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2022 年湖北省鄂州市初中毕业生学业水平考试数学真题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）
1. 实数9的相反数等于（ ）
A. ﹣9 B. +9 C. D. ﹣
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，进行求
解即可．
【详解】解：实数9的相反数是-9，
故选A．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟知相反数的定义是解题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. b+b2＝b3 B. b6÷b3＝b2 C. （2b）3＝6b3 D. 3b﹣2b＝b
【答案】D
【解析】
【分析】根据积的乘方“把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”，合并同类项“把同类项的系
数相减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变”，同底数幂的除法“底数不变，指数相减”进行
计算即可得．
【详解】解：A、 ，选项说法错误，不符合题意；
B、 ，选项说法错误，不符合题意；
C、 ，选项说法错误，不符合题意；
D、 ，选项说法正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，解题的关键是掌握这些知识点．
3. 孙权于公元221年4月自公安“都鄂”，在西山东麓营建吴王城，并取“以武而昌”之意，改鄂县为武
昌，下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，进行解答即可得．
【详解】解：A、“以”不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意；
B、“武”不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意；
C、“而”不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意；
D、“昌”是轴对称图形，选项说法正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念．
4. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体组成，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据从正面看到的图形是主视图，即可得．
【详解】解：从前面看，第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边1个小正方形，
故选A．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是掌握从正面看到的图形是主视图．
5. 如图，直线l l，点C、A分别在l、l 上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l 于点B，连接
1 2 1 2 1
AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（ ）A. 10° B. 15° C. 20° D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】由作图得 为等腰三角形，可求出 ，由l l 得 ，从而可得结论．
1 2
【详解】解：由作图得， ，
∴ 为等腰三角形，
∴
∵∠BCA＝150°，
∴
∵l l
1 2
∴
故选B
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，求出 是解答本题
的关键．
6. 生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的
情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝
16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律进而得出答案．
【详解】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，
∴尾数每4个一循环，
∵2022÷4＝505……2，∴22022的个位数字应该是：4．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键．
7. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与
直线y＝ x都经过点A（3，1），当kx+b＜ x时，x的取值范围是（ ）
A. x＞3 B. x＜3 C. x＜1 D. x＞1
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式kx+b＜ x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围求解
即可
【详解】解：由函数图象可知不等式kx+b＜ x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量
的取值范围，
∴当kx+b＜ x时，x的取值范围是 ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用图象法解不等式是解题的关键．
8. 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两
个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的
大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB
是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A. 10cm B. 15cm C. 20cm D. 24cm
【答案】C
【解析】
【分析】连接OA，OE，设OE与AB交于点P，根据 ， ， 得四边形ABDC
是矩形，根据CD与 切于点E，OE为 的半径得 ， ，即 ， ，
根据边之间的关系得 ， ，在 ，由勾股定理得，
，进行计算可得 ，即可得这种铁球的直径．
【详解】解：如图所示，连接OA，OE，设OE与AB交于点P，
∵ ， ， ，
∴四边形ABDC是矩形，
∵CD与 切于点E，OE为 的半径，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵AB=CD=16cm，∴ ，
∵ ，
在 ，由勾股定理得，
解得， ，
则这种铁球的直径＝ ，
故选C．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
9. 如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图像顶点为P（1，m），经过点A（2，
1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数
t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定a、b、c的正负即可
解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．
的
【详解】解：①由抛物线 开口方向向下，则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m）
∴ ，b=-2a∵a＜0
∴b＞0
∵抛物线与y轴的交点在正半轴
∴c＞0
∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（2，1）
∴1＝a·22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正确；
④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下
∴x>1时，y随x的增大而减小，即④正确；
⑤∵a＜0
∴at2+bt-（a+b）
= at2-2at-a+2a
= at2-2at+a
=a（t2-2t+1）
= a（t-1）2≤0
∴at2+bt≤a+b，则⑤正确
综上，正确的共有4个．
故答案为C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为
解答本题的关键．
10. 如图，定直线MN PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC=12，BC在两直线间运动过程中
始终有∠BCQ=60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE BC DF，AE=4，DF=8，
AD=24 ，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（ ）
A. 24 B. 24 C. 12 D. 12
【答案】C
【解析】【分析】如图所示，过点F作 交BC于H，连接EH，可证明四边形CDFH是平行四边形，得到
CH=DF=8，CD=FH，则BH=4，从而可证四边形ABHE是平行四边形，得到AB=HE，即可推出当E、F、
H三点共线时，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF，延长AE交PQ于G，过点E作ET⊥PQ于
T，过点A作AL⊥PQ于L，过点D作DK⊥PQ于K，证明四边形BEGC是平行四边形，
∠EGT=∠BCQ=60°，得到EG=BC=12，然后通过勾股定理和解直角三角形求出ET和TF的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点F作 交BC于H，连接EH，
∵ ，
∴四边形CDFH是平行四边形，
∴CH=DF=8，CD=FH，
∴BH=4，
∴BH=AE=4，
又∵ ，
∴四边形ABHE是平行四边形，
∴AB=HE，
∵ ，
∴当E、F、H三点共线时，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF，
延长AE交PQ于G，过点E作ET⊥PQ于T，过点A作AL⊥PQ于L，过点D作DK⊥PQ于K，
∵ ，
∴四边形BEGC是平行四边形，∠EGT=∠BCQ=60°，
∴EG=BC=12，
∴ ，
同理可求得 ， ，
∴ ，
∵AL⊥PQ，DK⊥PQ，
∴ ，
∴△ALO∽△DKO，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，
正确作出辅助线推出当E、F、H三点共线时，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）
11. 化简： = .
