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荆州市 2022 年初中学业水平考试数学试题
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 化简a－2a的结果是（ ）
A. －a B. a C. 3a D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据整式的加减运算中合并同类项计算即可；
【详解】解： ；
故选：A．
【点睛】本题主要考查整式加减中的合并同类项，掌握相关运算法则是解本题的关键．
2. 实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是（ ）
A. a与d B. b与d C. c与d D. a与c
【答案】C
【解析】
【分析】互为相反数的两个数（除0在外）它们分居原点的两旁，且到原点的距离相等，根据相反数的含
义可得答案．
【详解】解： 分居原点的两旁，且到原点的距离相等，
互为相反数，
故选C
【点睛】本题考查的是相反数的含义，掌握“互为相反数的两个数在数轴上的分布”是解本题的关键．
3. 如图，直线 ，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1＋∠2的度数是（ ）淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】由AB＝AC，∠BAC＝40°得∠ABC=70°，在由 得 即可求
解；
【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC= （180°-∠BAC）＝ （180°-40°）=70°，
∵
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
4. 从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身高各不相同，其中队
员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（ ）
.
A 平均数 B. 中位数 C. 最大值 D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，只要知道13名队员身高数据的中位数即可判断小明是否入选．
【详解】解：入选规则是个头高则入选，则需要将13名队员的身高进行降序排序，取前7名进行参赛，根
据中位数的概念，知道第7名的成绩，即中位数即可判断小明是否入选；
故选：B．
【点睛】本题主要考查中位数的概念，掌握中位数的概念是解本题的关键．
5. “爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．
若甲、乙的速度比是 ，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则
依题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
【分析】设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，由甲所花的时间加上 小时等于乙所花的时间建
立方程即可．
【详解】解：设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，则
，
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
6. 如图是同一直角坐标系中函数 和 的图象．观察图象可得不等式 的解集为（
）
A. B. 或 C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象进行分析即可得结果；
【详解】解：∵
∴
由图象可知，函数 和 分别在一、三象限有一个交点，交点的横坐标分别为 ，淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
由图象可以看出当 或 时，函数 在 上方，即 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，掌握一次函数和反比例函数图象的性质是解本题的
关键．
7. 关于x的方程 实数根的情况，下列判断正确的是（ ）
A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根
【答案】B
【解析】
【分析】根据根的判别式直接判断即可得出答案．
【详解】解：对于关于x的方程 ，
∵ ，
∴此方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不
相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根． ⇔
8. 如图，以边长为2的等边⇔△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画⇔弧，恰好与BC边相切，分别交AB，
AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
【分析】作AF⊥BC，再根据勾股定理求出AF，然后根据阴影部分的面积= 得出答案．
【详解】过点A作AF⊥BC，交BC于点F．
∵△ABC是等边三角形，BC=2，
∴CF=BF=1．
在Rt△ACF中， ．
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，涉及等边三角形的性质，勾股定理及扇形面积计算等知识，
将阴影部分的面积转化为三角形的面积-扇形的面积是解题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，
，连接AC，过点O作 交AC的延长线于P．若 ，则 的值是（
）
A. B. C. D. 3淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
【答案】C
【解析】
【分析】由 可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为 ，则 为等腰直角形，设OC=x，
OB=2x，用勾股定理求其他线段进而求解．
【详解】∵P点坐标为（1，1），
则OP与x轴正方向的夹角为45°，
又∵ ，
则∠BAO=45°， 为等腰直角形，
∴OA=OB，
设OC=x，则OB=2OC=2x，
则OB=OA=3x，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐标
推出特殊角是解题的关键．
10. 如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，
得到四边形 ；第二次，顺次连接四边形 各边的中点，得到四边形 ；…如此
反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形 的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
【解析】
【分析】利用中位线、菱形、矩形的性质可知，每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，
由此可解．
【详解】解：如图，连接AC，BD， ， ．
∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴ ， ， ．
∵ ， ， ， 分别是矩形四个边的中点，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∵ ， ，
∴四边形 的面积为： ．
同理，由中位线的性质可知，
， ，淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴四边形 的面积为： ．
∴每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，
∴四边形 的面积是 ．
故选:A．
【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的性质以及中位线的性质，证明四边形 是菱形，四边形
是矩形是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 一元二次方程 配方为 ，则k的值是______．
【答案】１
【解析】
【分析】将原方程 变形成与 相同的形式，即可求解．
【详解】解：淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
∴
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．
12. 如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一
个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是______．（只需写一种情况）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得： 证明 再补充两个三角形中的一组相对应的边
相等即可．
【详解】解： ，
所以补充：
△AEG≌△CFH，
故答案为： （答案不唯一）
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质与利用
ASA证明三角形全等”是解本题的关键．
13. 若 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式 的值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】先由 得到 ，进而得出a和b，代入 求解即可．
【详解】解：∵ ，淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
∴ ，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴ ， ．
∴ ，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数
整数和小数部分的求解方法．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接
CD．若 ，则CD＝______．
【答案】
【解析】
【分析】先求解AE，AC，再连结BE，证明 利用勾股定理求解BC，AB，从而可得
答案．
【详解】解： ，淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
如图，连结
由作图可得： 是 的垂直平分线，
故答案为：
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟悉几何基
本作图与基本图形的性质是解本题的关键．
15. 如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶
底面的距离为32cm，则球的半径为______cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
【答案】7.5
【解析】
【分析】如详解中图所示，将题中主视图做出来，用垂径定理、勾股定理计算即可.
