文档内容
2016年湖北省黄石市中考数学试卷
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每个小题给出的四个选项中，
只有一个是正确的，请把正确选项所对应的字母在答题卷中相应的格子涂黑．注意可用多种
不同的方法来选取正确答案．
1．（3分） 的倒数是（ ）
A． B．2 C．﹣2 D．﹣
2．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）地球的平均半径约为6 371 000米，该数字用科学记数法可表示为（ ）
A．0.6371×107 B．6.371×106 C．6.371×107 D．6.371×103
4．（3分）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝（ ）
A．50° B．100° C．120° D．130°
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．a12÷a3＝a4
C．a3+b3＝（a+b）3 D．（a3）2＝a6
6．（3分）黄石农科所在相同条件下经试验发现蚕豆种子的发芽率为97.1%，请估计黄石地区
1000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有（ ）
A．971斤 B．129斤 C．97.1斤 D．29斤
7．（3分）某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
第1页（共21页）A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球
8．（3分）如图所示， O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝
（ ） ⊙
A．5 B．7 C．9 D．11
9．（3分）以x为自变量的二次函数y＝x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数
b的取值范围是（ ）
A．b≥ B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤b≤2
10．（3分）如图所示，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能够反映容器内水的
体积y与容器内水深x间的函数关系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）要注意认真看清题目的条件和要填
写的内容，尽量完整地填写答案．
第2页（共21页）11．（3分）因式分解：x2﹣36＝ ．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1＝0的两实数根之积为负，则实数m的取值范
围是 ．
13．（3分）如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海
轮沿南偏东30°方向航行 海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．
14．（3分）如图所示，一只蚂蚁从A点出发到D，E，F处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都
等可能的随机选择一条向左下或右下的路径（比如A岔路口可以向左下到达B处，也可以
向右下到达C处，其中A，B，C都是岔路口）．那么，蚂蚁从A出发到达E处的概率是
．
15．（3分）如图所示，正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O，OA＝AC＝2，将正方形
绕O点顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是 ．
16．（3分）观察下列等式：
第1个等式：a ＝ ＝ ﹣1，
1
第2个等式：a ＝ ＝ ﹣ ，
2
第3个等式：a ＝ ＝2﹣ ，
3
第3页（共21页）第4个等式：a ＝ ＝ ﹣2，
4
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：a ＝ ；
n
（2）a +a +a +…+a ＝ ．
1 2 3 n
三、全面答一答（本题有9个小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如
果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．
17．（7分）计算：（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣ |+ 0．
π
18．（7分）先化简，再求值： ÷ • ，其中a＝2016．
19．（7分）如图， O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．
（1）若BC＝3，⊙AB＝5，求AC的值；
（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是 O的切线．
⊙
20．（8分）解方程组 ．
21．（8分）为了解某市初三学生的体育测试成绩和课外体育锻炼时间的情况，现从全市初三
学生体育测试成绩中随机抽取200名学生的体育测试成绩作为样本．体育成绩分为四个
等次：优秀、良好、及格、不及格．
体育锻炼时间 人数
4≤x≤6
2≤x＜4 43
0≤x＜2 15
（1）试求样本扇形图中体育成绩“良好”所对扇形圆心角的度数；
（2）统计样本中体育成绩“优秀”和“良好”学生课外体育锻炼时间表（如图表所示），
请将图表填写完整（记学生课外体育锻炼时间为x小时）；
第4页（共21页）（3）全市初三学生中有14400人的体育测试成绩为“优秀”和“良好”，请估计这些学生
中课外体育锻炼时间不少于4小时的学生人数．
22．（8分）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一
段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝800米，BC＝200米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝
