文档内容
2017 年山东省东营市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．3B． C．0D．π
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（x﹣y）2=x2﹣y2B．| ﹣2|=2﹣ C． ﹣ = D．﹣（﹣a+1）=a+1
3．（3分）若|x2﹣4x+4|与 互为相反数，则x+y的值为（ ）
A．3B．4C．6D．9
4．（3分）小明从家到学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公
交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，小明从家到学校行驶路程s（m）与
时间t（min）的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）已知a∥b，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠2=45°，则∠1等
于（ ）
A．100° B．135° C．155° D．165°
6．（3分）如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是
一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，
能构成这个正方体的表面展开图的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，在 ▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．
若BF=8，AB=5，则AE的长为（ ）
第1页（共22页）A．5B．6C．8D．12
8．（3分）若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形
圆心角的度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．180°
9．（3分）如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面
积是△ABC面积的一半，若BC= ，则△ABC移动的距离是（ ）
A． B． C． D． ﹣
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交
AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC
其中正确的是（ ）
A．①②③④B．②③C．①②④ D．①③④
二、填空题（本大题共8小题，共28分）
11．（3分）《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》以“一带一路”贸易合
作现状分析和趋势预测为核心，采集调用了8000多个种类，总计1.2亿条全球进
出口贸易基础数据…，1.2亿用科学记数法表示为 ．
12．（3分）分解因式：﹣2x2y+16xy﹣32y= ．
13．（3分）为选拔一名选手参加全国中学生游泳锦标赛自由泳比赛，我市四名中
学生参加了男子100米自由泳训练，他们成绩的平均数 及其方差s2如下表所示：
甲 乙 丙 丁
第2页（共22页）1′05″ 1′04″ 1′04″ 1′07″
33 26 26 29
S2 1.1 1.1 1.3 1.6
如果选拔一名学生去参赛，应派 去．
14．（3分）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC∥OD，
AD 与 OC 交于点 E，连结 CD、BD，给出以下三个结论：① OD 平分∠COB；
②BD=CD；③CD2=CE•CO，其中正确结论的序号是 ．
15．（4分）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8 ，E为AB的中点，若P
为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为 ．
16．（4分）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，
有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把
枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，
有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最
短长度是 尺．
17．（4分）一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测
得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，
则塔高为 米．
第3页（共22页）18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y= x﹣ 与x轴交于点B ，以
1
OB 为边长作等边三角形A OB ，过点A 作A B 平行于x轴，交直线l于点B ，以
1 1 1 1 1 2 2
A B 为边长作等边三角形A A B ，过点A 作A B 平行于x轴，交直线l于点B ，以
1 2 2 1 2 2 2 3 3
A B 为边长作等边三角形A A B ，…，则点A 的横坐标是 ．
2 3 3 2 3 2017
三、解答题（本大题共7小题，共62分）
19．（8分）（1）计算：6cos45°+（ ）﹣1+（ ﹣1.73）0+|5﹣3 |+42017×（﹣0.25）2017
（2）先化简，再求值：（ ﹣a+1）÷ + ﹣a，并从﹣1，0，2中选一个合
适的数作为a的值代入求值．
20．（7分）为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿服务精神，传播“奉献
他人、提升自我”的志愿服务理念，东营市某中学利用周末时间开展了“助老助
残、社区服务、生态环保、网络文明”四个志愿服务活动（每人只参加一个活动），
九年级某班全班同学都参加了志愿服务，班长为了解志愿服务的情况，收集整理
数据后，绘制以下不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问
题：
（1）求该班的人数；
（2）请把折线统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中，网络文明部分对应的圆心角的度数；
（4）小明和小丽参加了志愿服务活动，请用树状图或列表法求出他们参加同一服
务活动的概率．
第4页（共22页）21．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作
⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．
22．（8分）如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例
函数y= 的图象在第一象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=3，OD=6，
△AOB的面积为3．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出当x＞0时，kx+b﹣ ＜0的解集．
23．（9分）为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，
