文档内容
2009-2020
金榜時代
GGLUISSTTIMgEl明M稳f—弘M毁■M惟Fg帮a0 o8s
金物时使考研数学系列丨V研客及全国各大考研培训学校物定用书
数数学学历历年年真真题题
全精解析•提高篇
全精解机·提高篇题册
编著◎李永乐王式安武忠祥宋浩姜晓千硕哥(薛威)刘喜波
编著◎李永乐E式安武忠祥宋浩姜晓下 硕渺（建威）刘样波
章章纪纪民民 陈陈默默申中亚亚男男毕毕生生明明朱朱杰杰王王一一鸣鸣吴吴紫紫云云
主编建议|与与《数《数学学复复习习全全书书·
•
提提高高篇篇》》《《数数学学基基础础过过关关666600题题》》《《数数学学强强化化通通关关333300题题》》配配合合使使用用，，学学习习更更高高效效
22000099--22002233年年的的考考试试真真题题，，逐逐题题逐逐步步解解析析 □
真题真相
历历年年考考题题题题型型分分类类全全汇汇总总，，解解锁锁命命题“题套“套路路””
升级铁化
内内含含答答题题区区域域，，题题目目与与解解析析分分册册，，做做题题不不受受答答案案影影响响，,
核核对对答答案案便便捷捷易易用用
□
考试时看到题目，模糊地记得书上看到过同类题目，但清晰地记得自己没有做。
增值服努扫扫码码看看课课
X中中国国农农业业出出版版社社
CHNAAGRICULIURE PRE SS
CHINAAGRICULTURE PRESS目录
目录
Contents
Contents
第第一一篇篇最最新新真真题题
2023年全国硕士研究生招生考试数学(一)试题……………………………………………1
2023年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题 1
第第二二篇篇真真题题分分类类解解析析
第一部分高等数学……………………………………………………………………………
第一部分高等数学.................................................................... 5
第一章函数、极限、连续……………………………………………………………………5
第一章函数、极限、连续............................................................. 5
第二章一元函数微分学…………………………………………………………………24
第二章一元函数微分学 ...........................................................24
第三章一元函数积分学…………………………………………………………………49
第三章一元函数积分学 ...........................................................49
第四章向量代数和空间解析几何………………………………………………………72
第四章 向量代数和空间解析几何 .................................................72
第五章多元函数的微分学………………………………………………………………73
第五章 多元函数的微分学 ........................................................73
第第六六章章重重积积分…分…..…...…..…..…...…..…...…..…...…..…...…..…...…..…..…...…..…...…..…...…..…...…..…...…..…..…...…..8899
第七章曲线、曲面积分…………………………………………………………………105
第七章 曲线、曲面积分 .......................................................... 105
第八章无穷级数…………………………………………………………………………119
第八章无穷级数..................................................................119
第九章常微分方程………………………………………………………………………133
第九章常微分方程 133
·1 ·
• 1 •第二部分线性代数…………………………………………………………………………142
第二部分线性代数.................................................................. 142
第一章行列式……………………………………………………………………………142
第一章行列式.................................................................... 142
第第二二章章矩矩阵阵….…..…...…..…..…...…..…...…..…..…...…..…...…..…...…..…..…...…..…...…..…...…..…..…...…..…...…..…...…..114477
第三章向量………………………………………………………………………………159
第三章向量.......................................................................159
第四章线性方程组………………………………………………………………………170
第四章线性方程组................................................................170
第五章特征值与特征向量………………………………………………………………181
第五章特征值与特征向量.........................................................181
第六章二次型……………………………………………………………………………192
第六章二次型.....................................................................192
第三部分概率论与数理统计………………………………………………………………201
第三部分概率论与数理统计.........................................................201
第一章随机事件和概率…………………………………………………………………201
第一章随机事件和概率...........................................................201
第二章随机变量及其分布………………………………………………………………205
第二章随机变量及其分布.........................................................205
第三章多维随机变量及其分布…………………………………………………………208
第三章多维随机变量及其分布................................................ 208
第四章随机变量的数字特征……………………………………………………………214
第四章随机变量的数字特征...................................................... 214
第五章大数定律和中心极限定理………………………………………………………223
第五章大数定律和中心极限定理..................................................223
第六章数理统计的基本概念……………………………………………………………226
第六章数理统计的基本概念...................................................... 226
第七章参数估计…………………………………………………………………………230
第七章参数估计..................................... 230
第八章假设检验…………………………………………………………………………239
第八章假设检验..................................................................239
·2 ·
• 2 •第一篇 最新真题
绝绝密密★★启启用用前前
22002233年年全全国国硕硕士士研研究究生生招招生生考考试试
数数学学(一（一)）
（(科科目目代代码码：：330011)）
考考生生注注意意事事项项
11.. 答
答
题
题
前
前
，
，考
考
生
生
须
须
在
在
试
试
题
题
册
册
指
指
定
定
位
位置
置
上
上
填
填
写
写
考
考
生
生
编
编
号
号
和
和
考
考
生
生
姓
姓
名
名
；
；
在
在
答
答
题
题
卡卡指指定定位位置置上上填填写写报报考考单单位位、、考考生生姓姓名名和和考考生生编编号号，，并并涂涂写写考考生生编编号号信信
息息点点。°
22.. 选选择择题题的的答答案案必必须须涂涂写写在在答答题题卡卡相相应应题题号号的的选选项项上上，，非非选选择择题题的的答答案案必必
须须书书写写在在答答题题卡卡指指定定位位置置的的边边框框区区域域内内，，超超出出答答题题区区域域书书写写的的答答案案无无效效；;
在在草草稿稿纸纸、、试试题题册册上上答答题题无无效效。。
33.. 填填(（书书)）写写部部分分必必须须使使用用黑黑色色字字迹签迹字签笔字书笔写书，写字，字迹迹工工整整，笔，笔迹迹清清楚楚；；涂涂
写写部部分分必必须须使使用用22BB铅铅笔笔填填涂涂。。
44.. 考考试试结结束束，，将将答答题题卡卡、、试试题题册册和和草草稿稿纸纸按按规规定定交交回回。。
考生编号
考生姓名
· 1 ·
. 1数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇
一、选择题(1 10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合
一、选择题(1〜1()小题，每小题，分，共5()分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合
题目要求的.)
题目要求的.)
e+ 1
(1)曲线v = zln((e +土)的)斜渐近线方程为
(1)曲线y=xln| x-1 的斜渐近线方程为
1·
(A)y=x+e. ((BB))> y== xx ++ |e'.
(My = x + e.
1·
(CCO)yy =xx.. ((DD))yy == xx -—e'.
e
((22)) 若若微微分分方方程程yy+”ay+a'y+′by+b =y 0=0的的解解在在(一(-8o,,+十c)8上)有上界有界，，则则
-
((aAA<)0)a,<60>,0b.>0. ((BB))aa>>00,,6b>>00..
((CC))aa == 00,,6b >>0 0.. ((DD))aa == 00,,6b <<0 0..
{ (xx =—2 t2t+ +1\t t| \,,
((33)) 已已知知>y == f/((xx))由由' ,, 确确定定，，则则
Lyy ==| t| IZ |s isinn t«
((AA)f)(/x(x)连)连续续，,f/((00)不)不存存在在。. ((/(BB0)))f(0)存存在在，，f(f(zx))在在xx ==0 处0处不不连连续续..
( ( C C )f ) ( / x ( ) x 连 )连 续， 续 f , ” /( ( 0 0) ) 不 不 存 存 在 在. . ( (D D) ) f f ” ( ( 0 0 ) ) 存 存 在 在 ， ， ， f ( ” 工 ( ) x 在 )在 x x = = 0 0 处 处 不 不 连 连 续 续 . .
00. 00 0O0O 080
(4)已知a,σ0>)0是)是未未知知参参数数.若.？若 α=aI |XX]:—-
Xx?2I 为I为σ。的的无无偏偏估估计计，，则则aa ==
√π √2π
( ( A A ) )亨 2 . ( ( B B ) ) 2 ((CC)√)&π. ( ( D D )√ )扁 2π . .
二二、、填填空空题题((1111〜～1166小小题题，，每每小小题题55分分，，共共3300分分..))
_。
(11)当x→0时，函数f(x)=ax+bx2+In(1+x)与g(x)=e2-cosx是等价无穷小，则ab=
(11)当工―>0时，函数，(*) = az + &c2 + ln( 1 + x)与g(z) = e* — cos工是等价无穷小，则沥=
((1122)) 曲曲面面zz ==x x+ 2+y +2jl/ n+( 1ln+x(2l++yx22)+在y点)(在0,点0(,00,)0处,0的)处切的平面切方平程面为 方 程 为_..
ao
+ 20a0,cos nπx,
((1133)) 设设 /f((xx))是是周周期期为为 22 的的周周期期函函数数，且， y且&f)( =x) 1= —1- x,x∈6 [[00,,11]]..若若 ff((-rx))== 号 + >]a,cos mx,
2
-1
则则、乙aa2n? == _.
=n=1 1
(14)设连续函数f(x)满足：f(x+2)-f(x)=x, f(x)dx=0,则 则 j f/X(xi))cdLxz= = .
0
1 -1 0 1
0 -1 1 1
(15)已知向量a?= 1 ,α?= 0 ,α?= -1 ,β= 1 ,y=k: k a xa ? \ + + k 奴 ?a 。 ?+ 2 k + ? 幻 a? 。 . 3 若 .若 γ r ' ra a , , = =
1 1 1 -1
βa,(i=1,2,3),则k1+2+好=_ _.
1 1
(
(1
1
6
6)
)设
设
随
随
机
机
变
变
量
量
X
X与
与
Y
Y
相
相
互
互
独
独
立
立
，
，且
且
X
X～
〜
B
B
|
((1l,,y),,YY～〜 BB((22,,§)),,则则PP{(XX == YY)) ==_ _..
3 2
三
三
、
、解
解
答
答
题
题((
1
1
7
7〜～2
2
2
2
小
小
题
题
，
，
共
共
7
7
0
0
分
分
.解
.解
答
答
应
应
写
写
出
出
文
文
字
字
说
说
明
明
、
、
证
证
明
明
过
过
程
程
或
或
演
演
算
算
步
步
骤
骤
.
.
)
)
((1177))((本本题题满满分分1100分分))
设设曲曲线线yy= =y(、x)&()x(>0%)>经 0过)经点过(1点,(21),,2该),曲该线曲上线上任任一一点点P(Px(,xy),>到)到y轴夕的轴距的离距离等等于于该该点点处处的的
切切线线在在yy轴轴上上的的截截距距..
((I[))求求y y((xx));s
((ⅡH))求求函函数数/f((xx)) == £y
y
(
(
t
t
)
)
d
d
z
t
在
在
(
(
0
0,
,
+
+
oo
8
)
)
上
上
的
的
最
最
大
大
值
值
.
.
·3 ·
. 3 •―数数学字历历年年真真题题全全精精解解析析·•■提高—篇((数数学学一一))
((1188)) ((本本题题满满分分1122分分))
求函数f(x,y)=(y-x2)(y-x3)的极值.
求函数 f(.x,y~) = (y — x2')(y — x3)的极值.
((1199)) ((本本题题满满分分1122分分))
设
设
空
空间
间
有
有
界
界
区
区
域
域
0
Ω
由
由
柱
柱
面
面
x2
x
+
2
y
+y
z
2
=
= 1
1
与
与
平
平
面
面
x
z
=
=
0 和
0和
x+
z
x =
+
1
z
围
=
成
1
，
围
Z为
成
Ω为边。界
边
面
界
的
面
外
的
侧
外
，
侧，
计计算算曲曲面面积积分分
II ==中 ① 0222x_xrzddy；dyzd+z x+z cxozsco sy dyzddzxd+x3 +yz s3iynzs ixnd xxddxyd.y.
2
((2200)) ((本本题题满满分分1122分分))
设
设
函
函
数
数
f
八
(x
工
)在
)在
[［--aa,a,]a上］具
上
有
具
2
有
阶2连
阶
续
连
导
续
数
导
.
数
证
.
明
证
：
明：
1
((II ))若若f/(XO0))==0 ,0则,则存存在在 Ef ∈£ ((--aa,,a a)),,使使得得f,((eQ) == ^[［ff((aa))++ff((--aa))]］:；
a2
1
((ⅡU))若若f g(x)在 在(一(-aa,,aa)内)内取取得得极极值值，，则则存存在在n戒∈((一-aa,,aa)),,使使得得|l f/((η,)) l1≥2志|If ， ((aa))--f/((-—aa))| .|.
2a2
((2211)) ((本本题题满满分分1122分分))
已
已知
知
二
二
次
次
型
型 /(f
X
()x，?以,x
，工
z
3
,)x
=
? )=x
+
1
2
+
x
2
f
x
+
2 +
2
2
x
x
|
3
+
+ 22
x
x
i
?
x
x2 ?
—
-
2
2
了
x
1
?
无
x?，g ,
(
g
jh
( y
,
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y2
,
9
y
y
?
3
,
)
y
=
? )
yi
= y
+
1
y
+
l
y
+
2+
y
y
l
3
+
+
2y?y?.
2了2、3・
((II) )求求可可逆逆变变换换xx= =Py P将yf将(xf? (,工xi?皿,x?,a)化)化为为g(gy(?j,y】y，?力,y，*?));;
((ⅡII))是
是
否
否存
存
在
在
正
正
交
交
变
变
换
换
x
x
=
=Q
Q
y将
y将
f(
f
x
(
?
0
,x
,
?
互
,x ，无?)化)化为为g(gy(?/,i y»?^,2必 y?)
)
?
？
((2222)) ((本本题题满满分分1122分分))
设设二二维维随随机机变变量量((XX,,YY)的)的概概率率密密度度为为
入 2
-π((xx22++yy2)), ,x
h
2+y2
i
≤1,,
f/((xx,,yy)) == < n
0,
0, 其其他他..
((Il)) 求求XX与与Y的丫协的方协差方差；；
((Ⅱn))xX与与Y丫是是否否相相互互独独立立?？
((mⅢ) )求求zZ == Xx22+ Y+2 y的2概的概率率密密度度..
· 4 ·
• 4 •— — 一 一
魅第二篇 真真题题分分类类解解析析
____________________
第第一一部部分分 高 高等等数数学学
第第一一孝章 函函数敬、、极柢限限、、连连续礁
本本章章导导读读
函函数数是是微微积积分分的的研研究究对对象象，，极极限限是是建建立立微微积积分分理理论论和和方方法法的的基基础础，，连连续续性性是是函函数数的的基基本本性性质质，，
是是函函数数可可导导和和可可积积的的基基本本条条件件，，连连续续函函数数是是微微积积分分所所讨讨论论的的函函数数的的主主要要类类型型.因.因此，此函，函数数、、极极限限与与
函函数数连连续续性性是是本本章章的的主主要要内内容容，，也也是是微微积积分分的的理理论论基基础础。.
本本章章的的主主要要内内容容有有：：
11.. 函函数数的的概概念念，，基基本本性性质质及及复复合合函函数数。.
22.. 极极限限的的概概念念、、性性质质、、存存在在准准则则及及求求极极限限的的方方法法，，无无穷穷小小量量的的概概念念、、性性质质及及阶阶的的比比较较..
33.. 连连续续的的概概念念，，间间断断点点及及其其分分类类，，连连续续函函数数的的性性质质（(运运算算性性质质及及有有限限闭闭区区间间上上连连续续函函数数性性质质)）..
试试题题特特点点
本本章章是是微微积积分分的的基基础础，，每每年年必必考考..本本章章的的特特点点是是基基本本概概念念和和基基本本理理论论非非常常多多，，许许多多考考题题重重点点考考
查查这这些些基基本本概概念念和和基基本本理理论论，，从从往往年年试试卷卷分分析析情情况况来来看看，，失失分分率率比比较较高高，，因因此此，，望望考考生生重重视视基基本本概概
念念和和基基本本理理论论的的复复习习..
本章常考题型
11.. 求求极极限限..
22.. 无无穷穷小小量量及及其其比比较较..
33.. 求求间间断断点点及及判判别别间间断断点点类类型型..
0
无
无
穷
穷
小
小
量
量
比
比
较
较
实
实
际
际
上
上
就
就
是
是
研
研
究
究
“
“骨”"型型极极限限，，而而间间断断点点类类型型判判定定的的关关键键也也是是求求极极限限，，所所以以，，本本章章
0
常常考考的的三三种种题题型型的的核核心心都都是是求求极极限限..重重点点是是求求极极限限的的常常用用方方法法(如（如有有理理运运算算、、基基本本极极限限、、等等价价无无穷穷
小小代代换换、、洛洛必必达达法法则则等等)）..
·5 ·
• 5 •数学历年真题全精解析·提高前(数学一)
数学历年真题全精解析.很（数学一）
真真题题分分类类练练习习B
一-、、极根阳限的的祖概忘念与与性性质质
近近年年来来没没有有直直接接考考查查极极限限概概念念的的题题，，可可以以看看看看早早年年其其他他卷卷别别的的题题做做参参考考..
顶解解题题加加速速度度
1]..(（ 11999999.,教数二二..33分分）)"“对对任任意意给给定定的的e£e ∈（0(,01,）1,)总,总存在存正在整正数整N数,N当,当n>n> NN时时，，恒恒有有3|x“, 一-aal |≤<
22ee””是 是
数
数
列
列
｛
(右x,
｝
)
收
收
敛
敛
于
于aa的
的
(（AA)）充充分分非非必必要要条条件件.. （(BB）)必必要要非非充充分分条条件件..
(（CC)）充充分分必必要要条条件件.. （(DD）)既既非非充充分分也也非非必必要要条条件件..
22.. (（11999999年年，.数数二二，，7分7分）)设设八f(了x)）是是区区间间[[00,, +4∞-o]o上）单上调单减调减少少且且非非负负的的连连续续函函数数，,
aa„, ==2》f(f.kk)） -— J f/(（xx）)ddxx (（nw= 1=. 12,.2…，…)）
1
k=1
证证明明数数列列{｛aa,」)的的极极限限存存在在..
。6 ·
, 6 ,第一章 函数、极限、连续
第一章 函数、极限、连续
3
3.
. (
(2
2
0
0
1
1
4
4.
,数
数
三
三，，
4 分
4分
)
设)设limliam” a=,□=a,，且且aa ≠00,则,则当当n〃充充分分大大时时有有
”一* 8
*00
lal· lal 1 1
(
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A)
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|
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a
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((BB)) |a| 。an I| > a q 一 ——n. (
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界
是
是
数
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列
列
(｛aa,n｝)收收敛敛的的
((AA))充充分分必必要要条条件件.. ((BB))充充分分非非必必要要条条件件..
((CC))必必要要非非充充分分条条件件.. ((DD))既既非非充充分分也也非非必必要要条条件件..
演算空回
K小小结结
((11)) 极极限限的的概概念念重重点点是是理理解解数数列列极极限限的的ee--NN定定义义和和函函数数极极限限的的ee--δ8及及ee—-XX定定义义，，而而不不是是用用
定定义义证证明明极极限限..
((22)) 极极限限的的性性质质重重点点是是：:有有界界性性、、保保号号性性及及有有理理运运算算性性质质..
((33)) 极极限限的的存存在在准准则则重重点点是是：:单单调调有有界界准准则则和和夹夹逼逼定定理理..
二二、、求京函函数数的的极根阳限
=
x2
[ ]
[J(2010,l 题,4 分)极限啊=
(2010,1题，4分)极限lim
(x-a)(x+b).
1→00
((l.AA))1. ((BB))ee.. ((CC))ee2a→-\. ((DD)e)°e-〜“.
答答题题区区
·7·
-7 -数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(数学一
1
02(2（021011,11,51题5题，，1100分分)）求求极极限限l1i四m [ ［ Ilnn(( 1 x 1++ xx)) ]2-1
答题区
答题区
e÷
[ t2(( -1) -t] dt
·
1
H(（22001144,,1155 题题，，1100 分分）)求求极极限限 lliimm 1
+0 xS2lnn((l 1 + + £x))
答答题题区区
=_ _.
In(cos x)
04(2(021051,59,9题 题， ， 44 分分))lliimm 上(
x
c《
2
s也
X→—00 X
答答题题区区
·8 ·
-8 -第一章 函数、极限、连续
第一章 函数、极限、连续
合 =_ _.
t，llnn ((11 +
+
ts tisnin t
t
)
)
d
d
t
t
§5((22001166,,99题 题，，44 分分))lliimm 0 ----------- ；——
1— cos x2
0X-*O 1 — cos X
答答题踱区区
—-
= _.
1 1
[ ]
屈（2。2。,9题,4分）时土-成%
6(2020,9题，4分)lim e'—1
In(1+x)
0
答答题题区区
。
1+ e/dt |
·
1
E|<(22002211,,1177 题题，，1100 分分))求求极极限限lliimm
→__ 0n e2—1 sin x
答答题题区区
H8( ( 220O222,21,1题题， ，55分分))设设函函数数f/(&x))满满足足li四m f 芸
I
(
n
x 孚 )
x
==1,1， 则则
→1
((AA))f/((1l)) == 00.. ((BB)) lilmimf(/x(x))= =0. 0.
→x-1»°l
(C)f(1)=1. (D)limf(x)=1.
(0/(1) = 1. (D) hmf,(x) = 1.
1X—1
答答题箍区区
,9
-9 -数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇■((数数学学一一)) 龙
(B)
解题加速度
解题加速度
√T+tanx-√I+sinx
1. (199、.数二.「分)求极限 lim -I + .料 + 严
1.(1999,数二.5分)求极限lim
+l0o
xxlnI(n 1( ~1r+ xx) )—一 zx
廣算空间
1 门2+cos x) ]·
2. (2001.41^.10 分)求极限li吁 )一-11].
2.(2004.数二，10分)求极限lim x3 3
x→0
满背空间
—1)点
33.. ((220011(0)..教数三三..11()0分分))求求极极限限l liimm( x(h2+ — 1)在.
0
满葬空间
·10 ·
. 10 .____________ • 《 第第一章一 章 函函数教、、极极限限、连、连续续
.
1
(
.
19
(
9
1
4
9
.
9
救
4.
三
数
，
三
4分
分
)求
)
极
求
限
极
l
限
im
l[im
x-
[
x
_
2
r
l
_
n
/l(n1(+l + 1
x
)§])
·
].
×→0
演算空间
(200(),数二.1分)若临((s血in 66丁x七+x”f(&x))))= °,则临 6+fx 世 (x) 为
5.(2000,救二.4分)若lim =0,则lim 为
x3
L
x→
0
0
\ X / →X-00 X
((A0A.))0. ((BB))66.. ((C0)3366.. ( ( D D )o ) o o . o.
演算箜间
演算空间
(1-cos x)[x-In(1+tan x)]·
6. (2009,数二.9 分)求极限lim cosQM — lnd + tanQ]
6.(2009,数二.9分)求极限lim sin'x
L→00
演演尊算空空间间
·11 ·
-11数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇(数学一)
=_ _.
1+e2 cot x
(/ 1 + e' )\ E m
7.(2022,数二，5分)lim
2
xX→—00 \ Z /
演算空间
小结
小结
o
0
11.. 求求函函数数的的极极限限主主要要是是求求未未定定式式 ( (
0
g,o竺o' ,，o8- c—o ,80·,0c o• ,81”,1,8c°,8,。0，°°。 ) )的的极极限限，，这这里里的的关关键键是是
0 0
前前两两种种，即，即“. ””型型和和““ 0
o
竺 ○, ””型型，，而而后后55种种都都可可化化为为前前两两种种，，前前两两种种当当中中特特别别是是““斗””型型考考得得最最多多，，求求
00 oo 0 U
“
0
“骨””型型极极限限主主要要用用三三种种方方法
0
0.
((11)) 利利用用洛洛必必达达法法则则.在.在处处理理““I■”"型型极极限限问问题题时时，，不不要要急急于于用用洛洛必必达达法法则则，，应应先先进进行行化化简简，，化化简简完完
0
后后再再用用洛洛必必达达法法则则.常.常用用的的方方法法有有：:极极限限为为非非零零常常数数的的因因子子先先求求出出来来极限极，限等，等价价无无穷穷小小代代换换，，有有理理化化..
(2)利用等价无穷小代换.
(2) 利用等价无穷小代换.
((33))利
利
用
用
泰
泰
勒
勒
公
公
式
式
：
:其
其
中
中ssini nxx,,lInn((l1++xx)), ,eex' ,,ccooss
x
x在
在
xh= 0
=
处
。
的
处
泰
的
勒
泰
公
勒
式
公
比
式
较
比
常
较
用
常
，
用,
考
考
生
生
应
应
熟
熟
悉
悉
.
.
22.. ““广1~””型型极极限限也也是是一一种种常常考考的的类类型型，，最最简简单单的的方方法法是是利利用用结结论论：：
若
若
lliimm
a
a
(
(
x
x
)
)
=
=0 ,0l,liimm .p((工x))=
= 8
co
,
,且
且
lliimma
<
(
z
x
(
)
x
p
)^
(
(
x
x
)
)
=
=
A A,则,则 l i
l
m
im
(1
(
+
l
a
+
(
a
x
(
)
z
)
)
×
)*
z
>
) =
=
e ?
eA
.
.
三三、、家求数数列列的的极根限限
0(2(0201111,,1188题题，，1100分分))((II ))证证明明：：对对任任意意的的正正整整数数n",，都都有有
1 (1+ 1 ) < 1
?> 00,,zx”,ee*'im ==e e^x-- -—1 (l(nn= 1=, 21,,…2,) —. 证).证明明(x｛,而》,｝收收
敛，并求limx,
敛，并求limi”.
n~*8
→00
答题区
答题区
。
lU(]2(021091,91,188题 题，，1100 分分))设设a a。n == [ xx°n √1—- xx'2ddxx((nn ==0 ,01,,12,,2…,…))..
J o
n-1
( ( I I )证)证 明 明 ：数 ：数 列 列 ( 也 a。 。 )单 单 调 调 减 减 少 少 ， ，且 且a a 。 ” = = n+2a,-?(n==2 2,3,3,…,…));；
n + 2
a。 ·
((Ⅱ口))求求l liimm 仝-.
0a-1
«-*°° Qi
答答颌题区区
π π
[f2i((22002222,,33题题，，55分分))已已知知数数列列(x仕。”)},,其其中中一一普≤Wx石,≤V音,，则则
2 2
乙 乙
(A)当limcos(sin x.)存在时，limx。存在。
(A) 当limcos(sin xn)存在时,limx„ 存在.
→n~0»08 n→~»080
(B)当limsin(cos x,)存在时，limx,存在，
(B) 当limsin(cos n)存在时,lim存在.
0n—»oa n*—»0oo
(C)当limcos(sin x.)存在时，limsin x。存在，但limx,不一定存在.
(C) 当limcos(sin x„)存在时,limsin xn存在，但limxB不一定存在.
”一»
→n-*0o0o n0~»08 →+800
((DD))当 当lilmimsisni(nc(ocso sx x,)n存)存在在时，时l,ilimmcocso sx x。n存存在在，，但但lliimmxz。”不不一一定定存存在在..
n—8
*n→-*0o0o n→~»080 →00
答答题题区区
。13
-13 -》__
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学一一)）
解
解
题
题
加加速速度度
2
1 1. . ( ( 1 1 9 9 9 9 8 8 . . 数 敬 四 四 . . 6 6 分 分 )求求极极限限lliimm
(
（
n〃t
ta
a
n
n
§
1
n
)
）（(刀n为为自自然然数数)。）.
4^
演演算算空空间间
÷=
.(2008.救四.4分)设0>0 0)）求求极极限限..
n~*8
1飞i汇理
·・ 1155 ·・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学一一)）
四、确定根限中的参数
x— arctan x
1E③((22001133,,11题题，,44分分))已已知知极极限限lliimm x ~ axr*fan J ==c ,c其,其中中k,kc,为c为常常数数，，且且cc≠尹00,则,则
0 lO X
1 1, 1。 1
((kAA))k == 22,,cc ==—- 2 .・ ( ( B B )4 ) k = = 2 2, , c c = = 2 ((CC))ik ==3 3,,cc ==——3 ・((DD))4k == 33,,cc == 3
答答题题区区
1
1 — tan x
E14((22001188,,99题题， ，44分分))若若lliimm ((匚 F哄) 云 共 ==ee,,则则人k== _ __ __ ____._.
xx→—0o \ 11 +十ta tna nx x) /
答题区
答题区
解
解
题
题
加加速速度度
.
1 1 . . (1 ( 9 1 9 9 4 9 , 4 数 ,数 二 二 ， ， 4 4 分 分 )设 )设 li l m imIlnn(1d++工x))-二(a(x心+ b土x2妃) , = = 2, 2 则 .W
x2
→x—00
X
5 5
K 5
((AaA)) a== 11,,6b ==—-
2
.・(B(B))aa ==0 ,0,b5 ==-—2.2. ((CC))a a== 00,,5b ==—-
2
((DD))aa == 11,,6b ==-一22..
乙
U
演尊空同
·・1
1
6
6
·
,第一章 函数、极限、连续
第一章 函数、极限、连续
ax— sin x
2 2 . . ( （ 1 1 9 9 9 9 8 8 , , 数 数 二 二 . ， 5 5 分 分 ) ） 确 确 定 定 常 常 数 数 a, a b , , b c , 的 c的 值 值 ， ， 使 使 l 0 l x i i - m * m 0 G x x 1 a Ik x ni (( — l1 ++ s ― i t尸 n 3 顽 ) x ) — d山t = =c c ( ( z c c ≠ 共 / 0 0 r ) x ) \ . .
t
b
演算空间
。
In(1+z2)d
ln(l + / )ck
33.. （(22001111,,数数二二，，101分0分）已)已知知函函数数FF（x(x）)== -----x-°-------，,设设 llimimF &F()x )== IlimimFF(x()x )==00,,试试求求 aa
工 →工—++080 l→o十0
的的取取值值范范围围。.
溪释空间
小结
小结
对对于于确确定定极极限限中中参参数数的的问问题题，，一一般般方方法法是是求求所所给给的的极极限限，，确确定定题题中中的的参参数数..有有些些参参数数在在求求极极限限的的
过过程程中中可可确确定定，，有有些些参参数数在在求求得得极极限限以以后后可可确确定定出出来来•.求求极极限限的的方方法法要要根根据据题题中中所所给给极极限限类类型型来来确确
0
定,一种最常见的类型是“音”型，常用的方法有三种：洛必达法则、等价无穷小代换和泰勒公式.
定，一种最常见的类型是“ ”型，常用的方法有三种：洛必达法则、等价无穷小代换和泰勒公式.
0
·17 ·
-17 -数
数
学
学
历
历
年
年
真
真
题
题
全
全
精
精
解
解
析
析
·
•
提提高高篇篇(
(
数
数
学
学
一
一)
)
五五、、无芜穷穿小
J•
量蚩及及其其阶阶的的比化较较
函15((22000099,,11题题，,44分分))当当ix-→*00时时，,/f(x(x) )==x x- s—i snian xa与r与g(xgC)=r)x '=I nx(M1n-db x—) 是&r等)是价等无价穷无小穷量小，量，则则
1 1 1 1 ·
(
(Aa
A
)
)a
=
= 1
1
,
,6
b
=
=
—
- 6 .
・ (
(
B
B
)q)
a
=
= 1
1
,
,
b
5=
=
4~
6'
.
(
(C
C
)
)
a
a =
=
-
—
1 ,
1
b
, 6
=
=
—
—
6 .
.
(
(
D
D
)
)a
a =
=
-
—
1
1
,
,
b
6=
=
-^
6
-.
6 6 6 o
答答题题区区
[1U6((22O01155,,115 5题题，，10 1分0)分设)函设数函 /数(Xf)(=x) x=+x+aalnln(l( +1+xx)) ++&brrssiinn xx,,gg((xx)) ==k kxr33,，若若 ff( (x工))与与 gg((xx))
在在xz→ —0 是0是等等价价无无穷穷小小，，求求aQ,,bb,,kb值值..
答答题题区区
,17((22001199,,11题题,，4分4分)当)当zx -►→ 00时时，，若若x x—- ttaann xx与与xr?r是"是同同阶阶无无穷穷小小，，则则4 k==
((l.AA))1. ((BB))22.. ((C0)33.. ((DD))44..
答题区
答题区
·・1
1
8
8
·
•。
第一章 函数、极限、连续
第一章 艮、连续
⑧[£((22002200,1,1题题，,44分分))当当xx→-o**0时+，时下，下列列无无穷穷小小量量中中最最高高阶阶是是
花
((AA))£((ee,Z2 --1D)ddtt.. ((BB))£lInn((l1 ++√ 7P?))ddtf..
0
(C) sin x sin t2dt. ( ( D D ) )r 1-c •c o os s X x √ Js s in i M n3t c d k t .
0 0
答答题题区区
Q解题加速度
解题加速度
1.(2011.数二.4分分：)已已知知当当zx →—0 O时时，，/f((xx)) ==3 s3isninx -xs —in s i3nx 3与xc与x*c是xk等是价等无价穷无小穷，小，则则
((AAA))k ==1 1,9cc ==4 .4. ((BB)为)k==119,c c==—-4 4..
((ACC))k == 33,,cc= = 4 4.. ((DD))龙k==3.3c,c ==—— 44..
演演算算空空间间
—
1+x 1
22.. (2<02120,1数2二..1.100 分分 )已已知知函函数数f/(Xxz))==
si
虹
n x
比一x【,记，记a a= =l ilmifm(/x()x.).
sm z x xh→-0°o
((II) )求求a的a的值值；；
(Ⅱ)若当x→0时，f(x)-a与x*是同阶无穷小，求常数k的值。
(U)若当工—0时,/(x) - a与/是同阶无穷小，求常数&的值.
演演算尊空箜间间
·- 1199 ·・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇((数数学学一一))
π
33.. (2(2001133,,数数二二，，4 4分分))设设 ccoos szx —-1 1= =r sxisnina (ax()工,)其,其中中| |a a((xx))| | <<2 奇 , •， 则 则 当 当 x x → -► 0时 0 ， 时 a ， (x)是 是
( ( A A )比 )比 x高 1高 阶 阶 的 的 无 无 穷 穷 小 小 . . ((BB))比比x工低低阶阶的的无无穷穷小小。.
(
(
C
C)
)
与
与
x
x
同
同
阶
阶
但
但
不
不
等
等
价
价
的
的
无
无
穷
穷
小
小
.
.
((
D
D)
)
与
与
x
x
等
等
价
价
的
的
无
无
穷
穷
小
小
。
.
演尊空间
44.. (2(021031,3数,数二二，，1100分分)当)当x→x0-►时 0，时1-,1c —os cxo·s xco •s c2oxs· 2xc o•s c o3sx 3与xa与x”ax为n为等等价价无无穷穷小小，，求求〃n与与a。的的值值.
演算空间
1
55.. (2(021041,4数,数二二，，44分分))当当xx→ —O+ 0时+，时若，若Inl°n°(1(+l+2x2),x()1,—(lc-ocsoxs)x)均-均是是比比x高工阶高的阶无的穷无小穷，小则，则αa
的取值范围是
的取值范围是
1 1
(
((
A
A2
)
,)
(
+
2
8
,+oo)
)
.
.
(
(
B
B
)
)
(
(
1
l
,
,
2
2
)
)
.
. ((CO) ((y
2
,,l1) ) . ((DD))(00,,§
2
) ) .
满算空间
66.. ((22001144 ,,数数三三，，4 分4分)设) 设p(px()x =)= aa ++b x++c exx22 ++d xd3x.z当.当x →x -►0时 0 ，时，若若p p((x工))-—tatnan xz是 是比比x z3'高 高
阶阶的的无无穷穷小小，，则则下下列列选选项项中中错雪误卒的的是是
1
((aAA))a == 0 0.. ((BB))6b ==1 .1. ((CC))cc == 00.. ((DD))dd == 9
o
壤弊空间
,20 ·
・20 -第第一一章章 函函数数、、极极限限、、连连续续
77.. (2(022022,2数.数二二.5.分5)分当)x当→x0时->，0a时(x，)q,(βi)(,x伙)是1非)是零非无零穷无小穷量小，量给，出给以出下以四下个四命个题命：题：
①若a(x)～β(x),则a2(x)～β(x);
① 若a(x)〜B(工)，则a? (z)〜代(x);
②② 若若a/2 ((xx))～〜β((xx)), »则则 at(r(xx))～〜p.((x工));;
③
③
若
若
a
a
(
(
x
x
)
)
～〜β
R
(
(
x
z
)
),
,
则
则
a
a
(
(
z
x
)
)
—
-β
R&
(x
)
)
=
=o (
o
a
(
(
a
x
(x
))
))
;
;
④④ 若若aa((xx)-)—β队(x工))= =o(oa((ax()x)),)则,则a(ax()z～)〜βB((x工))..
