文档内容
® YIWU JIAOYU JIAOKESHU
义
SHUXUE 务
教
3
育
九年级
教
科
义务教育教科书
书
（ （五·四学制）
五
·
四
下册
学
制
）
数学 九年级 下册
数
数学
学
九
年
级
下
册
绿色印刷产品
数学九年级下(五四)封面.indd 1 2014.9.24 2:07:39 PM义 务 教 育 教 科 书
（五·四学制）
数 学
九年级
下册
人民教育出版社 课程教材研究所
编著
中学数学课程教材研究开发中心
·北 京·主 编：林 群
副 主 编：田载今 薛 彬 李海东
本册主编：章建跃
主要编写人员：宋莉莉 李龙才 刘长明 邓泾河
责任编辑：张劲松
美术编辑：王俊宏
封面设计：吕 旻 王俊宏
插 图：王俊宏 文鲁工作室（封面）
义务教育教科书（五·四学制） 数学 九年级 下册
人民教育出版社 课程教材研究所
编著
中学数学课程教材研究开发中心
出 版
（北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼 邮编：100081）
网 址 http://www.pep.com.cn
重 印 ×××出版社
发 行 ×××新华书店
印 刷 ×××印刷厂
版 次 2014年10月第1版
印 次 年 月第 次印刷
开 本 787毫米×1092毫米 1/16
印 张 6
字 数 98千字
印 数 册
书 号 ISBN 978-7-107-29044-2
定 价 元
版权所有·未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分·违者必究
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如发现印、装质量问题，影响阅读，请与×××联系调换。电话：×××-××××××××本册导引
亲爱的同学，新学期又开始了。这是你在初中阶段要学习的最后一册数学
教科书。
日常生活中，我们常常会见到一些形状相同的图形。它们具有什么共同的
特征？怎样从数学的角度去认识这种现象？在 “相似”一章，你将会得到答
案。类似于全等，相似是图形之间的一种特殊关系。与平移、轴对称、旋转一
样，它还是图形之间的一种基本变化。学完了这一章，你将会对上述问题有更
深刻的理解，并利用相似去解决一些实际问题。
测量长度或角度是我们日常生活中经常遇到的问题。在前面的学习中，我
们学习了一些利用全等或相似来测量的方法，但都要用到两个三角形。“锐角
三角函数”将带我们去研究直角三角形中的边角关系，利用它，就可以很方便
地解决与直角三角形有关的测量问题了。
在建筑施工和机械制造中，常常要使用三视图。在七年级上册，我们已初
步了解了从不同方向看立体图形可以得到不同的平面图形。在 “投影与视图”
一章，我们将了解投影的基础知识，借助投影来认识视图，并进一步利用视图
来认识立体图形与平面图形的关系。学完了本章，相信你对空间图形的认识一
定会有进一步的提高。
过了这个学期，你就要初中毕业了，我们这套 《义务教育教科书 （五·四
学制）·数学》伴你走过了四年的初中学习生活。回忆一下，在这四年里，你
学到了哪些数学知识？对数学有了进一步的认识吗？
今后，无论你是继续学习还是参加工作，都希望你能用数学的眼光去观察
世界，用数学的头脑去思考问题，用所学的数学知识去解决问题。愿你今后取
得更大的进步。目 录
第三十三章 相似
３３．１ 图形的相似 ２
３３．２ 相似三角形 ７
观察与猜想 奇妙的分形图形 ２３
３３．３ 位似 ２５
信息技术应用 探索位似的性质 ３１
数学活动
３２
小结
３４
复习题３３
３５
第三十四章 锐角三角函数
３４．１ 锐角三角函数 ３９
阅读与思考 一张古老的 “三角函数表” ４８
３４．２ 解直角三角形及其应用 ５０
阅读与思考 山坡的高度 ５８
数学活动
５９
小结
６１
复习题３４
６２
书书书第三十五章 投影与视图
３５．１ 投影 ６５
３５．２ 三视图 ７２
阅读与思考 视图的产生与应用 ８２
３５．３ 课题学习 制作立体模型 ８３
数学活动
８５
小结
８６
复习题３５
８７
部分中英文词汇索引
９０第三十三章 相似
在现实生活中，我们经常见到形状相同的图
形．如国旗上大小不同的五角星、不同尺寸同底版
的相片等．下图中两张大小不同的万里长城图片，
它们的各部分都是按一定比例对应的．
在 “全等三角形”一章中，我们研究了形状
和大小完全相同的两个三角形的性质和判定方法．
类似地，两个形状相同、大小不同的三角形，它
们的边和角有什么关系？对应线段 （如高、中线和
角平分线等）和面积有什么关系？如何判断两个
三角形的形状是否相同？如何按要求放大或缩小
一个图形呢？
要回答上面的问题，就进入这一章的学习吧！在
实验、探索和论证之后，你就能得到问题的答案．
书书书３３．１ 图形的相似
图３３．１１中有汽车和它的模型，也有大小不
同的足球，还有同一张底版洗出的不同尺寸的照
你能再举出一
些相似图形的例
片，以及排版印刷时使用不同字号排出的相同文
子吗？
字．所有这些，都给我们以形状相同的形象．我
们把形状相同的图形叫做相似图形 （ｓｉｍｉｌａｒｆｉｇ
ｕｒｅｓ）．
图３３．１１
两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．例
如，放映电影时，投在屏幕上的画面就是胶片上图形的放大；用复印机把一个
图形放大或缩小后所得的图形，都与原来的图形相似．图３３．１２中有４对图
形，每对图形中的两个图形相似．其中较大 （小）的图形可以看成是由较小
（大）的图形放大 （缩小）得到的．
图３３．１２
２
!"#"$%&’
图３３．１３是一个女孩儿从平面镜和哈哈镜里看到的自己的形象，这
些镜中的形象相似吗？
图３３．１３
１．如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？
0123456789101112
（第１题）
２．如图，图形 （ａ）～ （ｆ）中，哪些与图形 （１）或 （２）相似？
(a) (b)
(1) (c)
(2)
(d) (e) (f)
（第２题）
３
!"#"$%&’下面我们研究特殊的相似图形———相似多边
形．两个边数相同的多边形，如果它们的角分别
相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多
对于四条线段犪，
犫，犮，犱，如果其中两
边形 （ｓｉｍｉｌａｒｐｏｌｙｇｏｎｓ）．相似多边形对应边的比
条线段的比 （即它们长
叫做相似比 （ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙｒａｔｉｏ）．
度的比）与另两条线段
例如，图３３．１４中的两个大小不同的四边形
犪 犮
的比相等，如 ＝
犃犅犆犇和四边形犃犅犆犇 中， 犫 犱
１ １ １ １ （即犪犱＝犫犮），我们就说
∠犃＝ ∠犃，∠犅＝ ∠犅，∠犆＝ ∠犆，
１ １ １ 这四条线段成比例．
∠犇＝∠犇，
１
犃犅 犅犆 犆犇 犇犃
＝ ＝ ＝ ，
犃犅 犅犆 犆犇 犇犃
１ １ １ １ １ １ １ １
因此四边形犃犅犆犇与四边形犃犅犆犇 相似． 两个大小不同
１ １ １ １
的正方形相似吗？
为什么？
D
1
D A
A 1
B C
B C
1 1
图３３．１４
由相似多边形的定义可知，相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
例 如图３３．１５，四边形犃犅犆犇和犈犉犌犎相似，求角α，
β
的大小和
犈犎的长度狓．
H
x
E
21 D 118e
β
A
24
18
78e 83e α
B C F G
图３３．１５
解：因为四边形犃犅犆犇和犈犉犌犎相似，所以它们的对应角相等，由此可得
α＝∠犆＝８３°，∠犃＝∠犈＝１１８°．
在四边形犃犅犆犇中，
β＝３６０°－（７８°＋８３°＋１１８°）＝８１°．
因为四边形犃犅犆犇和犈犉犌犎相似，所以它们的对应边成比例，由此可得
４
!"#"$%&’犈犎 犈犉 狓 ２４
＝ ，即 ＝ ．
犃犇 犃犅 ２１ １８
解得 狓＝２８．
１．在比例尺为１∶１０００００００的地图上，量得甲、乙两地的距离是３０ｃｍ，求两地
的实际距离．
２．如图所示的两个三角形相似吗？为什么？
6
c 9
10 d
10
5 5 3 b
5 2 a
7.5
（第２题） （第３题）
３．如图所示的两个五边形相似，求犪，犫，犮，犱的值．
习题３３．１
１．两地的实际距离是２０００ｍ，在地图上量得这两地的 D
x
距离为２ｃｍ，这幅地图的比例尺是多少？ A y
F E
２．任意两个矩形相似吗？为什么？ 4
12
7
３．如图，△犃犅犆与△犇犈犉相似，求狓，狔的值．
B C
8
（第３题）
４．如图，试着在方格纸中画出与原图形相似的图形．
你用的是什么方法？与同学交流一下．
（第４题）
５
!"#"$%&’犃犇 犃犈 犇犈
５．如图，犇犈∥犅犆，（１）求 ， ， 的值；（２）证明△犃犇犈与△犃犅犆相似．
犃犅 犃犆 犅犆
A
2 2.5
D E
3
4 5
B C
（第
9
５题）
（第６题）
６．如图，矩形草坪长３０ｍ、宽２０ｍ．沿草坪四周有１ｍ宽的环行小路，小路内外边
缘形成的两个矩形相似吗？说出你的理由．
７．如果两个多边形仅有角分别相等，它们相似吗？如果仅有边成比例呢？若不一定
相似，请举出反例．
８．如图，将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩
形相似，那么原来矩形的长宽比是多少？将这张纸如此再对折下去，得到的矩形
都相似吗？
（第８题）
６
!"#"$%&’
书书书３３．２ 相似三角形
３３．２．１ 相似三角形的判定 C
C
在相似多边形中，最简单的就是相似三
角 形 （ｓｉｍｉｌａｒｔｒｉａｎｇｌｅｓ）．如 图 ３３．２１，在
A B A B
△犃犅犆和△犃′犅′犆′中，如果
图３３．２１
∠犃＝∠犃′，∠犅＝∠犅′，∠犆＝∠犆′，
如果犽＝１，这
犃犅 犅犆 犃犆
两个三角形有怎样
＝ ＝ ＝犽，
犃′犅′ 犅′犆′ 犃′犆′
的关系？
即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说
△犃犅犆与△犃′犅′犆′相似，相似比为犽．相似用符
号 “∽”表 示，读 作 “相 似 于”．△犃犅犆 与
△犃′犅′犆′相似记作 “△犃犅犆∽△犃′犅′犆′”．
判定两个三角形全等时，除了可以验证它们
△犃′犅′犆′与△犃犅犆
１
所有的角和边分别相等外，还可以使用简便的判 的相似比为 ．
犽
定方法 （ＳＳＳ，ＳＡＳ，ＡＳＡ，ＡＡＳ）．类似地，判
定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定
方法呢？我们先来探究下面的问题．
如图３３．２２，任意画两条直线犾，犾，再画
１ ２ l 1 l 2
三条与犾，犾都相交的平行线犾，犾，犾．分别度
l
１ ２ ３ ４ ５ A D 3
量犾，犾，犾在犾上截得的两条线段犃犅，犅犆和
B E
l
4
３ ４ ５ １
犃犅
在犾 上截得的两条线段犇犈，犈犉的长度， 与 l
２ 犅犆 C F 5
犇犈 犃犅 犇犈 图３３．２２
相等吗？任意平移犾， 与 还相等吗？
犈犉 ５ 犅犆 犈犉
７
!"#"$%&’犃犅 犇犈 犅犆 犈犉 犃犅 犇犈
可以发现，当犾∥犾∥犾 时，有 ＝ ， ＝ ， ＝ ，
３ ４ ５ 犅犆 犈犉 犃犅 犇犈 犃犆 犇犉
犅犆 犈犉
＝ 等．
犃犆 犇犉
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况
（图３３．２３）．
l 1 l 2 l 1 l 2
A
l l
3 E D 3
l l
D E 4 A 4
l l
B C 5 B C 5
（１） （２）
图３３．２３
在图３３．２３（１）中，把犾看成平行于△犃犅犆的边犅犆的直线；在图３３．２３
４
（２）中，把犾看成平行于△犃犅犆的边犅犆的直线，那么我们可以得到结论：
３
平行于三角形一边的直线截其他两边 （或两边的延长线），所得的对应线
段成比例．
A
如图 ３３．２４，在 △犃犅犆中，犇犈∥犅犆，且
犇犈分 别 交犃犅，犃犆 于 点犇，犈，△犃犇犈 与
D E
△犃犅犆有什么关系？
B C
图３３．２４
直觉告诉我们，△犃犇犈与△犃犅犆相似，我们通过相似的定义证明它，即证明
犃犇 犃犈 犇犈
∠犃＝∠犃，∠犃犇犈＝∠犅，∠犃犈犇＝∠犆， ＝ ＝ ．由前面的结论可得，
犃犅 犃犆 犅犆
犃犇 犃犈 犇犈
＝ ．而 中的犇犈不在△犃犅犆的边犅犆上，不能直接利用前面的结论．但
犃犅 犃犆 犅犆
犃犈 犇犈
从要证的 ＝ 可以看出，除犇犈外，犃犈，犃犆，犅犆都在△犃犅犆的边上，因此
犃犆 犅犆
８
!"#"$%&’犃犈 犅犉
只需将犇犈平移到犅犆边上去，使得犅犉＝犇犈，再证明 ＝ 就可以了 （图
犃犆 犅犆
３３．２５）．只要过点犈作犈犉∥犃犅，交犅犆于点犉，犅犉就是平移犇犈所得的线段．
先证明两个三角形的角分别相等．
如图３３．２５，在△犃犇犈与△犃犅犆中，∠犃＝∠犃．
∵ 犇犈∥犅犆，
∴ ∠犃犇犈＝∠犅，∠犃犈犇＝∠犆．
再证明两个三角形的边成比例．
过点犈作犈犉∥犃犅，交犅犆于点犉．
A
∵ 犇犈∥犅犆，犈犉∥犃犅，
犃犇 犃犈 犅犉 犃犈 D E
∴ ＝ ， ＝ ．
犃犅 犃犆 犅犆 犃犆
∵ 四边形犇犅犉犈是平行四边形，
B F C
∴ 犇犈＝犅犉．
图３３．２５
犇犈 犃犈
∴ ＝ ．
犅犆 犃犆
犃犇 犃犈 犇犈
∴ ＝ ＝ ．
犃犅 犃犆 犅犆
这样，我们证明了△犃犇犈和△犃犅犆的角分别相等，边成比例，所以
△犃犇犈∽△犃犅犆．因此，我们有如下判定三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