45°．
（1）求AB段山坡的高度EF；
（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）
23．（8分）科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．
如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表
示 到 达 科 技 馆 的 总 人 数 ． 图 中 曲 线 对 应 的 函 数 解 析 式 为 y ＝
，10：00之后来的游客较少可忽略不计．
（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；
（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等
待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少
到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？
第5页（共21页）24．（9分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2∠DAE＝2 ．
（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：α △ADF∽△ABC；
（2）如图2，在（1）的条件下，若 ＝45°，求证：DE2＝BD2+CE2；
（3）如图3，若 ＝45°，点E在BC的延α 长线上，则等式DE2＝BD2+CE2还能成立吗？请说
明理由． α
25．（10分）如图1所示，已知：点A（﹣2，﹣1）在双曲线C：y＝ 上，直线l ：y＝﹣x+2，直线
1
l 与l 关于原点成中心对称，F（2，2），F（﹣2，﹣2）两点间的连线与曲线C在第一象限
2 1 1 2
内的交点为B，P是曲线C上第一象限内异于B的一动点，过P作x轴平行线分别交l ，l
1 2
于M，N两点．
（1）求双曲线C及直线l 的解析式；
2
（2）求证：PF ﹣PF ＝MN＝4；
2 1
（3）如图2所示，△PF F 的内切圆与F F ，PF ，PF 三边分别相切于点Q，R，S，求证：点
1 2 1 2 1 2
Q与点B重合．（参考公式：在平面坐标系中，若有点A（x ，y ），B（x ，y ），则A、B两点间
1 1 2 2
的距离公式为AB＝ ．）
第6页（共21页）第7页（共21页）2016年湖北省黄石市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每个小题给出的四个选项中，
只有一个是正确的，请把正确选项所对应的字母在答题卷中相应的格子涂黑．注意可用多种
不同的方法来选取正确答案．
1．【分析】直接利用倒数的定义分析求出答案．
【解答】解：∵2× ＝1，
∴ 的倒数是：2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了倒数的定义，正确把握定义是解题关键．
2．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对
称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分
重合．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：6 371 000＝6.371×106，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA＝
∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．
第8页（共21页）【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝50°，
∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝100°，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平
分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项以及幂的乘方与积的乘方计算法则进行解答．
【解答】解：A、原式＝a3+2＝a5，故本选项错误；
B、原式＝a12﹣3＝a9，故本选项错误；
C、右边＝a3+3a2b+3ab2+b3≠左边，故本选项错误；
D、原式＝a3×2＝a6，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记计算
法则即可解答该题．
6．【分析】根据蚕豆种子的发芽率为97.1%，可以估计黄石地区1000斤蚕豆种子中不能发芽
的大约有多少，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
黄石地区1000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有：1000×（1﹣97.1%）＝1000×0.029＝29斤，
故选：D．
【点评】本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，注意求得是不能发芽的种子
数．
7．【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形，根据该几何体的主视
图和左视图都是长方形，可得该几何体可能是圆柱体．
【解答】解：∵如图所示几何体的主视图和左视图，
∴该几何体可能是圆柱体．
故选：C．
【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力，掌握常见几
何体的三视图是解题的关键．
8．【分析】根据 O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，可以求得AN的长，从而可以
求得ON的长⊙．
第9页（共21页）【解答】解：由题意可得，
OA＝13，∠ONA＝90°，AB＝24，
∴AN＝12，