【答案】２
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算
术平方根， 特别地，规定0的算术平方根是0.
【详解】∵22=4，∴ =2.
【点睛】本题考查求算术平方根，熟记定义是关键.
12. 为了落实“双减”，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动．6名选手投中篮圈的
个数分别为2，3，3，4，3，5，则这组数据的众数是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数进行求解即可．
【详解】解：2，3，3，4，3，5这组数据中，3出现了3次，出现的次数最多，
∴2，3，3，4，3，5这组数据的众数为3，故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了求一组数据的众数，熟知众数的定义是解题的关键．
13. 若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则 的值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程 的两个实数根，利用根与系数的关系
得到a+b=4，ab=3，再根据 进行求解即可．
【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，
∴可以把a、b看做是一元二次方程 的两个实数根，
∴a+b=4，ab=3，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系
是解题的关键．
14. 中国象棋文化历史久远．某校开展了以“纵横之间有智意 攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化
节，如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“帥”位于点（﹣1，﹣2），“馬”位
于点（2，﹣2），那么“兵”在同一坐标系下的坐标是_____．【答案】（-3，1）
【解析】
【分析】根据“帥”和“马”的坐标建立正确的坐标系即可得到答案．
【详解】解：由题意可建立如下平面直角坐标系，
∴“兵”的坐标是（-3，1），
故答案为：（-3，1）．
【点睛】本题主要考查了坐标的实际应用，正确建立坐标系是解题的关键．
15. 如图，已知直线y＝2x与双曲线 （k为大于零的常数，且x＞0）交于点A，若OA= ，则k的
值为 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】设点A的坐标为（m，2m），根据OA的长度，利用勾股定理求出m的值即可得到点A的坐标，
由此即可求出k．
【详解】解：设点A的坐标为（m，2m），
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴点A的坐标为（1，2），∴ ，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，正确求出点A的坐标是解题的关键．
16. 如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若
BD=CE=2，则△ABP的周长为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，过点E作EF⊥AB于F，先解直角三角形求出AF，EF，从而求出BF，利用勾股定理
求出BE的长，证明△ABD≌△BCE得到∠BAD=∠CBE，AD=BE，再证明△BDP∽△ADB，得到
，即可求出BP，PD，从而求出AP，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点E作EF⊥AB于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，
∵CE=BD=2，AB=AC=6，
∴AE=4，
∴ ，
∴BF=4，
∴ ，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，
又∵∠BDP=∠ADB，
∴△BDP∽△ADB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴△ABP的周长 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等
三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共计72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
.