１．如图，犃犅∥犆犇∥犈犉，犃犉与犅犈相交于点犌，且犃犌＝２，犌犇＝１，犇犉＝５，
犅犆
求 的值．
犆犈
A B
A
G
C D
D E
E F
B C
（第１题） （第２题）
２．如图，在△犃犅犆中，犇犈∥犅犆，且犃犇＝３，犇犅＝２．写出图中的相似三角形，
并指出其相似比．
９
!"#"$%&’类似于判定三角形全等的ＳＳＳ方法，我们能不能通过三边来判定两个三
角形相似呢？
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形
各边长的犽倍．度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形
相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论．
可以发现，这两个三角形相似．我们可以利用上面的定理进行证明．
犃犅 犅犆 犃犆
如图３３．２６，在△犃犅犆和△犃′犅′犆′中， ＝ ＝ ，求证
犃′犅′ 犅′犆′ 犃′犆′
△犃犅犆∽△犃′犅′犆′．
A
A
D E
B C B C
图３３．２６
证明：在线段犃′犅′（或它的延长线）上截取犃′犇＝犃犅，过点犇作犇犈∥
犅′犆′，交犃′犆′于点犈．根据前面的定理，可得△犃′犇犈∽△犃′犅′犆′．
犃′犇 犇犈 犃′犈
∴ ＝ ＝ ．
犃′犅′ 犅′犆′ 犃′犆′
犃犅 犅犆 犃犆 △犃′犇犈是证明
又 ＝ ＝ ，犃′犇＝犃犅，
犃′犅′ 犅′犆′ 犃′犆′ 的中介，它把△犃犅犆
与△犃′犅′犆′联系起来．
犇犈 犅犆 犃′犈 犃犆
∴ ＝ ， ＝ ．
犅′犆′ 犅′犆′ 犃′犆′ 犃′犆′
∴ 犇犈＝犅犆，犃′犈＝犃犆．
∴ △犃′犇犈≌△犃犅犆．
∴ △犃犅犆∽△犃′犅′犆′．
相似三角形判定定理的证明都是选学内容．
１０
!"#"$%&’由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理 （图３３．２７）：
A
A
犃犅 犅犆 犃犆
＝ ＝
犃′犅′ 犅′犆′ 犃′犆′
B
C B
C
图３３．２７ △犃犅犆∽△犃′犅′犆′
三边成比例的两个三角形相似．
类似于判定三角形全等的ＳＡＳ方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形
相似呢？事实上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的定理 （图３３．２８）：
A
A
犃犅 犃犆
＝ ，∠犃＝∠犃′
犃′犅′ 犃′犆′
B
C B
图３３．２８ C
△犃犅犆∽△犃′犅′犆′
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
怎样证明这个定理呢？它的证明思路与证明前面定理的思路类似．先用同
样的方法作一个与△犃′犅′犆′相似的三角形，再用相似三角形对应边成比例和
已知条件证明所作三角形与△犃犅犆全等．
犃犅 犃犆
对于△犃犅犆和△犃′犅′犆′，如果 ＝ ，∠犅＝∠犅′，这两个三角形
犃′犅′ 犃′犆′
一定相似吗？试着画画看．
例１ 根据下列条件，判断△犃犅犆与△犃′犅′犆′是否相似，并说明理由：
（１）犃犅＝４ｃｍ，犅犆＝６ｃｍ，犃犆＝８ｃｍ，
犃′犅′＝１２ｃｍ，犅′犆′＝１８ｃｍ，犃′犆′＝２４ｃｍ；
（２）∠Ａ＝１２０°，犃犅＝７ｃｍ，犃犆＝１４ｃｍ，
１１
!"#"$%&’∠犃′＝１２０°，犃′犅′＝３ｃｍ，犃′犆′＝６ｃｍ．
犃犅 ４ １
解：（１）∵ ＝ ＝ ，
犃′犅′ １２ ３ 这两个三角形
的相似比是多少？
犅犆 ６ １
＝ ＝ ，
犅′犆′ １８ ３
犃犆 ８ １
＝ ＝ ，
犃′犆′ ２４ ３
犃犅 犅犆 犃犆
∴ ＝ ＝ ．
犃′犅′ 犅′犆′ 犃′犆′
∴ △犃犅犆∽△犃′犅′犆′．
犃犅 ７ 犃犆 １４ ７
（２）∵ ＝ ， ＝ ＝ ，
犃′犅′ ３ 犃′犆′ ６ ３
犃犅 犃犆
∴ ＝ ．
犃′犅′ 犃′犆′
又 ∠犃＝∠犃′，
∴ △犃犅犆∽△犃′犅′犆′．
１．根据下列条件，判断△犃犅犆与△犃′犅′犆′是否相似，并说明理由：
（１）∠犃＝４０°，犃犅＝８ｃｍ，犃犆＝１５ｃｍ，
∠犃′＝４０°，犃′犅′＝１６ｃｍ，犃′犆′＝３０ｃｍ；
（２）犃犅＝１０ｃｍ，犅犆＝８ｃｍ，犃犆＝１６ｃｍ，
犃′犅′＝１６ｃｍ，犅′犆′＝１２．８ｃｍ，犃′犆′＝２５．６ｃｍ．
２．图中的两个三角形是否相似？为什么？
B
45
27 36
15 20 54 C 36
A E
25 45 30
（１） （２） D
（第２题）
３．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为
４ｃｍ，５ｃｍ和６ｃｍ，另一个三角形框架的一边长为２ｃｍ，它的另外两条边长
应当是多少？你有几种制作方案？
１２
!"#"$%&’观察两副三角尺 （图３３．２９），其中有同样两个锐角 （３０°与６０°，或４５°
与４５°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
图３３．２９
一般地，我们有利用两组角判定两个三角形相似的定理 （图３３．２１０）：
A ∠犃＝∠犃′，∠犅＝∠犅′
A
△犃犅犆∽△犃′犅′犆′
B
C B
C
图３３．２１０
两角分别相等的两个三角形相似．
这个定理的证明方法与前面两个定理的证明方法类似．试一试，如何完成
证明．
例２ 如图３３．２１１，Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犃犅＝１０，犃犆＝８．犈是
犃犆上一点，犃犈＝５，犈犇⊥犃犅，垂足为犇．求犃犇的长．
解：∵ 犈犇⊥犃犅，
C
∴ ∠犈犇犃＝９０°．
又 ∠犆＝９０°，∠犃＝∠犃， E
∴ △犃犈犇∽△犃犅犆．
犃犇 犃犈
∴ ＝ ． A D B
犃犆 犃犅 图３３．２１１
犃犆·犃犈 ８×５
∴ 犃犇＝ ＝ ＝４．
犃犅 １０
由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两
组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似．
１３
!"#"$%&’
我们知道，两个直角三角形全等可以用 “ＨＬ”来判定．那么，满足
斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
事实上，这两个直角三角形相似．下面
A
我们给出证明．
A
如图３３．２１２，在Ｒｔ△犃犅犆和Ｒｔ△犃′犅′犆′
犃犅 犃犆
中，∠犆＝９０°，∠犆′＝９０°， ＝ ．求证
犃′犅′犃′犆′
Ｒｔ△犃犅犆∽Ｒｔ△犃′犅′犆′．
B C B C
分析：要证Ｒｔ△犃犅犆∽Ｒｔ△犃′犅′犆′，可设 图３３．２１２
犅犆 犃犅 犃犆 犃犅 犃犆 犅犆
法证 ＝ ＝ ．若设 ＝ ＝犽，则只需证 ＝犽．
犅′犆′犃′犅′犃′犆′ 犃′犅′ 犃′犆′ 犅′犆′
犃犅 犃犆
证明：设 ＝ ＝犽，则犃犅＝犽犃′犅′，犃犆＝犽犃′犆′．
犃′犅′ 犃′犆′
由勾股定理，得犅犆＝槡犃犅２－犃犆２ ，犅′犆′＝槡犃′犅′２－犃′犆′２．
犅犆 槡犃犅２－犃犆２ 槡犽２ ·犃′犅′２－犽２ ·犃′犆′２ 犽·犅′犆′
∴ ＝ ＝ ＝ ＝犽．
犅′犆′ 犅′犆′ 犅′犆′ 犅′犆′
犅犆 犃犅 犃犆
∴ ＝ ＝ ．
犅′犆′ 犃′犅′ 犃′犆′
∴ Ｒｔ△犃犅犆∽Ｒｔ△犃′犅′犆′．
１．底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两
C
个等腰三角形呢？证明你的结论．
２．如图，Ｒｔ△犃犅犆中，犆犇是斜边犃犅上的高．求证：
（１）△犃犆犇∽△犃犅犆；（２）△犆犅犇∽△犃犅犆． A （第２题D） B
３．如果Ｒｔ△犃犅犆的两条直角边分别为３和４，那么以３犽和
４犽（犽是正整数）为直角边的直角三角形一定与Ｒｔ△犃犅犆相似吗？为什么？
１４
!"#"$%&’３３．２．２ 相似三角形的性质
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度
数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等．如果两个三角形相
似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？
根据三角形相似的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
下面，我们研究相似三角形的其他几何量之间的关系．
如图３３．２１３，△犃犅犆∽△犃′犅′犆′，相似比为犽，它们对应高、对应
中线、对应角平分线的比各是多少？
如 图 ３３．２１３，分 别 作 △犃犅犆 和
△犃′犅′犆′的对应高犃犇和犃′犇′． A
A
∵ △犃犅犆∽△犃′犅′犆′，
∴ ∠犅＝∠犅′．
又△犃犅犇和△犃′犅′犇′都是直角三角形， B D C B D C
图３３．２１３
∴ △犃犅犇∽△犃′犅′犇′．
犃犇 犃犅
∴ ＝ ＝犽．
犃′犇′ 犃′犅′
类似地，可以证明相似三角形对应中
线的比、对应角平分线的比也等于犽．
这样，我们得到：
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对
应角平分线的比都等于相似比．
一般地，我们有：
相似三角形的
周长有什么关系？
相似三角形对应线段的比等于相似比．
１５
!"#"$%&’
相似三角形面积的比与相似比有什么关系？
如图３３．２１３，由前面的结论，我们有
１
犅犆·犃犇
犛 ２ 犅犆 犃犇
△犃犅犆＝ ＝ · ＝犽·犽＝犽２．
犛 １ 犅′犆′ 犃′犇′
△犃′犅′犆′ 犅′犆′·犃′犇′
２
这样，我们得到：
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
例３ 如图３３．２１４，在△犃犅犆和△犇犈犉中，犃犅＝２犇犈，犃犆＝２犇犉，
∠犃＝∠犇．若△犃犅犆的边犅犆上的高为６，面积为１２槡５，求△犇犈犉的边犈犉
上的高和面积．
A
D
B C E F
图３３．２１４
解：在△犃犅犆和△犇犈犉中，
∵ 犃犅＝２犇犈，犃犆＝２犇犉，
犇犈 犇犉 １
∴ ＝ ＝ ．
犃犅 犃犆 ２
又 ∠犇＝∠犃，
１
∴ △犇犈犉∽△犃犅犆，△犇犈犉与△犃犅犆的相似比为 ．
２
∵ △犃犅犆的边犅犆上的高为６，面积为１２槡５，
１
∴ △犇犈犉的边犈犉上的高为 ×６＝３，
２
（１）
面积为 ２×１２槡５＝３槡５．
２
１６
!"#"$%&’１．判断题 （正确的画 “√”，错误的画 “×”）．
（１）一个三角形的各边长扩大为原来的５倍，这个三角形的角平分线也扩大为
原来的５倍； （ ）
（２）一个三角形的各边长扩大为原来的９倍，这个三角形的面积也扩大为原来
的９倍． （ ）
２．如图，△犃犅犆与△犃′犅′犆′相似，犃犇，犅犈是△犃犅犆的高，犃′犇′，犅′犈′是
犃犇 犅犈
△犃′犅′犆′的高，求证 ＝ ．
犃′犇′犅′犈′
A
A
E
E
B D C B D C
（第２题）
３．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的２ｃｍ变成了６ｃｍ，放
缩比例是多少？这个三角形的面积发生了怎样的变化？
３３．２．３ 相似三角形应用举例
利用三角形的相似，可以解决一些测量问题．下面来看几个例子．
例４ 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原
理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来
测量金字塔的高度．
如图３３．２１５，木杆犈犉长２ｍ，它的影长犉犇为３ｍ，测得犗犃为２０１ｍ，
求金字塔的高度犅犗．
B
怎样测出犗犃
的长？
E
O
A(F) D
图３３．２１５
１７
!"#"$%&’解：太阳光是平行光线，因此
∠犅犃犗＝∠犈犇犉．
又 ∠犃犗犅＝∠犇犉犈＝９０°，
∴ △犃犅犗∽△犇犈犉．
犅犗 犗犃
∴ ＝ ，
犈犉 犉犇
犗犃·犈犉 ２０１×２
∴ 犅犗＝ ＝ ＝１３４（ｍ）．
犉犇 ３
因此金字塔的高度为１３４ｍ．
例５ 如图３３．２１６，为了估算河的宽度，我们
P
可以在河对岸选定一个目标点犘，在近岸取点犙和
犛，使点犘，犙，犛共线且直线犘犛与河垂直，接着
在过点犛且与犘犛垂直的直线犪上选择适当的点犜，
确定犘犜与过点犙且垂直犘犛的直线犫的交点犚．已 R b
测得犙犛＝４５ｍ，犛犜＝９０ｍ，犙犚＝６０ｍ，请根据这
S T a
些数据，计算河宽犘犙． 图３３．２１６
解：∵ ∠犘犙犚＝∠犘犛犜＝９０°，∠犘＝∠犘，
∴ △犘犙犚∽△犘犛犜．
犘犙 犙犚
∴ ＝ ，
犘犛 犛犜
即
犘犙 犙犚 犘犙 ６０
＝ ， ＝ ，
犘犙＋犙犛 犛犜 犘犙＋４５ ９０
犘犙×９０＝（犘犙＋４５）×６０．
解得 犘犙＝９０（ｍ）．
因此，河宽大约为９０ｍ．
例６ 如图３３．２１７，左、右并排的两棵大树的高分别为犃犅＝８ｍ和
犆犇＝１２ｍ，两树底部的距离犅犇＝５ｍ，一个人估计自己眼睛距地面１．６ｍ．
她沿着正对这两棵树的一条水平直路犾从左向右前进，当她与左边较低的树的
距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端犆了？
分析：如图３３．２１７（１），设观察者眼睛的位置为点犉，画出观察者的水
１８
!"#"$%&’平视线犉犌，分别交犃犅，犆犇于点犎，犓．视线犉犃与犉犌的夹角∠犃犉犎是
观察点犃时的仰角．类似地，∠犆犉犓是观察点犆时的仰角．由于树的遮挡，
区域Ⅰ和Ⅱ，观察者都看不到．
C C
A A
F H K G E H K G
B D l B D l
（１） （２）
图３３．２１７
