文档内容
® YIWU JIAOYU JIAOKESHU
义
SHUXUE 务
教
3
育
八年级
教
科
义务教育教科书
书
（ （五·四学制）
五
·
四
上册
学
制
）
数学 八年级 上册
数
数学
学
八
年
级
上
册
绿色印刷产品
定价：8.20元
数学八年级上封面.indd 1 2014.3.20 3:07:53 PM义 务 教 育 教 科 书
（五·四学制）
数 学
八年级
上册
人民教育出版社 课程教材研究所
编著
中学数学课程教材研究开发中心
·北 京·主 编：林 群
副 主 编：田载今 薛 彬 李海东
本册主编：俞求是
主要编写人员：刘长明 李海东 李龙才 章建跃 王 冰
责任编辑：李海东
美术编辑：王俊宏
封面设计：吕 旻 王俊宏
插 图：王俊宏 文鲁工作室（封面）
义务教育教科书（五·四学制） 数学 八年级 上册
人民教育出版社 课程教材研究所
编著
中学数学课程教材研究开发中心
出 版
（北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼 邮编：100081）
网 址 http://www.pep.com.cn
重 印 黑龙江出版集团
发 行 黑龙江省新华书店
印 刷 黑龙江新华印刷二厂
版 次 2014年3月第1版
印 次 2018年7月第5次印刷
开 本 787毫米×1092毫米 1/16
印 张 8.25
字 数 135千字
书 号 ISBN 978-7-107-28023-8
定 价 8.50元
版权所有·未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分·违者必究
如发现内容质量问题，请登录中小学教材意见反馈平台：jcyjfk.pep.com.cn
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厂址：哈尔滨市阿城区通城街 电话：0451-53755467 邮编：150301
质量监督电话：0451-84632411本册导引
亲爱的同学，八年级的数学学习就要开始了。
你将要学习的这本书是我们根据 《义务教育数学课程标准 （２０１１年版）》
编写的教科书，这是你在六～九年级要学习的八册数学教科书中的第五册。
在我们周围的世界，你会看到许多美丽的轴对称图形，在 “轴对称”一章
中，我们将对轴对称图形作专门的研究，并学习画出各种轴对称图形，了解轴
对称图形的知识在实践中的广泛应用。另外，在这一章，你会对等腰三角形这
种重要的几何图形有进一步的认识。
我们知道，可以用字母表示数，用含有字母的式子表示实际问题中的数量
关系。在 “整式的乘法与因式分解”一章中，通过对整式的乘法运算的讨论，
你将学到许多常用的重要运算性质和公式，知道更多的数量关系，加深对 “从
数到式”这个由具体到抽象的过程的认识。
数有整数与分数之分，式也有整式与分式之别。在 “分式”一章你将看
到，分式与分数就像姐妹一样，有很多共同的特征，在分式的身上你能很容易
地找到分数的影子。学习了分式，你会认识到它是我们研究数量关系并用来解
决问题的重要工具。
我们已经学过整式与分式，知道实际问题中的很多数量关系可以用它们表
示。本册我们再来学习 “二次根式”．掌握二次根式的内容，我们就能够解决
更多的数量关系问题。
数学伴着我们成长，数学伴着我们进步，数学伴着我们成功，让我们一起
随着这本书，继续畅游神奇、美妙的数学世界吧！目 录
第二十章 轴对称
２０．１ 轴对称 ２
２０．２ 画轴对称图形 １１
信息技术应用 用轴对称进行图案设计 １７
２０．３ 等腰三角形 １９
实验与探究 三角形中边与角之间的不等关系 ２８
２０．４ 课题学习 最短路径问题 ２９
数学活动
３２
小结
３４
复习题２０
３５
第二十一章 整式的乘法与因式分解
２１．１ 整式的乘法 ３９
２１．２ 乘法公式 ５１
阅读与思考 杨辉三角 ５７
２１．３ 因式分解 ５８
阅读与思考 狓２＋（狆＋狇）狓＋狆狇型式子的
因式分解 ６５
数学活动
６６
小结
６７
复习题２１
６８第二十二章 分式
２２．１ 分式 ７１
２２．２ 分式的运算 ７９
阅读与思考 容器中的水能倒完吗 ９２
２２．３ 分式方程 ９３
数学活动
１００
小结
１０１
复习题２２
１０２
第二十三章 二次根式
２３．１ 二次根式 １０５
２３．２ 二次根式的乘除 １０９
２３．３ 二次根式的加减 １１５
阅读与思考 海伦—秦九韶公式 １１９
数学活动
１２０
小结
１２１
复习题２３
１２２
部分中英文词汇索引
１２４第二十章 轴对称
我们生活在一个充满对称的世界中：许多建
筑都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对
称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生
长，中国的方块字中有些也具有对称性……对称
给我们带来多少美的感受！
轴对称是一种重要的对称．本章我们将从生活
中的对称出发，学习几何图形的轴对称，并利用
轴对称来研究等腰三角形，进而通过推理论证得
到等腰三角形、等边三角形的性质和判定方法，
由此可以体会图形变化在几何研究中的作用．
让我们一起探索轴对称的奥秘吧！
书书书２０．１ 轴对称
２０．１．１ 轴对称
对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至
日常生活用品中，人们都可以找到对称的例子 （图２０．１１）．
图２０．１１
如图２０．１２，把一张纸对折，剪出
一个图案 （折痕处不要完全剪断），再打
开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花．
观察得到的窗花，你能发现它们有什么
共同的特点吗？
像窗花一样，如果一个平面图形沿一
条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形就叫做轴对称图形 （ａｘｉ
ｓｙｍｍｅｔｒｉｃｆｉｇｕｒｅ），这条直线就是它的对
称轴 （ａｘｉｓｏｆｓｙｍｍｅｔｒｙ）．这时，我们也
说这个图形关于这条直线 （成轴）对称． 图２０．１２
你能举出一些轴对称图形的例子吗？
２
!"#$%&’(
下面的每对图形有什么共同特点？
A
B
C
图２０．１３
把图２０．１３中的每一对图形沿着虚线折叠，
左边的图形能与右边的图形重合．
像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，
请你标出图２０．１３
如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个
中点犃，犅，犆的对称
图形关于这条直线 （成轴）对称，这条直线叫做 点犃′，犅′，犆′．
对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点
（ｓｙｍｍｅｔｒｉｃｐｏｉｎｔｓ）．你能再举出一些两个图形成
轴对称的例子吗？
成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两
个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？
把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形．把一个轴
对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称．
M
A A
如图２０．１４，△犃犅犆和△犃′犅′犆′关于直线
P
犕犖对称，点犃′，犅′，犆′分别是点犃，犅，犆
的对称点，线段犃犃′，犅犅′，犆犆′与直线犕犖 B B
有什么关系？
C C
N
图２０．１４
３
!"#$%&’(图２０．１４中，点犃，犃′是对称点，设犃犃′交对称轴犕犖于点犘，将
△犃犅犆或△犃′犅′犆′沿犕犖折叠后，点犃与犃′重合．于是有
犃犘＝犘犃′，∠犕犘犃＝∠犕犘犃′＝９０°．
对于其他的对应点，如点犅与犅′，点犆与犆′也有类似的情况．因此，对
称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，
叫做这条线段的垂直平分线 （ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒｂｉｓｅｃ
l
ｔｏｒ）．这样，我们就得到图形轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称
A A
轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对
B B
应点所连线段的垂直平分线．例如图２０．１５中，犾
垂直平分犃犃′，犾垂直平分犅犅′． 图２０．１５
１．如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．
（１） （２） （３） （４） （５）
（第１题）
２．如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，指出它们的对称轴，
并找出一对对称点．
（１） （２） （３）
（第２题）
４
!"#$%&’(
书书书２０．１．２ 线段的垂直平分线的性质
P
3
如图２０．１６，直线犾垂直平分线段犃犅，犘， P
2
１
P
犘，犘，…是犾上的点，分别量一量点犘，犘， 1
２ ３ １ ２
A B
犘，…到点犃与点犅的距离，你有什么发现？
３
l
图２０．１６
可以发现，点犘，犘，犘，…到点犃的距离与它们到点犅的距离分别相
１ ２ ３
等．如果把线段犃犅沿直线犾对折，线段犘犃与犘犅、线段犘犃与犘犅、线段
１ １ ２ ２
犘犃与犘犅……都是重合的，因此它们也分别相等．
３ ３
由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
利用判定两个三角形全等的方法，也可以证明这个性质．
如图２０．１７，直线犾⊥犃犅，垂足为犆，犃犆＝犆犅，点犘在犾上．求
证犘犃＝犘犅．
证明：∵ 犾⊥犃犅，
l
∴ ∠犘犆犃＝∠犘犆犅． P
又 犃犆＝犆犅，犘犆＝犘犆，
∴ △犘犆犃≌△犘犆犅（ＳＡＳ）． A B
C
∴ 犘犃＝犘犅．
图２０．１７
反过来，如果犘犃＝犘犅，那么点犘是否在线段犃犅的垂直平分线上呢？
通过证明可以得到：
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂
你能证明这个
直平分线上．
结论吗？
从上面两个结论可以看出：在线段犃犅的垂直
平分线犾上的点与犃，犅的距离都相等；反过来，
与犃，犅的距离相等的点都在犾上，所以直线犾可
以看成与两点犃，犅的距离相等的所有点的集合．
５
!"#$%&’(例１ 尺规作图：经过已知直线外一点作这条
C
直线的垂线．
已知：直线犃犅和犃犅外一点犆（图２０．１８）
D E
求作：犃犅的垂线，使它经过点犆． A K B
作法：（１）任意取一点犓，使点犓和点犆在 F
图２０．１８
犃犅的两旁．
（２）以点犆为圆心，犆犓长为半径作弧，交
犃犅于点犇和犈．
１
（３）分别以点犇和点犈为圆心，大于 犇犈 想一想，为什
２
么直线犆犉就是所
的长为半径作弧，两弧相交于点犉．
求作的垂线？
（４）作直线犆犉．
直线犆犉就是所求作的垂线．
１．如图，犃犇⊥犅犆，犅犇＝犇犆，点犆在犃犈的垂直平分线上．犃犅，犃犆，犆犈的
长度有什么关系？犃犅＋犅犇与犇犈有什么关系？
A
A
M
B D C E B C
（第１题） （第２题）
２．如图，犃犅＝犃犆，犕犅＝犕犆．直线犃犕是线段犅犆的垂直平分线吗？
有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，
你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平
分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，
就可以得到这两个图形的对称轴．
６
!"#$%&’(例２ 如图２０．１９（１），点犃和点犅关于某条直线成轴对称，你能作出这
条直线吗？
C
A B A B
D
（１） （２）
图２０．１９
分析：我们只要连接点犃和点犅，作出线段犃犅的垂直平分线，就可以
得到点犃和点犅的对称轴．为此作出到点犃，犅距离相等的两点，即线段犃犅
的垂直平分线上的两点，从而作出线段犃犅的垂直平分线．
作法：如图２０．１９（２）．
１
（１）分别以点犃和点犅为圆心，大于 犃犅
２ 这个作法实际上
就是线段垂直平分线
的长为半径作弧 （想一想为什么），两弧相交于
的尺规作图．我们也可
犆，犇两点；
以用这种方法确定线
（２）作直线犆犇．
段的中点．
犆犇就是所求作的直线．
同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组
对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就
得到此图形的对称轴．
例如，对于图２０．１１０中的五角星，我们可
以找出它的一对对应点犃和犃′，连接犃犃′，作出
A A
线段犃犃′的垂直平分线犾，则犾就是这个五角星的
一条对称轴．
类似地，你能作出这个五角星的其他对称
l
轴吗？
图２０．１１０
７
!"#$%&’(１．作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？
（第１题）
２．如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
A B
C D
（第２题） （第３题）
３．如图，与图形Ａ成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴．
习题２０．１
１．下面的图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它的对称轴吗？
（第１题）
２．下列各图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的一条对称轴．
（第２题）
８
!"#$%&’(３．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有
几条对称轴？
A A
1 2
3
C B B C
l
（第３题） （第４题）
４．如图，△犃犅犆和△犃′犅′犆′关于直线犾对称，∠犅＝９０°，犃′犅′＝６ｃｍ．求∠犃′犅′犆′的
度数和犃犅的长．
５．如图，△犃犅犆和△犃′犅′犆′关于直线犾对称，这两个三角形全等吗？一般地，如果
两个三角形全等，那么它们一定关于某条直线对称吗？
A A
A
B B
E
C C
l B D C
（第５题） （第６题）
６．如图，在△犃犅犆中，犇犈是犃犆的垂直平分线，犃犈＝３ｃｍ，△犃犅犇的周长为
１３ｃｍ，求△犃犅犆的周长．
７．平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
８．如图所示的虚线中，哪些是图形的对称轴？
c d e A C
b f
O
a
B D
E
（第８题） （第９题）
９
!"#$%&’(９．如上页图，犃犇与犅犆相交于点犗，犗犃＝犗犆，∠犃＝∠犆，犅犈＝犇犈．求证：犗犈
垂直平分犅犇．
１０．如图，某地由于居民增多，要在公路犾上增加一个公共汽车站，犃，犅是路边两个
新建小区，这个公共汽车站建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？
A A
B
B B
A
C C
l l
（第１０题） （第１１题）
１１．如图，△犃犅犆与△犃′犅′犆′关于直线犾对称，对应线段犃犅和犃′犅′所在的直线相
交吗？另外两组对应线段所在的直线相交吗？如果相交，交点与对称轴犾有什么
关系？如果不相交，这组对应线段所在直线与对称轴犾有什么关系？再找几个成
轴对称的图形观察一下，你能发现什么规律？
１２．如图，电信部门要在犛区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个
城镇犃，犅的距离必须相等，到两条高速公路犿和狀的距离也必须相等．发射塔应
修建在什么位置？在图上标出它的位置．
m
A
S
B
O P
A
B C
n
（第１２题） （第１３题）
１３．如图，在△犃犅犆中，边犃犅，犅犆的垂直平分线相交于点犘．
（１）求证犘犃＝犘犅＝犘犆；
（２）点犘是否也在边犃犆的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
１０
!"#$%&’(２０．２ 画轴对称图形
如图２０．２１，在一张半透明的纸的左边部分，画
一只左脚印．把这张纸对折后描图，打开对折的纸，
就能得到相应的右脚印．这时，右脚印和左脚印成轴
P P
对称，折痕所在直线就是它们的对称轴，并且连接任
意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，请
l
你再画一个图形做一做，看看能否得到同样的结论．
图２０．２１
由一个平面图形可以得到与它关于一条直线犾对称的图形，这个图形
与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一
点关于直线犾的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称
的图形呢？
例１ 如图２０．２２（１），已知△犃犅犆和直线犾，画出与△犃犅犆关于直线犾
对称的图形．
分析：△犃犅犆可以由三个顶点的位置确定，只要能分别画出这三个顶点
关于直线犾的对称点，连接这些对称点，就能得到要画的图形．
B B
C C
A A
l l
O
A
C
B
（１） （２）
图２０．２２
１１
!"#$%&’(画法：（１）如图２０．２２（２），过点犃画直线犾
的垂线，垂足为犗，在垂线上截取犗犃′＝犗犃，
犃′就是点犃关于直线犾的对称点；
画好后，你也可以
通过折叠的方法验证
（２）同理，分别画出点犅，犆关于直线犾的
一下．
对称点犅′，犆′；
（３）连接犃′犅′，犅′犆′，犆′犃′，则△犃′犅′犆′
即为所求．
几何图形都可以看作由点组成．对于某些图形，只要画出图形中的一
些特殊点 （如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形
的轴对称图形．
１．如图，把下列图形补成关于直线犾对称的图形．
l
l l
（第１题）
２．用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，看看哪些部
分能够重合，哪些部分不能重合．
下面，我们探究在直角坐标系中，分别以狓轴和狔轴为对称轴时，一对对
称点的坐标之间的关系．
１２
!"#$%&’(
图２０．２３是一幅老北京城的示意
y
图，其中西直门和东直门是关于中轴
线对称的．如果以天安门为原点，分
(3.54)
别以长安街和中轴线为狓轴和狔轴建
立平面直角坐标系，根据如图所示的
东直门的坐标，你能说出西直门的坐
x
标吗？
图２０．２３
在如图２０．２４的平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于坐标轴的
对称点，并把它们的坐标填入表格中，看看每对对称点的坐标有怎样的规律，
再和同学讨论一下．
（ ）
１
已知点 犃（２，－３） 犅（－１，２）犆（－６，－５）犇 ，１ 犈（４，０）
２
关于狓轴的对称点 犃′（ ， ）犅′（ ， ）犆′（ ， ）犇′（ ， ）犈′（ ， ）
关于狔轴的对称点 犃″（ ， ）犅″（ ， ）犆″（ ， ）犇″（ ， ）犈″（ ， ）
y
5
4
3 再找几个点，分别
2 画出它们的对称点，检
1 验一下你发现的规律．
-5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x
-1
-2
-3
-4
-5
图２０．２４
１３
!"#$%&’(
点（狓，狔）关于狓轴对称的点的坐标为（狓，－狔）；
点（狓，狔）关于狔轴对称的点的坐标为（－狓，狔）．
利用上述规律，我们也可以很容易地在平面直角坐标系中画出与一个图形
关于狓轴或狔轴对称的图形．
例２ 如图２０．２５，四边形犃犅犆犇的四个顶点的坐标分别为犃（－５，１），
犅（－２，１），犆（－２，５），犇（－５，４），分别画出与四边形犃犅犆犇关于狔轴和
狓轴对称的图形．
解：点（狓，狔）关于狔轴对称的点的坐标为（－狓，狔），因此四边形犃犅犆犇
的顶点犃，犅，犆，犇关于狔轴对称的点分别为犃′（ ， ），犅′（ ，
），犆′（ ， ），犇′（ ， ），依次连接犃′犅′，犅′犆′，犆′犇′，犇′犃′，
就可得到与四边形犃犅犆犇关于狔轴对称的四边形犃′犅′犆′犇′．
类似地，请你在图２０．２５上画出与四边形犃犅犆犇关于狓轴对称的图形．
y
C 5 C
D 4 D 对于这类问题，
3 只要先求出已知图形
2
中的一些特殊点 （如
A B 1 B A
多边形的顶点）的对
-5 -4 -3-2-1O 1 2 3 4 5 x
-1 称点的坐标，描出并
-2
连接这些点，就可以
-3
得到这个图形关于坐
-4
-5 标轴对称的图形．
图２０．２５
１．分别写出下列各点关于狓轴和狔轴对称的点的坐标：
（－２，６），（１，－２），（－１，３），（－４，－２），（１，０）．
１４
!"#$%&’(２．如图，△犃犅犗关于狓轴对称，点犃的坐标为（１，－２），写出点犅的坐标．
y
y
3
3
2 B C(-3,2)
2
1 A(-4,1) 1
-2 -1O 1 2 3x -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 x
-1
-1
B(-1,-1)
-2 A(1,-2) -2
-3
（第２题） （第３题）
３．如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别画出与△犃犅犆关于狓轴和
狔轴对称的图形．
习题２０．２