17 先化简，再求值： ﹣ ，其中a＝3．
【答案】 ，2【解析】
【分析】先根据同分母分式的减法计算法则化简，然后代值计算即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知同分母分式的减法计算法则是解题的关键．
18. ．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行了“青年大学习，强国有我”知识竞赛活动．李
老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分，均为整数），按成绩划分为A、B、C、D四个等级，并
制作了如下统计图表（部分信息未给出）：
等级 成绩x/分 人数
A 90≤x≤100 15
B 80≤x＜90 a
C 70≤x＜80 18
D x＜70 7
（1）表中a＝ ，C等级对应的圆心角度数为 ；
（2）若全校共有600名学生参加了此次竞赛，成绩A等级的为优秀，则估计该校成绩为A等级的学生共
有多少人？
（3）若A等级15名学生中有3人满分，设这3名学生分别为T，T，T，从其中随机抽取2人参加市级决
1 2 3
赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到T，T 的概率．
1 2【答案】（1）60；108°；
（2）150 （3）树状图见解析，
【解析】
【分析】（1）先根据A等级的人数和人数占比求出此次抽取的学生人数，即可求出a的值；用360度乘以
C等级的人数占比即可求出C等级对应的圆心角度数；
（2）用600乘以样本中A等级的人数占比即可得到答案；
（3）先画树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求
解即可．
【小问1详解】
解： 人，
∴此次抽取的学生人数为60人，
∴ ，
∴C等级对应的圆心角度数为 ，
故答案为：60；108°；
【小问2详解】
解： 人，
∴估计该校成绩为A等级的学生共有150人，
答：估计该校成绩为A等级的学生共有150人；
【小问3详解】
解：画树状图如下：由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中抽到T，T 的结果数有2种，
1 2
∴恰好抽到T，T 的概率为 ．
1 2
【点睛】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率，正确读
懂统计图、统计表是解题 的关键．
19. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD．
（1）求证：DF=CF；
（2）若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证明△DCF≌ DCO得到DF=DO，CF=CO，再由矩形的性质证明OC=OD，即可证明
DF=CF=OC=OD； △
（2）由全等三角形的性质得到∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=6，即可证明△OCD是等边三角形，得到
CD=OD=6，然后解直角三角形BCD求出BC的长即可得到答案．
【小问1详解】
解：在△DCF和△DCO中，
，∴△DCF≌△DCO（ASA），
∴DF=DO，CF=CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∴DF=CF=OC=OD；
【小问2详解】
解：∵△DCF≌△DCO，
∴∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=6，
又∵OD=OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD=OD=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判
定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
20. 亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，
很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜
坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米（点E、G、C、B
在同一水平线上）．求：
（1）两位市民甲、乙之间的距离CD；
（2）此时飞机的高度AB，（结果保留根号）【答案】（1） 米
（2） 米
【解析】
【分析】（1）先根据斜坡CF的坡比=1：3，求出CG的长，然后利用勾股定理求出CD的长即可；
（2）如图所示，过点D作DH⊥AB于H，则四边形BHDG是矩形，BH=DG=30米，DH=BG，证明
AB=BC，设AB=BC=x米，则 米， 米，解直
角三角形得到 据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵斜坡CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米，
∴ ，
∴ 米，
∴ 米；
【小问2详解】
解：如图所示，过点D作DH⊥AB于H，则四边形BHDG是矩形，
∴BH=DG=30米，DH=BG，
∵∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，
设AB=BC=x米，则 米， 米，
在Rt△ADH中， ，
∴ ，
解得 ，∴ 米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确理解题意作出辅
助线是解题的关键．
21. 在“看图说故事”话动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了
一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系
如图所示：
（1）小明家离体育场的距离为 km，小明跑步的平均速度为 km/min；
（2）当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式；
（3）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间．
【答案】（1）2.5； ；
（2）
（3）当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或37.5min
【解析】
【分析】（1）根据函数图象结合路程=时间×速度进行求解即可；
（2）分当 时和当 时两种情况讨论求解即可；的
（3）分当小明处在去体育馆 途中离家2km时，当小明从体育馆去商店途中离家2kn时两种情况讨论求
解即可．
【小问1详解】
解：由函数图象可知小明在离家15分钟时到底体育馆，此时离家的距离为2.5km，
∴小明家离体育馆的距离为2.5km，小明跑步的平均速度为 ，
故答案为：2.5； ；
【小问2详解】
解：由函数图象可知当 时， ，
当 时，此时y是关于x一次函数，设 ，
∴ ，
解得 ，
∴此时 ，
综上所述，
【小问3详解】
解：当小明处在去体育馆的途中离家2km时，
；
当小明从体育馆去商店途中离家2km时，∴ ，
解得 ；
综上所述，当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或37.5min．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．
22. 如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交
PC的延长线于点D．
（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC＝4，tanA＝ ，求△OCD的面积．
【答案】（1）PC与⊙O相切，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明∠ACB=90°，然后推出∠PCB=∠OCA，即可证明∠PCO=90°即可；
（2）先证明 ，再证明△PBC∽△PCA，从而求出 ，AB=3， ，
，最后证明△PBC∽△POD，求出 ，则CD=6，由此求解即可．
【小问1详解】
解：PC与⊙O相切，理由如下：
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCB+∠OCA=90°，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，
∵∠PCB=∠OAC，
∴∠PCB=∠OCA，
∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，
∴PC与⊙O相切；
【小问2详解】
解：∵∠ACB=90°， ，
∴ ，
∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCA，