其其中中所所有有真真命命题题的的序序号号是是
((AA))①①③③.. ((BB))①①④④.. ((CC))①①③③④④.. ((DD))②②③③④④..
演算空河
小结
小结
.4-
有有关关无无穷穷小小量量及及其其阶阶的的比比较较主主要要是是两两类类问问题题：：
11.. 无无穷穷小小量量的的比比较较，，也也就就是是判判断断一一个个无无穷穷小小量量是是另另外外一一个个无无穷穷小小量量的的高高阶阶、、同同阶阶、、等等价价或或低低阶阶
无穷小.
无穷小.
2.由两个无穷小量之间的关系(等价、同阶等),转化为确定极限中的参数问题.
2. 由两个无穷小量之间的关系(等价、同阶等)，转化为确定极限中的参数问题.
0,
以上两类问题的实质是“芦"型极限问题，常用方法有以下三种：
以上两类问题的实质是“ ”型极限问题，常用方法有以下三种：
0
((11))洛洛必必达达法法则则..((22))等等价价无无穷穷小小代代换换..((33))泰泰勒勒公公式式..
六六、、函函数数的的连连嗾续修性及及榆间邮断益点类类翌型
{x,x≤
z V
0 ,
0,
X,
H19E((22001166,,44题题，,44分分))已已知知函函数数/(fx(x))== < 1 1 , 1 1 < . x ^ ≤ 1 1 n=1.2,, …9 …, 则 则
—n, n+1 11 V z W n ，〃— 1,2,…，
n n + 1 n
((AA))xx= =0 是0f是(x了)危的)第的一第一类类间间断断点点.. ((BB))xx ==0 是0是f(/x()x的)第的二第二类类间间断断点点..
((CC))f/((xx))在在xx= 0=处 0连处续连续但但不不可可导导.. ((DD))f/((xx))在在zx ==0 处0处可可导导..
答答题颌区区
·・2211 ·数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇((数数学学一一))
{1-cos√x
1 — COS M, x>>0. 0
ax
2亚1((22001177,,11题题，,44分分)若)若函函数数/f&()x)=={ 一一' * '在在xx= 0=处 0连处续连，续，则则
b, x≤0
b, z《0
1· 1
((AA))a沥b == 2-y. ((BB))沥ab ==—— 2・ “ ((CC))aa6b == 00.. ((DD))aabb == 22..
Z u
答答题题区区
□解解题题加加速速度度
11. .(("2(0):0•3;..数数二二，.11"0分讣)设设函函数数
人
Ilnn((l1 ++aaxr3 )) x、0.八
-----------------------,x > 0.
xsin工X
xsm 丁4
4
问问aa为为何何值值时时，，fCf(xx))在在zx ==0 处0处连连续续，，a。为为何何值值时时，，z x== 00为为f(/(xx)的)的可可去去间间断断点点?？
演算空间
m-m
sin t
( )
2.(2001.数二.7分
分
)
)
求
求
li
四
m s
(
i
制
n x
广i,,记记此此极极限限为为f(x心),，求求f心(x)的的间间断断点点并并指指出出其其类类型型。・
r
演算空间
· 22 ·
-22 -第一章 函数、极限、连续
第一章 函数、极限、连续
3:."(（2S0O0X8..,数二二.，1 分4分）)设设函函数数 了f（(工x）)==
JInn |wx |I
s
si
in
n
z
x
,
,
则
则
/
f
（
(
x
x)
）
有
有
x—1T
I z — 1 I
(（AA)）1l个个可可去去间间断断点点，，11个个跳跳跃跃间间断断点点.. （(BB）)l1个个可可去去间间断断点点，，11个个无无穷穷间间断断点点..
(（C0)22个个跳跳跃跃间间断断点点.. （(DD)）22个个无无穷穷间间断断点点..
演算空间
|l^x|PJ —-11
44.. （(22001133..＜数三三，，！分4分）)函函数数 /f（(xx）)== 的的可可去去间间断断点点的的个个数数为为
xx((xx+ +1 )Diinn| | xxT |
((AA))00.. ((BB))1l.. ((C0)22.. ((DD))33..
诵算空间
x
小结
小结
这这里里主主要要有有以以下下三三类类问问题题：：
11.. 讨讨论论函函数数的的连连续续性性..
常常用用的的方方法法有有：：
(（11)） 利
利
用
用
连
连
续
续
的
的
定
定
义
义
(特
（特
别
别
是
是
分
分
段
段
函
函
数
数
的
的
分
分
界
界
点)
点
。
）.
(（2
2
)
）
利
利
用
用
连
连
续
续
函
函
数
数
的
的
运
运
算
算
法
法
则
则
(四
（四
则
则
、
、
复
复
合
合
及
及
反
反
函
函
数
数
)
）
.
.
(（3
3
)
）
利
利
用
用
初
初
等
等
函
函
数
数
在
在
其
其
定
定
义
义
区
区
间
间
内
内
都
都
是
是
连
连
续
续
的
的
.
.
22.. 求求已已知知表表达达式式函函数数的的间间断断点点并并判判别别类类型型..
首首先先求求出出函函数数没没有有定定义义的的点点(（必必为为间间断断点点）)和和分分段段函函数数分分界界点点(（可可疑疑间间断断点点)）,，再再对对以以上上点点按按间间
断断点点的的分分类类判判别别其其类类型型..
33.. 求求由由极极限限式式定定义义的的函函数数的的间间断断点点并并判判别别其其类类型型..
此类问题首先求出极限，得到所要讨论的函数f(x)的表达式，然后再求间断点并判别其类型.
此类问题首先求出极限,得到所要讨论的函数/（x）的表达式，然后再求间断点并判别其类型.
。23
. 23 .数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析二提高篇（数学一）
第二章 一元函数微分学
第二章一万函薮微分学
本章导读
导导数数与与微微分分是是微微分分学学的的两两个个基基本本概概念念，，是是研研究究函函数数局局部部性性态态的的基基础础..微微分分中中值值定定理理建建立立了了函函
数数和和导导数数之之间间的的联联系系，，是是利利用用导导数数研研究究函函数数基基本本性性态态的的理理论论基基础础。.
其其主主要要内内容容有有：：
1.导数与微分的概念及其几何意义.
1. 导数与微分的概念及其几何意义.
2.连续、可导、可微之间的关系.
2. 连续、可导、可微之间的关系.
3.微分法(有理运算，复合函数，隐函数，参数方程等).
3. 微分法（有理运算，复合函数，隐函数，参数方程等）.
4.微分中值定理(罗尔，拉格朗日，柯西，泰勒)。
4. 微分中值定理（罗尔，拉格朗日，柯西，泰勒）.
5.函数基本性态及判定(单调性，极值与最值，曲线的凹凸性与拐点，渐近线)。
5. 函数基本性态及判定（单调性，极值与最值，曲线的凹凸性与拐点，渐近线）.
试题特点
试题特点
本章考试内容多，考题占比高(一般20分左右),主要知识点有基本概念——导数与微分；基
本章考试内容多，考题占比高（一般20分左右），主要知识点有基本概念——导数与微分；基
本本方方法法—--—--微微分分法法；；基基本本理理论论-—--—--微微分分中中值值定定理理；;应应用用—---—--函函数数性性态态..
本章常考题型
11.. 导导数数概概念念..
2.微分法(复合函数，隐函数，参数方程)。
2. 微分法（复合函数，隐函数，参数方程）.
3.函数的单调性与极值.
3. 函数的单调性与极值.
44.. 曲曲线线的的凹凹向向与与拐拐点点..
55.. 方方程程的的根根..
66.. 证证明明函函数数不不等等式式..
77.. 微微分分中中值值定定理理证证明明题题..
后后三三种种题题型型是是难难点点，，考考研研试试卷卷上上最最难难的的题题经经常常出出在在这这一一章章，，也也就就是是与与微微分分中中值值定定理理有有关关的的证证明明题题..
真真题题分分类类练练习习
一
-、
、导导数数与与像微分分的的概概念念
Q
(
（
2
2
0
0
1
1
5
5
,
,
1
1
8
8
题
题
，，1 1
0
0
分
分）)（(I
I
)
）
设
设
函
函
数
数
u(
u
x
（
)
x
,
）
v
,
(
v
x
（
)
x
可
）
导
可
，
导
利
，利
用
用
导
导
数
数
定
定
义
义
证
证
明
明
E[uu(（ x)v(x)]′== uu'z(（xx)）vz(;（xx)）+ u+( xu)（vx′）v(zx（)x。）.
·24 ·
・24・第第二二章章 一一元元函函数数微微分分学学
(（Ⅱ
U
)）设
设
函
函
数
数
u ?
U1
(
（
x
x
),
）
u
, U
?
2
(（x
X
)）,
»
…
•••
,
＞
u,(（x
X
)）可
可
导
导
， ,，f
&
(x
）
) =
=
u
U
?
\
(（x
X
)）u
U
?
2
(（x
X
)）…
'*'
u
U
,
B
(（x
X
)）,
,
写
写出
出 f
/
(（x
X
)）的
的
求
求
导
导
公
公
式
式
.
.
答答题题区区
❷2(2(200181,81,1题题，,44分分))下下列列函函数数中中，，在在1 x== 00处处不不可可导导的的是是
((AA))/f((Jxr)) ==| | xx| s| isinn || xx1 .|. ((BB))/f((xx) )== || xxI s| isinn√ J|T xzT .| .
((CC))f/((xx)) == ccooss || xxl .|. ( ( D D) ) f /( ( x x ) ) = = c c o o s s √ J| TxT | . .
答答题题区区
❸((22002200,,22题题，,44分分))设设函函数数/f((xx))在在区区间间((--11,,11)内)内有有定定义义，，且且lilmim/f(z()x )== 00,,则则
→0
f(x)
((AA))当 当lliimm 择J
=
=
0
0
,f
,/
(
(
x
x
)
)
在
在
x
x
=
=
0处
0
可
处可
导
导
.
.
l。√/TTTxTT
→0
((BB)) 当当lliimm
f'
x
(修
2
x))
==00,,f/((xx))在在 xx= =0处 0 处可可导导..
X—0 X
(C) 当/(x)在x = 0处可导时，lim 了f\(x工)\ ==0 0..
(C)当f(x)在x=0处可导时，lim
l。√/TTTxTT
*0
f(x)
= 0.
((DD)) 当当f/((xx))在在xz= 0=处 0可处导可时导，时lJiimm x2 = 0.
→x—0o x
答答题题区区
· 25 ·
・25・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇((数数学学一一))
d；
解题加速度
解题加速度
=
x2f(x)—2f(x3)
1. (2011,数二，4分)已知/'(*)在x = 0处可导，且/X0) = 0,则lim丈也匕互心
1.(2011,数二，4分)已知?(x)在x=0处可导，且f(O)=0,则lim x2
→X—00 X
(A)-2f(0). (B)-f(0). (C)f(0). (D)0.
(A) -2/(0). (B)-/(0). (0/(0). (D)0.
满算空间
2
2
.
.
(1
(
9
1
9
9
6
9
,
6
数
,数
三
三
，，4
4
分
分
)设
)设
函
函
数
数
f(
/
x
■
)
(
在
•!)
区
在区
间
间
(-
(
δ
一
,
8
δ
,3
)
)
内
内
有
有
定
定
义
义
，
，若
若
当
当
上
x∈
£
(
(
-
一
8
M
,8)
3
时
)时
，
，恒
恒有
有
|
I
f
y
(
(
x
工
)|
)
≤
I W
•xT，2,,则则Xx ==0 0必必是是f/((xX))的的
((AA)间)间断断点点.. ((BB))连连续续而而不不可可导导的的点点。.
( ( C C )可 )可 导 导 的 的 点 点 ， ，且 且 f f ' ( ( 0 0 ) ) = = 0 0 . . ((DD))可可导导的的点点，，且且/f((00))≠关00..
溪算空间
人g(x)— e-
x , 若x≠0,
33..((11999966,,数数三三，，101分0分)设)设ff((工x))== 〈 1 ' '其其中中gg(&x))有有二二阶阶连连续续导导数数，，且且
0,
.0, 若若 xx ==0 0,,
g
g(
(
0
O
)
) ==1 l,,gg''((00) )==-—11..
((11)) 求求 f/((xx));；
((22)) 讨讨论论/f((工x))在在((--o,o+o,+)上oo的)上连的续连性续性。.
溪算空间
· 26 ·
・26・第二章 一元函数微分学
第二童一元函数微分学 4
f(e2)-3f(1+sin2x)
44.. (2（202022,2数,数二二，，1100分分）)已已知知函函数数/f(（xx)）在在xx= 1=处 1可处导可，导且，且lilmim —-——L 士 sing? ==2 ,求求
x2
xX→—00
f(1).
消算空间
小K小结结
这这里里常常见见的的是是以以下下两两种种问问题题：：
f(x)—f(x。)
( （ 11) ） 已已知知f六(x了)）在在x工。。处处可可导导，，求求与与/f&(x）)在在x&。点点导导数数定定义义/f(（xx0?）) == lliimm 八工）三/了。）有有关关的的
→工-*0七 xX— x
X
?
q
极极限限..
( （ 2 2 ) ） 上上一一种种问问题题的的反反问问题题，，即即已已知知与与 心 f(x ） )在在x x 。 o点点导导数数定定义义 / f( （ xx。o） ) = = lliimm f(（工x）)-三f八(x刊?.)） 有有关关
→ 工-*了 o 0 xX— — x?
Xq
的的极极限限存存在在，，问问_f/■(&x）)在在xX。o处处是是否否可可导导?？
。
二二、、导导数数与与摭微分分计计算算
= _.
{x
•Z
=
=
_e ?
e
'— f,
, d2y
EJ（2010,9题，4分）设」 「、八_ 2、」则当3 = •
4(2010,9题，4分)设 则!
y = dx2
M P = J llnn（(l1 ++u u22)）dduu,, dx£ t-=00
答答题题区区
· 27 ·
-27・数数学学历历年年真题真全题精全解精析·解腿析高■篇((数数学学一一))
5(2012,2题，4分)设函数f(x)=(e'-1)(e2-2)…(e“—n),其中n为正整数，则f(0)=
0(2012,2 题,4 分)设函数八工)=(eI-l)(e2l-2)-(e~-n),^中”为正整数，则/(0)=
(((AA))(—-1l))~i'((nn-—1 )1)!!.. ( ( B B) ) ( ( - - 1 D )" '( ( n n- - 1 1 ))! ! . .
((CC))( (一 -1 )l”)1fn!!. ( ( D D ) ) ( ( - - 1 l ) )" " n n! !. .
答题区
答题区
=__ _.
x= sin t.
皿2。眼】题，4分)设 { [ ："+c°s建为参数)，则d2制y|
(2013,11题，4分)设 (t为参数),则dx2
-÷
y = tsin t+cos t,
答题区
答题区
=
屈( ( 2 20 0 1 1 3 3 , ,9 9 题 题 , ， 4分 4分 )设 )设 函 函 数 数 y y = = f / ( ( x x )由 )由 方 方 程 程 y 、 -x 一 = 1 e * = (1 烫 -y 一 确 少 定 确 ， 定 则 ，则 limn
[f(
n
1 )-1 ]
=
●00
答答题题区区
(2014,10题，4分)设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f(x)=2(x-1),x∈[0,2],则
□(2014,10题，4分)设/(x)是周期为4的可导奇函数，且/(x) = 2(x-l),x 6 [0,2],则
f/((7)7 )== _.
答答题题区区
·28 ·
・28・第二章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学
1
0（22001177,,99 题题，,4 4分分）)已已知知函函数数 /f（(xx） )== ,则则尸f33＞(（0o)）== _.
1+x2
]+ Z
答答题题区区
,,= _。
{x= = √ V E Z 2 7 + T 1 T , * 则d窘2yI I
1©02(2002200,,1100 题题，，44
分
分)
）
设
设 则
dx2
y==Inln(t(i++√ 7tF2++1T)),, & M
答答题题区区
=
{x= 2e'+t+1.
d2y
①四(22。02211,,]122题题,，5分5分）设)设函函数数—y=y(x)由由参参数数方方程程仁3二了廿确定,则落匚=
确定，则
dx2
y=4(t-1)e'+ t=0
答题区
答颌区
sin x
1[2£(（22002211,,33 题题，，5 5分分）)设设函函数数 ff（(zx）)== 1:+在x2 在工x==0处0的处的3次3泰次泰勒勒多多项项式式为为aaxx ++b&xc22+ +ccxr33,,则则
[十Z
((aAA))a == 11,,6b == 00,,cc ==-——
7
6
7·
. ((BB)) q a== 11,,6b == 00,,cc == 6
7 7·
b o
7· 77 ·
((CC))a a==--11,,6b==--11,,cc==--4- 6 . ((aDD)) a==—- 11 ,,bb ==-—1 1, »cc == — 6 .
0 b
答答题题区区
,29
-29・►►
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•■提高■篇■(（数数学学一一)）
d；
解题加速度
解题加速度 -
1
1.(2007,数二，4分)设函数y= ,则y'”(0)= _.
1.（2007,数二，4 分）设函数 v = 2x+3 则 J"（0）=
Zx -r 3
演算空间
= _
{In√x,x≥1, dy
2. （2012.数三，4 分）设函数 /■（"=少”，=2 l，v = y（y（了）），则字 =________,
2.(2012,数三，4分)设函数f(x)= y=f(f(x)),则
dx
2x-1,x<1, x=e
[2x — 1 , 1 V 1， dz x«e
演算空间
33.. (2（021031,3数,数二二，，44分分）)设设函函数数fy(（x工)）==『 √JlI --ee'，dd£t,,则则y y== f/(（tx）)的的反反函函数数工=x=广?'(（y了)）在在丁y= =
= _. -1
dx
00处处的的导导数数d壬y
d，|y_y==00
唐
演算空间
4
4
.
.
(2
（
0
2
0
0
7
0
,
7
数
,数
二
二
，，1 1
0
0
分
分
）
)已
已
知
知
函
函
数
数f
f(
（
u
u
)
）
具
具
有
有
二
二
阶
阶
导
导
数
数
，
，且
且
广
f'
（0
(
）
0 )
=
= 1
1
,
,
函
函
数
数
y
y
=
=
y (
j
x
（
)
x
由
）
方
由方
程
程
dz d2z
yy- —x ez~e厂1=】1=所1确所定确.定设.设z=zf =(I fn （Iyn- ys —in s inx )x,）求,求等 --。' d d 2 r z
dr
x-o，dx2 r=0
0
清算空间
· 30 ·
・30 -第二章一元函数微分学
第二章一元函数微分学
5.(2022,数二，5分)已知函数y=y(x)由方程x2+xy+y3=3确定，则y”(1)= _
5. (2022,数二，5 分)已知函数；y = 由方程 x2 + xj; + y3 = 3 确定，则 j/'(l)=
演异空间
6
6.
. (
(
2
2
0
02
2
2
2
,
,
数
数
三
三，5 ，
分)
5
已
分
知
)
函
已
数
知
f(
函
i)
数
=
f
e
(
sin
x
x
)
+
=
e
e
-
*
5i
m
nx
+
,则
+e
广
m*
(
,
2式
则
)=
f(2π)=
演算空间
X
小结
小结
导导数数与与微微分分计计算算属属基基本本运运算算，，几几乎乎年年年年都都考考，，主主要要有有以以下下几几种种题题型型：:
11.. 复复合合函函数数求求导导..
2.隐函数求导
2. 隐函数求导.
33.. 参参数数方方程程求求导导..
44.. 高高阶阶导导数数计计算算..
55.. 分分段段函函数数的的导导数数..
三三、、导导数数的的几几何何意意义义
J
解题加速度
位 解题加速度
1
1(
.
2.
(
0
2
1
0
0
1
,
0,
数
数
二
二，4 ，
分
4分
)曲
)曲
线y
线
=
y =
x
x
2
2
与
与
曲
曲
线
线
、
y=
=
al
al
n
n
x
x
(
(a
a ≠
乂
0
0
)
)
相
相
切
切
，
，则
则
a
a
=
=
((4AAe).)4e. ((BB))33ee.. ((CC))22ee.. ((DD))ee..
演算空间
· 31 ·
・31・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇■(（数数学学一一)）
π
22.. (2（020020,2数,数二二，，66分分)）已已知知曲曲线线的的极极坐坐标标方方程程是是rr ==1— 1 c一o scθos,仇求求该该曲曲线线上上对对应应于于θ0==6号处 处的的
0
切切线线与与法法线线的的直直角角坐坐标标方方程程..
演算空间
人x= arctan t,
I x = arctan t,
33.. (2（021031,3数,数二二，，44分分)）曲曲线线日 ,_____ 上上对对应应于于£ t== 11的的点点处处的的法法线线方方程程为为_ _ _ __ _ _ ___.•.
y = In √I+t
[y = In J\ + —
演算空间
4 4. . ( （ 2 2 0 0 1 1 3 3 ,=, 数 教_ 三 三 ，. 4 4 分 分 _）.) 设 设 曲 曲 线 线 v y = = f ( / x （ ) x 与 ）与 y= v x 2 = - x x 在 2 - 点 X ( 在 1, 点 0) （ 处 1,0 有 ） 公 处 共 有公 切 共 线 切 ， 线 则 ，则
n
limnf(
削n+2 —•
→00
溪算空间
&小小结结
导导数数的的几几何何意意义义是是切切线线的的斜斜率率..有有关关的的考考题题通通常常是是建建立立曲曲线线的的切切线线方方程程或或法法线线方方程程，，其其关关键键
是是求求切切线线的的斜斜率率k虹.
11.. 若若曲曲线线由由显显式式方方程程Vy == f/(（xX)）给给出出，，则则该该曲曲线线在在*x ==x。工。处处切切线线斜斜率率为为M： k== fZ(x（X?)0）..
22.. 若若曲曲线线由由FF(（x工,y，少)=0=给0出给，出则，则可可用用隐隐函函数数求求导导法法求求得得：Mk == y J'(&x?。)）..
x工=
=
x(
弑
t)
"
,
'给出，则曲线对应t = £。处切线斜率为
33..若若曲曲线线由由参参数数方方程程 给出，则曲线对应t= t。处切线斜率为
yy == yy({tt)）
kk ==
d
^
y =〃y'(t?。))
三
ddxx| =50 x′(t?)'
10
xx= =r( θr()0c)ocso sθ ,
44..若若曲曲线线由由极极坐坐标标方方程程rr= =r( θ*)）给给出出，，此此时时可可得得到到该该曲曲线线参参数数方方程程
yy == r (rθ(0))ssiinn θ0,,
dy=
k龙==擘=
dx
·・
3
3
2
2 ·
-第第二二章章 一一元元函函数数微微分分学学 ◄◄
四⑥、、函通数数的的单拿调靖性性、、根极值值与与最暴值值
2
B国(2（021001,01,166题题，，1100分分）)求求函函数数/f（(xx） )== j： (3x2 -_t睥)e2d2z击的的单单调调区区间间与与极极值值..
1
答答题题区区
圆14(（22001144,,1166题题，，101分0分）设)设函函数y数 =y =/f&(x）)由由方方程程yy+3+xxyy22++xx22y^+ +6= 60 =确 0定确，定求，求f(八x抄)的的极极值值..
答答题题区区
[5E(2(021071,72,2题题，,44分分))设设函函数数f(x可)可导导，，且且/(fx()x/)(fx()x )>>00,,则则
((/(AAl)))f(1 )>> f/((-- 11)). ((BB))f/((l1) )<(1)|> ||f/((--1l))1|.. ((DD))||f/((1l))||<< ||f/((--1l))1|..
答答题题区区
,33 ·
-33・►► 数数学学历历年年真题真全题精全解精析·解提析高■籍((数数学学一一))
1
[E
6((2
2
0
0
1
1
7
7
,
,
1
1
7
7
题
题
，，1 1
0
0
分
分
)
)
已
已知
知
函
函
数
数
y(
由
x)
方
由方
程
程
T3
x
+
2+
y
y
-
3
3
-3
x
x+
+
3 y
3
-
^
2
-
=
2
0 确
=
定
0确
，
定
求
，
y
求
(x
、
)
(
的
工)
极
的
值
极值
。
.
答答题题区区
Xx |I xX lI ,x≤工V0 0,
[167(（22001199,,22 题题,，4 分4分）)设设函函数数 /f（x(x）)== f '则则xx ==0 0是是f/((xx))的的
xln x, x>0,
xln h, •z > 0,
((AA)可)可导导点点，，极极值值点点.. ((BB))不不可可导导点点，，极极值值点点..
((CC))可可导导点点，，非非极极值值点点.. ((DD)不)不可可导导点点，非，非极极值值点点。.
答答题题区区
人e
b
2 —
-
1
1 ,x≠0,
x 1 尹 0，* sl
1E8(（22002211,,11 题题，,5 5分分）)函函数数/Xf(zx） )== v x 在在xx ==0 0处处
1, x= 0
1, x = 0
((AA))连连续续且且取取得得极极大大值值.. ((BB))连连续续且且取取得得极极小小值值..
((CC)可)可导导且且导导数数等等于于零零.. ((DD))可可导导且且导导数数不不为为零零..
答答题题区也
·3344 ·-第二章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学 «
(^)解题加速度
解题加速度
11.-((22000099,.数数二二，，4分4分))函函数数了y ==x工”2在,在区区间间((0o,,1i)］上上的的最小最值小为 值 为 _..
满算空间
2.(2014,数二，10分)已知函数y=y(x)满足微分方程x2+y2y′=1-y',且y(2)= 0.求
2. (2014,数二，10分)已知函数J,=火工)满足微分方程x2 + y2y = 1-y,且j(2) = 0.求
yy((x.)x的)的极极大大值值与与极极小小值值。.
满荷空间
3
3
.
.
((2
2
0
0
2
2
2
2
,
,数
数
二
二，，
5分
5分
)
)
设
设
函
函
数
数
/
f
(
(
x
x
)
)
在
在x
x
= x
=
。
x
处
0处
具
具
有
有
2阶
2
导
阶
数
导
，
数，
则
则
((AA)) 当当f/(x&))在在x。了。的的某某邻邻域域内内单单调调增增加加时时,，/(fx(x0?) )>>00..
((BB)) 当当f/((xx?o))> 0>时 ，0时f(，x成)(在工x)。在的zo某的邻某域邻内域单内单调调增增加加。.
(
(
C
C
)
) 当
当
f
f
(x (工)在
)在
x。
瓦
的
的
某
某
邻
邻
域
域
内
内
是
是
凹
凹
函
函
数
数
时
时
，
,
f
/
”
(x
(
0
x
)
? )
>
>
0
0.
.
((DD)) 当当ff"('x0?))> 0>时 0，时f(，/x()在£)x在。五的的某某邻邻域域内内是是凹凹函函数数。.
演算空间
·35 ·
-35 -AA 数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·• ■提高■籍((数数学学一一))
X
小结
小结
这这里里主主要要是是三三个个基基本本问问题题：：
11.. 判判断断函函数数单单调调性性的的常常用用的的结结论论有有：：
((11)) 设设f/((x工)在)在[a［,ab,]们上上连连续续，，在在((aa,,b6)内)内可可导导..
若若在在( (
a
a
,
,
b
b
)
)内内/f((xx))> 0>( <00()<, 则0)f,(则x)/在(X[)a在,b［]a上,5单］上调单增调加增(加减(少减少)。).
若若在在((aa,,6b))内内/f((xx))≥ >00(≤«00)),且,且在在((aa,,b6))的的任任意意子子区区间间上上f(,x&)) ≠乂00,则,则f/((xx)在)在[a［a,b,6]］上上单单
调调增增加加((减减少少))..
((22)) 设设f/(\x了)在)在区区间间I上I上可可导导，，则则f/((xx))在在区区间间II上上单单调调不不减减((增增))«?f/'((xx)) ≥>00(≤«00))..
22.. 求求函函数数的的极极值值
分分两两步步进进行行：：
((11)) 求求出出可可能能的的极极值值点点，，即即驻驻点点和和导导数数不不存存在在的的点点..
((22)) 对对以以上上两两种种点点用用极极值值充充分分条条件件作作判判定定..
33.. 求求最最大大最最小小值值
这这里里主主要要是是两两类类问问题题：：
((11)) 求求连连续续函函数数f/((xx))在在闭闭区区间间[［aa,,b6]］上上的的最最值值..
首首先先求求出出f/((xx)在)在(a(,ab,)b内)可内能可的能极的值极点值，点即，即驻驻点点和和导导数数不不存存在在的的点点，，然然后后将将可可能能的的极极值值点点上上
的函数值与两端点函数值f(a),f(b)比较，便可得到f(x)在[a,b]上的最值.
的函数值与两端点函数值f(a),f(b)比较，便可得到r&)在［a,刀上的最值.
若若f/((xx)在)在(a(,ab,)b内)内只只有有唯唯一一的的极极值值点点，，且且在在该该点点取取得得极极值值，，则则该该极极值值必必为为/f((xx))在在[［aa,,b们]上上的的
最最值值..
((22)) 求求最最值值的的应应用用题题..
首首先先建建立立目目标标函函数数并并确确定定其其定定义义域域，，此此时时问问题题转转化化为为((11))进进一一步步求求解解..
玉五、、
•
曲维线的的凹00向简，，拐粉点戏及及渐渐近近线建
［1E9((22001111,1, 1题题,4， 分4)分曲)线曲、线=y&=(一x- 11))&(一x- 22))22 ((zx —- 33))33((工x一-4 4))的，的拐拐点点是是
(((AlA,)0)()1.,0). ((BB))((22,,00)).. ((0C)((33,,00)).. ((DD))((44,,00))..
答答题题区区
x2+x
2叨0((22001122,,11题题，,44分分))曲曲线线yy == π2 —1 的的渐渐近近线线的的条条数数为为
((0AA,))0. ((BB))1l.. ((C0)22.. ((DD))33..
答答题题区区
。36
・36,第第二二章章 一一元元函函数数微微分分学学 «
2团1((2200141,41,1题题，,44分分))下下列列曲曲线线中中有有渐渐近近线线的的是是
((AA))3y/ ==x +zs +i nsi nx x., (j(zBB))y ==x2工+2 s+i nsi nx x..
1 1·
((CC))vy == xx ++s isinn —x. ((DD)) jy/ ==x 2re+? +s isinn x—
x
答答题题区区
y
2020((22001155,,11题题，,4分4分)设)设函函数数/(fz()x在)在(一(-8,+,c+)内8)连内续连，续其，其二二阶阶导导函函
数数f，(x&)的)的图图形形如如图图所所示示，，则则曲曲线线yy ==f f(xM))的的拐拐点点个个数数为为 ftx)
((0AA.))0. ((BB))1l..
((C0)22.. ((DD))33..
x
0
答答题题区区
解解题题加加速速度度
11.. ((22000000,,数数二二，，3 分3分)设)设函函数 数r(fz()x满)满足足关关系系式，式&f')( +x) [+/[(zf()]x2)] =2=1x,,且且 f/((0O))= =0,0则,则
((AA))f /((00))是是f(，x&)的)极的极大大值值，.
((BB)) f/((00))是是f，(x&))的的极极小小值值..
((CC)) 点点((00,,/f((00))))是是曲曲线线J/y ==f /(x(X)的)的拐拐点点..
((DD)) ff((0O))不不是是f/(x&))的的极极值值，，点点((00,,/f((00))))也也不不是是曲曲线线j/ y==f /((xx)的)的拐拐点点..
演葬空间
·・
3
37
7
·・数学历年真题全精解析·墨高篇(数学一)
►► 数学历年真题全精解析• ■■（数学一）
x=t3+3t+1,
（Z = / + + 1 ,
2
2
.
.
(2
（
0
2
0
0
4
0
,
4
数
,数
二
二
，，4 4分
分）
)设
设函
函
数
数
了
y =
=
y(
、
x
（
)
1
由）参
由参
数
数
方
方
程
程
(
y=t3-, 3t+—1
确
确
定
定
，
，则
则
曲
曲
线
线
、
y
=
=y
、
(
（
x
］
)
）
向
向
（＞ =r — 3« + 1
上上凸凸的的7x取取值值范围范为_围 为 _. ・
溪W空同
3
3
.
.
(
（
2
2
0
0
0
0
7
7
,
,
数
数三
三，，
10
1
分
0分
）设
)设
函
函
数
数
y =
y= y(x)由
由方
方
程
程
y
y
\
l
n
n
y —
y-
x
x
+
+y
y
= 0
=
确
0
定
确
，
定
试
，试
判
判
断
断
曲
曲
线
线、
y=
=
y(
j
x
（
)
x）
在在点点(（11,,11)）附附近近的的凹凹凸凸性性。.
演算空间
入 x= 1 z+t+ 1 ,
X = 3' 3 ,
44.. (（22001111,,数数二二，，101分0分）设)设函函数数Vy == yV(（xz)）由由参参数数方方程程＜
1
O
-t+ 1
O 确 确 定 定 ， ，求 求 函 函 数 数 、 y = =y 炉 (x) ）
yy == §
3 3
U U
的的极极值值和和曲曲线线yy == y y(x（x)的）的凹凹凸凸区区间间及及拐拐点点..
清算于用
。38·
・38・第二章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学 44
小X小结结
这这里里主主要要是是三三个个基基本本问问题题：：
11..确确定定曲曲线线yV= = f (/x()X的)的凹凹凸凸区区间间..
设设f，(&x))在在[［aa,,b。]］上上连连续续，，在在((aa,,bb))内内二二阶阶可可导导，那，么那若么在若(在a,(ba),内b)f内(fH")(x>) >00(«<0 0),)则,则曲曲线线
y> ==f/((xx)在)在区区间间[［aa,,b6]］上上是是凹凹((凸凸))的的..
22.-求
求
曲
曲
线
线
的
的
拐
拐
点
点
.
.
拐拐点点只只可可能能出出现现在在两两种种点点处处，，即即二二阶阶导导数数为为零零和和二二阶阶导导数数不不存存在在的的点点处处。.
(1)设f(x?)=0或f(x。)不存在，若f”(x)在x。点两侧变号，则点(xg,f(x?))为曲线
(1) 设，(瓦)=0或fj)不存在，若/(x)在五点两侧变号，则点(x0,/(x0))为曲线
yV= =f(/x()x的)拐的点拐；点若；若f”，((xz))在在x工。。点点两两侧侧不不变变号号，，则则点点(工(。xJo&,f(。x)?))不)不是是曲曲线线v y== ff((xx)的)的拐拐点点..
((22)) 若若 f
f
( x(x?0))= =0, Of(,/x*?()x≠o) 0乂, 则0,点则点(x(了?,。f,/((xx?0))))为为曲曲线线 yy= =f (/x()x的)的拐拐点点..
3.求曲线的渐近线.
3.求曲线的渐近线.
渐渐近近线线有有三三种种：：
((11)) 铅铅直直渐渐近近线线.若.若liml fi (m工f)(=x)8=c((或或llimim/f(x()x )==c8o,,或或llimim/f((xx) )== cooo)),，则则了x ==x。瓦为为曲曲线线yy ==
f →f6 →T墙
f/((xx))的的一一条条铅铅直直渐渐近近线线..
((22)) 水水平平渐渐近近线线.若.l若iml/(ixm)f (=x A)=( 或A (li或m /l(ixm)f =(x A)=,或A, l或iml /i(mxf)( =x )A=A),)则, 则y =y= AA 为为曲曲线线;yy ==
J—»OO X—►—8 ■!—*+8
→00 -00 →+0o
f/((xx))的的一一条条水水平平渐渐近近线线..
f(x)
(
(3
3
)
) 斜
斜
渐
渐
近
近
线
线
.
.
若
若
l
l
i
im
m
'
x
0) ==a a,,且且 lliimm((/(fx()x —)-aarx))==们b,则则 yy ==a axz++b6为 为曲曲线线y、==f(/x(x)的)的一一
xX→—*0000 JC
→
J—»
0
O
0
O
条条斜斜渐渐近近线线((若若Xx —→- o o或或xH→+-c+时8，时以，上以两上两个个极极限限存存在在，，则则该该曲曲线线也也有有斜斜渐渐近近线线V y== aaxr++bfe))..
六大、、证证
♦
明函通数数不苹等等式式
1+x x2,
2 瓯 3((22001122,,1155题 题，，1100分 分))证证明明：：xxllnn
1-x
++ ccooss xx >≥ 11++ ^
2
■((-- 11 << xx< <1 )1).,
1— x Z
答答题题区区
。39 ·
-39 -►
数
数
学
学
历
历
年
年
真
真
题
题
全
全
精
精
解
解
析
析
·
•
提
n
高籍((数
数
学
学
一
一
)
)
24(2014,2题，4分)设函数f(x)具有二阶导数，g(x)= f(0)(1-x)+f(1)x,则在区间
咀(2014,2题,4分)设函数/(X)具有二阶导数,g(工)=/(0)(l-x) 则在区间
[0,1]上
[0，口 上
( ( A A )当 )当 f / ( ( x x )≥ ) > 0时 0 ， 时, f / ( X x z ) ) ≥ > g ( g x (x ) ) . . ((BB))当当 /f((xx)) ≥20 0时 时， Jf(( h x))≤< gg((xx))..