解：如图３３．２１７（２），假设观察者从左向右走到点犈时，她的眼睛的位
置点犈与两棵树的顶端犃，犆恰在一条直线上．
∵ 犃犅⊥犾，犆犇⊥犾，
∴ 犃犅∥犆犇．
∴ △犃犈犎∽△犆犈犓．
犈犎 犃犎
∴ ＝ ，
犈犓 犆犓
即
犈犎 ８－１．６ ６．４
＝ ＝ ．
犈犎＋５ １２－１．６ １０．４
解得
犈犎＝８（ｍ）．
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于８ｍ时，由
于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端犆．
１．在某一时刻，测得一根高为１．８ｍ的竹竿的影 A
长为３ｍ，同时测得一栋楼的影长为９０ｍ，这
栋楼的高度是多少？
２．如图，测得犅犇＝１２０ｍ，犇犆＝６０ｍ，犈犆＝
５０ｍ，求河宽犃犅． B C
D
（第２题） E
１９
!"#"$%&’
书书书习题３３．２
１．有一块三角形的草地，它的一条边长为２５ｍ．在图纸上，这条边的长为５ｃｍ，其
他两条边的长都为４ｃｍ，求其他两边的实际长度．
4cm 4cm
5 cm
（第１题）
２．根据下列条件，判断△犃犅犆与△犃′犅′犆′是否相似，并说明理由：
（１）犃犅＝１０ｃｍ，犅犆＝１２ｃｍ，犃犆＝１５ｃｍ，犃′犅′＝１５０ｃｍ，犅′犆′＝１８０ｃｍ，犃′犆′＝
２２５ｃｍ；
（２）∠犃＝７０°，∠犅＝４８°，∠犃′＝７０°，∠犆′＝６２°．
３．如图，（１）判断两个三角形是否相似；（２）求狓和狔的值．
A B
A
60 D
26
C x 98e 27
D ye C
39 40
B E
F E
（１） （２）
（第３题）
４．如图，△犃犅犆中，犇犈∥犅犆，犈犉∥犃犅，求证△犃犇犈∽△犈犉犆．
A A
A
D E
D E
F G
B C B D C
B F C
（第４题） （第５题） （第７题）
５．如图，△犃犅犆中，犇犈∥犉犌∥犅犆，找出图中所有的相似三角形．
３
６．如果把两条直角边分别为３０ｃｍ，４０ｃｍ的直角三角形按相似比 进行缩小，得到
５
的直角三角形的两条直角边的长和面积各是多少？
２０
!"#"$%&’
书书书７．如图，犃犇是Ｒｔ△犃犅犆斜边上的高．若犃犅＝４ｃｍ，犅犆＝１０ｃｍ，求犅犇的长．
８．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚犃犇和犅犆交
C D
叉构成．利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例
O
规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度３的地方 （即同时使
犗犃＝３犗犇，犗犅＝３犗犆），然后张开两脚，使犃，犅两个尖端分别在
线段犾的两个端点上，这时犆犇与犃犅有什么关系？为什么？
９．如图，利用标杆犅犈测量建筑物的高度．如果标杆犅犈高１．２ｍ， A B
l
测得犃犅＝１．６ｍ，犅犆＝１２．４ｍ，楼高犆犇是多少？ （第８题）
D T
K
E
A B C L M S
（第９题） （第１０题）
１０．如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后
退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部．这时∠犔犕犓等于∠犛犕犜吗？如果
王青身高１．５５ｍ，她估计自己眼睛距地面１．５０ｍ，同时量得犔犕＝３０ｃｍ，
犕犛＝２ｍ，这栋楼有多高？
１１．如图，四边形犃犅犆犇是矩形，点犉在对角线犃犆上运动，犈犉∥犅犆，犉犌∥犆犇，
四边形犃犈犉犌和四边形犃犅犆犇一直保持相似吗？证明你的结论．
B C
A
E
F
D E
A G D B C
（第１１题） （第１２题）
１２．如图，平行于犅犆的直线犇犈把△犃犅犆分成面积相等的两部分，试确定点犇
（或犈）的位置．
２１
!"#"$%&’
犃犇 犆犇
１３．如图，△犃犅犆中，犆犇是边犃犅上的高，且 ＝ ，求∠犃犆犅的大小．
犆犇 犅犇
A
C
y
D E
A D B B C
（第１３题） （第１４题）
１４．如图，△犃犅犆中，犃犅＝８，犃犆＝６，犅犆＝９．如果动点犇以每秒２个单位长度
的速度，从点犅出发沿边犅犃向点犃运动，此时直线犇犈∥犅犆，交犃犆于点犈．
记狓秒时犇犈的长度为狔，写出狔关于狓的函数解析式，并画出它的图象．
２２
!"#"$%&’
奇妙的分形图形
下面是两幅奇妙的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗？
图１ 图２
图１叫做谢尔宾斯基地毯，它最早是由波兰数学家谢尔宾斯基这样制作出来的：把一
个正三角形分为全等的４个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的３个小正三
角形再分别重复以上做法……将这种做法继续进行下去，就能得到小格子越来越多的谢尔
宾斯基地毯 （图３）．这种图形中大大小小的三角形之间有什么关系？
图３
图２叫做雪花曲线，它可以从一个等边三角形开始画：把一个等边三角形的每边分成
相同的三段，再在每边中间一段上向外画出一个等边三角形，这样一来就做成了一个六角
星．然后在六角星的各边上用同样的方法向外画出更小的等边三角形，出现了一个有１８
个尖角的图形．如此继续下去，就能得到分支越来越多的曲线 （图４）．继续重复上面的过
程，图形的外边界逐渐变得越来越曲折、越来越长、图案变得越来越细致、越来越复杂，
越来越像雪花、越来越美丽了．这种图形的产生过程中大大小小的三角形之间有什么
关系？
图４
猜想：上面这样的图形中，存在多种相似关系，例如其中大大小小的三角形是相
２３
!"#"$%&’似的．
事实上，上面的图形中都存在自相似性，即图形的局部与它的整体具有一定程度的相
似关系，这样的图形叫做分形图形．分形图形具有奇特的性质，例如，如果把上面那样画
雪花曲线的做法无限地继续下去，雪花曲线的周长可以无限长，但它却可以画在一个小小
的格子中；它的尖端可以无限多，无数小尖尖布满了整个曲线，但它们彼此却不会相交．
从２０世纪７０年代起，一个新兴的数学分支———分形几何逐步形成，它的研究对象就是具
有自相似性的图形．
再看一个分形图形的例子．画一个大的正五边形，接着画出内嵌的５个小正五边形
（如果算上中间的一个小正五边形，则正好是６个）；在每个小正五边形内再画出５个更小
的正五边形 （图５）；继续下去，不断重复此过程，就可以得到有无穷自相似结构的分形
图形 （图６）．你愿意试着画画吗？
图５ 图６
２４
!"#"$%&’３３．３ 位似
在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形．例如，放映幻灯片
时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．在照相馆中，摄影师通过照
相机，把人物的影像缩小在底片上．这样的放大或缩小，没有改变图形形状，
经过放大或缩小的图形，与原图形是相似的，因此，我们可以得到真实的图片
和照片．
下面，我们来研究这类相似的图形．
如图３３．３１，如果一个图形上的点犃，犅，…，犘，…
和另一个图形上的点犃′，犅′，…，犘′，…分别对应，并
P
且它们的连线犃犃′，犅犅′，…，犘犘′，…都经过同一点
P
A
A
犗犃′ 犗犅′ 犗犘′ O
犗， ＝ ＝…＝ ＝…，那么这两个图形叫做位
犗犃 犗犅 犗犘
B
似图形 （ｈｏｍｏｔｈｅｔｉｃｆｉｇｕｒｅｓ），点犗是位似中心．位似图
B
图３３．３１
形不仅相似，而且具有特殊的位置关系．
对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对
应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形．
利用位似，可以将一个图形放大或缩小．
A
D
B
A
B D C
C
O 图３３．３２
１
例如，要把四边形犃犅犆犇缩小到原来的 ，我们可以在四边形犃犅犆犇外
２
任取一点犗（图３３．３２），分别在线段犗犃，犗犅，犗犆，犗犇上取点犃′，犅′，
犗犃′ 犗犅′ 犗犆′ 犗犇′ １
犆′，犇′，使得 ＝ ＝ ＝ ＝ ，顺次连接点犃′，犅′，犆′，犇′，
犗犃 犗犅 犗犆 犗犇 ２
所得四边形犃′犅′犆′犇′就是所要求的图形．
２５
!"#"$%&’
如果在四边形犃犅犆犇外任取一点犗，分别在犗犃，犗犅，犗犆，犗犇的反向
犗犃′犗犅′犗犆′犗犇′ １
延长线上取点犃′，犅′，犆′，犇′，使得 ＝ ＝ ＝ ＝ ，四边形
犗犃 犗犅 犗犆 犗犇 ２
犃′犅′犆′犇′与四边形犃犅犆犇有什么关系？如果点犗取在四边形犃犅犆犇内部呢？
分别画出得到的四边形犃′犅′犆′犇′．
１．如图，△犗犃犅和△犗犆犇是位似图形，犃犅与犆犇平行吗？为什么？
C
B
A
A
D
B O C
O
（第１题） （第２题）
２．如图，以点犗为位似中心，将△犃犅犆放大为原来的３倍．
我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐
标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 （中心对称）．类似地，位似也可
以用两个图形坐标之间的关系来表示．
如图３３．３３（１），在直角坐标系中，有两点犃（６，３），犅（６，０）．以
１
原点犗为位似中心，相似比为 ，把线段犃犅缩小．观察对应点之间坐标
３
的变化，你有什么发现？
２６
!"#"$%&’y y
6 10 A
8
4 6
A A
4
2 A C 2 C C
-5
B
O B 5 B x
-10 -5 -2 O 5 10 x
-4
A-2
-6
-8
-4 A -10
(1) (2)
图３３．３３
如图 ３３．３３（２），△犃犗犆三个顶点的坐标分别为犃（４，４），
犗（０，０），犆（５，０）．以点犗为位似中心，相似比为２，将△犃犗犆放大．
观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
可以看出，图３３．３３（１）中，把犃犅缩小后，
犃，犅的对应点为犃′（２，１），犅′（２，０）；犃″（－２，
－１），犅″（－２，０）．图３３．３３（２）中，把△犃犗犆
用不同方法得到
的图形坐标是不同的．
放大 后，犃，犗，犆 的 对 应 点 为犃′（８，８），
犗（０，０），犆′（１０，０）；犃″（－８，－８），犗（０，０），
犆″（－１０，０）．
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点
为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使
它与原图形的相似比为犽，那么与原图形上的点
（狓，狔）对应的位似图形上的点的坐标为 （犽狓，
犽狔）或 （－犽狓，－犽狔）．
y
A 6
例 如图３３．３４，△犃犅犗三个顶点的坐标分 A
4
别为犃（－２，４），犅（－２，０），犗（０，０）．以原点
2
犗为位似中心，画出一个三角形，使它与△犃犅犗
BB
３ -4 -2 O 2 x
的相似比为 ．
２ 图３３．３４
分析：由于要画的图形是三角形，所以关键是确定它的各顶点坐标．根据
烄 ３ ３烌
前面总结的规律，点犃的对应点犃′的坐标为 －２× ，４× ，即 （－３，
烆 ２ ２烎
６）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．
２７
!"#"$%&’
书书书解：如图３３．３４，利用位似中对应点的坐标
的变化规律，分别取点犃′（－３，６），犅′（－３，
还可以得到其
他图形吗？自己试
０），犗（０，０）．顺次连接点犃′，犅′，犗，所得
一试．
△犃′犅′犗就是要画的一个图形．
１．如图，把△犃犗犅缩小后得到△犆犗犇，求△犆犗犇与△犃犗犅的相似比．
y y
6
A
B
4 O 2 4 6 x
C -2
2
B
-4
O D 5 x A
-2 -6
（第１题） （第２题）
２．如图，△犃犅犗三个顶点的坐标分别为犃（４，－５），犅（６，０），犗（０，０）．以原
点犗为位似中心，把这个三角形放大为原来的２倍，得到△犃′犅′犗′．写出
△犃′犅′犗′三个顶点的坐标．
至此，我们已经学习了平移、轴对称、旋转和位似等图形的变化方式．你
能在图３３．３５所示的图案中找到它们吗？
图３３．３５
２８
!"#"$%&’习题３３．３
１．如图，如果虚线图形与实线图形是位似图形，求它们的相似比并找出位似中心．
（第１题）
２．如图，以点犘为位似中心，将五角星的边长缩小为原来
１
的 ．
２
３．△犃犅犆三个顶点的坐标分别为犃（２，２），犅（４，２），
犆（６，４）．以原点犗为位似中心，将△犃犅犆缩小得到
P
△犇犈犉，使△犇犈犉与△犃犅犆对应边的比为１∶２，这时
（第２题）
△犇犈犉各个顶点的坐标分别是多少？
４．如图，正方形犈犉犌犎，犐犑犓犔都是正方形犃犅犆犇的位似图形，点犘是位似中心．
（１）哪个图形与正方形犃犅犆犇的相似比为３？
（２）正方形犐犑犓犔是正方形犈犉犌犎的位似图形吗？如果是，求相似比．
（３）正方形犈犉犌犎与正方形犃犅犆犇的相似比是多少？
I J
2 2 y
E F
2 2
4
A 2 2 B A C
P
2 2
2
D C
H 2 2 G O B 5 x
2 2
L K
（第４题） （第５题）
５．如图，矩形犃犗犅犆各点的坐标分别为犃（０，３），犗（０，０），犅（４，０），犆（４，３）．
１
以原点犗为位似中心，将这个矩形缩小为原来的 ，写出新矩形各顶点的坐标．
２
２９
!"#"$%&’６．如图，图中的图案与 “Ａ”字图案 （虚线图案）相比，发生了什么变化？对应点
的坐标之间有什么关系？
y y
(2,8)
8 8
6 6
(2,4) (4,4) (2,4)