１．如图，将各图形补成关于直线犾对称的图形．
l l l
（第１题）
２．分别写出下列各点关于狓轴和狔轴对称的点的坐标：
（３，６），（－７，９），（６，－１），（－３，－５），（０，１０）．
３．如图，以正方形犃犅犆犇的中心为原点建立平面直角坐标系．点犃的坐标为（１，１），
写出点犅，犆，犇的坐标．
y y
D
A(1,1)
A(0,3)
C(4,3)
O x O x
B(3,-2)
C B
（第３题） （第４题）
１５
!"#$%&’(
书书书４．如上页图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别画出△犃犅犆关于狓轴和
狔轴对称的图形．
５．根据下列点的坐标的变化，判断它们进行了怎样的运动：
（１）（－１，３）→（－１，－３）； （２）（－５，－６）→（－５，－１）；
（３）（３，４）→（－３，４）； （４）（－２，３）→（２，－３）．
６．如图，小球起始时位于（３，０）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所
示，用坐标描述这个运动，找出小球运动的轨迹上几个关于直线犾对称的点．如
果小球起始时位于（１，０）处，仍按原来方向击球，请你画出这时小球运动的轨迹．
l
y
4
3
2
1
x
1 2 3 4 5 6 7 8
O
（第６题）
７．如图，分别作出△犘犙犚关于直线犿 （直线犿上各点的横坐标都为１）和直线狀
（直线狀上各点的纵坐标都为－１）对称的图形．它们的对应点的坐标之间分别有
什么关系？
犙
y
m
5
4
P3
2
R 1
-5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x
-1
n
-2
-3
-4
-5
（第７题）
１６
!"#$%&’(
用轴对称进行图案设计
利用图形计算器或计算机等信息技术工具，可以直观地发现轴对称的性质，并利用轴
对称进行图案设计．下面以 《几何画板》软件为例说明．
如图１，任意画一个图形，作这个图形关于直线犾对称的图形，改变直线犾的位置，
或者改变其中一个图形的位置，通过观察可以得到对应点所连线段与对称轴的关系．
l
l
图１
如图２，画一个△犃犅犆，以狔轴为对称轴作轴对称图形，得到△犃′犅′犆′，度量点犃，
犃′的坐标，可以观察它们的坐标有什么关系；再度量点犅，犅′的坐标，同样可以观察它
们的坐标有什么关系．
y
8
A A
7
B:(-4.16,1.51)
A:(2.54,7.07)
6 B:(4.16,1.51)
A: (-2.54,7.07)
5
4
3
2
B B
1
-8-7-6 -5-4-3-2 -1O 1 2 3 4 5 6 7 8x
-1
-2 C:(-2.68,-2.57)
C C C:(2.68,-2.57)
图２
改变三角形的位置，观察它们的坐标有什么变化；再分别度量点犃，犃′，犅，犅′的
坐标，观察它们的坐标有什么关系．由此我们可以得到关于狔轴对称的点的坐标的关系．
１７
!"#$%&’(用同样的方法，可以得到关于狓轴对称的点的坐标关系．
我们可以利用多次轴对称进行下面的图案设计．
对称轴平行，如图３．
图３
对称轴不平行，如图４．
图４
请你利用上面的方法设计一些图案，并与同学交流．
１８
!"#$%&’(２０．３ 等腰三角形
２０．３．１ 等腰三角形
我们知道，有两边相等的三角形是等腰三角形 （ｉｓｏｓｃｅｌｅｓｔｒｉａｎｇｌｅ）．下面，
我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形的性质．
如图２０．３１，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，
再把它展开，得到的△犃犅犆有什么特点？
B
A D
C
图２０．３１
上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即△犃犅犆中犃犅＝犃犆，所以
△犃犅犆是等腰三角形．
把剪出的等腰三角形犃犅犆沿折痕对折，找出其中重合的线段和角．
由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的
猜想．
在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，请你试着折一
折．你的猜想仍然成立吗？
１９
!"#$%&’(我们可以发现等腰三角形的性质：
性质１ 等腰三角形的两个底角相等 （简写成 “等边对等角”）；
性质２ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
（简写成 “三线合一”）．
由上面的操作过程获得启发，我们可以利用三角形的全等证明这些性质．
如图２０．３２，△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，作底边犅犆的中线犃犇．
∵ 烄犃犅＝犃犆，
A
烅犅犇＝犆犇，
烆犃犇＝犃犇，
∴ △犅犃犇≌△犆犃犇 （ＳＳＳ）．
∴ ∠犅＝∠犆．
这样，我们就证明了性质１． B 图２０ D ．３２ C
由△犅犃犇≌△犆犃犇，还可得出∠犅犃犇＝∠犆犃犇，∠犅犇犃＝∠犆犇犃，从
而犃犇⊥犅犆．这也就证明了等腰三角形犃犅犆底边上的中线犃犇平分顶角∠犃
并垂直于底边犅犆．
用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于
底边，底边上的高平分顶角并且平分底边．这也就证明了性质２．
从以上证明也可以得出，等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可
以重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线 （顶角平分线、底边上的
高）所在直线就是它的对称轴．
例１ 如图２０．３３，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，点犇在犃犆上，且犅犇＝
犅犆＝犃犇．求△犃犅犆各角的度数．
解：∵ 犃犅＝犃犆，犅犇＝犅犆＝犃犇，
A
∴ ∠犃犅犆＝∠犆＝∠犅犇犆，
∠犃＝∠犃犅犇 （等边对等角）．
设∠犃＝狓，则 D
∠犅犇犆＝∠犃＋∠犃犅犇＝２狓，
从而 B C
图２０．３３
∠犃犅犆＝∠犆＝∠犅犇犆＝２狓．
于是在△犃犅犆中，有
２０
!"#$%&’(∠犃＋∠犃犅犆＋∠犆＝狓＋２狓＋２狓＝１８０°．
解得狓＝３６°．
所以，在△犃犅犆中，∠犃＝３６°，∠犃犅犆＝∠犆＝７２°．
１．如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．
36°
120°
（１） （２）
（第１题）
２．如图，△犃犅犆是等腰直角三角形 （犃犅＝犃犆，∠犅犃犆＝９０°），犃犇是底边犅犆上的
高．标出∠犅，∠犆，∠犅犃犇，∠犇犃犆的度数，并写出图中所有相等的线段．
A
A
B D C B D C
（第２题） （第３题）
３．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犇＝犇犆，∠犅犃犇＝２６°．求∠犅和∠犆的度数．
我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等．
反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
如图２０．３４，在△犃犅犆中，∠犅＝∠犆．
A
作△犃犅犆的角平分线犃犇．
1 2
在△犅犃犇和△犆犃犇中，
烄∠１＝∠２，
烅∠犅＝∠犆，
烆犃犇＝犃犇， B
图２０
D
．３４
C
∴ △犅犃犇≌△犆犃犇 （ＡＡＳ）．
∴ 犃犅＝犃犆．
２１
!"#$%&’(由上面推证，我们可以得到等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 （简写成
“等角对等边”）．
例２ 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个
三角形是等腰三角形．
已知：∠犆犃犈是△犃犅犆的外角，∠１＝∠２，犃犇∥犅犆（图２０．３５）．
求证：犃犅＝犃犆．
分析：要证明犃犅＝犃犆，可先证明∠犅＝
E
∠犆．因为∠１＝∠２，所以可以设法找出∠犅，
∠犆与∠１，∠２的关系．
1
A D
证明：∵ 犃犇∥犅犆， 2
∴ ∠１＝∠犅（ ），
∠２＝∠犆（ ）．
而已知∠１＝∠２，所以
B C
∠犅＝∠犆． 图２０．３５
∴ 犃犅＝犃犆（ ）．
例３ 已知等腰三角形底边长为犪，底边上的高的长为犺，求作这个等腰
三角形．
M
C
a h
A D B
N
图２０．３６
作法：（１）作线段犃犅＝犪．
（２）作线段犃犅的垂直平分线犕犖，与犃犅相交于点犇．
（３）在犕犖上取一点犆，使犇犆＝犺．
（４）连接犃犆，犅犆，则△犃犅犆就是所求作的等腰三角形．
２２
!"#$%&’(１．如图，∠犃＝３６°，∠犇犅犆＝３６°，∠犆＝７２°．分别计算∠１，∠２的度数，并说
明图中有哪些等腰三角形．
A
D
2 1
B C
（第１题） （第２题）
２．如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分
是一个等腰三角形吗？为什么？ D C
３．求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一
O
半，那么这个三角形是直角三角形．
A B
４．如图，犃犆和犅犇相交于点犗，且犃犅∥犇犆，犗犃＝
（第４题）
犗犅．求证犗犆＝犗犇．
２０．３．２ 等边三角形
我们知道，等边三角形 （ｅｑｕｉｌａｔｅｒａｌｔｒｉａｎｇｌｅ）是三边都相等的特殊的等腰
三角形．
把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形
的三个内角满足什么条件才是等边三角形？
由等腰三角形的性质和判定方法，可以得到：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个
请你自己证明这些
角都等于６０°．
结论．
三个角都相等的三角形是等边三角形．
有一个角是６０°的等腰三角形是等边三角形．
２３
!"#$%&’(
书书书例４ 如图２０．３７，△犃犅犆是等边三角形，
A
犇犈∥犅犆，分别交犃犅，犃犆于点犇，犈．求证：
△犃犇犈是等边三角形．
证明：∵ △犃犅犆是等边三角形，
D E
∴ ∠犃＝∠犅＝∠犆．
∵ 犇犈∥犅犆， B C
图２０．３７
∴ ∠犃犇犈＝∠犅，∠犃犈犇＝∠犆．
∴ ∠犃＝∠犃犇犈＝∠犃犈犇．
∴ △犃犇犈是等边三角形．
想一想，本题还有其他证法吗？
１．试画出等边三角形的三条对称轴．你能发现什么？ A
２．如图，等边三角形犃犅犆中，犃犇是犅犆上的高，
∠犅犇犈＝∠犆犇犉＝６０°，图中有哪些与犅犇相等的
E F
线段？
B D C
（第２题）
如图２０．３８，将两个含３０°角的全等的三角
A
尺摆放在一起．你能借助这个图形，找到
Ｒｔ△犃犅犆的直角边犅犆与斜边犃犅之间的数量 30e
关系吗？
B C D
图２０．３８
２４
!"#$%&’(
书书书△犃犇犆是△犃犅犆的轴对称图形，因此犃犅＝
犃犇，∠犅犃犇＝２×３０°＝６０°，从而△犃犅犇是一
你还能用其他
方法证明吗？
个等边三角形．再由犃犆⊥犅犇，可得犅犆＝犆犇＝
１
犃犅．于是我们得到：
２
在直角三角形中，如果一个锐角等于３０°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半．
例５ 图２０．３９是屋架设计图的一部分，点
B
犇是斜梁犃犅的中点，立柱犅犆，犇犈垂直于横
D
梁犃犆，犃犅＝７．４ｍ，∠犃＝３０°．立柱犅犆，犇犈
要多长？ A E C
图２０．３９
解：∵ 犇犈⊥犃犆，犅犆⊥犃犆，∠犃＝３０°，
１ １
∴ 犅犆＝ 犃犅，犇犈＝ 犃犇．
２ ２
１
∴ 犅犆＝ ×７．４＝３．７（ｍ）．
２
１
又 犃犇＝ 犃犅，
２
１ １
∴ 犇犈＝ 犃犇＝ ×３．７＝１．８５（ｍ）．
２ ２
答：立柱犅犆的长是３．７ｍ，犇犈的长是１．８５ｍ．
Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，∠犅＝２∠犃，∠犅和∠犃各是多少度？边犃犅与犅犆之
间有什么关系？
习题２０．３
１． （１）等腰三角形的一个角是１１０°，它的另外两个角是多少度？
（２）等腰三角形的一个角是８０°，它的另外两个角是多少度？
２５
!"#$%&’(２．如图，犃犇∥犅犆，犅犇平分∠犃犅犆．求证犃犅＝犃犇．
A
A D
B
M
B C
（第２题） （第３题）
３．如图，五角星的五个角都是顶角为３６°的等腰三角形，为了画出五角星，还需要
知道∠犃犕犅的度数．算一算∠犃犕犅等于多少度．
４．如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中犃犅＝犃犆，立柱犃犇⊥犅犆，且顶角
∠犅犃犆＝１２０°．∠犅，∠犆，∠犅犃犇，∠犆犃犇各是多少度？
A D C
A E B
B D C
（第４题） （第５题）
５．如图，∠犃＝∠犅，犆犈∥犇犃，犆犈交犃犅于点犈．求证：△犆犈犅是等腰三角形．
６．如图，点犇，犈在△犃犅犆的边犅犆上，犃犅＝犃犆，犃犇＝犃犈．求证犅犇＝犆犈．
A
A
M
D
N
B D E C
B C
（第６题） （第７题）
７．如图，犃犅＝犃犆，∠犃＝４０°，犃犅的垂直平分线犕犖交犃犆于点犇．求∠犇犅犆的度数．
８．尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线．
９．某地地震过后，河沿村中学的同学用下面的方法检
O
测教室的房梁是否水平：
A B
在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另
C
一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁
（第９题）
上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们由此
确信房梁是水平的．他们的判断对吗？为什么？
２６
!"#$%&’(１０．如图，△犃犅犆中，犅犗平分∠犃犅犆，犆犗平分
∠犃犆犅，犕犖经过点犗，与犃犅，犃犆相交于点
A
犕，犖，且犕犖∥犅犆．求证：△犃犕犖的周长等
于犃犅＋犃犆．
M N
１１．上午８时，一条船从海岛犃出发，以１５ｎｍｉｌｅ／ｈ O
B C
（海里／时，１ｎｍｉｌｅ＝１８５２ｍ）的速度向正北航
（第１０题）
行，１０时到达海岛犅处．从犃，犅望灯塔犆，测
得∠犖犃犆＝４２°，∠犖犅犆＝８４°．求从海岛犅到灯
塔犆的距离．
N
C 84°
B D
A E
42° B C
A
（第１１题） （第１２题）
１２．如图，△犃犅犇，△犃犈犆都是等边三角形．求证犅犈＝犇犆．
１３．等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢？两腰上的高呢？证明其
中的一个结论．
１４．如图，犘，犙是△犃犅犆的边犅犆上的两点，并且犅犘＝犘犙＝犙犆＝犃犘＝犃犙，求
∠犅犃犆的度数．
A
A
B P 犙 C C B
（第１４题） （第１５题）
１５．如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．如果∠犆＝９０°，
∠犅＝３０°，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，
并在图上画出来．
２７
!"#$%&’(
三角形中边与角之间的不等关系
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角
所对的边也相等．那么，不相等的边 （或角）所对的角 （或边）之间的大小关系怎样呢？
大边所对的角也大吗？
如图１，在△犃犅犆中，如果犃犅＞犃犆，那么我们可以将△犃犅犆折叠，使边犃犆落在
犃犅上，点犆落在犃犅上的犇点，折线交犅犆于点犈，则
∠犆＝∠犃犇犈．
∵ ∠犃犇犈＞∠犅（想一想为什么），
∴ ∠犆＞∠犅．
这说明，在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的
角较大．
AA A
D(C)
BB CC B E C
图１
从上面的过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题，转
化为较大量的一部分与较小量相等的问题，这是几何中研究不等问题时常用的方法．
类似地，应用这种方法，你能说明 “在一个三角形
A
中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所
对的边较大”吗 （图２）？
利用上面两个结论，回答下面的问题：
B C
（１）在△犃犅犆中，已知犅犆＞犃犅＞犃犆，那么∠犃，
图２
∠犅，∠犆有怎样的大小关系？
（２）如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这
个三角形一定是锐角三角形吗？为什么？
（３）直角三角形的哪一条边最长？为什么？
２８
!"#$%&’(２０．４ 课题学习 最短路径问题
前面我们研究过一些关于 “两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外
一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短
路径问题．同学们通过讨论下面两个问题，可以体会如何运用所学知识选择最
短路径．
问题１ 如图２０．４１，牧马人从犃地出发，到一条笔直的河边犾饮马，
然后到犅地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
B
B
A A
l
l
C
图２０．４１ 图２０．４２
如果把河边犾近似地看成一条直线 （图２０．４２），犆为直线犾上的一个动
点，那么，上面的问题可以转化为：当点犆在犾的什么位置时，犃犆与犆犅的
和最小．由这个问题，我们可以联想到下面的问题：
如图２０．４３，点犃，犅分别是直线犾异侧的两个点，如何在犾上找到一个
点，使得这个点到点犃、点犅的距离的和最短？
A
l
B
图２０．４３
利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接犃犅，与
直线犾相交于一点，根据 “两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求．
现在，要解决的问题是：点犃，犅分别是直线犾同侧的两个点，如何在犾
上找到一个点，使得这个点到点犃、点犅的距离的和最短？
２９
!"#$%&’(如果我们能把点犅移到犾的另一侧犅′处，同时对直线犾上的任一点犆，都
保持犆犅与犆犅′的长度相等，就可以把问题转化为 “图２０．４３”的情况，从而
使新问题得到解决．你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点犅′吗？
如图２０．４４，作出点犅关于犾的对称点犅′，利用轴对称的性质，可以得
到犆犅′＝犆犅．这样，问题就转化为：当点犆在犾的什么位置时，犃犆与犆犅′的
和最小？
B B
A A
l l
C C C
B B
图２０．４４ 图２０．４５
如图２０．４５，在连接犃，犅′两点的线中，线段犃犅′最短．因此，线段
犃犅′与直线犾的交点犆的位置即为所求．
为了证明点犆的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点犆′（图
２０．４５），连接犃犆′，犅犆′，犅′犆′，证明犃犆＋犆犅＜犃犆′＋犆′犅．你能完成这个
证明吗？
问题２ （造桥选址问题）如图２０．４６，犃和犅两地在一条河的两岸，现
要在河上造一座桥犕犖．桥造在何处可使从犃到犅的路径犃犕犖犅最短？（假
定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）
A
a
A
M
M
b
N
N B
B
图２０．４６ 图２０．４７
我们可以把河的两岸看成两条平行线犪和犫（图２０．４７），犖为直线犫上
的一个动点，犕犖垂直于直线犫，交直线犪于点犕，这样，上面的问题可以转
化为下面的问题：当点犖在直线犫的什么位置时，犃犕＋犕犖＋犖犅最小？
３０
!"#$%&’(由于河岸宽度是固定的，因此当犃犕＋犖犅最小时，犃犕＋犕犖＋犖犅最
小．这样，问题就进一步转化为：当点犖在直线犫的什么位置时，犃犕＋犖犅
最小？能否通过图形的变化 （轴对称、平移等），把 “图２０．４７”的情况转化
为 “图２０．４３”的情况？
如图２０．４８，将犃犕沿与河岸垂直的方向平移，点犕移动到点犖，点犃
移动到点犃′，则犃犃′＝犕犖，犃犕＋犖犅＝犃′犖＋犖犅．这样，问题就转化为：
当点犖在直线犫的什么位置时，犃′犖＋犖犅最小？
a a
A A M
M M
b b
A A
N
N N
B B
图２０．４８ 图２０．４９
如图２０．４９，在连接犃′，犅两点的线中，线段犃′犅最短．因此，线段
犃′犅与直线犫的交点犖的位置即为所求，即在点犖处造桥犕犖，所得路径
犃犕犖犅是最短的．
为了证明点犖的位置即为所求，我们不妨在直线犫上另外任意取一点
犖′，过点犖′作犖′犕′⊥犪，垂足为犕′，连接犃犕′，犃′犖′，犖′犅，证明犃犕＋
犕犖＋犖犅＜犃犕′＋犕′犖′＋犖′犅．你能完成这个证明吗？
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问
题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．
３１
!"#$%&’(
在美术字中，有些汉字、英文字母和阿拉伯数字是轴对称的．如图１，
画出这些汉字、英文字母和数字的对称轴，或者把它们补齐．
$ + :
%('
图１
你能再写出几个轴对称的美术字吗？画出它们的对称轴，并与同学
交流．
利用轴对称，我们可以由一个基本图形得到与它成轴对称的另一个图
形，重复这个过程，可以得到美丽的图案 （图２，图３）．
图２