((CC))当当f /”z((xx)) ≥> 00时 时，,/f'((工x))≥2g g(x&).)・ ( ( D D ) ) 当 当 f f" ( (工x ) )≥ > 0 0 时 时 ， ,八 f( 工 x ) ) V ≤ g g ( ( x x ) ). .
答题区
答题区
解解题题加加速速度度
f(x)
11.. (1（919959,5数,数二二，，88分 分)设）设lilmixm = = 1, 1 且 ,且 f ( f x （ ) x > ） 0 > ,证 0, 明 证明 f ( f x （ )工≥ ）> x. x.
→x-»00 JC
清再空间
2.(2002,数二，8分)设0asin a+2cos a+xa.
6sin b + 2cos 6 + > asin a + 2cos a + na.
道尊上回
x
小结
小结
证证明明函函数数不不等等式式常常用用的的有有以以下下五五种种方方法法：：
11.. 利利用用函函数单数调单性调。性公
22.. 利利用用函函数数的的最最值值..
33.. 利利用用拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理..
44.. 利利用用泰泰勒勒公公式式..
55.. 利利用用凹凹凸凸性性(（定定义义或或性性质质)）..
七七、、方方稚程侦根的的奇存荏在棒性与与个个数数
函25(（22001111,,1177题题，，1100分分）)求求方方程程Ckraertcatna xn x—- xx= 0=不 0同不实同根实的根个的个数数，，其其中中kk为为参参数数..
答答题跑区区
·. 4411 ·数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·.提握高高篇篇(（数数学学一一)）
2巫6(（22001177,,1188题题，，1100分分）)设设函函数数八f(工x)）在在区区间间[［00,,11］]上上具具有有二二阶阶导导数数，，且且/Xf(I）1 )>>00,,lliimm 心 f( x x) x )0>或0或/((xx)) <<0 判0判定定),)则，则方方
程程f/((xx)) ==0在 0(在a,(ba),内b)最内多最多有有一一个个实实根根..
((2
2)
) 利
利
用
用罗
罗
尔
尔
定
定
理
理
的
的
推
推
论
论
.若
.若
在
在
区间
区
I
间
上
I
f
上
”
f
>
(
(z
x
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)
乂
≠ 0
0
,
,则
则
方
方
程
程
f
f
C
(
r
x
)
) =
=
0
0
在
在
区
区
间
间
I上
［上
至
至
多
多
有
有
n
n
个
个
实实根根..
· 43 ·
. 43 .数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·• ■提高■篇(（数数学学一一)）
n八、
、
微
微
分
分
中
中
值
值
定
定
理
曜
有
有
关
拧
的
的
证
证
明
♦
题
露
2
国
7(2
（
020090,91,81题8题 ，，1111分
分
)
）
(
（
I)
I
证）证 明
明
拉
拉
格
格
朗
朗
日
日
中
中
值
值
定
定
理
理
：
:
若
若
函
函
数
数
f
六
(x
了
)
）
在
在
[a
也
,b
,
]6上］上 连
连
续
续
，
，
在
在
(（aa,,fbt)）内
内
可导，则存在点E∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f(E)(b-a);
可导，则存在点 ££ （a,。），使得 = /（f）（6-a）,
(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0,δ)(8>0)内可导，且limf(x)=A,则f+(0)
（口）证明：若函数在工=0处连续，在（0,6）（3>0）内可导，且limf （工）=A，则（0）
→o+
X—0+
存在，且f+(0)= A.
存在，且f+ （0） = A.
答题区
答题区
柬28(（22001133,,1188题题，，1100分分）)设设奇奇函函数数f/(（xx)）在在[［-一1 ,11,]1上］上具具有有二二阶阶导导数数，，且且f/(（1D) ==1 ,1证,证明明：:
(I)存在E∈(0,1),使得f(B)=1;
（I） 存在 （0,1），使得，（£）= 1;
(Ⅱ)存在η∈(-1,1),使得f(η)+f'(η)=1.
（II） 存在？£ （一1,1）,使得 /（7）+/（7）= 1.
答答题题区区
·・4
4
4
4
·
-第第二二章章 一一元元函函数数微微分分学学
2
幽
9(
(2
2
0
0
2
20
0
,
,1
1
9
9
题
题，，
10
1
分
0分
)设
)设
函
函
数
数
/(
f
x
(
)
x
在
)在
区
区
间
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[0
[
,2
0,
]上
2]
具
上
有
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有
续
连
导
续
数
导
,/
数
(0
，
) =
f( O
/(
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2
=
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f (
=
2 )
0
=
,
0
M
, M
=
=
mmaaxx. {{|| /f((xx))1 }|,}证，证明明：:
xxée[[o0,,22]]
(I)存在E∈(0,2),使得lf(6)I≥M.
(I) 存在 £6 (0,2),使得 I /(e) |>M.
((IⅡI) )若若对对任任意意的的了x£ ∈(0(,02,),2 )| ,/(Ixf()x )|<|≤MM,,则则 MM ==0 0..
答题区
答题区
3皿0(22002222,,2200题题，，1122分分）)设设函函数数/f(（xx)）在在(（一一，8,+ c+)内8具）内有具2阶有连2阶续连导续数导，数证.明证：明f：，”&(x）) ≥200的的
a+b 1
充
充
分
分
必
必
要
要
条
条
件
件
是
是
对
对
不
不
同
同
的
的
实
实
数
数
a
a
,b
,6
,fl
/(（害
2
) ）≤＜ f(x)d了x..
答答题题区区
· 45.
・45・数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•虹高篇(数学一)
②解题加速度
解题加速度
1.(1999,数三，7分)设函数f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(O)=f(1)=0,
1. (1999.教三，7分)设函数/'(*)在区间［0,1〕上连续，在(0,1)内可导，且/X0) = /(I) =0,
1
f泻( ) )== 11..试试证证
2
1
((I
I
))存
存
在
在
η
r)
∈
E
(
§
2
,
,
1
1)),,使使f/(Xηi?))==η中;
(Ⅱ)对任意实数λ,必存在E∈(0,η),使得f(e)-λ(f(e)-e)=1.
(II) 对任意实数人，必存在££(0,/,使得/(?)-A(/(e)-e)= 1.
满育空间
。
22.. (2(021001,0数,数 三
三
，，1100分
分
)设
)设
函
函
数
数
f(/x()j在c)[
在
0,［30],上3］连
上
续
连
，
续
在
，
(
在
0,(30),内3存)内 在
存
二
在
阶
二
导
阶
数
导
，
数
且
，且
2/(0) = f/(x)dx = /(2) + /(3).
2f(0)= f(x)dx= f(2)+f(3).
(
(
I
I
) 证
)证
明
明
：
：
存
存在
在 n
7
∈
E
( 0
(0
,2
,2
),
)
使
,及
f (
/
η
(?
)
)
=
=
f
/
(
(
0
0
)
)
;；
((ⅡII) ) 证证明明：：存存在在 $E∈£( (00,,33)),,使使得得 /f'((8£)) == 0 0..
满算空同
·46 ·
・46・第第二二章章 一一元元函函数数微微分分学学
3
3
.
.
(1
(
9
1
9
9
8
9
,
8
数
,数
三
三
，，6
6
分
分
)
)
设
设
函
函
数
数
f(
_
x
/
)
&
在
)在
[a
［
,
a
b
,
]
6
上
］上
连
连
续，
续
在
，在
(
(
a
a
,
,
b
6
)内
)内
可
可
导
导
，
，且
且f
/
(
(
x
x
)
)
≠
^
0
:
.
0
试
,试
证
证
存在
存
5
在
,
&
[(E) e?— e
η 作 ∈( ( a",b) ) ,'使使得得羯 二 =片厂e?'，..
了() b — a
底算空词
4
4
.
.
(1
(
9
1
9
9
9
9
,
9
数
,数
二
二
，，8
8
分
分
)
)
设
设
函
函
数
数
f
/
(
'
x
(
)
*
在
)在
闭
闭
区
区
间
间
[
［
-
一
1,
1
1
,1
]
］
上
上
具
具
有
有
三
三
阶
阶
连
连
续
续
导
导
数
数
，
，且
且
/(
f
-
(
1
-1
)
)
=
=
0
0,
,/
f
(
(
1
1)
)
=
=
1,
1,
/
f
(
(
0
0)
)
= 0
=
,
0
证
,证
明
明
：在
：在
开
开
区
区
间
间
(
(
—
-1
1,
,
1
1
)
)
内
内
至
至
少
少
存
存
在
在
一
一
点
点
兵
&
，
使
使
,
f(住E
)
)=
=
3
3
.
.
·47 ·
. 47 .数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学一一)）
X
小结
小结
微微分分中中值值定定理理证证明明题题通通常常主主要要是是三三类类问问题题：：
11..证证明明存存在在一一个个点点h&,使使FF[Cee,，/f(（$E）),,f/(<∈e）］) ]== 00..
这这类类问问题题一一般般是是构构造造辅辅助助函函数数用用罗罗尔尔定理定，理常，常用用的的辅辅助助函函数数有有：:
要要证证明明的的结结论论 可 可 考 考 虑 虑 的 的 辅 辅 助 助 函 函 数 数
矿
5f'
(
(
Q
E
+
)+
/X
f(
Q
E) =
=
0
0
x
i
f
f
(
(
x工)
)
ef'(e)+nf(E)= 0 x"f(x)
矿(£)+"(£) = 0 xnf (x)
f(x)
sf'(e)-f(e)=0
f〈工）
（E）— f（E）= 0 x
fx(”x)
ef'(e)—nf(E)=0
Ef'(E)— nf(E)= 0
xn
f
/(
(
f
e
)
)
+
+
A
λ
/
f
(f
(
)
e )
=
= 0
0
eev"/f( (xx))
f/z(（E e）)
+
+ f/(（eE）)== 0o e
ex
'
f
f (
(x
x)
)
f，(（e£）)一-f成(E）)==00 e'f(x)
2.证明存在两个点5,η(双中值)使F(e,f(e),f'(E),η,f(η),f(η))=0.
2. 证明存在两个点 ?（双中值）使 F（\f（E），f'（E），7］，f5），f'5））= 0.
这这里里又又可可分分为为两两种种问问题题：：
(1)不要求≠y.这种问题通常是在同一区间[a,b]上用两次微分中值定理，一般是用拉格朗
（1） 不要求£乂 rj.这种问题通常是在同一区间［a,疆上用两次微分中值定理，一般是用拉格朗
日日定定理理和和柯柯西西定定理理，,具具体体如如何何用用要要将将结结论论中中含含有有E=的的项项和和含含有有nV的的项项分分离离开开，，然然后后再再确确定定..
(2)要求≠y.这种问题不能在同一区间[a,b]上用两次中值定理，因为无法证明s≠ n.通常
（2） 要求&手中这种问题不能在同一区间［a,6〕上用两次中值定理，因为无法证明 gq.通常
要要将将原原区区间间[也a,,b们]分分成成两两个个区区间间[［aa,,cc］]和和[［cc,,6b]］,,然然后后在在[［aa,,cc］]和和["c,,危b]上上分分别别用用拉拉格格朗朗日日定定理理..这这里里
分点c的选取是关键.
分点c的选取是关键.
3.有关泰勒中值定理的证明题.
3. 有关泰勒中值定理的证明题.
一一般般来来说说，，当当题题设设条条件件或或要要证证的的结结论论中中出出现现二二阶阶或或二二阶阶以以上上导导数数，，往往往往要要用用泰泰勒勒中中值值定定理理..
·48 ·
,48・第第三三章章 一一元元函函数数积积分分学学
第第三三章孝 一 一无元函函敬数枳积分分线学
本本章章导导读读
一一元元函函数数积积分分学学是是微微积积分分的的另另一一个个主主要要内内容容..与与微微分分学学不不同同，，积积分分是是研研究究函函数数整整体体性性质质的的..其其中中
不不定定积积分分是是微微分分的的逆逆运运算算，，定定积积分分是是一一种种和和式式的的极极限限，，微微积积分分基基本本定定理理和和牛牛顿顿--莱莱布布尼尼茨茨公公式式阐阐明明了了
微微分分学学和和积积分分学学的的内内在在联联系系，，换换元元法法和和分分部部积积分分法法是是计计算算不不定定积积分分和和定定积积分分的的两两种种主主要要方方法法，，微微元元法法
是是用用定定积积分分解解决决几几何何、、物物理理等等问问题题的的一一种种常常用用的的基基本本方方法法..一一元元函函数数积积分分是是多多元元函函数数积积分分的的基基础础..
其其主主要要内内容容
(1)不定积分与原函数的概念，求不定积分的两种主要方法——换元法，分部积分法.
(1) 不定积分与原函数的概念，求不定积分的两种主要方法 —— 换元法，分部积分法.
((22)) 定定积积分分的的概概念念、、性性质质及及计计算算方方法法(换(换元元、、分分部部)),，变变上上限限积积分分及及其其导导数数。.
((33)) 反反常常积积分分的的概概念念与与计计算算..
((44)) 定定积积分分应应用用(几(何几，何物，物理理)。).
试题特点
定定积积分分与与不不定定积积分分是是积积分分学学的的两两个个基基本本概概念念，，计计算算不不定定积积分分和和定定积积分分是是微微积积分分的的一一种种基基本本运运
算算，，是是考考研研的的一一个个重重点点，，定定积积分分应应用用是是考考研研试试卷卷中中应应用用题题考考得得最最多多的的一一个个内内容容..
本章常考题型
((11)) 不不定定积积分分、、定定积积分分及及反反常常积积分分的的计计算算..
((22)) 变变上上限限积积分分及及其其应应用用..
((33)) 用用定定积积分分计计算算几几何何、、物物理理量量..
((44)) 一一元元微微积积分分学学的的综综合合题题..
真题分类练习
一-、、不不定定积软分分的的计计算算
f 22((xx—-11)), ,x1 1 .1.
答答题题区区
e“arctan √e'-1dx.
2(（22001188,,1155题题， ，1100分分)）求求不不定定积积分分Je2jarctan』占—ldz.
答答题踵区区
®解题加速度
解题加速度
In(
1+.
门1
11.. (2（020090,9数,数二二，，99分分)计）计算算不定不积定分积分In 1 + ddjxr((xx >>0 )0.).
演演算尊空空间间
。50 ·
・50・第第三三章章 一一元元函函数数积积分分学学 ◄◄
22.. (2（020000,0数,数二二，，55 分分)）设设f /(I（Inn xx)） ==l n丁(（
x
11+；x)工
,
）
计
,计
算
算f(x)dx.
演演算空间
aresin√x+In x
3. （2011,数三，10分）求不定积分［竺竺知名土JiMdxd.工.
3.(2011,数三，10分)求不定积分
√x
J y/x
演演算空间
X
小结
小结
11.. 不不定定积积分分的的计计算算重重点点考考查查求求不不定定积积分分的的基基本本方方法法：：
(（11)）分分项项积积分分法法.. （(22）)凑凑微微分分法法..
(（33)）换换元元法法.. （(44）)分分部部积积分分法法..
考考生生不不应应将将大大量量时时间间用用在在一一些些难难题题和和偏偏题题上上..
22.. 专专门门考考不不定定积积分分的的试试题题并并不不是是很很多多，，但但计计算算不不定定积积分分是是一一种种基基本本运运算算，，在在其其他他试试题题(（定定积积
分分、、多多元元积积分分、、微微分分方方程程）)中中经经常常考考，，所所以以考考生生必必须须熟熟练练掌掌握握不不定定积积分分的的基基本本方方法法..
·・551 1·・数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
► 数学历年真题全精解析■（数学一）
。
。
二二、、定定靳积分分概概念念、、性推质脸及及几几何何意蠹义义
有 言
3U((22001111,,44题 题，，44 分分))设设 /I == J IInn ((ssiinn ]x))&d,x,」J== J Ilnn((ccoot tx )xd)xd,Kx, =K j lInn((ccooss Qx)ddzx,,则则 1I,, JJ, ,
0
K的大小关系为
K的大小关系为
((/> 2255.. 0T 5 10 15 20 25 30
(s)
答答题题区区
,52·
• 52,第第三三章章 一一元元函函数数积积分分学学 <
k k ·
0(2(0201177,,1166 题题，,1100 分分))求求l网im£乙
n
§
2
lInn( ((1l ++ §
n
)).
k=1
-
答答题题区区
:
Q ((22001188,,44 题题，，4 分4分)设)设 MM == f 量 2 (' ?1，+xx)?2 ddxz,, NN ==「 量 1 【 + 土 x , dx,,KK ==「 言 ((11 ++√ Jco coss xz))d dxz,,则则
-÷ 1+x2 e2 ÷
J -f 1 -r x J-量f e J-t
( (A A) ) M M > N N > > K K. . ((BB))MM>> KK >>N N.. ((CC))KK > MM >> NN.. ((DD))K K>> NN >>M M.,
答答题题区区
言。
Q8(2 （ 022012,14,题4题， ， 55分分)）设设函函数数f(/x（)x在）区在区间间[0［,01,]1上〕连上续连，续则，则j；f
f
&
(x
）
)
d
d
了
x
=
=
0
2k-1 1 2k-1 1
(A)lim乙f( ) 1 (（叫B)l里im2备f((（穿片)
2n 2 况 n 2n n
00 =1 →00-1
( （C C) 性 lim 景 2 2 m fl( （k导 2 - n 1片) n 1.· (D)lim 2 2 n ff( 2 k n, ) 2 n ·
→00=1 00k=1
答答题题区区
。53·
-53 -►
数
数
学
学
历
历
年
年
真
真
题
题
全
全
精
精
解
解
析
析
·
•
提■高■篇(（数
数
学
学
一
一
)
）
1
x 2x
dx,I?= In(1+x)dx,I?= | 2z dAx,
0（(22002222,,44题题，，55分分）)已已知知LI?= 1+cos x' 1+sin x'
o 2 2 ( ( 1 1 + + co c s o s x ) x ' ) 0 0 1+ COS X 100 1 + sin I X'
则
(A)I?
> I
I
?
2
>
>
1 .
1.
((BB))l1 >>I Z?, >>I ?I.2.
(C)I?>I;>1. (D)1>I?>I.
(C)L >/.>!. (D)l > /2 > L.
= _
1 1 +…+ 1
33.. (2(021021,2数,数二二， ， 44分 分)l)ilmimn (〃( ； 十2 + 滋 S --- 2 ! 2 ))=________<
1+n2 22+n2 n2+m2
→n-*moo \J.十〃 乙十〃 n ~r n /
质冒更别
·54 ·
• 54・_______________________________《________________________ 第第三三章章 一 一元元函函数数积积分分学学 VV
X
小结
小结
。
1. 定积分是一种和式的极限［7f((xx))ddxx= =li mli乙mfy(；G/)(△e)xA,,x利, ,利用用定定积积分分定定义义求求某某种种和和式式极极限限是是
1.定积分是一种和式的极限
→0 i=1
1
考考查查定定积积分分概概念念的的一一种种常常见见题题型型，，其其关关键键是是先先提提一一个个因因子子n然,后然后再再确确定定被被积积函函数数和和积积分分区区间间..
n
一一种种最最常常见见的的和和式式极极限限
=
l既im + 1 备2f((， i ) 脆)&.
n n f(x)dx.
: 7=1
22.. 定定积积分分的的几几何何意意义义..
定定积积分分£/f((xx))ddxx在在几几何何上上表表示示曲曲线线 V =y= / f ( ( X x ) ) , ,直直线线Hx == aa,,xH= =b及 b及 x轴H在轴在x轴工上轴上方方所所围围面面积积
与与在在工x轴轴下下方方所所围围面面积积之之差差..
3.定积分的性质重点是不等式性质及积分中值定理.
3. 定积分的性质重点是不等式性质及积分中值定理.
;
(1)不等式性质
(1) 不等式性质. 6
①① 若若在在[［□a,,》b］]上上 f/((xx)) ≤>φ ^((11)),^φ(2()2 )>> q(x)dx,则 则 至 至 少 少 存 存 在 在 一 一 个 个点 点
12
Ee ∈e((11,,33)),,使
使
得
得
q
矿
”
(
(
£
e
)
)v<0 o..
演算空间
小小结结
有有关关定定积积分分的的证证明明题题，，常常见见两两类类问问题题，，即即证证明明与与定定积积分分有有关关的的等等式式或或不不等等式式，，在在证证明明中中常常用用的的
结结论论是是积积分分不不等等式式性性质质和和积积分分中中值值定定理理..
11.. 证证明明积积分分等等式式的的常常用用方方法法..
((11)) 换换元元法法..
((22)) 分分部部积积分分法法，，特特别别是是被被积积函函数数中中出出现现f/((xx)的)的导导数数时时..
((33)) 利利用用积积分分中中值值定定理理..
22.. 证证明明积积分分不不等等式式的的常常用用方方法法..
((11)) 利利用用积积分分不不等等式式的的性性质质..
((22)) 利利用用积积分分中中值值定定理理..
(3)将积分上限换为x,转化为证明函数不等式.
(3) 将积分上限换为了,转化为证明函数不等式.
六六、、所反常常祝积分分的的概概念念与与计计算算
EE(2010,3题,4分)设为正整数，则反常积分「√加I§n2(_1-矽x)&的收敛性
四(2010,3题，4分)设m,n为正整数，则反常积分 dx的收敛性
√江
J0 y/x
((AA))仅仅与与mm的的取取值值有有关关.. ((BB))仅仅与与nn的的取取值值有有关关..
((CC))与与m的,n的取取值值都都有有关关.. ((DD))与与mm,n,”的的取取值值都都无无关关..
答答题题区区
,64 ·
, 64 •第三章 一元函数积分学
第三章一元函数积分学
In x
+00
2亚0(（22001133,,1122题 题，，44 分分)）「" dx= = .
J11 (（11++x) 了 2 ）2
答题区
答题区
1
,„ , f+°° 1I
21(2016,1题，4分)若反常积分 dx收敛，则
团(201.6,1题,4分)若反常积分 “〔 展d*收敛，则
0 x“(1+x)?
((AA))aa V< 11 且且 bb>>1l.. ((BB)a) >a> 11 且 且 b b > > l 1 . .
((CC))a aV< 11 且且 aa ++b b>>1 .1. ((DD)a) >a> 11 且且 aa ++ bb>>1 1..
答答题题区区
2困2((22002200,1,11 1题题,4， 分4)分若函)若数函 /(数xf)(满x足)满 /(足x)子 +(ax)/(+xaf) '+(x/)(x+)f (=x )0=(0a (>a> 00)),,/(f0()O )== mm,,
f'((00))==n处,则,则)f/((xx)d)xd x==_ _.・
0
答答题题区区
+。
= _.
dx
2困3(2（022。12,11,11题1题，,55分分)）『日莞豆=
x2+2x+2
0
答答题题区区
·65 ·
・65・数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
>数学历年真题全精解析•提高篇 数学一）
（0
解题加速度
解题加速度
xe?+
f+°° dx.
11..(（ 11999966,.数数三三，，66分分)）计计算算 八［或淑&.
J o (（J1.十+e e+ )）2
0
族算空间
,
人 1
]
, 11 <>2 2.. ((CC) )—- 22 >00
((00<
0
0
)与
）与
x轴
z
之
轴
间
之间
图
图
形
形
的
的
面
面
积
积.
.
答答题题区区
解解题题加加速速度度
x=t2+1,
, f x = i2 + 1,
11..(（22000066,,数 数二 二 ..1122分 分 ) ） 已 已 知 知 曲 曲 线 线 L的L的 方 方 程 程 为 为 ： ： y= 4t-t。, (（ti≥>00)）..
3 = m,
（(II )）讨讨论论L的L凹的凹凸凸性性；；
(（ⅡII)）过过点点(（一-E1,00)）引引L的L切的线切，线求，求切切点(点xo&,。y，o弘),）并，并写写出出切切线线的的方方程程；；
（(ⅢID）)求求此此切切线线与与LL(（对对应应于于xx≤
y)
)
→
-(0
(0
,0
,0
)
) a/x2 y2
a×(x,y,f(x,y))1
(
(C
C)
)
l
l
i
im
m
l3a· •(愆x,,y),,/f((工x,，y丁))))II
存
存
在
在
. (
(D
D)
)
l
li
i
m
m
a 乂 (工兰竺，v))」 存存在在..
√x2+y2 √x2+y2
((xx.,yy))→ —( (00.,00)) ^/x2 H- y2 ( ( x x , . y y ) ) -* → (0 (0 .0 .0 ) ) 』砂 + y2
答答题题区区
。
= _.
ky a2f
Ⅱ[11((22002200,,1122 题题，,4 4分分))设设函函数数 /■f((工x，,少y)== 「ee3、dtd,t则,则
a
芸
x
东
ay
；〉“,=■
4.1)
0
答答题题区区
?
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1
2
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题
题
，，5 5 分
分)
)
设
设
函
函
数
数
f
f(
5
x,
)
y)
可
可
微
微
，
，
且
且
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f(
+
x +
l.
1
e
,
1
e
)
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=
)=
x
x(
(
x
x
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+
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I
)
)
2
2
,
,
f
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(
a
x
,
,
x
x2
2)
) =
=
2 x
2
2
x
l
2l
n
n
x
x
,
,
则则 ddfy((l1,,l1))==
((AA))ddxx ++d dyy.. ((BB))ddzx ——ddyy.. ((CC))ddyy. ( (D D) ) — — d d y y .
答答题题区区
·76 ·
-76・________________ 《 第第五五章■ 多多元元函函数数的的微微分分学学 <
ax
ax
y
( ) +y
[凰③（(22002222,,22题题,5，分5分）设)设函函数数z =x=巧xymf x ） , ,且且/f X (u u ) ） 可可导导..若若x工奈+ 'a冬y == yJ2(（Ilnn jy —-I Inn x工)）,,
0x
则
1 1
·
(A)f(1)= ,f(1)= 0. (B)f(1)=0,f(1)=
（A）/（l） = 2 = 0. （B）/（l） = 0,/（1） = 2
乙 U
1
(（c C）)
/
f（(
i
1）)
=
=
2
,f(1)=
=
1
1
.
.
（(
D
D）)
y
f（i (）1)
=
=
o
0,
/
f(（i 1）)
=
=1
1
.
.
答答题题区区
Q
解解题题加加速速度度
y.
2g.-y ag
1. （2005,数三，8分）设六Q具有二阶连续导数，且g（x,>） =/（^）+>/工（-）,求纪a 期x 一寸 典.
1.(2005,数三，8分)设f(u)具有二阶连续导数，且g(x,y)= f(x )+yf(y ),求x2 ay
x y ax' dyr
填鼻空同
a2z
2. （2009,数二，10分）设z = fdx + y,x-y,xy）,其中f具有二阶连续偏导数，求dz与顼二.
2.(2009,数二，10分)设x=f(x+y,x-y,xy),其中f具有二阶连续偏导数，求dz与axay
djcdy
演碑空间
·77 ·
-77 -数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(数（数学学一一)） 》
=_ _.
z
(y' ) 上 ax
3...(I '2 00*8数.救二二.4.4分分 )设设2x==（旦 x ■）',,则则祭 = .
3JC （12）---------
(1,2)
演演算尊空空间间
a2u a2u +
数二，11分）设函数u = f{x,y）具有二阶连续偏导数，且满足等式4*§ ++1 122 倍 +
(2010.救二.11分)设函数u=f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式4 a.xay
?x2
dX dxoy
a2u a2u
5 5 ay了2彳 =0 = , 0 确 , 定 确定 a, q b,的 。 的 值 值 ， ，使 使 等 等 式 式 在 在 变 变 换 换 f = E= x x + + a a y y , η ,7） = == x +b + y 下 by 化 下 简 化 为 简 an 为 = = 0 . 0.
dy6 ' jc 3印'
满算空间
—
：2 .数二。分）设函数 fit）连续，令 F（z，v）= J — y — t） 则
(2022.数二.5分)设函数f(t)连续，令F(x,y)= （(jxc— y-t)f(t)dt,则
= 6=
=—
( , A 人 ) 、 a ③ 3 o F F xx 三 _ a a 3 dy F F y/ · a 3 d a 2 2 x x F 2 F d y _ a a d y 2 2 F 2 F · ( , (B 口 B)) 、 a 3 d — d x x F F = a a d — d y F F y ' , , d t a ? d x 2 - 2 x 2 F 2 F - = dy — a a— d 2 2 y F F 22-
=— =—
aF aF a2F a2F aF aF a2F a2F
(
，
C
八
)
、adFx _
a
d
y
F
a
d
x
2F
2
_
a
d
y
2F
2 (
5
k D)
、
7 a
d
dx x
F 3
d a y
F
' y d
d
ja
2
cx
F
22
d
da
2
yy
F
22' ·
ox oy dx dy
.k.
演篝空间
演算空间
。78·
・78・第五章 多元函数的微分学
第五章多元函数的微分学
K小小结结
本本题题型型包包括括如如下下几几个个方方面面的的问问题题：：初初等等函函数数的的偏偏导导数数和和全全微微分分，，求求抽抽象象函函数数的的复复合合函函数数的的偏偏导导
数数，，由由方方程程所所确确定定的的隐隐函函数数的的偏偏导导数数和和全全微微分分，，含含抽抽象象函函数数的的方方程程所所确确定定的的隐隐函函数数的的偏偏导导数数和和全全微微
分分，，由由方方程程组组所所确确定定的的隐隐函函数数的的偏偏导导数数..主主要要使使用用的的方方法法是是直直接接求求导导法法、、公公式式法法，，以以及及利利用用微微分分形形式式不不
变变性性..
此此题题型型是是常常考考的的题题型型，，复复习习时时需需注注意意：：
1.要做一定量的题目，从头到尾做下来，不要因为繁杂而放弃，对复杂题目的运算能力是研究
1. 要做一定量的题目，从头到尾做下来，不要因为繁杂而放弃，对复杂题目的运算能力是研究
生生考考试试的的重重要要测测试试点点..
22.. 求求抽抽象象函函数数的的高高阶阶偏偏导导数数时时，，要要做做到到不不遗遗漏漏、、不不重重复复..
另另需需关关注注的的是是，，关关于于偏偏导导数数、、全全微微分分、、连连续续、、极极限限等等概概念念及及其其它它们们之之间间的的关关系系..
二二、、求家多华元元函函数数的的根极值值
[4E((220O0O99,,1155 题题，，9 9分分)求)求二二元元函函数 数f(x,y=)= xx22((22 ++y ^2) )+ +yl n yj的,的极极值值..
答答题题区区
L[⑤E((22001111,3,3题题,4，分4分)设)设函函数数具?(有x)二具阶有连二阶续连导续数导，且数/，X且z) f>( x0)>,/0z,(0?)( 0=) =00,,则则函函数数zx ==
f
八
(
工
x)
)
lInn
f
f
(
(y
y
)
)
在
在
点
点
((00,,00))处
处
取
取
得
得
极
极
小
小
值
值
的
的
一
一
个
个
充
充
分
分
条
条
件
件
是
是
(A)f(0)>1,?(0)>0. (B)f(0)>1,”(0)<0.
(A)/(0) > 1,/(0) > 0. (B)/(0) > 1,/(0) < 0.
((C0)/f((00)) <<1 ,1f,”/(0(0) )>>0 0.. ((DD))/f(0(0) )<<1 1,f,/”(0()0 )<< 00..
答答题题区区
,79 ·
. 79 .数
数
学
学
历
历
年
年
真
真
题
题
全
全
精
精
解
解
析
析
·
•
提提高高篇篇(
（
数
数
学
学
一
一
)
）
1皿6(（22001122,,1166题题， ，1010分分）)求求函函数数ff(gx,）y)==x费e一毕的的极极值值..
答答题题区区
z3
[1g7(（22001133,,1177 题题，,101 0分分）)求求函函数数，f（w(x,y）)== ( （ y ＞ + + y ) ）ee2^+) 的的极极值值..
3
答答题题乂区
四18(（22001155,,171 7题题，1，0 分10）分已)知已函知数函 数f(x=, yz) +=x ;y+ +y+巧xy，,曲曲线线 &了C:2x2++/y22++巧xy==3,3求,求f (x,y)
在在曲曲线线CC上上的的最最大大方方向向导导数数..
答答题题区区
·80 ·
-80・第五章 多元函数的微分学
第五章多元函数的微分学
皿19(（22001188,1,166题题，，1100分分)）将将长长为为2m2 的m铁的丝铁分丝成分三成段三，段依，依次次围围成成圆圆、、正正方方形形与与正正三三角角形形..三三个个图图
形形的的面面积积之之和和是是否否存存在在最最小小值值?若?若存存在在，，求求出出最最小小值值..
答答题题区区
2亚0(（22002200,,1155 题题，，101 分0分）求)求函函数数 f（fx(,xy,）y )== xx33 ++8 y83y—3 -x xyy的 的极极值值..
答答题题区区
x2+2y2-x=6,
座］（2021,19题，12分）已知曲线C：(［* +2丁 6,求c上的点到迎y坐标面距离的最大值.
21(2021,19题，12分)已知曲线C: 求C上的点到xOy坐标面距离的最大值。
4x+2y+z=30,
\^x + 2y + z = 30,
答答题题区区
,81 ·
・81—
数数学琶历历年年真真题题全全精精解解析析·二提提高高篇篇(（数数学学一一)） 》,
■
2
困
2(（2
2
0
0
2
2
2
2
,
,
1
1
3
3
题
题
，，5 5
分
分
）
)
当
当
工
x
2
≥
0
0，,
了
y
2
≥
0
0时
时
，，/ x
+
2
丁
+y 2
<
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龙
k
e
e+
*
恒
恒
成
成
立
立
，
，则
则
&
k
的
的
取
取
值
值
范
范
围
围
是
是 __
答答题题区区
®解题加速度
解题加速度
1
1.
.
（
(
2
2
0
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0
0
5
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,
,
数
数
二
二
・1
.
0
1
分
0分
）已
)已
知
知
函
函
数z
数
=
x =
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f
（
(
了
x
以
,
）
y)
的
的
全
全
微
微
分
分
dz
d
=
z =
2
2
i
r
d
d
z
x
—
-2
2
y
y
d
Ay
y
<
,
,
并
并且
且
/
f
（
(
1
1
,
,
1
1
）
)=22..求
求
y?.
f，(&x点,y）)在在椭椭圆圆域域。D== { (（xx,9yy)） x 了 2 之 + +当≤v1i］上上的的最最大大值值和和最最小小值值。.
4
演算空间
22.. (（22000088 ，数 .数 二 二 . 11. 分 11 ） 分 求 ) 函 求 数 函 u =数 xu2= +x 2j/+2 y+2 z+2 z 在 2 约 在 束 约 条 束 件 条 z 件 = z= x2 y + 2 y 和 2z和 +x y+ y++ zx ==4 下 4下 的 的
t2
最最大大值值和和最最小小值值..
演演算算至空间间
,82·
. 82 .第五章多元函数的微分学
第五章多元函数的微分学
33.. (2（021001,0数,数三三，，1100分分）)求求函函数数uu ==x xyy+ +2y 2在yr约在束条约件x束2+y条2+z2件=10下= 的10最下大的最值大和值最和小最值小值. .
演演算曾空E间间
44.. (2（021011,1数.数三三，.1100分分)）已已知知函函数数ff(（u.,uv,v)）具具有二有阶二连阶续偏连导续数偏，f导(1,数1)==2 是2是f(uf,（vu),的p）极的值极，值，
a2x
z=Q + E（W））.求器 J
z=f(x+y,f(x,y)).求axay
x=1*
=1
演算空间
—
55.. (2（022022,2数.数二二， ，1122分分)）已已知知可可微微函函数数ff(u（u,,vv)满）满足足 af W ( a u （u拦 ,v) ）— θ 方 f a (u v乎 ,v) *） = =2 (2u（—“ 一v )ue）(e+-wF)“,且 ，且
dU dv
f/(（uu,,00)）= =u 2we2“e-u..
(
（
I
I
)
）
记
记
g
g
(
（
x
z
,
，；
y
y）
)=
=
f (x,y-
—
x )
z
,
）
求
，求a喝g(顼x,应y)）;；
0x
dx
(（ⅡU )）求求f(的u,表v)的达表式达和式和极极值值..
演算空间
,83 ·
・83 -数数学学历历年年真真题畦全精精解解析析二·提提高高篇篇(（数数学学一一)） 》
X小结
小结
1.二元函数极值的求法.