4 4
2 2
O 2 4 6 8 x O 2 4 x
（１） （２）
（第６题）
７．如图，以点犙为位似中心，画出与矩形犕犖犘犙的相似比为０．７５的一个图形．
y
P
5
M N
O 5 x
（第７题）
３０
!"#"$%&’
探索位似的性质
利用图形计算器或计算机等信息技术工具，可以很方便地将图形放大或缩小，
还可以探索位似的性质．下面以 《几何画板》软件为例说明．
如图１，任意画一个△犃犅犆，以点犗为位似中心，自选新旧图形的相似比为犽，
得到△犃′犅′犆′．
y
x B 4.27 y B 4.43 6
x B2.85 y B2.95 C
B
x x B 0.67 y y B 0.67 4
B B C
B A(9,3)
B B A A 0.67 2 A(6,2)
-5 O 1 5 10 x
图１
１．度量对应边的比，观察结果与犽的关系．
２．以犗为原点建立平面直角坐标系，分别度量点犃，犃′的横坐标，并计算比
值；分别度量点犃，犃′的纵坐标，并计算比值．观察比值与犽的关系．其他对应
点呢？
３．作线段犗犃，犗犃′，犗犅，犗犅′，犗犆，犗犆′，度量它们，你有什么发现？
４．任意改变△犃犅犆的位置，你对上面问题得出的结论是否仍然成立？由此，你
能得出位似的一些性质吗？
３１
!"#"$%&’
利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度．图１显示了测
量旗杆高度的几种方法，你能说出各种方法的道理吗？
图１
用类似的方法，与同学合作，测量校园中一些物体 （如旗杆、树木
等）的高度．
观察图２（１）（２）中的美术字，你会发现（２）中的字更有立体感．
（１） （２）
图２
量一量这两幅图中每个美术字上端的各 A B C D
条线段，你能否发现其中对应线段的比 （相 A B C D
犃犅 犆犇
当于图３中 ， ）有什么关系？
犃′犅′犆′犇′
图４（１）（２）给出一种图２中由第一种
美术字写出第二种美术字的方法，请找出其 图３
中的位似图形以及位似中心，并解释上面所
说的对应线段的比的关系．
３２
!"#"$%&’O O
l l
（１） （２）
图４
请你利用位似写出一些立体美术字，并与同学交流．
３３
!"#"$%&’小 结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
本章我们先由生活实例认识了相似图形，并了解了相似多边形的特征．然
后，重点研究了相似三角形的判定、性质和它在解决实际问题中的应用．最后，
利用相似的知识研究了位似图形的特征．
全等形是相似比为１的相似图形，因此全等是特殊的相似．利用从特殊推
广到一般的方法，由研究全等三角形的思路，可以提出相似三角形的问题和研
究方法．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．相似三角形有哪些性质？位似图形呢？
２．三角形的相似与三角形的全等有什么关系？如何判断两个三角形相似？
３．举例说明三角形相似的一些应用．
４．如何利用位似将一个图形放大或缩小？你能说出平移、轴对称、旋转和
位似之间的异同，并举出一些它们的实际应用的例子吗？
３４
!"#"$%&’复习题３３
１．如图，四边形犈犉犌犎相似于四边形犓犔犕犖，求∠犈，∠犌，∠犖的度数以及狓，
狔，狕的值．
N
35
H
x K 67e
E 10 10 107e
143e
4 F 6 G L y M
（第１题）
２．△犃犅犆的三边长分别为５，１２，１３，与它相似的△犇犈犉的最小边长为１５，求
△犇犈犉的其他两条边长和周长．
３．根据下列图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出狓和狔的值．
J
J
22
1 2 y K xe
F 6
G 32 48
3 5 y 124e 48
1 2
G x H 8 I F 72 H
（１） （２）
（第３题）
４．李华要在报纸上刊登广告，一块１０ｃｍ×５ｃｍ的长方形版面
要付１８０元的广告费．如果他要把版面的边长扩大为原来的３
倍，要付多少广告费 （假设每平方厘米版面的广告费相同）？
５．将如图所示的图形缩小，使得缩小前后对应线段的比为２∶１． （第５题）
６．某同学的座位到黑板的距离是６ｍ，老师在黑板上要写多大的字，才能使这名同
学看黑板上的字时，与他看相距３０ｃｍ的教科书上的字的感觉相同 （教科书上的
小四号字大小约为０．４２ｃｍ×０．４２ｃｍ）？
７．如图，已知零件的外径为犪，现用一个交叉卡钳 （两条尺长犃犆和犅犇相等）测
量零件的内孔直径犃犅．如果犗犃∶犗犆＝犗犅∶犗犇＝狀，且量得犆犇＝犫，求犃犅以
３５
!"#"$%&’及零件厚度狓．
b
x D C
O
C
A B
A B O P
φa
D
（第７题） （第８题）
８．如图，犆犇是⊙犗的弦，犃犅是直径，且犆犇⊥犃犅，垂足为犘，求证犘犆２＝犘犃·犘犅．
９．如图，犃犇⊥犅犆，垂足为犇，犅犈⊥犃犆，垂足为犈，犃犇与犅犈相交于点犉，连
接犈犇．你能在图中找出一对相似三角形，并说明相似的理由吗？
A
A
A
E B
F O B
C
B D C C
（第９题） （第１０题）
１０．如图，△犃犅犆的三条边与△犃′犅′犆′的三条边满足犃′犅′∥犃犅，犅′犆′∥犅犆，
犃′犆′∥犃犆，且犗犅＝３犗犅′．△犃犅犆的面积与△犃′犅′犆′的面积之间有什么关系？
１１．如图，一块材料的形状是锐角三角形犃犅犆，边犅犆＝１２０ｍｍ，高犃犇＝８０ｍｍ．
把它加工成正方形零件，使正方形的一边在犅犆上，其余两个顶点分别在犃犅，
犃犆上，这个正方形零件的边长是多少？
A A
K
E F
K C E
B D G F H
B G D H C
（第１１题） （第１２题）
３６
!"#"$%&’１２．如图，为了求出海岛上的山峰犃犅的高度，在犇处和犉处树立标杆犆犇和犈犉，
标杆的高都是３丈，犇，犉两处相隔１０００步 （１丈＝１０尺，１步＝６尺），并且
犃犅，犆犇和犈犉在同一平面内．从标杆犆犇后退１２３步的犌处，可以看到顶峰
犃和标杆顶端犆在一条直线上；从标杆犈犉后退１２７步的犎处，可以看到顶峰
犃和标杆顶端犈在一条直线上．求山峰的高度犃犅及它和标杆犆犇的水平距离
犅犇各是多少步？（提示：连接犈犆并延长交犃犅于点犓，用含犃犓的式子表示
犓犆和犓犈．）
（本题原出自我国魏晋时期数学家刘徽所著 《重差》，后作为唐代的 《海岛算经》
中的第一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参
相直．从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却
行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何．
唐代的１尺约等于现在的３１ｃｍ．）
３７
!"#"$%&’第三十四章 锐角三角函数
意大利比萨斜塔在１３５０年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏
离垂直中心线２．１ｍ．１９７２年比萨地区发生地震，这座高５４．５ｍ
的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线
增至５．２ｍ，而且还在继续倾斜，有倒塌的危险．当地从１９９０年起
对斜塔维修纠偏，２００１年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的
距离比纠偏前减少了４３．８ｃｍ．
根据上述信息，你能用 “塔身中心线与垂直中心线所成的角θ
（如图）”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？
从数学角度看，上述问题就是：已知直角三角形的某些边长，
求其锐角的度数．对于直角三角形，我们已经知道三边之间、两个
锐角之间的关系，它的边角之间有什么关系呢？本章将通过锐角三
角函数，建立直角三角形中边角之间的关系，并利用锐角三角函数
等知识，解决包括上述问题在内的与直角三角形有关的度量问题．
书书书３４．１ 锐角三角函数
问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水
管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡的坡角
（∠犃）为３０°，为使出水口的高度为３５ｍ，需要准备多长的水管？
B B
C
A A C
图３４．１１
这个问题可以归结为：在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，∠犃＝３０°，犅犆＝３５ｍ，
求犃犅（图３４．１１）．
根据 “在直角三角形中，３０°角所对的边等于斜边的一半”，即
∠犃的对边 犅犆 １
＝ ＝ ，
斜边 犃犅 ２
可得犃犅＝２犅犆＝７０（ｍ）．也就是说，需要准备７０ｍ长的水管．
在上面的问题中，如果出水口的高度为５０ｍ，那么需要准备多长的
水管？
在上面求犃犅（所需水管的长度）的过程中，我们用到了结论：在直角三
角形中，如果一个锐角等于３０°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角
１
的对边与斜边的比都等于 ．
２
A(cid:0)
如图３４．１２，任意画一个Ｒｔ△犃犅犆，使 ∠犆＝９０°，∠犃＝
犅犆
４５°，计算∠犃的对边与斜边的比 ．由此你能得出什么结论？
犃犅 C(cid:0)图３４．１２ B(cid:0)
３９
!"#$%&’("()*如图３４．１２，在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，因为∠犃＝４５°，所以Ｒｔ△犃犅犆
是等腰直角三角形．由勾股定理得
犃犅２＝犃犆２＋犅犆２＝２犅犆２ ，
犃犅＝槡２犅犆．
犅犆 犅犆 １ 槡２
因此 ＝ ＝ ＝ ，
犃犅 ２
槡２犅犆 槡２
即在直角三角形中，当一个锐角等于４５°时，无论这个直角三角形大小如何，
槡２
这个角的对边与斜边的比都等于 ．
２
综上可知，在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，当∠犃＝３０°时，∠犃的对边与斜
１
边的比都等于 ，是一个固定值；当∠犃＝４５°时，∠犃的对边与斜边的比都
２
槡２
等于 ，也是一个固定值．一般地，当∠犃是任意一个确定的锐角时，它的
２
对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？
任意画Ｒｔ△犃犅犆和Ｒｔ△犃′犅′犆′（图
B
３４．１３），使得∠犆＝∠犆′＝９０°，∠犃＝
B
犅犆 犅′犆′
∠犃′，那么 与 有什么关系？你能
犃犅 犃′犅′
解释一下吗？ A C A C
图３４．１３
在图３４．１３中，由于∠犆＝∠犆′＝９０°，∠犃＝∠犃′，所以Ｒｔ△犃犅犆∽
Ｒｔ△犃′犅′犆′，因此
犅犆 犃犅
＝ ，
犅′犆′ 犃′犅′
犅犆 犅′犆′
即 ＝ ．
犃犅 犃′犅′
这就是说，在Ｒｔ△犃犅犆中，当锐角犃的度数一定时，无论这个直角三角
形大小如何，∠犃的对边与斜边的比都是一个固定值．
４０
!"#$%&’("()*如图３４．１４，在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，我
B
们把锐角犃的对边与斜边的比叫做∠犃的正弦
c a
（ｓｉｎｅ），记作ｓｉｎ犃，即
∠犃的对边 犪
ｓｉｎ犃＝ ＝ ． A C
斜边 犮 b
图３４．１４
例如，当∠犃＝３０°时，我们有
１
ｓｉｎ犃＝ｓｉｎ３０°＝ ；
２
当∠犃＝４５°时，我们有 ∠犃的正弦ｓｉｎ犃
随着 ∠犃 的 变 化 而
槡２
ｓｉｎ犃＝ｓｉｎ４５°＝ ． 变化．
２
例１ 如图３４．１５，在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，求ｓｉｎ犃和ｓｉｎ犅的值．
B
B
13
3 5
A 4 C C A
（１） （２）
图３４．１５
解：如图 （１），在Ｒｔ△犃犅犆中，由勾股定理得
犃犅＝槡犃犆２＋犅犆２＝槡４２＋３２＝５．
犅犆 ３
因此 ｓｉｎ犃＝ ＝ ， 求ｓｉｎ犃就是要确
犃犅 ５
定∠犃的对边与斜边
犃犆 ４
ｓｉｎ犅＝ ＝ ． 的比；求ｓｉｎ犅就是要
犃犅 ５
确定∠犅的对边与斜
如图 （２），在Ｒｔ△犃犅犆中，由勾股定理得
边的比．
犃犆＝槡犃犅２－犅犆２＝槡１３２－５２＝１２．
犅犆 ５
因此 ｓｉｎ犃＝ ＝ ，
犃犅 １３
犃犆 １２
ｓｉｎ犅＝ ＝ ．
犃犅 １３
４１
!"#$%&’("()*１．如图，在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，求ｓｉｎ犃和ｓｉｎ犅的值．
B
B
5
3 A
1
A 5 C C
(1) (2)
（第１题）
２．在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，∠犃＝６０°，求ｓｉｎ犃的值．
如图３４．１６，在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，
B
当∠犃确定时，∠犃的对边与斜边的比随之确
定．此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？ c a
为什么？
A C
b
图３４．１６
类似正弦的情况，利用相似三角形的知识可以证明 （请你自己完成证明），
在图３４．１６中，当∠犃确定时，∠犃的邻边与斜边的比、∠犃的对边与邻边
的比都是确定的．我们把∠犃的邻边与斜边的比叫做∠犃的余弦 （ｃｏｓｉｎｅ），
记作ｃｏｓ犃，即
∠犃的邻边 犫
ｃｏｓ犃＝ ＝ ；
斜边 犮
把∠犃的对边与邻边的比叫做∠犃的正切 （ｔａｎ 对于锐角犃的每
