文档内容
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收H答案速查
一、 填空题
(11;) —4. (2)—修(^^2 , °)—・(4)2. (6)7DX}=・
(6) 设总体X服从正态分布Ng/),总体丫服从正态分布N(g,j),Xi，X2,…，X珥和匕,巴，…，匕分别是来自
«. _ 码
总体X和丫的简单随机样本，则E +拦(匕―" =.
- — 2 -
二、选择题：7〜14小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
(7)函数六了)=日辛堞若在下列哪个区间内有界？
((A-l,)0). (B)(0,l). (0(1,2). (D)(2,3).
(8) 设 r(z)在(—oo,+oo)内有定义
*)="(» g
lo, z=0,
则
(zA=O) 必是g(Q的第一类间断点. (B)工=0必是g(z)的第二类间断点.
(C) z=O必是g(Q的连续点. (D)gG)在点z=0处的连续性与a的取值有关.
(9) 设 y(x)=|了(1—了)|，则
(A) x=O是，(工)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f^的拐点.
(B) z=O不是y&)的极值点，但(0,0)是曲线的拐点.
(c)z=o是y&)的极值点，且(0,0)是曲线y=/(x)的拐点. .
(D) x=。不是，(z)的极值点，(0,0)也不是曲线y=/(x)的拐点.
(10) 设有以下命题：
① 若、(玲”-l+玲”)收敛，则2 u„收敛;
n=l n=l
② 若S 收敛，则S %+18收敛；
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案速查
-、填空题
(A1>)2. (2)4W. (3)a\ (4)-1. (5)0.9. (6)y.
二、 选择题
((D7)). ,(8)(A). (9)(B). (10)(0. (11)(B). (12)(0.
三、 解答题
' (13)定义 , (14)/+/. (15)等(1+e').
7t 乙
(16) /(x) = l—ylnd+^XlxKl);极大值为 1.
(17) ( I )尸(工)+2尸愆)=4产.(U)FG)=e" — e-k. (18)证明略.
(19) (1)当》丈0且5+ S右夭0时，方程组仅有零解.
1=1
(H)当3=0时，基础解系*ai = (-^-,l,0,-,0)T,cfe = (-^-,0,l,-,0)=
当b=— 2 a,时，基础解系为a=(l,l,…，1)T.
1=1
(20) (I)a=l；6=2.
2 n 1 1
垢°而
(□)正交变换X=QY,Q= 0 1 0 ，且二次型的标准形为，=2”+2展一3彳・
1八 2
175 75J
ro, yvo,
(21) 分布函数为 G(v)={ v，00,yCr)=g(工)=而D表示全平面，则 1= [pX/gCy—*)&心=_______ .
〔0,其他， 理
(4) 设"维向量a = (a,0,-,0,a)T,a<0,E^n阶单位矩阵，矩阵A=E-aaT ,B=E+^aar,其中A的逆矩阵为
B,则 a=.
(5) 设随机变量X和Y的相关系数为0. 9,若Z=X—0. 4,则丫与Z的相关系数为.
(6) 设总体X服从参数为2的指数分布，XnXz,…，X”为来自总体X的简单随机样本，则当 L8时，匕=
*■ £ X!依概率收敛于.
二、 选择题：7~12小题,每小题4分，共24分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
⑺设yCr)为不恒为零的奇函数，且f(0)存在,则函数g(x) = 捋
(A)在工=0处左极限不存在. (B)有跳跃间断点工=0.
(C)在z=0处右极限不存在. (D)有可去间断点z=0.
⑻设可微函数/在点6,弘)取得极小值,则下列结论正确的是
(A)/(x„ ,y)在处的导数等于零. (B)/&°，:y)在y^y.处的导数大于零.
(C)，(工0，少在处的导数小于零. (D)y(Zo，、)在3=，0处的导数不存在.
(9) 设A,=心尹」,％=色二兴■ ,〃=1,2,…,则下列命题正确的是
S
A)若
Ia”条件收敛，则去A■与痔％都收敛.
B) 8
C)若 S
Z
J绝对收敛，则椅与描9,都收敛. k
D)
8
若 S
Za“条件收敛，则景”与去％的敛散性都不定.
若 8
S
Za,绝对收敛，则力与£ q.的敛散性都不定.
n=l «=1
abb'
(10) 设3阶矩阵A= b a b，若A的伴随矩阵的秩等于1,则必有
、b b a,
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案速查
一、 填空题
(pl~)2^« (2) J^2 drj t f(x9y)dy. (3) — 1. (4)—0. 02. (5) X, — 1 或 X— 1.
二、 选择题
((6B)). f7)(D). (8)(B). (9)(0.
三、 解答题
(10)肯.(ll)du=(乙+仁'|^厂)&+(/>>—工^|厂)dy
(12) — 2/1 — 了arcsinG + 2石+C,其中C为任意常数.
(13) (1 )咯=警(32—速),吼=".(II)a=l,最大值为半兀
o □
(14) (1 )验证略.(□)和函数为、(了)=杀-私0,务+*1(—8«+8). (15)证明略.
(16) 当口丈方且a—(l-n)b时，方程组仅有零解.
当a=3时，全部解是x=Ga1+qa2+-+G-1a.^>为任意常数)，其中 =(-1,1,0,-,0)T,
az = ( —1,0,1, •“,0)T,…,a”一 1 =( — 1,0,0,。”，1)T.
当a=(l-n)6时，全部解是x=Cp(C为任意常数)，其中/J=(1,1,-,1)T.
(17) (1 )矩阵4的全部特征值为A, =A2 = 一2,稿=0. ( □ *>2.
(-1,-1) (-1,1) (1,-1) (1,1)
（i8）（i）（x,y）〜 1 n 1 1 .(U)D(X+Y)=2.
T 0 ~2 T .
0, j<0,
(19)F(j0=y 1 —。-子，0W/V2,
、1, y^2.
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
姓名 分数
一、填空题：1〜5小题,每小题3分，共15分.
(1) 设常数a尹&则limln「与驾母]"=__________•
L nw~ca)
n-*°o L_
i 厂 i i
(2) 交换积分次序:j： d;yj +.
(3) 设3阶矩阵
1 2 一2、
A= 2 1 2
.3 0 4 ,
3维列向量a=(a,l,l)T.已知Ao与。线性相关，则g=.
则x2和丫2的协方差covcx2 y)=・
f x^>0
p-(x-W
(5)设总体x的概率密度为/•(z；e)=| '"'而x.Xz,…,x”是来自总体x的简单随机样本，则未知参
lo, x)<0 时，存在 86 (a,6),使 y(Q = 0.
(B) 对任何(a,6)，有limEy(x)-/(f)]=0.
(C) 当 f(a)=f(b)时，存在 EC(a,b),使/(QnO.
(D) 存在 *(a/),使 f(b)—f(a)=f(Q(b-a).
(7) 设4是mXn矩阵,B是nXm矩阵,则线性方程组ABx=0
(A)当时仅有零解. (B)当时必有非零解.
(C)当m>n时仅有零解. (D)当m>n时必有非零解.
(8) 设4是"阶实对称矩阵,P是"阶可逆矩阵.已知"维列向量a是A的属于特征值人的特征向量，则矩阵
(P-'AP)t属于特征值A的特征向量是
(A"a. (B)PTa. (C)Pa. (D)(p-')Ta.
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案速查
一、填空题
(D-j. (2)W, = 1.2W,-i+2. (3)-3, (4)寿.(5)F；(1O,5).
二、 选择题
(6)(B). (7)(D). (8)(0. (9)(D). (10)(A).
三、 解答题
茂)半=尹一卫尹+「1一普二笑(12)|. (13)-4，
az dx x dy L sin(x—z) J dz L 3
((14) I )/>= — g,q=3. (II)最大值 S=攀.(15)证明略.(16) — e=ln(l—z).
0 <5乙
1 JL
76
2
(17)(I)a = -2. (n)e= 0 —席
_ 1 1
「A” A21 …A”1、
、1 A12 A22 …
(18)(I)，(X) =(e,i2,…，
•, : :
，证明略. （口）相同，理由略.
A” A 昧 …A.，
-y(2—w), 0V〃V2,
(19)98 箱.(20)?3)=
0, 其他.
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
姓名 分数
一、填空题：1〜5小题,每小题3分，共15分.
(1) 设生产函数为Q=AL-K*其中Q是产出量,L是劳动投入量,K是资本投入量，而A,a，B均为大于零的参数,
则当Q=1时K关于L的弹性为.
(2) 某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元.若以W,表示第£年的工资总额(单位:
百万元)，则W,满足的差分方程是.
(3)设矩阵
k 1 1 1
1 k 1 1
A=
1 1 k 1
.1 1 1 k
且 r(A)=3,则为=.
(4)设随机变量X和Y的数学期望分别为一2和2,方差分别为1和4,而相关系数为一0. 5,则根据切比雪夫不等
式 P{ IX+Y | >6} V.
⑸设总体X服从正态分布N(0,2。)，而Xi ,Xz,X*是来自总体X的简单随机样本，则随机变量
X|+-+X?o
'一2(辞+…+舞)
服从 分布,参数为•
二、选择题：6~10小题,每小题3分，共15分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的•
(6)设，(z)的导数在*=a处连续，又limg^ = -l,则
x-*a X — CL
(A) z=a是/Cz)的极小值点.
(B) x=a是顶&)的极大值点.
(C) (a,/(a))是曲线y=/Xz)的拐点.
(D) z=a不是/&)的极值点，(a/(a))也不是曲线y=/(x)的拐点.
+1), 0 .0 0 0 k
如
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案速查
一、 填空题
⑴必声 g'. (2)-—. (3)24. (4)口,3]・(5)等・
二、 选择题
(6)(D). (7)(B). (8)(0. (9)(A). (10)(0.
