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鄂州市 2023 年初中学业水平考试
数学试题
学校：___________ 考生姓名：___________ 准考证号：___________
注意事项：
1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘
贴在答题卡上的指定位置．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上无效．
4．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试卷上无
效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
·祝考试顺利·
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）
1. 10的相反数是（ ）
A. －10 B. 10 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义直接求解．
【详解】解：10的相反数是－10．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答本题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的加法，同底数幂的乘除法，幂的乘方这些公式进行运算即可．
【详解】A选项， 和 不是同类项，不能合并，故不符合题意；
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B选项， ，正确，故符合题意；
C选项， ，不正确，故不符合题意；
D选项， ，不正确，故不符合题意．
故选：B
【点睛】本题考查整式的运算，属于基础题，熟练掌握同底数幂的加法，同底数幂的乘除法，幂的乘方这
些运算法则是解题的关键．
3. 中华鲟是地球上最古老的脊椎动物之一，距今约有140000000年的历史，是国家一级保护动物和长江珍
稀特有鱼类保护的旗舰型物种，3月28日是中华鲟保护日，有关部门进行放流活动，实现鱼类物种的延续
并对野生资源形成持续补充．将140000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n是
正数；当原数的绝对值 时，n是负数．
【详解】解：
故选B．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
4. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论．
【详解】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意；
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圆柱的主视图是矩形，不符合题意；
圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
球体的主视图是圆，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
的
5. 如图，直线 ， 于点E．若 ，则 度数是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】延长 ，与 交于点 ，根据平行线的性质，求出 的度数，再直角三角形的两锐角
互余即可求出 ．
【详解】解：延长 ，与 交于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解题的
关键．
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6. 已知不等式组 的解集是 ，则 （ ）
A. 0 B. C. 1 D. 2023
【答案】B
【解析】
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得 ，再结合已知可得 ，
，然后进行计算可求出 ， 的值，最后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴原不等式组的解集为： ，
∵不等式组的解集是 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7. 象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使
棋子“帅”位于点 的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解
析式为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用待定系数法求解一次函数即可得解．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，可得“马”所在的点 ，
设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为 ，
∵ 过点 和 ，
∴ ，
解得 ，
∴经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为 ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法式解题的关键．
8. 如图，在 中， ， ， ，点 为 的中点，以 为圆心，
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长为半径作半圆，交 于点 ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接 ， ，作 交 于点 ，首先根据勾股定理求出 的长度，然后利用解
直角三角形求出 、 的长度，进而得到 是等边三角形， ，然后根据 角直
角三角形的性质求出 的长度，最后根据 进行计算即可．
【详解】解：如图所示，连接 ， ，作 交 于点
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵点 为 的中点，以 为圆心， 长为半径作半圆，
∴ 是半圆的直径，
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∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了 角直角三角形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾
股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
9. 如图，已知抛物线 的对称轴是直线 ，且过点 ，顶点在第一象限，
其部分图象如图所示，给出以下结论：① ；② ；③ ；④若 ，
（其中 ）是抛物线上的两点，且 ，则 ，其中正确的选项是（ ）
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A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的性质可得 ， ， ，可判断结论①；由 处的函数值可判断结
论②；由 处函数值可判断结论③；根据 得到点 到对称轴的距离小于点
到对称轴的距离可判断结论④．
【详解】解：二次函数开口向下，则 ，
二次函数对称轴为 ，则 ， ， ，
∴ ，故①正确；
∵过点 ，
∴由对称性可得二次函数与 轴的另一交点为 ，
由函数图象可得 时 ，
，故②正确；
时 ，
，
代入得： ，故③错误；
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∵对称轴是直线 ，
∴若 ，即 时， ，
∴当 时，
点 到对称轴的距离小于点 到对称轴的距离
∵二次函数开口向下
∴ ，故④正确．
综上所述，正确的选项是①②④．
故选： D．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中， 为原点， ，点 为平面内一动点， ，连接
，点 是线段 上的一点，且满足 ．当线段 取最大值时，点 的坐标是（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得点 在以点 为圆心， 为半径的 上，在 轴的负半轴上取点 ，连
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接 ，分别过 、 作 ， ，垂足为 、 ，先证 ，得
，从而当 取得最大值时， 取得最大值，结合图形可知当 ， ， 三点共线，
且点 在线段 上时， 取得最大值，然后分别证 ， ，利用相似三