∴ON＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．
9．【分析】由于二次函数y＝x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，所以抛物线的顶点
在x轴上或上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方
向向上，由此可以确定抛物线与x轴有无交点，抛物线与y轴的交点的位置，由此即可得
出关于b的不等式组，解不等式组即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，
∵二次项系数a＝1，
∴抛物线开口方向向上，
当抛物线的顶点在x轴上或上方时，
则b2﹣1≥0，△＝[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）≤0，
解得b≥ ；
当抛物线的顶点在x轴的下方时，
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝2（b﹣2）＞0，b2﹣1＞0，
1 2
∴△＝[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）＞0，
b﹣2＞0， ①
b2﹣1≥0，②
③
由 得b＜ ，由 得b＞2，
① ②
∴此种情况不存在，
∴b≥ ，
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是会根据图象的位置得到关
于b的不等式组解决问题．
第10页（共21页）10．【分析】水深h越大，水的体积v就越大，故容器内水的体积y与容器内水深x间的函数是
增函数，根据球的特征进行判断分析即可．
【解答】解：根据球形容器形状可知，函数y的变化趋势呈现出，当0＜x＜R时，y增量越来
越大，当R＜x＜2R时，y增量越来越小，
曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，故y关于x的函数图象是先凹后凸．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数图象的变化特征，解题的关键是利用数形结合的数学思想方
法．解得此类试题时注意，如果水的体积随深度的增加而逐渐变快，对应图象是曲线从缓
逐渐变陡．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）要注意认真看清题目的条件和要填
写的内容，尽量完整地填写答案．
11．【分析】直接用平方差公式分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：x2﹣36＝（x+6）（x﹣6）．
【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
12．【分析】设x 、x 为方程x2+2x﹣2m+1＝0的两个实数根．由方程两根之积为负可得出关于
1 2
m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：设x 、x 为方程x2+2x﹣2m+1＝0的两个实数根，
1 2
由已知得： ，即 ，
解得：m＞ ．
故答案为：m＞ ．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是
得出关于m的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据
根的情况结合根的判别式以及根与系数的关系得出关于m的一元一次不等式组是关键．
13．【分析】根据等腰三角形的性质，可得答案．
【解答】解：一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南
偏东30°方向航行 4海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用了等腰三角形的腰相等是解题关键．
第11页（共21页）14．【分析】首先根据题意可得共有4种等可能的结果，蚂蚁从A出发到达E处的2种情况，
然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，蚂蚁从A出发到达E处的2种情况，
∴蚂蚁从A出发到达E处的概率是： ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总
情况数之比．
15．【分析】如图，用大扇形的面积减去小扇形的面积再加上正方形ABCD的面积．
【解答】解：∵OA＝AC＝2，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝ ，OC＝4，
S阴影 ＝ + ＝2 +2，
π
故答案为：2 +2．
【点评】此题π考查了扇形的面积公式和旋转的性质以及勾股定理，能够把不规则图形的面
积转换为规则图形的面积是解答此题的关键．
16．【分析】（1）根据题意可知，a ＝ ＝ ﹣1，a ＝ ＝ ﹣ ，a ＝ ＝
1 2 3
2﹣ ，a ＝ ＝ ﹣2，…由此得出第n个等式：a ＝ ＝ ﹣ ；
4 n
（2）将每一个等式化简即可求得答案．
【解答】解：（1）∵第1个等式：a ＝ ＝ ﹣1，
1
第2个等式：a ＝ ＝ ﹣ ，
2
第3个等式：a ＝ ＝2﹣ ，
3
第12页（共21页）第4个等式：a ＝ ＝ ﹣2，
4
∴第n个等式：a ＝ ＝ ﹣ ；
n
（2）a +a +a +…+a
1 2 3 n
＝（ ﹣1）+（ ﹣ ）+（2﹣ ）+（ ﹣2）+…+（ ﹣ ）
＝ ﹣1．
故答案为 ＝ ﹣ ； ﹣1．
【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并
进行推导得出答案．
三、全面答一答（本题有9个小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如
果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．
17．【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式
（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣ |+ 0的值是多少即可．