M、解答题
Q 1
(11) j/=彳+苴(1+2z) e2x ・
(12) a2(^g—
(13) ( I )Qi =4,Q=5,/h=10,/>2=7.
(U)Q】=5,Q=4,3=/)2=8,实行价格差别策略可使总利润最大.
(14) 单调递增区间为(一8, —1),(0,+8)；单调递减区间为(-1,0)；极小值为；y(0) = — e*;极大值为
y( —1) = — 2e奇；渐近线为 y\ =e"(x—2) ,y2=x—2.
(15) ln(2+V2). (16)证明略.
(17) ( I)当aU—4时,p可由ai ,a2 ,a3线性表示，且表示唯一.
(口)当a=-4时，若3b-c^l,p不能由a】，血,a3线性表示.
(ID)当a=—4且3b—c=l时,。可由O1,a2 ,a3线性表示，但表示不唯一.
^=to,-(2«+6+l)a2+(26+1)03，其中 t 为任意常数.
(18) aia2"・a“尹(一1)”. (19)证明略.
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
姓名 分数
一、填空题：1~5小题,每小题3分，共15分.
⑴设)+g(《)，其中f,g均可微，则祭=.
⑵ --------------.
⑶若4阶矩阵A与B相似，矩阵"特征值形■,§，+暗,则行列式|B-」E| =
(4) 设随机变量X的概率密度为
专，•r£[0,l],
”])=* 等，z£[3,6],
、0,其他
若"使得P {XX =号，则&的取值范围是・
(5) 设随机变量X在区间[一1,2]上服从均匀分布，随机变量
1 X>0,
Y=(0, X=0,
、一 1, X<0,
则方差DY=.
二、选择题：6〜10小题,每小题3分，共15分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
(6) 设对任意的 z,总有 ,且lim[g(z)—甲(z)]=0,则lim/Xz)
(A)存在且等于零. (B)存在但不一定为零.
(C) 一定不存在. (D)不一定存在.
(7) 设函数在点x=a处可导，则函数|/(z) |在点x=a处不可导的充分条件是
(/(Aa))=0 且/(a)=0. (B)/(a) = 0 且 /(a)丈0.
(C)/(a)>0 且/(a)>0. (D)/(a)<。且/(a)<0.
(8) 设at ,a2 ,a3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且r(4)=3,ai=(l,2,3,4)T,s+a3 = (0,l,2,3)T,
C表示任意常数,则线性方程组AX=b的通解X=
2000年全国硕士研完生入学统一考试数学三试题答案速查
一、 填空题
4
(D—-1. (2)4. (3)Qx3(即 3X3 阶零矩阵).(4)16, (5)0.
二、 选择题
(6)(A). (7)(0. (8)(B). (9)(D). (10)(A).
三、 解答题
(11)切线方程为y—~ =-----(z—a).面积S=~|■石.
4a 2v a ■
当切点按二轴正方向趋于无穷远时，有limS=+oo.当切点按、轴正方向趋于无穷远时，有limS=0.
a-^0'
(12)4 一号.(g=6(偌)\=6(籍).(14 顼力=(：］_二气岩'(⑸丰
(16)证明略.(17)a=2,6=—3,c=2,；U = l. (18)证明略.
(□)，=§. (20)证明略.
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题1999年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
姓名 分数
一、填空题：1~5小题,每小题3分，共15分.
(1)设了(了)有一个原函数岑则J； z/(z)&=,
8
1
S _
2) S 2
O
(3) 设4= 0 2 0，而 ”22 为正整数，则 A”一2A”t=.
.1 0 1.
(4) 在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布N(a,0.才).若以X„表示n
次称量结果的算术平均值,则为使P{ |X,—a|<0. l}>0. 95/的最小值应不小于自然数.
(0(1. 96)=0. 975,其中为标准正态分布函数)
⑸设随机变量乂,(浦=1，2,・“,”；"22)独立同分布,EX. =2,则行列式
Xn X12 -,• Xln
・X2n
X2i X22 -
X„1 X 位- , x””
的数学期望EY=.
二、选择题：6~10小题,每小题3分，共15分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
(6) 设/'(•!)是连续函数,FG)是/<工)的原函数，则
(A) 当六z)是奇函数时,FO)必为偶函数.
(B) 当，(工)是偶函数时,F(z)必为奇函数.
(C) 当尸&)是周期函数时,F(z)必为周期函数.
(D) 当/(z)是单调增函数时,FG)必为单调增函数.
(7) 设 f(xjy')连续，且，&,了)=^了+/(u,v)dudu,其中。是由 y=0,y=Xl，工=1 所围区域，则等于
D
(zAy.) (B)2zy. (.Oxy-\■■ . (D)hji+1. _
(8) 设向量。可由向量组ai,az,…，如线性表示，但不能由向量组(Diai.az.-.a™-!线性表示，记向量组(口)：
a> ,a2 ，P，则
(A) a“不能由(I)线性表示，也不能由(口)线性表示.
(B) s,不能由(I)线性表示,但可由(U )线性表示.
(Oa.可由(I)线性表示,也可由(口)线性表示.
(aD) “可由(I)线性表示，但不可由(口)线性表示.
(9) 设4,B为"阶矩阵，且4与B相似,E为"阶单位矩阵，则
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案速查
一、填空题
(I) —. (2)—宜+C,其中C为任意常数.(3)y,=C(—5)，+&(—+),其中C为任意常数.
e x j.乙 ' o，
‘2 0 0'
⑷0 -4 0.⑸法;佥;2.
、0 0 2,
,三、选择题
(6)(D). (7)(B). (8)(0. (9)(B). (10)(A).
三、解答题
(II) dz=e-arctan^ [(2z+;y)dz+(2y—z)d;y]；M云= '嫁芝寸乂。一31^'.
(12希.(13),=志(年)户普—1(年).(14)证明略.
(16) 若=3(《)一所求的解为y—x=~j?y(.或、=苫云).
(17) (1)/=。. ( D)特征值为入=0,全部特征向量为ciai + c2a2 + - + c,-! a„-i，其中a,=
(―务,1,0,•••,()),阪=(―令,0,1,"・,0)，…,a”-i =(—普,0,1) , Ci, q ,…，c*-1 是不全为零的任意
常数.
，以+2)2
(18) 4= 以+2)2 ；当峥一2且互尹0时,B为正定矩阵.
叶,
(19) EZ^14 166. 67(元).(20)( I )爵.(口)斜.
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
姓名 分数
一、填空题：1〜5小题,每小题3分，共15分.
(1)设曲线在点(1,1)处的切线与z轴的交点为怎,0),则)=
(2) j .
(3) 差分方程2乂+1+10乂一5z=0的通解为.
1 0 0'
(4) 设矩阵A,B满足4*BA=2BA—8E,其中A= 0 -2 0上为单位矩阵,A*为A的伴随矩阵，则B =
.0 0 1.
⑸设X, ,X2,X3 ,Xt是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本，
X=a(Xi -2Xz y +6(3X3-4X4 )2，其中 a,b^0.
则当a=,b=时,统计量X服从寸分布，其自由度为.
二、选择题：6~10小题,每小题3分，共15分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
(6)设周期函数，(z)在(一8,+8)内可导，周期为4.又limf⑴-/d)= — l,则曲线 >=六工)在点(5,/(5))
x-*O LJC
处的切线的斜率为
奇.
(A) (B)0. (0-1. (D)-2.
⑺设函数六了)=瓯吾声，讨论函数八r)的间断点，其结论为
(A)不存在间断点. (B)存在间断点z=l.
(C)存在间断点z=0. (D)存在间断点x=~l.
(8)齐次线性方程组
'ZTi +乃 +足工3 = °，
< x\ +义乃+勾=0,
8 +二2 +廊3 =0
的系数矩阵记为A.若存在3阶矩阵B尹。使得AB=O,则
(AA=)~ 2 且|B|=0. (B)A=-2 且 IM 独0.
(C)A=1 且 |B|=0. (D)人=1且|①尹0.
(9)设阶矩阵
1
1 a a
A= a 1 a
1
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案速查
一、填空题
(DV z)+f In z)]&. （2）亡.（3R,=C+（l2）2，，其中C为任意常数.
(4)-y2，其中，可微，则dy=.
(2) 若函数
/\工)= 淫孩 + a/1-x2 J。/(x)dz,
则［/(x)dr= .
J 0
(3) 差分方程y.^-y,=t2l的通解为.
(4) 若二次型f(x\ ,Xi，工3)=2工：+房+场+2工1工2+女2工3是正定的，则t的取值范围是.
(5) 设随机变量X和丫相互独立且都服从正态分布N(0,3,),而Xn…，X,和匕，…,*分别是来自总体X和V
的简单随机样本，则统计量U=
灯…+舄服从__________分布,参数为__________
.
/yj十…十匕
二、选择题：6〜10小题,每小题3分，共15分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
⑹设函数
-方 6
fl—cos x 5
/(x) = J sin/dz,g(M)=亏 --,
则当时,/Xz)是g&)的
(A)低阶无穷小. (B)高阶无穷小.
(C)等价无穷小. (D)同阶但不等价的无穷小.
(7) 若函数 y(—工)=/(工)(一80 且，(工)<0,则在(0,+8)内有
(/(Ax))>0,/(x)<0, (B)f (z)>0,f'(z)>0.
(C)/(x)<0,/(^)<0. (D)/(x)<0,/(x)>0.
(8) 设向量组a. ,a2 ,a3线性无关，则下列向量组中,线性无关的是
(A) ai +a2 a3 ~ai.
(B) ai +az ,az +as ,皿 +2a? +as.