自己动手在一张半透明的纸上画一个图形，将
这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？
改变折痕的位置并重复几次，你又得到了什么？与
图３
同学交流一下．
有时，将平移和轴对称结合起来，可以设计出更丰富的图案，许多镶
边和背景的图案就是这样设计的 （图４）．
３２
!"#$%&’(图４
展开你的想象，从一个或几个图形出发，利用轴对称或与平移进行组
合，设计一些图案，并与同学交流．
猜想一下，等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？如图５，你可
以将等腰三角形犃犅犆沿对称轴犃犇折叠，观察犇犈与犇犉的关系，并证
明你的结论．
A
A
F
E F E C
B C D
D B
图５
如果犇犈，犇犉分别是犃犅，犃犆上的中线或∠犃犇犅，∠犃犇犆的平分
线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对称图形，利用类似的方法，还可
以得到等腰三角形中哪些线段相等？证明其中的一些结论．
３３
!"#$%&’(小 结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
轴对称是图形变化的方法之一，它在现实生活中有广泛的应用．本章首先
学习了轴对称图形、轴对称及其性质，然后学习了轴对称图形的画法，并利用
轴对称知识研究等腰三角形，通过推理论证得到了等腰三角形及等边三角形的
性质和判定方法．
等腰三角形是特殊的三角形，也是多边形中最简单的轴对称图形．利用它
的轴对称性，我们不仅发现了等腰三角形的一些性质，同时还从中找到了证明
这些性质的思路．借助图形的变化研究图形的性质，是几何中常用的方法．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．在现实世界中存在着大量的轴对称现象，你能举出一些例子吗？成轴对
称的图形有什么特点？
２．在我们学过的几何图形中，有哪些是轴对称图形？它们的对称轴与这个
图形有怎样的位置关系？
３．对于成轴对称的两个图形，对应点所连线段与对称轴有什么关系？如何
作出一个图形的轴对称图形？
４．在平面直角坐标系中，如果两个图形关于狓轴或狔轴对称，那么对称
点的坐标有什么关系？请举例说明．
５．利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等
三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？
３４
!"#$%&’(复习题２０
１．下列图形是轴对称图形吗？如果是，找出它们的对称轴．
（第１题）
２．画出下列轴对称图形的对称轴．
（第２题）
３．如图，犇，犈分别是犃犅，犃犆的中点，犆犇⊥犃犅，垂足为犇，犅犈⊥犃犆，垂足为犈．
求证犃犆＝犃犅．
y
C C
2
A
D
E x
-4 -2 O 2 4
-2
A D B B E
（第３题） （第４题）
４．如图所示的点犃，犅，犆，犇，犈中，哪两个点关于狓轴对称？哪两个点关于狔轴
对称？点犆和点犈关于狓轴对称吗？为什么？
５．如图，在△犃犅犆中，∠犃犅犆＝５０°，∠犃犆犅＝
A
８０°，延长犆犅至犇，使犇犅＝犅犃，延长犅犆至犈，
使犆犈＝犆犃，连接 犃犇，犃犈．求 ∠犇，∠犈，
∠犇犃犈的度数． D B C E
（第５题）
３５
!"#$%&’(６．如图，犃犇＝犅犆，犃犆＝犅犇，求证：△犈犃犅是等腰三角形．
C
D C
E
A （第６题） B B D （第７题） A
１
７．如图，在△犃犅犆中，∠犃犆犅＝９０°，犆犇是高，∠犃＝３０°．求证犅犇＝ 犃犅．
４
８．试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数．一般地，一个正狀边形有多少条对称轴？
（第８题）
９．如图，从图形Ⅰ到图形Ⅱ是进行了平移还是轴对称？如果是轴对称，找出对称轴；
如果是平移，是怎样的平移？
y y
4 4
2 2
-4 -2 O 2 4x -4 -2 O 2 4x
-2 -2
-4 -4
（１） （２）
y y
4 4
2 2
-4 -2 O 2 4x -4 -2 O 2 4x
-2 -2
-4 -4
（３） （４）
（第９题）
３６
!"#$%&’(１０．如图，犃犇是△犃犅犆的角平分线，犇犈，犇犉分别是△犃犅犇和△犃犆犇的高．求
证：犃犇垂直平分犈犉．
A
A
D
E
F F
B D C B E C
（第１０题） （第１１题）
１１．如图，在等边三角形犃犅犆的三边上，分别取点犇，犈，犉，使犃犇＝犅犈＝犆犉．
求证：△犇犈犉是等边三角形．
１２．在纸上画五个点，使任意三个点组成的三角形都是等腰三角形．这五个点应该怎
样画？
１３．如图，△犃犅犆是等边三角形，犅犇是中线，延长犅犆至犈，使犆犈＝犆犇．求证
犇犅＝犇犈．
C
A
D
D E
F
B C E
A G B
（第１３题） （第１４题）
１４． 如图，△犃犅犆为等腰三角形，犃犆＝犅犆．
△犅犇犆和△犃犆犈分别为等边三角形，犃犈与
犅犇相交于点犉，连接犆犉并延长，交犃犅于
N
点犌．求证：犌为犃犅的中点．
１５．如图，牧马人从犃地出发，先到草地边某一处
A
牧马，再到河边饮马，然后回到犅处，请画出
M B l
最短路径．
（第１５题）
３７
!"#$%&’(
p(a+b+c)=pa+pb+pc
a b c a
pa+pb+pc= p(a+b+c)
书书书
p p
b
p
c
p
第二十一章 整式的乘法与
因式分解
为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长
狆ｍ，宽犫ｍ的长方形绿地，向两边分别加宽犪ｍ
和犮ｍ，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积？
不同的表示方法之间有什么关系？如何从数学的
角度认识不同的表示方法之间的关系？
回答上面的问题，要用到整式的乘法与因式
分解的知识．本章我们将在七年级学习整式的加减
法的基础上，继续学习整式的乘法与因式分解，
它们是代数运算以及解决许多数学问题的重要基
础．我们可以类比数的运算，以运算律为基础，得
到关于整式的乘法运算与因式分解的启发．２１．１ 整式的乘法
２１．１．１ 同底数幂的乘法
问题１ 一种电子计算机每秒可进行１千万亿
（１０１５ ）次运算，它工作１０３ｓ可进行多少次运算？
它工作１０３ｓ可进行运算的次数为１０１５×１０３．
怎样计算１０１５×１０３ 呢？
根据乘方的意义可知
１０１５×１０３＝（１０×…×１０）×（１０×１０×１０） 在２０１０年全球超级计算机
烏 烐 烑
排行榜中，中国首台千万亿次
１５个１０
超级计算机系统 “天河一号”
＝１０×１０×…×１０
烏 烐 烑 雄居第一，其实测运算速度可
１８个１０
以达到每秒２５７０万亿次．
＝１０１８．
根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？
（１）２５×２２＝２（ ）；
（２）犪３ ·犪２＝犪（ ）；
（３）５犿×５狀＝５（ ） （犿，狀是正整数）．
一般地，对于任意底数犪与任意正整数犿，狀，
犪犿 ·犪狀＝（犪·犪·…·犪）· （犪·犪·…·犪）
烏 烐 烑 烏 烐 烑
犿个犪 狀个犪
＝犪·犪·…·犪＝犪犿＋狀．
烏 烐 烑
（犿＋狀）个犪
因此，我们有
犪犿 ·犪狀＝犪犿＋狀 （犿，狀都是正整数）．
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
３９
!"#$%&’()*+,-(./
书书书例１ 计算：
（１）狓２ ·狓５ ； （２）犪·犪６ ；
（３）（－２）×（－２） ４×（－２）
３
； （４）狓犿 ·狓３犿＋１．
解：（１）狓２ ·狓５＝狓２＋５＝狓７ ；
（２）犪·犪６＝犪１＋６＝犪７ ；
犪＝犪１．
（３）（－２）×（－２） ４×（－２） ３＝（－２） １＋４＋３＝
（－２） ８＝２５６；
（４）狓犿 ·狓３犿＋１＝狓犿＋３犿＋１＝狓４犿＋１．
计算：
（ ） （ ） （ ）
１ １ ２ １ ３
（１）犫５·犫； （２） － × － × － ；
２ ２ ２
（３）－犪２·犪６； （４）狔２狀·狔狀＋１．
２１．１．２ 幂的乘方
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算结果，你能发现什
么规律？
（１）（３２ ） ３＝３２×３２×３２＝３（ ）；
（２）（犪２ ） ３＝犪２ ·犪２ ·犪２＝犪（ ）；
（３）（犪犿 ） ３＝犪犿 ·犪犿 ·犪犿＝犪（ ） （犿是正整数）．
一般地，对于任意底数犪与任意正整数犿，狀，
狀个犪犿 狀个犿
烇 烉 烋 烇 烉 烋
（犪犿 ） 狀＝犪犿 ·犪犿 ·…·犪犿＝犪犿 ＋犿＋…＋犿＝犪犿狀．
因此，我们有
（犪犿 ） 狀＝犪犿狀 （犿，狀都是正整数）．
即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
例２ 计算：
（１）（１０３ ） ５ ； （２）（犪４ ） ４ ； （３）（犪犿 ） ２ ； （４）－（狓４ ） ３．
４０
!"#$%&’()*+,-(./解：（１）（１０３ ） ５＝１０３×５＝１０１５ ；
（２）（犪４ ） ４＝犪４×４＝犪１６ ；
（３）（犪犿 ） ２＝犪犿×２＝犪２犿 ；
（４）－（狓４ ） ３＝－狓４×３＝－狓１２．
计算：
（１）（１０３）３； （２）（狓３）２；
（３）－（狓犿）５； （４）（犪２）３·犪５．
２１．１．３ 积的乘方
填空，运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？
（１）（犪犫） ２＝（犪犫）·（犪犫）＝（犪·犪）·（犫·犫）＝犪（ 犫） （ ）；
（２）（犪犫） ３＝ ＝ ＝犪（ 犫） （ ）．
一般地，对于任意底数犪，犫与任意正整数狀，
狀个犪犫
烇 烉 烋
（犪犫） 狀＝（犪犫）·（犪犫）·…·（犪犫）
狀个犪 狀个犫
烇 烉 烋 烇 烉 烋
＝犪·犪·…·犪·犫·犫·…·犫＝犪狀犫狀．
因此，我们有
（犪犫） 狀＝犪狀犫狀 （狀为正整数）．
即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
例３ 计算：
（１）（２犪）
３
； （２）（－５犫）
３
；
（３）（狓狔２ ） ２ ； （４）（－２狓３ ） ４．
解：（１）（２犪） ３＝２３ ·犪３＝８犪３ ；
（２）（－５犫） ３＝（－５）
３
·犫３＝－１２５犫３ ；
４１
!"#$%&’()*+,-(./（３）（狓狔２ ） ２＝狓２ ·（狔２ ） ２＝狓２狔４ ；
（４）（－２狓３ ） ４＝（－２） ４ ·（狓３ ） ４＝１６狓１２．
计算：
（ ）
１ ３
（１）（犪犫）４； （２） － 狓狔 ；
２
（３）（－３×１０２）３； （４）（２犪犫２）３．
２１．１．４ 整式的乘法
问题２ 光的速度约是３×１０５ｋｍ／ｓ，太阳光
照射到地球上需要的时间约是５×１０２ｓ，你知道地 地球与太阳的距离
约是
球与太阳的距离约是多少吗？
地球与太阳的距离约是（３×１０５ ）×（５×１０２ ）ｋｍ．
１５×１０７＝１．５×１０８（ｋｍ）．
（１）怎样计算（３×１０５ ）×（５×１０２ ）？计算过程中用到哪些运算律及运
算性质？
（２）如果将上式中的数字改为字母，比如犪犮５ ·犫犮２ ，怎样计算这个式子？
犪犮５ ·犫犮２ 是单项式犪犮５ 与犫犮２ 相乘，我们可以利用乘法交换律、结合律及
同底数幂的运算性质来计算：
犪犮５ ·犫犮２＝（犪·犫）·（犮５ ·犮２ ）＝犪犫犮５＋２＝犪犫犮７．
一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于
只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
例４ 计算：
（１）（－５犪２犫）（－３犪）； （２）（２狓）
３
（－５狓狔２ ）．
解：（１） （－５犪２犫）（－３犪）
４２
!"#$%&’()*+,-(./＝［（－５）×（－３）］（犪２ ·犪）·犫
＝１５犪３犫；
（２） （２狓）
３
（－５狓狔２ ）
＝８狓３ ·（－５狓狔２ ）
＝［８×（－５）］（狓３ ·狓）·狔２
＝－４０狓４狔２．
１．计算：
（１）３狓２·５狓３； （２）４狔·（－２狓狔２）；
（３）（－３狓）２·４狓２； （４）（－２犪）３（－３犪）２．
２．下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（１）３犪３·２犪２＝６犪６； （２）２狓２·３狓２＝６狓４；
（３）３狓２·４狓２＝１２狓２； （４）５狔３·３狔５＝１５狔１５．
下面我们来看本章引言中提出的问题．
为了求扩大后的绿地面积，一种方法是先求扩大后的绿地的边长，再求面
积，即为
狆（犪＋犫＋犮）． ①
我们也可以先分别求原来绿地和新增绿地的面积，再求它们的和，即为
狆犪＋狆犫＋狆犮． ②
由于①②表示同一个数量，所以
狆（犪＋犫＋犮）＝狆犪＋狆犫＋狆犮． 你能根据分
上面的等式提供了单项式与多项式相乘的方法． 配律得到这个等
式吗？
这个结果也可以由图２１．１１看出．
!"#$%&’()*+,-(./
p
pa pb pc
a b c
图２１．１１
４３一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把
所得的积相加．
例５ 计算：
（１）（－４狓２ ）（３狓＋１）；
（２ ） １
（２） 犪犫２－２犪犫· 犪犫．
３ ２
解：（１） （－４狓２ ）（３狓＋１）
＝（－４狓２ ）（３狓）＋（－４狓２ ）×１ 把单项式与多项式
＝（－４×３）（狓２ ·狓）＋（－４狓２ ） 相乘的问题转化为单项
式与单项式相乘的问题．
＝－１２狓３－４狓２ ；
（２ ） １
（２） 犪犫２－２犪犫· 犪犫
３ ２
２ １ １
＝ 犪犫２ · 犪犫＋（－２犪犫）· 犪犫
３ ２ ２
１
＝ 犪２犫３－犪２犫２．
３
１．计算：
（１）３犪（５犪－２犫）； （２）（狓－３狔）（－６狓）．
２．化简狓（狓－１）＋２狓（狓＋１）－３狓（２狓－５）．
!"#$%&’()*+,-(./
p
a b
ap bp
aq bq q
问题３ 如图２１．１２，为了扩大街
心花园的绿地面积，把一块原长犪ｍ、
宽狆ｍ的长方形绿地，加长了犫ｍ，加
宽了狇ｍ．你能用几种方法求出扩大后
的绿地面积？
扩大后的绿地可以看成长为（犪＋犫）ｍ，
宽为（狆＋狇）ｍ的长方形，所以这块绿
地的面积 （单位：ｍ２ ）为
（犪＋犫）（狆＋狇）．
图２１．１２
４４扩大后的绿地还可以看成由四个小长方形组成，
所以这块绿地的面积 （单位：ｍ２ ）为
犪狆＋犪狇＋犫狆＋犫狇．
因此 （犪＋犫）（狆＋狇）＝犪狆＋犪狇＋犫狆＋犫狇．
上面的等式提供了多项式与多项式相乘的方法．
计算（犪＋犫）（狆＋狇），可以先把其中的一个多
项式，如狆＋狇，看成一个整体，运用单项式与多
把多项式相乘的
项式相乘的法则，得
问题转化为单项式与
多项式相乘的问题．
（犪＋犫）（狆＋狇）＝犪（狆＋狇）＋犫（狆＋狇），
再利用单项式与多项式相乘的法则，得
犪（狆＋狇）＋犫（狆＋狇）＝犪狆＋犪狇＋犫狆＋犫狇．
总体上看，（犪＋犫）（狆＋狇）的结果可以看作由犪＋犫的每一项乘狆＋狇的每
一项，再把所得的积相加而得到的，即
（犪＋犫）（狆＋狇）＝犪狆＋犪狇＋犫狆＋犫狇．
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式
的每一项，再把所得的积相加．
例６ 计算：
（１）（３狓＋１）（狓＋２）； （２）（狓－８狔）（狓－狔）；
（３）（狓＋狔）（狓２－狓狔＋狔２ ）．
解：（１） （３狓＋１）（狓＋２）
＝（３狓）·狓＋（３狓）×２＋１·狓＋１×２
＝３狓２＋６狓＋狓＋２
＝３狓２＋７狓＋２；
（２） （狓－８狔）（狓－狔）
＝狓２－狓狔－８狓狔＋８狔２
＝狓２－９狓狔＋８狔２ ；
（３） （狓＋狔）（狓２－狓狔＋狔２ ）
＝狓３－狓２狔＋狓狔２＋狓２狔－狓狔２＋狔３
＝狓３＋狔３．
４５
!"#$%&’()*+,-(./!"#$%&’()*+,-(./
x x2 qx
px pq p
１．计算：
（１）（２狓＋１）（狓＋３）； （２）（犿＋２狀）（３狀－犿）；
（３）（犪－１）２； （４）（犪＋３犫）（犪－３犫）；
（５）（２狓２－１）（狓－４）； （６）（狓２＋２狓＋３）（２狓－５）．
２．计算：
（１）（狓＋２）（狓＋３）； （２）（狓－４）（狓＋１）；
（３）（狔＋４）（狔－２）； （４）（狔－５）（狔－３）．
由上面计算的结果找规律，观察右图，填空：
x q
（狓＋狆）（狓＋狇）＝（ ）２＋（ ）狓＋（ ）．
（第２题）
至此，我们已经学习了整式的加法、减法、乘法运算．在整式运算中，有
时还会遇到两个整式相除的情况．由于除法是乘法的逆运算，因此我们可以利
用整式的乘法来讨论整式的除法．
首先来看同底数幂相除的情况．
我们来计算犪犿÷犪狀 （犪≠０，犿，狀都是正整数，并且犿＞狀）．
根据除法是乘法的逆运算，计算被除数除以除数所得的商，就是求一个
数，使它与除数的积等于被除数．由于式中的字母表示数，所以可以用类似的
方法来计算犪犿÷犪狀．
∵ 犪犿－狀 ·犪狀＝犪（犿－狀）＋狀＝犪犿 ，
∴ 犪犿÷犪狀＝犪犿－狀．
一般地，我们有
犪犿÷犪狀＝犪犿－狀 （犪≠０，犿，狀都是正整数，并且犿＞狀）．
即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如犪犿÷犪犿 ，根据
除法的意义可知所得的商为１．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，
又有犪犿÷犪犿＝犪犿－犿＝犪０．
于是规定
犪０＝１ （犪≠０）．
这就是说，任何不等于０的数的０次幂都等于１．
４６例７ 计算：
（１）狓８÷狓２ ； （２）（犪犫） ５÷（犪犫） ２．
解：（１）狓８÷狓２＝狓８－２＝狓６ ；
（２）（犪犫） ５÷（犪犫） ２＝（犪犫） ５－２＝（犪犫） ３＝犪３犫３．
对于 单 项 式 除 以 单 项 式，例 如，计 算
１２犪３犫２狓３÷３犪犫２ ，就是要求一个单项式，使它与
３犪犫２ 的乘积等于１２犪３犫２狓３．
１２犪３犫２狓３÷３犪犫２
是 （１２犪３犫２狓３ ） ÷
∵ ４犪２狓３ ·３犪犫２＝１２犪３犫２狓３ ，
（３犪犫２）的意思．
∴ １２犪３犫２狓３÷３犪犫２＝４犪２狓３．
上面的商式４犪２狓３ 的系数４＝１２÷３，犪的指
数２＝３－１，犫的指数０＝２－２，而犫０＝１，狓的指
数３＝３－０．
一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只
在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
对于多项式除以单项式，例如，计算（犪犿＋犫犿）÷犿，就是要求一个多项
式，使它与犿的积是犪犿＋犫犿．
∵ （犪＋犫）犿＝犪犿＋犫犿，
∴ （犪犿＋犫犿）÷犿＝犪＋犫．
把多项式除以单
又 犪犿÷犿＋犫犿÷犿＝犪＋犫，
项式问题转化为单项
∴ （犪犿＋犫犿）÷犿＝犪犿÷犿＋犫犿÷犿．
式除以单项式问题来
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项
解决．
式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
例８ 计算：
（１）２８狓４狔２÷７狓３狔； （２）－５犪５犫３犮÷１５犪４犫；
（３）（１２犪３－６犪２＋３犪）÷３犪．
解：（１） ２８狓４狔２÷７狓３狔
＝（２８÷７）·狓４－３ ·狔２－１
＝４狓狔；
４７
!"#$%&’()*+,-(./（２） －５犪５犫３犮÷１５犪４犫
＝［（－５）÷１５］犪５－４犫３－１犮
１
＝－ 犪犫２犮；
３
（３） （１２犪３－６犪２＋３犪）÷３犪
＝１２犪３÷３犪－６犪２÷３犪＋３犪÷３犪
＝４犪２－２犪＋１．
１．计算：
（１）狓７÷狓５； （２）犿８÷犿８；
（３）（－犪）１０÷（－犪）７； （４）（狓狔）５÷（狓狔）３．
２．计算：
（１）１０犪犫３÷（－５犪犫）； （２）－８犪２犫３÷６犪犫２；
（３）－２１狓２狔４÷（－３狓２狔３）； （４）（６×１０８）÷（３×１０５）．
３．计算：
（１）（６犪犫＋５犪）÷犪； （２）（１５狓２狔－１０狓狔２）÷５狓狔．
习题２１．１
１．下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（１）犫３·犫３＝２犫３； （２）狓４·狓４＝狓１６； （３）（犪５）２＝犪７；
（４）（犪３）２·犪４＝犪９； （５）（犪犫２）３＝犪犫６； （６）（－２犪）２＝－４犪２．
２．计算：
（１）狓·狓３＋狓２·狓２； （２）（－狆狇）３；
（３）－（－２犪２犫）４； （４）犪３·犪４·犪＋（犪２）４＋（－２犪４）２．
３．计算：
（１）６狓２·３狓狔； （２）２犪犫２·（－３犪犫）；
（３）４狓２狔·（－狓狔２）３； （４）（１．３×１０５）（３．８×１０３）．
４８
!"#$%&’()*+,-(./４．计算：
（ ）
１
（１）（４犪－犫２）（－２犫）； （２）２狓２狓－ ；
２
（ ）
２ ４
（３）５犪犫（２犪－犫＋０．２）； （４）２犪２－ 犪－ （－９犪）．
３ ９
５．计算：
（ ）（ ）
１ １
（１）（狓－６）（狓－３）； （２）狓＋ 狓－ ；
２ ３
（３）（３狓＋２）（狓＋２）； （４）（４狔－１）（５－狔）；
（５）（狓－２）（狓２＋４）； （６）（狓－狔）（狓２＋狓狔＋狔２）．
６．计算：
（１）（犪３）２÷（犪２）３； （２）（犪犫２）３÷（－犪犫）２；
（３）２４狓２狔÷（－６狓狔）； （４）７犿（４犿２狆）２÷７犿２；
（５）（６狓４－８狓３）÷（－２狓２）；
（ ）
１ １
（６）０．２５犪２犫－ 犪３犫２－ 犪４犫３ ÷（－０．５犪２犫）．
２ ６
１
７．求值：狓２（狓－１）－狓（狓２＋狓－１），其中狓＝ ．
２
８．计算：