【解答】解：（﹣1）2016+2sinπ60°﹣|﹣ |+ 0
π
＝1+2× ﹣ +1
＝1+ ﹣ +1
＝2
【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行
实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算
加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数
的运算律在实数范围内仍然适用．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： a0＝1
（a≠0）； 00≠1． ①
（3）此题还②考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．
18．【分析】先算除法，再算乘法，把分式化为最简形式，最后把a＝2016代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝ • •
＝（a﹣1）•
＝a+1，
第13页（共21页）当a＝2016时，原式＝2017．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类问题时要注意把分式化为最简形式，
再代入求值．
19．【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得
AC的长即可；
（2）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA＝
∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．
【解答】（1）解：∵AB是 O直径，C在 O上，
∴∠ACB＝90°， ⊙ ⊙
又∵BC＝3，AB＝5，
∴由勾股定理得AC＝4；
（2）证明：连接OC
∵AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，
又∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠DCA＝∠CBA，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC+∠OBC＝90°，
∴∠OCA+∠ACD＝∠OCD＝90°，
∴DC是 O的切线．
⊙
【点评】此题主要考查的是切线的判定方法．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，
连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
第14页（共21页）20．【分析】首先联立方程组消去x求出y的值，然后再把y的值代入x﹣y＝2中求出x的值即
可．
【解答】解：将两式联立消去x得：
9（y+2）2﹣4y2＝36，
即5y2+36y＝0，
解得：y＝0或﹣ ，
当y＝0时，x＝2，
y＝﹣ 时，x＝﹣ ；
原方程组的解为 或 ．
【点评】本题主要考查了高次方程的知识，解答本题的关键是进行降次解方程，此题难度
不大．
21．【分析】（1）直接利用扇形统计图得出体育成绩“良好”所占百分比，进而求出所对扇形
圆心角的度数；
（2）首先求出体育成绩“优秀”和“良好”的学生数，再利用表格中数据求出答案；
（3）直接利用“优秀”和“良好”学生所占比例得出学生中课外体育锻炼时间不少于4
小时的学生人数．
【解答】解：（1）由题意可得：
样本扇形图中体育成绩“良好”所对扇形圆心角的度数为：（1﹣15%﹣14%﹣26%）×360°
＝162°；
（2）∵体育成绩“优秀”和“良好”的学生有：200×（1﹣14%﹣26%）＝120（人），
∴4≤x≤6范围内的人数为：120﹣43﹣15＝62（人）；
故答案为：62；
（3）由题意可得： ×14400＝7440（人），
答：估计课外体育锻炼时间不少于4小时的学生人数为7440人．
【点评】此题主要考查了扇形统计图以及利用样本估计总体，正确利用扇形统计图和表格
第15页（共21页）中数据得出正确信息是解题关键．
22．【分析】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABH中根据正弦的定义可计算出BH的长，从
而得到EF的长；
（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．
【解答】解：（1）作BH⊥AF于H，如图，
在Rt△ABH中，∵sin∠BAH＝ ，
∴BH＝800•sin30°＝400，
∴EF＝BH＝400m；
（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE＝ ，
∴CE＝200•sin45°＝100 ≈141.4，
∴CF＝CE+EF＝141.4+400≈541（m）．
答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度与坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h和
水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常
写成i＝1：m的形式．把坡面与水平面的夹角 叫做坡角，坡度i与坡角 之间的关系为：
i═tan ． α α
23．【分α析】（1）构建待定系数法即可解决问题．
（2）先求出馆内人数等于684人时的时间，再求出直到馆内人数减少到624人时的时间，
即可解决问题．
【解答】解（1）由图象可知，300＝a×302，解得a＝ ，
n＝700，b×（30﹣90）2+700＝300，解得b＝﹣ ，
∴y＝ ，
第16页（共21页）（2）由题意﹣ （x﹣90）2+700＝684，
解得x＝78，
∴ ＝15，
∴15+30+（90﹣78）＝57分钟
所以，馆外游客最多等待57分钟．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系
数法，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