1. 二元函数极值的求法.
(（1
1）
) 解
解
方
方程
程
组
组
/
f：/
（
(
工
x
。
,
，
y
弘
o)
）
=
=
0,
0
f
,
,，(；x
&
?,
。
y
,
o
义
)
）
=0
=
,得
0,得
所
所
有
有
驻
驻
点
点
.
.
(2)对每一个驻点(xo,yo),求A=f"(xo,yo),B=f(x?,yo),C=f?g,yo)的值.
（2） 对每一个驻点（血5）,求A = f"XI （x0必），B =以（瓦，Vo）,C =矿》〈工0 ,y0）的值.
(3)由B2—AC的符号确定是否为极值点，是极大值点还是极小值点。
（3） 由B2-AC的符号确定是否为极值点，是极大值点还是极小值点.
22.. 条条件件极极值值的的求求法法..
用用拉拉格格朗朗日日乘乘数数法法..
33.. 最最值值的的求求法法..
闭闭区区域域上上连连续续多多元元函函数数的的最最值值可可能能在在区区域域内内部部或或边边界界上上达达到到，，先先求求出出在在区区域域内内部部的的所所有有驻驻点点
以以及及偏偏导导数数不不存存在在的的点点，，比比较较这这些些点点与与边边界界上上点点的的函函数数值值，，最最大大者者即即为为最最大大值值，，最最小小者者即即为为最最小小
值值..对对于于实实际际问问题题一一般般根根据据实实际际背背景景来来确确定定是是否否取取最最值值..如如可可能能极极值值点点唯唯一一，，则则极极小小（(大大)）值值点点即即最最
小小(（大大)）值值点点..
三、反问题
2国3(（22001144,,1177题题，，1100分分)）设设函函数数ff(u（u)）具具有有二二阶阶连连续续导导数数，,zz == f/(Xee''ccooss yy)）满满足足
a2z+a2z
a
寿
x2
+
ay2
==(4（z4+z e+' ceo'cso sy y)）ee22.-r.
若f(O)=0,f(0)=0,求f(u)的表达式.
若 /（0） = 0,/（0） = 0,求 /（u）的表达式.
答答题题区区
。84
. 84 .第第五五章章 多多元元函函数数的的微微分分学学
（1
解解题题加加速速度度
((22001144,,数数三三，.1100分分))设设函函数数f/((u“))具具有有连连续续导导数数，，且且xz= = f (/eX'lccoos sy少) 满满足足
?z ?z
cos yax— sin y
cos y — sin y ay ==( 4(x4+z e+2 ceoJsco sy )ye)e'x.,
3] dy
若若f/((00)) ==0, 0求,求f(/u()“的)表的达表达式式。.
满霸臣间
＜小小结结
由由已已知知满满足足的的关关系系式式或或条条件件，，利利用用多多元元函函数数微微分分学学的的方方法法和和结论结，论求，求出出待待定定的函的数函、数参、参数数等等，,
特特别别是是已已知知偏偏导导数数或或偏偏导导数数所所满满足足的的关关系系式式(方（方程程)求）求函数函，数主，主要要有有两两种种题题型型：：
11.. 已已知知偏偏导导数数，，通通过过不不定定积积分分求求函函数数..
设设 f/■(（x了,以y)）有有连连续续偏偏导导数数，且， 且f(x,y=)= gg（(.xx,,yy）) ,,f'fy,{(x,xy,'y） )== hh(（xx,,yy)）,,则则有有
f(x,y)== jyf.；（(Hx，,vy）)ddz x++q甲(3y）)== Jgg(&x,,yy)）ddx*+ +φ p(（yj＞)）,,
f(x,y)== jfg,&(x’,jyO)ddrx++ ψ族（(工x）)== J/
h
i
(
（j
x
?，
,
v
y
）
)
d
d
v
y
+
+ (
0
x
（z
)
）
.
.
22., 已已知知多多元元函函数数的的偏偏导导数数所所满满足足的的方方程程，，通通过过变变量量变变换换，，化化为为一一元元函函数数的的导导数数所所满满足足的的方方程程，,
即即常常微微分分方方程程，，求求解解微微分分方方程程得得到到函函数数..
＜3
四、、求求方方向向导导数数与与梯怫座度
2蜜4(2（021021,21,111题 题，，44分 分)）ggrraadd(（ x 巧 y + + 宁 2)）|2.1.)= _.
y
(2,1,1)
答答题题区区
。85·
. 85 .数
数
学
学
历
历
年
年
真
真
题
题
全
全
精
精
解
解
析
析
·
二
提提高高篇篇(
（
数
数
学
学
一
一
)
）
五(2016,10题，4分)向量场A(x,y,z)=(x+y+x)i+xyj+zk的旋度rotA= _.
困（2016,10 题，4 分）向量场 A（jr=（工+）+ + + zk 的旋度 rot A =・
答答题题区区
2363(（22001177,,33题题，,44分分）)函函数f(数x,y,z)==x/2y、++z 2/在在点点(（11,,22,,00)）处处沿沿向向量量n〃 ==( 1（,12,,22,2)的）的方方向向导导
数数为为
(（AA)）1122.. (（BB)）66.. (（C0)44.. (（DD)）22..
答答题题区区
2
面
7(
(
2
2
0
01
1
8
8
,
,
1
1
1
1
题
题，，
4 分
4分
)设
) 设F(F
j
(7,x j/,,y
z
,) z
=
) =
j
x
cy
y
i
i
—
- y
yz
e
j
j +
+
z
z
r
x
k
k
,
，
则
则
r
r
o
ot
t
F
F
(
(
l,
1
l
,
»
1
0
,
)
0
=
)=
.
_.
答答题题区区
2巫8(（22001199,,1166题题，，1100分分）)设设a
q
,,Ab为为实实数数，，函函数数z z== 22+ +ax站2+2b +y2如在2点在(点3,（43),处4）的处方的向方导向数导中数，中，沿沿
方方向向1I= =-3-i3-4ij-的4方j的向方导向数导最数大最，大最，最大大值值为为101.0.
(（II) ）求求a,tzb,们;
(（Ⅱ n）)求
求曲
曲
面
面
n
z
=
=2
2
+
+
ax
心
2+
2
b
+
y2
如
(
2
z（≥
恋2
0)
。
的
）
面
的面
积
积
.
.
答答题题区区
。86
・86 -第五章 多元函数的微分学
第五章多元函数的微分学
2
幽
9((2
2
0
0
2
2
2
2
,
,
1
1
1
1
题
题
，，5 5
分
分
)
)
函
函
数
数
f
f
(x
(
,
x
y
,
)
y )
=
= x
x
2
2
+
+
2 y
2
2
y
在
2在
点
点
(0
(0
,1
,1
)的
)的
最
最
大方
大
向
方
导
向
数为
导 数 为
_.
,
答答题题区区
X
小结
小结
1.求方向导数、梯度直接按定义解即可，考题较易，但有时不直接给出，需计算方向余弦.
1. 求方向导数、梯度直接按定义解即可，考题较易，但有时不直接给出，需计算方向余弦.
22.. 若若函函数数在在一一点点可可微微，，则则在在此此点点任任何何方方向向的的方方向向导导数数均均存存在在，，而而梯梯度度则则是是方方向向导导数数取取得得最最大大
值值的的方方向向，，梯梯度度的的模模为为方方向向导导数数的的最最大大值值。.
33.. 考考研研题题目目有有时时还还会会涉涉及及散散度度和和旋旋度度..
玉玉、、多务元元函函数数微微分分学学的的几几何何应应用用
3亚0((22001133,,22题题，，4分4分)曲)曲面面£x +2+ccooss((巧xy))++贝ye++x z= 0=在 0点在(点0,(01,,1-,1 —)处 1)的处切的平切平面面方方程程为为
( (A A ) ) z x — - jy y + + z z = = - — 2 2 . . ( ( B B ) )z x + + y J； + + z z = = 0 . 0. ( ( C C ) )x x — - 2 2y y + + z z = = - — 3 3 . . ( ( D D ) ) x z - — y y - — z z = = 0 . 0.
答答题题区区
3§10]((22001144,,99 题题，,4 4分分))曲曲面面 2x: ==x 2j:(2 1(1- s-i ns iny )+) y+3 (/1 —(1 s-i ns inx )在)在点点(1(,10,,01,)1处)处的的切切平平面面方方程程为为
答答题题区区
。87 ·
-87・数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学一）
弱32((22001188,,22题题，,44分分))过过点点((11,,00,,00)),(,0(,01,,10,)0,)且,且与曲与面曲z面 =z =x2 ++y y22相相切切的的平平面面为为
t2
((AA))z x== 00 与与 zx ++ yv -—x z==1 .l・ ((BB)z) =z =00 与与 2 x2 x+22yy —- zx ==2 2..
( (C C ) ) z x = = y 3/ 与 与 x x +y y - — z z = = 1 . 1. ((DD))x x== y y与与 2z2 x++ 22丁y —- zz ==2 2..
答答题题区区
X小结
小结
微微分分学学在在几几何何上上的的应应用用主主要要包包括括如如下下几几方方面面：：
11.. 求求空空间间曲曲线线在在一一点点处处的的切切线线和和法法平平面面，，关关键键是是求求切切线线的的方方向向向向量量..
22.. 求求曲曲面面在在一一点点处处的的切切平平面面和和法法线线，，关关键键是是求求切切平平面面的的法法向向量量..
3.微分学在几何上的应用经常与空间解析几何结合起来出题，诸如平面、直线间的关系，旋转
3. 微分学在几何上的应用经常与空间解析几何结合起来出题，诸如平面、直线间的关系，旋转
面面的的方方程程等等..
·88 ·
. 88 .第六章 重积分
第穴章重积分
第六章 重积分
第六孝 重枳分
本章导读
本章导读
本本章章考考查查的的重重点点是是二二重重积积分分的的计计算算，，除除了了掌掌握握基基本本的的计计算算方方法，法需，需注注意意对对称称性、性拆、拆分分区区域域、、拆拆
分分函函数数、、交交换换积积分分次次序序、、交交换换积积分分坐坐标标系系等等的的应应用用..三三重重积积分分的的考考查查要要求求较较低低..
试试题题特特点点》
由由于于重重积积分分可可以以糅糅合合在在线线、、面面积积分分中中，，单单独独对对重重积积分分的的测测试试不不是是每每年年试试题题中中都都会会出出现现的的，，分分数数
约约占占试试卷卷的的44?%?5〜题5目%主.题要目集主中要在集二中重在积二分重计积算分的计考算的查考上查，上往，往往在往在被被积积函函数数和和积积分分区区域域上上设设
置障碍，因而要掌握一定的方法和技巧.另外，被积函数为抽象函数的二重积分值得关注.
置障碍，因而要掌握一定的方法和技巧.另外，被积函数为抽象函数的二重积分值得关注.
真真题圄分分类类练练习习
一一、、是基本本概念念度及修性质质
[1J(2（020090,92,2题题，，44分分)）如如图图所所示示，，正正方方形形｛&(,(少x,y|) || l*x l|<≤11,, l|y刃I≤<11}被｝被其其对对角角线线划划分分为为四四个个区区
y
言
域 域 D 以 ,( 以 k= = 1, 1 2 , , 2 3 ,3 , , 4 4 ) ) ,I, = = y y c c o o s s x x d d x x d d y y , ,则 m m a a x x { { Ik L } ) = = 1
JJ 11dzod,ffI,?/2= =JJ c c o o s s ( ( x x 2 2 + + y > 2)2d )d o t , f I ,I ? 3 = = JcJocso(xs2S++y2/))2d&o,,
D D D
其
其中
中 DD=={ (
{
x
(
,
]以
y)
)
|
|了
x22+y+2≤/V1}I},则，则
(D)I?>I?>I?
((AA))II3 ?>> I12? >> II.). ((BB))LI ?>> IZ2? >> II?3. ((CC))II2 ?>> IA? >>I ?L.・ (D)L > /i > L・
演算空间
22.. ((22001133,,数数三三.4.4分分))设设DD.t是是圆圆域域£>D =={ ({x&,,y/))| x| 2了+2y +2寸≤1<)位 1}于位第于k第象"限象的限部的分部，分，记记
山
IIk, == jj*3 — x)dxAy(k = 1,2,3,4),则
(y-x)dxdy(k=1,2,3,4),则
%
(A)I(,A> )0L.>0. ((BB))II2 ?>>00.. ((CC))ZI3 ?>>00.. ( (D D))L I? > > 0 0. .
演尊空间
· 90 ·
・90・。
第六章 重积分
第六章重积分
X
小结
小结
11.. J/(M,v)dMdW = A为常数，与积分变量用哪个字母表示无关.
f(u,v)dudv =A为常数，与积分变量用哪个字母表示无关.
D
2.二重积分不等式性质须注意条件，如
2. 二重积分不等式性质须注意2条件，如
((11)) f/((xx,,jyz)) ≥2gg((xz,，yV))推推不出 不f(x,y出)dxdy＞> Jgg(&x,’yj)Dddxzddyy,但,但加加上上 f(x,y),,gg((xz,y,y)连)连续续且且
D D
f
f
(x
g
,y
)
)不
不
恒
恒
等
等
于
于
g(
g
x(,
x
y
,9
)
＞
,
)
则
,则
结
结
论
论
正
正
确
确
.
.
((22)) /f((
x
x，,3y；)) ≥2 00且且f(x,y)dxdy==0 推0不推出不f出(xf,(yx)9=y)0 ,=但 0加,但上加f(上x,/y()x连,jz续)连，续则，结则论结正论正确确。.
D
二二、、二二曾重朝积分分佝的基基本本计计尊算
$B((22001111,,1199题题，，1111分分))已已知知函函数数/f((xx,，5y-))具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数，且，/且(1f,＞(1), y=) =00,,/(fx(x,l,)1 )== 00,,
xyf"(x,y)drdy.
f(x,y)dxdy==a a,，其其中中 DD= ={( {x(,xy,＞)|) O| ≤0＜x≤工1＜,01≤,0y＜≤了1＜},1计}，算计二算重二积重分积分■(工，了)&dy
D D
答答题题区区
。
04((22001155,,44题题，，4分4分)设)设DD是是第第一一象象限中限由中曲由线曲2x线y 2=x y1=941x,y4 x=y =11与与直直线线y y== xx,,yy ==√ a/33xx围围
成的平面区域，函数/(x,＞)在。上连续，则£/&以)&心=
成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则 f(x,y)dxdy =
D
( (A A) )
f骨t
do
重m 土1
ff( (rrccosoθs,。r，s厂isni nθ 0))rrddrr.. ( (J B B ) )
配
：ddo补
配
√丁
1
2 f “ (rco c s o θ s , M rs s i i n n θ e ) ) r r d d r r . .
上 1
m份
J十 J
7
“
分
二赢
量 m1 量 1
( (C C) ) f ddo^f n 9 f/((rrccoos sθ ^.,rrssiinn θO'))ddr,. ( (JD D) ) ddo^J f / ( ( r r c c o o s s θ 0 , , r r s s i i n n θO'))ddrr.
量 zn 具事 √ 1 an
答答题题区区
,91·
・91・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·
•
提提高高篇篇(（数数学学一一)）
π π ,
≤0≤
05(2（021061,6,1155题 题，,1100 分分）)已已知知平平面面区区域域 DD== （(（rr,,。θ）|) |2 2<≤ rr ≤< 22(（11 ++c ocsoθs 0)）,, 一- y < 0 < y
2 2
山：
xdxdy.
计计算算二二重重积积分
D
答题区
答题区
解
解
题
题
加加速速度度
2山
11.. (2（020060,6数,数三三，，77分分)计）计算算二二重重积积分分jj √Vyy22 —— xxyyddxxddyy,,其其中中DD是是由由直直线线' =y=xx.,yy == 1,x== 00所所
D
围围成成的的平平面面区区域域..
演算空间
,
-
92
9 2
·・第六章 重积分
第六孽重积分
q
22..((22000099,数,数二二、、数数三三，，1100分分))计计算算二二重重积积分分。(&x一-y少)dx&d心y,其，其中中
D
D
D
=
=
{(
(
x
(
,
x
y
,^
)
)
|
|
(
(
x
x
-
-
1 )
I)
2
2
+
+
( y
(
-
y
1
-
)
I
2)≤
2 <
2 ,
2
y
,y
≥
>
x }
x}
.
.
演演算空间
3.(2011,数二，4分)设平面区域D由直线y=x,圆x2+y2=2y及y轴所围成，则二重积分
3. (2011,数二，4分)设平面区域D由直线v = z,圆x2 + y2 = 2/及;y轴所围成，则二重积分
2
jpxry/cdho = =_ _,.
D
演算空间
44.. (2(020030,3数,数三三，，88分分)计)计算算二二重重积积分分
II == JJee--<(x22+y+23 -'w)s siinn((xx22 ++y y22)>)d dxxddyy,,
bD
其其中中积积分分区区域域d D== {(x,y)|I x2++y2≤/ <π q)..
演算空间
· 93 ·
-93 -数学历数年学真历题年全真题精全解精析解·析提•提高高篇篇(数（数学学一一)）
8
55.. (2（201021.2数.数二二.1.10分0分)计）计算二算重二积重分积 ry 分 du 其 ,其 中 中 区 区域 域 D D 由 由 曲 曲 线 线 r= r 1 = +c l o + sθ co ( s O 0 ≤ （0 0≤π) i 与 t）与 极 极 轴 轴
围成.
围成
消异空间
{eb', ,0O≤〈xM≤11,,则 J 广+0
66.. (（22002222.,数数三三，，5分5分）)已已知知函函数数/f&(x）)== 则 f(x / ) ( f x) ( / y (y - x — ) 工 d ) y 如 = =
00, , 其其他他，， J -00
-8
*
演演算空间间
X
小结
小结
11.. 计计算算二二重重积积分分的的步步骤骤为为：：
(（11)）画画出出积积分分区区域域DD的的示示意意图图..(（22)）用用不不等等式式组组表表示示积积分分区区域域DD..( （33)）把把二二重重积积分分表表示示为为二二次次积积
分分..(（44)）计计算算二二次次积积分分..
22.. 注注意意积积分分坐坐标标及及积积分分次次序序的的选选择择，，一一般般来来说说：:若若积积分分区区域域为为圆圆域域或或圆圆域域的的一一部部分分，，被被积积函函数数
y
为为形形如如/f(（√7xx22++yy2)）,,f/ ( （xf ) ）,,f|/ ( （^
y
工) ）等等，，可可考考虑虑采采用用在在极极坐坐标标系系下下进进行行计计算算..
33..利利用用直直角角坐坐标标计计算算二二重重积积分分ddoa == ddxxddyy0..
a(n)
dx
若若 DD:a≤Vx 工≤ Wb ,bo,（(p】x［)j≤c） Wy≤ y φV ?（p(zx&),）则，贝Ujj f，(（x z , ,; y y ) ）d d b a = ff((xx,,yy))ddyy..
; n(n
D
dy 的()
若 若 D D : ： c c ≤ W y 丁 ≤ W d , d ψ ,。 ( 】3 y) ） ≤ W x z ≤ W ψ 欧 ( 2 y（y ),）则 ,贝 ff ((xx,9yy))ddao = ff((xjc,,yy))ddxx..
A(
BDD
44..利利用用极极坐坐标标计计算算dod=a =rd rrddor,d计O,计算算方法方同法直同角直坐角标坐，标一，一般般先先r、厂后、后θ0
若
若
极
极
点
点
○
O在
在
积
积
分
分
区
区
域
域
D
D的
的
外
外
部
部
，
，。
D可
可
以:;表
以
示为D:
表
a≤0≤
示
βqi(
为
8)≤r
甲
≤φ?( 2（8
。
)
）
,
，
则
则
6
jpf((zx,,;yy))d (lxrddyv == f ddo^f2 (2 的
f
/
(
(
r
r
c
c
o
o
sθ
s
,
。
r
，
s
厂
i
s
n
i n
θ
0
)
)
r
r
d
d
r
r
.
.
J a J
(灼的(0)
D
·・ 9944 ·・第六章 重积分
第六章重积分
。
若极点O在积分区域D的边界上，D可以表示为D:a≤θ≤p,0≤r≤q(θ),则
若极点O在积分区域D的边界上，D可以表”示为。:q 〈厂 ＜甲（。），则
山下
Jj f /( ( x x , , > y ) ) d d x x d d 3 y / == do[ /f(（rrccoosθs。,r，s广isnin θ O')）rrddrr..
J a J o
D
D
若
若
极
极
点
点
○
O在
在
积
积
分
分
区
区
域
域
D
D的
的
内
内
部
部
，
，。
D的
的
边
边
界
界
方
方程
程
为
为
厂
r=
=
φ甲(8⑹),
,
则
则
几0 f22x 「娜
f f { ( x x ^ , y y ) ) d d x x d d y y = = d d θ 。 f/(（rrccoosθs ,0r,srisni nθ O')）rrddrr..
J o J o
5.注意利用二重积分的对称性化简运算.
5.注意利用二重积分的对称性化简运算.
三三、、利用用⑤区城域的的射时衿称推性及及函函数数的的奇奇偶儒性推计计算算积徐分分
d；
y
解题加速度
解题加速度
8
11.. (（22000044 ,.数数三三，，88分分)）求求°(（√如x 2++yy? ++y少)d切g,，其其中中DD是是由由圆圆/x2 ++
D -2 2 x
-1
寸y2==44和和(（x工++1)12）+2 y+2=J1 所= 围1所成围的成平的面平区面域区域(如（如图图)）..
-2
演算空间
22.. ((22000055,.数数二二，，4 4 分 分 ) )设设区区域城 DD==( ({x(x,,y>))| | x2++y2y≤ <4, 4x,≥x >0, 0y≥,j >0) ,0}f ,(fx)(是x)正是值正连值续连函续数函数，，aa,,b6
a √f(x)+b√f(y),
为常数，则 J§3 +5』f 3 d匕o =
为常数，则
√f(x)+√f(y)
D
/7w +vTgo
abπ. a+b.π.
((AA)a)沥bπ7T.. ((BB))务 2 . ((CC)) ((aa+ +b) bπ)".. (5 ( D D ) ) 、 Q ~ 2 + 2 ~ A n-
演算空间
·95 ·
・95・数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇(数学一)
古
33.. (2 ( 0 2 1 0 0 1 , 0 数 ,数三三， ， 1 1 0分 0分)计)算计算二二重重积积分分J(Jxc+r +y) v3Td也n,,其其中中DD由由曲曲线线了x==√ J11++y与J直与直线线x工+√+20y= =
D
0及x-√Zy=0所围成.
0及z —y/2y = 0所围成.
演舅空间
d
4. (2008,数三，4 分)设 D = ((x,y) | x2 +/ < 1),则J(Jx&2z— — y少)dr&d心y == , _,
4.(2008,数三，4分)设D={(x,y)|x2+y2≤1},则
满算空河
0
π
55.. (2(021021,2数,数二二，，44分分))设设区区域域DD由由曲曲线线vy ==s isnin x1,,x工=±=± 穿,y 、==1围1成围，成则，则』(xy?-—1) 1d)x&dy如 ==
2
D
((AA)π)n.. ((BB))22.. ((CC)) -—2 2.. ( ( D D )一 ) — π 。 K.
演算空间
演
小《小结结
11..下下面面的的结结论论十十分分重重要要..
(1)若D关于ax轴对称，D?为D的上半平面部分，则
(1)若D关于工轴对称，玖为D的上半平面部分，则
{(00,, 当当 f/((xx,, -—y y))= -=f—( x/,*y&,)、时)，时,
pd
f(x,y)do = 22jJf/((xx,j,>y))dd(yo,,当当 ff( (工x,,-—yy))= =f( x,y)时时..
D
Di
· 96 ·
・96・第六章 重积分
第穴章重积分
。
(2)若D关于y轴对称，D?为D的右半平面部分，则
(2)若D关于v轴对称为。的右半平面部分，则
入0p, 当f(-x,y)=-f(x,y)时，
0, 当 /(—x,>) =—/(x,>)时,
f(x,y)do = = < 2 2 f(x,y)do,当 当 f / ( ( - — x , x y ,> )= ) = f ( f x ( , . y x, ) y 时 )时 . .
o
((x33))x →一 了y互互换换，,D。保保持持不不变变时时，，则则
1
f(x,y)drdy = f(y,x)drdy = [f(x,y)+ + f ( f{ y y , , x x ) ) ] ~ d \d x x d A y y . .
2.
2.若积分区域不具有对称性，或被积函数不具有奇偶性，可考虑拆分区域或函数.
2.若积分区域不具有对称性 ，或被积函数不具有奇偶性，可考虑拆分区域或函数.
<3>
四、、分分填蠕函通数数积靳分分的的计计算寰
Q
解解题题加加速速度度
11.. (2(020050,5数,数二二、数、数三三，，99分分)计)计算算二二重重积积分^J|Jx|x22+ +y2/- 1-|ld|do<,7其,其中中
DD= ={ ({x(,zy,);y|)O|≤0Wx≤zW1,l0，0≤Wy≤v<1l}}.・
滨所空同
2
2
2.
. (
(
2
2
0
0
0
0
8
8
,
,
数
数
二
二
、
、数
数三
三
，
，1
1
1
1
分
分)
)
计
计
算
算jpmnaaxx((x巧y ， ,ll)d)rddr;dyy，其,其中 中D D== {{((xz,,y;y))||O0≤Wxz≤<22,,00W≤y;y≤<22)}..
演 泪 I
·・
9
97
7
·・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇((数数学学一一))
{x3,
|I xZ l| ++l | y'l ≤| W1 1,,
1
33.. (2(020070、7数,,二二、 、数数三三..1111 分 分 ) )设设二二元元函函数数 f f( { x x , , y y ) ) == ,11y)) || || xxl |+ +l |y 刃|≤<2}2.}.
D
演剪空间
{aa ,9 00 <≤ zx W≤ 11, .
44.. ((2200030 3.,数数三三.4 ，分4)分设 )q设 >a >0,f(x=) =gg((zx))== s ' 而而D。表表示示全全平平面面，，则则
00, ,其其他他，，
d
II == Jjfy(&x))gg(;(yy —- xQ)ddzdxjdyy = = _.
D
演算空间
。
'小小结结
0 ;2
形
形
如
如
积
积
分
分jjl
l f
/
(
(
x
］
,
，
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'
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)
|
I
d
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x
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,
g
g
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x
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,
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y
)
)
}
}
d
d
o
是）连是续连函续数函数，，则则J"dy述］
y—^yf((xx,J,/y)d)dxx ==
。 -√1-)
-1 √ J\ - - J 1
((AA)) [ddxz「》 f( (w x,y ) ) d dy y + +「ddxz「 , ffC(xx.,yy^)ddyy..
Jo J0o J -1 Jo0
1-1
配1-x
((BB)) f ddxxf f
f
C
(
j
x
c.
,
y
y
^
)
dy
dy f(x,y)dy.
√-2
J o J 0o
1
量
((CC)) J2 ddθemjg叶inm0 f
f(
(
r
r
c
c
o
o
s
s
θ
0,
,
r
r
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i
i
n
n
9
θ
)
)
d
d
r
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+
j, ddo《/
f
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in
θ
0
)
)
d
d
r
r
.
.
0 0
重 )
do
(D) W-sintf fj((rrccoossθ a,,rrssii• nn 0θzi\) )rdr1drr+ f(r r c c o o s s θ 0 , , r r s s i i n n θ 0) ) r r d dr r . .
0 十
箭想2
7(2（2002222,,1188题题，，121分2分）已)已知知平平面区面域区D域=D ={（{工(x以,）y)| |y-2≤x≤√^44 --y /?, ,00 ≤< y>≤ <2 2}},,计计算算
10
I= ff (x— y)2 dxdy.
x2+y2
D
答答题题区区
,・9
99
9
-.
数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析二提高篇（数学一）
。
。
解 解。题
题
加
加速
速
度
度
。
11.. (（22000077,,数数二二、、数数三三，，44分分）)设设函函数数ff(（xx,.yy)）连连续续，，则则二二次次积积分分 jx ddxxj f/((xx,，y3)z)ddyy等 等于于
量 in
dy
((AA))
dy
f
f
( x,y)dx.
((BB)) f dj f/((xx,,yy))ddxx..
*+ares s i i n n y y J 0 J rx—aarc?sin) y
((CC))J f l d 心 y f \ i t r+ a r a e r s c i s n in y y f/((xx,，y3)^d)dxx.. ((DD))皿 fl dyfxr—-aarrcessinin yy ff((xx,9yy))ddxx..
号 量
演算空间
22.. ((22001100,,数数二二，，2200题题，，1100分分))计计算算
0
二二重重积积分分
jjrr22 ssiinn θ6 J√]1 —— rrc2 ocos& 220。d击rd•曲o,,
D
π
其其中中 D D = = { ((rr,,θ0)) | 00 ≤ y j√i^了7 √ yp x ~ 2 + +y y 2 / f ( ( x x2 2 + + y / 3) ) d & x . . ((DD)) J f 2 o d d y ^j r √ V4 ^ 4 - - 7 _ , _ f /( ( x x 2 2 + + y / 2 ) ) & dx . .
1+√-, 1+√1-)
演算空同
。
y
dy 2L_ dx=
55.. ((22002222,数,数二二，，55 分分))「d、「 1+x dx =
J
。
Ly J1 + —
70
(A) √ 孝 2 . · (B) 4 1 - · . (C) √ g 2 · 2 2
(A) (B) (C) ((DD)) 土.
9 3 3 3
0 o o o
请算空间
小4 结
小结
1.交换积分次序是常考的题型，通常有如下两种情形.
1. 交换积分次序是常考的题型，通常有如下两种情形.
((11)) 题题目目本本身身要要求求交交换换积积分分次次序序..
((22)) 计计算算时时，，按按原原积积分分次次序序计计算算比比较较复复杂杂或或无无法法计计算算，，需需交交换换积积分分次次序序，，一一般般可可从从被被积积函函数数的的
sin x
类类型型看看出出，，如如含含有有形形如e如2,，心
x
等
等，
，应
应
后
后
对
对
了
x
积
积
分
分
.
.
X
22.. 需需注注意意的的是是一一定定要要准准确确地地画画出出积积分分区区域域..
33.. 有有些些累累次次积积分分仅仅交交换换积积分分次次序序不不能能解解决决问问题题，此，此时时应应考考虑虑交交换换坐坐标标系系。.
44.. 极
极
坐
坐
标
标
系
系
下
下
的
的
交
交
换
换
积
积
分
分
次
次
序
序
虽
虽
然
然
没
没
有
有
考
考
过
过
，
，
但
但
需
需
关
关
注
注
.
.
·101 ·
. 101 .数
数
学
学
历
历
年
年
真
真
题
题
全
全
精
精
解
解
析
析
·
•
提提高高篇篇(数
（数
学
学
一
一
)
）
六六、、三旬重耋积株分分的的计计算算
& ( （ 2 20 0 0 0 9 9 ,1 , 2 1 2题题 ,4 ， 分4）分设) O 设 == { ｛ ( （ x i, , y y ,N ,z ） ) | | 了x 2 2 + +y / 2 + + z 2之≤ 2 < 1 } ] , ｝ 则，则JJz/d2zddyrddz y=dz =.
n
答答题题区区
Q9(2（2001155,1,122题题，,44分分）)设设Ω。是是由由平平面面zx++yy+ z+= 1N与= 三1个与坐三个标坐平标面平所面围所成围的成空的间空区间区域域，，则则
(（zx ++2 2y、++3 z3)z）ddxjcddyj/ddzz = = _..
a
答答题题区区
.
X
小结
小结
11..直
直
角
角
坐
坐
标
标
下
下
计
计
算
算
三
三
重
重
积
积
分
分
.
.
（(11)）““先先一一后后二二””法法。.
若若 ΩO:;a≤x≤b,m(x(z))≤ <2 y ≤y φW ?甲(2 x(z)), ψ&(x ,,少y) W≤ xZ≤ Wψ 饥((x工,，y3)),,则则
山 /(x, j/, z)AxAydz = (Tddxjrddy> 儿 I ( *2 r.y) = 刀 住dx厂.(七) dy 貌更 (x?y " )
f(x,y,z)dxdydz = f/X(xi,，yv,，zz)）ddzz = ff(Cxx,jyy,^zz)^ddzz..
JJ J 的由((xx..yy)) J a J n咒((x)) J n%(r (.
y
,z
,
)
z
d
)
x
d
d
xd
j7
y
d
d
z
z
=
=
J ddzz^
f
f
(
C
x
x
,
9
y
y
,
,
z
z
)
)
d
d
x
x
d
d
y
y
.
.
an c Dg
22..柱柱面面坐坐标标下下计计算算三三重重积积分分..
当当积积分分区区域域的。边的界边曲界面曲方面程方容程易容用易用极极坐坐标标表表示示，，且且积积分分区区域域n口为为柱柱体体，，或或被被积积函函数数为为
{x
x
=
=
r c
r
o
c
s
o s
θ
0
,
,
/f(ax22++y2y)时）时，，三三重重积积分分应应采采用用柱柱坐坐标标变变换换的的换换元元公公式式y))ddss == [ff((yy,,xx))ddss == 2. [f(x,y)+ + f ( /( y > , , x x ) ) ] ]d d . s v . .
L
22..第第一一类类曲曲线线积积分分的的计计算算方方法法..
设积分曲线L的参数方程为：x=r(t),y=y(t),a≤t≤β,则
设积分曲线L的参数方程为m = x(t),> = >(/),«< $则
;利
£/f(x(x,>,y)d)d.«s == | /fC[xx((rt)),y(t)]A√，x2 1++y/2d2tdz..
:
特特别别地地，，若若积积分分曲曲线线LL的的直直角角坐坐标标方方程程为为：v ：=y y=y&(x)),,aa<≤工x≤V们b,则则
f[x,y(x)]√1+y"dr.
L/f((_xr,，yV))dd.ss == +」"d_r.
若若积积分分曲曲线线LL的的极极坐坐标标方方程程为为：：rr ==r( rθ(O),)α,a≤<00≤<βR,,则则
门;
f /f((xx,，y3,))dd5s == [ f/"[[r"((θ/c)ocoss 0θ,,rr((θO))ssiniθn]f√ +r +rr"ddo.。.
二二、、第第二二类类“ 残嵯积棉分分的的计计算算
0(2(0201100,,1111题题，4，分4分)已)已知知曲线曲L线的L的方方程为程'为 =y=11--| |xt||, x∈G[ -[1-,11.]1,]起,起点点是是((一-1 ,10,0),),终终点点
是(1,0),则曲线积分^xxyyddx x++ xx22dyd =y= _・
是(1,0),则曲线积分
答答题题区区
· 106 ·
-106 ・第第七七章章 曲曲线线、、曲曲面面积积分分
f4J((22001111,,1122题题，,44分分))设设LL是是柱柱面面x/2++寸y2==1与1与平平面面xz= x=+ ry 的+ v交的线交，线从，从z轴z轴正正方方向向往往xz轴轴
负负方方向向看看去去为为逆逆时时针针方方向向，则，曲则线积曲分线积分
d
φ
r +
x z
x
d
d
x
y
+
+
xdy+ = _.
Ji
答答题题区区
■5((22001122,,1199题题，，1100分分))已已知知LL是是第第一一象象限限中中从从点点(0(0,0,0)沿)沿圆圆周周x2+Jy2 ==2 x2到工到点点(2(,20,0),)再,再沿沿
圆圆周周xx22++yy22 ==4到4到点点(0(,02,)2的)的曲曲线线段段..计计算算曲曲线线积积分分II == j,33了x2勺y&dx++&(x33++工x-一2y 2)少d如y..
L.
答答题题区区
60((22001133,,44 题题，，4 分4分)设)设LL,：:xx22++yy 2== 1l,,LL?2：:xx22++yy2 ==22,,LLa3:：xx22++22yy22 ==22,,L如?:：22x¥2++y寸2==22为 为四四
条条逆逆时时针针方方向向的的平平面面曲曲线线，，记记 L I, = = 中 § ( (了 y + + y % 2 ) )d&x++ ((22.zx —— x y 3 ) dy(i==1 1,2,2,3,3,4,4),),则则m maxa(xI{?L, ， IL?, ， IL?, ，
6 3
L
L}=
L}=
((AA)I)?L.. ((BB))IZ?2.. ((CC))IL?.・ ((D D ))1 L . .
答答题题区区
·107 ·
-107 ・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学一一)）
■(（22001144,,1122题题,4，分4）分设)设L是L是柱柱面面X2 x+2 >+2y 2== 11与与平平面面yy ++x =z 0=的 Q交的线交，线从，从xz轴轴正正向向往往zz轴轴负负
向向看看去去为为逆逆时时针针方方向向，则，曲则线曲积线分积§分产φ&z +dx+ydz = _..
