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2017 年江苏省泰州市中考数学试卷
一、选择题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）2的算术平方根是（ ）
A．±√2B．√2 C．-√2D．2
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a3=2a6 B．a3+a3=2a6 C．（a3）2=a6 D．a6•a2=a3
3．（3分）把下列英文字母看成图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）三角形的重心是（ ）
A．三角形三条边上中线的交点
B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点
D．三角形三条内角平行线的交点
5．（3分）某科普小组有5名成员，身高分别为（单位：cm）：160，165，
170，163，167．增加1名身高为165cm的成员后，现科普小组成员的身高与原
来相比，下列说法正确的是（ ）
A．平均数不变，方差不变 B．平均数不变，方差变大
C．平均数不变，方差变小 D．平均数变小，方差不变
k
6．（3分）如图，P为反比例函数y= （k＞0）在第一象限内图象上的一点，
x
过点 P 分别作 x 轴，y 轴的垂线交一次函数 y=﹣x﹣4 的图象于点 A、B．若
∠AOB=135°，则k的值是（ ）
第1页（共30页）A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题（每题3分，满分30分，将答案填在答题纸上）
7．（3分）|﹣4|= ．
8．（3分）天宫二号在太空绕地球一周大约飞行42500千米，将42500用科学
记数法表示为 ．
9．（3 分）已知 2m﹣3n=﹣4，则代数式 m（n﹣4）﹣n（m﹣6）的值为
．
10．（3分）“一只不透明的袋子共装有 3个小球，它们的标号分别为 1，2，
3，从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是 ．（填“必然事件”、
“不可能事件”或“随机事件”）
11．（3分）将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为 ．
12．（3 分）扇形的半径为 3cm，弧长为 2πcm，则该扇形的面积为
cm2．
1 1
13．（3分）方程2x2+3x﹣1=0的两个根为x 、x ，则 + 的值等于 ．
1 2 x x
1 2
14．（3分）小明沿着坡度i为1：√3的直路向上走了50m，则小明沿垂直方向
升高了 m．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，
第2页（共30页）0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，
P是△ABC的外心，则点C的坐标为 ．
16．（3分）如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片
CDE的边CD所在的直线与线段 AB垂直相交于点 P，且满足 PC=PA．若点 P沿
AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共102分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
1
17．（12分）（1）计算：（√7﹣1）0﹣（﹣ ）﹣2+√3tan30°；
2
x+1 4
（2）解方程： + =1．
x-1 1-x2
18．（8分）“泰微课”是学生自主学习的平台，某初级中学共有 1200名学生，
每人每周学习的数学泰微课都在6至30个之间（含6和30），为进一步了解该
校学生每周学习数学泰微课的情况，从三个年级随机抽取了部分学生的相关学
习数据，并整理、绘制成统计图如下：
第3页（共30页）根据以上信息完成下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）估计该校全体学生中每周学习数学泰微课在 16 至 30 个之间（含 16 和
30）的人数．
19．（8分）在学校组织的朗诵比赛中，甲、乙两名学生以抽签的方式从 3篇
不同的文章中抽取一篇参加比赛，抽签规则是：在3个相同的标签上分别标注
字母A、B、C，各代表1篇文章，一名学生随机抽取一个标签后放回，另一名
学生再随机抽取．用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求甲、
乙抽中同一篇文章的概率．
20．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC．
（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC（不要求写作
法，保留作图痕迹）；
（2）若（1）中的射线CM交AB于点D，AB=9，AC=6，求AD的长．
21．（10分）平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（m+1，m﹣1）．
（1）试判断点P是否在一次函数y=x﹣2的图象上，并说明理由；
1
（2）如图，一次函数y=﹣ x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，若点P
2
在△AOB的内部，求m的取值范围．
第4页（共30页）22．（10分）如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG
于F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DAF；
（2）若AF=1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．
23．（10分）怡然美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为
20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．
（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？
（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，
售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元