(C) ai+2a2,2az+3a3,3a3+" 一一
(D) a)+a2 +a3,2ai — 3az+22a3,3a)+5a2 — 5a3.
(9) 设4,B为同阶可逆矩阵，则
(AAB)=BA. (B)存在可逆矩阵P,使P 'AP=B.
(C)存在可逆矩阵C,使CTAC=B. (D)存在可逆矩阵P和。，使PAQ=B.
(10) 设两个随机变量X与Y相互独立且同分布:P{X= — 1}=P{Y= — 1}=4，P{X=1}=P{Y=1}=3^下列各式
中成立的是
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案速查（试卷W）
一、 填空题(1) ~ dr. (2)~| ^(1-^)3+0,其中C为任意常数 (3)£>0(或点=c)/任意.
xk 1-rin y) o a
(4)(L0,・・・,0)t.
二、 选择题(1)(D). (2) (A). (3)(0. (4)(D). (5)(B).
工日(z) —-a)+S+1) e~ ］尹 0
M、(l)f(z)=」„ X (2)/(x)在(一8,+8)上连续.
M ［籍= z=。.
四、0.五、In 2.六、证明略.
七、 （1）当—屈）时，相应的销售额将增加.当普一-应）时,相应的销售额
将减少.（2）当一屈）时,R„„ =（西一屈）气
fl 0 0 0 'I
fl 0 0 0 ）
0 1 0 0
0 10 0
八。 +vOTJ=C,其中C为任意常数.九、⑴y=2. （2）P= 4或0 0 一点* •
0 0 1 —vZ vz
.0 0 0 1 ） 0 0 -p -p
〜 .. v Z V Z >
1Q 1
+、证明略.H―、5. 216万元.十二、力=泰；q=市.
00 lo
十三、证明略,Z”近似服从参数为产=&,/=七区的正态分布.
答案速查（试卷V）
—、填空题（1）略.（2）略.（3）^. （4）1 —a+a2 —a3 +a4 —a5. （5）吾.
二、 选择题（D（D）. （2）（D）. （3）略.（4）略.（5）（B）.
三、 略.四、一 2eT>‘.五、略.六、略.七、（1）证明略.（2）导=琴.八、证明略.
九、①当z尹一2时,方程组无解;②当t=-2时,方程组有解.
r-r '4 -r
i -2 -2
若/>=-8,方程组的通解为》= +G +G ，其中G，G为任意常数.
0 1 0
0 、0 i .
r —］、
i -2
若 M-8,方程组的通解为x= +C ，其中c为任意常数.
0 0
o . 1 ,
十、*.十一、略.十二、T服从参数为3入的指数分布.
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学试题1996年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
姓名 分数
（试卷IV）
一、填空题（本题共4小题,每小题3分，满分12分）
（1）设方程Z=V确定V是］的函数，则d/=
②设
（3）设6必）是抛物线丁二技+m+c上的一点.若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是
1 1 1 ・・ 1 Si、 1 '
ai a2 .. an 0 1
⑷设 A= al al 房 ・•国 ,x= 工3 ,B== 1
aF1 a尸 ・・a：-1> i 1 ,
其中劣夭"洋加,j=l,2,・・・,〃）.则线性方程组ATX=B的解是
二、选择题（本题共5小题,每小题3分，满分15分）
(1) 累次积分「dO [ /(rcos rsin &)rdr可以写成
J 0 J 0
(A) j dyj r fQx,y)dx. (B)Ldyjo r f(.x,y)q(«=l,2,…)，则级数2 s也收敛.
"=1 ”T . 一
(3) 设n阶矩阵A非奇异322) ,A*是矩阵A的伴随矩阵，则
((AA*) )* =|A|iA. (B)(A* )* =|A|+A. (C)(A* )* = |A|"~2A. (D)(A# )* = |Al^A.
(4) 设有任意两个n维向量组ai , ••• 和01 9 ••• ,flm，若存在两组不全为零的数Al , •,,♦Am和kl ,••• ,bm，使(义1 +
kx )ai +・・・+ (扁+么)郊+。 ~ki )R +・・・+(从—么)/^=0,则
1
(A)ai ,•••,«„,和 ％，…,flm 都线性相关. (B)ai ,-|-).六、一 七、R=^1；Q-1-zr
n=l
0 2 -2'
八、（1）证明略.（2）号.九、证明略.十、（1）/3 8,及）=3,如冯） 2 4 4 了2
、一2 4 -3, 、了3 ，
2_ 1 ］、
75 /30 76
5 1
（2），3,工2,心）="+6,—6商正交矩阵P= 0
/30
1 2 2_
/30 76 .
4■一、⑴a=0. 94”. (2)/?=G0. 94"~20. 062. (3)0=1—n ・ 0. 94”t ・ 0. 06-0. 94”.
'0, zVO 或 y VO;
以, 0<了<1 ,OW;y^l,
十二、F（z，v）=y x2, 0<二《1，3>>1，
丁，
、1, x>l,j/>1.
答案速查（试卷V）
一、填空题
(4)略.(5)吉.
(1)2. (2)略. (3)略.
0
二、 选择题
（1）略.（2）略. (3)(0. (4)(0. (5)略.
三、 略.四、z（arcsin z）2+2/I=？arcsin z—2z+C,其中C为任意常数.五、略.六、略.七、证明略.
八、 极大值/（2,1） = 4；最大值为4；最小值为一64・
九、 ①当A^-2且A^l时，方程组（* ）有唯一解;②当A = -2时，方程组（* ）无解;③当A=1时，方程组（* ）
'一2、 1'
有无穷多解.方程组的全部解为x= 0 +G 1 + C2 0 ，其中G,G是任意常数.
、0 . 0 1 ,
7_
0
7
5_
十、 0 十一、略.十二、证明略.
3
2 _2
2
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
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姓名 分数
(试卷IV)
一、填空题(本题共4小题,每小题3分，满分12分)
(1)设 ，则俨(工)=.
②设 z—xyf^-^- )，/'(“)可导Tzx+yz,y=•
(3) 设 f (In ]) = 1+了,则 f(i)=.
‘1 0 O'
(4) 设4= 2 2 0 ,4*是A的伴随矩阵，则GT)t=・
、3 4 5,
二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
⑴设，Cr)为可导函数，且满足条件lin /⑴一/( 1 一工) =_1,则曲线3，=/(x)在点(1,/(1))处的切线斜率为
(A) 2. (C)-y. (D)—2.
(2)下列广义积分发散的是
(A)「妄. (B)L 冬 (C) J e-x，dr. (D)广-p~.
J -1 sin x J 2 z In 1
⑶设矩阵Ax”的秩为r(A)=m 0,
x Jo
四、(本题满分6分)
已知连续函数六G满足条件，&)=「了(专)奸职,求/(X).
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com答案速查(试卷IV)
一、填空题
0 0 ・・・ 0
dn
1
云 0 ・・・ 0 0
⑸茶9
⑴In 3. (2)1. (3) ⑷ ].
0 ・・ 0 0
: : *
1
0 0 ・ 一 0
Q” 1
二、选择题
(1)(B). (2)(0. (3)(0. (4)(D). (5)(B).
—3 r四m 、[1 .五f 、X先2—手J .六> 、法1 广(°)・七、(1)。=土；切点为(e2,l). (2)号.八、证明略.
二、另兀 2n'
2
九、(1)证明略.(2)x= 1 I+C 0 (C为任意常数).4■、工+y=0.
1-2
-1 0
~\—、x〜 十二、10. 9毫米.
0. 134 4 0. 731 2 0. 134
答案速查(试卷V)
一、 填空题
9
(1)〜(4)略.(5)专.
二、 选择题
(1)略.(2)(B). (3)(B). (4)(B). (5)略.
步
三、 四、略.五'/cos z—4zsin z—6cos z+C,其中 C 为任意常数.六、 ；2(5,]§)•
七、(l)a =【;切点为(e2,l). (2)S=4e2-4-八、略.九、证明略.+、略・
e 0 Z
H■—.P{Vn=m}=€?0.01m0. 99”F(m=0,1,2,・・・，〃). 十二、略.
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
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姓名 分数
(试卷IV)
一、 填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
⑴L吊&=--------■
(2) 已知/(x0) = -l,坊(孔―2了)七/(血一］)=--------•
(3) 设方程e^+y =cos x确定;y为工的函数，则•
⑷设
'0 % 0 0
0 0 a2 0
A=: : : :
0 0 0 ••• an-i
g 0 0 0 ,
其中 2=1,2,・••,〃,则 A
(5)设随机变量X的概率密度为
2z, OOV1,
/(x) =
0,其他
以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{XV^ }出现的次数，则P{Y=2}=
二、 选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)
(1)曲线y=^ arctan (二度工&)的渐近线有
(lA) 条. (B)2 条. (03 条. (D)4 条.
(2)设常数40,而级数S出收敛,则级数S (-D" -7=
"=1 >1=1 十义
(A)发散. (B)条件收敛. (C)绝对收敛. (D)敛散性与义有关
⑶设A是mXn矩阵,C是"阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r,矩阵B=AC的秩为r，则
(r>An). (B)rOi.
(C)r=r,. (D)r与八的关系依C而定.
(4) 设 0VP(A)<1,O0,
(P2{)X+YVl} = l+e-】一 Ze、.
其他
答案速查(试卷V)
一、 填空题
((21«)+1 )621. (2)略.(3)arcsin(l-^)；[-y2,y21 (4)4. (5)-|.
二、 选择题
(1)略.(2)(D). (3)(0. (4)(B). (5)略.
三、 一圭四、略.五、/(x)=cos x-xsiri x+C,其中C为任意常数.六、
七、(1)乙=一10+72工+15/—/. (2)12.八、证明略.九,(1)>-4 =- (x—x0). (2)/=^■尹.
