文档内容
2022年湖北省黄冈市、孝感市、咸宁市中考数学试卷
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中只有
一项是符合题目要求的，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑）
1．（3分）﹣5的绝对值是（ ）
A． B．5 C．﹣5 D．﹣
2．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．圆锥 B．三棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱
3．（3分）北京冬奥会开幕式的冰雪五环由我国航天科技建造，该五环由21000个LED灯珠
组成，夜色中就像闪闪发光的星星，把北京妆扮成了奥运之城．将数据21000用科学记数
法表示为（ ）
A．21×103 B．2.1×104 C．2.1×105 D．0.21×106
4．（3分）下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A．等边三角形 B．矩形 C．正方形 D．圆
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8 B．（﹣2a2）3＝﹣6a6
C．a4÷a＝a3 D．2a+3a＝5a2
6．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A．检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量
B．检测一批LED灯的使用寿命
C．检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量
D．检测一批家用汽车的抗撞击能力
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径
画弧，交AB于点D，则 的长为（ ）A． B． C． D．2
π π π π
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于 AC的长为
半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC•EF＝CF•CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．请把答案填在答题卡相应题号的
横线上）
9．（3分）若分式 有意义，则x的取值范围是 ．
10．（3分）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b相交，若∠1＝54°，则∠3＝ 度．
11．（3分）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x ，x ，则x •x 的值是 ．
1 2 1 212．（3分）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，请你添加一个条件 ，使△ABC≌△DEF．
13．（3分）小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布”的游戏，随机出手一次是平局的概率是
．
14．（3分）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角 为45°，
C点的俯角 为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为α6m，则甲
建筑物的高度β AB为 m．
（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．
15．（3分）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列
勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为
1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若
此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）．
16．（3分）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至
点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为（t s），AP的长度为y（cm），y
与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时t的值为 ．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置）
17．（6分）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．
18．（8分）某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和
2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元．
（1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
（2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多
少份？
19．（8分）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调
查他们每天完成书面作业的时间（t 单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，
B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数
据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在
组内；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
20．（9分）如图，已知一次函数y ＝kx+b的图象与函数y ＝ （x＞0）的图象交于A（6，﹣
1 2
），B（ ，n）两点，与y轴交于点C．将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，
DE与y轴交于点F．
（1）求y 与y 的解析式；
1 2
（2）观察图象，直接写出y ＜y 时x的取值范围；
1 2（3）连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为 ．
21．（9分）如图， O是△ABC的外接圆，AD是 O的直径，BC与过点A的切线EF平行，
BC，AD相交于⊙点G． ⊙
（1）求证：AB＝AC；
（2）若DG＝BC＝16，求AB的长．
22．（10分）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小
型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植
费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15
元/m2．
（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3
倍时．
①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取
值范围．23．（10分）问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图
1，已知AD是△ABC的角平分线，可证 ＝ ．小慧的证明思路是：如图2，过点C作
CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明 ＝ ．