【详解】如下图所示，设球的半径为rcm，
则OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm，
∵EG过圆心，且垂直于AD，
∴G为AD的中点，
则AG=0.5AD=0.5×12=6cm，
在 中，由勾股定理可得，
，
即 ，
解方程得r=7.5，
则球的半径为7.5cm．
【点睛】本题考查了主视图、垂径定理和勾股定理的运用，准确做出立体图形的主视图是解题的关键．
16. 规定：两个函数 ， 的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数
与 的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数 （k
为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______．
【答案】 或
【解析】
【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
【详解】解： 函数 （k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，
函数 （k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，
当k=0时，函数解析为 ，它的“Y函数”解析式为 ，它们的图象与x轴只有一个交点，
当 时，此函数是二次函数，
它们的图象与x轴都只有一个交点，
它们的顶点分别在x轴上，
，得 ，
故k+1=0，解得k=-1，
的
故原函数 解析式为 ，
故它的“Y函数”解析式为 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二
次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）
17. 已知方程组 的解满足 ，求k的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】先求出二元一次方程组的解，代入 中即可求k；
【详解】解：令①+②得， ，
解得： ，淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
将 代入①中得， ，
解得： ，
将 ， 代入 得， ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，掌握相关运算法则和方法是解本题的关键．
18. 先化简，再求值：
，其中 ， ．
【答案】 ；
【解析】
【分析】先合并括号里的分式，再将分式各部分因式分解并化简，代值求解即可；
【详解】解：原式=
=
=
=
∵ ， ，
∴ ．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
【点睛】本题主要考查分式的化简并求值，掌握分式化简的相关运算法则是解本题的关键．
19. 为弘扬荆州传统文化，我市将举办中小学生“知荆州、爱荆州、兴荆州”知识竞赛活动．某校举办选
拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，按成绩（百分制）分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完
整的统计图表．
等级 成绩（x） 人数
A m
B 24
C 14
D 10
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中m＝______；扇形统计图中，B等级所占百分比是______，C等级对应的扇形圆心角为______度；
（2）若全校有1400人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为A等级的共有______人；
（3）若全校成绩为100分的学生有甲、乙、丙、丁4人，学校将从这4人中随机选出2人参加市级竞赛．
请通过列表或画树状图，求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．
【答案】（1）12；40%；84
（2）280 （3）
【解析】
【分析】（1）先求出抽查总人数，再求B等级所占百分比、C等级对应的扇形圆心角、m的值；
（2）用1400乘以成绩为A等级的学生人数的占比即可得结果；
（3）根据列表法求概率即可.
【小问1详解】
解：抽查总人数为： （人）；
；淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
B等级所占百分比是： ；
C等级对应的扇形圆心角为 ；
【小问2详解】
（人）；
∴若全校有1400人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为A等级的共有280人；
【小问3详解】
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） (甲，丁)
乙 （甲，乙） （乙，丙） (乙，丁)
丙 （甲，丙） （乙，丙） （丙，丁）
丁 （甲，丁） （乙，丁） (丙，丁)
P（甲、乙两人至少有1人被选中）= ．
【点睛】本题主要考查统计表和扇形统计图、根据样本所占比估计总量、概率的求解，掌握相关计算公式
和概率的求解方法是解题的关键．
20. 如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，
图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
的
（1）在图1中，作出与△ABC全等 所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且
不与△ABC重叠；
（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】对于（1），以AC为公共边的有2个，以AB为公共边的有2个，以BC为公共边的有1个，一共
有5个，作出图形即可；
对于（2），△ABC是等腰直角三角形，以BC为对角线的菱形只有1个，作出图形即可．
【小问1详解】
如图所示．
【小问2详解】淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
如图所示．
【点睛】本题主要考查了作格点三角形和菱形，理解题意是解题的关键．
21. 荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外．如图，某校学生测量其高AB（含底座），先在点C处用测角
仪测得其顶端A的仰角为32°，再由点C向城徽走6.6m到E处，测得顶端A的仰角为45°，已知B，E，C
三点在同一直线上，测角仪离地面的高度CD＝EF＝1.5m，求城徽的高AB．（参考数据：
， ， ）
【答案】城徽的高AB约为 米．
【解析】
【分析】如图，延长DF交AB于M，由题意可得： 所以四
边形BMFE，四边形EFCD，四边形BMDC都为矩形；设 再表示 再利用锐角的正切建立方淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
程，解方程即可．
【详解】解：如图，延长DF交AB于M，由题意可得：
所以四边形BMFE，四边形EFCD，四边形BMDC都为矩形；
设 而
由
解得： 经检验符合题意，
所以
答：城徽的高AB约为 米．
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解
本题的关键．
22. 小华同学学习函数知识后，对函数 通过列表、描点、连线，画出了如图1所
示的图象．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … 1 2 4 1 0 －4 －2 －1 …