■Xo
'2 0 1'
十、0 3 0 .十一、入=1. 十二、|A|=1. 十三、略.十四、略.
.-1 0 2.
1992年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com1992年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
姓名 分数
(试卷IV)
一、 填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
⑴设商品的需求函数Q =100—5》,其中Q,力分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性的绝对值大于1,则商品
价格的取值范围是.
(2) 级数S 0 云 2"的收敛域为.
(3) 交换积分次序匚心[「ycpA.
(4) 设 A 为m 阶方阵,8为”阶方阵，且 |A|=a,|B|=5,C=(? £),则 |C|=.
\ JB (J'
(5) 将C,C,E,E,I,N,S这七个字母随机地排成一行，则恰好排成SCIENCE的概率为.
二、 选择题(本题共4小题,每小题3分，满分12分)
⑴设F(x)=-^-「/■«)&,其中六工)为连续函数，则limFG)等于
X Cl J a La
(AW. (BHy(a). (C)0. (D)不存在.
(2) 当 l0时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量？
(A)x2. (B)l—cos x. (C) 5/1—xz —1. (D)x~tan x.
(3) 设A为mXn矩阵，则齐次线性方程组AX=O仅有零解的充分条件是
(A)A的列向量线性无关. (B)A的列向量线性相关.
(04的行向量线性无关. (D)A的行向量线性相关.
(4) 设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则
(A)F(C)&如，
D
其中。是由工轴,y轴与曲线序+JF=1所围成的区域，a>0,6>0.
五、 (本题满分5分)求微分方程玲满足,_. = 2e的特解.
六、 (本题满分5分)假设曲线L】以=1—^(00. 2*0. 810°-*(i=0,1, -, 100). (2)0. 927.
2y' y— ， jc / ,
(A)/(j?) = ln j?+sin x. (B)/(jc)= \ (C)/(x) =< 0, x=0, (D)/(x)=s V\x\
I cos x， z>0. ~ 八 -
1, re〉。. 〔0, jc—O.
(2) 若六z)在(a,A)内可导且a<^0和b>Q为常数;价格p是时间£的函数且满足方程
柴2[D（p）—S（0）]。为正的常数）.
假设当£=0时价格为1,试求:
（1）需求量等于供给量时的均衡价格上;
（2）价格函数/>«）；
（3）极限 limp（t）.
t~*+8
六、（本题满分8分）
在曲线了=/&>0）上某点A处作一切线，使之与曲线以及1轴所围图形（如右图）的面积
为金，试求：
（1）切点A的坐标；
（2） 过切点A的切线方程；
（3） 由上述所围平面图形绕z轴旋转一周所成旋转体的体积.
七、（本题满分8分）
X\ +乃 +2x3 +3乃=1 ♦
x\ +3及 +6羽 +^4 = 3,
已知线性方程组
3j?i —X2 —41了3 + 15工4 = 3,
X\ —5j?2 ~ 10x3 + 12^4 =人2.
问刈和处各取何值时,方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在方程组有无穷多解的情形下，试求出一般解.
八、 （本题满分8分）
已知向量组ai ,血，・・・，久（$22）线性无关.设A =笛+血，质=血+口3,…,A-1 =此_1+亿』=名+。1.试讨论向量
组氏,"•，&的线性相关性.
九、 （本题满分7分）
设A是3阶方阵,4,是A的伴随矩阵,4的行列式|A|=y，求行列式I （3A）-'-2A- |的值.
十、（本题满分7分）
玻璃杯成箱出售，每箱20只.假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应为0. 8,0. 1和0. 1. —顾客欲购一箱玻璃杯，
在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只:若无残次品,则买下该箱玻璃杯，否则退回.试求：
（1） 顾客买下该箱的概率a;
（2） 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率#
+—、（本题满分6分）
某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%,以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向
保险公司索赔的户数.
1988年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
3 .
考研电子版网站：www. pdf2book. com（1） 写出X的概率分布；
（2） 利用棣莫弗-拉普拉斯定理，求出被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值•
（@（2. 5）=0. 9938,3（1. 5）=0. 9332,其中小（工）为标准正态分布函数）
十二、（本题满分6分）
假设随机变量X在区间（1,2）上服从均匀分布.试求随机变量Y=e2X的概率密度f（y）.
（试卷V）
一、 （本题满分12分）【同试卷IV第一题】
二、 （本题满分io分）t同试卷m 第二题】
三、 （本题共4小题,每小题4分，满分16分）
（1） 求极限lim（l—jc^tan 夸z.
（2） 已知u=ey，求备葛.
（3） 【同试卷IV第三、（3）题】（4）【同试卷IV第三、（4）题】
四、 （本题满分6分）
确定常数a和。，使函数，（工处处可导.
五、 （本题满分8分）
将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形.问这两段铁丝各长为多少时,正方形与圆形的面积
之和为最小？
六、 （本题满分8分）［同试卷IV第六题】
七、 （本题满分8分）【同试卷N第七题】
八、 （本题满分6分）
已知n阶方阵A满足矩阵方程A2-3A-2E=O,其中A给定,E是单位矩阵.证明:A可逆，并求出其逆矩阵Af
九、 （本题满分7分）【同试卷IV第八题】
十、（本题满分7分）【同试卷m 第十题】
+-,（本题满分7分）
假设有十只同种电器元件，其中有两只废品.装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品，则扔掉重新任取一
只.试求在取到正品之前，已取出的废品只数的概率分布、数学期望和方差.
十二、（本题满分5分）【同试卷IV第十二题】
1988年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站:.www. pdf2book. com（2） 已知 z=f（.u,v）-,u=x~\-y,v=xy,且 f（u,p）的二阶偏导数都连续，求
oxoy
（3） 求微分方程丁+5j+63/=2eF的通解.
四、（本题满分9分）
设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为p = p（x） = 10e-'，且最大需求量为6,其中x表
示需求量，P表示价格.
（1）求该商品的收益函数和边际收益函数;（2）求使收益最大时的产量，最大收益和相应的价格；（3）画出收益函数
的图形.
五、（本题满分9分）
已知函数六z）=。 二。计算下列各题：
（1）S°=「六 了）厂 dz;（2）s=「/a-2）e^dz;（3）S„=「'*》（工 一 2”）（n=2,3,-）;（4）S= £s”.
J 0 J 2 J 2n n—O
六、（本题满分6分）
假设函数，（z）在也的上连续，在（G,》）内可导，且/a）<0,记FCz） =-4-「，“）市，证明在（a，。）内F（z）WO・
JC CLJ a
-r
'0 1 0 1
七、（本题满分5分）已知X=AX+B,其中A= -1 1 1 ,B= 2 0 ，求矩阵X.
、—1 0 -1, 、5 -3,
八、（本题满分6分）
设 , On.
(5) 【同试卷W第二、(5)题】
三、 (本题共4小题，每小题5分，共20分)
(1) 求极限 lim (x+e1)^.
(2) 已知 z=a'f7^T，其中 a>0,a^l,求 dz.
(3) 求不定积分J 工+吁 f位.
(4) 求二重积分ff 拦究 gdcdy,其中D是衣+/ = 1,x=0和、=0所围成的区域在第一象限部分.
jj 1■十1十y
四、 (本题满分6分)
已知某企业的总收入函数为R=26z—2/—4/,总成本函数为C=8z+/ ,其中x表示产品的产量,求利润函数,
边际收入函数，边际成本函数，以及企业获得最大利润时的产量和最大利润.
五、 (本题满分12分)
已知函数y=(］!f：)z，试求其单调区间，极值点及图形的凹凸性、拐点和渐近线,并画出函数的图形.
六、 (本题满分5分)【同试卷IV第七题】
七、 (本题满分6分)讨论向量组ai = (l,l,0),a2 = (l,3,-D,a3 = (5,3,2)的线性相关性.
八、 (本题满分5分)【同试卷IV第九题】
九、 (本题满分8分)已知随机变量X和Y■的联合概率分布为
(x,y) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)
P{X=x9Y=y} 0.10 0.15 0. 25 0. 20 0. 15 0. 15
试求:(1)X的概率分布；(2)X+Y的概率分布；(3)Z=sin 迪矿丫) 的数学期望.
十、(本题满分8分)
某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位:小时)都服从同一指数分布，概率密度为
/(J：) 600e m，工〉°’
〔0, 工 <0,
试求:在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率a.
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. comP{X=m} P{Y=m}
则下列式子正确的是
(a)x=y. (B)P{X=Y}=0. (c)p{x=y}=y. (D)P{X=Y} = 1.
三、 （本题共4小题,每小题5分，满分20分）
（1）求函数】&）=在区间住再］上的最大值.
J e i ul\~ L
浴计算二重积分JJ工eT&dy,其中D是曲线？=4交和在第一象限所围成的区域.
D
怂=
（3） 求级数S 3）”的收敛域.
n=l 71
（4） 求微分方程j/+;ycos z=（ln 了）厂血工的通解.
四、 （本题满分9分）
某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告,根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费用而
（万元）及报纸广告费用也（万元）之间的关系有如下经验公式
R=15+14zi +32乃一8iiZ2 ——10 妥.
（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略;（2）若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略.
五、 （本题满分6分）
设-Cz）在闭区间［0,3上连续,其导数f Or）在开区间（0,c）内存在且单调减少,/（0） = 0,试应用拉格朗日中值定
理证明不等式f（a+b）Wf（a）+f（b），其中常数a,b满足条件
六、 （本题满分8分）
T\ +互 +了3 +勾 +%5 =a ,
已知线性方程组＜
3xi + 2x2 +工3 +工4 — 3x5 = 0,
Xz +2羽 +2乃 +6x5 =b,
5xi +4^2 +3羽 +3工4 —毛=2.