尝试证明：
（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明： ＝ ；
应用拓展：
（2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所
在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝ ，求DE的长（用含m， 的式子表示）．
α α
24．（12分）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为
D．
（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝ 时，求点P的坐标；
（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S
1
和S ，求 的最大值．
22022年湖北省黄冈市、孝感市、咸宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中只有
一项是符合题目要求的，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑）
1．（3分）﹣5的绝对值是（ ）
A． B．5 C．﹣5 D．﹣
【分析】利用绝对值的定义求解即可．
【解答】解：﹣5的绝对值是5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．
2．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．圆锥 B．三棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱
【分析】从三视图的俯视图看是一个三角形，而主视图是一个矩形，左视图为矩形，可知这
是一个三棱柱．
【解答】解：由三视图可知，这个几何体是直三棱柱．
故选：C．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，由三视图想象几何体的形状，首先，应分
别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来
考虑整体形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助．
3．（3分）北京冬奥会开幕式的冰雪五环由我国航天科技建造，该五环由21000个LED灯珠
组成，夜色中就像闪闪发光的星星，把北京妆扮成了奥运之城．将数据21000用科学记数
法表示为（ ）
A．21×103 B．2.1×104 C．2.1×105 D．0.21×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：21000＝2.1×104；
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法．解题的关键是掌握科学记数法的表示方法．科学记数法
的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以
及n的值．
4．（3分）下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A．等边三角形 B．矩形 C．正方形 D．圆
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫
做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：等边三角形有三条对称轴，矩形有两条对称轴，正方形有四条对称轴，圆有无
数条对称轴，
所以对称轴条数最多的图形是圆．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8 B．（﹣2a2）3＝﹣6a6
C．a4÷a＝a3 D．2a+3a＝5a2
【分析】根据同底数的幂的乘除、幂的乘方与积的乘方、合并同类项法则逐项判断．
【解答】解：a2•a4＝a6，故A错误，不符合题意；
（﹣2a2）3＝﹣8a6，故B错误，不符合题意；
a4÷a＝a3，故C正确，符合题意；
2a+3a＝5a，故D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算的相关法则．
6．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A．检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量
B．检测一批LED灯的使用寿命
C．检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量
D．检测一批家用汽车的抗撞击能力【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量，适宜采用全面调查的方式，故A
符合题意；
B、检测一批LED灯的使用寿命，适宜采用抽样调查的方式，故B不符合题意；
C、检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量，适宜采用抽样调查的方式，故C不符合题意；
D、检测一批家用汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查的方式，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的
关键．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径
画弧，交AB于点D，则 的长为（ ）
A． B． C． D．2
π π π π
【分析】连接CD，根据∠ACB＝90°，∠B＝30°可以得到∠A的度数，再根据AC＝CD以及
∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可．
【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，AC＝ ＝4，
由题意得：AC＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，∴ 的长为： ，
故选：B．
【点评】本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在
扇形的半径．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于 AC的长为
半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC•EF＝CF•CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．
【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，
∴AE＝AF＝CF＝CE，
即四边形AECF是菱形，
故①结论正确；
∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，
∴∠FAO＝∠ACB，
∴∠AFB＝2∠ACB，
故②结论正确；
∵S四边形AECF ＝CF•CD＝ AC•OE×2＝ AC•EF，
故③结论不正确；
若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝ 90°＝30°，
∴AF＝2BF，
∵CF＝AF，
∴CF＝2BF，
故④结论正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查长方形的综合题，熟练掌握长方形的性质，基本作图，菱形的判定和
性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．请把答案填在答题卡相应题号的
横线上）
9．（3分）若分式 有意义，则x的取值范围是 x ≠ 1 ．