就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总
利润最多是多少？
24．（10分）如图，⊙O的直径AB=12cm，C为AB延长线上一点，CP与⊙O相
切于点P，过点B作弦BD∥CP，连接PD．
（1）求证：点P为^BD的中点；
（2）若∠C=∠D，求四边形BCPD的面积．
25．（12分）阅读理解：
第5页（共30页）如图①，图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中，若线段 PA 最短，
1
则线段PA 的长度称为点P到图形l的距离．
1
例如：图②中，线段P A的长度是点P 到线段AB的距离；线段P H的长度是点
1 1 2
P 到线段AB的距离．
2
解决问题：
如图③，平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B 的坐标分别为（8，4），（12，
7），点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒．
（1）当t=4时，求点P到线段AB的距离；
（2）t为何值时，点P到线段AB的距离为5？
（3）t满足什么条件时，点P到线段AB的距离不超过6？（直接写出此小题的
结果）
26．（14分）平面直角坐标系 xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次
函数y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d（d为
常数）．
（1）若一次函数y =kx+b的图象经过A、B两点．
1
①当a=1、d=﹣1时，求k的值；
②若y 随x的增大而减小，求d的取值范围；
1
（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明
理由；
（3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相
交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变
化，请说明理由．
第6页（共30页）2017 年江苏省泰州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）（2017•泰州）2的算术平方根是（ ）
A．±√2B．√2 C．-√2D．2
【考点】22：算术平方根．
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【分析】根据算术平方根的定义直接解答即可．
【解答】解：2的算术平方根是√2，
故选B．
【点评】本题考查的是算术平方根的定义，即一个数正的平方根叫这个数的算
术平方根．
2．（3分）（2017•泰州）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a3=2a6 B．a3+a3=2a6 C．（a3）2=a6 D．a6•a2=a3
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．
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【分析】分别利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算、合并同类项法
则判断得出答案．
【解答】解：A、a3•a3=a6，故此选项错误；
B、a3+a3=2a3，故此选项错误；
C、（a3）2=a6，正确；
D、a6•a2=a8，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项
等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
3．（3分）（2017•泰州）把下列英文字母看成图形，既是轴对称图形又是中
心对称图形的是（ ）
第7页（共30页）A． B． C． D．
【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．
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【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项错误；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是
寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋
转180度后两部分重合．
4．（3分）（2017•泰州）三角形的重心是（ ）
A．三角形三条边上中线的交点
B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点
D．三角形三条内角平行线的交点
【考点】K5：三角形的重心．
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【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点解答．
【解答】解：三角形的重心是三条中线的交点，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形重心的定义．掌握三角形的重心是三条中线的交点
是解题的关键．
5．（3 分）（2017•泰州）某科普小组有 5 名成员，身高分别为（单位：
cm）：160，165，170，163，167．增加1名身高为165cm的成员后，现科普
小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（ ）
A．平均数不变，方差不变 B．平均数不变，方差变大
C．平均数不变，方差变小 D．平均数变小，方差不变
第8页（共30页）【考点】W7：方差；W1：算术平均数．
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【分析】根据平均数的意义、方差的意义，可得答案．
160+165+170+163+167 58
【解答】解：x = =165，S2 = ，
原 5 原 5
160+165+170+163+167+165 58
x = =165，S2 = ，
新 6 新 6
平均数不变，方差变小，
故选：C．
【点评】本题考查了方差，利用方差的定义是解题关键．
k
6．（3分）（2017•泰州）如图，P为反比例函数y= （k＞0）在第一象限内图
x
象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数 y=﹣x﹣4的图象于点