∴ ，
∴ ，
∴AB=6，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴△PBC∽△POD，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴CD=6，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边对等角证明，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，相似
三角形的性质与判定等等，熟练掌握圆切线的判定是解题的关键．23. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类
型图象上任意一点M到定点 F（0， ）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣ 上的距离MN
（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣ 叫做抛物线的
准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝ x2，其焦点坐标为F（0，
），准线方程为l：y＝﹣ ．其中MF=MN，FH=2OH=1．
（1）【基础训练】
请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程： ， ．
（2）【技能训练】
如图2所示，已知抛物线y＝ x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
（3）【能力提升】
如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝
2BF，AF＝4，求a的值；
（4）【拓展升华】
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分
为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足： ＝ ＝．后人把 这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝ x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分
割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当 ＝ 时，请直接写出△HME的面积值．
【答案】（1）（0， ）， ，
（2） ，4）或（ ，4 ）
（3）
（4） 或
【解析】
【分析】（1）根据交点和准线方程的定义求解即可；
（2）先求出点P的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；
（3）如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，证明△FDB∽△FHC，推出 ，
则 ，点B的纵坐标为 ，从而求出 ，证明△AEF∽△BDF，即可求出
点A的坐标为（ ， ），再把点A的坐标代入抛物线解析式中求解即可；
（4）如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF，
先证明△MNH是等腰直角三角形，得到NH=MN，设点M的坐标为（m， ），则，求出 ，然后根据黄金分割点的定义求出 ，则
；同理可求当点E是靠近H的黄金分割点时△HME的面积．
【小问1详解】
解：由题意得抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程分别为（0， ）， ，
故答案为：（0， ）， ，
【小问2详解】
解：由题意得抛物线y＝ x2的准线方程为 ，
∵点P到准线l的距离为6，
∴点P的纵坐标为4，
∴当 时， ，
解得 ，
的
∴点P 坐标为（ ，4）或（ ，4 ）；
【小问3详解】
解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，
由题意得点F的坐标为F（0， ）直线l的解析式为：y＝﹣ ，
∴ ， ，
∴△FDB∽△FHC，
∴ ，∵BC=2BF，
∴CF=3BF，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点B的纵坐标为 ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴ ，
∵ ，
∴△AEF∽△BDF，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴EF=2，
∴ ，∴点A的坐标为（ ， ），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 （负值舍去）；
【小问4详解】
解：如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF，
∵在Rt△MNH中， ，
∴∠MHN=45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴NH=MN，
设点M的坐标为（m， ），
∴ ，
∴ ，
∴HN=2，
∵点E是靠近点F的黄金分割点，∴ ，
∴ ；
同理当E时靠近H的黄金分割点点， ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 或
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性
质与判定，黄金分割等，正确理解题意是解题的关键．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA=6，斜边OB=10，点
P为线段AB上一动点．
（1）请直接写出点B的坐标；
（2）若动点P满足∠POB=45°，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点
为A'，当PA'⊥OB时，求此时点P的坐标；（4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF=2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段
FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．
【答案】（1）（8，6）
（2）（ ，6）
（3）（ ，6）
（4）OG的最小值为4，线段FP扫过的面积为
【解析】
【分析】（1）由勾股定理即可求解；
（2）连接OP，过点P作PQ⊥OB于点Q，因为∠POB=45°，所以PQ=OQ，设PQ=OQ=x，则BQ=10-x，
根据tanB的值，即可求得x的值，再利用勾股定理，即可求解；
（3）令PA'交OB于点D，由点E为线段OB的中点，可得 ，
，利用折叠的性质、正切函数、勾股定理，即可求解；
（4）当以点F为圆心，OF的长为半径画圆，与AB的交点即为点P，再将线段FP绕点F顺时针方向旋转
60°得线段FG，此时OG最小，利用三角函数、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式，即可求解．
【小问1详解】
解：在Rt△OAB中， ，
∴点B的坐标为（8，6）；
【小问2详解】
解：连接OP，过点P作PQ⊥OB于点Q，如图，∵∠POB=45°，
∴∠OPQ=45°，
∴∠POB=∠OPQ，
∴PQ=OQ，
设PQ=OQ=x，则BQ=10-x，
在Rt△OAB中， ，
在Rt△BPQ中， ，
解得 ，
∴ ，
在Rt△POQ中， ，
在Rt△AOP中， ，
∴点P的坐标为（ ，6）；
【小问3详解】
解：令PA'交OB于点D，如图，∵点E为线段OB的中点，
∴ ， ，
∵ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质，可得 ， ，
∴ ，
在Rt△ 中， ，即 ，
解得 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P的坐标为（ ，6）；
【小问4详解】解：以点F为圆心，OF的长为半径画圆，与AB的交点即为点P，再将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°
得线段FG，连接OG，此时OG最小，如图，
由题可知， ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴OG的最小值为4，
∴线段FP扫过的面积= ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角函数、直角三角形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性
质、扇形的面积公式．