【分析】根据分式有意义的条件可知x﹣1≠0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：x≠1．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于
零．
10．（3分）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b相交，若∠1＝54°，则∠3＝ 12 6 度．【分析】根据两直线平行，同位角相等和邻补角的定义解答即可．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠4＝∠1＝54°，
∴∠3＝180°﹣∠4＝180°﹣54°＝126°，
故答案为：126．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及邻补角互补的运用，解决问题的关键是掌握：
两直线平行，同位角相等．
11．（3分）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x ，x ，则x •x 的值是 3 ．
1 2 1 2
【分析】根据根与系数的关系直接可得答案．
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根，
1 2
∴x •x ＝3，
1 2
故答案为：3．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系
数的关系．
12．（3分）如图，已知 AB∥DE，AB＝DE，请你添加一个条件 ∠ A ＝∠ D ，使
△ABC≌△DEF．
【分析】添加条件：∠A＝∠D，根据ASA即可证明△ABC≌△DEF．
【解答】解：添加条件：∠A＝∠D．
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC，
在△ABC和△DEF中，
，∴△ABC≌△DEF（ASA），
故答案为：∠A＝∠D．（答案不唯一）
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
13．（3分）小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布”的游戏，随机出手一次是平局的概率是
．
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两人平局的情
况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：小聪和小明玩“石头、剪刀、布”游戏，所有可能出现的结果列表如下：
∵由表格可知，共有9种等可能情况．其中平局的有3种：（石头，石头）、（剪刀，剪刀）、
（布，布）．
∴小明和小聪平局的概率为： ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总
情况数之比．
14．（3分）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角 为45°，
C点的俯角 为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为α6m，则甲
建筑物的高度β AB为 1 6 m．
（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在
Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在
Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°＝ ≈1.60，解得x＝10，进而可得出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图．
则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，
在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，
设AE＝xm，则DE＝xm，
∴BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，
在Rt△ABC中，
tan∠ACB＝tan58°＝ ≈1.60，
解得x＝10，
∴AB＝16m．
故答案为：16．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是
解答本题的关键．
15．（3分）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列
勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为
1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若
此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 m 2 + 1 （结果用含m的式子表示）．
【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结
论．
【解答】解：∵m为正整数，
∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，
解得a＝m2﹣1，
∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，
故答案为：m2+1．
【点评】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．（3分）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至
点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为（t s），AP的长度为y（cm），y
与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时t的值为 2 +2 ．
【分析】由图象可得AB＝BC＝4cm，通过证明△APC∽△BAC，可求AP的长，即可求解．
【解答】解：如图，连接AP，
由图2可得AB＝BC＝4cm，
∵∠B＝36°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠C＝72°，∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，
∴AP＝BP，∠APC＝72°＝∠C，
∴AP＝AC＝BP，
∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△APC∽△BAC，
∴ ，
∴AP2＝AB•PC＝4（4﹣AP），
∴AP＝2 ﹣2＝BP，（负值舍去），
∴t＝ ＝2 +2，
故答案为：2 +2．
【点评】本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性
质，证明三角形相似是解题的关键．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出必要的
文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置）
17．（6分）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy）
＝4xy﹣2xy+3xy
＝5xy，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝5×2×（﹣1）＝﹣10．
【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（8分）某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和