A、B．若∠AOB=135°，则k的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；F8：一次函数图象上点的坐标
特征．
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【分析】作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP，易证△BOE∽△AOD，根据相似三角
形对应边比例相等的性质即可求出k的值．
k
【解答】解：作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP；设P点坐标（n， ），
n
第9页（共30页）∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，
∴∠PBA=∠PAB=45°，
∴PA=PB，
k
∵P点坐标（n， ），
n
∴OD=CQ=n，
∴AD=AQ+DQ=n+4；
∵当x=0时，y=﹣x﹣4=﹣4，
√2
∴OC=DQ=4，GE=OE= OC=2√2；
2
√2k
同理可证：BG=√2BF=√2PD= ，
n
√2k
∴BE=BG+EG= +2√2；
n
∵∠AOB=135°，
∴∠OBE+∠OAE=45°，
∵∠DAO+∠OAE=45°，
∴∠DAO=∠OBE，
{&∠DAO=∠OBE
∵在△BOE和△AOD中， ，
&∠BEO=∠ADO=90°
∴△BOE∽△AOD；
√2k
OE BE 2√2 +2√2
∴ = ，即 = n ；
OD AD n
4+n
整理得：nk+2n2=8n+2n2，化简得：k=8；
故选D．
第10页（共30页）【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质及反比例函数图象上点的坐
标特征，解题的关键是正确作出辅助线，构造相似三角形．
二、填空题（每题3分，满分30分，将答案填在答题纸上）
7．（3分）（2017•泰州）|﹣4|= 4 ．
【考点】15：绝对值．
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【分析】因为﹣4＜0，由绝对值的性质，可得|﹣4|的值．
【解答】解：|﹣4|=4．
【点评】本题考查绝对值的化简，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它
的相反数，0的绝对值是0．
8．（3分）（2017•泰州）天宫二号在太空绕地球一周大约飞行 42500千米，
将42500用科学记数法表示为 4.25 × 1 0 4 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数
点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，
n是负数．
【解答】解：将42500用科学记数法表示为：4.25×104．
故答案为：4.25×104．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n
的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及n的
值．
9．（3分）（2017•泰州）已知2m﹣3n=﹣4，则代数式m（n﹣4）﹣n（m﹣
6）的值为 8 ．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．
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【分析】先将原式化简，然后将2m﹣3n=﹣4代入即可求出答案．
【解答】解：当2m﹣3n=﹣4时，
∴原式=mn﹣4m﹣mn+6n
第11页（共30页）=﹣4m+6n
=﹣2（2m﹣3n）
=﹣2×（﹣4）
=8
故答案为：8
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于
基础题型．
10．（3分）（2017•泰州）“一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号
分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是 不可能事件 ．
（填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”）
【考点】X1：随机事件．
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【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．
【解答】解：∵袋子中3个小球的标号分别为1、2、3，没有标号为4的球，
∴从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是不可能事件，
故答案为：不可能事件．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指
在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的
事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事
件．
11．（3分）（2017•泰州）将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为 15 °
．
【考点】K8：三角形的外角性质；K7：三角形内角和定理．
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【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
第12页（共30页）【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠α=60°﹣45°=15°，
故答案为：15°．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它
不相邻的两个内角的和是解题的关键．
12．（3分）（2017•泰州）扇形的半径为3cm，弧长为2πcm，则该扇形的面
积为 3π cm2．
【考点】MO：扇形面积的计算；MN：弧长的计算．
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【分析】先用弧长公式求出扇形的圆心角的度数，然后用扇形的面积公式求出
扇形的面积．
【解答】解：设扇形的圆心角为n，则：
n⋅π⋅3