（1）。"为何值时，方程组有解？（2）方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系；
（3）方程组有解时，求出方程组的全部解.
七、 （本题满分5分）
已知对于n阶方阵A,存在自然数加使术=Q试证明矩阵E-A可逆,并写出其逆矩阵的表达式（E为n阶单位阵）.
八、 （本题满分6分）
设A为n阶矩阵，万和;G是A的两个不同的特征值，万，0是分别属于万和援的特征向量.试证明与+玲不是A
的特征向量.
九、 （本题满分4分）
从0,1,2,・・・,9等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率:A = ｛三个数字中不含0和5｝；
A = ｛三个数字中不含。或5｝；A3 = ｛三个数字中含0但不含5｝.
十、（本题满分5分）
一电子仪器由两个部件构成，以x和丫分别表示两个部件的寿命（单位:千小时），已知x和v的联合分布函数为
f 1—e-0*5x 一 e-0-5>+e-0-5, 丁>0,
（1）问X和丫是否独立？（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率a.
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com十一、（本题满分7分）
某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分,96分以上的占考生总数
的2. 3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.
［附表］（表中小&）是标准正态分布函数）
X 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
⑦(z) 0. 500 0. 692 0. 841 0. 933 0. 977 0. 994 0. 999
（试卷V）
一、 填空题（本题共5小题,每小题3分，满分15分）
（1）1同试卷IV第一、（1）题】 （2）【同试卷IV第一、（2）题】
（3） 【同试卷W第一、（3）题】 （4）［同试卷IV第一、（4）题】
（5）已知随机变量X〜N（—3,l），丫〜N（2,l）,且X,Y相互独立，设随机变量Z=X—2Y+7,则Z〜.
二、 选择题（本题共5小题,每小题3分，满分15分）
（1）【同试卷IV第二、（1）题】 （2）【同试卷N第二、（2）题】 （3）1同试卷时第二、（3）题】
（4） 设A为〃阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵，则|A* | =
(A)⑷i. (B)|A|. (OlAp. (D)|AL・
(5)已知随机变量X服从二项分布，且EX=2. 4,DX=1.44,则二项分布的参数n.p的值为
(A)n=4,p=0. 6. (B)〃=6,p=0. 4. (C)n=8,/>=0. 3. (D)〃=24,?=0. 1.
三、(本题共4小题,每小题5分，满分20分)
仃 r 4 Z
1 NCOS’ -y
(1)求极 Slim— (l+«2)e!，^'dz. (2)求不定积分 —-3--■■ dx.
x Jo J sin x
⑶设廿+或=方（子）,其中-为可微函数，求靠
（4）【同试卷W第三、（2）题】
四、（本题满分9分）［同试卷W 第四题】
五、 （本题满分 6 分）证明不等式 l+zln（＞z+ \ZH~x2）2/1+二28OV+8.
六、 （本题满分4分）
，0 1 0・ ・0 0
0 0 1・ ・0 0
设A为10X10矩阵 ，计算行列式IA-AEI，其中E为10阶单位矩阵，人为常数.
0 0 0・ -0 1
.1O10 0 0 - ・0 0 ,
七、（本题满分5分）
设方阵A满足条件ATA=E,其中4丁是A的转置矩阵,E为单位阵.试证明A的实特征向量所对应的特征值的唾
对值等于1.
八、（本题满分8分）【同试卷IV第六题】 九、（本题满分5分）【同试卷W 第九题】
十、（本题满分6分）
甲乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2,乙的为0.5,以X和丫分别表示甲和乙的命中次数，试求
X和丫的联合概率分布.
+—、（本题满分7分）［同试卷N 第十一题】
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com七、 （本题满分8分）
某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为白和仑，销售量分别为以和以，需求函数分别为争=
24—0. 2力和°=10—0.05仑，总成本函数为C=35+40（g】+Q）.试问:厂家如何确定两个市场的售价，能使其获
得的总利润最大？最大总利润为多少？
八、 （本题满分6分）试证明函数，Gt）=（l++）'在区间（0,+oo）内单调增加.
九、 （本题满分7分）
'1+» [ 1 . ，1 〕 fo'
设有3维列向量口1= 1 ,此=1+义，口3 1 /= A ，问；I取何值时:
M [ 1 J 11,
[1+兀 、人之，
（1）。可由ai，a2,a3线性表示，且表达式唯一？（2）"可由ai,a2,a3线性表示，但表达式不唯一？
（3）。不能由ai ,a2 »a3线性表示？
十、（本题满分6分）考虑二次型户=始+4隽+4瑟+2刈/2—2了皿+4互灰，问义取何值时，/为正定二次型？
十一、（本题满分6分）
aFai altt2 ••• alan
试证明〃维列向量外，地,・・•,a”线性无关的充分必要条件是D=… 之：”尹°,其中口？是④的
alai a„a2 …ajan
转置3=1,2,…，花.
十二、（本题满分6分）[同试卷V 第十三、（1）题】
十三、（本题满分6分）假设随机变量X和Y在圆域工2 +寸上服从联合均匀分布.
（1）求X和V的相关系数p； （2）问X和丫是否独立?
十四、（本题满分5分）
I 人口飞。—]e-Ar, 工＞0
设总体X的概率密度为/）愆,义）=（ '/ '其中入＞0是未知参数,a＞0是已知常数.试根据来自总体
10, JE^O,
X的简单随机样本X|, Xz,X”,求义的最大似然估计量A.
（试卷V）
一、填空题（本题共5小题,每小题3分，满分15分）
（1）【同试卷IV 第一、（1）题】 （2）t同试卷W 第一、（2）题】 （3）【同试卷N第一、（3）题】
a b 0 — 0 0
0 a b 0 0
0 0 a ,, 0 0
（4）n阶行列式 ——
0 0 0 ・• a b
b 0 0 ・• 0 a
nX n
（5）设 A,B 为随机事件,F（A）=0. 7,P（A-B）=0.3,则 P（AB）=
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
（1） 【同试卷IV第二、（1）题】
《±血，”为奇数，
（2） 设数列的通项为:而, 则当"-8,石,是
巴， "为偶数，
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com（A）无穷大量. （B）无穷小量. （C）有界变量・ （D）无界变量・
（3） 设A与B为n阶方阵，且AB=O,则必有
（A）A=O 或 B=O. （B）AB=BA. （C）|A|=。或 |B|=0. （D）⑷+ |B【=0.
（4） 设A是mXn矩阵,Ax=O是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是
（A）若Ax=O仅有零解，则Ax=b有唯一解. （B）若Ax=O有非零解，则4x=b有无穷多个解.
（C）若Ax=b有无穷多个解,则Ax=O仅有零解. （D）若Ax=b有无穷多个解，则Ax=O有非零解.
（5） t同试卷N第二、（4）题】
三、 （本题满分5分）求极限jim （x+ + .
四、 （本题满分5分）求定积分1=匚（2z+ |” +1）2丑.
五、 （本题满分5分）求不定积分1= j岸孩arctan工&.
六、 （本题满分5分）
已知 xy=xf（.z}-\~yg（.z），工f （z）+yg'（z）尹0,其中 是 z 和 y 的函数，求证
七、（本题满分6分）1同试卷IV第六题】 八、（本题满分8分）【同试卷IV第七题】
九、（本题满分6分）证明不等式ln（l+*）>击（01 时,arctan x— arccos . — -y-.
L 1 十X 4
八、 （本题满分9分）
设曲线方程为y=e"（z20）.
（1） 把曲线、=e-，,z轴/轴和直线z = f（f>0）所围平面图形绕z轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体体积
V（E）;求满足 V（a）=4- limV（W）的 a.
乙 f~> + 8
（2） 在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积.
九、 （本题满分7分）
-2 0 0 -1 0 0、
设矩阵A与B相似，其中A= 2 X 2 ,B= 0 2 0
.3 1 1. .0 0 V
（1）求z和了的值;（2）求可逆矩阵P,使P AP=B.
十、（本题满分6分）
已知3阶矩阵B尹O,且B的每一个列向量都是以下方程组的解:
+2互 ~2x3 =0,
5 2xi ~x2 +廊3 = 0，
.3x1 +x2 ~jc3 =0.
（1）求;l的值;（2）证明|剧=0.
4•一、（本题满分6分）设A,B分别为TH阶,”阶正定矩阵，试判定分块矩阵C=（£ ?）是否是正定矩阵.
'CJ D /
十二、（本题满分8分）
假设测量的随机误差X〜N（0,102）,试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19. 6的概
率a,并利用泊松分布求出a的近似值（要求小数点后取两位有效数字）.
注通(1. 96)=0. 975,另附表
A 1 2 3 4 5 6 7 …
e~A 0. 368 0. 135 0. 050 0.018 0. 007 0. 002 0.001 …
十三、（本题满分6分）
一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0. 10,0. 20和0. 30.假设各部件的状态相
互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的概率分布，数学期望EX和方差DX・
+四、（本题满分5分）
设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
“ 、一/厂>,0b,求：
(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求对价格的弹性；
(3)需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.
六*本题满分8分)
假设：
① 函数 v=f(z)(0Vt<+8)满足条件/(0)=0 和 —
② 平行于 > 轴的动直线MN与曲线和v=e，一l分别相交于点R和R ;
③ 曲线y=3、直线MN与z轴所围封闭图形的面积S恒等于线段PIP2的长度.
求函数y=fa)的表达式.
七、 (本题满分7分)
假设函数/(了)在［0,1］上连续，在(0,1)内二阶可导，过点A(0,/(0))与B(l/(1))的直线与曲线y=fa)相交于
点C(c,f(c)),其中0a｝和8=｛丫>成独立，且P(AUB) = *求常数a；(2)求*的数学期望.