（１）（狓－３）（狓－３）－６（狓２＋狓－１）；
（２）（２狓＋１）２－（狓＋３）２－（狓－１）２＋１．
９．信息技术的存储设备常用Ｂ，ＫＢ，ＭＢ，ＧＢ等作为存
储量的单位．例如，我们常说某计算机的硬盘容量是
３２０ＧＢ，某移动硬盘的容量是８０ＧＢ，某个文件大小是
１５６ＫＢ等，其中１ＧＢ＝２１０ＭＢ，１ＭＢ＝２１０ＫＢ，１ＫＢ＝
２１０Ｂ （字节）．对于一个存储量为８ＧＢ的闪存盘，其容
量有多少Ｂ （字节）？
１０．卫星绕地球运动的速度 （即第一宇宙速度）是７．９×
１０３ｍ／ｓ，求卫星绕地球运行２×１０２ｓ走过的路程．
４９
!"#$%&’()*+,-(./１１．计算图中阴影所示绿地的面积 （长度单位：ｍ）．
!"#$%&’()*+,-(./
a5.2
a 2a 2a 2a a
a5.1 a
b
（第１１题） （第１２题）
１２．如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周
突出部分折起，制成一个高为犪的长方体形状的无盖纸盒．如果纸盒的容积为
４犪２犫，底面长方形的一边长为犫（犫＜４犪），求长方形纸板的长和宽．
１３．已知２犿＝犪，３２狀＝犫，犿，狀为正整数，求２３犿＋１０狀．
１４．解方程与不等式：
（１）（狓－３）（狓－２）＋１８＝（狓＋９）（狓＋１）；
（２）（３狓＋４）（３狓－４）＜９（狓－２）（狓＋３）．
１５．确定下列各式中犿的值：
（１）（狓＋４）（狓＋９）＝狓２＋犿狓＋３６；
（２）（狓－２）（狓－１８）＝狓２＋犿狓＋３６；
（３）（狓＋３）（狓＋狆）＝狓２＋犿狓＋３６；
（４）（狓－６）（狓－狆）＝狓２＋犿狓＋３６；
（５）（狓＋狆）（狓＋狇）＝狓２＋犿狓＋３６，狆，狇为正整数．
５０２１．２ 乘法公式
某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，当遇到相同形式的多
项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果．
２１．２．１ 平方差公式
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（１）（狓＋１）（狓－１）＝ ； （２）（犿＋２）（犿－２）＝ ；
（３）（２狓＋１）（２狓－１）＝ ．
上面的几个运算都是形如犪＋犫的多项式与形如犪－犫的多项式相乘．由于
（犪＋犫）（犪－犫）＝犪２－犪犫＋犪犫－犫２
＝犪２－犫２ ，
所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我
们可以直接写出运算结果，即
平方差公式是多项
（犪＋犫）（犪－犫）＝犪２－犫２．
式乘法（犪＋犫）（狆＋狇）
也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等
中狆＝犪，狇＝－犫的特
殊情形．
于这两个数的平方差．
这 个 公 式 叫 做 （乘 法 的）平 方 差 公 式
（ｆｏｒｍｕｌａｆｏｒｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｏｆｓｑｕａｒｅｓ）．
!"#$%&’()*+,-(./
a
b
a
b
你能根据图２１．２１中图形的面积说明平方
差公式吗？
b
图２１．２１
５１例１ 运用平方差公式计算：
（１）（３狓＋２）（３狓－２）； （２）（－狓＋２狔）（－狓－２狔）．
分析：在（１）中，可以把３狓看成犪，２看成犫，即
（３狓＋２）（３狓－２）＝（３狓） ２－２２．
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
（犪＋犫）（犪－犫）＝犪２ －犫２
解：（１） （３狓＋２）（３狓－２）
＝（３狓） ２－２２
＝９狓２－４；
（２） （－狓＋２狔）（－狓－２狔） 你还有其他的
＝（－狓） ２－（２狔）
２
计算方法吗？
＝狓２－４狔２．
例２ 计算：
（１）（狔＋２）（狔－２）－（狔－１）（狔＋５）；
只有符合公式条件
（２）１０２×９８．
的乘法，才能运用公式
解：（１） （狔＋２）（狔－２）－（狔－１）（狔＋５）
简化运算，其余的运算
＝狔２－２２－（狔２＋４狔－５）
仍按乘法法则进行．
＝狔２－４－狔２－４狔＋５
＝－４狔＋１；
（２）１０２×９８＝（１００＋２）（１００－２）
＝１００２－２２＝１００００－４
＝９９９６．
１．下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（１）（狓＋２）（狓－２）＝狓２－２； （２）（－３犪－２）（３犪－２）＝９犪２－４．
２．运用平方差公式计算：
（１）（犪＋３犫）（犪－３犫）； （２）（３＋２犪）（－３＋２犪）；
（３）５１×４９； （４）（３狓＋４）（３狓－４）－（２狓＋３）（３狓－２）．
５２
!"#$%&’()*+,-(./２１．２．２ 完全平方公式
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（１）（狆＋１） ２＝（狆＋１）（狆＋１）＝ ；
（２）（犿＋２） ２＝ ；
（３）（狆－１） ２＝（狆－１）（狆－１）＝ ；
（４）（犿－２） ２＝ ．
上面的几个运算都是形如（犪±犫）
２
的多项式相乘，由于
（犪＋犫） ２＝（犪＋犫）（犪＋犫）＝犪２＋犪犫＋犪犫＋犫２
＝犪２＋２犪犫＋犫２ ，
（犪－犫） ２＝（犪－犫）（犪－犫）＝犪２－犪犫－犪犫＋犫２
＝犪２－２犪犫＋犫２ ，
所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即
（犪＋犫） ２＝犪２＋２犪犫＋犫２ ，
（犪－犫） ２＝犪２－２犪犫＋犫２．
完全平方公式是多
项式乘法（犪＋犫）（狆＋狇）
也就是说，两个数的和 （或差）的平方，等于它
中狆＝犪，狇＝犫的特殊
们的平方和，加上 （或减去）它们的积的２倍．
情形．
这两个公式叫做 （乘法的）完全平方公式
（ｆｏｒｍｕｌａｆｏｒｔｈｅｓｑｕａｒｅｏｆｔｈｅｓｕｍ）．
你能根据图２１．２２和图２１．２３中图形的面积说明完全平方公式吗？
!"#$%&’()*+,-(./
书书书
a
b
b
a
b
a
a b
图２１．２２ 图２１．２３
５３例３ 运用完全平方公式计算：
（ １）
（１）（４犿＋狀）
２
； （２）狔－ ２．
２
解：（１）（４犿＋狀） ２＝（４犿） ２＋２·（４犿）·狀＋狀２
＝１６犿２＋８犿狀＋狀２ ；
（ １） １ （１）
（２）狔－ ２＝狔２－２·狔· ＋ ２
２ ２ ２
１
＝狔２－狔＋ ．
４
例４ 运用完全平方公式计算：
（１）１０２２ ； （２）９９２．
解：（１） １０２２＝（１００＋２） ２＝１００２＋２×１００×２＋２２
＝１００００＋４００＋４
＝１０４０４；
（２） ９９２＝（１００－１） ２＝１００２－２×１００×１＋１２
＝１００００－２００＋１
＝９８０１．
（犪＋犫）
２
与 （－犪－犫）
２
相等吗？（犪－犫）
２
与 （犫－犪）
２
相等吗？（犪－犫）
２
与犪２－犫２ 相等吗？为什么？
１．运用完全平方公式计算：
（１）（狓＋６）２； （２）（狔－５）２；
（ ）
３ ２ ２
（３）（－２狓＋５）２； （４） 狓－ 狔 ．
４ ３
２．下面各式的计算错在哪里？应当怎样改正？
（１）（犪＋犫）２＝犪２＋犫２； （２）（犪－犫）２＝犪２－犪犫＋犫２．
５４
!"#$%&’()*+,-(./运用乘法公式计算，有时要在式子中添括号．在第二章中，我们学过去括
号法则，即
犪＋（犫＋犮）＝犪＋犫＋犮；
犪－（犫＋犮）＝犪－犫－犮．
反过来，就得到添括号法则：
犪＋犫＋犮＝犪＋（犫＋犮）；
犪－犫－犮＝犪－（犫＋犮）．
也就是说，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符
号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
例５ 运用乘法公式计算：
（１）（狓＋２狔－３）（狓－２狔＋３）； （２）（犪＋犫＋犮） ２．
解：（１） （狓＋２狔－３）（狓－２狔＋３）
＝［狓＋（２狔－３）］［狓－（２狔－３）］
＝狓２－（２狔－３）
２
有些整式相乘需
＝狓２－（４狔２－１２狔＋９）
要先作适当变形，然
＝狓２－４狔２＋１２狔－９；
后再用公式．
（２） （犪＋犫＋犮）
２
＝［（犪＋犫）＋犮］
２
＝（犪＋犫） ２＋２（犪＋犫）犮＋犮２
＝犪２＋２犪犫＋犫２＋２犪犮＋２犫犮＋犮２
＝犪２＋犫２＋犮２＋２犪犫＋２犪犮＋２犫犮．
１．在等号右边的括号内填上适当的项，并用去括号法则检验．
（１）犪＋犫－犮＝犪＋（ ）； （２）犪－犫＋犮＝犪－（ ）；
（３）犪＋犫－犮＝犪－（ ）； （４）犪＋犫＋犮＝犪－（ ）．
２．运用乘法公式计算：
（１）（犪＋２犫－１）２； （２）（２狓＋狔＋狕）（２狓－狔－狕）．
５５
!"#$%&’()*+,-(./习题２１．２
１．运用平方差公式计算：
（ ）（ ）
２ ２
（１） 狓－狔 狓＋狔； （２）（狓狔＋１）（狓狔－１）；
３ ３
（３）（２犪－３犫）（３犫＋２犪）； （４）（－２犫－５）（２犫－５）；
（５）２００１×１９９９； （６）９９８×１００２．
２．运用完全平方公式计算：
（１）（２犪＋５犫）２； （２）（４狓－３狔）２； （３）（－２犿－１）２；
（ ）
２ ２
（４）１．５犪－ 犫 ； （５）６３２； （６）９８２．
３
３．运用乘法公式计算：
（１）（３狓－５）２－（２狓＋７）２； （２）（狓＋狔＋１）（狓＋狔－１）；
（３）（２狓－狔－３）２； （４）［（狓＋２）（狓－２）］２．
４．先化简，再求值：
１ １
（２狓＋３狔）２－（２狓＋狔）（２狓－狔），其中狓＝ ，狔＝－ ．
３ ２
５．一个正方形的边长增加３ｃｍ，它的面积就增加３９ｃｍ２，这个
正方形的边长是多少？
a b
６．如图，一块直径为犪＋犫的圆形钢板，从中挖去直径分别为犪
与犫的两个圆，求剩下的钢板的面积．
（第６题）
７．已知犪＋犫＝５，犪犫＝３，求犪２＋犫２ 的值．
８．解不等式（２狓－５）２＋（３狓＋１）２＞１３（狓２－１０）．
９．解方程组
烄（狓＋２）２－（狔－３）２＝（狓＋狔）（狓－狔），
烅
烆狓－３狔＝２．
５６
!"#$%&’()*+,-(./
杨辉三角
我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的 “数学是我国人民所擅长的学科”一文中
谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人
民在人类史上，有过无比睿智的成就．”其中 “杨辉三角”（图１）就是一例．
图
１
在我国南宋数学家杨辉 （约１３世纪）所著的 《详解九章算术》 （１２６１年）一书中，
用图１的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪
（１０５０年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为 “杨辉三角”或 “贾宪三角”．
杨辉三角两腰上的数都是１，其余每个数为它的上方
（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（犪＋犫）狀
这个三角形被欧洲学
（狀＝１，２，３，４，５，６）的展开式 （按犪的次数由大到小
者称为 “帕斯卡三角”．法国
的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第３行的３个数
数 学 家 帕 斯 卡 （Ｐａｓｃａｌ，
１，２，１，恰好对应着 （犪＋犫）２＝犪２＋２犪犫＋犫２ 展开式中 １６２３—１６６２）于１６５４年发现
的各项的系数；第４行的４个数１，３，３，１，恰好对应 了此三角形．
着（犪＋犫）３＝犪３＋３犪２犫＋３犪犫２＋犫３ 展开式中各项的系数，
等等．
利用上面的三角形，你能写出（犪＋犫）６ 的展开式吗？
请利用整式的乘法验证你的结果．
５７
!"#$%&’()*+,-(./２１．３ 因式分解
我们知道，利用整式的乘法运算，有时可以将几个整式的乘积化为一个多
项式的形式．反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的
乘积的形式．
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
（１）狓２＋狓＝ ； （２）狓２－１＝ ．
根据整式的乘法，可以联想得到
狓２＋狓＝狓（狓＋１），
狓２－１＝（狓＋１）（狓－１）．
上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫
做这个多项式的因式分解 （ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ），也叫做把这个多项式分解因式．
可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即
因式分解
狓２－１幑帯帯帯幐 （狓＋１）（狓－１）．
整式乘法
下面我们学习因式分解的两种基本方法．
２１．３．１ 提公因式法
我们看多项式
狆犪＋狆犫＋狆犮，
它的各项都有一个公共的因式狆，我们把因式狆叫做这个多项式各项的公因式
（ｃｏｍｍｏｎｆａｃｔｏｒ）．
由狆（犪＋犫＋犮）＝狆犪＋狆犫＋狆犮，可得
狆犪＋狆犫＋狆犮＝狆（犪＋犫＋犮）．
这样就把狆犪＋狆犫＋狆犮分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公
因式狆，另一个因式犪＋犫＋犮是狆犪＋狆犫＋狆犮除以狆所得的商．
５８
!"#$%&’()*+,-(./一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多
项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因
式法．
下面我们看几个利用提公因式法分解因式的例子．
例１ 把８犪３犫２＋１２犪犫３犮分解因式．
分析：先找出８犪３犫２ 与１２犪犫３犮的公因式，再
提出公因式．我们看这两项的系数８与１２，它们的
最大公约数是４；两项的字母部分犪３犫２ 与犪犫３犮都 如果提出公因式
含有字母犪和犫，其中犪的最低次数是１，犫的最低 ４犪犫，另一个因式是否
还有公因式？
次数是２，因此我们选定４犪犫２ 为要提出的公因式．
提出公因式４犪犫２ 后，另一个因式２犪２＋３犫犮就不再
有公因式了．
解： ８犪３犫２＋１２犪犫３犮
＝４犪犫２ ·２犪２＋４犪犫２ ·３犫犮
＝４犪犫２ （２犪２＋３犫犮）．
例２ 把２犪（犫＋犮）－３（犫＋犮）分解因式．
分析：犫＋犮是这两个式子的公因式，可以直 如何检查因式分
接提出． 解是否正确？
解： ２犪（犫＋犮）－３（犫＋犮）
＝（犫＋犮）（２犪－３）．
１．把下列各式分解因式：
（１）犪狓＋犪狔； （２）３犿狓－６犿狔；
（３）８犿２狀＋２犿狀； （４）１２狓狔狕－９狓２狔２；
（５）２犪（狔－狕）－３犫（狕－狔）； （６）狆（犪２＋犫２）－狇（犪２＋犫２）．
２．先分解因式，再求值：
４犪２（狓＋７）－３（狓＋７），其中犪＝－５，狓＝３．
３．计算５×３４＋４×３４＋９×３２．
５９
!"#$%&’()*+,-(./２１．３．２ 公式法
多项式犪２－犫２ 有什么特点？你能将它分解因式吗？
这个多项式是两个数的平方差的形式．由于整式的乘法与因式分解是方向
相反的变形，把整式乘法的平方差公式（犪＋犫）（犪－犫）＝犪２－犫２ 的等号两边互
换位置，就得到
犪２－犫２＝（犪＋犫）（犪－犫），
即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
例３ 分解因式：
（１）４狓２－９； （２）（狓＋狆） ２－（狓＋狇） ２．
分析：在（１）中，４狓２＝（２狓） ２ ，９＝３２ ，４狓２－９＝（２狓） ２－３２ ，即可用平方
差公式分解因式；在 （２）中，把狓＋狆和狓＋狇各看成一个整体，设狓＋狆＝
犿，狓＋狇＝狀，则原式化为犿２－狀２．
解：（１） ４狓２－９
＝（２狓） ２－３２
＝（２狓＋３）（２狓－３）；
（２） （狓＋狆） ２－（狓＋狇）
２
＝［（狓＋狆）＋（狓＋狇）］［（狓＋狆）－（狓＋狇）］
＝（２狓＋狆＋狇）（狆－狇）．
例４ 分解因式：
（１）狓４－狔４ ； （２）犪３犫－犪犫．
分析：对于 （１），狓４－狔４ 可以写成（狓２ ） ２－（狔２ ）
２
的形式，这样就可以利
用平方差公式进行因式分解了；对于 （２），犪３犫－犪犫有公因式犪犫，应先提出公
因式，再进一步分解．
解：（１） 狓４－狔４
＝（狓２＋狔２ ）（狓２－狔２ ）
＝（狓２＋狔２ ）（狓＋狔）（狓－狔）；
６０
!"#$%&’()*+,-(./（２） 犪３犫－犪犫
＝犪犫（犪２－１） 分解因式，必须进
＝犪犫（犪＋１）（犪－１）． 行到每一个多项式因式
都不能再分解为止．
１．下列多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？
（１）狓２＋狔２； （２）狓２－狔２；
（３）－狓２＋狔２； （４）－狓２－狔２．
２．分解因式：
１
（１）犪２－ 犫２； （２）９犪２－４犫２；
２５
（３）狓２狔－４狔； （４）－犪４＋１６．
多项式犪２＋２犪犫＋犫２ 与犪２－２犪犫＋犫２ 有什么特点？你能将它们分解因
式吗？
这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的２倍，这恰是
两个数的和或差的平方，我们把犪２＋２犪犫＋犫２ 和犪２－２犪犫＋犫２ 这样的式子叫做
完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解．
把整式乘法的完全平方公式
（犪＋犫） ２＝犪２＋２犪犫＋犫２ ，
（犪－犫） ２＝犪２－２犪犫＋犫２
的等号两边互换位置，就得到
犪２＋２犪犫＋犫２＝（犪＋犫）
２
，
犪２－２犪犫＋犫２＝（犪－犫）
２
，
即两个数的平方和加上 （或减去）这两个数的积的２倍，等于这两个数的和
（或差）的平方．
６１
!"#$%&’()*+,-(./例５ 分解因式：
（１）１６狓２＋２４狓＋９； （２）－狓２＋４狓狔－４狔２．
分析：在（１）中，１６狓２＝（４狓）
２
，９＝３２ ，２４狓＝２·４狓·３，所以１６狓２＋
２４狓＋９是一个完全平方式，即
１６狓２＋２４狓＋９＝（４狓） ２＋２·４狓·３＋３２．
↑ ↑ ↑ ↑ ↑
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
犪２ ＋ ２·犪·犫＋犫２
解：（１） １６狓２＋２４狓＋９
＝（４狓） ２＋２·４狓·３＋３２
＝（４狓＋３）
２
；
（２） －狓２＋４狓狔－４狔２
＝－（狓２－４狓狔＋４狔２ ）
＝－［狓２－２·狓·２狔＋（２狔）
２
］
＝－（狓－２狔） ２．
例６ 分解因式：
（１）３犪狓２＋６犪狓狔＋３犪狔２ ； （２）（犪＋犫） ２－１２（犪＋犫）＋３６．
分析：（１）中有公因式３犪，应先提出公因式，再进一步分解；（２）中，将
犪＋犫看作一个整体，设犪＋犫＝犿，则原式化为完全平方式犿２－１２犿＋３６．
解：（１） ３犪狓２＋６犪狓狔＋３犪狔２
＝３犪（狓２＋２狓狔＋狔２ ）
＝３犪（狓＋狔）
２
；
（２） （犪＋犫） ２－１２（犪＋犫）＋３６
＝（犪＋犫） ２－２·（犪＋犫）·６＋６２
＝（犪＋犫－６） ２．
可以看出，如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因
式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法
叫做公式法．
６２
!"#$%&’()*+,-(./１．下列多项式是不是完全平方式？为什么？
（１）犪２－４犪＋４； （２）１＋４犪２；
（３）４犫２＋４犫－１； （４）犪２＋犪犫＋犫２．
２．分解因式：
（１）狓２＋１２狓＋３６； （２）－２狓狔－狓２－狔２；
（３）犪２＋２犪＋１； （４）４狓２－４狓＋１；
（５）犪狓２＋２犪２狓＋犪３； （６）－３狓２＋６狓狔－３狔２．
习题２１．３
分解因式 （第１～３题）：
１． （１）１５犪３＋１０犪２； （２）１２犪犫犮－３犫犮２；
（３）６狆（狆＋狇）－４狇（狆＋狇）； （４）犿（犪－３）＋２（３－犪）．
２． （１）１－３６犫２； （２）１２狓２－３狔２；
（３）０．４９狆２－１４４； （４）（２狓＋狔）２－（狓＋２狔）２．
３． （１）１＋１０狋＋２５狋２； （２）犿２－１４犿＋４９；
１
（３）狔２＋狔＋ ； （４）（犿＋狀）２－４犿（犿＋狀）＋４犿２；
４
（５）２５犪２－８０犪＋６４； （６）犪２＋２犪（犫＋犮）＋（犫＋犮）２．
４．利用因式分解计算：
（１）２１×３．１４＋６２×３．１４＋１７×３．１４；
（２）７５８２－２５８２．
５．分解因式：
（１）（犪－犫）２＋４犪犫； （２）（狆－４）（狆＋１）＋３狆；
（３）４狓狔２－４狓２狔－狔３； （４）３犪狓２－３犪狔２．
６．如下页图，把犚，犚，犚 三个电阻串联起来，线路犃犅上的电流为犐，电压为
１ ２ ３
犝，则犝＝犐犚＋犐犚＋犐犚．当犚＝１９．７，犚＝３２．４，犚＝３５．９，犐＝２．５时，
１ ２ ３ １ ２ ３
求犝的值．
６３
!"#$%&’()*+,-(./A I I B
R R R
1 2 3
（第６题）
７．如图，在半径为犚的圆形钢板上，挖去半径为狉的四个小圆，计算当犚＝
７．８ｃｍ，狉＝１．１ｃｍ时剩余部分的面积 （π取３．１４）．
2m
R
r r
r r
（第７题）
!"#$%&’()*+,-(./
mx
m2
（第８题）
８．如图，某小区规划在边长为狓ｍ的正方形场地上，修建两条宽为２ｍ的甬道，其
余部分种草，你能用几种方法计算甬道所占的面积？
９．已知４狔２＋犿狔＋９是完全平方式，求犿的值．
１０．观察下列式子：
２×４＋１＝９＝３２；
６×８＋１＝４９＝７２；
１４×１６＋１＝２２５＝１５２；
……
你得出了什么结论？你能证明这个结论吗？