ｇｅｎｔ），记作ｔａｎ犃，即 一个确定的值，ｓｉｎ犃
有唯一确定的值与它对
∠犃的对边 犪
ｔａｎ犃＝
∠犃的邻边
＝
犫
． 应，所以ｓｉｎ犃是犃的
函数．同样地，ｃｏｓ犃，
∠犃的正弦、余弦、正切都是∠犃的锐角三
ｔａｎ犃也是犃的函数．
角函数 （ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆａｃｕｔｅａｎｇｌｅ）．
４２
!"#$%&’("()*例２ 如图３４．１７，在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝
B
９０°，犃犅＝１０，犅犆＝６，求ｓｉｎ犃，ｃｏｓ犃，ｔａｎ犃
的值． 10 6
解：由勾股定理得
A 图３４．１７ C
犃犆＝槡犃犅２－犅犆２＝槡１０２－６２＝８，
犅犆 ６ ３
因此 ｓｉｎ犃＝ ＝ ＝ ，
犃犅 １０ ５
犃犆 ８ ４
ｃｏｓ犃＝ ＝ ＝ ，
犃犅 １０ ５
犅犆 ６ ３
ｔａｎ犃＝ ＝ ＝ ．
犃犆 ８ ４
１．分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
B
C
12
3
B
13 A C A
2
（１） （２）
（第１题）
２．在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°．如果各边长都扩大到原来的２倍，那么∠犃的正
弦值、余弦值和正切值有变化吗？说明理由．
两块三角尺 （图３４．１８）中有
几个不同的锐角？这几个锐角的正
弦值、余弦值和正切值各是多少？
21 11 01 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 21 11 01 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
图３４．１８
３０°，４５°，６０°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
４３
!"#$%&’("()*锐角犃
３０° ４５° ６０°
锐角三角函数
设图３４．１８中每
１ 槡２ 槡３ 块三角尺较短的边长
ｓｉｎ犃
２ ２ ２
均为１，利用勾股定理
槡３ 槡２ １ 和锐角三角函数的定
ｃｏｓ犃
２ ２ ２ 义可以求出这些锐角
三角函数值．
槡３
ｔａｎ犃 １ 槡３
３
例３ 求下列各式的值：
（１）ｃｏｓ２６０°＋ｓｉｎ２６０°； ｓｉｎ２６０° 表 示
ｃｏｓ４５° （ｓｉｎ６０°）２，即 （ｓｉｎ６０°）·
（２） －ｔａｎ４５°．
ｓｉｎ４５° （ｓｉｎ６０°）．
解：（１） ｃｏｓ２６０°＋ｓｉｎ２６０°
（１） （槡３）
＝ ２＋ ２
２ ２
＝１；
ｃｏｓ４５°
（２） －ｔａｎ４５°
ｓｉｎ４５°
槡２ 槡２
＝ ÷ －１
２ ２
＝０．
例４ （１）如图３４．１９（１），在 Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犃犅＝槡６，
犅犆＝槡３，求∠犃的度数．
（２）如图３４．１９（２），犃犗是圆锥的高，犗犅是底面半径，犃犗＝槡３犗犅，求α
的度数．
A
B
6 3
α
O B
A C
（１） （２）
图３４．１９
４４
!"#$%&’("()*解：（１）在图３４．１９（１）中，
犅犆 槡３ 槡２
∵ ｓｉｎ犃＝ ＝ ＝ ， 当犃，犅均为锐
犃犅 ２
槡６
角时，若犃≠犅，则
∴ ∠犃＝４５°．
ｓｉｎ犃≠ｓｉｎ犅，
（２）在图３４．１９（２）中，
ｃｏｓ犃≠ｃｏｓ犅，
ｔａｎ犃≠ｔａｎ犅．
犃犗 槡３犗犅
∵ ｔａｎα＝ ＝ ＝槡３，
犗犅 犗犅
∴ α＝６０°．
１．求下列各式的值：
（１）１－２ｓｉｎ３０°ｃｏｓ３０°；
（２）３ｔａｎ３０°－ｔａｎ４５°＋２ｓｉｎ６０°；
（３）（ｃｏｓ２３０°＋ｓｉｎ２３０°）×ｔａｎ６０°．
２．在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犅犆＝槡７，犃犆＝槡２１，求∠犃，∠犅的度数．
通过上面的学习，我们知道，当锐角犃是
３０°，４５°或６０°等特殊角时，可以求得这些特殊角的
锐角三角函数值；如果锐角犃不是这些特殊角，
怎样得到它的锐角三角函数值呢？
我们可以借助计算器求锐角三角函数值．
例如求ｓｉｎ１８°，利用计算器的 ｓｉｎ 键，并输
入角度值１８，得到结果ｓｉｎ１８°＝０．３０９０１６９９４．
利用计算器求锐
又如求ｔａｎ３０°３６′，利用ｔａｎ键，并输入角的
角三角函数值，或已
知锐角三角函数值求
度、分值 （可以使用°′″键），就可以得到结果
相应锐角的度数时，
０．５９１３９８３５１．
不同的计算器操作步
因为３０°３６′＝３０．６°，所以也可以利用ｔａｎ键， 骤可能有所不同．
并输入角度值３０．６，同样得到结果０．５９１３９８３５１．
４５
!"#$%&’("()*如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应锐角的度数．
例如，已知ｓｉｎ犃＝０．５０１８，用计算器求锐角犃可以按照下面方法操作：
依次按键２ｎｄＦ ｓｉｎ，然后输入函数值０．５０１８，得到∠犃＝３０．１１９１５８６７°
（这说明锐角犃精确到１°的结果为３０°）．
还可以利用 ２ｎｄＦ °′″键，进一步得到∠犃＝３０°０７′０８．９７″（这说明锐
角犃精确到１′的结果为３０°７′，精确到１″的结果为３０°７′９″）．
１．用计算器求下列锐角三角函数值：
（１）ｓｉｎ２０°，ｃｏｓ７０°；
分析第１（１）题的
ｓｉｎ３５°，ｃｏｓ５５°；
结果，你能得出什么
ｓｉｎ１５°３２′，ｃｏｓ７４°２８′；
猜想？你能说明自己
（２）ｔａｎ３°８′，ｔａｎ８０°２５′４３″．
的猜想吗？
２．已知下列锐角三角函数值，用计算器
求其相应锐角的度数：
（１）ｓｉｎ犃＝０．６２７５，ｓｉｎ犅＝０．０５４７；
（２）ｃｏｓ犃＝０．６２５２，ｃｏｓ犅＝０．１６５９；
（３）ｔａｎ犃＝４．８４２５，ｔａｎ犅＝０．８８１６．
习题３４．１
１．分别求出图中∠犃，∠犅的正弦值、余弦值和正切值．
B
B A
2 6 C 6
6
2 2
A
C （１） A （２） B C （３）
（第１题）
２．在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°．当∠犃确定时，它的正弦值是否随之确定？余弦值
呢？正切值呢？为什么？
４６
!"#$%&’("()*３．求下列各式的值：
槡２
（１）ｓｉｎ４５°＋ ； （２）ｓｉｎ４５°ｃｏｓ６０°－ｃｏｓ４５°；
２
１－ｃｏｓ３０°
（３）ｃｏｓ２４５°＋ｔａｎ６０°ｃｏｓ３０°； （４） ＋ｔａｎ３０°．
ｓｉｎ６０°
４．用计算器求图中∠犃的正弦值、余弦值和正切值．
B
C B
1.5 2.6
1.7 2 B A
2.2
C 2.4 A A C
（１） （２） （３）
（第４题）
５．已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角犃，犅的度数：
（１）ｓｉｎ犃＝０．７，ｓｉｎ犅＝０．０１；
（２）ｃｏｓ犃＝０．１５，ｃｏｓ犅＝０．８；
（３）ｔａｎ犃＝２．４，ｔａｎ犅＝０．５．
B
６．如图，在Ｒｔ△犃犅犆中，犆犇是斜边犃犅上的高，∠犃≠４５°， D
则下列比值中不等于ｓｉｎ犃的是 （ ）．
獉
犆犇 犅犇 犆犅 犆犇 A C
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） （第６题）
犃犆 犆犅 犃犅 犆犅
７．如图，焊接一个高３．５ｍ，底角为３２°的人字形 （等腰三角形）钢架，约需多长的
钢材 （结果保留小数点后两位）？
C
62.31cm
3.5m 35.24 cm
32e
A D B 35e40
（第７题） （第８题）
８．如图，一块平行四边形木板的两条邻边的长分别为６２．３１ｃｍ和３５．２４ｃｍ，它们
的夹角为３５°４０′，求这块木板的面积 （结果保留小数点后两位）．
４７
!"#$%&’("()*
９．用计算器求下列锐角三角函数值，并填入表中：
锐角犃 … １５° １８° ２０° ２２° … ８０° ８２° ８４° …
ｓｉｎ犃
ｃｏｓ犃
ｔａｎ犃
随着锐角犃的度数不断增大，ｓｉｎ犃有怎样的变化趋势？ｃｏｓ犃呢？ｔａｎ犃呢？你能
说明自己的结论吗？
１０．在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，∠犃的正弦、余弦之间有什么关系？（提示：利用
锐角三角函数的定义及勾股定理．）
一张古老的 “三角函数表”
人们很早就开始研究天文学，以便通过观察天上日月星辰的位置和运行情况，解决有
关计时、历法、航海、地理等许多问题．对天体的观察和测量离不开计算，这促进了数学
的发展，三角函数的产生和发展与天文学有密切的关系．
保存至今的一张古老的 “三角函数表”，是２世纪的希腊天文学家、地理学家、数学
家托勒密 （Ｐｔｏｌｅｍｙ）所著的 《天文学大成》一书中的一张 “弦表”，它对当时的天文计
算有重要作用．这张 “弦表”和我们现在所用的正弦、余弦表有所不同，它是把半径为６０
（古代巴比伦人采用６０进制记数，这也影响了希腊人）的圆中度数是θ的弧 （即圆心角θ
（ ） （ ）
１° １°
所对的弧）所对的弦长制成了表，其中θ从 到１８０°每隔 依次取值．
２ ２
你可能会想，这张 “弦表”中的弧、弦长等与锐角三角函数有关吗？
利用我们现在已经学习过的圆和锐角三角函数的知识
可知，半径狉、圆心角θ及其所对的弦长犾之间的关系为
r
θ θ 犾 θ l
犾＝２狉ｓｉｎ （图１），从而ｓｉｎ ＝ ．可见，当狉为固定 O
２ ２ ２狉
θ
值，θ，犾在表中对应给出时，就可以得到ｓｉｎ 的值．因
２ 图１
４８
!"#$%&’("()*θ
此，这张 “弦表”表面上是由弧的度数θ对应弦长犾，实际上隐含了与θ对应的ｓｉｎ 的
２
（ ） （ ）
θ １°
值．也就是说，它相当于现在的正弦 （ｓｉｎα）表，其中的角α＝ 从 到９０°每隔
２ ４
（ ）
１°
依次取值．
４
托勒密在 《天文学大成》一书中还介绍了他利用几
何方法推导 “弦表”的过程，这需要进行许多严密的推
理和仔细的计算．由于当时既没有现成的计算公式，又没
有先进的计算工具，所以制作这张 “弦表”要付出艰辛
的努力．这张 “弦表”极大地促进了三角学在天文测量等
应用方面的发展，人们可以直接利用上述计算结果解决
有关问题，这带来很多便利，因此托勒密编制 “弦表”
在数学史上是值得纪念的一大贡献． 托勒密
随着人们对数学研究的不断深入，正弦、余弦、正切等锐角三角函数进一步发展成三
角函数，对数的产生极大地提高了三角函数计算速度，微积分的出现又带来利用级数计算
三角函数的方法……后来的三角函数表正是在这些成果的基础上的不断改进．在科学研
究、生产实践、军事活动等诸多领域中，这些三角函数表比托勒密编制的 “弦表”发挥了
大得多的作用，它们成为许多人手中应用极其广泛的计算工具．
４９
!"#$%&’("()*３４．２ 解直角三角形及其应用
３４．２．１ 解直角三角形
我们回到本章引言提出的比萨斜塔倾斜程度的问题．
１９７２年的情形：设塔顶中心点为犅，塔身中心线与垂直 C B
中心线的夹角为∠犃，过点犅向垂直中心线引垂线，垂足为
点犆（图３４．２１）．在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犅犆＝５．２ｍ，
犃犅＝５４．５ｍ，因此
犅犆 ５．２
ｓｉｎ犃＝ ＝ ≈０．０９５４，
犃犅 ５４．５
利用计算器可得∠犃≈５°２８′．
类似地，可以求出２００１年纠偏后塔身中心线与垂直中心
A
线的夹角．你能求出来吗？
图３４．２１
如果将上述实际问题抽象为数学问题，就是已知直角三
角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数．
一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐
角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三
角形．
（１）在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？
（２）知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？
如图３４．２２，在 Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆为直角，∠犃， A
∠犅，∠犆所对的边分别为犪，犫，犮，那么除直角∠犆外的
五个元素之间有如下关系： c b
（１）三边之间的关系
犪２＋犫２＝犮２ （勾股定理）； B 图a３４．２２ C
５０
!"#$%&’("()*（２）两锐角之间的关系
∠犃＋∠犅＝９０°；
（３）边角之间的关系
∠犃的对边 犪
ｓｉｎ犃＝ ＝ ，
斜边 犮
∠犃的邻边 犫
ｃｏｓ犃＝ ＝ ，
斜边 犮
∠犃的对边 犪
ｔａｎ犃＝ ＝ ．
∠犃的邻边 犫
上述 （３）中的犃都可以换成犅，同时把犪，犫互换．
利用这些关系，知道其中的两个元素 （至少有一个是边），就可以求出其
余三个未知元素．
例１ 如图３４．２３，在 Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，
A
犃犆＝槡２，犅犆＝槡６，解这个直角三角形．
2
犅犆 槡６
解：∵ ｔａｎ犃＝ ＝ ＝槡３， C B
犃犆 槡２ 6
图３４．２３
∴ ∠犃＝６０°，
∠犅＝９０°－∠犃＝９０°－６０°＝３０°，
犃犅＝２犃犆＝２槡２．