JL
答答题题区区
{z=√2-x2-y2,
□（2015,19题，10分）已知曲线L的方程为］z = /2_z2_y ,起点为人（0,返;（）），终点为
(2015,19题，10分)已知曲线L的方程为 z =x, 起点为A(0,√2,0),终点为
［z = X,
B B ( （ 0 0 , , 一 — √ V2 2 , , 0 0 ） ) , , 计 计 算 算 曲 曲 线 线 积 积 分 分 I I = = (y + + z z ) ）d d z x + +( （ z z2 2 — -x工2 2 + + y / )d ）如 y+ + x2 了 y 2 2 /2 d & z. .
L
答答题题区区
J 4.x— y x十y
0（
(
2
2
0
02
2
0
0
,
,1
1
6
6
题
题，
，1
1
0
0
分
分
）
)
计
计
算
算
曲
曲
线
线
积
积
分
分
1
1=
=［
4x
籍 2+y2d+x十
4
；弓
x2+
站
y2
心
dy
，
,
其
其
中
中
L
L
为
为
/
x
+
2+
/
y2
=
=2
2
,
,
J 4x + y 4x + y
l
方方向向为为逆逆时时针针方方向向..
答题区
答题区 ，
。108 ·
・108・第第七七章章 曲曲线线、、曲曲面面积积分分
Ⅲ皿((22002211,,2200题题，，1122分分))设设DD℃URR2是，是有有界界单单连连通通闭闭区区域域，,I(ID(D) )==]J ( ( 4 4 - - x x 2 2 - - y / 2 ) ) d d x xd d y y 取取得得最最
大值的积分域记为D?.
大值的积分域记为Di.
((II))求I(D?)的值；
求I(Di )的值;
水(
堡
xe2
顼
t2+
+
y
刃
)dx
舛
+(4
笋
ye2
”
+/-x
g
)dy
,其中叫是玖的正向边界.
((Ⅱ口))计计算算J x2+4y2 ,其中aD?是D?的正向边界.
SDi
答答题踱区区
f■fl((22002222,,1199 题题，，12 1分2分)已)已知 知> ≥为曲为面曲 4面x24+x2y+2y+2+zz2 2== 1l((xx≥ >0 0,,y^≥ >0 ,0z,z≥ >0 )0的)的上上侧侧，，•L为为 2W
的的边边界界曲曲线线，，其其正正向向与与乙》的的正正法法向向量量满满足足右右手手法法则则，，计计算算曲曲线线积积分分
2
IJ == J ((yyzz22 —-c cooss zz))ddxx ++2 2xxxz22ddyy ++( 2{x2yxyzz+ x+s ixnsi nz )z)ddzz..
答答题题区区
x
小结
小结
计计算算第第二二类类平平面面曲曲线线积积分分一一直直是是历历年年考考试试的的重重点点内内容容，，一一般般可可按按以以下下思思路路进进行行分分析析与与求求解解：：
11..对对于于积积分分曲曲线线LL不不是是闭闭曲曲线线的的积积分分..
((11))直直接接用用参参数数法法化化曲曲线线积积分分为为参参变变量量的的定定积积分分，,此此时时积积分分曲曲线线LL的的方方程程容容易易写写成成参参数数方方程程，,
且且代代入入积积分分后后所所得得的的定定积积分分容容易易计计算算..
设设积积分分曲曲线线LL的的参参数数方方程程为为:：工x==xx((tO),,yy == y y(t(r)),,则则
·. 110099 ·.数
数
学
学
历
历
年
年
真
真
题
题
全
全
精
精
解
解
析
析
·
•
提提高高篇篇((数
数
学
学
一
一
)
)
片 门;
j PPddjx- ++ QQddyy == J [[PP((xz((tr)) ,,y)((tf)) ))x了''((t，))++Q (Qx((>tr)(,f)y ,()t()，))y)'J(t()£])d]dtf..
特别注意：a,β分别为积分曲线L的起点与终点所对应的参变量t的值.
特别注意:a,p分别为积分曲线L的起点与终点所对应的参变量，的值.
(2)添加有向曲线(直线)段L”,使L+L°为闭曲线，且方向同为正向(或负向),则
(2) 添加有向曲线(直线)段f，使L + L*为闭曲线，且方向同为正向(或负向)，则
?
儿 儿
[PPd dxx ++Q Qddy> == [ PPddjx- +QQddyy一 — fz · PPdcLxr+ +Q dQyd.y.
L+L
J LI. J L+L' J /.*
第第一一个个积积分分利利用用格格林林公公式式，，第第二二个个积积分分利利用用参参数数法法计计算算..
aQ= aP
(
(3
3)
)
考
考
查
查
积
积
分
分
是
是
否
否
与
与
路
路
径
径
无
无
关
关
，
，
即
即
检
检
验
验
?x
羿=a零y 是是否否成成立立..若若成成立立，，则则取取特特殊殊路路径径积积分分，，即即构构造造与与
dy
L具有相同起点与终点的曲线L*(一般为平行于坐标轴的折线段),且使得P,Q在L与L”所围成的
L具有相同起点与终点的曲线L,(一般为平行于坐标轴的折线段),且使得F,Q在L与L"所围成的
区
区
域
域
内
内
没
没
有
有
奇
奇
点
点
，
，
有
有j,PP&dx ++ QQddyy == [
t
.
'
PFddxa++QdQy;d若y;不若成不立成，立但，但可可将将被被积积表表达达式式分分为为两两部部分分，,使使其其中中
的的某某一一部部分分容容易易求求出出原原函函数数，，则则该该部部分分的的积积分分归归结结为为求求原原函函数数，，另另一一部部分分用用参参数数法法计计算算..
22..对
对
于
于
积
积
分
分
曲
曲
线
线
L
L
为
为
闭
闭
曲
曲
线
线
的
的
积
积
分
分
.
.
((11)) 如如果果在在积积分分曲曲线线LL所所围围成成的的区区域域DD内不内含不奇含奇点点，，则则直直接接在在D。上上利利用用格格林林公公式式..
(2)如果在积分曲线L所围成的区域D内含有奇点(也就是使P,Q的一阶偏导数不连续的点，
(2) 如果在积分曲线L所围成的区域D内含有奇点(也就是使P,Q的一阶偏导数不连续的点，
一一般般地地，，奇奇点点都都是是使使得得PP，,QQ或或它它们们的的偏偏导导数数没没有有意意义义的的点点)),，则则不不能能直直接接在在DD上上利利用用格格林林公公式式，，此此
时时可可先先考考虑虑构构造造闭闭曲曲线线挖挖去去奇奇点点，，再再利利用用格格林林公公式式..
((33)) 也也可可考考虑虑用用参参数数法法化化曲曲线线积积分分为为参参变变量量的的定定积积分分..
注注意意：：在在计计算算曲曲线线曲曲面面积积分分((不不管管是是第第一一类类还还是是第第二二类类))时时，，应应先先考考虑虑能能否否将将积积分分曲曲线线曲曲面面方方
程程代代入入被被积积表表达达式式，，对对积积分分进进行行化化简简.另.另外外，若，曲若线曲L线垂L垂直直于于，x轴轴，，则则沿沿LL对对坐坐标标工x的的积积分分为为零零..
三三、、平平面面
•
曲建线秋积分分与与路路径径无■关弟的的问间题撷
[1£2((22001166,,1177题 题，，1100 分分))设设函函数数f (/x(,xy,)>满)足满：足
?
丑
f(ax 岑x,y
责
)
==(2(2xz++1)l)ee2A→>,,且且 ff((00,,yy) )== yy++1l,,LL,,
是是从从点点((00,,00))到到点点((1l,,ft))的的光光滑滑曲曲线线..计计算算曲曲线线积积分分II((tt)) == f a件f(axx也,y)d&x ++?辎f( d x y ,By)d d y y, , 并并求求I / ( ( t f ) )
J 1.( ox dy
的的最最小小值值..
答答题题区区
·110 ·
・110・第第七£章章曲曲线线、、曲曲面面积积分分
xdx-aydy
1E3(（220O171,71,11题1题，,44分分)）若若曲曲线线积积分分［了夕d? 在在区区域域 £ D ） = = ( { ( & x, , y ） ) ） |ix2f+ + y2j<〈1) I 内 } 与内与路路径径
,x2+y2—]
j x 十 y — 1
l
无关，则a = .
无关，则a = .
答答题题区区
工
?［£(2（021091,94,4题题，,44分分）)设设函函数数QQ（(*x，, v y）)== yW3,，如如果果对对上上半半平平面面（(）y＞>0)。内）内的的任任意意有有向向光光滑滑封封闭闭曲曲
神
—
线
线
C
C
都
都
有
有
P(
（
x
工
,
,
y
v
)）d
d
x
z
+
+
Q (
Q
x
（
,
r
y，)
v
d）d y
v
= 0
=
, 那
0,那
么
么
函
函
数
数
P(
P
x
（
,
x
y
,
)
y
可
）可
取
取
为
为
x2 · 1 x2 · 1 1 1
(（AA)）yj»— —
y
与
2
. (（BB)） L
y
— y—j-. （(CC）)
x
-------
y
. (（DD)）xi一 —
y 2
.
y y y y y
答答题题区区
小K小结结
光
证证明明积积分分［PPcdLxr+ +Qd Qyd与、路与径路无径关无，关或，或已已知知积积分分J,P P c d L x r + + Qd Q y d 与 _y 路与径路无径无关关，，求求P P ,Q .Q 中中所所包包含含的的
JL
未未知知函函数数、、待待定定参参数数，，是是常常考考的的题题型型，，应应熟熟练练掌掌握握其其解解题题思思路路与与方方法法..
11..证证明明积积分分［P
Pd
d
x
w
+
+
Qd y
Q
与
d）
路
与
径
路
无
径
关
无
，
关
一
，一
般
般
利
利
用
用
积
积
分
分
与
与
路
路
径
径
无
无
关
关
的
的
充
充
要
要
条
条
件
件
.
.
设设PP,Q，Q在在单单连连通通区区域域D内D具内有具一有阶一连阶续连偏续导偏数导，数则，则在在D内D以内下以结下论结等论等价价：：
( （ 1 1 ) ） 积积分分［P P c d L x r + + Q d Q y d 在 y在 D内 D 与 内与 路 路 径 径 L L 无 无 关 关 . .
·111 ·
• 111数数学学历历年年真真题题全全精精解解析布·•提提高高篇篇((数数学学一一))
aP
aQ
(
(
( 2 2
2
) )
) a3
云
Qx
三
_
F a
3
y
P·
(2)对于D内任一分段光有的因曲线L,有积时，
(3) 对于D内任一分段光滑有向闭曲线L,有积^LPd±rr+ +Q Qddy>= =0 .0.
((44)) PP&dx++QQddyR在在D内D为内为某某二二元元函函数数uu(dxz,,yy))的的全全微微分分((称称函函数数“u((zx,,少y)为为微微分分式式PPddxx ++ QQddy^的的
原原函函数数))..
(5)向量Pi+Qj在D内为某二元函数u(x,y)的梯度.
(5) 向量Pi+Qj在D内为某二元函数“(了以)的梯度.
j
22.. 已已知知积积分^PPddxx+ +Qd Qyd在y某在单某连单连通通区区域域D内D与内路与径路无径无关关，，求求微微分分式式PPddxx+ +Qd Qyd的y原的函原函数数，,一一
般般有有以以下下方方法法：：
,
(1)特殊路径积分法：在区域D内取一特殊点(x?,yo),有原函数
(1) 特殊路径积分法：在区域D内取一特殊点(&,弘)，有原函数
y
u(x,y)
=
=
I* PP((xx,,jzy0o))ddxx ++ I* QQ((xz,,yy)d);dyy ++C C,,
J 0和 J 0
y
或或 uu((xx,,jzy) )== ［ QQ(Cxjcq? , , j y )d ) j d ^ y + + f P P( & x, ’j y O ) d d z x + +C C . .
J%
J % au au
((22)) 不不定定积积分分法法：：由由积积分分与与路路径径无无关关的的充充要要条条件件得得原原函函数数uu(x(,xy.)y满)足满：足a票x= = P P , ,a零y == QQ..
dx dy
au au
由由祭==P(P或(：或a祭y ==Q)Q两)两边边对对变变量量x上(或(或y )>积)积分分，，得得
3x
dx oy
u
u
(
(x
x
,
,
>
y
)
)
=
=
j PP((xx,,>y))ddxx ++C C((y>))((或或 u“(&x,,、y))== J QQ((xx, ， y3»))dd3yz ++C C(x(x))))..
au au
再再由由
a
专 y== QQ((或或a翌x==P)P确)确定定C(Cy)(v(或)(或C(xC)()x,)即),可即可求求得得原原函函数数u(ux(x,,y>))..
((33)) 凑凑微微分分法法：：对对被被积积表表达达式式PdPxd x++ QQddyy进进行行凑凑微微分分..
3
3.
. 已
已
知
知
积
积
分
分［PPdcxL+r+QdQyd在、某在单某连单通连通区区域域D内D与内路与径路无径关无，关，求求积积分分［P
P
d
dx
c
+
+
Q d
Q
y
d
,
、
一
,一
般
般
有
有
以
以
下
下
C
方方法法：：
((11)) 原原函函数数法法:：求求出出微微分分式式P&Pd x++ QQddyy的的原原函函数数u“(x&,,y、)),则，则有有
B
| Pdx + Qdy = u(.x,y)［,
Pdx+Qdy=u(x,y) A
c 事
其其中中AA,,BB分分别别为为积积分分曲曲线线CC的的起起点点与与终终点点..
((22)) 特特殊殊路路径径积积分分法法：:构构造造与与CC具具有有相相同同起起点点与与终终点点的的曲曲线线CC*,((一一般般为为平平行行于于坐坐标标轴轴的的折折线线
段
段
)
)
,
，且
且
使
使得
得
P
P
,
,
Q
Q
在
在
C与
C
C
与
·
C
所，围
所
成
围
的
成
区
的
域
区
内
域
没
内
有
没
奇
有
点
奇
，
点
则
，则
有
有
的
J PPddxx +QQddy、 == | . PPddxr+ + Q Qdyd,y
c"
44.. 已已知知积积分分］PPd&x++QQdyd与、路与径路无径关无，关求，求P,PQ,中Q所中包所含包的含未的知未知函函数数或或待待定定参参数数，，一一般般利利用用积积分分
aQ= aP·
与路径无关的充要条件:季=祟
与路径无关的充要条件：
?x
θy/
·112 ·
. 112 .第七章 曲线、曲面积分
第七章曲线、曲面积分
四⑥、、第第一一类类
•
面咨积棘分分的的计件算算
[函5(（22001100,,1199题题,，101分0分）设)设PP为为椭椭球球面面SSy:。x+2+/y+2+zz22 -一yy?z= 1=上 1的上动的动点点，，若若SS在在点点PP处处的的切切
平平面面与与x皿Oy面面垂垂直直，，求求点点PP的的轨轨迹迹CC,,并并计计算算曲曲面面积积分分1I==件(x++夕√③）)I l了y--22zl2
dS
*
,其
其
中
中
乏
$
是
是
椭
椭
√4+y2+z2-4yx
工
球球面面SS位位于于曲曲线线CC上上方方的的部部分分..
答答题题区区
6皿(2(2001122,,1122 题题，，4 分4)分设) $设 =Z ={{(x(,xy,,yz,) z| )x| +x+ >y ++ xz= =1, lx,≥x^00,y,j≥»^0,0z,≥z^00}},则,则 JJyy22ddSS ==
答答题题区区
。113 ·
. 113 .数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇((数数学学一-)) 》.《
?
血
(2
(
0
2
1
0
7
1
,
7
1
,1
9
9
题
题
，，1 1
0
0
分
分
)
)
设
设
薄
薄
片
片
型
型
物
物
体
体
S是
S是
圆
圆
锥
锥
面Z
面
=
x =
/
√
工
x
②
2+
+
y
人
被
被
柱面
柱
z
面
2=
=
2 x
2
割
工割
下
下
的
的
有
有
限
限
部
部
分
分
，
，其
其
上
上
任
任
一
一
点
点
的
的
密
密
度
度
为a
为(h μ，(
v
x，z ,y) ,
=
z )
9
= 9√x
+
2 +
y
y 2
+
+z
/
.记
.记
圆
圆
锥
锥
面
面
与
与
柱
柱
面
面
的
的
交
交
线
线
为
为C
C.
.
((I
I
)
)
求
求
C在
C
x
在
Oy
/O
平
y
面
平
上
面
的
上
投
的
影
投
曲
影
线
曲
的
线
方
的
程
方程
；
；
((ⅡR ))求
求
SS的
的
质
质
量
量
MM..
答题区
答题区
小结
小结
对对于于计计算算第第一一类类曲曲面面积积分分，，首首先先，，应应将将积积分分曲曲面面方方程程代代入入被被积积函函数数，，对对积积分分进进行行化化简；简其；其次次，，考考
查查积积分分曲曲面面是是否否关关于于x太Oy为面面(或(或yOgz面z、面z、zOxO面r面)对)称对，称并，并且且被被积积函函数数((或或被被积积函函数数的的某某一一部部分分))是是
否否关关于于变变量量z(z或(或变变量量x、工变、变量量y)了为)奇为、奇偶、偶函函数，数若，若是是，，则则利利用用对对称称性性化化简简积积分分；；最最后后，，用用投投影影法法将将曲曲
面面积积分分化化为为投投影影区区域域上上的的二二重重积积分分..
11.第.第一一类类曲曲面面积积分分的的对对称称性性质质..
若若积积分分曲曲面面≥S关关于于工rOOy、面面对对称称，，则则有有
{ 0 0 , , f(x,y,-zz)) ==-f—(fx(,jy：9,yz9)z,)9
f((xx,9yy9,zz))dSdS == * 227 jJf/((xx,,jy/,,zz))ddSS, , ff((jcx,,yy., —-x z))= = f /((xx,,yjz,z,z)),,
£
、齐
其其中中Z％;为为xMOyy在在xO工y(面)y上面方上或方或下下方方的的部部分分..
类类似似地地，，可可得得到到积积分分曲曲面面关关于于乂yO五x面面或或zzOQx面z对面对称称的的情情形形.还.还有有轮轮换换对对称称性性。.
22..第第一一类类曲曲面面积积分分的的计计算算方方法法..
若若积积分分曲曲面面2≥在在xO面y面((或或yOyzO面z、面z、Ox面面)上)上的的投投影影区区域域较较简简单单，，将将积积分分曲曲面面≥N的的方方程程写写成成
形形式式：=z= zz((.xx,,yy))((或或
jt
x ==r (y,z),9yy= =y( yx(,xz^)z)),)则,则有有
以 心
jj f / ( (x x, ，3 y > , , z z) ) d d S S = = Jff( x,y,z(x,y))√1 +I+ z2++z ?Z{y ddxxddyy,,
;
B。
2 %
(JJf/((zx((Vy，,nz) ),y,y,z,)z )^√1 +I +x;++x j:c?ddyjdzdzz,,JJ ff ((jxr,,jy/((xx,,zz) ),z,)z )\/√l +I+ >y>?; ++y y:}d rddxAzz) )..
(
。114 ·
・ 114 -第第七七章童 曲曲线线、、曲曲面面积积分分
五五、、第第二二类类曲
•
面万积徐分分的的计计算算
φ
xdydz+ydzdx+zdxdy
L[8£(（22000099,,1199题题，，1100分分）)计计算算曲曲面面积积分分1 1== 0工气二＜1苦章科
,
，其
其
中
中
乏
≥
是
是
曲
曲
面
面
篮
2x
，
2
+
+
(x2+y2+z2)
22尸y2++z2z=，4的=外 4侧的。外公侧
答答题题区区
1[£9((22001144,,1188题题，，1100分分))设设$∑为为曲曲面面2 x==xx22+y+3>(2x(≤z1<)的l)上的侧上，侧计，计算算曲曲面面积积分分
II == jj((xx -—1 l))33dd ； yyddxz++( (yy- —1 )1 3)3d dzzddjxr ++( z(z- —1) 1d) xddxdyy..
答答题题区区
·・
1
11
1
5
5
。・数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学一）
2901(（22001166,,1188题题，，1100分分）)设设有有界界区区域域。Ω由由平平面面2工2+x+ yy ++2 2zz= 2=与 2三与个三坐个标坐标平平面面围围成成，,22为为Ω。整整
主
个个表表面面的的外外侧侧，，计计算算曲曲面面积积分分II == J(（xx22 ++1 D)ddyyddzz --2 y2yddzzddjxr+ +3z 3dzx&dyd.y
答答题题区区
2511(（22001188,,1177题题，，1100分分）)设设2∑是是曲曲面面z x==√ /11-一3y32丁—一323的站前的侧前，侧计，计算算曲曲面面积积分分
I
I
=
=
xd
d
y
yd
d
z
z +
+
(
C
y
y
3
3
+
+
2 )
2
d
）d
z
z
d
d
x
r
+ +z'
z
d
3
x
dx
d
d
y
y
.
.
答答题题区区
·116 ·
-116 ・第第七七章章 曲曲线线、、曲曲面面积积分分
2 瓯 2(（22001199,,1122题 题 ，,44 分 分 ） ) 设 设 》 Z为 为 曲 曲 面 面 x ^ 2+ + y 寸 2++4z42/= 4=(4x≥（z02)的 。） 上 的 侧 上 ， 侧 则 ，则 √ /4 4 — - x ^ 2 一 -4 4 2/ /& dr 心 dy = =
答答题题区W
图(2020,18题，10分)设≥为曲面z=√z2+y(1≤x2+y2≤4)下侧，f(x)为连续函数.
圉（2020,18题，10分）设$为曲面z = yx2+/（lCx2+y2<4）T侧，/XQ为连续函数.
计计算算
II == jJC[xxf/ （(巧xy）)++ 22工x-—y']Jddy’ddaz: ++[ [yyff( （x巧y)）++2 2y、++x] xd]dzzd≤2 <4, 40,≤0
z
在 .在x zxOyO面y面上上的的投投影影区区域域D。D”比较比较简简单单，，则则将将积积分分曲曲面面ZN的的方方程程写写成成形形式式
z
z
=
=
x (x,y),
，
求
求
出
出
3
舞
x'
，寿ay'，,有有
事：
az, az
jjPpddyyddzz ++Q QddzzcdLxr ++R Rddrxddyy == JJ[[PP· •(（一 — y^)） ++Q ·Q (•一（—a宰y')）++R R]]dcLrrdd;yy
?x
az、 az、
户
==± ±jJ[[PP· •(（一—a卷x'
)
）
+
+
Q
Q
·
・ (一（一
a
宇
y'
）
)+
+
R
R
]
]
d
d
r
z
d
d
y
y
.
% 】
类类似似地地，，有有其其他他两两种种情情形形。.
33.
.高
高
斯
斯
公
公
式
式
.
.
若积分曲面Z为闭曲面(或者通过添加辅助有向曲面≥,使Z+°成为闭曲面),且在积分曲
若积分曲面$为闭曲面（或者通过添加辅助有向曲面£*，使2 + 2-成为闭曲面），且在积分曲
aP aQ.+aR
面面X浏(或或+$X )+所 »围 ）成所的围闭成区的域闭区D内域，。P内,Q，,PR,具Q,有R一具阶有连一阶续连偏续导偏数导，数表，表达式达'式 ax 票十+a鬃y + a 祭 z 比比较较简简
dr dy dz
单
单
，
，则
则
利
利用
用
高
高
斯
斯
公
公
式
式
计
计
算
算
积
积
分
分
(
^P
P
d
d
y
y
d
dz
z
+
+
Q d
Qd
x
z
d
d
x
x
+
+
Rd
R
x
d
d
x
y
d y
=
=
士
±
山
j[f
( a ax P
+
+‘a
碧
3
Q
y
+
+ a a R z)）项dv($Z取取外外侧侧，，为为
2 0Q
正正号号；；取取内内侧侧，，为为负负号号)）..
添添加加辅辅助助有有向向曲曲面面≥
，
”
使
,2使 +2 5+2*成
成
为
为
闭
闭
曲
曲
面
面,
，
应
应
考
考
虑
虑
，
Z
的
的
侧
侧
来
来
确
确
定
定S”'的 的
侧
侧
，
，
使
使
与
≥与
£
所
所
围
围
成成闭闭曲曲面面后后同同为为外外侧侧(（或或内内侧侧)）..
注
注
意
意
：：（(
1
1）)
在
在
计
计
算
算
曲
曲
线
线
曲
曲
面
面积
积
分
分
(
（
不
不
管
管
是
是
第
第
一
一
类
类
还
还
是
是
第
第
二
二
类
类
)
）
时
时
，
，
应
应
先
先
考
考
虑
虑
能
能
否
否
将
将
积
积
分
分
曲
曲
线
线
曲
曲
面
面
方方程程代代入入被被积积表表达达式式，，对对积积分分进进行行化化简简..
以
（2）若投影为jOy平面上一条直线，则诉（1,»2）丑d、= 0.
(2)若投影为xOy平面上一条直线，则 R(r,y,z)drdy = 0.
·・
1
11
1
8
8
·・第八章 无穷级数
第八章无穷级数
第八章 无穷级数
第，、章 元窍馄数
本本章章导导读读
本本章章主主要要考考查查以以下下几几个个内内容容：：一一是是判判别别或或证证明明数数项项级级数数的的敛敛散散性性，，特特别别是是判判定定抽抽象象级级数数的的敛敛
散散性性；；二二是是求求暴幂级级数数的的和和函函数数及及数数项项级级数数的的和和；；三三是是求求函函数数的的幂幕级级数数展展开开式式；；对对于于傅傅里里叶叶级级数数，，考考
试频率低，应熟练掌握狄利克雷收敛定理.
试频率低，应熟练掌握狄利克雷收敛定理.
试题特点
试题特点
每年试题一般是一个大题、一个小题，分数约占试卷的9小题主要是抽象级数敛散性的判
每年试题一般是一个大题、一个小题，分数约占试卷的9%.小题主要是抽象级数敛散性的判
定定，，一一般般以以选选择择题题的的形形式式出出现现，，往往往往有有一一定定难难度度；；大大题题主主要要涉涉及及求求蓦幂级级数数的的和和函函数数以以及及把把函函数数展展开开
成幂级数，题目难度不是很大.傅里叶级数在2008、2013和2023年考过.
成蓦级数，题目难度不是很大.傅里叶级数在2008,2013和2023年考过.
真题分类练习
真题分类练习
一、数数啧项镇级数数敛敛救散雌性的的判判定定
一、
I(2009,4题，4分)设有两个数列{a,},(b。),若lima。=0,则
[|（2009,4题,4分）设有两个数列{a,},{b„},若lima, =。，则
“一►8
6 80 0 OO OC-
( （ A A ) ） 当 当 乙 、 6. 6 收 ” 敛 收 时 敛 ， 时 乙 ，、 a. a b。 ,” 收 收 敛 敛 . . (（B B ) ） 当 当 乙b。 » 发 “发 散 散 时 时 ，乙 ，、 a。b。发 发 散 散 . .
w»==1 1 «== 11 n = = 11 nm== 11
0OO 080 800
( （C C) ） 当 当 乙 、 1b I 。 b„ 1 收 |收 敛 敛 时 时 ， ， 乙 、 a a : 加 b: 收 收 敛 敛 . . （(DD)）当当乙、|b| .b1. 发|发散散时时，，乙、aab位;发发散散..
m n = = 1 1 n = = 1 1 hm == 1 1 hm==1]
答答题题区区
。119 ·
・ 119 -数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·
•
提提高高篇篇(数(数学学一一))
π π
2/(2014,19题，10分)设数列(a,},{b。)满足00,n=1 ,
=
2 ,
1
…
,2
,若
,-
乙
,若
a。
、
发
a,
散
发
，
散
乙
，、
(-1
（
)
一
~ '
1
a
）1
,收
劣
效
收
，
敛
则
，则
下
下
列
列
结
结
论
论
正
正
>0,n
”m==11 =
n=
11
确的是
确的是
00 00 00 mm
(（AA)咬2a?a;收z敛i收，敛乙，±a?X。发发散散..
(B)2a?,收敛，2az-1发散.
(»B2,) 收敛发散.
=1
x
c
=
e
1n=1 n=1 n==11 n=1 m=1
(（CC)疙乙(a?-;++a%?)”收）收敛敛..
(D)2
0o
(
o
a?=1—aa)收敛.
(D) (a2n-i — a2n)收敛.
m=1 m=1
2
2
.
.
(
（
2
2
0
0
11
1
,
1
数
,数
三
三
，，4 4分
分
)
）
设
设
{u
｛
,
皿
}是
｝是
数
数
列
列
，
，
则
则
下
下
列
列
命
命
题
题
正
正
确
确
的
的
是
是
(（AA)）若若乙力 00 uU.收,收敛敛，，则则豆乙（(“u2?1- ;++u站?)）收收敛敛.. (B)（若B）乙若(更u 00 ?S-?i+u ?+)收如敛）收，敛则，乙则u 0 收。收敛敛..
= n= 1 1 n= 1 m=1 =1 n=1 n=1 m=1
00 00 c0
co oo oo oo
(（CC)）若
若
2
〉
u2,收
以”
敛
收
，
敛
则
，则
乙(u
（
?
“
?
2
—
1
u
—
? )M收2m）效
收
，
敛.
(D)
（
若
D）
乙
若
(
、
u?-
（
?
也
—
Li
u ?
一
)收
站
效
）收
，
敛
则
，
乙
则
u。收敛
收敛
。
.
mm= =1 1 n— 1 m=1 mn==11 = ”= 1 1
演算空间
·121 ·
-121数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析• (数学一)
1
33.. (2(021021,2数.数三三，，44分分)已)已知知级数级乙数(力-1()一” 1√)”n历sisninn£绝绝对对收收敛敛，，级级数数乙力 (
n
-(
2
1二
-
)
*
”？"
条
条
件
件
收
收
敛，
敛
则
，则
»m==11 〃 =M=11 n
1 1 3 3
((AA))00<>1 ,1则,则乙u发。发散散..
U,, =“ =1 1
e
W <» oo
(4)若乙(u.+v,)收敛，则2u,2v。都收效.
(4) 若2(m„+v„)收敛，则 都收敛.
= /»= 1 1 =1I n m — = 11
以上命题中正确的是
以上命题中正确的是
((AA))((1l))((22)).. ((BB))((22))((33)).. ((CC))((33))((44)).. ( ( D D) ) ( ( 1 l ) ) ( ( 4 4 ) ) . .
演算空间
x
小结
小结
1.解题思路，
1.解题思路.
((11)) 若若lliimmuu。,,≠砖00,,则则乙、u。发发散散；；否否则则进进一一步步判判断断..
LB ”m== 11
((
2
2
)
) 若
若
乙
、
u。为
为
正
正
项
项
级
级
数
数
，
，先
先化
化
简
简
u
“
.
“
,
，
视
视
其
其
特
特
点
点
选
选
择
择适
适
当
当
的
的
判
判
别
别
法
法
.
.
w"==11
1
1
( )
①① 若若u。中中含含有有土n°(或或 航壬)，,则则可可与与Pp级级数数((或或对对数数p》级级数数))比比较较..
nln'n
②② 若若u"。“中中含含有有n”的的乘乘积积的的形形式式(包(包括括n!“)！,)则，则可可考考虑虑用用比比值值判判别别法法..
③③ 若若u。““中中含含有有形形如如aa)”的"〉因的子因，子则，则可可考考虑虑用用根根值值判判别别法法..
④④以 以上上方方法法均均失失效效，，则则可可利利用用已已知知级级数数的的敛敛散散性性质质，，结结合合敛敛散散的的定定义义和和性性质质，，考考查查其其收收敛敛性性..
00
((33)) 若若乙为u。任为意任意项项级级数数，，则则可可用用方方法法((11))和和((22))判判断断乙£l u|。皿||的的敛敛散散性性..
a
n
=
=
1
1
m=—1
1
·122 ·
-122 ・第八章 无穷级数
第八章无穷级数
00 0e
①① 若若乙£|u |.“|，收|收敛敛，，则则乙、u。
l
绝绝对对收收敛敛..
aw==11 =»=11
8 8 OO00
②② 若若乙Slu l.«|发J发散散，则，则看看乙u是。否是否是是交交错错级级数数，，若若是是，，用用莱莱布布尼尼茨茨判判别别法法判判断断z乙＞u。，，是是否否条条件件
mw==11 n t ~ =1 1 „=m1=1
收收敛敛..
22..除除了了掌掌握握以以上上判判定定级级数数敛敛散散性性的的基基本本思思路路，，熟熟悉悉以以下下结结论论有有助助于于我我们们判判定定级级数数的的敛敛散散性性..
oo C
CO OO co
(1)对于三个级数2u,2v.,乙(u。±v,),
（1） 对于三个级数士P”），
m”==11 „m== 11 nx—= 11
①① 如如果果有有两两个个收收敛敛，，则则第第三三个个收收敛敛..
②② 如如果果其其中中一一个个收收敛敛，，另另一一个个发发散散，，则则第第三三个个发发散散..
③③ 如如果果有有两两个个发发散散，，则则第第三三个个的的敛敛散散性性不不能能确确定定..
④④如 如果果有有两两个个绝绝对对收收敛敛，，则则第第三三个个绝绝对对收收敛敛..
⑤⑤ 如如果果其其中中一一个个绝绝对对收收敛敛，，另另一一个个条条件件收收敛敛，，则则第第三三个个条条件件收收敛敛..
⑥⑥ 如如果果有有两两个个条条件件收收敛敛，，则则第第三三个个收收敛敛，，但但不不能能判判定定它它是是绝绝对对收收敛敛还还是是条条件件收收敛敛..
0o0o
(（22)） 对对于于正正项项级数级2数u。、,公皿，
周M =- 11
①① 史乙 的 "u,，.收收敛敛0=2史u e ? J;与 乙与克u 00 ,"都2”收都收敛敛..
= ”= 1 1 = n= 1 1 n = — 1 1
68 u 3 ,l “ + : u + 。 “,，与乙 60 w。|— u.
②② 文乙＞u“。绝绝对对收敛收D敛 X=2
2
与吏
2
都都收收敛敛..
m»==11 ' -»|=11 乙 =”=11 乙
③③ 力乙 6的 “u“.条条件件收收敛0敛=立 a 2 u 卫 .1 4 + + u。 ""与 与 乙 w 力 e l ’ u ■ .l 厂 -u 皿 . 都都发发散散..
2 2
m n = — 11 =”=11 乙 -”=11 乙
u。1+u。
④ I ]Iu.I一u.
④乙 | + u„与与乙吏 但!一.虬,，一_个个收收敛敛，，一一个个发发散散→。乙立u。发发散散..
2 2
=«=11 乙 m”==11 乙 m„==11
CO OO OC 8 00 800
(（33）) 对对于于正正项项级数级乙数u,若若，2u。收收敛敛，，则则乙u(p≥11)） 一一定定收收敛敛；；若若、2u。收收敛敛，，则 则2u,
= n= 1 1 n # — = 11 n = = 1 1 n m — = 11 n m = = 11
oo
2u。等均收敛.
等均收敛.
=1
二二、、幂级数数的的收收敛敛半半铃径、、
q
收攵敛敛区
1
间榆及敛收敛城域
m
B0(2（021011,12,2题题，,44分分）)设设数数列列｛(%an｝)单单调调减减少少,li，mal„im=a,0=,S0", S=, =^2aa?(kn(n= 1=, 21,,…2,)…无)界无，界，则则幂幕级级
n~* oo =1
00
数数2a,的(x—收1)”敛的收域敛域是是
m=1
n= 1
(（AA)）[（-—1,11,1]].. (B)(-1,1). ((CC))([00,,22)).. ((DD))[(00,,22]]..
答答题题区区
· 123 ·
・ 123 -►
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析· •■提高■篇(（数数学学一一)）
00 00
OO 8
(（22001155,,33题题，,44分分）)若若级级数数、2aa。“条条件件收收敛敛，，则了则 x==国√与3与工x==33依依次次为为幂蓦级级数数乙、m。叫(（x工-1一)1”）"的的
m=1 n=1
n=l ”=1
(（AA)）收收敛敛点点，，收收敛敛点点.. (（BB)）收收敛敛点点，，发发散散点点..
( （C C) ） 发 发 散 散 点 点 ， ， 收 收 敛 敛 点 点 . . （ ( D D) ） 发 发 散 散 点 点 ， ， 发 发 散 散 点 点 . .