2π= ，
180
得：n=120°．
120⋅π⋅32
∴S = =3πcm2．
扇形
360
故答案为：3π．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意先求出扇形的圆心角的度数，
再计算扇形的面积．
1 1
13．（3分）（2017•泰州）方程2x2+3x﹣1=0的两个根为x 、x ，则 + 的值
1 2 x x
1 2
等于 3 ．
【考点】AB：根与系数的关系．
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【专题】11 ：计算题．
3 1 1 1
【分析】先根据根与系数的关系得到x +x =﹣ ，x x =﹣ ，再通分得到 + =
1 2 2 1 2 2 x x
1 2
x +x
1 2，然后利用整体代入的方法计算．
x x
1 2
3 1
【解答】解：根据题意得x +x =﹣ ，x x =﹣ ，
1 2 2 1 2 2
第13页（共30页）3
-
1 1 x +x 2
所以 + = 1 2 = =3．
x x x x 1
1 2 1 2 -
2
故答案为3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x ，x 是一元二次方程 ax2+bx+c=0
1 2
b c
（a≠0）的两根时，x +x =﹣ ，x x = ．
1 2 a 1 2 a
14．（3分）（2017•泰州）小明沿着坡度i为1：√3的直路向上走了50m，则
小明沿垂直方向升高了 2 5 m．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】首先根据题意画出图形，由坡度为1：√3，可求得坡角∠A=30°，又由
小明沿着坡度为1：√3的山坡向上走了50m，根据直角三角形中，30°所对的直
角边是斜边的一半，即可求得答案．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，
∵坡度：i=1：√3，
√3
∴tan∠A=1：√3= ，
3
∴∠A=30°，
∵AB=50m，
1
∴BE= AB=25（m）．
2
∴他升高了25m．
故答案为：25．
【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意能构造直角三角形并
用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
15．（3分）（2017•泰州）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点A、B、P的坐
第14页（共30页）标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、
纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为 （ 7 ， 4 ）或（ 6 ， 5 ）或
（ 1 ， 4 ） ．
【考点】MA：三角形的外接圆与外心；D5：坐标与图形性质．
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【分析】由勾股定理求出PA=PB=√32+22=√13，由点C在第一象限内，且横坐标、
纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，得出PC=PA=PB=√13，即可得出点C的坐
标．
【解答】解：∵点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．
∴PA=PB=√32+22=√13，
∵点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，
∴PC=PA=PB=√13=√22+32，
则点C的坐标为 （7，4）或（6，5）或（1，4）；
故答案为：（7，4）或（6，5）或（1，4）．
【点评】本题考查了三角形的外接圆、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握
勾股定理是解决问题的关键．
16．（3分）（2017•泰州）如图，在平面内，线段 AB=6，P为线段AB上的动
点，三角形纸片 CDE 的边 CD 所在的直线与线段 AB 垂直相交于点 P，且满足
PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为 6√2 ．
第15页（共30页）【考点】O4：轨迹．
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【分析】如图，由题意可知点 C 运动的路径为线段 AC′，点 E 运动的路径为
EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，求出AC′即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为
EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，
在Rt△ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，
∴EE′=AC′=√62+62=6√2，
故答案为6√2．
【点评】主要考查轨迹、平移变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转
化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共10小题，共102分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
1
17．（12分）（2017•泰州）（1）计算：（√7﹣1）0﹣（﹣ ）﹣2+√3tan30°；
2
第16页（共30页）x+1 4
（2）解方程： + =1．
x-1 1-x2
【考点】B3：解分式方程；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数
幂；T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】11 ：计算题；522：分式方程及应用．
【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数
值计算即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验
即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式=1﹣4+1=﹣2；
