文档内容
2017年湖北省黄冈市中考数学试卷
一、选择题（本题共6小题，第小题3分，共18分．每小题给出的4个选项中，有且只有一个
答案是正确的）
1．（3分）计算：|﹣ |＝（ ）
A． B． C．3 D．﹣3
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xy B．（m+3）2＝m2+9
C．（xy2）3＝xy6 D．a10÷a5＝a5
3．（3分）已知：如图，直线a∥b，∠1＝50°．∠2＝∠3，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．75°
4．（3分）已知：如图，是一几何体的三视图，则该几何体的名称为（ ）
A．长方体 B．正三棱柱 C．圆锥 D．圆柱
5．（3分）某校10名篮球运动员的年龄情况，统计如下表：
年龄（岁） 12 13 14 15
人数（名） 2 4 3 1
则这10名篮球运动员年龄的中位数为（ ）
A．12 B．13 C．13.5 D．14
6．（3分）已知：如图，在 O中，OA⊥BC，∠AOB＝70°，则∠ADC的度数为（ ）
⊙ 第1页（共20页）A．30° B．35° C．45° D．70°
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）16的算术平方根是 ．
8．（3分）分解因式：mn2﹣2mn+m＝ ．
9．（3分）计算 ﹣6 的结果是 ．
10．（3分）自中国提出“一带一路，合作共赢”的倡议以来，一大批中外合作项目稳步推进．
其中，由中国承建的蒙内铁路（连接肯尼亚首都内罗毕和东非第一大港蒙巴萨港），是首
条海外中国标准铁路，已于2017年5月31日正式投入运营，该铁路设计运力为25000000
吨，将25000000吨用科学记数法表示，记作 吨．
11．（3分）化简：（ + ）• ＝ ．
12．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 ．
13．（3分）已知：如图，圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是
cm2．
14．（3分）已知：如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm．将△AOB绕顶点O，
第2页（共20页）按顺时针方向旋转到△A OB 处，此时线段OB 与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段
1 1 1
B D＝ cm．
1
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．（5分）解不等式组 ．
16．（6分）已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求证：∠B＝∠ANM．
17．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0 有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围； ①
（2）设方程 的两个实数根分别为x ，x ，当k＝1时，求x 2+x 2的值．
1 2 1 2
18．（6分）黄麻①中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每
本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用12000元购买的科普类图书
的本数与用9000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图
书平均每本的价格各是多少元？
19．（7分）我市东坡实验中学准备开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽
毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了 m名学生
（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．
第3页（共20页）根据以上统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ．
（2）补全上图中的条形统计图．
（3）若全校共有2000名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球．
（4）在抽查的m名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等10名学生喜欢羽毛球活动，学校打
算从小薇、小燕、小红、小梅这4名女生中，选取2名参加全市中学生女子羽毛球比赛，请
用列表法或画树状图法，求同时选中小红、小燕的概率．（解答过程中，可将小薇、小燕、小
红、小梅分别用字母A、B、C、D代表）
20．（7分）已知：如图，MN为 O的直径，ME是 O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂
足为点D，且ME平分∠DM⊙N． ⊙
求证：（1）DE是 O的切线；
（2）ME2＝MD•M⊙N．
21．（7分）已知：如图，一次函数y＝﹣2x+1与反比例函数y＝ 的图象有两个交点A（﹣1，
m）和B，过点A作AE⊥x轴，垂足为点E；过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，且点D的坐标
为（0，﹣2），连接DE．
（1）求k的值；
（2）求四边形AEDB的面积．
第4页（共20页）22．（8分）在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD（如图所示），已
知标语牌的高AB＝5m，在地面的点E处，测得标语牌点A的仰角为30°，在地面的点F处，
测得标语牌点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．
（计算结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
23．（12分）某电子科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市
场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4
元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所
示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种
电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上
一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）
（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）求出第一年这种电子产品的年利润（s 万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第
一年年利润的最大值．
（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取得最大值时进行销售，现根
据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上
（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销售价格x
（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围．
第5页（共20页）24．（14分）已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝
3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从
点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P、点Q的运动时间
为t（s）．
（1）当t＝1s时，求经过点O，P，A三点的抛物线的解析式；
（2）当t＝2s时，求tan∠QPA的值；
（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM＝2AM时，求t（s）的值；
（4）连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S
与t的函数关系式．
第6页（共20页）2017年湖北省黄冈市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共6小题，第小题3分，共18分．每小题给出的4个选项中，有且只有一个
答案是正确的）
1．【分析】利用绝对值的性质可得结果．
【解答】解：|﹣ |＝ ，
故选：A．
【点评】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的非负性是解答此题的关键．
2．【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝m2+6m+9，不符合题意；
C、原式＝x3y6，不符合题意；
D、原式＝a5，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．【分析】根据平行线的性质，即可得到∠1+∠2+∠3＝180°，再根据∠2＝∠3，∠1＝50°，即