某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B
类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400
万元．
（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？
（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政
共同承担．若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于
4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万
元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？
24．（10分）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的
一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
第5页（共22页）25．（12分）如图，直线y=﹣ x+ 分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴
上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+ 经过A，B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y
轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．
2017 年山东省东营市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．3B． C．0D．π
【解答】解：0＜ ＜3＜π，
故选：D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（x﹣y）2=x2﹣y2B．| ﹣2|=2﹣ C． ﹣ = D．﹣（﹣a+1）=a+1
【解答】解：A、原式=x2﹣2xy+y2，故本选项错误；
B、原式=2﹣ ，故本选项正确；
C、原式=2 ﹣ ，故本选项错误；
D、原式=a﹣1，故本选项错误；
故选：B．
3．（3分）若|x2﹣4x+4|与 互为相反数，则x+y的值为（ ）
A．3B．4C．6D．9
【解答】解：根据题意得|x2﹣4x+4|+ =0，
所以|x2﹣4x+4|=0， =0，
即（x﹣2）2=0，2x﹣y﹣3=0，
第6页（共22页）所以x=2，y=1，
所以x+y=3．
故选：A．
4．（3分）小明从家到学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公
交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，小明从家到学校行驶路程s（m）与
时间t（min）的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：小明从家到学校，先匀速步行到车站，因此S随时间t的增长而增长，
等了几分钟后坐上了公交车，因此时间在增加，S不增长，
坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，因此S又随时间t
的增长而增长，
故选：C．
5．（3分）已知a∥b，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠2=45°，则∠1等
于（ ）
A．100° B．135° C．155° D．165°
【解答】解：如图，过P作PQ∥a，
∵a∥b，
∴PQ∥b，
∴∠BPQ=∠2=45°，
∵∠APB=60°，
∴∠APQ=15°，
∴∠3=180°﹣∠APQ=165°，
∴∠1=165°，
故选：D．
第7页（共22页）6．（3分）如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是
一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，
能构成这个正方体的表面展开图的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设没有涂上阴影的分别为：A、B、C、D、E、F、G，如图所示，
从其余的小正方形中任取一个涂上阴影共有7种情况，
而能够构成正方体的表面展开图的有以下情况，D、E、F、G，
∴能构成这个正方体的表面展开图的概率是 ，
故选：A．
7．（3分）如图，在 ▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．
若BF=8，AB=5，则AE的长为（ ）
A．5B．6C．8D．12
【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB= BF=4，OA= AE．
∵AB=5，
在Rt△AOB中，AO= =3，
∴AE=2AO=6．
故选：B．
第8页（共22页）8．（3分）若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形
圆心角的度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．180°
【解答】解：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积= lr=πrR，
∵侧面积是底面积的3倍，
∴3πr2=πrR，
∴R=3r，
设圆心角为n，有 = πR，
∴n=120°．
故选：C．
9．（3分）如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面
积是△ABC面积的一半，若BC= ，则△ABC移动的距离是（ ）
A． B． C． D． ﹣
【解答】解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，
∴AB∥DE，
∴△ABC∽△HEC，
∴ =（ ）2= ，
∴EC：BC=1： ，
∵BC= ，
∴EC= ，
第9页（共22页）∴BE=BC﹣EC= ﹣ ．
故选：D．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交
AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC
其中正确的是（ ）
A．①②③④B．②③C．①②④ D．①③④
【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴BE=2AE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴ ，
∴DP2=PH•PC，故④正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，共28分）
11．（3分）《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》以“一带一路”贸易合
第10页（共22页）作现状分析和趋势预测为核心，采集调用了8000多个种类，总计1.2亿条全球进
出口贸易基础数据…，1.2亿用科学记数法表示为 1. 2 × 1 0 8 ．
【解答】解：1.2亿用科学记数法表示为1.2×108．
故答案为：1.2×108．
12．（3分）分解因式：﹣2x2y+16xy﹣32y= ﹣ 2 y （ x﹣4 ） 2 ．
【解答】解：原式=﹣2y（x2﹣8x+16）
=﹣2y（x﹣4）2