角形的性质即可求解．
【详解】解：∵点 为平面内一动点， ，
∴点 在以点 为圆心， 为半径的 上，
在 轴的负半轴上取点 ，连接 ，分别过 、 作 ， ，垂足为 、
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
10【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 取得最大值时， 取得最大值，结合图形可知当 ， ， 三点共线，且点 在线段 上时，
取得最大值，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 轴 轴， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
11【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ 即 ，
解得 ，
同理可得， ，
∴ 即 ，
解得 ，
∴ ，
∴当线段 取最大值时，点 的坐标是 ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握
相似三角形的判定及性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）
11. 计算： =_______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据算术平方根的概念求解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的
算术平方根，由此即可求出结果．
【详解】解：原式= =4．
故答案为4．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
12. 为了加强中学生“五项管理”，葛洪学校就“作业管理”、“睡眠管理”、“手机管理”、“读物管
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理”、“体质管理”五个方面对各班进行考核打分（各项满分均为100），九（1）班的五项得分依次为
95，90，85，90，92，则这组数据的众数是___________．
【答案】90
【解析】
【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据．
【详解】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中90出现2次，出现的次数最多，故这组
数据的众数为90．
故答案为：90．
【点睛】本题考查了众数，众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，注意：在一组数据中，众数可能
不止一个．
13. 实数m，n分别满足 ，且 ，则 的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用根与系数的关系进行求解即可．
【详解】解：由题可知，m和n是 的两个根，
所以 ，
所以 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握“若一元二次方程
的两个根分别为 和 ，则 ”．
14. 如图，在平面直角坐标系中， 与 位似，原点O是位似中心，且 ．若 ，
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则 点的坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．
【详解】解∶设
∵ 与 位似，原点 是位似中心，且 ．若 ，
∴位似比为 ，
∴ ，
解得 ， ，
∴
故答案为：
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线 （其中 ）相交于 ，
两点，过点B作 轴，交y轴于点P，则 的面积是___________．
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【答案】
【解析】
【分析】把 代入到 可求得 的值，再把 代入双曲线函数的表达式中，可求得
的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】∵直线 与双曲线 （其中 ）相交于 ， 两点，
∴
∴ ，
∴双曲线的表达式为： ， ，
∵过点 作 轴，交 轴于点 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上
点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．
16. 2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会
徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直
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角三角形（ ）拼成“赵爽弦图”，得到正方形 与
正方形 ，连接 和 ， 与 、 、 分别相交于点P、O、Q，若 ，
则 的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】设 ， ，则 ，证明 ，利用相似三角形的
性质求出 ，可得 ， ，利用勾股定理求出 和 ，进而可得 的长，
再证明 ，可得 ，然后根据正方形的性质求出 ，即可得出答
案．
【详解】解：设 ， ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，
解得： ， （舍去），
即 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
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∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解
一元二次方程以及二次根式的混合运算等知识，证明 ，求出 的长是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，17~21题每题8分，22~23每题10分，24题12分，共计72
分）
17. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】根据题意，先进行同分母分式加减运算，再将 代入即可得解．
【详解】解：原式
，
当 时，原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减，约分等相关计算法则是解决本题的关键．
18. 如图，点E是矩形 的边 上的一点，且 ．
18【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）尺规作图（请用 铅笔）：作 的平分线 ，交 的延长线于点F，连接 ．（保留
作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形 的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形 是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出 ，结合角平分线的定义可得 ，
则 ，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
四边形 是菱形；
理由：∵矩形 中， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴平行四边形 是菱形．
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【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形
的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
19. 为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织
了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨
快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，
请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）九（1）班共有________名学生；