（2）去分母得：x2+2x+1﹣4=x2﹣1，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本
题的关键．
18．（8分）（2017•泰州）“泰微课”是学生自主学习的平台，某初级中学共
有 1200 名学生，每人每周学习的数学泰微课都在 6 至 30 个之间（含 6 和
30），为进一步了解该校学生每周学习数学泰微课的情况，从三个年级随机抽
取了部分学生的相关学习数据，并整理、绘制成统计图如下：
根据以上信息完成下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）估计该校全体学生中每周学习数学泰微课在 16 至 30 个之间（含 16 和
第17页（共30页）30）的人数．
【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．
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【分析】（1）求得16﹣20的频数即可补全条形统计图；
（2）用样本估计总体即可；
【解答】解：（1）观察统计图知：6﹣10个的有6人，占10%，
∴总人数为6÷10%=60人，
∴16﹣20的有60﹣6﹣6﹣24﹣12=12人，
∴条形统计图为：
（2）该校全体学生中每周学习数学泰微课在 16 至 30 个之间的有 1200×
12+12+24
=960人．
60
【点评】本题考查了条形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是认真
读两种统计图，并从统计图中整理出进一步解题的信息，难度不大．
19．（8分）（2017•泰州）在学校组织的朗诵比赛中，甲、乙两名学生以抽签
的方式从3篇不同的文章中抽取一篇参加比赛，抽签规则是：在 3个相同的标
签上分别标注字母A、B、C，各代表1篇文章，一名学生随机抽取一个标签后
放回，另一名学生再随机抽取．用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结
果，并求甲、乙抽中同一篇文章的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、
乙抽中同一篇文章，再利用概率公式求解即可求得答案．
第18页（共30页）【解答】解：如图：
所有可能的结果有9种，甲、乙抽中同一篇文章的情况有3种，
3 1
概率为 = ．
9 3
【点评】本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法
可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树
状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）（2017•泰州）如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC．
（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC（不要求写作
法，保留作图痕迹）；
（2）若（1）中的射线CM交AB于点D，AB=9，AC=6，求AD的长．
【考点】N2：作图—基本作图；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）根据尺规作图的方法，以 AC 为一边，在∠ACB 的内部作
∠ACM=∠ABC即可；
（2）根据△ACD与△ABC相似，运用相似三角形的对应边成比例进行计算即可．
【解答】解：（1）如图所示，射线CM即为所求；
第19页（共30页）（2）∵∠ACD=∠ABC，∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
AD AC AD 6
∴ = ，即 = ，
AC AB 6 9
∴AD=4．
【点评】本题主要考查了基本作图以及相似三角形的判定与性质的运用，解题
时注意：两角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
21．（10分）（2017•泰州）平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（m+1，m
﹣1）．
（1）试判断点P是否在一次函数y=x﹣2的图象上，并说明理由；
1
（2）如图，一次函数y=﹣ x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，若点P
2
在△AOB的内部，求m的取值范围．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；F5：一次函数的性质．
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【分析】（1）要判断点（m+1，m﹣1）是否的函数图象上，只要把这个点的坐
标代入函数解析式，观察等式是否成立即可．
1
（2）根据题意得出0＜m+1＜6，0＜m﹣1＜3，m﹣1＜﹣ （m+1）+3，解不
2
等式组即可求得．
【解答】解：（1）∵当x=m+1时，y=m+1﹣2=m﹣1，
∴点P（m+1，m﹣1）在函数y=x﹣2图象上．
1
（2）∵函数y=﹣ x+3，
2
∴A（6，0），B（0，3），
∵点P在△AOB的内部，
1
∴0＜m+1＜6，0＜m﹣1＜3，m﹣1＜﹣ （m+1）+3
2
第20页（共30页）7
∴1＜m＜ ．
3
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，图象上
的点的坐标适合解析式．
22．（10 分）（2017•泰州）如图，正方形 ABCD 中，G 为 BC 边上一点，
BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DAF；
（2）若AF=1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．
【考点】LE：正方形的性质；A3：一元二次方程的解；KD：全等三角形的判定
与性质．
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【分析】（1）由∠BAE+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，推出∠BAE=∠ADF，即
可根据AAS证明△ABE≌△DAF；
（2）设EF=x，则AE=DF=x+1，根据四边形ABED的面积为6，列出方程即可解
决问题；
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵DF⊥AG，BE⊥AG，