１１．在实数范围内分解因式：
（１）狓２－２； （２）５狓２－３．
（提示：根据平方根的意义把各式写成平方差的形式．）
６４
狓
２
＋（狆＋狇）狓＋狆狇型式子的因式分解
狓２＋（狆＋狇）狓＋狆狇型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子
进行因式分解呢？
在第４６页的练习第２题中，我们发现，（狓＋狆）（狓＋狇）＝狓２＋（狆＋狇）狓＋狆狇．这个规
律可以利用多项式的乘法法则推导得出：
（狓＋狆）（狓＋狇）
＝狓２＋狆狓＋狇狓＋狆狇
＝狓２＋（狆＋狇）狓＋狆狇．
因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得
狓２＋（狆＋狇）狓＋狆狇＝（狓＋狆）（狓＋狇）． ①
利用①式可以将某些二次项系数是１的二次三项式分解因式．例如，将式子狓２＋３狓
＋２分解因式．这个式子的二次项系数是１，常数项２＝１×２，一次项系数３＝１＋２，因此
这是一个狓２＋（狆＋狇）狓＋狆狇型的式子．利用①式可得狓２＋３狓＋２＝（狓＋１）（狓＋２）．
上述分解因式狓２＋３狓＋２的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二
次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线
的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数 （图１）．
１
１
１ ２
１×２＋１×１＝３
图１
这样，我们也可以得到狓２＋３狓＋２＝（狓＋１）（狓＋２）．
利用这种方法，你能将下列多项式分解因式吗？
（１）狓２＋７狓＋１０； （２）狓２－２狓－８；
（３）狔２－７狔＋１２； （４）狓２＋７狓－１８．
６５
!"#$%&’()*+,-(./
我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
１５×１５＝１×２×１００＋２５＝２２５，
２５×２５＝２×３×１００＋２５＝６２５，
３５×３５＝３×４×１００＋２５＝１２２５，
……
你能写出一般的规律吗？你能用本章所学知识证明你的结论吗？
（１）计算下列两个数的积 （这两个数的十位上的数相同，个位上的数
的和等于１０），你发现结果有什么规律？
５３×５７，３８×３２，８４×８６，７１×７９．
（２）你能用本章所学知识解释这个规律吗？
（３）利用你发现的规律计算：
５８×５２，６３×６７，７５２ ，９５２．
６６
!"#$%&’()*+,-(./小 结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
本章我们类比数的乘法学习了整式的乘法．整式的乘法主要包括幂的运算
性质、单项式的乘法、多项式的乘法等．利用 “除法是乘法的逆运算”，学习了
简单的整式除法．并学习了因式分解这种与整式的乘法方向相反的变形．它们都
是进一步学习的重要基础．
由于整式中的字母表示数，因此数的运算律和运算性质在整式的运算中仍
然成立．在整式的乘法中，多项式的乘法要利用分配律转化为单项式的乘法，
而单项式的乘法又要利用交换律和结合律转化为幂的运算．因此，幂的运算是
基础，单项式的乘法是关键．整式的除法也与此类似．
因式分解是与整式的乘法方向相反的变形．整式的乘法是把几个整式相乘，
得到一个新的整式；而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘．知道了这
种关系，不仅有助于理解因式分解的意义，而且也可以把整式乘法的过程反过
来，得到分解因式的方法．
某些具有特殊形式的多项式相乘，可以写成乘法公式的形式，利用它们可
以简化运算．把乘法公式的等号两边交换位置，就得到了分解因式的相应公式．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方如何运算？请举例说明．
２．举例说明怎样将多项式乘 （除以）单项式转化为单项式的乘除．多项式
乘多项式是如何转化为单项式相乘的？
６７
!"#$%&’()*+,-(./３．本章学习了哪几个乘法公式？你能说出它们的结构特点吗？你能从几何
直观的角度用图形解释乘法公式吗？
４．举例说明因式分解与整式乘法之间的关系，你学习了哪几种分解因式的
方法？请举例说明．
复习题２１
１．计算：
（１）（－２狓２狔３）２·（狓狔）３； （２）（２犪＋３犫）（２犪－犫）；
（３）５狓２（狓＋１）（狓－１）； （４）（２狓＋狔－１）２；
（５）５９．８×６０．２； （６）１９８２．
２．计算：
（ ）
２ ３
（１）（２犪）３·犫４÷１２犪３犫２； （２） － 犪７犫５ ÷ 犪２犫５；
３ ２
（ ）
６ ３
（３） 犪３狓４－０．９犪狓３ ÷ 犪狓３； （４）（７狓２狔３－８狓３狔２狕）÷８狓２狔２．
５ ５
３．分解因式：
（１）２５狓２－１６狔２； （２）（犪－犫）（狓－狔）－（犫－犪）（狓＋狔）；
（３）犪２－４犪犫＋４犫２； （４）４＋１２（狓－狔）＋９（狓－狔）２．
４．我国陆地面积约是９．６×１０６ｋｍ２．平均每平方千米的陆
地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧１．３×１０５ｔ煤
所产生的能量．求在我国陆地上，一年内从太阳得到的
1 m
能量约相当于燃烧多少吨煤所产生的能量．
５．在半径犚为０．５ｍ的地球仪的表面之外，距赤道１ｍ拉 O
一条绳子绕地球仪一周，这条绳长比地球仪的赤道的周
长多几米？如果在地球赤道表面也同样做，情况又怎样
（已知地球半径为６３７０ｋｍ，π取３．１４）？ （第５题）
６．计算：
（ ） （ ）
１ １ ２
（１）４（狓＋１）２－（２狓＋５）（２狓－５）； （２）２狓 狓２－１ －３狓 狓２＋ ；
２ ３ ３
（３）３（狔－狕）２－（２狔＋狕）（－狕＋２狔）； （４）［狓（狓２狔２－狓狔）－狔（狓２－狓３狔）］÷３狓２狔．
６８
!"#$%&’()*+,-(./７．分解因式：
（１）狓３－９狓； （２）１６狓４－１；
（３）６狓狔２－９狓２狔－狔３； （４）（２犪－犫）２＋８犪犫．
８．已知（狓＋狔）２＝２５，（狓－狔）２＝９，求狓狔与狓２＋狔２ 的值．
９．如图，水压机有四根空心钢立柱，每根高都是１８ｍ，外径犇为１ｍ，内径犱为
０．４ｍ．每立方米钢的质量为７．８ｔ，求４根立柱的总质量 （π取３．１４）．
D
d
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
h
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
（第９题） （第１０题）
１０．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是２０１２年８月份的
日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中４个位置上的数交
叉相乘，再相减，例如：７×１３－６×１４＝７，１７×２３－１６×２４＝７，不难发现，
结果都是７．
（１）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；
（２）换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？
（３）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
１１．求证：当狀是整数时，两个连续奇数的平方差（２狀＋１）２－（２狀－１）２ 是８的倍数．
１２．某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案：
（１）第一次提价狆％，第二次提价狇％；
（２）第一次提价狇％，第二次提价狆％；
狆＋狇
（３）第一、二次提价均为 ％．
２
其中狆，狇是不相等的正数．三种方案哪种提价最多？
（提示：因为狆≠狇，（狆－狇）２＝狆２－２狆狇＋狇２＞０，所以狆２＋狇２＞２狆狇．）
６９
!"#$%&’()*+,-(./第二十二章 分式
一艘轮船在静水中的最大航速为３０ｋｍ／ｈ，它
以最大航速沿江顺流航行９０ｋｍ 所用时间，与以
最大航速逆流航行６０ｋｍ 所用时间相等，江水的
流速为多少？
如果设江水流速为狏ｋｍ／ｈ，则轮船顺流航行
９０
９０ｋｍ所用时间为 ｈ，逆流航行６０ｋｍ所用
３０＋狏
６０ ９０ ６０
时间为 ｈ，由方程 ＝ 可以解出狏
３０－狏 ３０＋狏 ３０－狏
的值．
９０ ６０
像 和 这样分母中含有字母的式子
３０＋狏 ３０－狏
都是分式．本章中，我们将类比分数学习分式，解
一些分式方程，并利用分式的知识解决一些实际
问题．
书书书２２．１ 分式
２２．１．１ 从分数到分式
填空：
（１）长方形的面积为１０ｃｍ２ ，长为７ｃｍ，
则宽为 ｃｍ；长方形的面积为犛，长为
同５÷３可以写成
犪，则宽为 ．
５
（２）把体积为２００ｃｍ３ 的水倒入底面积为
３
一样，式子犃÷犅
３３ｃｍ２ 的圆柱形容器中，则水面高度为 ｃｍ； 犃
可以写成 ．
把体积为犞的水倒入底面积为犛的圆柱形容器 犅
中，则水面高度为 ．
１０ 犛 ２００ 犞
上面问题中，填出的依次是 ， ， ， ．
７ 犪 ３３ 犛
犛 犞 ９０ ６０
式子 ， 以及引言中的式子 ， 有什么共同点？它们与
犪 犛 ３０＋狏 ３０－狏
分数有什么相同点和不同点？
犃
可以发现，这些式子与分数一样都是 （即犃÷犅）的形式．分数的分子犃
犅
与分母犅都是整数，而这些式子中的犃与犅都是整式，并且犅中都含有
字母．
犃
一般地，如果犃，犅表示两个整式，并且犅中含有字母，那么式子 叫
犅
犃
做分式 （ｆｒａｃｔｉｏｎ）．分式 中，犃叫做分子，犅叫做分母．
犅
７１
!"#"$%&’犛 犞 ９０ ６０
分式是不同于整式的另一类式子．上面的 ， ， 和 等都是分
犪 犛 ３０＋狏 ３０－狏
式．由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性．例如，分数
２ 狓
仅表示２÷３的商，而分式 既可以表示２÷３，又可以表示（－５）÷２，８÷
３ 狔
（－９）等．
我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为０．要使分式有意
义，分式中的分母应满足什么条件？
分式的分母表示除数，由于除数不能为０，所以分式的分母不能为０，即当
犃
犅≠０时，分式 才有意义．
犅
例１ 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
２ 狓
（１） ； （２） ；
３狓 狓－１
１ 狓＋狔
（３） ； （４） ．
５－３犫 狓－狔
２
解：（１）要使分式 有意义，则分母３狓≠０，
３狓
即狓≠０； 如无特别声明，
本章出现的分式都有
狓
（２）要使分式 有意义，则分母狓－１≠０，
意义．
狓－１
即狓≠１；
１ ５
（３）要使分式 有意义，则分母５－３犫≠０，即犫≠ ；
５－３犫 ３
狓＋狔
（４）要使分式 有意义，则分母狓－狔≠０，即狓≠狔．
狓－狔
１．列式表示下列各量：
（１）某村有狀个人，耕地４０ｈｍ２，则人均耕地面积为 ｈｍ２．
７２
!"#"$%&’（２）△犃犅犆的面积为犛，犅犆边的长为犪，则高犃犇为 ．
（３）一辆汽车犫ｈ行驶了犪ｋｍ，则它的平均速度为 ｋｍ／ｈ；一列火
车行驶犪ｋｍ比这辆汽车少用１ｈ，则它的平均速度为 ｋｍ／ｈ．
２．下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？
１ 狓 ４ ２犪－５ 狓 犿－狀 狓２＋２狓＋１ 犮
， ， ， ， ， ， ， ．
狓 ３ ３犫３＋５ ３ 狓２－狔２ 犿＋狀 狓２－２狓＋１ ３（犪－犫）
３．下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
２ 狓＋１ ２犿
（１） ； （２） ； （３） ；
犪 狓－１ ３犿＋２
１ ２犪＋犫 ２
（４） ； （５） ； （６） ．
狓－狔 ３犪－犫 狓２－１
２２．１．２ 分式的基本性质
由分数的基本性质可知，如果数犮≠０，那么
２ ２犮 ４犮 ４
３
＝
３犮
，
５犮
＝
５
．
分数的基本性质：
一个分数的分子、
犪
一般地，对于任意一个分数 ，有
分母乘 （或除以）同
犫
一个不为０的数，分
犪 犪·犮 犪 犪÷犮
＝ ， ＝ 犮（≠０）， 数的值不变．
犫 犫·犮 犫 犫÷犮
其中犪，犫，犮是数．
类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？
分式的基本性质：
分式的分子与分母乘 （或除以）同一个不等于０的整式，分式的值不变．
上述性质可以用式子表示为
犃 犃·犆 犃 犃÷犆
＝ ， ＝ （犆≠０），
犅 犅·犆 犅 犅÷犆
其中犃，犅，犆是整式．
例２ 填空：
狓３ （ ） ３狓２＋３狓狔 狓＋狔
（１） ＝ ， ＝ ；
狓狔 狔 ６狓２ （ ）
７３
!"#"$%&’１ （ ） ２犪－犫 （ ）
（２） ＝ ， ＝ （犫≠０）．
犪犫 犪２犫 犪２ 犪２犫
狓３
解：（１）因为 的分母狓狔除以狓才能化为
狓狔
狔，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质， 看分母如何变化，
想分子如何变化．
分子也需除以狓，即
狓３ 狓３÷狓 狓２
＝ ＝ ．
狓狔 狓狔÷狓 狔
３狓２＋３狓狔
同样地，因为 的分子３狓２＋３狓狔除
６狓２
以３狓才能化为狓＋狔，所以分母也需除以３狓，即 看分子如何变化，
想分母如何变化．
３狓２＋３狓狔 （３狓２＋３狓狔）÷（３狓）狓＋狔
＝ ＝ ．
６狓２ ６狓２÷（３狓） ２狓
所以，括号中应分别填狓２ 和２狓．
１
（２）因为 的分母犪犫乘犪才能化为犪２犫，为保证分式的值不变，根据分
犪犫
式的基本性质，分子也需乘犪，即
１ １·犪 犪
＝ ＝ ．
犪犫犪犫·犪犪２犫
２犪－犫
同样地，因为 的分母犪２ 乘犫才能化为犪２犫，所以分子也需乘犫，即
犪２
２犪－犫 （２犪－犫）·犫 ２犪犫－犫２
＝ ＝ ．
犪２ 犪２ ·犫 犪２犫
所以，括号中应分别填犪和２犪犫－犫２．
我们知道，分数的约分和通分在分数的运算中起着非常重要的作用．类似
地，分式的约分和通分在分式的运算中也有非常重要的作用．下面讨论分式的
约分和通分．
联想分数的约分，由例２你能想出如何对分式进行约分吗？
与分数的约分类似，在例２ （１）中，我们利用分式的基本性质，约去
３狓２＋３狓狔 ３狓２＋３狓狔
的分子和分母的公因式３狓，不改变分式的值，把 化为
６狓２ ６狓２
７４
!"#"$%&’狓＋狔
．像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约
２狓
狓＋狔
去，叫做分式的约分 （ｒｅｄｕｃｔｉｏｎｏｆａｆｒａｃｔｉｏｎ）．经过约分后的分式 ，其
２狓
分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式
狓３ 狓２ 狓２
（ｆｒａｃｔｉｏｎｉｎｌｏｗｅｓｔｔｅｒｍｓ）．同样地， 被约分成 ， 也是最简分式．
狓狔 狔 狔
分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简
分式或者整式．
例３ 约分：
－２５犪２犫犮３ 狓２－９
（１） ； （２） ；
１５犪犫２犮 狓２＋６狓＋９
６狓２－１２狓狔＋６狔２
（３） ．
３狓－３狔
分析：为约分，要先找出分子和分母的公
如果分子或分
因式．
母是多项式，先分
－２５犪２犫犮３ ５犪犫犮·５犪犮２ ５犪犮２
解：（１） ＝－ ＝－ ； 解因式对约分有什
１５犪犫２犮 ５犪犫犮·３犫 ３犫
么作用？
狓２－９ （狓＋３）（狓－３）狓－３
（２） ＝ ＝ ；
狓２＋６狓＋９ （狓＋３） ２ 狓＋３
６狓２－１２狓狔＋６狔２ ６（狓－狔） ２
（３） ＝ ＝２（狓－狔）．
３狓－３狔 ３（狓－狔）
联想分数的通分，由例２你能想出如何对分式进行通分吗？
与分数的通分类似，在例２ （２）中，我们利用分式的基本性质，将分子
１ ２犪－犫
和分母乘同一个适当的整式，不改变分式的值，把 和 化成分母相同的
犪犫 犪２
分式．像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的
分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分 （ｒｅｄｕｃｔｉｏｎｏｆｆｒａｃｔｉｏｎｓｔｏａｃｏｍ
ｍｏｎｄｅｎｏｍｉｎａｔｏｒ）．
７５
!"#"$%&’
书书书例４ 通分：
３ 犪－犫 ２狓 ３狓
（１） 与 ； （２） 与 ．
２犪２犫 犪犫２犮 狓－５ 狓＋５
分析：为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最
高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．
解：（１）最简公分母是２犪２犫２犮．
３ ３·犫犮 ３犫犮
＝ ＝ ，
２犪２犫 ２犪２犫·犫犮 ２犪２犫２犮
犪－犫 （犪－犫）·２犪 ２犪２－２犪犫
２犪２犫的因式有２，
＝ ＝ ．
犪犫２犮 犪犫２犮·２犪 ２犪２犫２犮 犪２，犫；犪犫２犮的因式有
（２）最简公分母是（狓－５）（狓＋５）．
犪，犫２，犮．两式中所有
因式的最高次幂的积
２狓 ２狓（狓＋５） ２狓２＋１０狓
＝ ＝ ， 是２犪２犫２犮．
狓－５ （狓－５）（狓＋５） 狓２－２５
３狓 ３狓（狓－５） ３狓２－１５狓
＝ ＝ ．
狓＋５ （狓＋５）（狓－５） 狓２－２５
分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是
什么？
１．约分：
２犫犮 （狓＋狔）狔
（１） ； （２） ；
犪犮 狓狔２
狓２＋狓狔 狓２－狔２
（３） ； （４） ．
（狓＋狔）２ （狓－狔）２
２．通分：
狓 狔 ２犮 ３犪犮
（１） 与 ； （２） 与 ；
犪犫 犫犮 犫犱 ４犫２
狓 狔 ２狓狔 狓
（３） 与 ； （４） 与 ．
犪（狓＋２）犫（狓＋２） （狓＋狔）２ 狓２－狔２
７６
!"#"$%&’习题２２．１
１．填空并判断所填式子是否为分式：
（１）一位作家先用犿天写完了一部小说的上集，又用狀天写完下集，这部小说
（上、下集）共１２０万字，这位作家平均每天的写作量为 ；
（２）走一段长１０ｋｍ的路，步行用２狓ｈ，骑自行车所用时间比步行所用时间的一
半少０．２ｈ，骑自行车的平均速度为 ；
（３）甲完成一项工作需狋ｈ，乙完成同样工作比甲少用１ｈ，设工作总量为１，则
乙的工作效率为 ．
２．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
１ ３ 犫 犮 犪＋６ ３ 狓２＋２狓＋１ 犿＋狀
，狓－１， ， ， ， ， （狓＋狔）， ， ．
犪 犿 ３ 犪－犫 ２犫 ４ ５ 犿－狀
３．狓满足什么条件时下列分式有意义？
１ １ 狓－５ １
（１） ； （２） ； （３） ； （４） ．
３狓 ３－狓 ３狓＋５ 狓２－１６
４．下列各组中的两个分式是否相等？为什么？
２狓 ４狓狔 ６犪犮 ２犮
（１） 与 ； （２） 与 ．
狔 ２狔２ ９犪２犫 ３犪犫
５．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含 “－”号：
－５狔 －犪 ４犿 －狓
（１） ； （２） ； （３） ； （４）－ ．
－狓２ ２犫 －３狀 ２狔
６．约分：
５狓 ９犪犫２＋６犪犫犮
（１） ； （２） ；
２５狓２ ３犪２犫
９犪２＋６犪犫＋犫２ 狓２－３６
（３） ； （４） ．
３犪＋犫 ２狓＋１２
７．通分：
狓 ３狓 ６犮 犮
（１） 与 ； （２） 与 ；
３狔 ２狔２ 犪２犫 ３犪犫２
狓－狔 狓狔 ２犿狀 ２犿－３
（３） 与 ； （４） 与 ．
２狓＋２狔 （狓＋狔）２ ４犿２－９ ２犿＋３
８．狓满足什么条件时下列分式有意义？
１ 狓＋５
（１） ； （２） ．
狓（狓－１） 狓２＋１
７７
!"#"$%&’
书书书９．小李要打一份１２０００字的文件，第一天她打字２ｈ，打字速度为狑字／ｍｉｎ，第二
天她打字速度比第一天快了１０字／ｍｉｎ，两天打完全部文件，第二天她打字用了
多长时间？
１０．某村种植了犿ｈｍ２ 玉米，总产量为狀ｋｇ；水稻的种植面积比玉米的种植面积多
狆ｈｍ２，水稻的总产量比玉米总产量的２倍多狇ｋｇ．写出表示玉米和水稻的单位
面积产量 （单位：ｋｇ／ｈｍ２）的式子．
１１．有四块小场地：第一块是边长为犪ｍ的正方形，第二块是边长为犫ｍ的正方形，
其余两块都是长为犪ｍ、宽为犫ｍ的长方形．另有一块大长方形场地，它的面积
等于上面四块场地面积的和，它的长为２（犪＋犫）ｍ，用最简单的式子表示出大
长方形的宽．
１２．下列各式对不对？如果不对，写出正确答案：
１－犪 １ 狓狔－狓２ 狓
（１） ＝ ； （２） ＝ ．
犪２－２犪＋１ １－犪 （狓－狔）２ 狓－狔
１３．在什么条件下，下列分式的值为０？
狓－１ ５犪－犫
（１） ； （２） ．
狓 犪＋犫
７８
!"#"$%&’２２．２ 分式的运算
２２．２．１ 分式的乘除
问题１ 一个水平放置的长方体容器，其容积为犞，底面的长为犪，宽为
犿
犫，当容器内的水占容积的 时，水面的高度为多少？
狀
犞 犞 犿
长方体容器的高为 ，水面的高度为 · ．
犪犫 犪犫 狀
问题２ 大拖拉机犿天耕地犪ｈｍ２ ，小拖拉机狀天耕地犫ｈｍ２ ，大拖拉机
的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
犪 犫
大拖拉机的工作效率是 ｈｍ２ ／天，小拖拉机的工作效率是 ｈｍ２ ／天，大
犿 狀
犪 犫
拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的 ÷ 倍．
犿 狀
从上面的问题可知，为讨论数量关系有时需要进行分式的乘除运算．