2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元．
（1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
（2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多
少份？
【分析】（1）设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元，根据“买1份甲
种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元”，即可列
出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐（55﹣m）份，利用总价＝单价×数量，结合总价
不超过1280元，即可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：购买一份甲种快餐需要30元，购买一份乙种快餐需要20元．
（2）设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐（55﹣m）份，
依题意得：30（55﹣m）+20m≤1280，
解得：m≥37．
答：至少买乙种快餐37份．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元
一次不等式．
19．（8分）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调
查他们每天完成书面作业的时间（t 单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，
B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数
据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 10 0 ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 7 2 度，本次调查数据的中位数落在 C 组
内；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计
算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出B组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组；
（3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学
生人数．
【解答】解：（1）这次调查的样本容量是：25÷25%＝100，
D组的人数为：100﹣10﹣20﹣25﹣5＝40，
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：100；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°× ＝72°，
∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组，
∴中位数落在C组，
故答案为：72，C；
（3）1800× ＝1710（人），
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是
明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（9分）如图，已知一次函数y ＝kx+b的图象与函数y ＝ （x＞0）的图象交于A（6，﹣
1 2
），B（ ，n）两点，与y轴交于点C．将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，
DE与y轴交于点F．
（1）求y 与y 的解析式；
1 2
（2）观察图象，直接写出y ＜y 时x的取值范围；
1 2
（3）连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为 2 ．
【分析】（1）将点A（6，﹣ ）代入y ＝ 中，求反比例函数的解析式；通过解析式求出B点
2
坐标，然后将点A、B代入y ＝kx+b，即可求出一次函数的解析式；
1
（2）通过观察图象即可求解；
（3）由题意先求出直线DE的解析式为y＝x﹣ +t，过点F作GF⊥AB于点G，连接AF，
由∠OCA＝45°，求出FG＝ t，再求出AC＝6 ，由平行线的性质可知S△ACD ＝S△ACF ，
则 ×6 × t＝6，即可求t．
【解答】解：（1）将点A（6，﹣ ）代入y ＝ 中，
2
∴m＝﹣3，∴y ＝ ，
2
∵B（ ，n）在y ＝ 中，可得n＝﹣6，
2
∴B（ ，﹣6），
将点A、B代入y ＝kx+b，
1
∴ ，
解得 ，
∴y ＝x﹣ ；
1
（2）∵一次函数与反比例函数交点为A（6，﹣ ），B（ ，﹣6），
∴ ＜x＜6时，y ＜y ；
1 2
（3）在y ＝x﹣ 中，令x＝0，则y＝﹣ ，
1
∴C（0，﹣ ），
∵直线AB沿y轴向上平移t个单位长度，
∴直线DE的解析式为y＝x﹣ +t，
∴F点坐标为（0，﹣ +t），
过点F作GF⊥AB于点G，连接AF，
直线AB与x轴交点为（ ，0），与y轴交点C（0，﹣ ），
∴∠OCA＝45°，
∴FG＝CG，
∵FC＝t，∴FG＝ t，
∵A（6，﹣ ），C（0，﹣ ），
∴AC＝6 ，
∵AB∥DF，
∴S△ACD ＝S△ACF ，
∴ ×6 × t＝6，
∴t＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查一次函数和反比例函数的图象及性质，熟练掌握一次函数与反比例函数
的图象及性质，平行线的性质是解题的关键．
21．（9分）如图， O是△ABC的外接圆，AD是 O的直径，BC与过点A的切线EF平行，
BC，AD相交于⊙点G． ⊙
（1）求证：AB＝AC；
（2）若DG＝BC＝16，求AB的长．【分析】（1）根据垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定定理解答即可；
（2）根据相似三角形的判定定理，勾股定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵EF是 O的切线，
∴DA⊥EF， ⊙
∵BC∥EF，
∴DA⊥BC，
∵DA是直径，
∴ ，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AB＝AC．
（2）解：连接DB，
∵BG⊥AD，
∴∠BGD＝∠BGA，
∵∠ABG+∠DBG＝90°，∠DBG+∠BDG＝90°，
∴∠ABG＝∠BDG，
∴△ABG∽△BDG，
∴ ＝ ，
即BG2＝AG×DG，
∵BC＝16，BG＝GC，
∴BG＝8，
∴82＝16×AG，
解得：AG＝4，
在Rt△ABG中，BG＝8，AG＝4，
∴AB＝4 ．
故答案为：4 ．【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定定理，熟练掌握这些性
质定理是解答本题的关键．
22．（10分）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小
型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植
费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15
元/m2．
（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3
倍时．
①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取
值范围．
【分析】（1）分段利用图象的特点，利用待定系数法，即可求出答案；
（2）先求出x的范围；
①分两段建立w与x的函数关系，即可求出各自的w的最小值，最后比较，即可求出答案