答题区
答题区
00
(2020,4题，4分)设R为幂级数乙ax”的收敛半径，r是实数，则
❷（2020,4题,4分）设R为蓦级数日”的收敛半径，r是实数，则
m=1
n= 1
OO OO00
(（AA)）当当乙»a2ar”广发发散散时时，，II rrl I≥2RR.. （( B B ） ) 当 当乙 、 a 纽 ar ”产 2” 收 收 敛 敛 时 时 ， ， | r I r | l < ≤ R R . .
m n = = 11 " = =1 1
se 0e
OO 8
(C)当Irl≥R时，2a?r2”发散. (D)当Irl≤R时，乙a?r2”收敛.
（C）当| r 12 R时产发散. （D）当| r |1 == 00
4.幂级数经过有限次的逐项求导或积分，不改变其收敛半径与收敛区间，但在收敛区间的端
4. 蓦级数经过有限次的逐项求导或积分，不改变其收敛半径与收敛区间，但在收敛区间的端
点点处处的的敛敛散散性性可可能能会会改改变变..
三三、、求求需零级佩数数的的和和函函数数及度数数项嫌级^数数的的村和
1皿0(（22000099,,1166题题，,99分分）)设设aa„。为为曲曲线线y y==x工°”与与、y==x**(n=1,=2 ,1…,2),所-）围所成围区成域区的域面的面积积，，记记
S?=2a、O0O
. ,S?=2a
8
?
00
1,求S?与S?的值.
S] = q”，S2 =，求 S】与 S2 的值.
mn=—1 1 ww==11
答题区
答题区
CO “ _ I
00 (—1)”-1
1）(（22001100,,1188题题，，101分0分）)求求藉幂级级数数g2 侦当 Yx2”的的收收敛敛域域及及和和函函数数..
2n-1
#=1
答答题题区区
· 126 ·
-126 ・第八章 无穷级数
第八章无穷级数
e 状？]
4n2+4n+3
■ 卫(（2 2 0 0 1 1 2 2 , , 1 1 7 7 题 题 ，，1 1 0 0 分 分 ） ) 求 求 蓦 幂 级 级 数 数 £ 乙 4 2n+1 +3®x2,“的的收收敛敛域域及及和和函函数数..
a=0
答题区
答题区
图FE(（22001133,,1166 题题，，101 0分分）)设设数数列列修(”a｝,满)满足足条件条:件a。：=a o3=,外3,a=?=l1g,ai. --2 —w（nn (—n -l1）a)fal ,== 00(（nn ≥22)）,,
0OO0
S(x)是幂级数乙a,x”的和函数.公
S（x）是幕级数的和函数
=n=0O
(（II )）证证明明 SS"'（(zx） )--SS&(x）) ==0 0;；
(（Ⅱ11）)求求S，(（x工)）的的表表达达式式..
答答题题区区
[E(（22001177,,1122题题，4，分4）分幕)级幂数级、数（2一( 1-）11)1心nx1*1在在区区间间（_(i-,1i,）1内)内的和的函和数函S数（zS） (=x )=_ _.
mn==1 1
答答题题区区
·
- 1
1
2
2
7
7 ·・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学一一)）
=
2n+3
S0(62(021081,83,3题 题，，44 分分))乙£((--11)”)” 蕾£金=
(2n+1)!
m=0
(A)sin 1+ cos 1. (B)2sin 1+cos 1.
(A)sin 1 + cos 1. (B)2sin 1 + cos 1.
((CC))22ssiinn 11 ++2 2ccooss 11.. ((DD))22ssiinn 11 ++3 c3ocoss 11..
答题区
答题区
00
1[6E(（2200191,91,1ll题题，，44分分）)幂暴级级数数£乙 ( 急 -1)” 在x”在（。(，0+,+8c)）内内的的和和函函数数SS&(x）)== _.
(2n)!
w=0
答答题题区区
1
囱
17(
（
2
2
0
0
2
2
0
0,
,
1
1
7
7
题
题
，
，
10
1
分
0分
）设
)设
数
数
列｛
列
□”
(
｝
a
满
,)
足
满
a
足
i =
a ?
l
=
,
1
（
,
n
(
+
n+
D
1
a
)a
^
+ ?
=
=
( （ n 〃 + + §
2
）a。n，·，・
00
证明：当I z I V 1时，蓦级数亏＞”丁收敛，并求其和函数.
证明：当|x|<1时，幂级数乙a,x”收敛，并求其和函数.
=1
”=1
答答题题区区
·128 ·
・ 128 -第第八八章章 无无穷穷级级数数
(g;
解题加速度
解题加速度
60 1
11.. (2(020050,5数,数三三，，99分分))求求暴瓶级级数数乙、
(
(
-1)
x2”在在区区间间((--11,1,1)内)内的的和和函函数数S(Sx()z.).
2n+1
m=1
演算空间
0 ° 0 ° ((_-_1 "I) \ 1n—x1 2+2n1+l
22.. (2(020060,6数,数三三，，1100分分))求求幂瓶级级数数乙，2 的的收收敛敛域域及及和和函函数数SS((xx))..
n(2n —— 11))
mM=1 n(2n
演算空间
00
33.. (2(021041,4数,数三三，，1100分分))求求幂恭级级数数乙、(n(n+ 1+) (ln)+(3”) +x” 3的)z收'的敛收域敛及域和及函和数函数。.
mn == 0O
演算空间
· 129 ·
-129 -►► 数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·• 提高■籍((数数学学一一))
44.. (2(022022,2数,数三三， ， 1122分分))求求幂累级数级乙数(-况4)"的+1收
x2
敛
”的
域
收敛
及
域
和
及和
函
函
数
数S(
S
x
(
)
z
.
).
==0 44""((22 m n++1 1))
X
小结
小结
11.. 求求幂幕级级数数的的和和函函数数Ss(x()工主)要主有要以有下以两下种两方种法方：法：
(1)先通过幂级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质，将其化为典型的幂级数求和问题
(1) 先通过幕级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质，将其化为典型的蓦级数求和问题
1
( ( 例 例如 如 、 2x z ° " = = 11 -x'))..
m” ==00 1 — x
((22)) 通通过过幂蓦级级数数的的代代数数运运算算、、逐逐项项微微分分、、逐逐项项积积分分等等性性质质转转化化为为关关于于和和函函数数SS((xx))的的微微分分方方程程
问题.
问题.
22.. 求
求
数
数
项
项
级
级
数
数
的
的
和
和
主
主
要
要
有
有
以
以
下
下
的
的
思
思
路
路
与
与
方
方
法
法
：
：
((11)) 构
构
造
造
幂
慕
级
级
数
数
法
法
.
.
即
即
通
通
过
过
构
构
造
造
幂
蒂
级
级
数
数
，
，将
将
问
问
题
题
转
转化
化
为
为
幂
蓦
级
级
数
数
求
求
和
和
函
函
数
数
问
问
题
题
.
.
应
应
先
先
用
用
级
级
数
数
的
的
代
代
数数运运算算等等性性质质对对级级数数进进行行适适当当变变形形，，以以便便构构造造易易于于求求和和的的幂慕级级数数形形式式..
0
OO 8
对对于于收收敛敛级级数数，乙＞a.,b/””，一,一般般构构造造矗幂级级数数»,乙,工ax””(显(显然然要要求求它它在在x =x= bb处处收收敛敛)),，求求出出其其和和函函数数
m n = = 1 1 n=1 =1
080 6OO0 080
SS((xQ),,则则有有，乙＞a.0b'° == SS((bb))..而而级级数数 2a。相相当当于于^乙aa„bb”"当当bb ==1 时1时的的特特殊殊情情形形..
= n— 1 1 n==1 1 „ w== 11
((22)) 利利用用收收敛敛级级数数的的定定义义及及其其性性质质.即.即求求部部分分和和数数列列的的极极限限lilmimS。S”,，也也经经常常将将通通项项u,“进“进行行分分解解：：
→0
m
8 OO CO
u.=a.±b.,先求级数乙a。与乙6.的和，再根据级数的运算性质得到级数乙u。的和.
蜘=a, 士九，先求级数、％与、九的和，再根据级数的运算性质得到级数、的和.
=m = 1 1 m n = = 1 1 nm== 11
((33)) 利利用用常常见见函函数数的的幂幕级级数数展展开开式式..
四、函数的需级数展开
x
E
( (22001166,,1122 题题，，4 4分分))设设函函数数 /f((Jx?)) == aarrccttaann zx —- 1+a~x2~,，且且 尸((00)) ==1 ,1则,则a。== _..
1 H- ax
答答题题区区
·・11330 0·・第八章 无穷级数
第八章 无穷级数 ◄◄
(I;
解题加速度
解题加速度
1
((22000077,,数数三三，，101分0分)将)将函函数数/f&()x )== x2—3——x—4 展展开开成成xx—-1的1幂的级暴数级，数并，并指指出出其其收收敛敛区区间间。.
x — 3x — 4
液得室间
X
小结
小结
将将函函数数在在某某点点处处展展开开成成幂蓦级级数数是是重重要要的的考考试试内内容容.幂.暴级级数数展展开开有有直直接接法法与与间间接接法法，，一一般般考考查查
间间接接展展开开法法，，即即通通过过适适当当的的恒恒等等变变形形、、求求导导或或积积分分等等，，将将函函数数转转化化为为幂暴级级数数展展开开式式已已知知的的函函数数。.
11.. 求求出出展展开开式式后后，，要要写写出出展展开开式式成成立立的的区区间间..
幂幕级级数数经经过过有有限限次次的的逐逐项项求求导导、、积积分分不不改改变变其其收收敛敛半半径径及及收收敛敛区区间间，，但但在在收收敛敛区区间间的的端端点点处处
的的敛敛散散性性可可能能会会改改变变..因因此此，，需需判判别别展展开开式式在在收收敛敛区区间间的的端端点点处处是是否否收收敛敛..
22.. 幕幂级级数数展展开开式式的的两两个个简简单单应应用用..
((11)) 利利用用幂蓦级级数数展展开开式式求求数数项项级级数数的的和和.求.求出出展展开开式式，，根根据据要要求求和和的的级级数数的的特特点点，，在在展展开开式式中中
令令x工取取某某特特殊殊值值，，即即可可得得到到所所求求级级数数的的和和..
((22)) 求求函函数数户f(危x))的的nn阶阶导导数f数'"3(x)?,),特特别别是是尸f”(>0()0.).求求出出函函数数f/(&x))的的幂蒂级级数数展展开开式式八f工(x))==
2ax”,又又f(x=) =£2 f查”詈(0)工”，根据函数蓦级数展开式的唯一性，得
x",根据函数幂级数展开式的唯一性，得
n!
m” ==00 mM==0o n •
f尸”"：(0％)
n! x" == aa,„xx"",,即即 ff(n,0 ()0=) =a, a·” •n !n.!.
n\
·131 ·
-131 ・►
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·• ■提高■篇■((数数学学一一))
五玉、、傅傅里里叶时级^数数
:
一. 1
[皿9(（22001133,,33 题题,，4 分4分）设)设 /f（(xx） )== x jc 一 — 2 — ,b。== 22, /fX(Gx)ssini n〃 心nxdxzd（x 〃 ( =n= 11,,22,,……）)，令,令 SS&(x）)==
=
0OC 9
26.sin nxx,则S( )
y]fewsin 〃心，则S（—习）=
4
m=1
3 1。 1 3。
(（AA)） 4
4
- · (（BB)）!
4
・ (（OC)一-4
4
-. · (（DD)）一—=
4
・
4 4 4 4
答答题题区区
x
小结
小结
对对于于傅傅里里叶叶级级数数，，主主要要考考查查以以下下三三个个方方面面的的内内容容：:
1
1
.
.
求
求
函
函
数
数
f
/
((x
X
))的
的
傅
傅
里
里
叶
叶
级
级
数
数
与
与
傅
傅
里
里
叶
叶
系
系
数
数.
.
先
先
确
确
定
定
f
/
((x
X
))的
的
周
周
期
期
21
2
,
Z
利
,利
用
用
公
公
式
式
求
求
出
出
傅
傅
里
里
叶
叶
系
系
数
数
a,= 1 nπx 1 nπx,
a„ = 1 fy(（xjr)）ccooss I dx(n==0,01,,12,2,,…"-)） ,,bb„,== 7 fr(（xH)）ssiinn l dx(n==1 .12,,2…,”) ・）;；
-1
再再由由傅傅里里叶叶系系数数得得到到傅傅里里叶叶级级数数
αo 60 nπx nπx ·
+≥(ancos +b。sin )
f/((xx)) ～~ 2y + 2_z (a.cos —l + 6„sin —I J.
=1
22.. 求求傅傅里里叶叶级级数数的的和和..
这这类类问问题题主主要要考考查查傅傅里里叶叶级级数数的的收收敛敛定定理理，，即即狄狄利利克克雷雷定定理理..
设设f/((xx)在)在[［--1/,,l]/上］上满满足足狄狄利利克克雷雷定定理理的的条条件件，，则则/f((xx))的的以以22lZ为为周周期期的的傅傅里里叶叶级级数数
ao e a,cosnπx nπx
亨++≥觉((a.cos++b ,6si„nsin))的和函数
2 1 L 的和函数
m=1 入
f
/(
(
x
x
)
)
,
x
工
为
为
f
/
(
'
x
(
)
*
的
)的
连
连
续
续
点
点
，，工x∈
£
(
(
-一l ,
1
l
,1
)
)
,
,
1
甲、 ![(7f((工x-一00)+)+f(/x'(+了0 +)] 0,) ］ ,x为工f为(x f)的(工)间的断间点断点， x口∈6((- —1, Zl,)。,，
SS((xx)) == < 2 2
1
y[［/f((--Zl ++ 00)) ++f/((Zl--00))]］,, x=x ±=±1Z..
2
33.. 求求函函数数f/((xx)的)的傅傅里里叶叶级级数数展展开开式式..
设设f/((xx)在)在[-［1-,/1,]/上］有上定有义定，义且，且满满足足狄狄利利克克雷雷的的条条件件，，则则
((11)) 若若f/((xx)在)在(一(-lZ,l)J连)连续续，，则则
ao
f/((xx)) == y
2
+ + 2 S ( ( a a , ” c co o s s η 苧
7
π, z x + + b , 6 s „s i i n n n号匹
l
，工 x ) j ,, ((―- /l << xx< + y== f/(（xx)）,，其其中中f/(（xx)）是是R上R的上的连连续续函函数数..
（(II )）若若f(fx （)工=）x=,求方求程方的程通的解通解；；
(
（
Ⅱ
口
)）若
若
f
/
(x（X )是）是 周
周
期
期
为
为
T的
T
函
的
数
函
，
数
证
，证
明
明
：
：
方
方
程
程
存
存
在
在
唯
唯
一
一
的
的
以
以
T
T
为
为
周
周
期
期
的
的
解
解
.
.
答答题题区区
· 134 ·
-134 ・第第九兀章章 常常微微分分方方程程 44
0(（22001199,1,01
题
0题,4分 ，
）
4
微
分
分
)
方
微
程
分2y 方
y,
程
-y
2
2
y
-
y
2
'
=
-y
0
2
满
-2
足
=
条
0满
件
足 火0条） =件 1y
的
(
特
O)
解
=1V 的= 特解y=.
答答题题区区
£1（(22001199,,1155题题，，101分0分）设)设函函数数、&y(）x是)是微微分分方方程程y+y'x+yxy = =e广质满满足足条条件件火y(00）) ==0 的0的特特解解..
(I)求y(x);
（I ）求 j/（x）;
(（Ⅱn)）求求曲曲线线丁y= =y (vxC)r的）的凹凹凸凸区区间间及及拐拐点点..
答答题题区区
1
0(（22002222,,1177题题，，1100分分）)设设函函数数vyC(xr）)是是微微分分方方程程Jy' ++ 『示yy == 22++√“x满满足足条条件件泌y(11） )== 33的的
2√x
解解，，求求曲曲线线yy == yy(（xjc)）的的渐渐近近线线..
答答题题区区
· 135 ·
-135 -数数学学历历年年真题真全题精全解析精·解提析高篇■(（数数学学一一)）
⑥解解题题加加速速度度
1
1.
. (
（
2
2
0
0
0
0
5
5
,
,
数
数三
三，，
4分
4分
）微
)微
分
分
方
方
程
程
可
x
'
y
+
'
了
+y
=
= 0
0
满
满
足
足
初
初
始
始
条
条
件
件
y
＞
(
（
1
1）
) =
=
2 的
2的
特解
特
为
解 为
_.
.
溪算空词
2.(2006,数三，4分)非齐次线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y;(x),y?(x),
2. （2006,数三，4分）非齐次线性微分方程+ = Q（z）有两个不同的解丁］ &）见（了），
CC为为任任意常意数常，数则，则该该方程方的程通的解通是解公
((AA))CC[[yyi? ((xx)) -—y ?y(2 (xx))]].. ((BB))、yi? ((zx) )++ CC[[_yy?} ((xx)) -—y ?y(2 (xz))]].・
((CC))CC[y[?^((xx))++y?>(2x(x)])].. ((DD))yyi: ((zx)) ++C C[[yj/:i ((xx)) ++y ?y(2 (xz))]]..
演演算空间
—
=
3-（2。。7,数三,4分）微分方程 d * y = f y - 1 |(（ y 7)） 3 3满足北-=1的特解为，=---------'
3.(2007,数三，4分)微分方程 dx x 2 x 满足y|,-?=1的特解为y = _.
质算空间
4
4
.
. (
(
2
2
0
0
0
0
8
8
,
,数
数
二
二，4 ，
分
4
)
分
微
)
分
微
方
分
程
方(3^ 程
+
(
x
y
2e
+
~
x
x
2
)d
e
x
~
—
)d
x
x
d
-
y
x d
=
y
0
= 0
的
的
通
通
解
解
是
是
y =
y= _
.
清算至村
·-113366 ·-第九章 常微分方程 ??
第兀章常微分方程 V
1
55.. (2（0202222,,数数二二，，1122分分）)设设函函数数火y(£x）)是是微微分分方方程程2巧2x'y一'-44）y==2 2l1nn xx--11满满足足条条件件y、(（11)）= = j的的
4
解
解
，
，求
求
曲
曲
线
线yy == y
丁
(
（
x
"
)(
（
11≤ x≤＜e) e的）弧
的
长
弧长
，
.
满异空间
X小小结结
11.. 此
此
类
类
题
题
解
解
题
题
步
步
骤
骤
.
.
dy dx
( （ 11) ） 判判断断方方程程的的类类型型，，可可将将方方程程写写成成形形式式：：若==f(/x（,xy,＞)或）或! 若 = = g( g x U , , y) y ( ） 这 （这 里 里 将 将 变 变 量 量 x 工 看 看 作 作 函 函
dx dy
数数，以y看看作作自自变变量量)）..
(（2 2)
）
若
若
不
不
能
能
确
确
定
定
类
类
型
型
，
，考
考
虑
虑
用
用
适
适
当
当
的
的
变
变
量
量
代
代
换
换
.
.
22.. 应应熟熟练练掌掌握握考考试试大大纲纲所所要要求求的的一一阶阶方方程程类类型型及及其其解解法法..
(（1
1
)） 可
可
分
分
离
离
变
变
量
量
方
方
程
程
.
.分
分
离
离
变
变
量
量
化
化
为
为/f（(xx）)ddxx ==g (gy（)vd）yd,y两,两 边
边
积
积
分
分
得
得
通
通
解
解
.
.
(（22)） 齐齐次次方方程程.将.将方方程程化为化为 dy 尹 =f =， } ( （乏 y x )）,，令令“u==义 y x , ，有 有 、 y = =x 切 u, ， d 擘 y= = u “ + + x * d 半 u 代代入入方方程程并并化化为为
dx dx dx
QJ7 \ X / x QX GJC
du dx
可可分分离离变变量量方方程程 一三=x—.
Jf (\uu)）— — uU X
(（3
3
)
）
一
-
阶
阶
线
线
性
性
方
方
程
程
.
.
将
将方
方
程
程
化
化
为
为
标
标
准
准
形
形
式
式
:
：
/
y
+
' +
P
P
（
(
x
x
）
)
＞
y
=
=Q
Q
(x
G
)
c
,
）
由
,由
通
通
解
解
公
公
式
式
得
得
通
通
解
解
为
为
y ＞ = = e e T f 心 ro 虹 d门 [j QQ(（xQ) ·. ^e心Jr恃oa工dx++可C ] .
(（44）) 伯伯努努利利方方程程..先先将将方方程程化化为为标标准准形形式式：y：^ +y 'P+（Px(）xy) =y= QQ(（xz)）yy°*（a(a尹≠00,,11）),令,令zz == y1-,»方方程程化化
为为一一阶阶线线性性方方程 程z' z+' +（(1 1—-aa)）PP(（zx)）zz == (（11 -
-
a)
q
Q
）Q
(x
（z
).
）.
(（55)） 全全微微分分方方程程..方方程程PP(&x,，yv)）d&x+ +Q( Qx,ay),：dyy）d v= 0=为 0全为微全分微方分程方的程充的要充条要件条是件是：：
=
a3QQ = ? 3P P
3云x = a 石 y .
门
通 通解 解 为 为 u u （ ( x x , , y＞ y） ) = = C C , , 其 其中 中 u u （ (xx,,yy ） ) = = f P P( （z x, 必 yo ） ) d d z x + + f Q Q ( & x, ,j y O )d d y y . .
J0 % J 0%
或或者者 uu(（xx,,yy）) == f Q
Q(
（
x
z
o
（）
·
,y
y
）
)
d
d
j
y
/+
+
[
P
P
(
（
x
z
,
,
y
、
)
）
d
d
x
z
.
・
J
0
y。
J 0
七
x
另另外外，，如如果果方方程程中中出出现现fr(（x工±士y )V、）Jf(（x巧y)、）Jf(（x*2±2±y2y)、）Jf ( （乎 y x■ ) ）、、/f(（亨 ) ）等等复复合合函函数数，,通通常常进进行行相相应应
y
y x
的的变变量量代代换换：：“u ==x±了y士、必xy可、、x了22± 士y2丁、、x之、王
y
，,将将方方程程化化为为上上述述基基本本类类型型..
特特别别值值得得注注意意的的是是，，可可降降阶阶的的微微分分方方程程数数学学一一多多年年没没有有考考题题，，但但属属于于考考纲纲要要求求的的内内容容，，应应掌掌握握
三三种种可可降降阶阶的的二二阶阶微微分分方方程程的的求求解解..
·
-
1
1
3
3
7
7
·・数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析• (数学一)
二二、、高高阶阶常常系系数数锻微分分方方程程的的泉求解解
09((22000099,,1100题题，,44分分))若若二二阶阶常常系系数数线线性性齐齐次微次分微方分程方y'程 +y a”y'++abyy' +=b y0=的0的通通解解为为)y==((GC? ++
C
C
?
2T
x))e e'
\则
,则
非
非
齐次
齐
方
次
程
方
y'
程
-h
y
a
”
y'
+
+
a
b
y
y
'
=
+b
工
y=
满
x
足
满
条
足
件
条
火
件
0)
y
=
( 0
2
)
,
=
/
2
(0
,y
)
'
=
( 0
0
)
的
=0
解
的
为
解
丁
为
=
y= _
.
答答题题区区
(
皿
20
(
1
2
0
0
,
1
1
0
5
,1
题
5
， 题，1
1
0
0
分
分
)
)
求
求
微
微
分
分
方
方
程
程
y
/
°
-3
-3y
/
'
+
+2
2
y
y
= 2
=
x e
2
′
xex
的
的
通
通
解
解.
.
答答题题区区
Ⅱ(2012,9题，4分)若函数f(x)满足方程f(x)+?(x)-2f(x)=0及f(x)+f(x)=2e',
5)(2012,9题，4分)若函数/•(*)满足方程/(x)+/(x)-2/(x)=0及，(工)+f&) = 2e，,
则贝I] f/((xx)) == _..
答答题题区区
[fi((22001133,,1100题题，，4分4分)已)已知知y y=?=ee3*r--xxee22,j,yji?2 ==e'4-x-e2宜12,]y必?=-=xe-′J：e是2r某是某二二阶阶常常系系数数非非齐齐次次
线
线
性
性
微
微
分
分
方
方
程
程
的
的
3
3
个
个
解
解
，
，则
则
该
该
方
方
程
程
的
的
通
通
解
解
为
为
y
y
=
= _.・
答题区
答题区
· 138 ·
・138・第九章 常微分方程
第九章常微分方程
1 1
B[6((22001155,,22题题，,44分分))设设、y= e2^+(r一 )e'是是二二阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程Jy'” ++ aayy'' ++
2 3
bbyy == ccee'的的一一个个特特解解，，则则
((AA))aa ==-—3 3,,5b ==2 2,,c 。 = = - — 1 .1. ( ( B B )q ) a = = 3 3 , , 6 b = = 2 2 , ,c c = =- — 11..
( (C C ) ) 。 a = =- — 3 3 , ,6 b = = 2 2 , , c c = = 1 . 1. ((DD)a) a== 33,,6b == 22,,cc == 11..
答答题题区区
,
([E20（12061,61,166题 题，，1100 分分）)设设函函数数 >（yx(）x满)满足足方程方 y程" +y” 2y'+ 2+yk'y+ k=y =00,其,其中 中0 <0< &k V<1 .1.
电r++08
（(II)）证 证明明：：反反常常积积分分J yy(（xz)）ddx收z收敛敛；；
Jo
（ (ⅡII） )若若 Vy （ (0O ） )==1 l,,yJ'(（00）) ==1 ,1求 ，求j y;y(（xz)）ddxz的 的值值..
10
答题区
答题区
5
E
(2（0
2
1
0
7
1
,
7,
1
1
0
0
题
题
，
,4
4
分
分
）
)
微
微
分
分
方
方
程
程
/
y
+
°
2
+
/
2
+
y ′3^ +
=
3 y0=
的
0的
通
通
解为
解
丁
为
=
y= _.
.
答答题题区区
·139 ·
-139 ・►> 数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析· • ■提高■篇(（数数学学一一）)
6(2021,13题，5分)欧拉方程x2y”+xy'-4y=0满足条件y(1)=1,y'(1)=2的解为y=
皿（2021,13题，5分）欧拉方程了勺"+巧'一4、= 0满足条件3-（1）= !»/（!）= 2的解为y =
答答题题区区
®解解题题加加速速度度
1.(2006,数二，4分)函数y=C?e2+C?e-2r+xe’满足的一个微分方程是
1. (2006,数二，4分)函数;y = C} ex + C2e~2j + xex满足的一个微分方程是
(
(A
A))y
y
"
z —
-y
y
'
f
-
~
2
~
y
2y
=
=
3 x
3
e
ze
'
”
.・
(B
(B
)y
)
”
y
—
"-
y
y
f
'
—
- 2
2
y
y =
= 3
3
e
ex
2
.
.
(
(C
C))y y
z
"
+
+ y
J
' -
—
2 y
2、
=
=
3 r
3
e
x
'
ex
.
. (
(
D
D
)
)
、"
y '
+
+
y
y '
—
- 2
2
y
y =
= 3
3
e
e
'
J.
.
演算空间
2.(2010,数二，4分)三阶常系数线性齐次微分方程y°-2y”+y'-2y=0的通解为y=
2. （2010,数二，4分）三阶常系数线性齐次微分方程Z - 2/ + y' -2y = 0的通解为）=
演算空间
3
3
.
.
(2
（2
0
0
1
1
1
1
,
,
数
数
二 二，，
4分
4分
）
)
微
微
分
分
方
方
程
程
y
y
-
"
^
-λ
y
2
=
y =
e
e
"
2
+
+e
e
(
»
λ
以
>0
>
) 的
0）
特
的
解
特
形
解形
式
式
为
为
((AA))aa((eeiXrr ++ee-d*r)). (a(BxB())eaHx(e? ++广e?次*))..
((CC))xi((aaee""r ++be6-e*rf)).. ( (D D )x2 i ( a a d e1 1 r + + be- D x)。 .
演算空间
·・
1
14
4
0
0
·・第九章 常微分方程
第九章常微分方程 4
1
44.. (2（2001133, ,数数三三，，44分分）)微微分分方方程程y"—-y y' ++ -y^=y 0=的 0通的通解解为为yv= = _.
4·
环算空肾
5
5
.
.
(2
(2
0
0
2
2
2
2
,
，
数
数
二
二
，，5 5
分
分
)
)
微
微
分
分
方
方
程
程
/
y ”
— 2
-2
y
y
f +
”
5
+
/
5
'
y
=
′
0
= 0
的
的
通
通
解
解
y(
y
j
(
c
x
)
)
=
= _.
.
满新空间
X
小结
小结
1.求二阶常系数非齐次线性微分方程的解的步骤.
1. 求二阶常系数非齐次线性微分方程的解的步骤.
(（11)） 求求特特征征方方程程的的根根..
(2)写出齐次线性微分方程的通解.
（2） 写出齐次线性微分方程的通解.
(（3
3
)
）
求
求
出
出
非
非
齐
齐
次
次
线
线
性
性
微
微
分
分
方
方
程
程
的
的
一
一
个
个
特
特
解
解
.
.
(（44)） 写写出出非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程的的通通解解..
22.. 对对于于高高阶阶线线性性微微分分方方程程，，应应掌掌握握解解的的性性质质、、叠叠加加原原理理以以及及通通解解的的结结构构..
33.. 对对于于二二阶阶常常系系数数线线性性微微分分方方程程yy'”^+ppyy''++qqyy ==f (/x（)x,应）,应熟熟练练掌掌握握求求通通解解的的方方法法..
(（11)） 对对于于对对应应的的齐齐次次线线性性微微分分方程方y程+yp”y'+-pVyq'y+ q=y =00,,会会根根据据其其特特征征方方程程产产+伊+p+rq+q ==0 0的的根根
的的情情况况，，写写出出齐齐次次线线性性微微分分方方程程的的通通解解..
(（22)）当 当自自由由项项f(，x)（工为）多为项多式项函式数函、数指、数指函数数函、数三、三角角函数函以数及以它及们它的们和的、和差、差、积、积所所得得的的函函数数时时，，应应
熟熟练练掌掌握握用用待待定定系系数数法法确确定定特特解解..
44.. 对对于于二二阶阶常常系系数数齐齐次次线线性性微微分分方方程程y+yp”y+'p+y'q+yq y==0 0,函,函数数AAe”e“是是其其解解的的充充要要条条件件为为rr ==
aa是是特特征征方方程程rr22 ++p prr+ q+= q0 的= 根0的；根函；数函A数e"Asei^nsBi,nB je3r“ ,Bceo"s c o s或伊e"或(Aes*i （nA sβin r/3+rB +co Bs coβs伊x)）是是其其解解
的的充充要要条条件件为为rr ==a a±±ī倒是是特特征征方方程程rr+2p+rp+qr=+0的q=根0.利的根用.以利上用结以论上，结可论由，可方由程方的程解的，解确，确定定其其对对
应应的的特特征征方方程程的的根根，，从从而而得得到到特特征征方方程程及及其其对对应应的的齐齐次次微微分分方方程程..
55.. 对对于于简简单单的的高高于于二二阶阶的的常常系系数数齐齐次次线线性性微微分分方方程程，，应应能能根根据据其其特特征征方方程程的的根根的的情情况况，，写写出出
其其通通解解..
· 141 ·
• 141数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇((数数学学一一)) 沮
第第二二部部分分线线性性代代数数
第一章 行列式
第一个 行列武
本本章童导导读读》
历历年年来来单单纯纯考考行行列列式式的的考考题题不不多多，，分分值值也也不不高高，，相相对对重重要要的的是是抽抽象象型型行行列列式式的的计计算算，，另另一一方方面面
大大家家要要注注意意如如何何通通过过行行列列式式的的计计算算来来帮帮助助回回答答矩矩阵、阵向、向量量、、方方程程组组、、特特征征值值、、二二次次型型方方面面的的各各种种问问
题题，，即即行行列列式式的的应应用用.
真真题题分分类类练练习习
一-、、数数字字型型特行列列式式的的计计算算
P
试题特点
［试题特点
数字型行列式的计算主要是用按行、按列展开公式，但在展开之前往往先运用行列式性质对
数字型行列式的计算主要是用按行、按列展开公式，但在展开之前往往先运用行列式性质对
其其作作恒恒等等变变形形，，以以期期某某行行或或某某列列有有皎交多多的的零零元元素素，，这这时时再再展展开开可可减减少少计计算算量量..同同时时，，也也要要注注意意一一些些
特特殊殊公公式式，，如如上上((下下))三三角角、、范范德德蒙蒙行行列列式式、、拉拉普普拉拉斯斯展展开开式式的的运运用用..
计计算算行行列列式式时时，，一一些些常常用用的的技技巧巧有有：：把把第第一一行行的的k包,倍倍加加至至第第i行，行；;把把每每行行都都加加到到第第一一行行；;逐逐行行相相
加加等等..
0 a b0
0 a h 0
=
a 0 0 h
口(2014,5 题,4 分)行列式"。° ”=
1(2014.5题，4分)行列式
0 c d 0
M 0 c d 0
C 0 0 d
c 0 0 d
(A)(ad-bx)2. (B)-(ad—bx)2. (C)a2d2-b2c2. (D)b2c2—a2d2.
(A)(ad—*)气 (B) - (ad-be)2. (C)a2d2-b2c2. (D)b2c2 - a2 d2.
答题区
答题区
·142 ·
. 142 .第第一一章章 行行列列式式
2 0… 0 2
2 0 ― 0 2
=
-12… 0 2
-1 2 ― 0 2
屈2(2
（
0
2
1
0
5
1
,
5
1
,
3
1
题 3题，
,4
4分分)）n”阶阶行行列列式式 •
・ •
· ·•
・ •
•
・ ・
・
・ •
0 0 … 2 2
0 0 — 2 2
0 0 …-1 2
0 0 ... -1 2
答答题题区区
λ A --110 0 00 =_ _.
00 ?
A
—_ 11 00
0(（22001166,,1133题题，，44分分)）行行列列式式
00 λ -1
0 0 A _ 1
43 2 λ+1
4 3 2 A + 1
答答题题区区
= _.
a O-11
a 0 _ 1 1
0
0
a
a
1
1
-—1
1
4(2
（
0
2
2
0
0
2
,
0
1
,
3
1
题 3题，，4
4
分分)）行行列列式式
-11 a 0
-1 1 a 0
11 -
-1
1 00 a
a
答答题题区区
· 143 ·
・143・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·
•
提■—高篇(（数数学学一一)）
0 u
解解题题加力速度速(看
x-2 x-1x-2 x-3
x — 2 x — 1 — 2 x — 3
jc
2x-22x-12x-22x-3
2x~2 2x — 1 2x~2 2x-3
11.. (（11999999..数数二二，，33分分）)记记行行列列式式
3x-33x-24x-53x—5
为为f则(x)方,则程方八程f工(x）)== 00
3x — 3 3x — 2 4z — 5 3x — 5
4.x 4x-35x-74x—3
4jc 4x — 3 5x — 7 4 a? — 3
的的根根的的个个数数为为
( （ A A ) ） 1 l . . ( (B B) ) 2 2 . . ( ( C 0 ) 3 3. . ((DD))44..
演算空间
2
2
.
.
(2
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0
0
0
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数
,数
四
四
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分
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设
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a
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1
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阵
A
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为 正
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整
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数
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案算室间
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0 1
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1
1
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33.. (（ 11999977,,数数四四.3.3分分）设)设nn阶阶矩矩阵阵AA == 33: ,，则则 | A| =|A|=
1
1 1
1
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游育空间
· 144 ·
144 -第一章 行列式
第一章行列式
二二、、抽抽拿象叟型行行舞列式式的的计计算算
试题特点
试题特点
对对于于抽抽象象型型行行列列式式的的计计算算，，有有可可能能考考查查行行列列式式性性质质的的理理解解、、运运用用，，有有可可能能涉涉及及矩矩阵阵的的运运算算，,也也可可能能
用特征值、相似等处理.这一类题目往往综合性强，涉及知识点多.因此，考生复习时要注意知识的衔
用特征值、相似等处理.这一类题目往往综合性强，涉及知识点多.因此,考生复习时要注意知识的衔
接与转换，如果内在联系把握得好，解题时的思路就灵活.这一类题目计算量一般不会太大.
接与转换，如果内在联系把握得好，解题时的思路就灵活.这一类题目计算量一般不会太大.
05(2（021031,31,133题题，,44分分）)设设AA= =[a ?[a]是,J3是阶3非阶零非矩零阵矩阵，，|A| |A为 |A为的A行的列行式列，式A,。A,）为为a踞,的的代代数数余余
子子式式，，若 若a,y a+? A+ijA ,== 00(（zi,,j j== 11,,22,,33）),,则则 | |AA || == _...
答答题题区区
0（(22001188,,1133题题，，44分分）)设设22阶阶矩矩阵阵AA有有两两个个不不同同特特征征值值，,aa;】,,aa?2是是AA的的线线性性无无关关的的特特征征向向量量，，且且
满满足足 AA22（(aia +;+aa2?）)== as; ++α %?，则,则 I A| A| l== _.