分式与分数具有类似的形式，我们可以类比分数的运算法则认识分式的运
算法则．
你还记得分数的乘除法法则吗？类比分数的乘除法法则，你能说出分
式的乘除法法则吗？
类似于分数，分式有：
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的
分母．
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式
相乘．
上述法则可以用式子表示为
７９
!"#"$%&’犪 犮 犪·犮
· ＝ ，
犫 犱 犫·犱
犪 犮 犪 犱 犪·犱
÷ ＝ · ＝ ．
犫 犱 犫 犮 犫·犮
例１ 计算：
４狓 狔 犪犫３ －５犪２犫２
（１） · ； （２） ÷ ．
３狔 ２狓３ ２犮２ ４犮犱
４狓 狔 ４狓狔 ２
解：（１） · ＝ ＝ ；
３狔 ２狓３ ６狓３狔 ３狓２
犪犫３ －５犪２犫２ 犪犫３ ４犮犱 ４犪犫３犮犱
运算结果应化为
（２） ÷ ＝ · ＝－
２犮２ ４犮犱 ２犮２ －５犪２犫２ １０犪２犫２犮２
最简分式．
２犫犱
＝－ ．
５犪犮
例２ 计算：
犪２－４犪＋４ 犪－１ １ １
（１） · ；（２） ÷ ．
犪２－２犪＋１ 犪２－４ ４９－犿２ 犿２－７犿
犪２－４犪＋４ 犪－１
分子、分母是多
解：（１） ·
项式时，通常先分解
犪２－２犪＋１ 犪２－４
因式，再约分．
（犪－２） ２ 犪－１
＝ ·
（犪－１）
２
（犪－２）（犪＋２）
（犪－２）
２
（犪－１）
＝
（犪－１）
２
（犪－２）（犪＋２）
犪－２
＝ ；
（犪－１）（犪＋２）
１ １
（２） ÷
４９－犿２ 犿２－７犿
１ 犿（犿－７）
＝－ ·（犿２－７犿）＝－
犿２－４９ （犿＋７）（犿－７）
犿
＝－ ．
犿＋７
例３ 如图２２．２１，“丰收１号”小麦的试验田是边长为犪ｍ （犪＞１）的正
方形去掉一个边长为１ｍ的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收２号”小麦的
试验田是边长为（犪－１）ｍ的正方形，两块试验田的小麦都收获了５００ｋｇ．
８０
!"#"$%&’（１）哪种小麦的单位面积产量高？
（２）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
(a-1)m
1m 1m (a-1)m
am
am
图２２．２１ 图２２．２２
解：（１）“丰收１号”小麦的试验田面积是（犪２－１）ｍ２ ，单位面积产量是
５００
ｋｇ／ｍ２ ；“丰收２号”小麦的试验田面积是（犪－１） ２ｍ２ ，单位面积产量
犪２－１
５００
是 ｋｇ／ｍ２．
（犪－１）
２
∵ 犪＞１，
因为犪＞１，所以
∴ （犪－１） ２＞０，犪２－１＞０．
（犪－１）２－（犪２－１）＝
由图２２．２２可得 （犪－１） ２＜犪２－１．
（犪２－２犪＋１）－（犪２－
５００ ５００
∴ ＜ ．
１）＝－２（犪－１）＜０，
犪２－１ （犪－１） ２ 即（犪－１）２＜犪２－１．
所以，“丰收２号”小麦的单位面积产量高．
５００ ５００ ５００ 犪２－１
（２） ÷ ＝ ·
（犪－１） ２ 犪２－１ （犪－１） ２ ５００
（犪＋１）（犪－１）犪＋１
＝ ＝ ．
（犪－１）
２
犪－１
所以，“丰收２号”小麦的单位面积产量是 “丰收１号”小麦的单位面积
犪＋１
产量的 倍．
犪－１
１．写出第２２．２．１节中问题１和问题２的计算结果．
８１
!"#"$%&’２．计算：
３犪 １６犫 １２狓狔
（１） · ； （２） ÷８狓２狔；
４犫 ９犪２ ５犪
２狔２ 狓＋狔 狔－狓
（３）（－３狓狔）÷ ； （４） · ．
３狓 狓－狔 狓＋狔
３．计算：
３犪－３犫 ２５犪２犫３ ４狔２－狓２ 狓－２狔
（１） · ； （２） ÷ ．
１０犪犫 犪２－犫２ 狓２＋２狓狔＋狔２ ２狓２＋２狓狔
２狓 ３ 狓
例４ 计算 ÷ · ．
５狓－３ ２５狓２－９ ５狓＋３
２狓 ３ 狓
解： ÷ ·
５狓－３ ２５狓２－９ ５狓＋３
２狓 ２５狓２－９ 狓
乘除混合运算可
＝ · ·
５狓－３ ３ ５狓＋３
以统一为乘法运算．
２狓２
＝ ．
３
（犪） （犪） （犪）
２＝？ ３＝？ １０＝？
犫 犫 犫
根据乘方的意义和分式的乘法法则，可得：
（犪） 犪 犪 犪·犪 犪２
２＝ · ＝ ＝ ；
犫 犫 犫 犫·犫 犫２
（犪） 犪 犪 犪
３＝ · · ＝ ；
犫 犫 犫 犫
（犪）
１０＝ ．
犫
一般地，当狀是正整数时，
狀个
烇 烉 烋
（犪） 犪 犪 犪 犪·犪·…·犪 犪狀
狀＝ · ·…· ＝ ＝ ，即
犫 犫 犫 犫 犫·犫·…·犫 犫狀
烏 烐 烑 烏 烐 烑
狀个 狀个
（犪） 犪狀
狀＝ ．
犫 犫狀
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方．
８２
!"#"$%&’例５ 计算：
（－２犪２犫） （犪２犫） ２犪 （犮）
（１） ２； （２） ３÷ · ２．
３犮 －犮犱３ 犱３ ２犪
（－２犪２犫） （－２犪２犫） ２ ４犪４犫２
解：（１） ２＝ ＝ ；
３犮 （３犮） ２ ９犮２
（犪２犫） ２犪 （犮）
（２） ３÷ · ２
－犮犱３ 犱３ ２犪
犪６犫３ ２犪 犮２ 式与数有相同的
＝ ÷ ·
－犮３犱９ 犱３ ４犪２ 混合运算顺序：先乘
方，再乘除．
犪６犫３ 犱３ 犮２
＝ · ·
－犮３犱９ ２犪 ４犪２
犪３犫３
＝－ ．
８犮犱６
１．计算：
２犿２狀 ５狆２狇 ５犿狀狆 １６－犪２ 犪－４ 犪－２
（１） · ÷ ； （２） ÷ · ．
３狆狇２ ４犿狀２ ３狇 犪２＋８犪＋１６ ２犪＋８ 犪＋２
２．计算：
（ ） （ ） （ ）
－２狓４狔２ ３ ２犪犫３ ２ ６犪４ －３犮３
（１） ； （２） ÷ · ．
３狕 －犮２犱 犫３ 犫２
２２．２．２ 分式的加减
问题３ 甲工程队完成一项工程需狀天，乙工程队要比甲队多用３天才能
完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
１ １
甲工程队一天完成这项工程的 ，乙工程队一天完成这项工程的 ，
狀 狀＋３
（１ １ ）
两队共同工作一天完成这项工程的 ＋ ．
狀 狀＋３
问题４ ２００９年、２０１０年、２０１１年某地的森林面积 （单位：ｋｍ２ ）分别是
犛，犛，犛，２０１１年与２０１０年相比，森林面积增长率提高了多少？
１ ２ ３
犛－犛
２０１１年的森林面积增长率是 ３ ２，２０１０年的森林面积增长率是
犛
２
８３
!"#"$%&’犛－犛 犛－犛 犛－犛
２ １，２０１１年与２０１０年相比，森林面积增长率提高了 ３ ２－ ２ １．
犛 犛 犛
１ ２ １
从上面的问题可知，为讨论数量关系，有时需要进行分式的加减运算．
分式的加减法与分数的加减法类似，它们的实质相同．观察下列分数
１ ２ ３ １ ２ １ １ １ ３ ２ ５
加减运算的式子： ＋ ＝ ， － ＝－ ， ＋ ＝ ＋ ＝ ，
５ ５ ５ ５ ５ ５ ２ ３ ６ ６ ６
１ １ ３ ２ １
－ ＝ － ＝ ．你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？
２ ３ ６ ６ ６
类似分数的加减法，分式的加减法法则是：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
上述法则可用式子表示为
犪 犫 犪±犫
± ＝ ，
犮 犮 犮
犪 犮 犪犱 犫犮 犪犱±犫犮
± ＝ ± ＝ ．
犫 犱 犫犱 犫犱 犫犱
例６ 计算：
５狓＋３狔 ２狓 １ １
（１） － ； （２） ＋ ．
狓２－狔２ 狓２－狔２ ２狆＋３狇 ２狆－３狇
５狓＋３狔 ２狓
解：（１） －
狓２－狔２ 狓２－狔２
５狓＋３狔－２狓 ３狓＋３狔 ３
＝ ＝ ＝ ；
狓２－狔２ 狓２－狔２ 狓－狔
１ １
（２） ＋
２狆＋３狇 ２狆－３狇
２狆－３狇 ２狆＋３狇
结果也可以写成
＝ ＋
（２狆＋３狇）（２狆－３狇） （２狆＋３狇）（２狆－３狇） ４狆
．
（２狆＋３狇）（２狆－３狇）
２狆－３狇＋２狆＋３狇 ４狆
＝ ＝ ．
（２狆＋３狇）（２狆－３狇） ４狆２－９狇２
８４
!"#"$%&’１．计算：
狓＋１ １ 犪 ２犪 ３犪
（１） － ； （２） ＋ － ．
狓 狓 犫＋１ 犫＋１ 犫＋１
２．计算：
１ １ ３ ２犿－狀
（１） ＋ ； （２） － ；
２犮２犱 ３犮犱２ ２犿－狀 （２犿－狀）２
犪 １ 犪２
（３） － ； （４） －犪－１．
犪２－犫２ 犪＋犫 犪－１
（２犪） １ 犪 犫
例７ 计算 ２· － ÷ ．
犫 犪－犫 犫 ４
（２犪） １ 犪 犫
解： ２· － ÷
犫 犪－犫 犫 ４
４犪２ １ 犪 ４ 式与数有相同的
＝ · － ·
犫２ 犪－犫 犫 犫 混合运算顺序：先乘
方，再 乘 除， 然 后
４犪２ ４犪 ４犪２ ４犪（犪－犫）
＝ － ＝ － 加减．
犫２ （犪－犫）犫２ 犫２ （犪－犫） 犫２ （犪－犫）
４犪２－４犪２＋４犪犫 ４犪犫
＝ ＝
犫２ （犪－犫） 犫２ （犪－犫）
４犪
＝ ．
犪犫－犫２
例８ 计算：
（ ５ ） ２犿－４ （狓＋２ 狓－１ ） 狓－４
（１） 犿＋２＋ · ； （２） － ÷ ．
２－犿 ３－犿 狓２－２狓 狓２－４狓＋４ 狓
（ ５ ） ２犿－４
解：（１） 犿＋２＋ ·
２－犿 ３－犿
（犿＋２）（２－犿）＋５ ２犿－４
＝ ·
２－犿 ３－犿
９－犿２ ２（犿－２）
＝ ·
２－犿 ３－犿
（３－犿）（３＋犿） －２（２－犿）
＝ ·
２－犿 ３－犿
＝－２（犿＋３）＝－２犿－６；
８５
!"#"$%&’（狓＋２ 狓－１ ） 狓－４
（２） － ÷
狓２－２狓 狓２－４狓＋４ 狓
熿 狓＋２ 狓－１ 燄 狓
＝ － ·
燀
狓（狓－２） （狓－２）
２燅
狓－４
（狓＋２）（狓－２）－（狓－１）狓 狓
＝ ·
狓（狓－２）
２
狓－４
狓２－４－狓２＋狓
＝
（狓－２）
２
（狓－４）
１
＝ ．
（狓－２）
２
１．写出第２２．２．２节中问题３和问题４的计算结果．
２．计算：
（ ） （ ） （ ）
狓 ２ 狔 狓 ２狔２ 狓＋１ ２狓 ２ １ １
（１） · － ÷ ； （２） · － － ．
２狔 ２狓 狔２ 狓 狓 狓＋１ 狓－１ 狓＋１
２２．２．３ 整数指数幂
我们知道，当狀是正整数时，
犪狀＝犪·犪·…·犪．
烏 烐 烑
狀个
正整数指数幂有以下运算性质：
（１）犪犿 ·犪狀＝犪犿＋狀 （犿，狀是正整数）；
（２）（犪犿）狀＝犪犿狀 （犿，狀是正整数）；
（３）（犪犫）狀＝犪狀犫狀 （狀是正整数）；
（４）犪犿÷犪狀＝犪犿－狀 （犪≠０，犿，狀是正整数，犿＞狀）；
（犪） 犪狀
（５） 狀＝ （狀是正整数）．
犫 犫狀
其中，第 （５）个性质就是分式的乘方法则．
此外，我们还学习过０指数幂，即当犪≠０时，犪０＝１．
犪犿 中指数犿可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂犪犿 表
示什么？
８６
!"#"$%&’由分式的约分可知，当犪≠０时，
犪３ 犪３ １
犪３÷犪５＝
犪５
＝
犪３ ·犪２
＝
犪２
． ①
学习了分式后，
对指数的认识会有新
另一方面，如果把正整数指数幂的运算性质 （４）
发 展．即 将 讨 论 的
犪犿÷犪狀＝犪犿－狀 （犪≠０，犿，狀是正整数，犿＞狀）
犪－狀 （狀是正整数） 就
中的条件犿＞狀去掉，即假设这个性质对于像
属于分式．
犪３÷犪５ 的情形也能使用，则有
犪３÷犪５＝犪３－５＝犪－２． ②
１
由①②两式，我们想到如果规定犪－２＝ （犪≠０），就能使犪犿÷犪狀＝犪犿－狀 这
犪２
条性质也适用于像犪３÷犪５ 这样的情形．为使上述运算性质适用范围更广，同
时也可以更简便地表示分式，数学中规定：
一般地，当狀是正整数时，
你现在能说出
１ 当犿分别是正整
犪－狀＝ （犪≠０）．
犪狀
数、０、负整数时，
这就是说，犪－狀 （犪≠０）是犪狀 的倒数．
犪犿 各表示什么意
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推 思吗？
广到全体整数．
引入负整数指数和０指数后，犪犿 ·犪狀＝犪犿＋狀 （犿，狀是正整数）这
条性质能否推广到犿，狀是任意整数的情形？
我们从特殊情形入手进行研究．例如，
犪３ １
犪３ ·犪－５＝ ＝ ＝犪－２＝犪３＋（－５），即 可以换其他整数
犪５ 犪２
指数再验证这个规律．
犪３ ·犪－５＝犪３＋（－５）；
１ １ １
犪－３ ·犪－５ ＝ · ＝ ＝犪－８ ＝
犪３ 犪５ 犪８
犪（－３）＋（－５），即
犪－３ ·犪－５＝犪（－３）＋（－５）；
１ １
犪０ ·犪－５＝１· ＝ ＝犪－５＝犪０＋（－５），即
犪５ 犪５
犪０ ·犪－５＝犪０＋（－５）．
８７
!"#"$%&’
犪犿 ·犪狀＝犪犿＋狀 这条性质对于犿，狀是任意整数的情形仍然适用．
类似地，你可以用负整数指数幂或０指数幂对于其他正整数指数幂的
运算性质进行试验，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用．
事实上，随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，前面提到的运算
性质也推广到整数指数幂．
例９ 计算：
（犫３ ）
（１）犪－２÷犪５ ； （２） －２；
犪２
（３）（犪－１犫２）３ ； （４）犪－２犫２ ·（犪２犫－２）－３．
１
解：（１）犪－２÷犪５＝犪－２－５＝犪－７＝ ；
犪７
（犫３ ） 犫－６ 犪４
（２） －２＝ ＝犪４犫－６＝ ；
犪２ 犪－４ 犫６
犫６
（３）（犪－１犫２）３＝犪－３犫６＝ ；
犪３
犫８
（４）犪－２犫２ ·（犪２犫－２）－３＝犪－２犫２ ·犪－６犫６＝犪－８犫８＝ ．
犪８
根据整数指数幂的运算性质，当犿，狀为整数时，犪犿÷犪狀＝犪犿－狀 ，犪犿 ·
犪－狀＝犪犿＋（－狀）＝犪犿－狀 ，因此犪犿÷犪狀＝犪犿 ·犪－狀 ，即同底数幂的除法犪犿÷犪狀 可以
犪 （犪）
转化为同底数幂的乘法犪犿 ·犪－狀．特别地， ＝犪÷犫＝犪·犫－１ ，所以 狀＝
犫 犫
（犪）
（犪·犫－１ ）
狀
，即商的乘方 狀可以转化为积的乘方 （犪·犫－１ ） 狀．这样，整数
犫
指数幂的运算性质可以归结为：
（１）犪犿 ·犪狀＝犪犿＋狀 （犿，狀是整数）；
（２）（犪犿 ） 狀＝犪犿狀 （犿，狀是整数）；
（３）（犪犫） 狀＝犪狀犫狀 （狀是整数）．
８８
!"#"$%&’１．填空：
（１）３０＝ ，３－２＝ ；
（２）（－３）０＝ ，（－３）－２＝ ；
（３）犫０＝ ，犫－２＝ （犫≠０）．
２．计算：
（１）狓２狔－３（狓－１狔）３； （２）（２犪犫２犮－３）－２÷（犪－２犫）３．
我们已经知道，一些较大的数适合用科学记数法表示．例如，光速约为
３×１０８ｍ／ｓ，太阳半径约为６．９６×１０５ｋｍ，２０１０年世界人口数约为６．９×１０９ 等．
有了负整数指数幂后，小于１的正数也可以用科学记数法表示．例如，
０．００００１＝１０－５ ，０．００００２５７＝２．５７×１０－５ ，０．０００００００２５７＝２．５７×１０－８ 等，
即小于１的正数可以用科学记数法表示为犪×１０－狀 的形式，其中１≤犪＜１０，狀是
正整数．这种形式更便于比较数的大小，例如２．５７×１０－５ 显然大于２．５７×１０－８ ，
前者是后者的１０３ 倍．
对于一个小于１的正小数，如果小数点后至第一个非０数字前有８个
０，用科学记数法表示这个数时，１０的指数是多少？如果有犿个０呢？
例１０ 纳米 （ｎｍ）是非常小的长度单位，
１ｎｍ＝１０－９ｍ．把１ｎｍ３ 的物体放到乒乓球上，
纳米技术是一种高
就如同把乒乓球放到地球上．１ｍｍ３ 的空间可以放
新技术，它可以在微观
多少个１ｎｍ３ 的物体 （物体之间的间隙忽略不计）？ 世界里直接探索０．１～
解：１ｍｍ＝１０－３ｍ，１ｎｍ＝１０－９ｍ． ５００ｎｍ范围内物质的特
性，从而创造新材料．
（１０－３ ） ３÷（１０－９ ） ３＝１０－９÷１０－２７＝１０－９－（－２７）
这项技术有重要应用．
＝１０１８．
１ｍｍ３ 的空间可以放１０１８ 个１ｎｍ３ 的物体．
１０１８ 是一个非常大的数，它是１亿 （即１０８ ）的１００亿 （即１０１０ ）倍．
１．用科学记数法表示下列数：
０．００００００００１， ０．００１２， ０．００００００３４５， ０．０００００００１０８．
８９
!"#"$%&’２．计算：
（１）（２×１０－６）×（３．２×１０３）； （２）（２×１０－６）２÷（１０－４）３．
习题２２．２
１．计算：
（ ）
６犪犫 １０犮 －７狓 ９狔２
（１） · ； （２） · － ；
５犮２ ３犫 ３狔狕 狓２
（ ）
２犿 ４犿２ 狓 ４狓２
（３） ÷ ； （４） ÷ － ．
５狀 １０狀３ ５狔 ５狔２
２．计算：
４犪＋４犫 １５犪２犫 狓２－４狔２ 狓＋２
（１） · ； （２） · ；
５犪犫 犪２－犫２ 狓２＋４狓＋４ ３狓２＋６狓狔
狓２＋１ 狓２－３６ 狔２－狓２ 狓＋狔
（３） · ； （４） ÷ ．
狓－６ 狓３＋狓 ５狓２－４狓狔 ５狓－４狔
３．计算：
４犪２犫 ５犮２犱 ２犪犫犮 ８１－犪２ 犪－９ 犪＋３
（１） · ÷ ； （２） ÷ · ；
３犮犱２ ４犪犫２ ３犱 犪２＋６犪＋９ ２犪＋６ 犪＋９
（ ） （ ） （ ）
－３狓３狔２ －犪２ ２犪２ ２ 犪
（３） ； （４） ÷ · ．
３狕２ 犫 ５犫 ５犫
４．计算：
犪 １ ３ ３狓
（１） ＋ ； （２） － ；
犪＋１ 犪＋１ 狓＋１ 狓＋１
犪 １ ３ ３狓
（３） ＋ ； （４） － ．
（犪＋１）２ （犪＋１）２ （狓－１）２ （狓－１）２
５．计算：
２犪 ３犫 ２犿 ３狀
（１） ＋ ； （２） － ；
５犪２犫 １０犪犫２ ５狀２狆 ４犿狆２
３狔 ２狓狔 ２狓 １
（３） ＋ ； （４） － ．
２狓＋２狔 狓２＋狓狔 狓２－６４狔２ 狓－８狔
６．计算：
（ ） （ ） （ ）
１ １ ２ １ １ ３狓２ ２ ２狔 狓２ ２狔２
（１） ＋ ÷ － ； （２） · ＋ ÷ ；
犪 犫 犪２ 犫２ ４狔 ３狓 ２狔２ 狓
（ ） （ ） （ ）
狓 ２狔 狓狔 １ １ 犪＋犫２ ２犪－２犫 犪２ 犪
（３） ＋ · ÷ ＋ ； （４） · － ÷ ．
狓＋狔 狓＋狔 狓＋２狔 狓 狔 犪－犫 ３犪＋３犫 犪２－犫２ 犫
９０
!"#"$%&’７．计算：
（１）３犪－２犫·２犪犫－２； （２）４狓狔２狕÷（－２狓－２狔狕－１）；
（３）（－３犪犫－１）３； （４）（２犿２狀－２）２·３犿－３狀３．
８．用科学记数法表示下列数：
０．００００１， ０．００００２， ０．００００００５６７， ０．００００００３０１．
９．计算：
（１）（２×１０－３）×（５×１０－３）； （２）（３×１０－５）２÷（３×１０－１）２．
狆
１０．一艘船顺流航行狀ｋｍ用了犿ｈ，如果逆流航速是顺流航速的 ，那么这艘船逆
狇
流航行狋ｈ走了多少路程？
１１．在一块犪ｈｍ２ 的稻田上插秧，如果１０个人插秧，要用犿天完成；如果一台插秧
机工作，要比１０个人插秧提前３天完成．一台插秧机的工作效率是一个人工作
效率的多少倍？
１２．绿化队原来用漫灌方式浇绿地，犪天用水犿ｔ，现在改用喷灌方式，可使这些水
多用３天，现在比原来每天节约用水多少吨？
１３．两地相距狀ｋｍ，提速前火车从一地到另一地要用狋ｈ，提速后行车时间减少了
０．５ｈ，提速后火车的速度比原来速度快了多少？
１４．一块麦田有犿ｈｍ２，甲收割完这块麦田需狀ｈ，乙比甲少用０．５ｈ就能收割完这
块麦田，两人一起收割完这块麦田需要多少小时？
１５．计算下列两式，探索其中的共同规律：
狆 犿 狀 犮－犪 犪－犫 犫－犮
（１） ＋ ＋ ； （２） ＋ ＋ ．
犿狀狀狆 狆犿 （犪－犫）（犫－犮） （犫－犮）（犮－犪） （犮－犪）（犪－犫）
１６．一个无盖长方体盒子的容积是犞．
（１）如果盒子底面是边长为犪的正方形，这个盒子
的表面积是多少？
（２）如果盒子底面是长为犫、宽为犮的长方形，这
个盒子的表面积是多少？
（３）上面两种情况下，如果盒子的底面面积相等，
（第１６题）
那么两种盒子的表面积相差多少？
（不计算制造材料的厚度．）
９１
!"#"$%&’
容器中的水能倒完吗
请看下面的问题：
１
一个容器装有１Ｌ水，按照如下要求把水倒出：第１次倒出 Ｌ水，第２次倒出的水
２
１ １ １ １ １ １
量是 Ｌ的 ，第３次倒出的水量是 Ｌ的 ，第４次倒出的水量是 Ｌ的 ……第狀
２ ３ ３ ４ ４ ５
１ １
次倒出的水量是 Ｌ的 ……按照这种倒水的方法，这１Ｌ水经多少次可以倒完？
狀 狀＋１
你可能会想到通过实验探寻问题的答案，但是实验中要精确地测量倒出的水量，当倒
出的水量很小时测量的难度非常大．我们不考虑实际操作因素，将上面的问题抽象成数学
模型加以解决．
容易列出倒狀次水倒出的总水量为
１ １ １ １ １ １
＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ． ①
２ ２×３ ３×４ ４×５ （狀－１）狀 狀（狀＋１）
根据分式的减法法则，
１ １ 狀＋１ 狀 １
－ ＝ － ＝ ．
狀 狀＋１ 狀（狀＋１）狀（狀＋１）狀（狀＋１）
反过来，有
１ １ １
＝ － ． ②
狀（狀＋１） 狀 狀＋１
利用②可以把①改写为
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
１ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １
＋ － ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＋ － ． ③
２ ２ ３ ３ ４ ４ ５ 狀－１ 狀 狀 狀＋１
１
合并③中的相反数，得１－ ，即倒狀次水倒出的总水量为
狀＋１
１ 狀
１－ ＝ （Ｌ）．
狀＋１ 狀＋１
狀
可以发现，从数学上看，随着倒水次数狀的不断增加，倒出的总水量 也不断增
狀＋１
狀
加．然而，不论倒水次数狀有多大，倒出的总水量 总小于１．因此，按这种方法，容
狀＋１