案；
②分两段利用w≤6000，建立不等式求解，即可求出答案．
【解答】解：（1）当0＜x≤40时，y＝30；
当40＜x≤100时，设函数关系式为y＝kx+b，
∵线段过点（40，30），（100，15），
∴ ，
∴ ，
∴y＝﹣ x+40，
即y＝ ；
（2）∵甲种花卉种植面积不少于30m2，
∴x≥30，
∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
∴360﹣x≥3x，
∴x≤90，
即30≤x≤90；
①当30≤x≤40时，
由（1）知，y＝30，
∵乙种花卉种植费用为15元/m2．
∴w＝yx+15（360﹣x）＝30x+15（360﹣x）＝15x+5400，
当x＝30时，w ＝5850；
min
当40＜x≤90时，
由（1）知，y＝﹣ x+40，
∴w＝yx+15（360﹣x）＝﹣ （x﹣50）2+6025，
∴当x＝90时，w ＝﹣ （90﹣50）2+6025＝5625，
min
∵5850＞5625，
∴种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元；②当30≤x≤40时，
由①知，w＝15x+5400，
∵种植总费用不超过6000元，
∴15x+5400≤6000，
∴x≤40，
即满足条件的x的范围为30≤x≤40，
当40＜x≤90时，
由①知，w＝﹣ （x﹣50）2+6025，
∵种植总费用不超过6000元，
∴﹣ （x﹣50）2+6025≤6000，
∴x≤40（不符合题意，舍去）或x≥60，
即满足条件的x的范围为60≤x≤90，
综上，满足条件的x的范围为30≤x≤40或60≤x≤90．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，用
分段讨论的思想解决问题是解本题的关键．
23．（10分）问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图
1，已知AD是△ABC的角平分线，可证 ＝ ．小慧的证明思路是：如图2，过点C作
CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明 ＝ ．
尝试证明：
（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明： ＝ ；
应用拓展：
（2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所
在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝ ，求DE的长（用含m， 的式子表示）．
α α【分析】（1）证明△CED∽△BAD，由相似三角形的性质得出 ，证出CE＝CA，则
可得出结论；
（2）①由折叠的性质可得出∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，由（1）可知， ，由勾股定
理求出BC＝ ，则可求出答案；
②由折叠的性质得出∠C＝∠AED＝ ，则tan∠C＝tan ＝ ，方法同①可求出CD＝
α α
，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠E＝∠EAB，∠B＝∠ECB，
∴△CED∽△BAD，
∴ ，
∵∠E＝∠EAB，∠EAB＝∠CAD，
∴∠E＝∠CAD，
∴CE＝CA，
∴ ．
（2）解：①∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，
∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，
由（1）可知， ，
又∵AC＝1，AB＝2，
∴ ，
∴BD＝2CD，∵∠BAC＝90°，
∴BC＝ ＝ ＝ ，
∴BD+CD＝ ，
∴3CD＝ ，
∴CD＝ ；
∴DE＝ ；
②∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，
∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，∠C＝∠AED＝ ，
α
∴tan∠C＝tan ＝ ，
α
由（1）可知， ，
∴tan ＝ ，
α
∴BD＝CD•tan ，
又∵BC＝BD+CαD＝m，
∴CD•tan +CD＝m，
α
∴CD＝ ，
∴DE＝ ．
【点评】本题是相似形综合题，考查了折叠的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与
性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌
握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（12分）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为
D．
（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝ 时，求点P的坐标；
（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m
（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S
1和S ，求 的最大值．
2
【分析】（1）令y＝x2﹣4x＝x，求出x的值即可得出点B的坐标，将函数y＝x2﹣4x化作顶
点式可得出点D的坐标；
（2）过点D作DE⊥y轴于点E，易得tan∠DOE＝ ，因为tan∠PDO＝ ，所以ODG＝
∠DOE，分两种情况进行讨论，当点P在线段OD的右侧时，DP∥y轴，当点P在线段OD
左侧时，设直线DO与y轴交于点G，则△ODG是等腰三角形，分别求出点P的坐标即可．
（3）分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，则S ＝ QK（x ﹣x ），S ＝
1 B E 2
MN（x ﹣x ），由点Q的横坐标为m，可表达 ，再利用二次函数的性质可得出结论．
B E
【解答】解：（1）令y＝x2﹣4x＝x，
解得x＝0或x＝5，
∴B（5，5）；
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点D（2，﹣4）．
（2）如图，过点D作DE⊥y轴于点E，
∴DE＝2，OE＝4，∴tan∠DOE＝ ，
∵tan∠PDO＝ ，
∴∠DOE＝∠PDO，
①当点P在线段OD的右侧时，DP∥y轴，如图，
∴P（2，0）；
②当点P在线段OD左侧时，设直线DP与y轴交于点G，则△ODG是等腰三角形，
∴OG＝DG，
设OG＝t，则DG＝t，GE＝4﹣t，
在Rt△DGE中，t2＝22+（4﹣t）2，
解得t＝ ，
∴G（0，﹣ ），
∴直线DG的解析式为：y＝﹣ x﹣ ，令y＝0，则﹣ x﹣ ＝0，
解得x＝﹣ ，
∴P（﹣ ，0）．
综上，点P的坐标为（2，0）或（﹣ ，0）．
（3）∵点B（5，5）与点M关于对称轴x＝2对称，
∴M（﹣1，5）．
如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，
∴N（﹣1，﹣1），MN＝6，
∵点Q横坐标为m，
∴Q（m，m2﹣4m），K（m，m），
∴KQ＝m﹣（m2﹣4m）＝﹣m2+5m．
∵S ＝ QK（x ﹣x ），S ＝ MN（x ﹣x ），
1 B E 2 B E
∴ ＝ ＝﹣ （m2﹣5m）＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴当m＝ 时， 的最大值为 ．
提示：本题也可分别过点M，Q作BO的垂线，用m分别表示高线，再求比，也可得出结论．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角
形的面积和三角形相似的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．
