的值逐渐增大到使矩形 的顶点 在这条
开口向上的抛物线上（对称轴左侧）时，存在直线 （即经过此时点 的直线 ）与四边形
、抛物线 同时有交点，且同一直线 与四边形 的交点的纵
坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标， ，解之可求
出m；综合（Ⅰ）到（Ⅱ），得 的取值范围： ．
【小问1详解】
将点 ， 代入函数解析式 得
解得
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ， ；
【小问2详解】
设直线 的解析式为 ，
∵直线 经过 和 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 ： ．
∵直线 平移得到直线 ，且直线 与 轴交于点 ，
∴直线 ： ，
∵双曲线 经过点 ，
∴ ，
∴ ．
∵直线 与双曲线有公共点，
联立解析式得： ，
∴ ，
整理得： ，
∵直线 与双曲线有且只有一个交点，
∴ ，
即 ，
整理得： ，
化简得： ，
∴ ，【注：或得到 】
∵点 在第二象限，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
解得， ．
∴当 时， 可以取得最大值，最大值为2．
【小问3详解】
如24题图1，当直线 与抛物线有交点时，联立直线 与抛物线
的解析式.
得： ，
得： ，
整理得： ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
当 时，直线 ： 与抛物线有且只有一个交点 ．
①当 时，四边形 的顶点分别为 ， ， ，
．
第一种情况：如第24题图2，当直线 经过 时，此时 与 重合.
∴ 时，直线 与四边形 ，抛物线 都有交点，且满足直线 与
矩形 的交点的纵坐标都不大于与抛物线 的交点的纵坐标．
学科网（北京）股份有限公司第二种情况：当直线 经过点 时，如24题图3所示.
，解得， ，
当直线 经过点 时，如24题图4所示
，解得， ，
∴ ，
综上所述， 的取值范围为： 或 ．
②（Ⅰ）当 的值逐渐增大到使矩形 的顶点 在直线 上
时，直线 与四边形 、抛物线 同时有交点，且同一直线 与四边形
的交点的纵坐标都小于它与抛物线的交点的纵坐标．
，
解得， ．
（Ⅱ）如图24题图5，当 的值逐渐增大到使矩形 的顶点 在这条
学科网（北京）股份有限公司开口向上的抛物线上（对称轴左侧）时，存在直线 （即经过此时点 的直线 ）与四边形
、抛物线 同时有交点，且同一直线 与四边形 的交点的纵
坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标．
，
化简，得： ．
解得， （舍）， ，
从（Ⅰ）到（Ⅱ），在 的值逐渐增大的过程中，均存在直线 ，同时与矩形 、抛
物线 相交，且对于同一条直线 上的交点，直线 与矩形 的交点的
纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标．
综上所述， 的取值范围： ．
【点睛】本题考查二次函数与反比例函数、一次函数的综合题，属中考压轴题，难度大，
根据题中条件正确分类是解题关键．
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