例２ 如图３４．２４，在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，∠犅＝
A
３５°，犫＝２０，解这个直角三角形 （结果保留小数点后一位）．
b
解：∠犃＝９０°－∠犅＝９０°－３５°＝５５°． c 20
犫 35°
∵ ｔａｎ犅＝ ， B a C
犪
图３４．２４
犫 ２０
∴ 犪＝ ＝ ≈２８．６．
ｔａｎ犅 ｔａｎ３５°
犫
∵ ｓｉｎ犅＝ ，
犮
你还有其他方
法求出犮吗？
犫 ２０
∴ 犮＝ ＝ ≈３４．９．
ｓｉｎ犅 ｓｉｎ３５°
５１
!"#$%&’("()*在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，根据下列条件解直角三角形：
（１）犮＝３０，犫＝２０； （２）∠犅＝７２°，犮＝１４； （３）∠犅＝３０°，犪＝槡７．
３４．２．２ 应用举例
解直角三角形的应用非常广泛，下面举一些例子．
例３ ２０１２年６月１８日，“神舟”九号载人航天飞船与 “天宫”一号目标
飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与 “天宫”一号的组合体在离地球表
面３４３ｋｍ的圆形轨道上运行，如图３４．２５，当组合体运行到地球表面犘点
的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与犘
点的距离是多少 （地球半径约为６４００ｋｍ，π取３．１４２，结果取整数）？
F
P
α
O
图３４．２５
分析：从组合体中能直接看到的地球表面最
远点，是视线与地球相切时的切点．
在解决例３的问
如图３４．２５，本例可以抽象为以地球中心为
题时，我们综合运用
圆心、地球半径为半径的⊙犗的有关问题：其中
了圆和解直角三角形
点犉是组合体的位置，犉犙是⊙犗的切线，切点犙 的知识．
︵
是从组合体中观测地球时的最远点，犘犙的长就是
︵
地球表面上犘，犙两点间的距离．为计算犘犙的长
需先求出∠犘犗犙（即α）的度数．
解：设∠犘犗犙＝α，在图３４．２５中，犉犙是
５２
!"#$%&’("()*⊙犗的切线，△犉犗犙是直角三角形．
犗犙 ６４００
∵ ｃｏｓα＝ ＝ ≈０．９４９１，
犗犉 ６４００＋３４３
∴ α≈１８．３６°．
︵
∴ 犘犙的长为
１８．３６π １８．３６×３．１４２
×６４００≈ ×６４００≈２０５１（ｋｍ）．
１８０ １８０
由此可知，当组合体在犘点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距
离犘点约２０５１ｋｍ．
例４ 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为３０°，看这
栋楼底部的俯角为６０°，热气球与楼的水平距离为１２０ｍ，这栋楼有多高 （结
果取整数）？
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中，
B
视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是
俯角．因此，在图３４．２６中，α＝３０°， β＝６０°．
在Ｒｔ△犃犅犇中，α＝３０°，犃犇＝１２０，所以可 α
D
以利用解直角三角形的知识求出犅犇；类似地可以 A β
求出犆犇，进而求出犅犆．
解：如图３４．２６，α＝３０°， β＝６０°，犃犇＝１２０．
犅犇 犆犇
∵ ｔａｎα＝ ，ｔａｎβ＝ ，
犃犇 犃犇
∴ 犅犇＝犃犇·ｔａｎα＝１２０×ｔａｎ３０°
槡３
＝１２０× ＝４０槡３，
３
犆犇＝犃犇·ｔａｎβ＝１２０×ｔａｎ６０° C
图３４．２６
＝１２０×槡３＝１２０槡３．
∴ 犅犆＝犅犇＋犆犇＝４０槡３＋１２０槡３
＝１６０槡３≈２７７（ｍ）．
因此，这栋楼高约为２７７ｍ．
５３
!"#$%&’("()*１．如图，建筑物犅犆上有一旗杆犃犅，从与犅犆相距４０ｍ的犇处观测旗杆顶部犃
的仰角为５０°，观测旗杆底部犅的仰角为４５°，求旗杆的高度 （结果保留小数点
后一位）．
A A B C E
B 140e
520
m
50e
50e
45e
D 40m C D
（第１题） （第２题）
２．如图，沿犃犆方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．
从犃犆上的一点犅取∠犃犅犇＝１４０°，犅犇＝５２０ｍ，∠犇＝５０°．那么另一边开挖
点犈离犇多远正好使犃，犆，犈三点在一直线上 （结果保留小数点后一位）？
例５ 如图３４．２７，一艘海轮位于灯塔犘的
北偏东６５°方向，距离灯塔８０ｎｍｉｌｅ的犃处，它
沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔犘的 65e A
P
南偏东３４°方向上的犅处．这时，犅处距离灯塔
C
犘有多远 （结果取整数）？
34e
解：如图３４．２７，在Ｒｔ△犃犘犆中，
犘犆＝犘犃·ｃｏｓ（９０°－６５°）
＝８０×ｃｏｓ２５° B
图３４．２７
≈７２．５０５．
在Ｒｔ△犅犘犆中，∠犅＝３４°，
犘犆
∵ ｓｉｎ犅＝ ，
犘犅
犘犆 ７２．５０５
∴ 犘犅＝ ＝ ≈１３０（ｎｍｉｌｅ）．
ｓｉｎ犅 ｓｉｎ３４°
因此，当海轮到达位于灯塔犘的南偏东３４°方向时，它距离灯塔犘大约
１３０ｎｍｉｌｅ．
５４
!"#$%&’("()*
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（１）将实际问题抽象为数学问题 （画出平面图形，转化为解直角三角
形的问题）；
（２）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
（３）得到数学问题的答案；
（４）得到实际问题的答案．
１．如图，海中有一个小岛犃，它周围８ｎｍｉｌｅ内有暗礁．渔船跟踪鱼群由西向东航
行，在犅点测得小岛犃在北偏东６０°方向上，航行１２ｎｍｉｌｅ到达犇点，这时
测得小岛犃在北偏东３０°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有
触礁的危险？
A D
A
i 1?3
i 1?1.5
6m
α β
B C
B D F E
（第１题） （第２题）
２．如图，拦水坝的横断面为梯形犃犅犆犇，犃犉＝犇犈＝６ｍ．斜面坡度犻＝１∶１．５是
指坡面的铅直高度犃犉与水平宽度犅犉的比，斜面坡度犻＝１∶３是指犇犈与犆犈
的比．根据图中数据，求：
（１）坡角α和
β
的度数；
（２）斜坡犃犅的长 （结果保留小数点后一位）．
习题３４．２
１．在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，根据下列条件解直角三角形：
（１）犮＝８，∠犃＝３０°；
（２）犫＝７，∠犃＝１５°；
（３）犪＝５，犫＝１２．
５５
!"#$%&’("()*
书书书２．如图，厂房屋顶人字架 （等腰三角形）的跨度犅犆＝１０ｍ，∠犅＝３６°，求中柱犃犇
（犇为底边中点）和上弦犃犅的长 （结果保留小数点后一位）．
A
A
α
1200 m
36e D
B C
B 10m C
（第２题） （第３题）
３．如图，某飞机于空中犃处探测到目标犆，此时飞行高度犃犆＝１２００ｍ，从飞机上
看地平面指挥台犅的俯角α＝１６°３１′，求飞机犃与指挥台犅的距离 （结果取整数）．
４．从高出海平面５５ｍ的灯塔处收到一艘帆船的求助信号，从灯塔看帆船的俯角为
２１°，此时帆船距灯塔有多远 （结果取整数）？
５．如图，在山坡上种树，要求株距 （相邻两树间的水平距离）是５．５ｍ．测得斜坡的
倾斜角是２４°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离 （结果保留小数点后一位）．
（第５题）
６．在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°．
（１）已知∠犃，犮，写出解Ｒｔ△犃犅犆的过程；
（２）已知∠犃，犪，写出解Ｒｔ△犃犅犆的过程；
（３）已知犪，犮，写出解Ｒｔ△犃犅犆的过程．
７．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字
塔的下底面是一个边长为１３０ｍ的正方形，且每一个侧面与底面成６５°角，这座金
字塔原来有多高 （结果取整数）？
B
A
6km
65e
45.54e
43e
L R
（第７题） （第８题）
５６
!"#$%&’("()*８．如图，一枚运载火箭从地面犔处发射．当火箭到达犃点时，从位于地面犚处的雷
达站测得犃犚的距离是６ｋｍ，仰角为４３°；１ｓ后火箭到达犅点，此时测得仰角为
４５．５４°．这枚火箭从犃到犅的平均速度是多少 （结果取小数点后两位）？
９．为方便行人横过马路，打算修建一座高５ｍ的过街天桥．已知天桥的斜面坡度为
１∶１．５，计算斜坡犃犅的长度 （结果取整数）．
B
i=1?1.5
5m
A
（第９题）
１０．海中有一小岛犘，在以犘为圆心、半径为１６槡２ｎｍｉｌｅ的圆形海域内有暗礁．一
轮船自西向东航行，它在犃处时测得小岛犘位于北偏东６０°方向上，且犃，犘之
间的距离为３２ｎｍｉｌｅ．若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过
计算加以说明．如果有危险，轮船自犃处开始沿南偏东多少度的方向航行，能安
全通过这一海域？
１１．根据图中标出的三角形区域的位置，计算三角形区域的面积 （结果取整数）．（提
示：它的面积等于一个梯形的面积减去两个直角三角形的面积．）
m
N
62e
1700
2
720
m
N
54e
（第１１题）
５７
!"#$%&’("()*
书书书
山坡的高度
当我们要测量如图１所示大坝的高度犺时，只要测出坡角α和大坝的坡面长度犾，就
能算出犺＝犾ｓｉｎα．但是，当我们要测量如图２所示的山高犺时，问题就不那么简单了．
l
h
l
h
α α
图１ 图２
比较这两个测量问题，你想到了什么？
在测量大坝的高度时，由于坝坡、坝高与水平线构成直角三角形，因此解直角三角形
可得坝高．与测量坝高相比，测量山高的困难在于，山坡是 “曲”的，问题不能简单地归
结为解一个直角三角形．如果能把 “曲”转化为 “直”，就可能解决问题．
我们设法 “化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡 “化整为零”地划分为一些小段，
图３表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是 “直”的，可以
量出这段坡长犾，测出相应的坡角α，这样就可以算出这段山坡的高度犺＝犾ｓｉｎα．
犻 犻 犻 犻 犻
l
i h
i
α
i
图３
在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度
犺，犺，…，犺，然后我们 “积零为整”，把犺，犺，…，犺 相加，于是得到山高犺．
１ ２ 狀 １ ２ 狀
以上解决问题中所用的 “先化整为零，又积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，
体现了微积分的基本思想．它在数学中有重要地位，今后的学习中你会更多地了解这方面
的内容．
５８
!"#$%&’("()*
（１）把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个
小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角 （图１）；
图１
（２）将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到
达树的最高点 （图２）；
B
α
C
A
图２
（３）得出仰角α的度数；
（４）测出你到树的底部的距离；
（５）计算这棵树的高度．
（１）在塔前的平地上选择一点犃，用活动１中制作的测角仪测出你看
塔顶的仰角α（图３）；
（２）在犃点和塔之间选择一点犅，测出你由犅点看塔顶的仰角
β
；
５９
!"#$%&’("()*（３）量出犃，犅两点间的距离；
（４）计算塔的高度．
β α
B A
图３
６０
!"#$%&’("()*小 结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
本章我们学习了锐角三角函数，它反映了直角三角形中边角之间的关系．
即无论Ｒｔ△犃犅犆的大小如何，只要给定锐角犃，则∠犃的对边与斜边、邻边
与斜边、对边与邻边的比就随之确定，由此定义了锐角三角函数．利用这一关
系，结合勾股定理等，就可以解决各种与直角三角形度量有关的问题．
由直角三角形全等的判定定理可知，一个直角三角形可以由它的三条边和
两个锐角这五个元素中的两个 （其中至少有一个是边）唯一确定．有了锐角三
角函数知识，结合直角三角形的两个锐角互余及勾股定理，就可由这两个元素
的大小求出其他元素的大小，这就是解直角三角形．由此可见，关注各部分内
容之间的联系，对我们更深入地理解相关知识，提高灵活应用知识的能力等都
很有帮助．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．锐角三角函数是如何定义的？总结锐角三角函数的定义过程，并写出直
角三角形中两个锐角的三角函数．
２．两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中，已知一
条边和一个锐角，或两条边，就能解这个直角三角形？
３．你能根据不同的已知条件 （例如，已知斜边和一个锐角），归纳相应的
解直角三角形的方法吗？
４．锐角三角函数在实践中有广泛的应用，你能举例说明这种应用吗？
６１
!"#$%&’("()*复习题３４