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角的大小为________；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相
同主题的概率．
【答案】（1）50；（2）见解析；（3）108°；（4）
【解析】
【分析】（1）用B组频数除以所占百分比即可求解；
（2）用50减去A、B、C组频数，求出D组频数，即可补全折线统计图；
（3）用360°乘以D组所占百分比即可求解；
（4）列表得出所有等可能结果，根据概率公式即可求解．
【详解】（1）20÷40%=50（人），
故答案为：50；
（2）50-10-20-5=15（人），
补全折线统计图如图：
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；
（3） ，
故答案为： ；
（4）列表如下：
小明
A B C D
小丽
A
B
C
D
由列表可知，一共有16种等可能的结果，他们选择相同主题的结果有4种，
所以P（相同主题） ．
【点睛】本题考查了折线统计图与扇形统计图，求概率等知识，理解两幅统计图提供的公共信息是解题第
（1）（2）（3）步关键，列表得出所有等可能的结果是解题第（4）步关键．
20. 鄂州市莲花山是国家 级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅
游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备
从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平
方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为 ；接着他沿自动扶梯
到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且 ；然后他从D点又沿水
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平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为 ．（图上各点均在同一个平面内，且
G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线， ， ）．
（1）求自动扶梯 的长度；
（2）求大型条幅 的长度．（结果保留根号）
【答案】（1）25米 （2） 米
【解析】
【分析】（1）过D作 于M，由 可得 ，求出 的长，利用勾股定
理即可求解；
（2）过点D作 于N，则四边形 是矩形，得 ， ，由已知计算得
出 的长度，解直角三角形得出 的长度，在 中求得 的长度，利用线段的和差，即可解
决问题．
【小问1详解】
解：过D作 于M，如图：
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在 中， ，
∵ (米)，
∴ (米)，
由勾股定理得 (米)
【小问2详解】
如图，过点D作 于N，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ (米)， (米)，
由题意， (米)，
∵ ，
∴ ，
∴ (米)， （米），
由题意， ， (米)，
23【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴ (米)，
∴ 米
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，熟练掌
握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21. 1号探测气球从海拔 处出发，以 的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处
出发，以 的速度竖直上升．两个气球都上升了 ．1号、2号气球所在位置的海拔 ， （单
位：m）与上升时间x（单位： ）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1） ___________， ___________；
的
（2）请分别求出 ， 与x 函数关系式；
（3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为 ？
【答案】（1） ，30
（2） ， ；
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据1号探测气球的出发海拔和速度即可计算b的值，根据b的值、2号探测气球的出发海
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拔和运动时间可计算2号探测气球的速度可计算a的值；
（2）由（1）可得 与 函数图象的交点坐标为 ，分别代入计算即可；
（3）由题意可得 或 ，分别计算即可．
【小问1详解】
解： ， ，
故答案为： ，30；
【小问2详解】
由（1）可得 与 函数图象的交点坐标为 ，
设 ， ，
将 分别代入可得： ，
解得： ， ，
∴ ， ；
【小问3详解】
由题意可得 或 ，
当 时， ，
解得 ，
当 时， ，
解得 ，
∴当上升 或 时，两个气球的海拔竖直高度差为 ．
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【点睛】本题考查了一次函数的应用，从图中获取信息是解题的关键．
22. 如图， 为 的直径，E为 上一点，点C为 的中点，过点C作 ，交 的延长
线于点D，延长 交 的延长线于点F．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据弦、弧、圆周角的关系可证 ，根据圆的性质得
，证明 ，得到 ，根据切线的判定定理证明；
的
（2）连接 ， ，根据勾股定理得到 长，根据等弧对等弦得到 ，根据圆
内接四边形对角互补得 ，推出 ，证明 ，利用相
似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：连接 ，
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∵点C为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴ ，
∴ ，
∵ 为半径，
∴ 为 切线；
【小问2详解】
解：连接 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
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∴ ，
∵D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径长为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题
的关键．
23. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究 型抛物线图象．发现：如图1所示，该类
型图象上任意一点P到定点 的距离 ，始终等于它到定直线l： 的距离 （该结
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论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线， 叫做抛物线的准线方
程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为 的中点， ．例如，抛物线 ，其
焦点坐标为 ，准线方程为l： ，其中 ， ．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线 的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线 上一点 到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求
点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线 的焦点为F，准线方程为l．直线m： 交y轴于点C，抛物
线上动点P到x轴的距离为 ，到直线m的距离为 ，请直接写出 的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线 平移至 ．抛物线
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内有一定点 ，直线l过点 且与x轴平行．当动点P在
该抛物线上运动时，点P到直线l的距离 始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛
物线 上的动点P到点 的距离等于点P到直线l： 的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
（4）如图4，点 是第二象限内一定点，点P是抛物线 上一动点，当 取最
小值时，请求出 的面积．
【答案】（1） ， ；
（2） ；
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；
（2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得 ，然后根据 ，求出 ，
进而可得 ，问题得解；
（3）过点 作 直线 交于点 ，过点 作 准线 交于点 ，结合题意和（1）中结论可知
， ，根据两点之间线段最短可得当 ， ， 三点共线时， 的值最小；
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待定系数法求直线 的解析式，求得点 的坐标为 ，根据点 是直线 和直线m的
交点，求得点 的坐标为 ，即可求得 和 的值，即可求得；
（4）根据题意求得抛物线 的焦点坐标为 ，准线l的方程为 ，过点 作
准线 交于点 ，结合题意和（1）中结论可知 ，则 ，根据两点之间线段
最短可得当 ， ， 三点共线时， 的值最小；求得 ，即可求得 的面积．
【小问1详解】
解：∵抛物线 中 ，
∴ ， ，
∴抛物线 的焦点坐标为 ，准线l的方程为 ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：由（1）知抛物线 的焦点F的坐标为 ，
∵点 到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
∴ ，整理得： ，
又∵ ，
∴
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解得： 或 （舍去），
∴ ，
∴点P的坐标为 ；
【小问3详解】
解：过点 作 直线 交于点 ，过点 作 准线 交于点 ，结合题意和（1）中结论可知
， ，如图：
若使得 取最小值，即 的值最小，故当 ， ， 三点共线时， ，
即此刻 的值最小；
∵直线 与直线 垂直，故设直线 的解析式为 ，
将 代入解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵点 是直线 和抛物线 的交点，
令 ，解得： ， （舍去），
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故点 的坐标为 ，
∴ ，
∵点 是直线 和直线m的交点，
令 ，解得： ，
故点 的坐标为 ，
∴ ，
．
即 的最小值为 ．
【小问4详解】
解：∵抛物线 中 ，
∴ ， ，
∴抛物线 的焦点坐标为 ，准线l的方程为 ，
过点 作 准线 交于点 ，结合题意和（1）中结论可知 ，则 ，如
图：
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若使得 取最小值，即 的值最小，故当 ， ， 三点共线时，
，即此刻 的值最小；如图：
∵点 的坐标为 ， 准线 ，
∴点 的横坐标为 ，代入 解得 ，
即 ， ，
则 的面积为 ．
【点睛】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的交点坐标，一
次函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线 轴，交y轴的正半轴于点 ，且 ，点B是y轴右侧
直线l上的一动点，连接 ．
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（1）请直接写出点A的坐标；
（2）如图2，若动点B满足 ，点C为 的中点， 点为线段 上一动点，连接 ．在
平面内，将 沿 翻折，点B的对应点为点P， 与 相交于点Q，当 时，求线段
的长；
（3）如图3，若动点B满足 ， 为 的中位线，将 绕点B在平面内逆时针旋转，
当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；
的
（4）如图4， 平分 交 于点 ， 于点 ，交 于点 ， 为 一
条中线．设 ， ， 的周长分别为 ， ， ．试探究：在B点的运动过程中，当
时，请直接写出点B的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
（4）
【解析】
【分析】（1）根据 ，点A位于y轴的正半轴即可得出答案；
（2）根据折叠性质和特殊角解三角形，先求出 ， ，再过点 D 作 ，得出
， 解三角形即可求出 ，从而求出 ，
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（3）将 绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，有两种情况，当将 绕点
B在平面内逆时针旋转 ，可得点 、F恰好落在x轴， ，从而可得直线 与x轴交点
的坐标；当将 绕点B在平面内逆时针旋转到 上方时，可得 ，从而
得出 ， ，继而可求 ，再由 即可求
出交点坐标．
（4）由已知可证明 ，进而可得 ，由此可
得 ，延长 交 于H点，可得 ， ，
然后由双勾股求出 ，进而求出点B坐标．
【小问1详解】
解：∵ ，点A位于y轴的正半轴，
∴点A坐标为 ，
【小问2详解】
∵ ，直线 轴， ，
∴ ， ，
∵点C为 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
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由折叠可知：
∴ ，
如解（2）图，过点D作 ，
∴ ，
，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
【小问3详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ 为 的中位线，
∴ ， ， ，
∴ ，
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I．如图，将 绕点B在平面内逆时针旋转 ，到如解（3）-1图所示位置时，
∴ ，直线 轴，
∴
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴点 、F恰好落在x轴， ，
此时直线EB与x轴交点的坐标为 ，
II．如图，将 绕点B在平面内逆时针旋转到点O、E、F三点共线时，，如解（3）-2图所示位置时，
延长 交x轴于点K，
∵ ， ， ，
∴
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，即： ，
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解得： ，
∴ ，
∴ ，
∵直线 轴，
∴直线 轴，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴此时直线EB与x轴交点的坐标为 ，
综上所述：将 绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，直线 与x轴交点的坐
标为 或 ；
【小问4详解】
直线 轴， 于点D，
∴ ， ，
又∵ 平分 交 于点 ，即： ，
∴ ，
又∵ ，
39【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的一条中线．
∴ ，即： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴设 ， ， 的周长分别为 ， ， ．
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
延长 交 于H点，如解（4）图，
∵ ， ， ，
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∴
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴
解得： （不合题意，舍去）， ，
故 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
所以点B坐标为 ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质、解三角形、相似三角形的判定和
性质，难度较大，确定运动后线段之间的位置关系、正确作出辅助线是解题的关键．
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