24．【分析】（1）根据轴对称的性质可得∠EAF＝∠DAE，AD＝AF，再求出∠BAC＝∠DAF，
然后根据两边对应成比例，夹角相等两三角形相似证明；
（2）根据轴对称的性质可得EF＝DE，AF＝AD，再求出∠BAD＝∠CAF，然后利用“边角
边”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝BD，全等三角形对
应角相等可得∠ACF＝∠B，然后求出∠ECF＝90°，最后利用勾股定理证明即可；
（3）作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，根据轴对称的性质可得EF＝DE，AF＝AD，
再根据同角的余角相等求出∠BAD＝∠CAF，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACF
全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF＝
∠B，然后求出∠ECF＝90°，最后利用勾股定理证明即可．
【解答】证明：（1）∵点D关于直线AE的对称点为F，
∴∠EAF＝∠DAE，AD＝AF，
又∵∠BAC＝2∠DAE，
∴∠BAC＝∠DAF，
∵AB＝AC，
∴ ＝ ，
∴△ADF∽△ABC；
（2）∵点D关于直线AE的对称点为F，
∴EF＝DE，AF＝AD，
∵ ＝45°，
∴α∠BAD＝90°﹣∠CAD，
第17页（共21页）∠CAF＝∠DAE+∠EAF﹣∠CAD＝45°+45°﹣∠CAD＝90°﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△ABD和△ACF中， ，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，
∵AB＝AC，∠BAC＝2 ， ＝45°，
∴△ABC是等腰直角三α角形α，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ECF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2＝CF2+CE2，
所以，DE2＝BD2+CE2；
（3）DE2＝BD2+CE2还能成立．
理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，
由轴对称的性质得，EF＝DE，AF＝AD，
∵ ＝45°，
∴α∠BAD＝90°﹣∠CAD，
∠CAF＝∠DAE+∠EAF﹣∠CAD＝45°+45°﹣∠CAD＝90°﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△ABD和△ACF中， ，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，
∵AB＝AC，∠BAC＝2 ， ＝45°，
∴△ABC是等腰直角三α角形α，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，
∴∠ECF＝180°﹣∠BCF＝180°﹣90°＝90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2＝CF2+CE2，
第18页（共21页）所以，DE2＝BD2+CE2．
【点评】本题是全等三角形的判定和性质、主要利用了轴对称的性质，同角的余角相等的
性质，勾股定理，此类题目，小题间的思路相同是解题的关键．
25．【分析】（1）利用点A的坐标求出a的值，根据原点对称的性质找出直线l 上两点的坐标，
2
求出解析式；
（2）设P（x， ），利用两点距离公式分别求出PF 、PF 、PM、PN的长，相减得出结论；
1 2
（3）利用切线长定理得出 ，并由（2）的结论PF ﹣PF ＝4得出PF ﹣PF ＝QF
2 1 2 1 2
﹣QF ＝4，再由两点间距离公式求出F F 的长，计算出OQ和OB的长，得出点Q与点B
1 1 2
重合．
【解答】解：（1）解：把A（﹣2，﹣1）代入y＝ 中得：
a＝（﹣2）×（﹣1）＝2，
∴双曲线C：y＝ ，
∵直线l 与x轴、y轴的交点分别是（2，0）、（0，2），它们关于原点的对称点分别是（﹣2，
1
0）、（0，﹣2），
∴l 2：y＝﹣x﹣2
（2）设P（x， ），
由F （2，2）得：PF 2＝（x﹣2）2+（ ﹣2）2＝x2﹣4x+ ﹣ +8，
1 1
∴PF 2＝（x+ ﹣2）2，
1
∵x+ ﹣2＝ ＝ ＞0，
第19页（共21页）∴PF ＝x+ ﹣2，
1
∵PM∥x轴
∴PM＝PE+ME＝PE+EF＝x+ ﹣2，
∴PM＝PF ，
1
同理，PF 2＝（x+2）2+（ +2）2＝（x+ +2）2，
2
∴PF ＝x+ +2，PN＝x+ +2
2
因此PF ＝PN，
2
∴PF ﹣PF ＝PN﹣PM＝MN＝4，
2 1
（3）△PF F 的内切圆与F F ，PF ，PF 三边分别相切于点Q，R，S，
1 2 1 2 1 2
∴ ，
∵PF ﹣PF ＝PS+F S﹣（PR+F R）＝PS+F S﹣PR﹣F R＝F S﹣F R＝QF ﹣QF ，
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
由（2）得：PF ﹣PF ＝4，
2 1
∴QF ﹣QF ＝4，
2 1
又∵QF +QF ＝F F ＝4 ，QF ＝2 ﹣2，
2 1 1 2 1
∴QO＝2，
∵B（ ， ），
∴OB＝2＝OQ，
所以，点Q与点B重合．
【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及反比例函数的性质等知识，将代数与几何融合
第20页（共21页）在一起，注意函数中线段的长可以利用本题给出的两点距离公式解出，也可以利用勾股定
理解出；解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意
将所学知识贯穿起来．
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日期：2020/9/18 19:56:40；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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