请根据图象解答：
（1）【观察发现】①写出函数的两条性质：______；______；②若函数图象上的两点 ，
满足 ，则 一定成立吗？______．（填“一定”或“不一定”）
（2）【延伸探究】如图2，将过 ， 两点的直线向下平移n个单位长度后，得到直线l与
函数 的图象交于点P，连接PA，PB．
①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；
②直接用含n的代数式表示△PAB的面积．
【答案】（1）①当x>0时，y随x的增大而减小； 两段图象关于原点对称；（答案不唯一）
②不一定； （2）①y=-x+3； ；② ．
【解析】
【分析】（1）①直接观察图象写出两条性质即可（答案不唯一）；②不成立举出反例即可；
（2）求出AB所在直线解析式，利用函数图象平移规律即可求得直线l的解析式；求解△PAB的面积时，以淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
AB为底边，设直线AB与y轴交点记为C，如详解中图所示，过点C向直线l作垂线，垂足记为Q，因为平
行线之间的距离处处相等，所以AB边上的高为CQ，表示出CQ即可求出三角形面积．
【小问1详解】
①观察函数图像可得其性质：当x>0时，y随x的增大而减小； 两段图象关于原点对称；
②不一定，当 时， ，当 时， ，此时 ；
【小问2详解】
①设AB所在直线解析式为：y=kx+b，
将 ， 代入得， ，
解方程组得 ，
则AB所在直线解析式为：y=-x+3，
∵n=3，向下平移三个单位后，
直线l解析式为：y=-x，
如下图所示，设直线AB与y轴交点记为C，则C点坐标为（0，3），
过点C向直线l作垂线，垂足记为Q，
易知直线l过原点，且k=-1，
∴直线AB、直线l与x轴负方向夹角都为45°，
则∠COQ=90°-45°=45°，且OC=3，
在等腰直角 中，CQ=OCsin45°= ，
则A、B两点之间距离为 ，
在 中以AB为底边，因为平行线之间的距离处处相等，所以AB边上的高为CQ= ，
则 ，淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
故直线l的解析式为y=-x+3，△PAB的面积为 ；
②如下图所示，直线l与y轴交点记为D，则CD的长度即为向下平移的距离n，
由①知 为等腰直角三角形，
则 ，
．
【点睛】本题考查了函数的图象、待定系数法求一次函数解析式、函数与三角形结合、函数图象平移等知
识点，题目比较综合，根据平行线之间垂线段处处相等，寻找到 中AB边上的高是解题的关键．
23. 某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售
量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24－x，第
一年除60万元外其他成本为8元/件．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
（2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他
成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则
第二年利润最少是多少万元？
【答案】（1）
（2）①第一年的售价为每件16元，②第二年的最低利润为 万元．
【解析】
【分析】（1）由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，从而可得答案；
（2）①把 代入（1）的函数解析式，再解方程即可，②由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数
量，再减去投资成本，列函数关系式，再利用二次函数的性质求解利润范围即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得：
【小问2详解】
①由（1）得：当 时，
则 即
解得：
即第一年的售价为每件16元，
② 第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，
解得：
其他成本下降2元/件，
∴淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
对称轴为
当 时，利润最高，为77万元，而
当 时， （万元）
当 时， （万元）
所以第二年的最低利润为 万元．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，二次函数的性质，理解题意，列出函数关系式，再利用二次
函数的性质解题是关键．
24. 如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点O是边AB上一个动点（不与点A重合），连接OD，将
△OAD沿OD折叠，得到△OED；再以O为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线AB于G，连接AE并延
长交射线BC于F，连接EG，设OA＝x．
（1）求证：DE是半圆O的切线；
（2）当点E落在BD上时，求x的值；
（3）当点E落在BD下方时，设△AGE与△AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关系式；
（4）直接写出：当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
（4） 或
【解析】
【分析】（1）根据切线的判定定理求解即可；
（2）如图，在 ，根据勾股定理列方程求解即可；
（3）先证 ，求出AE，然后证明 ，根据相似三角形面积比等于相似比的
平方即可求解；
（4）结合图形，分情况讨论即可求出x的取值范围．
【小问1详解】
证明：在矩形ABCD中， ，
△OED是△OAD沿OD折叠得到的，
，即 ，
DE是半圆O的切线；
【小问2详解】
解： △OED是△OAD沿OD折叠得到的，
，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
，解得 ，
答：x的值为 ．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
【小问3详解】
解：在 中， ，
△OED是△OAD沿OD折叠得到的，
，
是 的直径，
，即 ，
，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
（ ）淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
【小问4详解】
解：由（2）知，当E 在DB上时， ，
如图，当点E在DC上时， ，
∴当 时，半圆O与△BCD的边有两个交点；
当半圆O经过点C时，半圆O与△BCD的边有两个交点，
连接OC，在 中， ，
，
，解得 ，
∴当 时，半圆O与△BCD的边有两个交点；淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
综上所述，当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围为： 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称，勾股定理，切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，直径
所对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质是解本题的关键．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