+—、(本题满分8分)
假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(z)服从参数为;U的泊松分布.
(1) 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；
(2) 求在设备已无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.
(试卷V)
一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
(1)lim［ Jl+2 + ・・・+〃一 + 2 +•・• + (〃一1) ］ =・
n~*oo
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com(2) 已知 y=y(芸搭),/(工)narcsinx2,则翌=0=.
(3) ［—— =________.
J (2-工)
(4) 【同试卷IV第一、(4)题】
(5) 设10件产品有4件不合格品,从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品
的概率为.
二、 选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
(1)1同试卷IV第二、(1)题】 (2)【同试卷］V第二、(2)题】
(3) 若,口2 ,。3，。1，反都是4维列向量，且4阶行列式|。1，她，口3，& I =m, | ai ,a2 ,a3 I = 〃，则4阶行列式
I 03 902 ,01，A + 助等于
(A)tm+〃. (B) —(th+zz). (C)n—m. (D)m—
(4) 设；1 = 2是非奇异矩阵4的一个特征值，则矩阵(yA2)'有一特征值等于
(A)y. (B)y. (C)y. (D)y.
(5) 设随机变量X与Y均服从正态分布,X〜N")，丫〜N33),记p, =P{XW/z-4}小=P{0"+5}，则
(A)对任何实数产，都有Pif. (B)对任何实数“，都有ptp2.
三、 (本题满分5分)【同试卷IV第三题】
四、 (本题满分7分)【同试卷IV第四题】
五、 (本题满分7分)
已知某厂生产r件产品的成本为C=25 000+200了+会x2 (元)，问：
(1)要使平均成本最小,应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大,应生产多少件产品？
六、 (本题满分6分)
设P，g是大于1的常数，并且-^+- = 1.证明:对于任意的了>0,有餐工'+土Nz.
P q P q
七、 (本题满分13分)运用导数的知识作函数y=&+6)e+的图形.
八、 (本题满分8分)已知3阶矩阵A的逆矩阵为
”1 1 r
A~'= 1 2 1 ,
.1 1 3.
试求其伴随矩阵A•的逆矩阵.
九、 (本题满分8分)
设A是mXn矩阵,B是nXm矩阵,E是"阶单位矩阵Cm>n)，已知BA=E.试判断A的列向量组是否线性相美?
为什么？
十、(本题满分8分)
设随机变量X和Y独立，都在区间［1,3］上服从均匀分布.引进事^A={X^a},B={y>a).
(1)已知P(AUB)=4,求常数a；(2)求+的数学期望.
+-J本题满分8分)【同试卷IV第十一题】
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com土 岛=+
S?= S(X,T)2, S (X,T)2,
"t=l " i=l
Z(X,—4, 身 =J S (Xl〃,
"1 i=l
rl i=l
则服从自由度为”一 1的C分布的随机变量是
耘・ (D"=与岩.
(A)t=... (B)t=- . (5=
S1 〃 ”—1 S 2 // n—1 S4/Vn
三、（本题满分6分）计算二重积分jj （z+jOdzdy,其中D={（z,jO Ij^+JVz+jy+l}.
D
四M本题满分5分）设函数y=y（x）满足条件卜£4’ /0， 二，求广义积分广火了）&.
\y（0） = 29y （0） = —4, Jo
五、 （本题满分 5 分）已知 f（x,y）=j：zarctan arctan 号、求
六、 （本题满分5分）设函数/U）可导，且六0） =0,FCz） =「广】八z”一/）dz,求lim
X
J 0 L0
七、（本题满分8分）
已知曲线y=ay/x（a>Q>）与曲线y=ln石在点（z°，北）处有公共切线.求
（1）常数。及切点（以,为）；（2）两曲线与z轴围成的平面图形绕z轴旋转所得旋转体的体积K.
八、（本题满分6分）
假设/（Q在［a,+8）上连续,/'（z）在（a,+8）内存在且大于零，记FCz） = g三也（z>a）.证明：F（工）在
（a,+8）内单调增加.
九、（本题满分11分）
了1 +。1«12 + 房的=ai,
X\ +。2互 +。芝工3 ，
设线性方程组 (*)
乃+。3互+。；工3 =福，
X1 +角血 +#了3 =□：•
（1） 证明:若ai ,。2，。3，。4两两不相等，则此线性方程组无解；
（2） 设。1=。3=奴。2="4=一3以尹0）,且已知■，$是该方程组的两个解，其中$=（ — 1,1,1）T,庞=（1,1，一1）。
写出此方程组的通解.
十、（本题满分8分）
‘0 0 1、
设4= z 1 y有三个线性无关的特征向量，求z和v应满足的条件.
、1 0 0,
十一、（本题满分8分）
假设随机变量X”X2,X3,X4相互独立,且同分布,P{K=0}=0.6,P{X, = l}=0.4（，=l,2,3,4）.求行列式X=
v v的概率分布.
X3 X4
十二、（本题满分8分）
假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布Ng）,内径小于10或大于12为不合格品，其余为合
格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损,已知销售利润T（单位:元）与销售零件的内径X有如下关系：
'一1, XV10,
T=< 20, 1012.
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com问平均内径"取何值时，销售一个零件的平均利润最大?
(试卷V)
一、 填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)
(1)【同试卷IV第一、(1)题】 (2)【同试卷w第一、(2)题】
(3)【同试卷N第一、(3)题】 (4)【同试卷弁第一、(4)题】
(5)假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%, 10%,从中随意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品
的概率为■
二、 选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分)
(1) 【同试卷N第二、(1)题】
(2) 设函数八r)在闭区间[a,们上连续，且/(x) >0,则方程寿也=0在开区间(a,b)内的根有
(A)0个. (B)l个. (02个. (D)无穷多个.
(3) 设都是n阶非零矩阵，且AB=O,则A和B的秩
(A)必有一个等于零.(B)都小于n. (O-个小于n, —个等于n. (D)都等于n.
(4) 设有向量组依=(1,一1,2,4),血=(0,3,1,2),(»3=(3,0,7,14),止=(1,一2,2,4),* = (2,1,5,10),则该向量
组的极大线性无关组是
(A)«] ,a2 - (B)ai,a2,Oi・ (C)ai ^2^5. (D)ai »a2 ^a4 »as-
(5) 【同试卷N第二、(4)题】
三、 (本题满分5分)求极限回 jTln(l+*)].
四、 (本题满分5分)【同试卷IV第五题】
五、 (本题满分6分)已知略是，(z)的一个原函数，求j
六、 (本题满分8分)
某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养以万尾)，乙种鱼放养火万尾)，收获时两种鱼的收获量分别为
(3—皿一陟元 和(4—伽一2ay)v (a>/?>0),
求使产鱼总量最大的放养数.
七、 (本题满分8分)
已知曲线y=ay/x(a>0)与曲线w=ln"在点6 ,/o)处有公共切线，求
(1)常数a及切点(西以0) ; (2)两曲线与1轴围成的平面图形的面积S.
八、 (本题满分7分)【同试卷W 第六题】
九、 (本题满分8分)
设ai ,a2 ,a3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系.证明ai +血，血+a3 ,«3 +垢也是该方程组的一个基
础解系• , 一
十、(本题满分8分)【同试卷IV第十题】
十一、(本题满分7分)
假设随机变量X的概率密度为
5°,O其V他r，Vl,
现在对X进行"次独立重复观测，以V“表示观测值不大于0.1的次数，试求随机变量V,的概率分布.
十二、(本题满分8分)【同试卷IV第十二题】
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com五、 （本题满分6分）
将函数、=血（1一工一2^）展开成1的蓦级数,并指出其收敛区间.
六、 （本题满分6分）
计算二次积分 1= ［ f min{ ,y} e-（x,+y，} dxdy.
J —ooj
—oo
七、 （本题满分6分）
设某产品的需求函数为Q=Q（P）,收益函数为R=FQ,其中P为产品价格,Q为需求量（产品的产量）,Q（P）是单
调减函数,如果当价格为R,对应产量为Q时，边际收益^|Q=^=a>0,收益对价格的边际效应=c<0,
需求对价格的弹性为EP=b>l,求Po和Q>.
八、 （本题满分8分）
设顶（z）,g（z）在区间［—a,a］（a>0）上连续,gCz）为偶函数，且/U）满足条件/（x）+/（-^）=A（A 常数）.
⑴证明匚/■（Gg（z）dr = Aj：g（Q&；（2）利用⑴的结论计算定积分匚| si" arctan e心.
九、 （本题满分9分）
已知向量组（I ）«1 ,他，口3;（ 口）ai ,a2 ,无，仁4;（皿）依,血，口3 ,口5.如果各向量组的秩分别为r（I）=r（n）=3,
r（IH）=4.证明：向量组。1,心2,口3,口5—血的秩为4.
十、（本题满分10分）
已知二次型 fCxi ,x2,x3） = 4^2 — + 4xix2 — 4J：1 x3 + 8x2.
（1） 写出二次型/的矩阵表达式；
（2） 用正交变换把二次型了化为标准形，并写出相应的正交矩阵.
H—、（本题满分8分）
假设一厂家生产的每台仪器，以概率0. 70可以直接出厂；以概率0. 30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以
出厂;以概率0. 20定为不合格品不能出厂,现该厂生产了 n（n>2）台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.
求（1）全部能出厂的概率（2）其中恰好有两台不能出厂的概率g; （3）其中至少有两台不能出厂的概率&
十二、（本题满分8分）
已知随机变量X和丫的联合概率密度为
3=，，其他
求X和丫的联合分布F（x,y）.
（试卷V）
一、 填空题（本题共5小题,每小题3分，满分15分）
⑴设lim（l ,z） 则常数 a =.