∴∠BAE+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△ABE和△DAF中，
{
&∠BAE=∠ADF
&∠AEB=∠DFA，
&AB=AD
∴△ABE≌△DAF（AAS）．
第21页（共30页）（2）设EF=x，则AE=DF=x+1，
1 1
由题意2× ×（x+1）×1+ ×x×（x+1）=6，
2 2
解得x=2或﹣5（舍弃），
∴EF=2．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，
解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程，属于中
考常考题型．
23．（10分）（2017•泰州）怡然美食店的 A、B两种菜品，每份成本均为 14
元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润
为280元．
（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？
（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，
售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元
就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总
利润最多是多少？
【考点】HE：二次函数的应用；9A：二元一次方程组的应用．
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【分析】（1）由A种菜和B种菜每天的营业额为1120和总利润为280建立方
程组即可；
（2）设出A种菜多卖出a份，则B种菜少卖出a份，最后建立利润与A种菜少
卖出的份数的函数关系式即可得出结论．
【解答】解：（1）设该店每天卖出A、B两种菜品分别为x、y份，
{&20x+18 y=1120
根据题意得， ，
&(20-14)x+(18-14)y=280
第22页（共30页）{&x=20
解得： ，
& y=40
答：该店每天卖出这两种菜品共60份；
（2）设A种菜品售价降 0.5a元，即每天卖（20+a）份；总利润为w元因为两
种菜品每天销售总份数不变，所以B种菜品卖（40﹣a）份
每份售价提高0.5a元．
w=（20﹣14﹣0.5a）（20+a）+（18﹣14+0.5a）（40﹣a）
=（6﹣0.5a）（20+a）+（4+0.5a）（40﹣a）
=（﹣0.5a2﹣4a+120）+（﹣0.5a2+16a+160）
=﹣a2+12a+280
=﹣（a﹣6）2+316
当a=6，w最大，w=316
答：这两种菜品每天的总利润最多是316元．
【点评】此题主要考查的是二元一次方程组和二次函数的应用，解本题的关键
是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程组或函数关系式，最后
计算出价格变化后每天的总利润．
24．（10分）（2017•泰州）如图，⊙O的直径AB=12cm，C为AB延长线上一
点，CP与⊙O相切于点P，过点B作弦BD∥CP，连接PD．
（1）求证：点P为^BD的中点；
（2）若∠C=∠D，求四边形BCPD的面积．
【考点】MC：切线的性质．
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【分析】（1）连接OP，根据切线的性质得到PC⊥OP，根据平行线的性质得到
BD⊥OP，根据垂径定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠POB=2∠D，根据三角形的内角和得到∠C=30°，推
第23页（共30页）出四边形BCPD是平行四边形，于是得到结论．
【解答】（1）证明：连接OP，
∵CP与⊙O相切于点P，
∴PC⊥OP，
∵BD∥CP，
∴BD⊥OP，
∴^PB=^PD，
∴点P为^BD的中点；
（2）解：∵∠C=∠D，
∵∠POB=2∠D，
∴∠POB=2∠C，
∵∠CPO=90°，
∴∠C=30°，
∵BD∥CP，
∴∠C=∠DBA，
∴∠D=∠DBA，
∴BC∥PD，
∴四边形BCPD是平行四边形，
1
∵PO= AB=6，
2
∴PC=6√3，
∵∠ABD=∠C=30°，
1
∴OE= OB=3，
2
∴PE=3，
∴四边形BCPD的面积=PC•PE=6√3×3=18√3．
第24页（共30页）【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，平行四边形的判定和性质，解直
角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（12分）（2017•泰州）阅读理解：
如图①，图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中，若线段 PA 最短，
1
则线段PA 的长度称为点P到图形l的距离．
1
例如：图②中，线段P A的长度是点P 到线段AB的距离；线段P H的长度是点
1 1 2
P 到线段AB的距离．
2
解决问题：
如图③，平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B 的坐标分别为（8，4），（12，
7），点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒．
（1）当t=4时，求点P到线段AB的距离；
（2）t为何值时，点P到线段AB的距离为5？
（3）t满足什么条件时，点P到线段AB的距离不超过6？（直接写出此小题的
结果）
【考点】FI：一次函数综合题．
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【分析】（1）作AC⊥x轴，由PC=4、AC=4，根据勾股定理求解可得；
（2）作BD∥x轴，分点P在AC左侧和右侧两种情况求解，P位于AC左侧时，
根据勾股定理即可得；P 位于 AC 右侧时，作 AP ⊥AB，交 x 轴于点 P ，证
2 2
△ACP ≌△BEA得AP =BA=5，从而知P C=AE=3，继而可得答案；
2 2 2
（3）分点P在AC左侧和右侧两种情况求解，P位于AC左侧时，根据勾股定理
第25页（共30页）即可得；点P位于AC右侧且P M=6时，作P N⊥P M于点N，知四边形AP NM
3 2 3 2
AP CP
是矩形，证△ACP ∽△P NP 得 2 = 2，求得P P 的长即可得出答案．
2 2 3 P P N P 2 3
2 3 3