答答题题区区
团（(22002211,,1155题题，，5分5分）)设设4A ==[a楂,]打为为三三阶阶矩矩阵阵，,AA,,）为为元元素素a佝,的的代代数数余余子子式式..若若AA的的每每行行元元素素之之
和和均均为为 2,2且, 且| A || =Al 3=,3则, A则n A+; A+2A\ z+A+3A1a == _.・
答答题题区区
·145 ·
・145・►►
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·
•
■提高■籍((数数学学一一))
J
国 解解题题加加速速度度(下(面选的三道题再次提醒三种解法)
下面选的三道题再次提醒三种解法)
1 1 . . (1 (1 99 9 3 9 , 3 数 ,数 四 四 ，，3 3分 分 ) ) 若 若 a? , ,a 。 ? 2 , ， a 。 ? 3 , ，$ β ， , 艮 B都 都 是 是 四 四 维 维 列 列 向 向 量 量 ， ，且 且 4 4 阶 阶 行 行 列 列 式 式 | | a «1 ? , ,。 a? 2 , ，。 a 3 ?，,。β】| I = =m , m，
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口
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4
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阶
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式
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((AA))mm ++n 〃.. ((BB)) —- ((mm+ +n )n).. ((CO)nn —— mm.. ((DD))mm— —n n..
满异豆前
22.. ((22000033,,数数二二，4，分4)分设)3设阶3方阶阵方A阵,BA满,B足满A足2BA2-AB--AB-B ==E ,E其，其中中EE为为3阶3阶单单位位矩矩阵阵，，若若AA ==
1 01
-1 0 T
'00 22 00 ,,则则 丨\ BB)= } = _.・
—201.
-2 0 1
演算空间
1 1 ·1 1
33.. ((22000000,,数数三三，，3分3分))若若44阶阶矩矩阵阵AA与与BB相相似似，，矩矩阵阵AA的的特征特值征为值2 3为4则5行,则列行列式式
U TT 0
B1-El= _.
I B"1 - E | =.
三三、、行行到列式式I |AA| |是呈否冬为为零零的的判判定定
试题特点
■题特点
常常用用的的判判断断|I AA| =|=0是 0否是为否零为的零问的题问的题思的思路路有有：：
①① 利利用用秩秩，，设设法法证证rr(A(A)) << nn..
②② 用用齐齐次次方方程程组组AAxx ==0 是0是否否有有非非零零解解..
③③ 据据|I AA| =| Ⅱ= λIp,判,,断判断0是0否是否是是特特征征值值..
④④ 反反证证法法.
⑤⑤ 相相反反数数| |AA || ==-—|| AA| .|.
最最近近十十年年没没有有单单独独考考这这类类题题型型..
·
・ 1
14
4
6
6
·・第二章 矩阵
第二章矩阵 ◄◄
第二章 矩阵
本章导填
矩矩阵阵是是线线性性代代数数的的核核心心内内容容，，矩矩阵阵的的概概念念、、运运算算及及理理论论贯贯穿穿线线性性代代数数的的始始终终..几几乎乎年年年年都都有有单单纯纯
的的矩矩阵阵知知识识方方面面的的考考题题，，而而且且其其他他考考题题也也回回避避不不了了矩矩阵阵方方面面的的知知识识，，矩矩阵阵的的重重要要性性不不言言而而喻喻..
二二十十多多年年来来，，矩矩阵阵的的解解答答题题考考得得很很少少.复.习复时习，时对，对于于填填空空与选与择选不择要不“要大“大意失意荆失州荆”州。”.
真,题题分分类类练练习习
一-、、短矩阵阵退运算算、、初初等等变衣换拐
试题特点
试试题题简简单单、、基基础础但但容容易易失失误误..由由于于矩矩阵阵乘乘法法没没有有交交换换律律、、没没有有消消去去律律、、有有零零因因子子，，这这和和大大家家熟熟悉悉
的的算算术术运运算算有有很很大大区区别别，，试试题题往往往往就就考考查查这这里里的的基基本本功功，，因因此此复复习习时时对对于于矩矩阵阵的的运运算算要要正正确确、、熟熟
练练，，不不要要眼眼高高手手低低、、犯犯低低级级失失误误。.
矩矩阵阵的的初初等等行行变变换换是是左左乘乘初初等等矩矩阵阵、、矩矩阵阵的的初初等等列列变变换换是是右右乘乘初初等等矩矩阵阵，，在在这这里里要要分分清清左左乘乘、、
右右乘乘，，记记住住初初等等矩矩阵阵的的逆逆矩矩阵阵..
1［(）2（021011,15,题5题，,44分分)）设设AA为为3阶3阶矩矩阵阵，，将将AA的的第第22列列加加到到第第11列列得得矩矩阵阵BB,,再再交交换换BB的的第第22行行
100° 1007
-1 0 0- 1 0 0'
与与第第33行行得得单单位位矩矩阵阵..记记RP ?== 1 1 1 1 0 0 , ，「 P?= 0 0 0 0 1 1 ,，则则AA ==
2 =
001. 010-
0 0 1_ 0 1 0.
((AA))PP?P1P22.. ((BB))PP??i1PP22・. ((CC))PP?2PP?}.. ( (D D) ) P P ? 2P P1 \ . \
答答题题区区
,147·
-147 --
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·-提提高“篇((数数学学一一))
100°尸
-1 0 0-
回2(2(021021,26,题6题，，44分分))设设AA为为三三阶阶矩矩阵阵，，PP为为三三阶阶可可逆逆矩矩阵阵，，且且广P-A1APP== 0 0 1 1 0 0 ,.若若PP==3[,a
002
0 0 2_
a。
2
?,a;],Q== [［。a
1
;
+
+
1
a。?
2
,，。a
2
?，,皿a］;，]
则
, 则
Q—
Q
'
1
A
A
Q
Q
=
=
1
一 1 ］ 0 0 07 0- 一 1 ］ 0 0 07 0- 「 2 2 0 0 07 0- [一 2 2 00 0 ° 。 尸 -
·
((AA)) 0 0 2 2 0 0 ・ ((BB)) 0 0 1 1 0 0 ・ ((CC)) 0 0 1 1 0 0 ・ ((DD)) 0 0 2 2 0 0
_ 0 0 0 0 1. 1_ _00 002]2. 00 002]2_ _ 0 0 0 0 1 1_
答答题题区区
0(2(2002200,,55题题，,44分分))若若矩矩阵阵A经A初经等初列等变列换变化换成化B,成则B公 ,众则
((AA))存存在在矩矩阵阵PP,,使使得得PPAA == BB.. ((BB))存存在在矩矩阵阵PP,,使使得得BBPP == AA..
((CC))存存在在矩矩阵阵PP,,使使得得PPBB == AA.. ((DD))方方程程组组AxA x== 00与与BBxx ==0 同0同解解..
答答题题区区
解解题题加加速速度度
7
[_ 1 1 -1 - 1 1 1 -
11.. ((22000033,,数 数 二 二 ，，44 分 分 ) ) 设 设α a为 为 三 三 维 维列 列 向 向 量 量 ， ，。 a 丁 ? 是 是 a α 的 的 转 转 置 置 ， ， 若 若 a a a x v 1 = = - - 1 1 1 1- — 1 1 ,,则则 aa'Tαa ==
[
1-1 1
_ 1 -1 1 _
演算空间
· 148.
・148・第第二二章章 矩矩阵阵
4
?
4
?
7
101
0 r
22.. (（11999999,,数数三三、、数数四四，3，分3）分设)设4 A== 0 0 2 2 0 0,，而而n为≥2正为正整整数数，，则则A”A一”2-A2Ai* 1== _.
101-
0 1_
满算空间
0 -1 0
-0 一 1 0 _
33.. ((22000044,,数数四四，4， 分4分)设)设4A== 1 1 0 0 0 0 ,,BB == P-1AP,其其中中PP为为3阶3可阶逆可矩逆阵矩阵，，则则BB2200004 4--
00-1
0 0 -1.
2A2= _,
2A2 = ,
演算空间
44..(（22002222,,数数二二，，55分分）)设设AA为为三三阶阶矩矩阵阵，，交交换换AA的的第第22行行和和第第33行行，，再再将将第第22列列的的一一11倍倍加加到到第第
-2 1--1r
-2 1
1-1 0
11列列，，得得到到矩矩阵阵 1 -1 0 ,，则则 AA-"11 的的迹迹 ttrr((AA--11))== _.
-1 0 0
-1 0 0 _
展算空同
· 149 ·
-149 -►►
数数学学历历年年真真题全题精全解精析·解提析高■籍((数数学学一一))
二二、、伴伴随随矩矩阵阵、、可可逆逆矩矩阵阵
试■题题特特点点》
伴伴随随与与可可逆逆是是矩矩阵阵中中最最重重要要的的知知识识点，点关，关键键公公式式：：
AAAA'* == AA'* AA ==\| AA |\ EE
1
进
进而
而
有
有
A
A
T
? 1
=
= T
-
A
^
T
AA’-或或AA°' ==||A A|A |1 A.涉-,及涉伴及随伴与随可与逆可逆的的试试题题非非常常多多，，要要想想到到并并灵灵活活运运用用AATA° ==
I A I
AA'9 AA= =|A \| AE 这\ E一这核一心核心公公式式..
☆☆定定义义法法，，单单位位矩矩阵阵恒恒等等变变形形，，可可逆逆的的充充要要条条件件都都是是重重要要的的考考点点。.
Q4((220O0O9,96,题6题，，44分分))设设AA,,BB均均为为二二阶阶方方阵阵,A，- A,^B,B'分*分别别为为A,AB,的B的伴伴随随矩阵矩.阵若.| 若A || A=l =22,|, |BB \| ==
1
[0 A
33,,则则分分块块矩阵矩阵的伴的随伴随矩矩阵阵为为 r
B O.
-B O -
7. 7 L.
- O O 3 3 B B ^ * 广 _ [ - 0 O 2 2 B B ° — - 0 O 3 3 A A ° -- - 0 O 2 2 A A ° * -
((AA)) ・ ((BB)) ・ ( (C C) ) ・ ((DD))
2A* O 3A 0 2B° 0 3B° O
-24, O - -3A* O - -2B* O - -3B* O -
答答题映区区
05((2200117,75,题5题，,44分分)设)设αa为为n 维n维单单位位列列向向量量，,EE为为n阶“阶单单位位矩矩阵阵，，则则
((AA))EE— —a aaaTT不不可可逆逆.. ((BB))EE+ +ax a′aT不不可可逆逆..
((CC))EE+ +2a 2aa′aT不 不可可逆逆.. ((EDD))E— —2 2aaxa?1不 不可可逆逆..
答答题题区区
·
,1
1
5
50
0
·・第第二二章章 矩矩阵阵
44
0(2(2002222,,1155题题,，5分5分)已)已知知矩矩阵阵AA和和EE--AA可可逆逆，，其其中中EE为为单单位位矩矩阵阵..若若矩矩阵阵BB满满足足((EE—-((EE— —
A)-1)B=A,则B-A= _.
A)-*)B = A,则 B-A =.
答答题题区区
(|j
解解题题加力速口度速(下度面这些考题，希望大家认真地做，好好体会与把握处理伴随和可逆的思想
(下面这些考题，希望大家认真地做，好好体会与把握处理伴随和可逆的思想
方法)
方法）
1 00 0
'1 0 0 0'
-23 00
_ 2 3 0 0
11.. (（22000000,,数数二二，，3 分3分）设)设4A == ,上E为为44阶阶单单位位矩矩阵阵，，且且B=B= ((EE ++A A)-)'T((EE—-
0 -4 50
0 -4 5 0
0 0 -67-
_ 0 0 -6 7.
A4)）,,则则（(EE ++ BB)）t- 1== _..
壤算空间
1007
0 01
22.. ((11999955,,数数三三、、数数四四，3，分3分)设)设A A== 2 2 2 2 0 0 ,A’是是AA的的伴伴随矩随阵矩，则阵(4， ・尸则(A·)-1=
345.
L3 4 5.
演算空间
·151 ·
-151> 数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·，是高篇(（数数学学一_)） 浏
3.(1998,数二，3分)设A是任一n(n≥3)阶方阵，A’是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0,
3. （1998,数二，3分）设4是任一 "（nN 3）阶方阵,A'是其伴随矩阵，又％为常数，且k^O,
±1,则必有(kA)°=
土 1,则必有（.kA）' =
( (A A) ) A M * - .. ( ( B B )k ) * L -1 A A°. ( (C C) W k" A A* ， . . ((DD)k)-^1'AA°-..
4
4
.
.
(2
（
0
2
0
0
2
0
,
2
数
,数
四
四
，，3 3
分
分
）
)设
设
A
A
,B
,B
为
为
n阶
n
矩
阶矩
阵
阵
，，A
4
'
,
, B
,B
’，分
分
别
别
为
为
A
A
,B
,
对
B对
应
应
的
的
伴
伴
随
随
矩
矩
阵
阵
，
，
分
分块
块
矩
矩
阵
阵
C
C=
=
[A O°O1]
LO B ,，则则CC的的伴伴随随矩矩阵阵C*C "==
1
[[\| AA|\ AA*' 0 O 广 [ r | l B B | I B B * * 0 o ~\
(A) (B)
L 0 O || BB| B| °B- J L O O || AA || AA'- J
[ r| | A A | | B B * , O O ] - [ 「|I BB || AA** 0 O ] -
(C) (D)
A IB·
0 0
O || BB| A| °A" J O |A | B*」
演算空间
55.. (2（020020,2数,数二二，，66分分）)已已知知AA,,BB为为三三阶阶矩矩阵阵，，且且满满足足2A2AB-1 =B= BB--44E,E其,其中中E是E3是阶3单阶位单矩位矩阵阵..
(（II) ）证证明明：：矩矩阵阵AA—-22EE可可逆逆；；
1-20
1 -2 0-
(（Ⅱn ）)若若BB == 1 1 2 2 0 0 ，,求求矩矩阵阵AA..
0 0 2
0 0 2.
演算空间
· 152 ·
-152 ・第二章 矩阵
第二章矩阵
6&. / 1（919979,7 数薮 .数 二三 ， 二 66 分4 ｛ \ 设）设A为4n为阶”非阶奇非异奇矩异阵矩，阵α,为an为维”列维向列量向，量b为/常为数常，数记，记分分块块矩矩阵阵
数四，7分
1 1
[ E 0 [A α ·
P
P
=
=
r
L -a
E
T A- |A
0
|J
1 ,，e Q
=
= [
La
A
a1- b
a
.J
l
'
-qT A· | A
其其中中A/’T 是是矩矩阵阵A4的的伴伴随随矩矩阵阵，,EE 为^njn阶阶单单位位矩矩阵阵..
（(II)）计计算算并并化化简简PPQQ;i
(
（
Ⅱ
II ）
)证
证
明
明
矩
矩
阵
阵
Q
。
可
可
逆
逆
的
的
充
充
分
分
必
必
要
要
条
条
件
件
是
是
a
a
T
T
A
A
- '
'
a
a
≠丰b
b
.
.
演演算商空司间
77.. (（22000033,,数数三三，，4分4分）设)设nn维维向向量量a α== （(aa,,00,,—…,0,0,a,）aT) ,aT ,3) 3阶）矩阶矩阵阵
1 a a … a
a l a … a
A = … a
a a l1
:
a a a … 1
若若矩矩阵阵4A的的秩秩为为rn.i -—1 ,1则,则aa必必为为
1 1
((AA))1l.. ( （ BB) ） 1 ］ — \ n ((C0)—-11.. (（DD)） n ： —1 i·
155
重
质算空同
· 155 ·数
数
学
学
历
历
年
年
真
真
题
题
全
全
精
精
解
解
析
析
·
•
提提高高篇篇(
（
数
数
学
学
一
一
)
）
a b b
b b~
22.. (（22000033..数数三三3.4分分）)设设三三阶阶矩矩阵阵A A== b b a a b b，,若若AA的的伴伴随随矩矩阵阵的的秩秩等等于于11,,则则必必有有
b b a
\b b a_
((AA))aa == bb 或或 q a ++2 2b。==0 .0. ( （B B ） ) a a = = b b 或 或 a q + + 2 b 25 ≠ 共 0 0 . .
((CC))
q
a 尹≠。b且且
q
a ++ 22。b==0 0.. (（DD）)aa ≠bb 且且 qa++22bD≠H：00..
演戢
演算空间
001]
-0 0 r
010
3.(2003,数四，4分)设设矩矩阵阵BB== 0 1 0,，已已知知矩矩阵阵AA相相似似于于BB,,则则秩秩((AA —— 22EE))与与秩秩((AA—-EE))
0 0_
之之和和等等于于
((AA))22.. ( ( B B ) ) 3 3 . . ((C0)44.. ((DD))55..
演错空间
四、矩矩阵阵方方祓程
试试题题特特点点）
解解矩矩阵阵方方程程时时，，首首先先要要根根据据矩矩阵阵的的运运算算法法则则、、性性质质把把方方程程化化简简（特(特别别要要注注意意矩矩阵阵的的乘乘法法没没有有交交
换换律律)）,，化化简简之之后后有有三三种种形形式式：：
AX=B;XA=B;AXB= C.
AX = B；XA = B；AXB = C.
对对于于前前两两个个方方程程，，若若判判断断出出AA可可逆逆，，则则有有
X=A-1B;X= BA-'.
X = A 'BiX = BA
对于第三个方程，若A,B均可逆，则有X=A-1CB-1.
对于第三个方程，若A,B均可逆，则有X = A CB l.
那么，再通过求逆等运算就可求出X.
那么，再通过求逆等运算就可求出X.
近近十十年年未未考考过过矩矩阵阵方方程程，，可可以以自自行行练练习习较较早早的的考考题题..
•· 115566 ·•-
第第二二章 章 矩矩阵阵
d；
解题加速度
解题加速度
1
1.
. (
（
1
1
9
9
9
9
8
8
,
.
数
数
二
二，
，
5
5
分
分
）设
)设 （72(E2E--
（
C
T
1
1
B
B
)
）
A
A
?
t
= C
=
- 1
C
,
T
其
',其
中
中
E是
E
4
是
阶
4
单
阶
位
单
矩
位矩
阵
阵
，
,人
AT
丁
是
是
4阶
4阶
矩
矩
阵
阵
A
4
的
的
转
转
12 -3 —2” 1201
1 2 -3 -2' -1 2 0 r
01 2 -3 0120
0 1 2 -3 0 1 2 0
置置矩矩阵阵，，且且BB , ,C C = = ,，求求矩矩阵阵AA..
00 1 2 0012
0 0 1 2 0 0 1 2
00 0 1 0001
0 0 0 1 . 0 0 0
演算空间
1
1
)100 )011
L] 0 o- ■0 1 r
110 ,B= 101
22.. (（22000011,,数数二二，，6分6分）)已已知知矩矩阵阵4 A== 1 1 0 = 1 0 1 ,，且且矩矩阵阵XX满满足足AXAAX+AB+XBBXB ==
111- 110-
_1 1 ］一 _1 1 o_
AAXXBB+ +BX BAX+AE ,+其 E中,其E是中三E是阶三单阶位单矩位阵矩，阵，求求XX..
演演算空间
·157 ·
・157・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·
•
提提高高篇篇((数数学学一一))
3.(200)5 5
,
,
＜
救
四
四
.4
，
分
4分
)设
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A
设
,
A
B
,
,
B
C
,
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C均
为
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矩
矩
阵
阵
，£为
，
〃
E为
阶
n
单
阶
位
单
矩
位
阵
矩
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B
，
=
若
E
B
+
=
A
E
B
+A
,C
B,
=
C =
A
A
+
+C
C
A
A
,
,
则
则
BB--CC ==
((AA))EE.. ((BB)) 一一 EE.. ((CC))AA.. ( (D D) ) — 一 A A . .
填算空间
a 1 0
a 1 0 -
11.. ((2200151,5数.#二二、、数数三三.1.111分分))设设矩矩阵阵AA == 1 1 a a — - 1 1，,且且 AA33 ==0 O..
0 1 a
0 1 a
((II))求求a的。的值值；；
((Ⅱn))若若矩矩阵阵XX满满足足XX--XXAA22--AAXX++AXAAX2=AE2 ,=其£,中其E为中3£阶为单3阶位单矩位阵矩，阵求，求XX..
旗算空同
·158 ·
・ 158 -第第三三章章 向向量量
第三章 向量
第三章 尚量
本章导读
本章导读
向向量量既既是是重重点点又又是是难难点点，，由由于于考考研研在在向向量量的的抽抽象象性性及及逻逻辑辑推推理理上上有有较较高高的的要要求求，，同同学学们们在在复复
习习时时要要迎迎难难而而上上。.
考考研研的的重重点点首首先先是是对对线线性性相相关关、、无无关关概概念念的的理理解解与与判判断断，，要要清清楚楚选选择择、、填填空空、、证证明明等等各各类类题题型型
的的解解题题思思路路和和技技巧巧；；其其次次，，要要把把握握线线性性表表出出问问题题的的处处理理；；第第三三，，要要理理解解向向量量组组的的极极大大线线性性无无关关组组和和
向向量量组组秩秩的的概概念念，，会会推推导导和和计计算算；；第第四四，，要要掌掌握握向向量量空空间间的的相相应应概概念念..
真题分类练习
一、尚向量量的的鳗残罹性哀表出出
试试题题特特点点
向向量量βP可可以以由由αai:，·azα,…?,，a…,,线α性,线表性出表0出方→程方组程x组)aix ?+a ;x+2ax?2 α+?…+…++ _xr、αa,,
=
=β。有有解解
?ar?(a,iα ,a?,2…，…,a，,a),=) r=(a ?r,(αai? ,,a…2,，α…,，·a,β ,p))..
☆☆如如果果已已知知向向量量的的坐坐标标，，那那就就通通过过判判断断方方程程组组是是否否有有解解来来回回答答向向量量能能否否线线性性表表出出的的问问题题，，不不
仅
仅
要
要
会
会
判
判
断
断
一
一
个
个
向
向
量
量
β
P
能
能
否
否
由
由
a
m
:a
,
:
a
,
z
…
,…
,a,，a 线
,
性
线
表
性
出
表
，
出
还
，还
要
要
会
会
分
分
析
析
、
、
讨
讨
论
论
一
一
个
个
向
向
量
量
组
组
β
怯
,β，桓,，…
…
,，β
&
能
能
否否由由asi,α，必2,，……,，α/线.线性性表表出出的的问问题题..
☆☆如如果果向向量量βP的的坐坐标标是是未未知知的的，，那那就就要要能能用用秩秩、、用用概概念念以以及及相相关关的的定定理理来来推推理理、、分分析析..
[1|((22001111,,2200题题，,1111 分分))设设向向量量组组％α =;= ((l1,O,0,,l)1T),?a,za ?== ((00,,11,,11 尸)?,,<1a3 ?==( (11.,33,,55))不T 不能能由由向向量量组组
β氏==(1(,11,1,,11)),Tβ,艮=(=1,(12,,23,)3?)t,β，N ==(3 (,34,,4a,a))线T 性线性表表示示..
((II) )求求a的a的值值；；
(
(
Ⅱ
口
)
)
将
将
β。,,β，艮,β，腐用
用
a;·
a.
α
,a
?
2
,
,
α
at
?线
线
性
性
表
表
示
示
.
.
答答题题区区
。159 ·
• 159 ・数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇(数学一)
02((22001133,,55题题，,44分分))设设A,均B,为C均如为阶n阶矩矩阵阵，，若若AABB ==C ,C且,且B可B逆可，逆则，则
((A
A
)
)
矩
矩
阵
阵
C
C
的
的
行
行
向
向
量
量
组
组
与
与
矩
矩
阵
阵
A
A
的
的
行
行
向
向
量
量
组
组
等
等
价
价
.
.
((BB)) 矩矩阵阵CC的的列列向向量量组组与与矩矩阵阵AA的的列列向向量量组组等等价价..
((CC)) 矩矩阵阵CC的的行行向向量量组组与与矩矩阵阵BB的的行行向向量量组组等等价价..
((DD)) 矩
矩
阵
阵
C
C
的
的
列
列
向
向
量
量
组
组
与
与
矩
矩
阵
阵
B
B
的
的
列
列
向
向
量
量
组
组
等
等
价
价
.
.
答答题题区区
=
= =
= x一as y—b?
x一a? y—b? x—C?
协(220。220。,,66题题，,44分分))已已知直知线直L?线: 小宁=f =甘与与直直线线l如?:
a? b? C? α? b?
a,
o-i
x一Ci
相 相交 交 于 于 一 一 点 点 ， ，记 记 向 向 量 量 a a , = = b. ,i=1, 1 2 ,2 ,3 ,3 . . 则 则
C?
C.
(
(
A
A
)α
)a
;)可
可
由
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α
。
?
2
,，α
。3
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线
性
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表
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示
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.
.
(a(BB))α2?
可
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由
α
©
;,
，皿
α?
线
线
性
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表
表
示
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.
.
(
(a
C
C
)
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a?
3
可
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由
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α
a
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线
性
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表
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示
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.
. (
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D
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,
α
。2
?
，
,
。
α
3
;
线
线
性
性
无
无
关
关.
.
答答题题区区
入 1 1 1
Q((22002222,,77题题，，55分分))设设外a?== 1 ,α?= λ ,α?= 1 ,α?= λ . . 若 若 向 向 量 量 组 组 a 。 ?, 1 a 0 ? 2 ,a ，。 ? 3 与 与 α?, ，
1 1 λ λ2
α?·α;等价，则λ的取值范围是
%，。4等价，则义的取值范围是
((AA))({0,o1,n}.. ((BB)){{Ax |I λA ∈e R,λ≠
关
-
一
22}}..
(({CCA)){a |Iλ A ∈E R,λ≠尹-一1,1 λ,A ≠尹-—2}2}.. (( d D))({λ a I| a λ e∈ r R,.λ a 关≠一-1i}}..
答题区
答题区
·・1
1
60
6 0
·・第三章 向量
第三章向量
Q
解题加速度
解题加速度
1
1
.
.
(1
(1
99
9
8
9
,
8
数
,数
二
二
，，8 8
分
分
)
)
已
已
知
知
％
a ;
=
= (
(
1
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,
,
4
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,0
,0
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,
)
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T
)
,
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2
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,
7
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,
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1
l
,
,3
3
)
)
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?
,
,
a
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3
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(
,
0
1,
,
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l
1
,-
,
l
a
,
)
a
?
)
,
T
β
,p
=
=
(3
(
,
3
1
,
0
1
,
0,
b们,44))π丁,，问问
((II) a),ab»取6取何值何时值，时β，。不不能能由由αa: ,1 α02? ,0α3?线线性性表表出出?？
(Ⅱ)a,b取何值时，β可由α,a?,α?线性表出?并写出此表示式.
(H )a9b取何值时，°可由«i ,a2 »a3线性表出？并写出此表示式.
属算空间
22.. (2(2000033,数,数四四，，113 3分分))设设有有向向量量组组(I( I))。α1 =? =((11,,00,,22))r ?,a,2a ?== ((11,,11,,33))T? ,,aa3 ?==( (11,,- —1, 1a,+。2+) π2)丁和 和
向向量量组组((ⅡII))flβi ==( (1l,,22,,aa+ +3) 3T),Tβ,&? ==( 2(,21,,la,+a6 +)? 6,)βT,?怯=(=2,(12,,al+,a4) +T .4试)T问.试 ：
问
当：a当为
q
何为值何时值，时向 ，向量量组组
((II) )与
与
(Ⅱ(H))等
等
价
价
?
？
当当a为a为 何
何
值
值
时
时
，
，
向
向
量
量
组
组(
(II ))与
与
((ⅡH))不
不
等
等
价
价
?
？
演算空词
· 161 ·
-1611
数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学一）
33.. (1（91998.9数8.数四.四3分.3)若分向）若量组向α量,组βa,y,线0,性y无线关性；无α关,；βa,,fδi,线3线性性相关相，关则，则
(（AA)）αa必必可可由由βf,ly，r,δ，S线线性性表表示示。. （(BB)）βp必必不不可可由由αa,，Yr,δ，6线线性性表表示示。.
(（C0)δ5必必可可由由αa,,βfl,，γr线线性性表表示示.. （(DD)）δ6必必不不可可由由αa,β.jJ,，γr线线性性表表示示，.
演演算尊空空间间
11..(（ 11999999..数数四四..33分分)）设设向向量量β可可由由向向量量组组αa?,】α，a?,,,……，,aα,”。线线性性表表示示，但，不但能不能由由向向量量组组（I( I）)：:cαr ,
αa2?，,-…" ,,aα„ ~ i线线性性表表示示，，记记向向量量组组(Ⅱ（U) :）α ：a;,αi?,a…,,α”_-,i β,夕,，则则
(A)a。不能由(I)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示.
（A） a,„不能由（I ）线性表示，也不能由（D）线性表示.
(（BB)）α a,。„不不能能由由（(II )）线线性性表表示示，，但但可可由由(（ⅡII )）线线性性表表示示..
(C)α。可由(I)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示.
（C） am可由（I ）线性表示，也可由（U ）线性表示.
(（DD)）α a“。可可由由（(II )）线线性性表表示示，，但但不不可可由由(（Ⅱ口) ）线线性性表表示示。.
属翼空间
二二、、益向耋量鲤组的的钱线性性相相美关和和线线棒性无无共关
试试题题特特点点
线线性性相相关关是是难难点点之之一一，，也也是是历历年年考考生生在在考考试试时时丢丢分分最最多多的的一一个个考考点点..
如果存在不全为0的数组k?,k?,…,k,,使k?a;+k?a?+…+k,α,=0成立，则称向量组a?,α?,
如果存在不全为0的数组kx ,k2，…，奴，使幻a】 +k2a2 H------ksas = 0成立，则称向量组* ,
7
……,aα,线线性生相相关关..
[……
打
x?
a%i,,α。2?,,……，,aa＜.线线性性相相关关?e齐齐次次方方程组程[组ai［,aα】，?％,…，…,α，a.」] ? ==0有0有非非零零解解
要*指
工_
。162 ·
・ 162 -第第三三章章 向向量量
?
0
r(
厂
a
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1
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2
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，
…
…
,，α
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）
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V
(ra（aii, α,a22 ,，……,,aa,、）) == ss..
☆☆证证明明线线性性无无关关，，若若用用定定义义法法，，就就是是设设法法证证知k?==00,,……,，kZ, ==0; 若0;用若秩用，秩就，就是是设设法法证证r(ra（;a,.α,a?2,,
……,，aa.,)） ==s( s这（这里里要要通通过过用用矩矩阵阵秩秩的 0 的定定理理、公、公式式转转换换推推导导出出向向量量组组秩秩的的信信息息 1)1.）1 .
1
0 0 1 -r
-1 -
L0-
0 5(（22001122,,55 题题，，4 4分分）)设设 aa】?== 0 0 , 9( α X2 ? = = 1 1 , 9a α 3 ? = = - - 1 1 , ，。 α 4 ? = = 1 1 ,，其其中中c?, ，（ c 2 ? , , C c 3 ,,c。? 4 为为任任
C?
C\_ S2_ -C3 _ -4C'4 _
意意常常数数，，则则下下列列向向量量组组线线性性相相关关的的为为
((AA)α)O?1, ,α%? ,0α3?. ((aBBi))@? 、,aQ2 ?,,。Q 4. ( （C C)）a O1 : ,,。α 3 ，?。, 4・ ((DD)α)a?2 ,,α奶?，,。@ 4 4 .
答题区
答题区
0(（22001144,,66题题，，44分分)）设设aia,】α，％?,，。α3?均均为为三三维维向向量量，，则则对对任任意意常常数数Ak,,，l，向,向量量组组a:++k如a?3,，α。2? ++l aZ?a3
线线性性无无关关是是向向量量组组αs;, ,α%z,，%α?线线性性无无关关的的
(（AA)）必必要要非非充充分分条条件件.. (（BB)）充充分分非非必必要要条条件件..
(（CC)）充充分分必必要要条条件件.. (（DD)）既既非非充充分分也也非非必必要要条条件件..
答答题题区区
·163 ·
-163 ・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学一一)）
这这里里的的选选择择题题、、证证明明题题你你能能独独立立完完成成吗吗?？你你使使用用的的思思路路和和技技巧巧是是什什么么?？
（0；
解题加速度
解题加速度
1
1
.
.
(（22000088..数
数
二
二
、
、数
数
三
三，，101
分
0分
）设
)设AA为
为
三
三
阶
阶
矩
矩
阵
阵
，
，
a?
，。
,a
2
?
为
为4A的
的
分
分
别
别
属
属
于
于
特
特
征
征
值
值
-
一
1,
1
1
,
的
1的
特
特
征
征
向
向
量
量
，
，
向量α?满足Aa?=α?+a?.
向量。3满足& 3 =。2 +。3・
(I)证明：a?,α?,a;线性无关；
（I ）证明：, %，。3线性无关；
(（Ⅱ U）)令
令
P
P
= (
=
a ?
（
,
。
a
1
?
,。
·
2，
a
。
?
3
)）,
，求
求 P
P
1
~
A
lA
P
P
.
.
填算空间
2.(1996,数三，8分)设向量a;,a?,…,a,是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是
2. （1996,数三.8分）设向量a】，％，・・•，。，是齐次方程组Ax = 0的一个基础解系，向量。不是
方方程程组组A仙x= 0=的0解的即解Aβ即≠部0乂.试 0证.试明证：明向：量向组量β组,Pβ，P+ +a;。,】β，。++α。?2,，…
・・
β ・/+ +a叫,线线性性无无关关。.
演算空间
·164 ·
-164 -第三章 向量
第三章向量 <
33.. (2（020010,1数,数四四，，88分分)）设设aa,, ==(a n（a ,,ia皿a,2…，…,a，如m)T）丁(i3= 1=, 21,,2…, ,—r ;,rr；.试 2讨.试论讨a论,ba为 /何为值何时值，时方，程方组程仅组有仅零有零解解，，有有无无穷穷多多组组解解?？在在有有无无穷穷多多组组解解
时时，，求求出出全全部部解解，，并并用用基基础础解解系系表表示示全全部部解解，.
演尊空间
22.. (（22000044,.数数三三，，4分4分）设)设”n阶阶矩矩阵阵AA的的伴伴随随矩矩阵阵4A’*丈≠O0,,若若5&,是5,5非5是齐非次齐次线线性性方方程程组组
AAxx= =b的b互的互不不相相等等的的解解，，则则对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程组组AxA x== 00的的基基础础解解系系
(（AA)）不不存存在在.. （(BB）)仅仅含含一一个个非非零零解解向向量量..
(（CC)）含含有有两两个个线线性性无无关关的的解解向向量量.. （(DD）)含含有有三三个个线线性性无无关关的的解解向向量量..
痛算空间
· 171 ·
• 171数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学一一)）
二二、、非非吝齐次次方方程襁组缱的的求求解解
试试题题特特点点
记记住住解解的的结结构构
a+k?η?+k?p+…+k。η,
a + — m + — % ----- <■ 可 l,
其其中中aα是是4xA x== bb的的特特解解，，可iη，可2,，,……，,,是是AAxx= 0=的 0基的础基础解解系系..
往往届届考考生生在在加加减减消消元元时时计计算算错错误误较较多多(（一一定定要要多多动动手手认认真真做做)）;；讨讨论论参参数数时时不不能能丢丢三三落落四四，，要要
严谨.
严谨.
求A的秩、求特解、求基础解系、讨论参数是复习时要注意的知识点.
求4的秩、求特解、求基础解系、讨论参数是复习时要注意的知识点.
£1（(22000099,,2200 题题，，1111 分分）)设设 112
[ 1-1-1
-1 r 1 -r -r
A= -1 1 1 1
A = -1 1 1 ，,&与 == i
0 -4-2
_ 0 -4 -2_ -2_
—乙_
(I)求满足A5:=5,A25?=5的所有向量5,5;
（I）求满足替z =蜘0景=&的所有向量&，&;
(（Ⅱ口）)对对（(II)）中中的的任任意意向向量量&5,,&5,,证证明明5&,，5如 ，&线线性性无无关关..
答答题题区区
[λ11 [
7 1 [a]
0 λ-10 ,b= 1
Q(（22O011O0,,2O2 0题题，，11 1分1分）设)设4A== 0 A- 1 .•已已知知线线性性方方程程组组—Ax=b存在2个不不
1 1 λ 1
.1 1
同同的的解解，，
(（II) 求）求λ义,,a々;；
(（ⅡU）)求求方方程程组组AAxx == b b的的通通解解..