（2） 【同试卷N第一、（2）题】
（3） 【同试卷IV第一、（3）题】
（4） 1同试卷IV第一、（4）题】
'1+z, —
（5） 设X是一个随机变量，其概率密度为/■（/=〈 1 一工，0bc.
（1）求*在何范围变化时，使相应销售额增加或减少;（2）要使销售额最大，商品单价p应取何值？最大销售额是多少？
八、 （本题满分7分）求微分方程平=匚左王更的通解.
az x
'0 10 0、
— 10 0 0
九、 （本题满分8分）设矩阵4= ,.
0 0 > 1
.0 0 12.
（1）已知A的一个特征值为3,试求》（2）求矩阵P,使（AP）T（AP）为对角矩阵.
十、（本题满分8分）设向量组竹,a2,…，a,是齐次线性方程组Ax=O的一个基础解系，向量。不是方程组Ax=O的
解,即Afl^O.试证明：向量组p,p+a】，p+0,则下列选项正确的是
(A)/a0)是/S)的极大值. (/(Bx)o) 是了(工)的极大值.
(/(CX)o )是/U)的极小值. ((xDo),/(x o))是曲线、=/(工)的拐点.
(2) 设六工)处处可导，则
(A)当 1曲，(工)=一8时，必有 lim /(x) =—oo. (B)当lim f (工)=一8时，必有lim六工)=—8.
X-* —oo X-*—oo 3—*—oo —ob
(C)当 lim /(j：) = 4-oo时，必有 lim f (z) = +8. (D)当 lim f (x) = +8时,必有 lim f{x) = +oo.
a-*+o° ■Z_*+8 ■z~>+8 x-*+°o
(3) 【同试卷IV第二、(3)题】 (4)【同试卷N 第二、(4)题】
⑸设A,B为任意两个事件，且AUB,P(B)>0,则下列选项必然成立的是
(A)P(A)P(A|B). (D)P(A)>P(A|B).
三、 (本题满分6分)【同试卷IV第三题】
四、 (本题满分7分)设f(z,y)= e-'d/,求子•穿一2 《*静
J 0
五、(本题满分6分)【同试卷IV第五题】 六、(本题满分7分)【同试卷IV第七题】
七、 (本题满分9分)已知一抛物线通过工轴上的两点A(l,0),B(3,0).
(1) 求证:两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于工轴与该抛物线所围图形的面积；
(2) 计算上述两平面图形绕工轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比.
八、 (本题满分6分)设/U)在［a,刊上连续，在(a,5)内可导，且法= /■(》).求证:在(a,b)内至少存在
一点&使/⑥=0.
(X\ +工2 —2^3 +3X4 =0，
2工1 +l2—6j；3 -1-4X4 — 1 9 ...
九、(本题满分9分)已知线性方程组< (| (*)讨论参数取何值时，方程组无解、有解；
3了1+2互+/^3+7乃=一 1,
Ixi —X2 —6了3 —卫4 —t.
当有解时，试用其导出组的基础解系表示其通解.
十、(本题满分7分)设有4阶方阵A满足条件| 3E+4 | = 0,AAT = 2e, | a |V0,其中E是4阶单位阵.求方阵
A的伴随矩阵A，的一个特征值. =
+—、(本题满分7分)【同试卷IV第十一题】
+二、(本题满分6分)假设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为
A>0的指数分布.当三个元件都无故障时，电路正常工作,否则整个电路不能正常工作.试求电路正常工作的时间
T的概率分布.
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com(A)P(X=Y}=y. (B)P{X=Y}=1.
(C)P{X+Y=O}=y. (D)P{XY=1}=y-
三、解答题：u~21小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
((11) 本题满分6分).
在经济学中,称函数Q(G=AeL + (］.—为固定替代弹性生产函数，而称函数Q=AK归一，为
Cobb-Douglas生产函数(简称C-D生产函数).
试证明：当 L0时,固定替代弹性生产函数变为C—D生产函数,即有limQ(z) =Q.
(面(本题满分5分)
设u=f(.x,y,z')有连续偏导数,y=y{x)和z=z{x)分别由方程e“一y=0和e*—zz=0所确定，求若.
(13) (本题满分6分)
一商家销售某种商品的价格满足关系2=7—0. 2工(万元/吨)，了为销售量(单位:吨)，商品的成本函数是C=
3z+l(万元).
(I)若每销售一吨商品，政府要征税/(万元)，求该商家获最大利润时的销售量；
(n)t为何值时,政府税收总额最大.
(14) (本题满分6分)
设函数，(工)在［0, +8)上连续、单调不减且y(0)20.试证函数
［―f x > 0,
FCz)=j 工J。
〔0, z=0
在［0,+oo)上连续且单调不减(其中《>0).
(15) (本题满分6分)
从点R (1,0)作z轴的垂线，交抛物线3，=^于点Qi (1,1)；再从Q作这条抛物线的切线与x轴交于P2.然
后又从0作Z轴的垂线,交抛物线于点Q，依次重复上述过程得到一系列的点R，Q1 ,Q ；••• ；p”,Q ;•••.
(I)求函；
(U)求级数互甬+dK------Q?；+…的和，其中"(疹1)为自然数，而A顽表示点M与M之间的距离•
(16) (本题满分6分)
设函数/■«)在［0,+oo)_h连续，且满足方程/'(Q = e4"+ /(*，京+汽)&dy,求/«).
(17) (本题满分6分)
设A为"阶非奇异矩阵,a为"维列向量0为常数.记分块矩阵
P=( E O x /A a)
\-aTA* |A|/V \«T b)
其中A*是矩阵A的伴随矩阵,E为"阶单位矩阵.
(I)计算并化简PQ;
(口)证明:矩阵Q可逆的充分必要条件是aTA-'a^b.
(18) (本题满分10分)
设3阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3；矩阵4的属于特征值1,2的特征向量分别是8 = ( — 1,一1,1广,
<*2 = (1,—2, — I)'
(I)求A的属于特征值3的特征向量；
(n)求矩阵A.
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com(19) (本题满分7分)
假设随机变量X的绝对值不大于l,P{X=-l}=g,P{X=l}=M，在事件{Tl,
(—8,1)和(1 , +8)内都满足所给方程，且满足条件火0) =0.
(15) (本题满分6分)
设函数，(z)连续，且—泌弓arctan x2.已知/(1) = 1,求j： /(x)dx的值.
(16) (本题满分7分)
设函数/•(/在区间［0,1〕上连续，在(0,1)内可导,fi/(0)=/(D=0,/(y)=l.试证：
(I)存在代(专,1),使为)=中
(n)对任意实数;i,必存在(o，i)，使得
(17) (本题满分9分)
a —1 c
设矩阵A= 5 b 3 ，且|A|=-1,又设A的伴随矩阵4•有特征值入。，属于入。的特征向量为a=
c 0 —a,
(―1,—求Q,》,C及人0的值. 、
(18) (本题满分7分)
设A为m" 实矩阵,E为〃阶单位矩阵，已知矩阵B=AE+AtA,试证:当；1>。时，矩阵B为正定矩阵.
(19) (本题满分9分)
假设二维随机变量(X,Y)在矩形
G= {(z,/) 10W«rW2,0}
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com上服从均匀分布.记
j。，XVY，E。，X<2Y,
11, X>Y, 11, X>2Y.
(1)求。和\/的联合分布；
(口)求U和V的相关系数r.
((20) 本题满分7分)
设Xt,X2,-,X,是来自正态总体X的简单随机样本，
Yi=£(Xi+・“+X6)X=§(X,+X8+X9),
0 6
亨=十 £(X, — Y) ,z =丝砰2,
证明统计量Z服从自由度为2的z分布.
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com⑼设A为n阶实矩阵,4丁为A的转置矩阵，则对于线性方程组（I ） ：AX=0和（］］）：ATAX=O,必有
（a） （ n）的解是（I ）的解，（I ）的解也是（□）的解.
（b） （ n）的解是（i）的解，但（i）的解不是（口）的解.
（o（ I）的解不是（n）的解，（口）的解也不是（I）的解.
（D）（ I）的解是（口）的解，但（u）的解不是（I）的解.
（10） 在电炉上安装了 4个温控器,其显示温度的误差是随机的.在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低
于临界温度姑，电炉就断电.以E表示事件“电炉断电”，而为4个温控器显示的按递增
顺序排列的温度值,则事件E等于
（ A） （T（i）^-to｝. （B） ｛ T（2）｝•
（C）｛T（3）>A）｝・ （d）｛t（4）^o｝.
三、解答题：11〜19小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（11） （本题满分7分）
求微分方程丁一2j—f=0满足条件火0） = l,j/（0） = l的解.
（12） （本题满分7分）
计算二重积分『,&,其中D是由曲线v =—a+ （a>0）和直线围成的区域.
W v4a2 — — y
（13） （本题满分7分）
假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品,两个市场的需求函数分别是
pi =18—2Qi, pz = 12—Q,
其中Px和Pl分别表示该产品在两个市场的价格（单位:万元/吨），Q1和Q分别表示该产品在两个市场的销
售量（即需求量，单位:吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是
C=2Q+5,
其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即Q=Q】+Q.
（I ）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；
（n）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利
润最大化;并比较两种价格策略下的总利润大小.
（14） （本题满分8分）
求函数y=（工一l）exp｛号+arctanz｝的单调区间和极值,并求该函数图形的渐近线.
（15） （本题满分7分）
p-2. 8
设 L= sin"j7cos = 0,1,£,•••,求习 L・
Jo M
（16） （本题满分7分）
设函数 在［0,招上连续，且［y（x）dr = 0,1, /（x）cos xdr = 0.
