2017年考研数学一真题及答案解析公众号：小乖考研免费分享_04.数学一历年真题_普通版本数学一_2017考研数学（一）真题+答案解析

2017 年考研数学一真题及答案解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请 将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）若函数 在 处连续，则（ ） 【答案】A 1 x 1 1 【解析】 1cos x 2 1 在x0处连续 bab .选A. lim  lim  ,  f(x) 2a 2 x0 ax x0 ax 2a （2）设函数 可导，且 ，则（ ） 【答案】C f(x)0 f(x)0 【解析】  f(x)f '(x)0, (1) 或  (2) ，只有C选项满足 (1) 且满足 (2) ，所以选C。 f '(x)0 f '(x)0 （3）函数 在点 处沿向量 的方向导数为（ ） 【答案】D 【解析】 f u 1 2 2 gradf {2xy,x2,2z}, gradf {4,1,0}  gradf  {4,1,0}{ , , }2. (1,2,0) u |u| 3 3 3 选D. （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线 （单位： ），虚线表示乙的速度曲线 ，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 （单位：s），则（ ） 【答案】C 【解析】从0到t 这段时间内甲乙的位移分别为 t 0v (t)dt, t 0v (t)dt,则乙要追上甲，则 0 1 2 0 0 t 0v (t)v (t)dt 10，当t 25时满足，故选C. 2 1 0 0 （5）设 是 维单位列向量， 为 阶单位矩阵，则（ ） 【答案】A 【解析】选项A,由 得 有非零解，故 。即 不 可逆。选项B,由 得 的特征值为n-1个0，1.故 的特征值为n-1个1，2.故可逆。其 它选项类似理解。 （6）设矩阵 ,则（ ） 【答案】B 【解析】由 可知A的特征值为2,2,1 2因为 ，∴A可相似对角化，且 由 可知B特征值为2,2,1. 因为 ，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化， ∴ ，且B不相似于C （7）设 为随机概率，若 ，则 的充分必要条件是（ ） 【答案】A 【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。 （8）设 为来自总体 的简单随机样本，记 ，则下列结论中不正确的 是（ ） 【答案】B 【解析】 由于找不正确的结论，故B符合题意。二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 已知函数 ，则 =__________ 【答案】 【解析】 1 1   f(x)  (x2)n (1)nx2n 1x2 1(x2) n0 n0  f '''(x)(1)n2n(2n1)(2n2)x2n3  f'''(0)0 n2 (10) 微分方程 的通解为 _________ 【答案】 ，（ 为任意常数） 【解析】齐次特征方程为 2 230 1 2i 1,2 故通解为 ex(c cos 2xc sin 2x) 1 2 (11) 若曲线积分 在区域 内与路径无关，则 __________ 【答案】 【解析】P 2xy Q 2axy 由积分与路径无关知P Q  ,  ,  a1 y (x2  y2 1)2 x (x2  y2 1)2 y x (12) 幂级数 在区间 内的和函数 ________ 【答案】 【解析】  (1)n1nxn1     (1)n1xn  '   x  '  1       1x (1x)2 n1 n1 （13）设矩阵 ， 为线性无关的3维列向量组，则向量组 的秩为 _________ 4【答案】2 【解析】由 线性无关，可知矩阵 可逆，故 再由 得 （14）设随机变量 的分布函数为 ，其中 为标准正态分布函数，则 _________ 【答案】2 【解析】 ，故 。令 ，则 = 因此 . 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. （15）（本题满分10分） 设函数 具有2阶连续偏导数， ，求 ， 【答案】 【解析】 结论：（16）（本题满分10分）求 【答案】 【解析】 （17）（本题满分10分） 已知函数 由方程 确定，求 的极值 【答案】极大值为 ，极小值为 【解析】 两边求导得： （1） 令 得 对（1）式两边关于x求导得 （2） 将 代入原题给的等式中，得 ， 将 代入（2）得 将 代入（2）得 故 为极大值点， ； 为极小值点， （18）（本题满分10分） 设函数 在区间 上具有2阶导数，且 ，证明： 方程 在区间 内至少存在一个实根； 方程 在区间 内至少存在两个不同实根。 【答案】 【解析】 （I） 二阶导数， 6解：1）由于 ，根据极限的保号性得 有 ，即 进而 又由于 二阶可导，所以 在 上必连续 那么 在 上连续，由 根据零点定理得： 至少存在一点 ，使 ，即得证 （II）由（1）可知 ， ，令 ，则 由罗尔定理 ，则 ， 对 在 分别使用罗尔定理： 且 ，使得 ，即 在 至少有两个不同实根。 得证。 （19）（本题满分10分） 设薄片型物体 是圆锥面 被柱面 割下的有限部分，其上任一点的密度为 。记圆锥面与柱面的交线为 求 在 平面上的投影曲线的方程； 求 的 质量。 【答案】64 【解析】  z  x2  y2 （1）由题设条件知，C的方程为  x2  y2 2x z2 2x x2  y2 2x 则 C 在xoy平面的方程为  z 0 （2）m(x,y,z)dS 9 x2  y2 z2dS   9 2 x2  y2 2dxdy s s D:x2y22x  2cos 182 d r2dr 64   0 2 （20）（本题满分11分）设3阶矩阵 有3个不同的特征值，且 。 证明 ； 若 ，求方程组 的通解。 【答案】（I）略；（II）通解为 【解析】 （I）证明：由 可得 ，即 线性相关， 因此， ，即A的特征值必有0。 又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0. 且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为 ∴ （II）由（1） ，知 ，即 的基础解系只有1个解向量， 由 可得 ，则 的基础解系为 ， 又 ，即 ，则 的一个特解为 ， 综上， 的通解为 8（21）（本题满分11分）设二次型 在正交变换 下的标准型 ，求 的值及一个正交矩阵 【答案】 【解析】 ，其中 由于 经正交变换后，得到的标准形为 ， 故 ， 将 代入，满足 ，因此 符合题意，此时 ，则 ， 由 ，可得A的属于特征值-3的特征向量为 ； 由 ，可得A的属于特征值6的特征向量为 由 ，可得A的属于特征值0的特征向量为令 ，则 ，由于 彼此正交，故只需单位化即可： ， 则 ， （22）（本题满分11分）设随机变量 相互独立，且 的概率分布为 ， 的概 率密度为 求 求 的概率密度。 【答案】 【解析】 （1）当 ，而 ，则 10（2）当 即 时， （3）当 时， （4）当 时， （5）当 时， 所以综上 所以 （23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 次测量，该物体的质 量 是已知的，设 次测量结果 相互独立且均服从正态分布 。该工程师记录的是 次测量的绝对误差 ，利用 估计 。 求 的概率密度； 利用一阶矩求 的矩估计量 【答案】 【解析】当 当 当 时， 综上 令 由此可得 的矩估计量 对总体 的 个样本 ，则相交的绝对误差的样本 令其 样本值为 则对应的似然函数 两边取对数，当 时 令 12所以， 为所求的最大似然估计。