器中的１Ｌ水是倒不完的．
９２
!"#"$%&’２２．３ 分式方程
现在回到本章引言中的问题．
为解决引言中提出的问题，我们得到了方程
９０ ６０
＝ ． ①
３０＋狏 ３０－狏
方程①的分母中含未知数狏，像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程
（ｆｒａｃｔｉｏｎａｌｅｑｕａｔｉｏｎ）．我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在
分母中．
如何解分式方程①？
我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，但是分式方程的分母中含
未知数，因此解分式方程是一个新的问题．能否将分式方程化为整式方程呢？
我们自然会想到通过 “去分母”实现这种转变．
分式方程①中各分母的最简公分母是 （３０＋狏）（３０－狏）．把方程①的两边
乘最简公分母可化为整式方程，解这个整式方程可得方程①的解．
解：方程①两边乘（３０＋狏）（３０－狏），得
将方程①化成
９０（３０－狏）＝６０（３０＋狏）．
整式方程的关键步
解得
骤是什么？
狏＝６．
５
检验：将狏＝６代入①中，左边＝ ＝右边，因此狏＝６是分式方程①的解．
２
由上可知，江水的流速为６ｋｍ／ｈ．
解分式方程①的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是
“去分母”，即方程两边乘最简公分母．这也是解分式方程的一般方法．
９３
!"#"$%&’解下列方程：
５ ７ ２ １
（１） ＝ ； （２） ＝ ．
狓 狓－２ 狓＋３ 狓－１
下面我们再讨论一个分式方程
１ １０
＝ ． ②
狓－５ 狓２－２５
为去分母，在方程两边乘最简公分母（狓－５）（狓＋５），得整式方程
狓＋５＝１０．
解得
狓＝５是原分
式方程的解吗？
狓＝５．
将狓＝５代入原分式方程检验，发现这时分
母狓－５和狓２－２５的值都为０，相应的分式无意义．因此，狓＝５虽是整式方程
１ １０
狓＋５＝１０的解，但不是原分式方程 ＝ 的解．实际上，这个分式方
狓－５ 狓２－２５
程无解．
９０ ６０
上面两个分式方程中，为什么 ＝ ①去分母后所得整式
３０＋狏 ３０－狏
１ １０
方程的解就是①的解，而 ＝ ②去分母后所得整式方程的解
狓－５ 狓２－２５
却不是②的解呢？
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子 （最简公分
母）．方程①两边乘（３０＋狏）（３０－狏），得到整式方程，它的解狏＝６．当狏＝６
时，（３０＋狏）（３０－狏）≠０，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为０的
式子，因此所得整式方程的解与①的解相同．
方程②两边乘（狓－５）（狓＋５），得到整式方程，它的解狓＝５．当狓＝５时，
（狓－５）（狓＋５）＝０，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于０的式子，
这时所得整式方程的解使②出现分母为０的现象，因此这样的解不是②的解．
９４
!"#"$%&’一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分
母为０，因此应做如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为０，则整式方
程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
２ ３
例１ 解方程 ＝ ．
狓－３ 狓
解：方程两边乘狓（狓－３），得
２狓＝３狓－９．
解得
狓＝９．
检验：当狓＝９时，狓（狓－３）≠０．
所以，原分式方程的解为狓＝９．
狓 ３
例２ 解方程 －１＝ ．
狓－１ （狓－１）（狓＋２）
解：方程两边乘（狓－１）（狓＋２），得
狓（狓＋２）－（狓－１）（狓＋２）＝３．
解得
狓＝１．
检验：当狓＝１时，（狓－１）（狓＋２）＝０，因此狓＝１不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
解分式方程的一般步骤如下：
x = a
0 0
x=a x=a
９５
!"#"$%&’解下列方程：
１ ２ 狓 ２狓
（１） ＝ ； （２） ＝ ＋１；
２狓 狓＋３ 狓＋１ ３狓＋３
２ ４ ５ １
（３） ＝ ； （４） － ＝０．
狓－１ 狓２－１ 狓２＋狓 狓２－狓
解决实际问题中，有时需要列、解分式方程．
例３ 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工１个月完成总工
１
程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个
３
队的施工速度快？
１
分析：甲队１个月完成总工程的 ，设乙队
３
问题中的哪个
１
单独施工１个月能完成总工程的 ，那么甲队半 等量关系可以用来
狓
列方程？
个月完成总工程的 ，乙队半个月完成
总工程的 ，两队半个月完成总工程
的 ．
在用式子表示上述的量之后，再考虑如何列出方程．
１
解：设乙队单独施工１个月能完成总工程的 ．记总工程量为１，根据工
狓
程的实际进度，得
１ １ １
＋ ＋ ＝１．
３ ６ ２狓
方程两边乘６狓，得
２狓＋狓＋３＝６狓．
解得
狓＝１．
检验：当狓＝１时，６狓≠０．
所以，原分式方程的解为狓＝１．
由上可知，若乙队单独施工１个月可以完成全部任务，对比甲队１个月
１
完成任务的 ，可知乙队的施工速度快．
３
９６
!"#"$%&’例４ 某次列车平均提速狏ｋｍ／ｈ．用相同的时间，列车提速前行驶狊ｋｍ，
提速后比提速前多行驶５０ｋｍ，提速前列车的平均速度为多少？
分析：这里的字母狏，狊表示已知数据，设提
速前列车的平均速度为狓ｋｍ／ｈ，那么提速前列车
行驶狊ｋｍ所用时间为 ｈ，提速后列车的
表达问题时，用
平均速度为 ｋｍ／ｈ，提速后列车运行
字母不仅可以表示未
（狊＋５０）ｋｍ所用时间为 ｈ．
知数 （量），也可以表
根据行驶时间的等量关系可以列出方程．
示已知数 （量）．
解：设提速前这次列车的平均速度为狓ｋｍ／ｈ，
狊
则提速前它行驶狊ｋｍ所用时间为 ｈ；提速后列
狓
车的平均速度为（狓＋狏）ｋｍ／ｈ，提速后它行驶
狊＋５０
（狊＋５０）ｋｍ所用时间为 ｈ．
狓＋狏
根据行驶时间的等量关系，得
狊 狊＋５０
＝ ． ①
狓 狓＋狏
方程两边乘狓（狓＋狏），得
狊（狓＋狏）＝狓（狊＋５０）．
解得
狊狏
狓＝ ．
５０
狊狏
检验：由狏，狊都是正数，得狓＝ 时狓（狓＋狏）≠０．
５０
狊狏
所以，原分式方程的解为狓＝ ．
５０
狊狏
答：提速前列车的平均速度为 ｋｍ／ｈ．
５０
上面例题中，出现了用一些字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找
规律时经常出现．方程①是以狓为未知数的分式方程，其中狏，狊是已知数，
根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数．
９７
!"#"$%&’１．八年级学生去距学校１０ｋｍ的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了
２０ｍｉｎ后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车
学生速度的２倍，求骑车学生的速度．
２．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做６个，甲做９０个所用的时
间与乙做６０个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做零件多少个．
习题２２．３
１．解下列方程：
１ ５ 狓 ３
（１） ＝ ； （２） ＝ －２；
狓 狓＋３ 狓－１ ２狓－２
２ ４ ３ １
（３） ＝ ； （４） － ＝０；
２狓－１ ４狓２－１ 狓２＋２狓 狓２－２狓
狓 狓＋１ 狓－３ ３
（５） ＝ ； （６） ＋１＝ ；
狓－３ 狓－１ 狓－２ ２－狓
２狓＋１ ５ ３ １ ５
（７） ＝ ； （８） － ＝ ．
狓２＋狓 ６狓＋６ ２ ３狓－１ ６狓－２
２．解方程求狓：
１ 犿 １
（１） ＋犪＝１（犪≠１）； （２） － ＝０（犿≠０，且犿≠１）．
狓－１ 狓 狓＋１
３．甲、乙两人分别从距目的地６ｋｍ和１０ｋｍ的两地同时出发，甲、乙的速度比是
３∶４，结果甲比乙提前２０ｍｉｎ到达目的地．求甲、乙的速度．
９８
!"#"$%&’４．Ａ，Ｂ两种机器人都被用来搬运化工原料，Ａ型机器人比Ｂ型机器人每小时多搬运
３０ｋｇ，Ａ型机器人搬运９００ｋｇ所用时间与Ｂ型机器人搬运６００ｋｇ所用时间相等，
两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
５．张明３ｈ清点完一批图书的一半，李强加入清点另一半图书的工作，两人合作
１．２ｈ清点完另一半图书．如果李强单独清点这批图书需要几小时？
６．一个圆柱形容器的容积为犞ｍ３，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到
容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水，向容器中注满水的
全过程共用时间狋ｍｉｎ．求两根水管各自的注水速度．（提示：要考虑大水管的进
水速度是小水管进水速度的多少倍．）
７．改良玉米品种后，迎春村玉米平均每公顷增加产量犪ｔ，原来产犿ｔ玉米的一块土
地，现在的总产量增加了２０ｔ．原来和现在玉米的平均每公顷产量各是多少？
８．两个小组同时开始攀登一座４５０ｍ高的山，第一组的攀登速度是第二组的１．２
倍，他们比第二组早１５ｍｉｎ到达顶峰．两个小组的攀登速度各是多少？如果山高
为犺ｍ，第一组的攀登速度是第二组的犪倍，并比第二组早狋ｍｉｎ到达顶峰，则
两组的攀登速度各是多少？
９．联系实际问题，编出关于分式方程的应用题，并求出应用题的答案．
９９
!"#"$%&’
犪 犮
找一组都不为０的数犪，犫，犮，犱，使得分式 ＝ 成立 （即犪，犫，
犫 犱
犮，犱成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之
间有什么关系．
犪 犫 犫 犱
（１） 和 ； （２） 和 ；
犮 犱 犪 犮
犪＋犫 犮＋犱 犪＋犫 犮＋犱
（３） 和 ； （４） 和 （犪≠犫，犮≠犱）．
犫 犱 犪－犫 犮－犱
多找几组这样的数犪，犫，犮，犱试一试．
试猜想各组中的两个分式之间的关系，并证明你的猜想．
１００
!"#"$%&’小 结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
分式与分数具有类似的形式，也具有类似的性质和运算．本章通过与分数
进行类比，得出分式的基本性质，引入分式的运算．本章还讨论了可化为一元
一次方程的分式方程的解法，并应用它解决了一些实际问题．解分式方程的基
本思路是：先通过去分母将分式方程化归为整式方程，求出整式方程的解，再
经过检验得到分式方程的解．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．如何用式子形式表示分式的基本性质和运算法则？通过比较分数和分式
的基本性质和运算法则，你有什么认识？类比的方法在本章的学习中起什么
作用？
２．分式怎样约分和通分？依据是什么？
３．狀是正整数时，犪－狀 （犪≠０）表示什么意思？整数指数幂有哪些运算
性质？
４．怎样解分式方程？解分式方程要注意什么？为什么解分式方程要检验？
５．方程是一种刻画实际问题中数量关系的重要数学模型，你能结合利用分
式方程解决实际问题的实例，谈谈你的体会吗？
１０１
!"#"$%&’复习题２２
１．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
狓 １ １ 犪＋犫 狕 ２犪犫
， ， ， ， ， ．
３ 狀 犪＋５ １５ 狓２狔 （犪＋犫）２
２．计算：
狊－２狋 ６狊２ 狓－狔
（１） · ； （２） ÷（狓－狔）２；
３狊 狊＋２狋 狓＋狔
２犪 ２ 狌－２狏 ２
（３） ＋ ； （４） － ；
犪＋１ 犪＋１ 狌＋２狏 狌２－４狏２
（ ）
－３狓２
（５）（狓－２狔３）－３； （６） ．
狔３狕
３．计算：
（ ）
２犿 ３狀２ 犿狀
（１） · ÷ ； （２）犪２犫３·（犪犫２）－２；
３狀 狆 狆２
（ ）
狓２－１６ 狓 狆狇３ ２狆 １
（３） ＋ ； （４） ÷ ＋ ；
狓２＋８狓＋１６ 狓－４ ２狉 狉２ ２狇
（ ） （ ）
１－狓２ 犪－犫 ２犪犫－犫２
（５）１÷２狓＋ ； （６） ÷犪－ ；
狓 犪 犪
（ ）（ ）
犪－犫 犪２－犫２ ４狓狔 ４狓狔
（７）１－ ÷ ； （８）狓－狔＋ 狓＋狔－ ．
犪＋２犫 犪２＋４犪犫＋４犫２ 狓－狔 狓＋狔
４．解下列方程：
５狓＋２ ３ ２狓 ２
（１） ＝ ； （２） － ＝１．
狓２＋狓 狓＋１ ２狓－５ ２狓＋５
５．狓满足什么条件时下列分式有意义？
狓－２ １ ３狓 狓－２
（１） － ； （２） ÷ ．
２狓＋１ 狓－２ 狓＋２ ２狓－３
６．填空：
３狓－６
（１）当狓为 时，分式 的值为０；
２狓＋１
２狓＋１
（２）当狓（狓≠０）为 时，分式 的值为正；
狓２
狓－２
（３）当狓（狓≠０）为 时，分式 的值为负．
狓２
７．什么情况下２（狓＋１）－１ 与３（狓－２）－１ 的值相等？
１０２
!"#"$%&’８．某工厂现在平均每天比原计划多生产５０台机器，现在生产６００台机器所需时间
与原计划生产４５０台机器所需时间相同，现在平均每天生产多少台机器？
９．一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的１５０倍，用这台机器收割
１０ｈｍ２ 小麦比１００个农民人工收割这些小麦要少用１ｈ，这台收割机每小时收割多
少公顷小麦？
１０．一辆汽车开往距离出发地１８０ｋｍ的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度
匀速行驶，一小时后以原来速度的１．５倍匀速行驶，并比原计划提前４０ｍｉｎ到
达目的地．求前一小时的行驶速度．
狓２－１ 狓＋１ １－狓 １
１１． （１）先化简，再求值： ÷ · ，其中狓＝ ．
狓２－２狓＋１ 狓－１ １＋狓 ２
狓２－４狓＋４ 狓－２
（２）当狓＝－３．２时，求 ÷ ＋３的值．
狓２－４ 狓２＋２狓
１２．如图，运动场两端的半圆形跑道外径为犚，内径为狉，中间为直跑道，整个跑道
总面积为犛，试用含犛，犚，狉的式子表示直跑道的长犪．
R
r
a
（第１２题）
犪 犫 犮
１３． （１）式子 ＋ ＋ 的值能否为０？为什么？
犫犮犮犪犪犫
犪－犫 犫－犮 犮－犪
（２）式子 ＋ ＋ 的值能否为０？为
（犫－犮）（犮－犪） （犪－犫）（犮－犪） （犪－犫）（犫－犮）
什么？
１０３
!"#"$%&’第二十三章 二次根式
电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得
越远，从而能收看到电视节目的区域就越广．电视
塔高犺（单位：ｋｍ）与电视节目信号的传播半径
狉（单位：ｋｍ）之间存在近似关系狉＝槡２犚犺，其中
犚是地球半径，犚≈６４００ｋｍ．如果两个电视塔的
高分别是犺ｋｍ，犺ｋｍ，那么它们的传播半径之
１ ２
槡２犚犺
比是 １．你能将这个式子化简吗？
槡２犚犺
２
化简这个式子需要二次根式的有关知识．我们
学过整式的运算、分式的运算．如何进行二次根式
的运算呢？这就是本章要解决的主要问题．通过本
章学习，可以为后面的勾股定理、一元二次方程
等内容的学习打下基础．
书书书２３．１ 二次根式
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（１）面积为３的正方形的边长为 ，面积为犛的正方形的边
长为 ．
（２）一个长方形的围栏，长是宽的２倍，面积为１３０ｍ２ ，则它的宽
为 ｍ．
（３）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间狋（单位：ｓ）
与开始落下时离地面的高度犺（单位：ｍ）满足关系犺＝５狋２．如果用含有
犺的式子表示狋，那么狋为 ．
犺
槡
上面问题的结果分别是槡３，槡犛，槡６５， ，它们表示一些正数的算术
５
平方根．
我们知道，一个正数有两个平方根；０的平方根为０；在实数范围内，负
数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或０．
一般地，我们把形如槡犪 （犪≥０）的式子叫做二次根式 （ｑｕａｄｒａｔｉｃ
ｒａｄｉｃａｌ），“槡 ”称为二次根号．
例１ 当狓是怎样的实数时，槡狓－２在实数范围内有意义？
解：由狓－２≥０，得
狓≥２．
当狓≥２时，槡狓－２在实数范围内有意义．
当狓是怎样的实数时，槡狓２ 在实数范围内有意义？槡狓３ 呢？
１０５
!"#$%&"’()１．要画一个面积为１８ｃｍ２ 的长方形，使它的长与宽之比为３∶２，它的长、宽各应
取多少？
２．当犪是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（１）槡犪－１； （２）槡２犪＋３；
（３）槡－犪； （４）槡５－犪．
当犪＞０时，槡犪表示犪的算术平方根，因此槡犪＞０；当犪＝０时，槡犪表
示０的算术平方根，因此槡犪＝０．这就是说，当犪≥０时，槡犪≥０．
根据算术平方根的意义填空：
（槡４） ２＝ ；（槡２） ２＝ ；
（ ）
１ ２
槡
＝ ；（槡０） ２＝ ．
３
槡４是４的算术平方根，根据算术平方根的意义，槡４是一个平方等于４的
非负数．因此有（ 槡４ ） ２＝４．
１ １
同理，槡２， 槡 ，槡０分别是２， ，０的算术平方根．因此有（ 槡２ ） ２＝２，
３ ３
（ ）
１ ２ １
槡
＝ ，（槡０） ２＝０．
３ ３
一般地，
（槡犪） ２＝犪（犪≥０）．
例２ 计算：
（１）（槡１．５） ２ ； （２）（ ２槡５ ） ２．
解：（１）（槡１．５） ２＝１．５；
例２ （２）用到了
（２）（ ２槡５ ） ２＝２２×（ 槡５ ） ２＝４×５＝２０． （犪犫）２＝犪２犫２ 这个结论．
１０６
!"#$%&"’()
填空：
槡２２＝ ；槡０．１２＝ ；
（２）
槡
２＝ ；槡０２＝ ．
３
可以得到
（２） ２
槡
槡２２＝２，槡０．１２＝０．１， ２＝ ，槡０２＝０．
３ ３
一般地，根据算术平方根的意义，
槡犪２＝犪（犪≥０）．
例３ 化简：
（１）槡１６； （２）槡（－５） ２．
解：（１）槡１６＝槡４２＝４；
（２）槡（－５） ２＝槡５２＝５．
狊
回顾我们学过的式子，如５，犪，犪＋犫，－犪犫， ，－狓３ ，槡３，槡犪（犪≥０），它
狋
们都是用基本运算符号 （基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示
数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式 （ａｌｇｅｂｒａｉｃｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ）．
１．计算：
（１）（槡３）２； （２）（３槡２）２．
２．说出下列各式的值：
（ ）
槡 １ ２
（１）槡０．３２； （２） － ；
７
（３）－槡（－π）２； （４）槡１０－２．
１０７
!"#$%&"’()习题２３．１
１．当犪是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（１）槡犪＋２； （２）槡３－犪；
（３）槡５犪； （４）槡２犪＋１．
２．计算：
（ ）
（１）（ 槡５ ） ２； （２）（ －槡０．２ ） ２； （３）
槡２ ２
； （４）（ ５槡５ ） ２；
７
（ ）
（ ） （ ）
槡２ ２ 槡 ２ ２ 槡 ２ ２
（５）槡（－１０）２； （６） －７ ； （７） － ； （８）－ － ．
７ ３ ５
３．用代数式表示：
（１）面积为犛的圆的半径；
（２）面积为犛且两条邻边的比为２∶３的长方形的长和宽．
４．利用犪＝（ 槡犪 ） ２ （犪≥０），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
１
（１）９； （２）５； （３）２．５； （４）０．２５； （５） ； （６）０．
２
５．半径为狉ｃｍ的圆的面积是半径为２ｃｍ和３ｃｍ的两个圆的面积之和，求狉的值．
６．△犃犅犆的面积为１２，犃犅边上的高是犃犅边长的４倍．求犃犅的长．
７．当狓是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
槡１ １
（１）槡狓２＋１； （２）槡（狓－１）２； （３） ； （４） ．
狓 槡狓＋１
８．小球从离地面为犺（单位：ｍ）的高处自由下落，落到地面所用的时间为狋（单位：ｓ）．
经过实验，发现犺与狋２ 成正比例关系，而且当犺＝２０时，狋＝２．试用犺表示狋，并
分别求当犺＝１０和犺＝２５时，小球落地所用的时间．
９． （１）已知槡１８－狀是整数，求自然数狀所有可能的值；
（２）已知槡２４狀是整数，求正整数狀的最小值．
１０．已知一个圆柱体的高为１０，体积为犞．求它的底面半径狉（用含犞的代数式表
示），并分别求当犞＝５π，１０π和２０π时，底面半径狉的大小．
１０８
!"#$%&"’()２３．２ 二次根式的乘除
由算术平方根的意义，槡２，槡３，槡４，…都是实数．当犪取某个非负数值
时，槡犪就是非负数犪的算术平方根，也是一个实数．这类实数的运算满足怎
样的运算法则呢？我们该如何进行二次根式的加、减、乘、除运算呢？
下面先探究二次根式的乘法法则．
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
（１）槡４×槡９＝ ，槡４×９＝ ；
（２）槡１６×槡２５＝ ，槡１６×２５＝ ；