故答案为：﹣2y（x﹣4）2
13．（3分）为选拔一名选手参加全国中学生游泳锦标赛自由泳比赛，我市四名中
学生参加了男子100米自由泳训练，他们成绩的平均数 及其方差s2如下表所示：
甲 乙 丙 丁
1′05″ 1′04″ 1′04″ 1′07″
33 26 26 29
S2 1.1 1.1 1.3 1.6
如果选拔一名学生去参赛，应派 乙 去．
【解答】解：∵ ＞ ＞ = ，
∴从乙和丙中选择一人参加比赛，
∵S ＜S ，
∴选择乙参赛，
故答案为：乙．
14．（3分）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC∥OD，
AD 与 OC 交于点 E，连结 CD、BD，给出以下三个结论：① OD 平分∠COB；
②BD=CD；③CD2=CE•CO，其中正确结论的序号是 ①②③ ．
【解答】解：①∵OC⊥AB，
∴∠BOC=∠AOC=90°．
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC=45°．
∵AC∥OD，
∴∠BOD=∠CAO=45°，
∴∠DOC=45°，
∴∠BOD=∠DOC，
∴OD平分∠COB．故①正确；
②∵∠BOD=∠DOC，
第11页（共22页）∴BD=CD．故②正确；
③∵∠AOC=90°，
∴∠CDA=45°，
∴∠DOC=∠CDA．
∵∠OCD=∠OCD，
∴△DOC∽△EDC，
∴ ，
∴CD2=CE•CO．故③正确．
故答案为：①②③．
15．（4分）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8 ，E为AB的中点，若P
为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为 2 ．
【解答】解：如图作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．
∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8 ，
∴AB=BC=4，AB•CE′=8 ，
∴CE′=2 ，
在Rt△BCE′中，BE′= =2，
∵BE=EA=2，
∴E与E′重合，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴A、C关于BD对称，
∴当P与P′重合时，P′A+P′E的值最小，最小值为CE的长=2 ，
故答案为2 ．
16．（4分）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，
有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把
枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，
第12页（共22页）有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最
短长度是 2 5 尺．
【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，
另一条直角边长5×3=15（尺），
因此葛藤长为 =25（尺）．
故答案为：25．
17．（4分）一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测
得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，
则塔高为 米．
【解答】解：在Rt△BCD中，∵tan∠CBD= ，
∴BD= ，
在Rt△ACD中，∵tan∠A= = ，
∴tanα= ，
解得：CD= ，
第13页（共22页）故答案为： ．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y= x﹣ 与x轴交于点B ，以
1
OB 为边长作等边三角形A OB ，过点A 作A B 平行于x轴，交直线l于点B ，以
1 1 1 1 1 2 2
A B 为边长作等边三角形A A B ，过点A 作A B 平行于x轴，交直线l于点B ，以
1 2 2 1 2 2 2 3 3
A B 为边长作等边三角形A A B ，…，则点A 的横坐标是 ．
2 3 3 2 3 2017
【解答】解：由直线l：y= x﹣ 与x轴交于点B ，可得B（1，0），D（0，﹣ ），
1 1
∴OB =1，∠OB D=30°，
1 1
如图所示，过A 作A A⊥OB 于A，则OA= OB = ，
1 1 1 1
即A 的横坐标为 = ，
1
由题可得∠A B B =∠OB D=30°，∠B A B =∠A B O=60°，
1 2 1 1 2 1 1 1 1
∴∠A B B =90°，
1 1 2
∴A B =2A B =2，
1 2 1 1
过A 作A B⊥A B 于B，则A B= A B =1，
2 2 1 2 1 1 2
即A 的横坐标为 +1= = ，
2
过A 作A C⊥A B 于C，
3 3 2 3
同理可得，A B =2A B =4，A C= A B =2，
2 3 2 2 2 2 3
即A 的横坐标为 +1+2= = ，
3
同理可得，A 的横坐标为 +1+2+4= = ，
4
由此可得，A 的横坐标为 ，
n
第14页（共22页）∴点A 的横坐标是 ，
2017
故答案为： ．
三、解答题（本大题共7小题，共62分）
19．（8分）（1）计算：6cos45°+（ ）﹣1+（ ﹣1.73）0+|5﹣3 |+42017×（﹣0.25）2017
（2）先化简，再求值：（ ﹣a+1）÷ + ﹣a，并从﹣1，0，2中选一个合
适的数作为a的值代入求值．
【解答】解：（1）6cos45°+（ ）﹣1+（ ﹣1.73）0+|5﹣3 |+42017×（﹣0.25）2017
=6× +3+1+5﹣3 +42017×（﹣ ）2017
=
=8；
（2）（ ﹣a+1）÷ + ﹣a
=
=
=
=
=﹣a﹣1，
当a=0时，原式=﹣0﹣1=﹣1．
20．（7分）为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿服务精神，传播“奉献
他人、提升自我”的志愿服务理念，东营市某中学利用周末时间开展了“助老助
残、社区服务、生态环保、网络文明”四个志愿服务活动（每人只参加一个活动），
第15页（共22页）九年级某班全班同学都参加了志愿服务，班长为了解志愿服务的情况，收集整理
数据后，绘制以下不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问
题：
（1）求该班的人数；
（2）请把折线统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中，网络文明部分对应的圆心角的度数；
（4）小明和小丽参加了志愿服务活动，请用树状图或列表法求出他们参加同一服
务活动的概率．
【解答】解：（1）该班全部人数：12÷25%=48人．
（2）48×50%=24，折线统计如图所示：
（3） ×360°=45°．
（4）分别用“1，2，3，4”代表“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个服
务活动，列表如下：
则所有可能有16种，其中他们参加同一活动有4种，
第16页（共22页）所以他们参加同一服务活动的概率P= = ．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作
⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．