【解答】解：（1）如图1，作AC⊥x轴于点C，
则AC=4、OC=8，
当t=4时，OP=4，
∴PC=4，
∴点P到线段AB的距离PA=√PC2+AC2=√42+42=4√2；
（2）如图2，过点B作BD∥x轴，交y轴于点E，
①当点P位于AC左侧时，∵AC=4、P A=5，
1
∴P C=√P A2-AC2=√52-42=3，
1 1
∴OP =5，即t=5；
1
第26页（共30页）②当点P位于AC右侧时，过点A作AP ⊥AB，交x轴于点P ，
2 2
∴∠CAP +∠EAB=90°，
2
∵BD∥x轴、AC⊥x轴，
∴CE⊥BD，
∴∠ACP =∠BEA=90°，
2
∴∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠P AC，
2
在△ACP 和△BEA中，
2
{
&∠ACP =∠BEA=90°
2
∵ &AC=BE=4 ，
&∠P AC=∠ABE
2
∴△ACP ≌△BEA（ASA），
2
∴AP =BA=√AE2+BE2=√32+42=5，
2
而此时P C=AE=3，
2
∴OP =11，即t=11；
2
（3）如图3，
①当点P位于AC左侧，且AP =6时，
3
则P C=√AP 2-AC2=√62-42=2√5，
3 3
∴OP =OC﹣P C=8﹣2√5；
3 3
②当点P位于AC右侧，且P M=6时，
3
第27页（共30页）过点P 作P N⊥P M于点N，
2 2 3
则四边形AP NM是矩形，
2
∴∠AP N=90°，∠ACP =∠P NP =90°，AP =MN=5，
2 2 2 3 2
∴△ACP ∽△P NP ，且NP =1，
2 2 3 3
AP CP 5 3
∴ 2 = 2，即 = ，
P P N P P P 1
2 3 3 2 3
5
∴P P = ，
2 3 3
5 38
∴OP =OC+CP +P P =8+3+ = ，
3 2 2 3 3 3
38
∴当8﹣2√5≤t≤ 时，点P到线段AB的距离不超过6．
3
【点评】本题主要考查一次函数的综合问题，理解题意掌握点到线段的距离概
念及分类讨论思想的运用、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解
题的关键．
26．（14分）（2017•泰州）平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为
a、a+2，二次函数y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a
﹣m=d（d为常数）．
（1）若一次函数y =kx+b的图象经过A、B两点．
1
①当a=1、d=﹣1时，求k的值；
②若y 随x的增大而减小，求d的取值范围；
1
（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明
理由；
（3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相
交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变
化，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）①当a=1、d=﹣1时，m=2a﹣d=3，于是得到抛物线的解析式，
然后求得点A和点B的坐标，最后将点A和点B的坐标代入直线AB的解析式求
得k的值即可；
第28页（共30页）②将x=a，x=a+2代入抛物线的解析式可求得点A和点B的纵坐标，然后依据y
1
随着x的增大而减小，可得到﹣（a﹣m）（a+2）＞﹣（a+2﹣m）（a+4），结
合已知条件2a﹣m=d，可求得d的取值范围；
（2）由d=﹣4可得到m=2a+4，则抛物线的解析式为y=﹣x2+（2a+2）x+4a+8，
然后将x=a、x=a+2代入抛物线的解析式可求得点A和点B的纵坐标，最后依据
点A和点B的纵坐标可判断出AB与x轴的位置关系；
（3）先求得点A和点B的坐标，于是得到点A和点B运动的路线与字母a的函
数关系式，则点C（0，2m），D（0，4m﹣8），于是可得到CD与m的关系式．
【解答】解：（1）①当a=1、d=﹣1时，m=2a﹣d=3，
所以二次函数的表达式是y=﹣x2+x+6．
∵a=1，
∴点A的横坐标为1，点B的横坐标为3，
把x=1代入抛物线的解析式得：y=6，把x=3代入抛物线的解析式得：y=0，
∴A（1，6），B（3，0）．
{&k+b=6 {&k=-3
将点A和点B的坐标代入直线的解析式得： ，解得： ，
&3k+b=0 &b=9
所以k的值为﹣3．
②∵y=﹣x2+（m﹣2）x+2m=﹣（x﹣m）（x+2），
∴当x=a时，y=﹣（a﹣m）（a+2）；当x=a+2时，y=﹣（a+2﹣4）（a+4），
∵y 随着x的增大而减小，且a＜a+2，
1
∴﹣（a﹣m）（a+2）＞﹣（a+2﹣m）（a+4），解得：2a﹣m＞﹣4，
又∵2a﹣m=d，
∴d的取值范围为d＞﹣4．
（2）∵d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4，2a﹣m=d，
∴m=2a+4．
∴二次函数的关系式为y=﹣x2+（2a+2）x+4a+8．
把x=a代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8．
把x=a+2代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8．
∴A（a，a2+6a+8）、B（a+2，a2+6a+8）．
∵点A、点B的纵坐标相同，
第29页（共30页）∴AB∥x轴．
（3）线段CD的长随m的值的变化而变化．
∵y=﹣x2+（m﹣2）x+2m过点A、点B，
∴当 x=a 时，y=﹣a2+（m﹣2）a+2m，当 x=a+2 时，y=﹣（a+2）2+（m﹣2）
（a+2）+2m，
∴ A （ a ， ﹣ a2+ （ m﹣2 ） a+2m ） 、 B （ a+2 ， ﹣ （ a+2 ） 2+ （ m﹣2 ）
（a+2）+2m）．
∴点A运动的路线是的函数关系式为y =﹣a2+（m﹣2）a+2m，点B运动的路线
1
的函数关系式为y =﹣（a+2）2+（m﹣2）（a+2）+2m．
2
∴点C（0，2m），D（0，4m﹣8）．
∴DC=|2m﹣（4m﹣8）|=|8﹣2m|．
∴线段CD的长随m的值的变化而变化．
当 8﹣2m=0 时，m=4 时，CD=|8﹣2m|=0，即点 C 与点 D 重合；当 m＞4 时，
CD=2m﹣8；当m＜4时，CD=8﹣2m．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系
数法求二次函数的解析式，求得点A和点B的坐标是解题的关键．
第30页（共30页）