１．在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犪＝２，犮＝６，求ｓｉｎ犃，ｃｏｓ犃和ｔａｎ犃的值．
槡３
２．在△犃犅犆中，∠犆＝９０°，ｃｏｓ犃＝ ，犃犆＝４槡３，求犅犆的长．
２
３．求下列各式的值：
（１）槡２ｃｏｓ４５°－ｔａｎ４５°； （２）槡３ｓｉｎ６０°＋ｔａｎ６０°－２ｃｏｓ２３０°．
４．用计算器求下列各式的值：
（１）ｃｏｓ７６°３９′＋ｓｉｎ１７°５２′； （２）ｓｉｎ５７°１８′－ｔａｎ２２°３０′；
（３）ｔａｎ８３°６′－ｃｏｓ４°５９′； （４）ｔａｎ１２°３０′－ｓｉｎ１５°．
５．已知下列锐角的三角函数值，用计算器求锐角犃的度数：
（１）ｃｏｓ犃＝０．７６５１； （２）ｓｉｎ犃＝０．９３４３；
（３）ｔａｎ犃＝３５．２６； （４）ｔａｎ犃＝０．７０７．
６．等腰三角形的底角是３０°，腰长为２槡３，求它的周长．
７．从一艘船上测得海岸上高为４２ｍ的灯塔顶部的仰角为３３°时，船离海岸多远 （结
果取整数）？
８．如图，两座建筑物的水平距离犅犆为３２．６ｍ，从犃点测得犇点的俯角α为３５°１２′，
测得犆点的俯角
β
为４３°２４′，求这两座建筑物的高度 （结果保留小数点后一位）．
A C
α 45e
β
3.40m
D
30e
D A
B
B C 5.00m
（第８题） （第９题）
９．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算犃犆，犅犇和犃犅的长度 （结
果保留小数点后两位）．
１０．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α
一般要满足５０°≤α≤７５°．现有一架长６ｍ的梯子．
（１）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙 （结果保留小数点后一位）？
６２
!"#$%&’("()*（２）当梯子底端距离墙面２．４ｍ时，α等于多少度 （结果取整数）？此时人是否能
够安全使用这架梯子？
B A D
E
α
A C B F C
（第１０题） （第１１题）
１１．如图，折叠矩形犃犅犆犇的一边犃犇，使点犇落在犅犆边的点犉处．已知折痕
３
犃犈＝５槡５ｃｍ，且ｔａｎ∠犈犉犆＝ ．
４
（１）△犃犉犅与△犉犈犆有什么关系？
（２）求矩形犃犅犆犇的周长．
１２．犃犅犆犇中，已知犃犅，犅犆及其夹角∠犅（∠犅是锐角），能求出犃犅犆犇的面
积犛吗？如果能，用犃犅，犅犆及其夹角∠犅表示犛．
１３．已知圆的半径为犚．
（１）求这个圆的内接正狀边形的周长和面积；
（２）利用 （１）的结果填写下表：
内接正狀边形 正六边形 正十二边形 正二十四边形 …
内接正狀边形的周长
内接正狀边形的面积
观察上表，随着圆内接正多边形边数的增加，正多边形的周长 （面积）有怎
样的变化趋势？与圆的周长 （面积）进行比较，你能得出什么结论？
犪 犫
１４． 如图，在锐角 △犃犅犆中，探究 ， ， A
ｓｉｎ犃 ｓｉｎ犅
犮
之间的关系．（提示：分别作犃犅和犅犆边上
c
b
ｓｉｎ犆
的高．）
B C
a
（第１４题）
６３
!"#$%&’("()*第三十五章 投影与视图
你注意观察过周围物体在日光或灯光下的影
子吗？影子和物体有着怎样的联系呢？人们从光
线照射物体会产生影子得到启发，得出了投影的
有关知识，并用这些知识来绘制视图．在生产实践
中，制造机器，建筑高楼，设计火箭……无一不
和视图密切相关．
本章我们将学习投影的有关知识，并借助投
影原理认识视图，再进一步讨论：如何由立体图
形画出三视图？如何由三视图想象出立体图形？
通过本章的学习，同学们会进一步提高对空间图
形的认识．３５．１ 投影
物体在日光或灯光的照射下，会在地面、墙壁等处形成影子 （图３５．１１）．
影子既与物体的形状有关，也与光线的照射方式有关．
图３５．１１
一般地，用光线照射物体，在某个平面 （地面、墙壁等）上得到的影子叫
做物体的投影 （ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ），照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投
影面．
有时光线是一组互相平行的射线，例如探照灯中的光线 （图３５．１２）．太
阳离我们非常远，射到地面的太阳光也可以看成一组互相平行的射线．由平行
光线形成的投影叫做平行投影 （ｐａｒａｌｌｅｌｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ）．例如，物体在太阳光的照
射下形成的影子 （简称日影）就是平行投影．日影的方向可以反映当地时间，
我国古代的计时器日晷 （图３５．１３），就是根据日影来观测时间的．
日晷是利用日影
计时的仪器，通常由
铜制的指针和石制的
带有刻度的圆盘组成．
用针影落在刻度盘的
不同位置表示一天中
不同的时刻．
图３５．１２ 图３５．１３
６５
!"#+%&,-./0由同一点 （点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影 （ｃｅｎｔｅｒｐｒｏｊｅｃ
ｔｉｏｎ）．例如，物体在灯泡发出的光照射下形成的影子 （图３５．１４）就是中心
投影．
图３５．１４
把下列物体与它们的投影用线连接起来．
图３５．１５表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中图 （１）与
图 （２）（３）的投影线有什么区别？图 （２）（３）的投影线与投影面的位置
关系有什么区别？
（１） （２） （３）
图３５．１５
６６
!"#+%&,-./0图３５．１５中，图 （１）中的投影线集中于一点，形成中心投影；图 （２）（３）
中，投影线互相平行，形成平行投影．图 （２）中，投影线斜着照射投影面；
图 （３）中投影线垂直照射投影面 （即投影线正对着投影面），我们也称这种情
形为投影线垂直于投影面．像图 （３）这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫
做正投影．
在实际制图中，经常应用正投影．
如图３５．１６，把一根直的细铁丝 （记为线段犃犅）放在三个不同
位置：
（１）铁丝平行于投影面；
（２）铁丝倾斜于投影面；
（３）铁丝垂直于投影面 （铁丝不一定要与投影面有交点）．
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？
A
A B B
A
B
A1 B1 A2 B2 A3(B3)
图３５．１６
通过观察、测量可知：
（１）当线段犃犅平行于投影面时，它的正投影是线段犃犅，它们的大小
１ １
关系为犃犅＝犃犅；
１ １
（２）当线段犃犅倾斜于投影面时，它的正投影是线段犃犅，它们的大小
２ ２
关系为犃犅＞犃犅；
２ ２
（３）当线段犃犅垂直于投影面时，它的正投影是一个点犃．
３
如图３５．１７，把一块正方形硬纸板犘 （记为正方形犃犅犆犇）放在三
个不同位置：
６７
!"#+%&,-./0（１）纸板平行于投影面；
（２）纸板倾斜于投影面；
（３）纸板垂直于投影面．
三种情形下纸板的正投影各是什么形状？
D
C
D C D A
A B A B C
B
D C D(C)
D
C
A B A B
A(B)
图３５．１７
通过观察、测量可知：
（１）当纸板犘平行于投影面时，犘的正投影与犘的形状、大小一样；
（２）当纸板犘倾斜于投影面时，犘的正投影与犘的形状、大小不完全
一样；
（３）当纸板犘垂直于投影面时，犘的正投影成为一条线段．
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、
大小完全相同．
例 画出如图３５．１８摆放的正方体在投影面
上的正投影．
（１）正方体的一个面犃犅犆犇平行于投影面
不妨用一个盒子
作为模型，观察它在
（图３５．１８（１））；
墙壁上的投影．
（２）正方体的一个面犃犅犆犇倾斜于投影面，
底面犃犇犈犉垂直于投影面，并且其对角线犃犈垂
直于投影面 （图３５．１８（２））．
６８
!"#+%&,-./0F A D
A D
E G
F B C
D
B C A
A
D
H
G
C
B
B C
（１） （２）
图３５．１８
分析：（１）当正方体在如图３５．１８（１）的位置时，正方体的一个面犃犅犆犇
及与其相对的另一面与投影面平行，这两个面的正投影是与正方体的一个面的
形状、大小完全相同的正方形犃′犅′犆′犇′．正方形犃′犅′犆′犇′的四条边分别是正方
体其余四个面 （这些面垂直于投影面）的投影．因此，正方体的正投影是一个正
方形．
（２）当正方体在如图３５．１８（２）的位置时，它的面犃犅犆犇和面犃犅犌犉
倾斜于投影面，它们的投影分别是矩形犃′犅′犆′犇′和犃′犅′犌′犉′；正方体其余
两个侧面的投影也分别是上述矩形；上、下底面的投影分别是线段犇′犉′和
犆′犌′．因此，正方体的投影是矩形犉′犌′犆′犇′，其中线段犃′犅′把矩形一分
为二．
解：（１）如图３５．１８（１），正方体的正投影为
正方形犃′犅′犆′犇′，它与正方体的一个面是全等
关系．
物体正投影的形
状、大小与它相对于
（２）如图３５．１８（２），正方体的正投影为矩
投影面的位置有关．
形犉′犌′犆′犇′，这个矩形的长等于正方体的底面对
角线长，矩形的宽等于正方体的棱长．矩形上、
下两边中点连线犃′犅′是正方体的侧棱犃犅及它所
对的另一条侧棱犈犎的投影．
６９
!"#+%&,-./0如图，投影线的方向如箭头所示，画出圆柱体的正投影．
（１） （２）
习题３５．１
１．小华在不同时间于天安门前拍了几幅照片，下面哪幅照片是在下午拍摄的？
天安门是坐北朝南
的建筑．
（第１题）
２．请用线把图中各物体与它们的投影连接起来．
（第２题）
３．如图，右边的正五边形是光线由上到下照射一个正五棱柱 （正棱柱的上、下底面
都是正多边形，并且侧棱垂直于底面）时的正投影，你能指出这时正五棱柱的各
个面的正投影分别是什么吗？
７０
!"#+%&,-./0（第３题）
４．一个圆锥的轴截面平行于投影面，圆锥的正投影是边长为３的等边三角形，求圆
锥的体积和表面积．
５．画出如图摆放的物体 （正六棱柱）的正投影：
（１）投影线由物体前方照射到后方；
（２）投影线由物体左方照射到右方；
（３）投影线由物体上方照射到下方．
（第５题）
７１
!"#+%&,-./0３５．２ 三视图
当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视
图 （ｖｉｅｗ）．视图可以看作物体在某一方向光线下的正投影．对于同一个物体，
如果从不同方向观察，所得到的视图可能不同．图３５．２１是同一本书的三个
不同的视图．
你能说出这三
个视图分别是从哪
E NGLIS D H IC -C T H IO IN N E A S R E Y ENG D L I I C S T H IO - N C A H R I Y NE SE 三 书 个 时 方 得到 向 的 观 吗 察 ？ 这本
图３５．２１
我们知道，单一的视图通常只能反映物体一个方面的形状．为了全面地反映
物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状．例
如图３５．２２中右侧的三个视图，可以多方面反映飞机的形状．
图３５．２２
本章中，我们只讨论三视图．
如图３５．２３（１），我们用三个互相垂直的平面 （例如墙角处的三面墙壁）
作为投影面，其中正对着我们的平面叫做正面，下方的平面叫做水平面，右边
７２
!"#+%&,-./0的平面叫做侧面．对一个物体 （例如一个长方体）
在三个投影面内进行正投影，在正面内得到的由
前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面
三视图与以前我
们学习的从三个方向
内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；
看物体得到的平面图
在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做
形是一致的．现在我们
左视图． 从投影的角度认识这个
问题，并且对三个方向
作出明确的规定．
（１） （２）
图３５．２３
如图３５．２３（２），将三个投影面展开在一个平
面内，得到这一物体的一张三视图 （由主视图、俯 主视图在左上边，
视图和左视图组成）．三视图中的各视图，分别从不 它的正下方是俯视图，
左视 图 在 主 视 图 的
同方面表示物体的形状，三者合起来能够较全面地
右边．
反映物体的形状．
三视图中，主视图与俯视图可以表示同一个
物体的长，主视图与左视图可以表示同一个物体
的高，左视图与俯视图可以表示同一个物体的宽，
正对着物体看，物
体左右之间的水平距
因此三个视图的大小是互相联系的．画三视图时，
离、前后之间的水平距
三个视图都要放在正确的位置，并且注意主视图
离、上下之间的竖直距
与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐， 离，分别对应这里所说
左视图与俯视图的宽相等． 的长、宽、高．
７３
!"#+%&,-./0从某一角度看物体时，有些部分因被遮挡而看不见．为全面反映立体图形
的形状，画图时规定：看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看
不见部分的轮廓线画成虚线．
在实际生活中人们经常遇到各种物体，这些物体的形状虽然各不相同，但
它们一般由一些基本几何体 （柱体、锥体、球等）组合或切割而成，因此会
画、会看基本几何体的视图非常必要．
例１
画出图３５．２４中基本几何体的三视图．
正三棱柱的上、下
底面均为正三角形，其
余各面都是矩形．
!1! !2! !3!