【解答】（1）证明：∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE是⊙O的切线，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC；
（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴OD=EH，OH=DE．
设AH=x．
∵DE+AE=8，OD=10，
∴AE=10﹣x，OH=DE=8﹣（10﹣x）=x﹣2．
在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即x2+（x﹣2）2=102，
解得x =8，x =﹣6（不合题意，舍去）．
1 2
∴AH=8．
∵OH⊥AF，
∴AH=FH= AF，
∴AF=2AH=2×8=16．
第17页（共22页）22．（8分）如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例
函数y= 的图象在第一象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=3，OD=6，
△AOB的面积为3．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出当x＞0时，kx+b﹣ ＜0的解集．
【解答】解：（1）∵S =3，OB=3，
△AOB
∴OA=2，
∴B（3，0），A（0，﹣2），
代入y=kx+b得： ，
解得：k= ，b=﹣2，
∴一次函数y= x﹣2，
∵OD=6，
∴D（6，0），CD⊥x轴，
当x=6时，y= ×6﹣2=2
∴C（6，2），
∴n=6×2=12，
∴反比例函数的解析式是y= ；
（2）当x＞0时，kx+b﹣ ＜0的解集是0＜x＜6．
23．（9分）为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，
某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B
类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400
万元．
（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？
（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政
共同承担．若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于
第18页（共22页）4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万
元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？
【解答】解：（1）设改扩建一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y万
元
由题意得 ，
解得 ，
答：改扩建一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为1200万元和1800万元
（2）设今年改扩建A类学校a所，则改扩建B类学校（10﹣a）所，
由题意得： ，
解得 ，
∴3≤a≤5，
∵a取整数，
∴a=3，4，5．
即共有3种方案：
方案一：改扩建A类学校3所，B类学校7所；
方案二：改扩建A类学校4所，B类学校6所；
方案三：改扩建A类学校5所，B类学校5所．
24．（10分）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的
一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，
∴∠ABD=∠ACB=30°，
∴∠ABD=∠ADE=30°，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，
∴∠EDC=∠DAB，
∴△ABD∽△DCE；
（2）如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，
过A作AF⊥BC于F，
∴∠AFB=90°，
∵AB=2，∠ABF=30°，
第19页（共22页）∴AF= AB=1，
∴BF= ，
∴BC=2BF=2 ，
则DC=2 ﹣x，EC=2﹣y，
∵△ABD∽△DCE，
∴ ，
∴ ，
化简得：y= x+2（0＜x＜2 ）；
（3）当AD=DE时，如图2，
由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，
则AB=CD，即2=2 ﹣x，
x=2 ﹣2，代入y= x+2，
解得：y=4﹣2 ，即AE=4﹣2 ，
当AE=ED时，如图3，
∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，
∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，
则ED= EC，即y= （2﹣y），
解得：y= ，即AE= ，
当AD=AE时，
∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，
此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，
∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4﹣2 或 ．
第20页（共22页）25．（12分）如图，直线y=﹣ x+ 分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴
上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+ 经过A，B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y
轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．
【解答】解：
（1）∵直线y=﹣ x+ 分别与x轴、y轴交于B、C两点，
∴B（3，0），C（0， ），
∴OB=3，OC= ，
∴tan∠BCO= = ，
∴∠BCO=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO=30°，
∴ =tan30°= ，即 = ，解得AO=1，
∴A（﹣1，0）；
（2）∵抛物线y=ax2+bx+ 经过A，B两点，
∴ ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+ ；
第21页（共22页）（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，
∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，
∴DH= DM，MH= DM，
∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+ DM+ DM= DM，
∴当DM有最大值时，其周长有最大值，
∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，
∴可设M（t，﹣ t2+ t+ ），则D（t，﹣ t+ ），
∴DM=﹣ t2+ t+ ﹣（﹣ t+ ）=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣ ）2+ ，
∴当t= 时，DM有最大值，最大值为 ，
此时 DM= × = ，
即△DMH周长的最大值为 ．
第22页（共22页）