J J
0 0
试证明:在（oe）内至少存在两个不同的点&,&,使y（&）=r（&）=o.
（17） （本题满分8分）
设向量组 ai =（a,2,iO）T,a2 = （—2,l,5）T,a3 = （ —l,l,4）T,p=（l,》,c）T.试问：当 a,b,c 满足什么条件时.
（I ）0可由a】,a2 03线性表示,且表示唯一？
（口）。不能由a, ,a2 ,a3线性表示？
（HI）P可由,a2 ,a3线性表示，但表示不唯一？并求出一般表达式.
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com(18) (本题满分10分)
设有n元实二次型
/(Xi，:Cz，"•，甚)= (zi+ai工？)' +(& +纺工3)' + "・ + (工”-1 +a„-i^„)2 + (x„+a„xi)2,
其中a,(£=1,2,…，n)为实数.试问：当％,%,…，a,满足何种条件时，二次型 g ，…，工”)为正定二
次型.
(19) (本题满分9分)
设A, B是两个随机事件，随机变量
X=J1， A 出现，丫=(1， B 出现，
-l-l, A不出现，一1一1, B不出现.
试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立.
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com其中4可逆，则BT等于
(A)4TRR. (B)RATR. (OR"-'. ( d ) p2a-'p1.
a
⑼设A是〃阶矩阵,a是"维列向量.若 = r(A),则线性方程组
0
(A)AX=a必有无穷多解. (B)AX=a必有唯一解.
(C)
A a)(：)=。仅有零解• (d)C
；)(：)=。必有非零解・
«T 0
(10)将一枚硬币重复掷"次，以X和丫分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于
-壬(A)-l. (B)0. (C)y. (D)l.
三、解答题：11-20小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(11)(本题满分5分)
设u=f(.x,y,z)有连续的一阶偏导数，又函数y=y(.x)及z=z(x)分别由下列两式确定:
—xy=2 和 ex= | 理口也，
((12) 本题满分6分)
已知f(工)在(—8,+8)内可导，且lim/(x) = e,
求c的值.
(13) (本题满分6分)
求二重积分］Jy［l+HeMw>］drdv的值，其中D是由直线、=H,y= — 1及了=1围成的平面区域.
(14) (本题满分7分)
已知抛物线y= H +gx(其中p<0,9>0)在第一象限内与直线z+y=5相切,且此抛物线与z轴所围成的平
面图形的面积为S.
(I )问力和q为何值时,S达到最大值？
(口)求出此最大值.
(15) (本题满分6分)
设/Xz)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且满足
2
/XI) = x^~xf(,x)dx{k >1),
J o
证明至少存在一点 托(0,1),使得，(争=明一广)f(£).
(16) (本题满分7分)
已知九&)满足
(x)=/„ (x) 4-y1 e1 (n 为正整数)，
且y,(i)=于,求函数项级数S/„(x)之和.
n ”=1
(17) (本题满分9分)
1 1 al 1 '
设矩阵A= 1 a 1 /= 1 .已知线性方程组AX="有解但不唯一，试求
、a 1 1, 〔一2,
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com(I )a的值；
(n)正交矩阵q,
使。『A。为对角矩阵.
(18) (本题满分8分)
设A为〃阶实对称矩阵,r(A)=n,A0是A = (% )“x”中元素知的代数余子式(/,顶=1,2,•・・,〃)，二次型
/(X1 ,乃，…，工〃)= SS
4 |
i=l )=1 I
(I)记X=S，如…，工"，把/'3，血，…，工”)写成矩阵形式，并证明二次型/XX)的矩阵为A-1 ；
(n)二次型g(X)=XTAX与/(X)的规范形是否相同？说明理由.
(19) (本题满分8分)
一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差为5千克.若用最大载
重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于
0. 977. (@(2)=0. 977,其中垂(z)是标准正态分布函数)
(20) (本题满分8分)
设随机变量X和Y的联合分布是正方形G={(x,＞) 11＜了＜3,上的均匀分布,试求随机变量U=
|X-Y|的概率密度p3).
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com(9) 设随机变量x和丫都服从标准正态分布，则
(A)X+Y服从正态分布. (B)X2 +Y2服从/分布.
(C)X2和Y2都服从,分布. (D)%2/^服从F分布.
三、解答题：10〜19小题，共73分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(10) (本题满分5分)
arctand + \du
求极限lim ----------- .
T Z ( 1 — COS X)
(11) (本题满分7分)
函数u=/(x,j/,z)有连续偏导数，且z=z(j：,y)由方程xez~yey=zez所确定，求du.
(12) (本题满分6分)
设及肝了)=煮，求【奈^②丘
(13) (本题满分7分)
设D是由抛物线和直线x=a,x= 2及y=0所围成的平面区域;0是由抛物线'=2/和直线y=0,
■r=a所围成的平面区域，其中00.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点££［a/］,使
J /'(•r)g(H)& = /(f)J g(z)dr.
(16) (本题满分8分)
设齐次线性方程组
ax\ +如2 +如+・・・+M”=0,
bq +心2 +如+…+如》= 0,
-1, 11, U>1.
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com试求(I )X和Y的联合概率分布；
(n )D(X+Y).
((19) 本题满分9分)
假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间(EX)为5小时.设备定时开
机,出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y
的分布函数F(jO.
2002年全国硕士研完生入学统一考试数学三试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com(A)a=b 或0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特
征值之积为一 12.
(I )求。/之值；
(n)利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
(21) (本题满分13分)
设随机变量X的概率密度为
3育心，盯
〔0, 其他，
F(z)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数.
(22) (本题满分13分)
设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为X〜(o\ 。如)，而Y的概率密度为/(j,)，求随机变量U=
X+Y的概率密度g(u).
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com③ 若lim^>l,则£ "”发散；
一虬 ”=］
④ 若£ (“n+q)收敛，则力“”，£耳都收敛.
n=l n=l n=l
则以上命题中正确的是
(A)①②. (B)②③. (C)③④. (D)①④.
(11) 设/(工)在［a/］上连续，且/(a)>0,/(6)<0,则下列结论中章探的是
(A) 至少存在一点 xo€(a,6),使得 /(xo)>/(a).
(B) 至少存在一点心£ (a/),使得
/)至少存在一点西e(a,6)，使得/(%) =0.
(D)至少存在一点工低(a,b),使得/(xo) = 0.
(12) 设n阶矩阵A与B等价,则必有
(A)当 |4| =a(aUO)时，|B| =a. (B)当 |4| =a(aUO)时，|B| =-a.
(C) 当⑷丈0 时，|B|=0. (D)当 |A|=0 时,|B|=0.
(13) 设n阶矩阵4的伴随矩阵A，KO,若& ,&,&,&是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解,则对应的齐次
线性方程组Ax=0的基础解系
(A)不存在. (B)仅含一个非零解向量.
(C)含有两个线性无关的解向量. (D)含有三个线性无关的解向量.
(14) 设随机变量X服从正态分布N(0,l),对给定的a(0u.}^a.若P{|X|Vr}=a,则工
等于
(A)uf. (B)wi—j_ (C)“ 母. (D)ui-„.
三、解答题：15-23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明打程或演算步骤.
(15) (本题满分8分)
_p... ( 1 cos 纭、
求格?(甚_丁人
(16) (本题满分8分)
求。(丁？¥7+')也,其中D是由圆t2+^=4和(x+l)2+^ = l所围成
D
的平面区域，如图所示.
(17) (本题满分8分)
设六了) ,g(G在也，切上连续,且满足
| 了”)也> j g(t)di,z£ ［口,们，
I* f(t)dt= ［ gQ)dz.
J a J a
证明：j xf(.x~)dz^ | j：g(工)dr.
(18) (本题满分9分)
设某商品的需求函数为Q=100-5P,其中价格P€(0,20),Q为需求量.
(I)求需求量对价格的弹性Ed(E』>0);
(口)推导*=Q(1-EQ(其中R为收益)，并用弹性耳说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益
增加.
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
考研电子版网站：www. pdf2book. com((19) 本题满分9分)
设级数
~ 1 —------1------------------■♦♦ (
2X4 2X4X6^2X4X6X8 ' ,
的和函数为S(z).求：
(I )S(z)所满足的一阶微分方程；
(ii)s(h)的表达式.
(20) (本题满分13分)
设 ai =(l,2,0)T,a? = (l,a+2,—3a)T,a3 = ( —1,—i»—2,a+2Z>)T ,^=(1,3,—3)T，试讨论当 a,b 为何值时,
(I)"不能由ai ,a2 ,a3线性表示；
(U)P可由ai ,a2 .a3唯一地线性表示，并求出表达式；
(ID)P可由a> ,a2 ,a3线性表示，但表达式不唯一，并求出表达式.
(21) (本题满分13分)
设〃阶矩阵
1 b・ , b
b 1・ ,b
b b・ -1 .
(I)求A的特征值和特征向量；
(n)求可逆矩阵p,
使得p'ap为对角矩阵.
(22) (本题满分13分)
设A,B为两个随机事件，且P(A)=+，P(B|A)=夺,P(A|B)=岑,令
q 乙
X=J1，A 发生，丫=(1, B 发生，
—io, A不发生, U, B不发生.
求：(I)二维随机变量(X,Y)的概率分布；
(U)X与Y的相关系数％,;
(in)z=x2+y2的概率分布.
(23) (本题满分13分)
设随机变量X的分布函数为
J1—(但)、K,
F(z；a,R)=j H
I。，
其中参数a>o,/3>l.设X|,Xz,…,X”为来自总体X的简单随机样本.
(I )当a=l时，求未知参数0的矩估计量；
(U)当a=l时，求未知参数/?的最大似然估计量； b
(DI)当向=2时，求未知参数a的最大似然估计量.
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
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