答答题题区区
·172 ·
172 -第第四四章 章 线线性性方方程程组组
1
1 a 00°
01 a 0 -1
0(（22001122,,2200 题题，，111 1分分）)设设 4A == ,β=
001 a 0
a 001. 0
(（II)计）计算算行行列列式式丨I AAl ;|；
(（ⅡU)）当当实实数数aa为为何何值值时时，，方方程程组组Ax仙=β=有P无有穷无多穷解多?解并？并求求其其通通解解..
答答题题区区
1 1
[1 a 01
0（ ( 2 2 0 0 1 1 3 3 , , 2 2 0 0 题 题 ， ， 11 1 分 1分 ）设 )设 A A = = P ,B= ,当 当 aa,,bb为 为 何 何 值 值 时 时 ， ，存 存 在 在 矩 矩 阵 阵CC使 使 得 得 AACC— —
10 .1 b.
-1 0 J LI b -
CCAA == BB,,并并求求所所有有矩矩阵阵CC..
答答题题区区
·173 ·
. 173 .数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学一）
1-23 -4
_1 -2 3 -4"
❷((22001144,,2200 题题，，11 1分1分)设)设 AA == 0 0 1 1 - - 1 1 1 1 , , E E 为 为 3阶 3阶 单 单 位 位 矩 矩 阵 阵 . .
1 :2 0 -3-
.1 2 0 -3_
(（II) 求）求方方程组程A组x=A0x的 =一 0个的基一础个解系基；础公解众
(（ⅡII ）)求求满满足足AABB ==E 的E的所所有有矩矩阵阵BB..
答答题题区区
7
11 1 1
08((（22001155,,55题题,，4分4分）设)设矩矩阵阵A A== 1 2 a ,b = d ,若集合n=(1{,21},2,}则,则线线性性方方程程组组
1 4 a2 d2.
仙Ax==b有3有无无穷穷多多解解的的充充分分必必要要条条件件为为
((AA))aa∈ 任Ω Q,,dd∈ 冬Ω Q.. ((BB))a。∈冬Ω Q,d∈GΩ Q. ( ( C C ) ) a a ∈ e Ω n , , d d ∈ 5 Ω . . ((DD))aa∈ eΩ Q,，dd∈ cΩ n..
答答题题区区
7
1 -1-1 2 2
一 1 _ 1 —r -2 2 一
2 a l ,B= 1
0(（22001166,,2200题题，，111分1分）)设设矩矩阵阵A A== 2 a 1 ,B = 1 a
-1 1 a -a-1 —2.
-1 1 a _ a — 1 -2_
当当aa为为何何值值时时，，方方程程AAXX= B=无 解B、无有解唯、有一唯解一、解有、有无无穷多穷解多?解在？在有解有时解，时求，求解解此此方方程程..
答答题题区区
· 174 ·
・ 174 -第第四四章章 线线性性方方程程组组
Ⅲ皿(（22001177,,2200题题，，111分1分）设)设三三阶阶矩矩阵阵A =A= [a;,,a%z，化,a］;]有有33个个不不同同的的特特征征值值，且，。且3 =a?=+a; +22。a2.
(（II )）证证明明 rr(（AA)） == 22;；
(Ⅱ)若β=α;+α?+a?,求方程组Ax=β的通解.
（U）若P = a】++ a,,求方程组Ax = p的通解.
答答题题区区
…
1
12 a
-1 2 q -
Ⅱ£0(（22001188,,2211题题，，1111分分）)已已知知qa是是常常数数，，且且矩矩阵阵4A== 11 3 3 0 0可可经经初初等等列列变变换换化化为为矩矩阵阵BB ==
2 7 — a
_2 7 — a_
_ 11 a q 272一
00 11 11 1
-111
-1 1 1_
(（II)）求求aQ;；
(（ⅡH）)求求满满足足aApP ==B b的的可可逆逆矩矩阵阵Pp..
答答题题区区
·175 ·
-175 -数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(数教学学一一))
1匣2((2
2
0
0
19
1
,
9
6
,
题
6题
，，4
4
分
分
)如
)如
图
图
所
所
示
示
，
，
有
有
3张
3张
平
平
面
面
两
两
两
两
相交
相
，
交
交
，交
线
线
相
相
互
互
平
平
行
行
，
,
它它们们的的方方程程
aaiaXxx ++a aai2yy+ +a aaiz3z= d=, e(Z, i(t= 1=, 12,,23,3))
组组成成的的线线性性方方程程组组的的系系数数矩矩阵阵和和增增广广矩矩阵阵分分别别记记为为AA,2A,,则则
((AA)) rr((AA)) ==2 ,2 r,r((AA))= =3 .3.
(B)r(A)=2,r(A)= 2.
(B) r(A) = 2,r(A) = 2.
(
(
C
C
)
)
r
r
(
(
A
A
)
)
=
=1 ,
1
r
,r
(
(A
A)
)
=
=
2
2
.
.
((DD)) rr(A(A) )== 11, ,rr((AA)) ==1 .1.
答答题题区区
解题加速度
解题加速度
11.. (( 11999977,,数数四四，，3分3分)非)非齐齐次次线线性性方方程程组组AxA x== bb中中未未知知量量个个数数为为nn,,方方程程个个数数为为mm,,系系数数矩矩阵阵AA
的秩为r,则
的秩为r,则
((AA))rr ==m 时m，时方，方程程组组AAxx= =b 有8有解解.. ((rBB))r ==n 时n时，，方方程程组组AAxx= =b 有3有唯唯一一解解..
((CC))mm= n=时 n，时方，方程程组组AAxx= =b有。有唯唯一一解解.. ((DD))rr<AA～〜AA.. … ……
1 1 1 0 … 0 1
-1 1 …1 - ■0 — 0 1 ■
1 1 0 … 0 2
2 1 1 ... — 11 0 — 0 2
0(（22001144,,2211题题，，1111分分）)证证明明nn阶阶矩矩阵阵 与 与 : : 相相似似..
1 1 … 1 0… 0n.
_1 1 …1_ .0 …0 n _
答答题题区区
0（(22001166,,55题题，,44分分）)设设AA,,BB是是可可逆逆矩矩阵阵，，且且A4与与B相B似相，似则，则下下列列结结论论错错误误的的是是
( （ A A ) ） A A T T 与 与 B B T相 T相 似 似 . . （(BB）)&A?1i与与BB1 相1相似似。.
(（CC)）AA++AAT t 与 与B B + B+T B相1 相似似.. （(DD）)AA++AA?T1 与与 BB+ +B? B1 相' 相似似..
答答题逸区区
· 183 ·
. 183 .数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·・提提高高篇篇((数数学学一一))
1
尸
2007 210 1007
~2 0 0一 ~2 1 0~ 1 0 0-
EJ((22001177,,66题题，，44分分))已已知知矩矩阵阵4A == 0 0 2 2 1 1 , ,B B = = 0 0 2 2 0 0 , ,c C = = 0 0 2 2 0 0 ,则
L 0 0 0 0 1 - 1_ 0 0 0 0 1 . 1. 00 002 ]2_
((AA))A4与与CC相相似似，,BB与与CC相相似似.. ((BB))AA与与CC相相似似，，BB与与CC不不相相似似..
((CC))AA与与CC不不相相似似，,BB与与CC相相似似.. ((DD))AA与与CC不不相相似似，,BB与与CC不不相相似似.
答答题题区区
1
1107
一1 1 0-
r
5 ((22001188,,55题题，,44分分))下下列列矩矩阵阵中中，，与与矩矩阵阵 0 0 1 1 1 1 相相似似的的为为
001-
1 0 0 1_
[一1 1 ］ 1 1 --1r 10 0 -_1 r _ 1 i 1 1 -_1 r尸 一］100 - _ 1 r(
·
((AA)) 0 0 1 1 1 1 ・ ((BB)) 0 0 1 1 1 1 . ((CC)) 0 0 1 1 0 0 ・ ((DD)) 0 0 1 1 0 0
001 001 00 1 00 1
0 0 1 _ _0 0 1 _ 0 0 1 . 0 0 1 _
答答题题区区
06((2200222,25,题5题，，55分分)下)下述述四四个个条条件件中中，，三三阶阶矩矩阵阵A
A
可可对对角角化化的的一一个个充充分分不不必必要要条条件件是是
((AA)) AA有有3个3个互互不不相相等等的的特特征征值值..
((BB)) AA有有3个3个线线性性无无关关的的特特征征向向量量..
((C0)A4有有3个3个两两两两线线性性无无关关的的特特征征向向量量..
((ADD))A的的属属于于不不同同特特征征值值的的特特征征向向量量正正交交..
答答题题区区
·・ 11884 4·・第五章 特征值与特征向量
第五章特征值与特征向・
解解题题加加速速度度
300°尸
0 01
1 1 . . ( ( 2 2 0 0 0 0 9 9 , . 数 数 三 三 ， ，4 4 分 分 ) )设 设 α a = = ( 1 ( , l 1 , , l 1 ,l ) ) π T , ,p β = = (1(,l0,0,kM)T).T若.若矩阵矩α阵βT相相似似于于0o 0o 0o ,,则则龙k ==
000.
0 0
满算空间
1 0 0
10 0'
0-10
22.. ((22002222,,教数二二，，55分分))设设4A为为三三阶阶矩矩阵阵,，4 A== 0-10,，则则4A的的特特征征值值为为11,,-一1,10,。的的充充分分必必
0 0 0
0 0 0.
要要条条件件是是
((AA))存存在在可可逆逆矩矩阵阵PP,,。Q,,使使得得AA == PPAAQQ.. ((BB))存存在在可可逆逆矩矩阵阵PP,,使使得得AA == P PAAP-P1 .\
( ( C C ) ) 存 存 在 在正 正 交 交 矩 矩 阵 阵 Q Q ， , 使 使 得 得 A A = = Q A Q Q A - Q 1 . '. ((DD))存存在在可可逆逆矩矩阵阵P,P使,使得得A A== PPAAPPT t ..
演算空间
三三、、畏并罪于梅相似似时时可可逆逆^矩障阵尸P
斌题特点
P^1A AP=PA=时 A，时A是,A由是A的由4特的征特值征组值成组的成对的角对阵角，阵P,是P由是A由的A特的征特向征量向作量为作列为向列量向量组组成成的的矩矩阵阵，,
要要意意识识到到这这类类题题目目实实际际上上就就是是求求矩矩阵阵AA特特征征值值和和特特征征向向量量的的另另一一种种出出题题方方法法..这这类类试试题题往往往往会会涉涉
及处理一些参数
及处理一些参数.
练练习习题题加加速速度度中中11题题和和22题题是是常常规规题题型型，，而而练练习习题题33是是用用食合感成的的方方法法求求可可逆逆矩矩阵阵P. P(.P(TP'1AAPP,?==
BB,,时P? B'PB,P =?= CC=→>KP'1AAPP == CC,,PP= =P ?PPi?P)Q
·185 ·
. 185 .数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·-提提高高篇篇(（数数学学一一)）
1
■ 0 0 2 2 —3 - ” 31 「 1 1 _ -2 2 0 0-
版|(（22001155,,2211题题，，1111分分）)设设矩矩阵阵AA == ~ - 1 1 3 3- - 3 3 相相似似于于矩矩阵阵 B B = = 0 0 6 b 0 0
1 —2 aa」 L0O 3 3 1.1.
_ 1 -2
(（II)）求求a,b的的值值；；
(
（
Ⅱ
n
)
）
求
求
可
可
逆
逆
矩
矩
阵
阵
P,
p
使,P
使
-1A
p
P^为
a
对
p
角
为
矩
对
阵
角
.
矩
公
阵
众
答答题题区区
0-11]
-0 r
2-30
08((（22001166,,2211题题，，1111分分）)已已知知矩矩阵阵AA == 2 -3 o .
曲
00 0
0 0 o.
(
（
I
I
)
）
求求A”妒;；
(
（
Ⅱ
n）
)
设
设
三
三
阶
阶
矩
矩
阵
阵
b
B== [3a;,az
,
,
皿
a
］
?
满
]满
足
足 b2B
=
2=
B
B
A
A,，记记B
E
1。0。0== [SB, B,B],将将B
A
,B，,
j
分分别别表表示示
为a?,az,a?的线性组合.
为。1 ,口2，口3的线性组合.
答答题题区区
·186 ·
・186・第五章 特征值与特征向量 ?
第五章特征值与特征向・
21 0°
■ - -2 2- - 2 2 1 1 一 ■2 1 。-
09((22001199,,2211题题，，1111分分))已已知知矩矩阵阵 A A = = 2 2 X x— -2 2 与与 8 B = = 0 0 - -1 1 0 0 相 相 似 似 . .
0 0-2- 0 0 y
.0 0 -2. 0 0 y.
((II ))求求x
x
,
,
y
y
;
j
((ⅡH))求求可可逆逆矩矩阵阵P使使得得P-1lAAPP == BB..
P P
答答题题区区
0皿(2(022002,02,12题1题，,1111分分))设设A为为二二阶阶矩矩阵阵，P=[a,Aa必],]其,其中中α是是非非零零向向量量且且不不是是A的的特特征征向向量量..
4 ,P=[a, a 4
((II))证证明明P为为可可逆逆矩矩阵阵..
P
((Ⅱ口))若若AA22αa ++ AAαa--66αa ==0,。求，求P1A并P,并判判断断A是否是相否似相似于于对对角角矩矩阵阵..
4
答答题题区区
·187 ·
-187 •►
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·
•
提
»
高*篇
»
(（数数学学一一)）
Q;
解题加速度
解题加速度
-2007 -1 0 0
-2 0 0" 1 0 0一
2 x 2 ,B= 020
1 1 . . ( （ 1 1 9 99 9 2 2 . , 数 数 三 三，， 7分 7分 ）设 )设 矩 矩 阵 阵 4 A 与 与 B B相 相 似 似 ， ，其 其 中 中 A A = = 2 X 2 ,B = 0 2 0
311 0 0 y
.3 1 1. _ 0 0 y~
（(II )）求求x工和和y的、值的值；；
(
（
Ⅱ
n
)
）
求
求
可
可
逆
逆
矩
矩
阵
阵
P
p
,
,
使
使
P
k
-1'A
a
P
p
== B
b
..
演算空间
3 2 -2
-3 2 -2-
22..(（11999999,,数数四四，，7分7分）设)设矩矩阵阵AA== — —龙 k - — 1 1 k k ,，问问当当k人为为何何值值时时，，存存在在可可逆逆矩矩阵阵PP,,使使得得
4 2 —3.
_ 4 2 -3.
PP1^A AP为P为对对角角矩矩阵阵?并？并求求出出P
P
和和相相应应的的对对角角矩矩阵阵..
演算空间
。188·
・188・第五章 特征值与特征向量
第五章特征值与特征向量 <
3.(2005,数四，13分)设A为3阶矩阵，an,az,a?是线性无关的三维列向量，且满足
3.（2005,数四，13分）设A为3阶矩阵，垢,a2 ,a3是线性无关的三维列向量，且满足
Aai=ai+a?+a?,Aa?=2a?+a?,Aa?=2a?+3a?.
Aat = ai +a2 +a3 ,Aa2 — 2a2 + a3 >Aa3 = 2% + 3a3.
(I)求矩阵B,使得A[an,az,a?]=[a:,a?,a?]B;
(I)求矩阵 B,使得 A[ai ,a2 ,a3] = [ai >a2 ,a3]B；
(
(
Ⅱ
H
)
)
求求矩矩阵阵A
A
的的特特征征值值；；
(
(I
Ⅲ
D
)
)
求求可可逆逆矩矩阵阵P
P
,
,
使使得得P-
r
1
'
A
A
P为
P
对为对角角矩矩阵阵。.
演演酉算空空间间
<9
四、、实实时时秒称蜷矩阵阵
试题特点
试圄特点
实实对对称称矩矩阵阵有有几几个个重重要要的的定定理理，，例例如如：：实实对对称称矩矩阵阵一一定定和和对对角角矩矩阵阵相相似似（(不不管管特特征征值值有有没没有有重重
根根)）;；实实对对称称矩矩阵阵特特征征值值不不同同时时特特征征向向量量必必相相互互正正交交（(由由此此有有内内积积为为00,,从从而而可可构构造造齐齐次次方方程程组组求求特特
征征向向量量)）;；实实对对称称矩矩阵阵可可以以用用正正交交矩矩阵阵来来相相似似对对角角化化..试试题题就就是是围围绕绕这这些些定定理理来来设设计计的的..此此部部分分内内
容容是是考考研研的的重重点点，，特特别别要要复复习习好好综综合合性性强强的的解解答答题题..
[Ⅱfj(（22001100,,66题题,，4 7 分4分）设)设4A为为44阶阶实实对对称称矩矩阵阵，且，A且2 +AA2+ A== 0O..若若A4的 7 的秩秩为为33,,则则AA相相似似于于
1 1 [11
1 · 1
1 1
((AA))
1 .
((BB))
-1 .
1 -1
0
- 00]_ - 0_
[_11 [--11 -]
-1 -1
-1 · -1
((CC))
-1
・ ((DD))
-1
-1 -1
- 00]_ - 00].
答答题题区区
·189 ·
. 189 .数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇(数学一)
7 7 71
11° = -11
00 0 0
②匣((2
2
0
0
1
1
1
1
,
,
2
2
1
1
题题，，1 1
1
1分分))设设A
4
为为三三阶阶实实对对称称矩矩阵阵，
,4
A的的秩秩为为
2
2, ,且且A
A 0 0=00
——11 1.1J L 11 1.1.
(I)求A的所有特征值与特征向量；公众
(I )求4的所有特征值与特征向
(Ⅱ)求矩阵A.
(口)求矩阵A
答答题题区区
7
1 a 1 200°
"1 al] 「2 0 0"
B [g (2 (2 01 0 3 1 , 3 6 , 题 6题， , 4 4 分分))矩矩阵阵a a b b a a 与与 0 0 b 5 0 0相相似似的的充充分分必必要要条条件件为为
1 a 1. 000
公众号：酱子考研 0.
((AA))aa == 00,,6b ==2 2.. (a(BB))a ==0 ,0b,为6为任任意意常常数数..
((CC))aa == 22,,5b ==0 0.. (a(DD))a ==2 ,2b,为6为任任意意常常数数..
答答题题区区
a
1 -1
-a 1 — 1"
[1£4((22002211,,2211 题题，，121 分2分)设)设矩矩阵阵 A A== 1 1 a a - - 1 1 1 .
-1 —1 a
-1 -1 a .
((II) )求求正正交交矩矩阵阵PP,使,使PTPATPA为P对为对角角矩矩阵阵；；
((Ⅱn ))求求正正定定矩矩阵阵cC,使,使CC22== ((aa ++3 )3E)-EA-,A其,中其E中为E三为阶三单阶单位位矩矩阵阵..
答题区
答题区
· 190 ·
・190・第五章 特征值与特征向量
第五章特征值与特征向量
；
（8 解题加速度
解题加速度
尸
a 1 1
a 1 1 -
1 1 . . (（2 2 0 0 0 0 2 2 , , 数 效 四 四 . . 8 8 分 分 ） ) 设 设 实 实 对 对 称 称 矩 矩 阵 阵 A A = = 1 1 a a - - 1 1,，求求可可逆逆矩矩阵阵PP,,使使PP1~AAPP为为对对角角形形矩矩
1 —1 a
—1 CL
阵阵，，并并计计算算行行列列式式I |AA —— EE| 的|的值值..
演算箜间
演算空间
1 )广 [ - 1 1 -
22.. (（22000011,,数数三三、、数数四四，9，分9 分设)设矩矩阵阵A A== 1 1 a a 1 1 ,β= 1 1 ,，已已知知线线性性方方程程组组AAxx ==β。有有解解
a 11.
1 1_ _—-22._
但但不不唯唯一一，，试试求求：：（I( I）)aa的的值值；；（(HⅡ）)正正交交矩矩阵阵QQ,,使使QQπLA4QQ为为对对角角矩矩阵阵..
演鼻空回
小结
小结
通通过过这这几几道道试试题题，，希希望望你你能能很很好好地地归归纳纳一一下下，，实实对对称称矩矩阵阵都都有有哪哪些些求求特特征征值值、、特特征征向向量量的的方方法法
技技巧巧..
· 191 ·
. 191 .数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学一）
第六章 二次型
第六季 二友型
本章导读
本章导读
二二次次型型实实际际上上是是特特征征值值的的几几何何应应用用，，复复习习二二次次型型就就一一定定要要搞搞清清它它与与特特征征值值、、特特征征向向量量之之间间的的
内内在在联联系系。.
考考点点主主要要有有三三个个：：第第一一个个是是二二次次型型化化标标准准形形的的正正、、反反两两方方面面的的问问题题，，依依托托的的是是特特征征值值、、特特征征向向
量量相相似似对对角角化化的的理理论论与与方方法法；；第第二二个个是是二二次次型型的的正正定定性性，，既既有有正正定定的的判判定定，，又又有有正正定定性性质质的的运运用用，，
也都会涉及特征值；第三个是合同，它是由二次型经坐标变换引申出来的概念.
也都会涉及特征值；笫三个是合同，它是由二次型经坐标变换引申出来的概念.
数学一中还常有二次型与二次曲面相沟通的试题.
数学一中还常有二次型与二次曲面相沟通的试题.
真题分类练习
真题分类练习
一
-、
、二二次次型婴概概念念与与标坤准胜形彤
试题特点
试题特点
用用正正交交变变换换化化二二次次型型为为标标准准形形，,求求其其标标准准就就是是求求二二次次型型矩矩阵阵4A的的特特征征值值，，求求坐坐标标变变换换就就是是求求AA
的的特特征征向向量量..
若若求求二二次次型型的的表表达达式式就就是是求求矩矩阵阵AA,,这这样样的的试试题题一一般般都都是是实实对对称称矩矩阵阵试试题题的的翻翻版版..
（1）(（2200090,92,211题题，，1111分分)）设设二二次次型型
f(x?,x?,x?)=ax1+axi+(a-1)x2+2x?x?—2x?x?.
/（xi ,x2，了3）= ar? +arz + （a — 1）x1 + 2x}x3 — 2x2x3.
(（II) ）求求二二次次型型f的
f
矩的阵矩的阵所的有所特有征特征值值；；
(Ⅱ)若二次型f的规范形为yi+y2,求a的值.
（n）若二次型，的规范形为员+崩，求a的值.
答题区
答题区
·192 ·
. 192 .第第六六章章二二次次型型(?
2(2010,21题，11分)已知二次型f(x?,x?,x?)=x?Ax在正交变换x=Qy下的标准形为
（2010,21题，11分）已知二次型，（而，五，了3）= xrAx在正交变换 =如下的标准形为
x
( √2 ，。钊√②) T ·
y
yi
^
+
+
y
y
2
l
,，且且Q
Q
的的第第33列列为为
2
,0,1
2
(I)求矩阵A;
（I）求矩阵4；
(（ⅡH)）证证明明A+E为正为定正矩定阵矩，阵其，其中中EE为为三三阶阶单单位位矩矩阵阵..
A + E
答答题题区区 「
03(（22001111,,1133题题,，4分4分）若)若二二次曲次面曲的面方的程方x2程 +x 32/+ 3+yz22+ +z2 l+a2xayx +y+ I2xxzz ++ 22y”z ==4 经4经正正交交变变换换
化化为为y"1
+
+
4
4好z2==
4
4, ,则则
a
a
=
=
.
_.
答答题题区区
1 0 1
_ 1 0 1 -
0 1 1
(
<
2
2
0
0
1
1
2
2,
,
2
2
1
1 题题，，11 1 1分分）)已已知知
A
A
=
= 0 1 1 ,，二二次次型型 六f(刀x?，,互xz％,x?))== xx?t( ( A A TtA A ) ) xx的的秩秩为为22..
1 0 a
-1 0 a
0 a —1.
-0 a — 1.
(（II)）求求实实数数a的。的值值；；
(（Ⅱn）)求求正正交交变变换换Xx ==Q ©y将将二二次次型型ff化化为为标标准准形形..
答答题题区区
·・11939 3·・数学历数年学真历题年真全题精全解精析解·析提• m高篇a(数学一)
15^((22001133,,22 n1d 1 u 题题 7 ，，111 分1b分)b设b)设二二次型次 型/(xf(i x,x?2, >xx?3,) x=? )2=(2ai(Xai? x+? a + 2 a x ? 2 x + ? +aa 3x ?x 3 ) ? 2 ) + 2+ ( ( b b? m x ? + + b b 2 ? x x 2 ? + +
b?]
·
b b3 ? x x 3 ? ) ) z 2 ， , 记 记 a α = = 5 , ，。 β = = b b ? t
必一
43-3-
((II))证 证明明二二次次型型ff对对应应的的矩矩阵阵为为22皿o丁m? ++部律；。
(
(
Ⅱ
II
)
)
若若α
a
β
,p
正正交交且且均均为为单单位位向向量量，，证证明明，f在在正正交交变变换换下下的的标标准准形形为为
2
2y
"
i
+
+y展t..
答题区
答题区
06((22001144,,1133题 题，,44 分分))设设二二次次型型 /(fx(ix ?,x,2x »zx,3x) ?=) =xx\1 —-xz2； +42-a2ra;zxix?3+ +4x4?xx2?x的3 的负负惯惯性性指指数数为为 11,,
则则aQ的的取取值范值围范是围 是 _..
答答题题区区
❷((22001155,,66题题,，4分4分)设)设二二次次型型，(f勾(xg?,x，?了,3)x?在)在正交正变交换变x换^xP=Pyy下下的的标标准准形形为为2y2\y i+y?一-y法3,，
其其中中
P
P ==[e［?跖,
,
e
e
z
2
,,。e
3
?〕]，,若若
Q
Q =
=
[e［?幻,，-e一s。,
3
e，?如]］,，则则f
/
(
(
x
x
?
j
, x
,x
?
2
,
»
x
x
?
3
)
)
在在正正交交变变换换x
x
=
=
Q
Q
y下 y下的的标标准准形形为为
((AA))22^yi 1—-y掳i ++y奔}. ((BB))22y寸2 ++y y2z— —y乂3.. ( (0 C 2 ) ^ 2 1 y i — - y y l i 一 -y ' 3 ； . ・ ( ( D D ) ) 2 2^ y i i + +y y i l + + y3 、 . ；・
答答题题区区
-
·
1
1
9
9
4
4 ·・噂 第六章二二次次型型
08(2（2001166,,66题 题，，44分分）)设设二二次次型型 /（fx(i x,)x,2 x,x?3,）x=?)房=x+1我+x 1++工x1；++4 4xx?ixx?t ++4 x4?xxix?3+ +4x 4?xx2x?3,,则则f f(（xH?\,，
x
x
?
2
,
,x
x?
3）
) =
=
2 在 2在空空间间直直角角坐坐标标下下表表示示的的二二次次曲曲面面为为
( （ A A ) ） 单单叶叶双双曲曲面面.. （(BB）)双双叶叶双双曲曲面面..
(（CO)椭椭球球面面.. （(DD)）柱柱面面。.
答题区
答题区
0(（22001177,,221 1题题，，11 1分1分）设)设二次二型次 型/（xfj( ,xx?2, ,xx?3,） x=? )2=x2? x一1工-x；ǐ+a+ar；r }++22而x?0x ?—-88x乃?工x3? ++22x了?注x?3 在在
正正交交变变换换xx ==Qy Q下y的下标的准标形准为形λ为?；lyu2；+ λ+X?2yy2l,，求求aa的的值值及及一一个个正正交交矩矩阵阵QQ..
答答题颌区区 ，..，，
①皿(（22001188,,2200题题，，111 分1分）设)设实实二二次次型型，（f工( 1 x,x?i, ,xx?3,） x=? )（=x(j x—?x-2x +?+xx3?）)2 2++ （(xx2? ++xx?3)）22 ++(（xx?j ++aax?r3)）22,,
其其中中a
a
是是参参数数..
（(II)）求求f (/x（X?1, ,xx?2, ,xx?3)） ==0 的0 解的解；；
（(ⅡU）)求求f/(x（X?,l x,X?,2x，工?)3的）的规规范范形形。.
。195 ·
. 195 .数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇数学一）
Ⅱ[1]((22001199,,55题题，,44分分))设设AA是是33阶阶实实对对称称矩矩阵阵,E，是E是三三阶单阶位单矩位阵矩.阵若A，2若+AA2 =+A 2=E2E,且,且| A|A |l ==4 4,,
则则二二次次型型x
x
?
t
AAx
x
的的规规范范形形为为
((AA)顼y1 ++境y? ++y犹3.. ( ( B B ) ) > y i 1 + + y y I 2 — -y y 3 l> .
(C)y1-y?—y3. (D)-y?-y3—y3.
(j>Ci) — y 2 — yl. (D) — y\— y 2 — yl-
答答题题区区
(x?' (yh'
[£（2020,20题，11 分）设二次型 /（xt，工z） = X； -4x,x2+4xi 经正交变换（：）=。（了 ）化为
12(2020,20题，11分)设二次型f(x?,x?)=x1-4x:x?+4x2经正交变换 =Q| 化为
x? y?
二二次次型型
g
g(
（y
y
i
? ,y?
）
)
=
=
a
a
y
y
\
1 +4y?
y
y
2
? ++b 如y2；,，其其中中 a
a
≥
^b
b
.
.
(（II )）求求a,"b值值..
(（Ⅱ11)）求求正正交交矩矩阵阵Q0.
答答题题区区
HG3((22002211,5, 5题题，5， 分5分)二)次二型次
f
型 (工f
1
( ,x工?
2
,
9
x
^3
?
)
,x
=
? )
&
=
1
( x+? 了+
2
x
)
?
2
)
+
2 +
&
(
2
x ?
+
+ x工?
3 )
)
2
2
—
-(
(
x
X
?
3
-
—
x ?
X
)
]
2
)2
的 的正正惯惯性性
指指数数与与负负惯惯性性指指数数依依次次为为
((AA))22,,00.. ((BB))1l,,1l.. ((0C)22,,11.. ((DD))1l,,22..
答答题题区区
· 196 ·
・196・第第六六章章 二二次次型型
3 3
3 3
圜
?(2
(
0
2
2
0
2
2
,
2
2
,2
1
1
题
题
，，1 1
2
2
分
分
)已
)已
知
知
二
二
次型
次
顶
型
(
f
而
(
，
x
五
i,
，
x
无
?,
)
x
=
?)=22jxa
皿
xj
"
,
i=1j-1
«-1 )-1
(I)写出f(x?,x?,x?)对应的矩阵；
(I )写出/(X1 ,x2 ,x3)对应的矩阵；
(Ⅱ)求正交变换x= Qy,把f(x?,x?,x?)化为标准形；
(n )求正交变换x = Qy9把f(工】,x2 ,x3)化为标准形；
((ⅢID))求求 ff( (x工?1 ,,x了?2 ,»Xx?3)) ==0 的0 的解解。.
答答题题区区
解解题题加加速速度度
(B;
_,
1.(2004,数三，4分)二次型f(x?,x?,x?)=(x?+x?)2+(x?-x?)2+(x?+x?)2的秩为
1, (2004,数三，4 分)二次型 f (工1，了z，工3)= (xi + x2)2 + (x2 — x3)2 + (x3 + X] )2 的秩为
2.(2003,数三，13分)设二次型
2. (2003,教三，13分)设二次型
f/((xxi? ,,xx2 ?,x,3x) ?=) =xxTA?xA x== aarxi1 ++2 2xx2j -—2 x2瑟3+ +2b 2xb?iixX?3 ,,((6b >>0 0)),,
其其中中二二次次型型的的矩矩阵阵AA的的特特征征值值之之和和为为11,,特特征征值值之之积积为为—一 1122..
((II))求 求a,b^的5的值值；；
((ⅡII)) 利利用用正正交交变变换换将将二二次次型型f，化化为为标标准准形形，，并并写写出出所所用用的的正正交交变变换换和和对对应应的的正正交交矩矩阵阵..
· 197 ·
. 197 .数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提
提
高
高
篇
篇
(
（
数
数
学
学
一
一
)
）
3
3.
. (
(
2
2
0
0
2
2
2
2
.
.
数
数二
二
.
.
1
1
2
2
分
分
)
)
已
已
知
知
二
二
次
次
型
型
/(
f
x
(
i
x
,
?
i
,
z
x
,
z
x
,
3
x)?
=
) =
3
3
x
x
i
1
+
+4
4
x
x
2
|
+
+
3
3
x
x
3
*
+ 2
+
x
2
?
x
x?
ix
.
s.
(
(
I
I
)
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求
求
正
正
交
文
变
变
换
换
x
x
=
=
Qy
Q
将
y
f
将
(x
/
?
'(
,
了
x?
1 ,
,
丑
x?
，
)
了
化 3)为
化
标
为
准
标准
形
形
；
；
((ⅡU ))证证明明：：mmiinn f ' ( ¥ x) )==2 2..
x1x
xx学#» x x
二二、、二二次* 型■的的正正定定
试题特点
试题特点
围绕正定的定义“Vx≠0必有x?Ax>0”设计的试题一般难度较大，其中需用特征值(参看
围绕正定的定义“ Vx夭0必有xTAx > 0"设计的试题一般难度较大，其中需用特征值（参看
2
2
0
0
1
1
0
0
年年试试题题)、）、顺顺序序主主子子式式的的考考题题是是较较容容易易的的。.
复复习习时时，
，注
注
意
意
考
考
定
定
义
义
法
法
的
的题
题
(
（
参
参
看
看
下
下
面
面
的
的
解
解
题
题
加
加
速
速
度
度
)
）
.
.
解解题题加加速速度度
（□J
11.. (（11999977 ..数数三三..33 分分）)若若二二次次型型 /f（(xxi ?,x,zx ,?x,3x）? =)== 22xx?1 ++工x1；+x3+2+x? 2xx?i+xt2 x+? xt?r是2x3正 是定正的定，的则，则t t
的的取取值值范围范是围 是 _..
22.. (1（ 919999,9数.数三三，，77分分)设设AA为^mj×mnX实n矩实阵矩，阵E，E为为n阶"阶单单位位矩矩阵阵，，已已知知矩矩阵阵BB= =λ EA+EA+TAA,T试A证,试：证：
当当义λ>>00时时，，矩矩阵阵BB为为正正定定矩矩阵阵..
· 198 ·
. 198 .第六章 二次型
第六童二次型
33.. (2(200000,0数,数三三，，99分分 )设设有有n元n元实实二二次次型型
/
f((X x
1
?
,
,
x
x
2
?
, —
,…
,x
,
,)
x ,
=
)=
(
(
X1
x ?
+
+
%
a
及
?x
)
?
2
)
+
2+
(
(
x
x
2
?
+
+a
a
?
2x
x
3
?
)
)
z
2
+
+ …
…
+
+
(x(H ?
«
-
-
i
i
+
+
a
a
?
^
1
i
x
X
,
,
)
)
2
2
+
+
( x
(x
,
„
+
+
a,
a
x
.X
?) i)2
2
其中a,(i=1,2,…,n)为实数.试问：当a?,a?,…,a。满足何种条件时，二次型f(x?,x?,…,x,)为
其中a,(i = 1»2»— »n)为实数.试问：当ai ,a? ,••• ,a“满足何种条件时，二次型/(xi ,x2，…，丁“)为
正定二次型，
正定二次型.
[ - A A C C"]
44.. (2(020050,5数,数三三，.1133分分)设设DD== _CeT B. 为为正正定定矩矩阵阵，，其其中中AA,B,B分分别别为为m阶m，阶n，阶n对阶称对称矩矩阵阵，,CC为为
LC1 BJ
mm×Xnn阶阶矩矩阵阵..
[E. —A-1C°1
(I) 计算P5P,其中》=［冒~A£C 5
(I)计算PπDP,其中P= ;
0 E.
((ⅡII)) 利利用用((II) 的)的结结果果判判断断矩矩阵阵B-BCT-AC-^1CA是1 C否是为否正为定正矩定阵矩，阵并，证并明证明你你的的结结论论。.
演弹空间
· 199 .
. 199 .数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇((数数学学一一))
三M、、合舍同周矩矩阵阵
试题特点
不是重点，填空题、选择题为主.
不是重点，填空题、选择题为主.
A≈B?p?= Pg,qa=q?
A ~ BepA = pB , PP((AA))PP((BB))..
((PCC()A)PB()AB) ≤V P热(A)二
2
+P()B)\ ((DD))PP((AABB))≥ 2 P(A)
2
+P(廷B)).
乙 u
答答题题区区
日((22001177,7, 7题题，4， 分4)分设 )A设,BA 为,B随为机随事机件，事若 件0 <， P若(A0)< >
P
P
(
(
A
A
丨
|
B
B
)的 )的充充分分必必要要条条件件是是
((AA))PP((BB || AA)) >>P P((BB| A| )A.).
(P(B(BB))P( B| |AA)) V
>P P((BBI A| A).). ((PDD(B))P(B |I AA)) <