（３）槡２５×槡３６＝ ，槡２５×３６＝ ．
一般地，二次根式的乘法法则是
槡犪·槡犫＝槡犪犫（犪≥０，犫≥０）．
例１ 计算：
１
槡
（１）槡３×槡５； （２） ×槡２７．
３
解：（１）槡３×槡５＝槡１５；
１ １
槡 槡
（２） ×槡２７＝ ×２７＝槡９＝３．
３ ３
把槡犪·槡犫＝槡犪犫反过来，就得到
槡犪犫＝槡犪·槡犫，
在本章中，如果
利用它可以进行二次根式的化简．
没有特别说明，所有
的字母都表示正数．
１０９
!"#$%&"’()例２ 化简：
（１）槡１６×８１； （２）槡４犪２犫３．
解：（１）槡１６×８１＝槡１６×槡８１＝４×９＝３６；
被开方数４犪２犫３ 含
（２）槡４犪２犫３＝槡４·槡犪２ ·槡犫３ ４，犪２，犫２ 这样的因数
或因式，它们被开方后
＝２·犪·槡犫２ ·犫
可以移到根号外，是开
＝２犪槡犫２ ·槡犫
得尽方的因数或因式．
＝２犪犫槡犫．
例３ 计算：
（１）槡１４×槡７； （２）３槡５×２槡１０；
本章中根号下含
１
槡 有字母的二次根式的
（３）槡３狓· 狓狔．
３
化简 与 运 算 是 选 学
解：（１）槡１４×槡７＝槡１４×７＝槡７２×２＝槡７２×槡２ 内容．
＝７槡２；
（２）３槡５×２槡１０＝３×２槡５×１０＝６槡５２×２
＝６槡５２×槡２＝６×５槡２
＝３０槡２；
１ １
槡 槡
（３）槡３狓· 狓狔＝ ３狓· 狓狔＝槡狓２狔
３ ３
＝槡狓２ ·槡狔＝狓槡狔．
１．计算：
（１）槡２×槡５； （２）槡３×槡１２；
槡１ 槡１
（３）２槡６× ； （４）槡２８８× ．
２ ７２
２．化简：
（１）槡４９×１２１； （２）槡２２５；
（３）槡４狔； （４）槡１６犪犫２犮３．
３．一个长方形的长和宽分别是槡１０和２槡２．求这个长方形的面积．
１１０
!"#$%&"’()
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
槡４
槡
４ 槡１６
槡
１６
（１） ＝ ， ＝ ； （２） ＝ ， ＝ ；
９ ２５
槡９ 槡２５
槡３６
槡
３６
（３） ＝ ， ＝ ．
４９
槡４９
一般地，二次根式的除法法则是
槡犪
槡
犪
＝ （犪≥０，犫＞０）．
犫
槡犫
例４ 计算：
槡２４
槡
３
槡
１
（１） ； （２） ÷ ．
２ １８
槡３
槡２４
槡
２４
解：（１） ＝ ＝槡８＝槡４×２＝２槡２；
３
槡３
３ １ ３ １ ３
槡 槡 槡 槡
（２） ÷ ＝ ÷ ＝ ×１８＝槡３×９＝３槡３．
２ １８ ２ １８ ２
槡犪
槡
犪
把 ＝ 反过来，就得到
犫
槡犫
槡
犪 槡犪
＝ （犪≥０，犫＞０），
犫
槡犫
利用它可以进行二次根式的化简．
例５ 化简：
３ ７５
槡 槡
（１） ； （２） ．
１００ ２７
槡
３ 槡３ 槡３
解：（１） ＝ ＝ ；
１００ １０
槡１００
槡
７５
槡
５２×３ 槡５２ ５
（２） ＝ ＝ ＝ ．
２７ ３２×３
槡３２
３
１１１
!"#$%&"’()例６ 计算：
槡３ ３槡２ 槡８
（１） ； （２） ； （３） ．
槡５ 槡２７ 槡２犪
解：（１）解法１：
槡３
＝ 槡
３
＝ 槡
３×５
＝ 槡
１５
＝
槡１５
＝
槡１５
．
槡５ ５ ５×５ ５２ 槡５２ ５
槡３ 槡３×槡５ 槡１５ 槡１５
解法２： ＝ ＝ ＝ ．
（ ） ５
槡５ 槡５×槡５ 槡５ ２
在解法２中，式
３槡２ ３槡２ ３槡２
（２） ＝ ＝ 槡３ 槡３×槡５
子变形 ＝ 是
槡２７ 槡３２×３ 槡３２×槡３
槡５ 槡５×槡５
槡２ 槡２×槡３ 槡６ 为了 去 掉 分 母 中 的
＝ ＝ ＝ ．
３ 根号．
槡３ 槡３×槡３
槡８ 槡８·槡２犪 ４槡犪 ２槡犪
（３） ＝ ＝ ＝ ．
槡２犪 槡２犪·槡２犪 ２犪 犪
槡３ ２槡犪
观察上面例４、例５、例６中各小题的最后结果，比如２槡２， ，
１０ 犪
等，可以发现这些式子有如下两个特点：
（１）被开方数不含分母；
（２）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式 （ｓｉｍｐｌｅｓｔ
ｑｕａｄｒａｔｉｃｒａｄｉｃａｌ）．
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中
不含二次根式．
例７ 设长方形的面积为犛，相邻两边长分别为犪，犫．已知犛＝２槡３，犫＝
槡１０，求犪．
解：因为犛＝犪犫，所以
犛 ２槡３ ２槡３×槡１０ 槡３０
犪＝ ＝ ＝ ＝ ．
犫 ５
槡１０ 槡１０×槡１０
１１２
!"#$%&"’()现在来看本章引言中的问题．
如果两个电视塔的高分别是犺ｋｍ，犺ｋｍ，那么它们的传播半径之比是
１ ２
槡２犚犺
１．这个式子还可以化简：
槡２犚犺
２
槡２犚犺 槡２犚·槡犺 槡犺 槡犺·槡犺 槡犺犺
１＝ １＝ １＝ １ ２＝ １ ２．
槡２犚犺 槡２犚·槡犺 槡犺 槡犺·槡犺 犺
２
２ ２ ２ ２ ２
我们看到，这个比与地球半径无关．这样，只要知道犺，犺，就可以求
１ ２
出比值．
１．计算：
槡７２ 槡犫 槡犫
（１）槡１８÷槡２； （２） ； （３）槡２犪÷槡６犪； （４） ÷ ．
槡６ ５ ２０犪２
２．把下列二次根式化成最简二次根式：
槡４
（１）槡３２； （２）槡４０； （３）槡１．５； （４） ．
３
３．设长方形的面积为犛，相邻两边长分别为犪，犫．已知犛＝１６，犫＝槡１０，求犪．
习题２３．２
１．计算：
（１）槡２４×槡２７； （２）槡６×（－槡１５）；
（３）槡１８×槡２０×槡７５； （４）槡３２×４３×５．
２．计算：
４槡１５ 槡２ 槡５ ２槡狓２狔
（１）槡１８÷槡８； （２） ； （３） １ ÷ ； （４） ．
２槡５ ３ ６ ３槡狓狔
３．化简：
槡９ 槡犪２犫
（１）槡４×４９； （２）槡３００； （３） ； （４） ．
４９ ４犮２
４．化简：
槡１２ ３ 槡２ ５狀 ２狓狔 －槡４５狔２
（１） ； （２） ； （３） ； （４） ； （５） ； （６） ．
２ 槡６ ３槡４０ ３槡狀 槡２狓 ３槡５狔
１１３
!"#$%&"’()－犫＋槡犫２－４犪犮
５．根据下列条件求代数式 的值：
２犪
（１）犪＝１，犫＝１０，犮＝－１５；
（２）犪＝２，犫＝－８，犮＝５．
６．设长方形的面积为犛，相邻两边分别为犪，犫．
（１）已知犪＝槡８，犫＝槡１２，求犛；
（２）已知犪＝２槡５０，犫＝３槡３２，求犛．
７．设正方形的面积为犛，边长为犪．
（１）已知犛＝５０，求犪；
（２）已知犛＝２４２，求犪．
８．计算：
槡２ 槡２７
（１）槡０．４×槡３．６； （２） × ；
３ ８
槡８
（３） ×槡５； （４）槡２７×槡５０÷槡６．
３槡４０
槡１
９．已知槡２≈１．４１４，求 与槡８的近似值．
２
１０．设长方形的面积为犛，相邻两边长分别为犪，犫．已知犛＝４槡３，犪＝槡１５，求犫．
１１．已知长方体的体积犞＝４槡３，高犺＝３槡２，求它的底面积犛．
15cm2
１２．如图，从一个大正方形中裁去面积为１５ｃｍ２ 和２４ｃｍ２ 的两
个小正方形，求留下部分的面积．
24cm2
１３．用计算器计算：
（第１２题）
（１）槡９×９＋１９； （２）槡９９×９９＋１９９；
（３）槡９９９×９９９＋１９９９； （４）槡９９９９×９９９９＋１９９９９．
观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的
结果：
槡９ ９ …９ ×９ ９ …９ ＋１９ ９ …９ ＝ ．
︸ ︸ ︸
狀个９ 狀个９ 狀个９
１１４
!"#$%&"’()２３．３ 二次根式的加减
7.5dm
!"#$%&"’()
md5
问题 现有一块长为７．５ｄｍ、宽为５ｄｍ的
木板，能否采用如图２３．３１的方式，在这块木板
上截出两个面积分别是８ｄｍ２ 和１８ｄｍ２ 的正方形
木板？
因为大、小正方形木板的边长分别为槡１８ｄｍ
和槡８ｄｍ，显然木板够宽．下面考虑木板是否
图２３．３１
够长．
由于两个正方形的边长的和为（槡８＋槡１８）ｄｍ．
这实际上是求槡８，槡１８这两个二次根式的和，我
们可以这样来计算：
槡８＋槡１８
＝２槡２＋３槡２ （化成最简二次根式）
在有理数范围内
＝（２＋３）槡２ （分配律） 成立的运算律，在实
数范围内仍然成立．
＝５槡２．
由槡２＜１．５可知５槡２＜７．５，即两个正方形的
边长的和小于木板的长，因此可以用这块木板按
要求截出两个面积分别是８ｄｍ２ 和１８ｄｍ２ 的正方
形木板．
分析上面计算槡８＋槡１８的过程，可以看到，把槡８和槡１８化成最简二次根式
２槡２和３槡２后，由于被开方数相同 （都是２），可以利用分配律将２槡２和３槡２进
行合并．
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被
开方数相同的二次根式进行合并．
１１５例１ 计算：
（１）槡８０－槡４５； （２）槡９犪＋槡２５犪．
解：（１）槡８０－槡４５＝４槡５－３槡５＝槡５；
（２）槡９犪＋槡２５犪＝３槡犪＋５槡犪＝８槡犪．
例２ 计算：
比较二次根式
１
槡
（１）２槡１２－６ ＋３槡４８； 的加减与整式的加
３
减，你能得出什么
（２）（槡１２＋槡２０）＋（槡３－槡５）． 结论？
１
槡
解：（１）２槡１２－６ ＋３槡４８
３
＝４槡３－２槡３＋１２槡３
＝１４槡３；
（２）（槡１２＋槡２０）＋（槡３－槡５）
槡３与槡５能合
＝２槡３＋２槡５＋槡３－槡５
并吗？
＝３槡３＋槡５．
１．下列计算是否正确？为什么？
（１）槡８－槡３＝槡８－３；
（２）槡４＋槡９＝槡４＋９；
（３）３槡２－槡２＝２槡２．
２．计算：
（１）２槡７－６槡７；
（２）槡８０－槡２０＋槡５；
（３）槡１８＋（槡９８－槡２７）；
（ ）
d
槡１
（４）（槡２４＋槡０．５）－ －槡６ ．
８
３．如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是１２．５６和２５．１２．
求圆环的宽度犱（π取３．１４，结果保留小数点后两位）．
（第３题）
１１６
!"#$%&"’()例３ 计算：
（１）（槡８＋槡３）×槡６； （２）（４槡２－３槡６）÷２槡２．
解：（１）（槡８＋槡３）×槡６
＝槡８×槡６＋槡３×槡６
例３ （１）运用了
＝槡８×６＋槡３×６ 分配律．
＝４槡３＋３槡２；
（２）（４槡２－３槡６）÷２槡２
＝４槡２÷２槡２－３槡６÷２槡２
３
＝２－ 槡３．
２
例４ 计算：
（１）（槡２＋３）（槡２－５）； （２）（槡５＋槡３）（槡５－槡３）．
解：（１）（槡２＋３）（槡２－５）
＝（槡２） ２＋３槡２－５槡２－１５
例４（１）用了多项
＝２－２槡２－１５ 式乘法法则，（２）用了
公式（犪＋犫）（犪－犫）＝
＝－１３－２槡２；
犪２－犫２．
（２）（槡５＋槡３）（槡５－槡３）
在二次根式的运
＝（槡５） ２－（槡３）
２
算中，多项式乘法法
则和 乘 法 公 式 仍 然
＝５－３
适用．
＝２．
１．计算：
（１）槡２（槡３＋槡５）； （２）（槡８０＋槡４０）÷槡５；
（３）（槡５＋３）（槡５＋２）； （４）（槡６＋槡２）（槡６－槡２）．
２．计算：
（１）（４＋槡７）（４－槡７）； （２）（槡犪＋槡犫）（槡犪－槡犫）；
（３）（槡３＋２）２； （４）（２槡５－槡２）２．
１１７
!"#$%&"’()习题２３．３
１．下列计算是否正确？为什么？
（１）槡２＋槡３＝槡５； （２）２＋槡２＝２槡２；
槡１８－槡８
（３）３槡２－槡２＝３； （４） ＝槡９－槡４＝３－２＝１．
２
２．计算：
槡９
（１）２槡１２＋槡２７； （２）槡１８－ ；
２
２ 槡狓
（３） 槡９狓＋６ ； （４）犪２槡８犪＋３犪槡５０犪３．
３ ４
３．计算：
（１）槡１８－槡３２＋槡２； （２）槡７５－槡５４＋槡９６－槡１０８；
１ ３
（３）（槡４５＋槡１８）－（槡８－槡１２５）； （４） （槡２＋槡３）－ （槡２＋槡２７）．
２ ４
４．计算：
（１）（槡１２＋５槡８）槡３； （２）（２槡３＋３槡２）（２槡３－３槡２）；
１
（３）（５槡３＋２槡５）２； （４）（槡４８＋ 槡６）÷槡２７．
４
槡１ ５槡４
５．已知槡５≈２．２３６，求５ － ＋槡４５的近似值 （结果保留小数点后两位）．
５ ４ ５
６．已知狓＝槡３＋１，狔＝槡３－１，求下列各式的值：
A
（１）狓２＋２狓狔＋狔２； （２）狓２－狔２．
７．如图，在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犆犅＝犆犃＝犪．求犃犅的长．
（提示：作出犃犅边上的高，借助△犃犅犆的面积求解．）
C B
（第７题）
（ ） （ ）
１ １ １ ２ １ ２
８．已知犪＋ ＝槡１０，求犪－ 的值．（提示：利用犪－ 与犪＋ 之间的关系．）
犪 犪 犪 犪
９．在下列各方程后面的括号内分别给出了一组数，从中找出方程的解：
（１）２狓２－６＝０，（
槡３，槡６，－槡３，－槡６
）；
（２）２（狓＋５）２＝２４，（
５＋２槡３，５－２槡３，－５＋２槡３，－５－２槡３
）．
１１８
!"#$%&"’()
海伦－秦九韶公式
犪＋犫＋犮
如果一个三角形的三边长分别为犪，犫，犮，记狆＝ ，那么三角形的面积为
２
犛＝槡狆（狆－犪）（狆－犫）（狆－犮）． ①
古希腊的几何学家海伦 （Ｈｅｒｏｎ，约公元５０年），在数学史上以解决几何测量问题而
闻名．在他的著作 《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式．
我国南宋时期数学家秦九韶 （约１２０２—１２６１），曾提出利用三角形的三边求面积的秦
九韶公式
［ （ ）］
槡１ 犪２＋犫２－犮２ ２
犛＝ 犪２犫２－ ． ②
４ ２
下面我们对公式②进行变形：
［ （ ）］ （ ） （ ）
槡１ 犪２＋犫２－犮２ ２ 槡１ ２ 犪２＋犫２－犮２ ２
犪２犫２－ ＝ 犪犫 －
４ ２ ２ ４
（ ）（ ）
槡１ 犪２＋犫２－犮２ １ 犪２＋犫２－犮２
＝ 犪犫＋ 犪犫－
２ ４ ２ ４
槡２犪犫＋犪２＋犫２－犮２ ２犪犫－犪２－犫２＋犮２
＝ ·
４ ４
槡（犪＋犫）２－犮２ 犮２－（犪－犫）２
＝ ·
４ ４
槡犪＋犫＋犮犪＋犫－犮犪＋犮－犫犫＋犮－犪
＝ · · ·
２ ２ ２ ２
＝槡狆（狆－犪）（狆－犫）（狆－犮）．
这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一个公式，所
C
以我们也称①为海伦－秦九韶公式．
如图１，在△犃犅犆中，犅犆＝４，犃犆＝５，犃犅＝６，请你 5 4
用海伦—秦九韶公式求△犃犅犆的面积．
A 6 B
图１
１１９
!"#$%&"’()
2
书籍和纸张的长与宽都有固定的尺寸，常用纸张的规格由下列两个表
给出 （单位：ｍｍ）：
Ａ型 宽×长 Ｂ型 宽×长
Ａ５ １４８×２１０ Ｂ５ １８２×２５７
Ａ４ ２１０×２９７ Ｂ４ ２５７×３６４
Ａ３ ２９７×４２０ Ｂ３ ３６４×５１５
Ａ２ ４２０×５９４ Ｂ２ ５１５×７２８
Ａ１ ５９４×８４１ Ｂ１ ７２８×１０３０
（１）使用计算器求出各规格纸张长与宽的比值，你有什么发现？各规
格纸张的长与宽的比有什么关系？
（２）测量教科书与课外读物的长与宽，看看它们的长与宽的比是否也
有类似确定的关系？
做一个底面积为２４ｃｍ２ ，长、宽、高的比为４∶２∶１的长方体，并回
答下列问题：
（１）这个长方体的长、宽、高分别是多少？
（２）长方体的表面积是多少？
（３）长方体的体积是多少？
１２０
!"#$%&"’()
书书书小 结
一、本章知识结构图
（槡犪）２＝犪（犪≥０）
槡犪２＝犪（犪≥０）
二、回顾与思考
本章在数的开方知识的基础上，学习了二次根式的概念、运算法则和加减
乘除运算．
对于二次根式，要注意被开方数必须是非负数．在二次根式的运算和化简
中，要利用运算法则．二次根式的加减法与整式的加减法类似，只要将根式化
为最简二次根式后，去括号与合并被开方数相同的二次根式就可以了．二次根
式的乘法与整式的乘法类似，以往学过的乘法公式等都可以运用．二次根式的
除法与分式的运算类似，如果分子分母中含有相同的因式，可以直接约去．
至此，我们已经学习了整式 （单项式、多项式）、分式、二次根式等代数
式的概念和运算．因为字母表示数，所以代数式的运算也就是含有字母符号的
算式之间的运算，实际上就是用实数的运算律对这些符号进行运算．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．当狓是怎样的实数时，槡狓在实数范围内有意义？
２．什么叫最简二次根式？你能举出一些最简二次根式的例子吗？
３．请你分别举例说明二次根式的加、减、乘、除运算法则．
１２１
!"#$%&"’()复习题２３
１．当狓是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
１
（１）槡３＋狓； （２） ；
槡２狓－１
槡１ 槡 １
（３） ； （４） ．
２－３狓 （狓－１）２
２．化简：
（１）槡５００； （２）槡１２狓；
槡２ 槡２
（３） ４ ； （４） ；
３ ３犪２
槡５犪５
（５）槡２狓２狔３； （６） ．
６
３．计算：
（ ） （ ）
槡１ 槡１ 槡３
（１） 槡２４－ － ＋槡６ ； （２）２槡１２× ÷５槡２；
２ ８ ４
（３）（２槡３＋槡６）（２槡３－槡６）； （４）（２槡４８－３槡２７）÷槡６；
（ ）
３槡２ 槡１ ２
（５）（２槡２＋３槡３）２； （６） １ － １ ．
２ ３ ４
４．正方形的边长为犪ｃｍ，它的面积与长为９６ｃｍ、宽为１２ｃｍ的长方形的面积相等．
求犪的值．
５．已知狓＝槡５－１，求代数式狓２＋５狓－６的值．
６．已知狓＝２－槡３，求代数式（７＋４槡３）狓２＋（２＋槡３）狓＋槡３的值．
７．电流通过导线时会产生热量，电流犐（单位：Ａ）、导线电阻犚（单位：Ω）、通电
时间狋（单位：ｓ）与产生的热量犙（单位：Ｊ）满足犙＝犐２犚狋．已知导线的电阻为
５Ω，１ｓ时间导线产生３０Ｊ的热量，求电流犐的值 （结果保留小数点后两位）．
８．已知狀是正整数，槡１８９狀是整数，求狀的最小值．
９． （１）把一个圆心为点犗，半径为狉的圆的面积四等分．请你尽可能多地设想各种
分割方法．
１２２
!"#$%&"’()（２）如图，以点犗为圆心的三个同心圆把以犗犃为半径的大圆犗的面积四等分．
求这三个圆的半径犗犅，犗犆，犗犇的长．
C
B
D
A
O
（第９题）
１０．判断下列各式是否成立：
槡２ 槡２ 槡３ 槡３ 槡４ 槡４
２ ＝２ ； ３ ＝３ ； ４ ＝４ ．
３ ３ ８ ８ １５ １５
类比上述式子，再写出几个同类型的式子．你能看出其中的规律吗？用字母表示
这一规律，并给出证明．
１２３
!"#$%&"’()部分中英文词汇索引
中文 英文 页码
轴对称图形 ａｘｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃｆｉｇｕｒｅ ２
对称轴 ａｘｉｓｏｆｓｙｍｍｅｔｒｙ ２
对称点 ｓｙｍｍｅｔｒｉｃｐｏｉｎｔｓ ３
垂直平分线 ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒｂｉｓｅｃｔｏｒ ４
等腰三角形 ｉｓｏｓｃｅｌｅｓｔｒｉａｎｇｌｅ １９
等边三角形 ｅｑｕｉｌａｔｅｒａｌｔｒｉａｎｇｌｅ ２３
平方差公式 ｆｏｒｍｕｌａｆｏｒｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｏｆｓｑｕａｒｅｓ ５１
完全平方公式 ｆｏｒｍｕｌａｆｏｒｔｈｅｓｑｕａｒｅｏｆｔｈｅｓｕｍ ５３
因式分解 ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ５８
公因式 ｃｏｍｍｏｎｆａｃｔｏｒ ５８
分式 ｆｒａｃｔｉｏｎ ７１
约分 ｒｅｄｕｃｔｉｏｎｏｆａｆｒａｃｔｉｏｎ ７５
最简分式 ｆｒａｃｔｉｏｎｉｎｌｏｗｅｓｔｔｅｒｍｓ ７５
ｒｅｄｕｃｔｉｏｎｏｆｆｒａｃｔｉｏｎｓｔｏａｃｏｍｍｏｎ
通分 ７５
ｄｅｎｏｍｉｎａｔｏｒ
分式方程 ｆｒａｃｔｉｏｎａｌｅｑｕａｔｉｏｎ ９３
二次根式 ｑｕａｄｒａｔｉｃｒａｄｉｃａｌ １０５
代数式 ａｌｇｅｂｒａｉｃｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ １０７
最简二次根式 ｓｉｍｐｌｅｓｔｑｕａｄｒａｔｉｃｒａｄｉｃａｌ １１２
１２４
*+,-./012后 记
本册教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发
中心依据教育部《义务教育数学课程标准（2011年版）》编写的，经国家基础
教育课程教材专家工作委员会2013年审查通过。
本册教科书集中反映了基础教育教科书研究与实验的成果，凝聚了参与课
改实验的教育专家、学科专家、教研人员以及一线教师的集体智慧。我们感谢
所有对教科书的编写、出版提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友，感谢整
体设计艺术指导吕敬人等。
本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照片、
画作）的作者进行了联系，得到了他们的大力支持。对此，我们表示衷心的感
谢！但仍有部分作者未能取得联系，恳请人选作品的作者与我们联系，以便支
付稿酬。
我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本册教科书的过程中提出宝
贵意见，并将这些意见和建议及时反馈给我们。让我们携起手来，共同完成义
务教育教材建设工作！
联系方式
电 话：010-58758331
电子邮箱：jcfk@pep.com.cn
人民教育出版社 课程教材研究所
中学数学课程教材研究开发中心
2013年5月® YIWU JIAOYU JIAOKESHU
义
SHUXUE 务
教
3
育
八年级
教
科
义务教育教科书
书
（ （五·四学制）
五
·
四
上册
学
制
）
数学 八年级 上册
数
数学
学
八
年
级
上
册
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