图３５．２４
分析：画这些基本几何体的三视图时，要注意
从三个方面观察它们．具体方法为：
主视图可以反映物
（１）确定主视图的位置，画出主视图；
体的长和高，俯视图可
（２）在主视图正下方画出俯视图，注意与主
以反映物体的长和宽，
视图 “长对正”；
左视图可以反映物体的
（３）在主视图正右方画出左视图，注意与主 高和宽．
视图 “高平齐”，与俯视图 “宽相等”；
（４）为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在
视图中加画点划线 （ ）表示对称轴．
解：如图３５．２５所示．
圆柱 正三棱柱
（１） （２）
７４
!"#+%&,-./0画出三视图后，可
以擦去图中的辅助线．
球
（３）
图３５．２５
例２ 画出图３５．２６所示的支架 （一种小零件）
的三视图，其中支架的两个台阶的高度和宽度相等．
分析：支架的形状是由两个大小不等的长方体
构成的组合体．画三视图时要注意这两个长方体的上
下、前后位置关系． 图３５．２６
解：图３５．２７是支架的三视图．
画组合体的三视
图时，构成组合体的
各部分的视图也要遵
守 “长对正，高平齐，
宽相等”的规律．
图３５．２７
画出如图所示的正三棱柱、圆锥、半球的三视图．
（１） （２） （３）
７５
!"#+%&,-./0前面我们讨论了由立体图形 （实物）画出三视图，下面我们讨论由三视图
想象出立体图形 （实物）．
例３ 如图３５．２８，分别根据三视图 （１）（２）说出立体图形的名称．
（１） （２）
图３５．２８
分析：由三视图想象立体图形时，首先分别根据主视图、俯视图和左视图
想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形．
解：（１）从三个方向看立体图形，视图都是矩形，可以想象这个立体图形
是长方体，如图３５．２９（１）所示．
（１） （２）
图３５．２９
（２）从正面、侧面看立体图形，视图都是等腰三角形；从上面看，视图是
圆；可以想象这个立体图形是圆锥，如图３５．２９（２）所示．
例４ 根据物体的三视图 （图３５．２１０），描述物体的形状．
请对照三视图与
想象的立体图形，指
出三视图中各线条分
别是立体图形哪部分
的投影．
图３５．２１０
７６
!"#+%&,-./0分析：由主视图可知，物体正面是正五边形；
由俯视图可知，由上向下看到物体有两个面的视图
是矩形，它们的交线是一条棱 （中间的实线表示），
可见到，另有两条棱 （虚线表示）被遮挡；由左视
图３５．２１１
图可知，物体左侧有两个面的视图是矩形，它们的
交线是一条棱 （中间的实线表示），可见到．综合各
视图可知，物体的形状是正五棱柱．
解：物体是正五棱柱形状的，如图３５．２１１所示．
根据下列三视图，描述物体的形状．
（１） （２）
（３） （４）
!"#+%&,-./0
05
例５ 某工厂要加工一批密封罐，设计
者给出了密封罐的三视图 （图３５．２１２）．请
按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的
100
面积 （图中尺寸单位：ｍｍ）．
50
分析：对于某些立体图形，沿着其中一
100
些线 （例如棱柱的棱）剪开，可以把立体图
形的表面展开成一个平面图形———展开图．
在实际生产中，三视图和展开图往往结合在
图３５．２１２
７７一起使用．解决本题的思路是，先由三视图想象出密封罐的形状，再进一步画
出展开图，然后计算面积．
解：由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱 （图３５．２１３）．
密封罐的高为５０ｍｍ，底面正六边形的直径为１００ｍｍ，边长为５０ｍｍ，
图３５．２１４是它的展开图．
图３５．２１３ 图３５．２１４
由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为
１
６×５０×５０＋２×６× ×５０×５０ｓｉｎ６０°
２
（ 槡３）
＝６×５０２× １＋
２
≈２７９９０ （ｍｍ２ ）．
１．根据下列几何体的三视图，画出它们的展开图．
（１） （２）
（第１题）
７８
!"#+%&,-./0２．某工厂加工一批无底帐篷，设计者给出了帐篷的三视图．请你按照三视图确定
每顶帐篷的表面积 （图中尺寸单位：ｃｍ）．
300
!"#+%&,-./0
002
2
4
0
（第２题）
习题３５．２
１．把图中的几何体与它们对应的三视图用线连接起来．
（第１题）
２．画出图中几何体的三视图．
（第２题）
７９３．球的三视图与其摆放位置有关吗？为什么？
４．根据下列三视图，分别说出它们表示的物体的形状．
（１） （２） （３）
（第４题）
５．根据下面的三视图，说出这个几何体是由几个正方体怎样组合而成的．
（第５题）
６．分别画出图中由７个小正方体组合而成的几何体的三视图．
（１） （２）
（第６题）
８０
!"#+%&,-./0７．画出图中几何体的三视图．
（第７题）
８．根据三视图，描述这个物体的形状．
（第８题）
９．由５个相同的小正方体搭成的物体的俯视图如图所示，这个物体有几种搭法？
6
4
（第９题） （第１０题）
１０．如图是一个几何体的三视图 （图中尺寸单位：ｃｍ），根据图中所示数据计算这个
几何体的表面积．
８１
!"#+%&,-./0
视图的产生与应用
人们很早以前就认识到图形语言的特殊作用．例如，
三千多年前，古代埃及的建筑师们要清楚而详尽地表达他
们设计的金字塔等建筑物，只用文字表述不行，必须画图
说明．在人们探索如何确切表示物体的立体形状的过程中，
产生并发展了视图．
画视图要考虑视线与物体的位置关系，不同的位置
关系产生不同的视觉效果，这就是说，研究视图不能不
研究投影．公元前１世纪，古罗马建筑师维特鲁厄斯写成 金字塔 （埃及）
了 《建筑学》这部著作，其中包括水平投影、正面投影、
中心投影和透视作图法的一些早期结果．文艺复兴时期，
透视理论有了较大的发展．这一时期许多艺术作品应用
了透视原理，而透视原理与中心投影有密切的关系．
画法几何是几何学的一个分支，视图是它研究的主要
内容，投影理论是它的基础．法国几何学家加斯帕尔·蒙
日 （ＧａｓｐａｒｄＭｏｎｇｅ）对画法几何的发展有重要贡献．１７６４
年，蒙日用自制的测量工具画出家乡城镇的大比例平面 意大利画家拉斐尔利用透视
图；１７６５年，他用画法几何原理绘制了防御工程设计图， 原理创作的名画 《雅典学院》．画
面上不同时代的希腊学者济济一
但由于军事保密的缘故，他的研究成果３０年以后才得以
堂，数学家毕达哥拉斯和欧几里
公开．１７９８～１７９９年，蒙日的 《画法几何》出版，它第一
得也在其中．
次系统阐述了在平面内绘制空间物体的一般方法．由于画
法几何在工程中有着广泛的应用，因此画法几何又被称为
“工程师的语言”．
蒙日的 《画法几何》中使用的视图是二视图，二视
图由主视图和俯视图组成．后来根据实际需要，由二视图
发展为今天在工程中广泛使用的三视图．
你能否举出这样的例子：两个物体的形状不同，但
是它们的二视图相同？由这样的例子，你能体会到为什
加斯帕尔·蒙日
么三视图比二视图有更广泛的应用吗？
（１７４６—１８１８）
８２
!"#+%&,-./0３５．３ 课题学习 制作立体模型
观察三视图，并综合考虑各视图表达的含义以及视图间的联系，可以想象
出三视图所表示的立体图形的形状，这是由视图转化为立体图形的过程．下面
我们动手实践，体会一下这个过程．
一、课题学习目的
通过由三视图制作立体模型的实践活动，体验平面图形向立体图形转化的
过程，体会用三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之
间的联系．
二、工具准备
刻度尺、剪刀、小刀、胶水、硬纸板、马铃薯 （或萝卜）等．
三、具体活动
１．以硬纸板为主要材料，分别做出下面的两组三视图 （图３５．３１）表示
的立体模型．
（１） （２）
图３５．３１
２．按照下面给出的两组三视图 （图３５．３２），用马铃薯 （或萝卜）做出相
应的实物模型．
（１） （２）
图３５．３２
８３
!"#+%&,-./0３．下面每一组平面图形 （图３５．３３）都由四个等边三角形组成．
（１） （２） （３）
图３５．３３
（１）其中哪些可以折叠成三棱锥？把上面的图形描在纸上，剪下来，叠一
叠，验证你的结论．
（２）画出由上面图形能折叠成的三棱锥的三视图，并指出三视图中是怎样
体现 “长对正，高平齐，宽相等”的．
（３）如果上图中小三角形的边长为１，那么对应的三棱锥的表面积是
多少？
４．下面的图形 （图３５．３４）由一个扇形和一个圆组成．
图３５．３４
（１）把上面的图形描在纸上，剪下来，围成一个圆锥．
（２）画出由上面图形围成的圆锥的三视图．
（３）如果上图中扇形的半径为１３，圆的半径为５，那么对应的圆锥的体积
是多少？
四、课题拓广
三视图、展开图都是与立体图形有关的平面图形．了解有关生产实际，结
合具体例子，写一篇短文介绍三视图、展开图的应用．
８４
!"#+%&,-./0
选择你熟悉的一些形状简单的物体，从不同方向观察它们，画出它们
的三视图，然后请同学根据画出的视图说出物体的形状，看他们能否说
对．如果说得不对，请你考虑改进你画的图，或者与同学交流．
（１）每个同学设计一个几何体，画出它的三视图．
（２）同学之间交换三视图图纸，各自按照手中的三视图制作几何体
模型．
（３）进行交流，看一看：作出的模型与设计者的想法一致吗？
（４）如果不一致，请讨论，寻找原因．
设计你所喜欢的笔筒，画出它的三视图和展开图，制作笔筒模型．体
会设计制作过程中三视图、展开图、实物 （即立体模型）之间的关系．
８５
!"#+%&,-./0小 结
一、本章知识结构图
二、回顾与思考
本章我们从生活实例出发，学习了中心投影和平行投影；研究了正投影的
性质．在此基础上，进一步认识了三视图，学习了简单几何体三视图的画法．
“由物画图”和 “由图想物”反映了 “三视图”与 “立体图形 （实物）”
之间相互联系和转化的关系，投影原理是其实现转化的依据．通过本章学习，
我们在认识中心投影、平行投影等知识的基础上，学习了一些基本几何体的三
视图，并通过实例，想象立体图形与三视图的互相转化，增强了空间观念．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．什么是中心投影、平行投影？什么是正投影？
２．当平面图形分别平行、倾斜和垂直于投影面时，它的正投影有什么
性质？
３．什么是三视图？它是怎样得到的？画三视图要注意什么？
４．举例说明立体图形与其三视图、展开图之间的关系．
８６
!"#+%&,-./0复习题３５
１．找出图中三视图对应的物体．
（１） （２） （３） （４）
（第１题）
２．分别画出图中两个几何体的三视图．
（第２题）
３．根据三视图，描述这个物体的形状．
（第３题）
８７
!"#+%&,-./0
４．画出图中几何体 （上半部为正三棱柱，下半部为圆柱）的三视图．
（第４题） （第５题）
５．根据三视图，描述这个物体的形状．
６．根据展开图，画出这个物体的三视图，并求这个物体的体积和表面积．
10
!"#+%&,-./0
02
（第６题）
７．根据三视图，求几何体的表面积，并画出这个几何体的展开图．
02
5
10
（第７题）
８８
８．根据下列三视图，求它们表示的几何体的体积 （图中标有尺寸）．
4
8
!"#+%&,-./0
2
8
4
6
2
2
（１） （２）
（第８题）
８９部分中英文词汇索引
中文 英文 页码
相似图形 ｓｉｍｉｌａｒｆｉｇｕｒｅｓ ２
相似多边形 ｓｉｍｉｌａｒｐｏｌｙｇｏｎｓ ４
相似比 ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙｒａｔｉｏ ４
相似三角形 ｓｉｍｉｌａｒｔｒｉａｎｇｌｅｓ ７
位似图形 ｈｏｍｏｔｈｅｔｉｃｆｉｇｕｒｅｓ ２５
正弦 ｓｉｎｅ ４１
余弦 ｃｏｓｉｎｅ ４２
正切 ｔａｎｇｅｎｔ ４２
锐角三角函数 ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆａｃｕｔｅａｎｇｌｅ ４２
投影 ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ６５
平行投影 ｐａｒａｌｌｅｌｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ６５
中心投影 ｃｅｎｔｅｒｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ６６
视图 ｖｉｅｗ ７２
９０
123456789后 记
本册教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发
中心依据教育部《义务教育数学课程标准（2011年版）》编写的，经国家基础
教育课程教材专家工作委员会2013年审查通过。
本册教科书集中反映了基础教育教科书研究与实验的成果，凝聚了参与课
改实验的教育专家、学科专家、教研人员以及一线教师的集体智慧。我们感谢
所有对教科书的编写、出版提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友，感谢整
体设计艺术指导吕敬人等。
本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照片、
画作）的作者进行了联系，得到了他们的大力支持。对此，我们表示衷心的感
谢！但仍有部分作者未能取得联系，恳请入选作品的作者与我们联系，以便支
付稿酬。
我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本册教科书的过程中提出宝
贵意见，并将这些意见和建议及时反馈给我们。让我们携起手来，共同完成义
务教育教材建设工作！
联系方式
电 话：010-58758321
电子邮箱：jcfk@pep.com.cn
人民教育出版社 课程教材研究所
中学数学课程教材研究开发中心
2014年8月® YIWU JIAOYU JIAOKESHU
义
SHUXUE 务
教
3
育
九年级
教
科
义务教育教科书
书
（ （五·四学制）
五
·
四
下册
学
制
）
数学 九年级 下册
数
数学
学
九
年
级
下
册
绿色印刷产品
数学九年级下(五四)封面.indd 1 2014.9.24 2:07:39 PM