可得出∠2的度数．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1+∠2+∠3＝180°，
又∵∠2＝∠3，∠1＝50°，
∴50°+2∠2＝180°，
∴∠2＝65°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
4．【分析】根据2个相同的长方形视图可得到所求的几何体是柱体，锥体，还是球体，进而由
第3个视图可得几何体的名称．
【解答】解：主视图和左视图是长方形，那么该几何体为柱体，第三个视图为圆，那么这个
柱体为圆柱．
故选：D．
第7页（共20页）【点评】考查由三视图判断几何体；用到的知识点为：若三视图里有两个是长方形，那么该
几何体是柱体．
5．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均
数）为中位数．
【解答】解：10个数，处于中间位置的是13和13，因而中位数是：（13+13）÷2＝13．
故选：B．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一
定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间
的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．
6．【分析】先根据垂径定理得出 ＝ ，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵OA⊥BC，∠AOB＝70°，
∴ ＝ ，
∴∠ADC＝ ∠AOB＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵42＝16，
∴ ＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．
8．【分析】原式提取m，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝m（n2﹣2n+1）＝m（n﹣1）2，
故答案为：m（n﹣1）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题
的关键．
9．【分析】先将二次根式化简即可求出答案．
【解答】解：原式＝3 ﹣6× ＝3 ﹣2 ＝
故答案为：
第8页（共20页）【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属
于基础题型．
10．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：25000000＝2.5×107．
故答案为：2.5×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．【分析】首先计算括号內的加法，然后计算乘法即可化简．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）•
＝ •
＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了分式的化简，熟练掌握混合运算法则是解本题的关键．
12．【分析】根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性
质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE
的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°．
∵等边三角形ADE，
∴AD＝AE，∠DAE＝∠AED＝60°．
∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+60°＝150°，
AB＝AE，
∠AEB＝∠ABE＝（180°﹣∠BAE）÷2＝15°，
∠BED＝∠DEA﹣∠AEB＝60°﹣15°＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了正方形的性质和等边三角形的性质，先求出∠BAE的度数，再求出
∠AEB，最后求出答案．
13．【分析】首先利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积＝ ×底面半径×母
第9页（共20页）
π线长，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：∵圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，
∴勾股定理得圆锥的母线长为13cm，
∴圆锥的侧面积＝ ×13×5＝65 cm2．
故答案为：65 ． π π
【点评】本题π考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．
14．【分析】先在直角△AOB中利用勾股定理求出AB＝ ＝5cm，再利用直角三角
形斜边上的中线等于斜边的一半得出OD＝ AB＝2.5cm．然后根据旋转的性质得到OB
1
＝OB＝4cm，那么B D＝OB ﹣OD＝1.5cm．
1 1
【解答】解：∵在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm，
∴AB＝ ＝5cm，
∵点D为AB的中点，
∴OD＝ AB＝2.5cm．
∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A OB 处，
1 1
∴OB ＝OB＝4cm，
1
∴B D＝OB ﹣OD＝1.5cm．
1 1
故答案为1.5．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连
线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半的性质以及勾股定理．
三、解答题（共10小题，满分78分）
第10页（共20页）15．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：解不等式 ，得x＜1．
解不等式 ，得x≥0，①
故不等式②组的解集为0≤x＜1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；
大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．【分析】要证明∠B＝∠ANM，只要证明△BAD≌△NAM即可，根据∠BAC＝∠DAM，可以
得到∠BAD＝∠NAM，然后再根据题目中的条件即可证明△BAD≌△NAM，本题得以解
决．
【解答】证明：∵∠BAC＝∠DAM，∠BAC＝∠BAD+∠DAC，∠DAM＝∠DAC+∠NAM，
∴∠BAD＝∠NAM，
在△BAD和△NAM中，
，
∴△BAD≌△NAM（SAS），
∴∠B＝∠ANM．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求结论
需要的条件，利用三角形全等的性质解答．
17．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列不等式求解可得；
（2）将k＝1代入方程，由韦达定理得出x +x ＝﹣3，x x ＝1，代入到x 2+x 2＝（x +x ）2﹣
1 2 1 2 1 2 1 2
2x x 可得．
1 2
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4k2＝4k+1＞0，
解得：k＞﹣ ；
（2）当k＝1时，方程为x2+3x+1＝0，
∵x +x ＝﹣3，x x ＝1，
1 2 1 2
∴x 2+x 2＝（x +x ）2﹣2x x ＝9﹣2＝7．
1 2 1 2 1 2
【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握方程的根的情况与判别式的
值间的关系及韦达定理是解题的关键．
第11页（共20页）18．【分析】首先设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为
（x+5）元，根据题意可得等量关系：用12000元购进的科普类图书的本数＝用9000元购买
的文学类图书的本数，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】解：设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为（x+5）
元．
根据题意，得 ＝ ．
解得x＝15．
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
则科普类图书平均每本的价格为15+5＝20元，
答：文学类图书平均每本的价格为15元，科普类图书平均每本的价格为20元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，
列出方程，注意分式方程不要忘记检验．
19．【分析】（1）篮球30人占30%，可得总人数，由此可以计算出n；
（2）求出足球人数＝100﹣30﹣20﹣10﹣5＝35人，即可解决问题；
（3）用样本估计总体的思想即可解决问题．
（4）画出树状图即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意m＝30÷30%＝100，排球占 ＝5%，
∴n＝5，
故答案为100，5．
（2）足球＝100﹣30﹣20﹣10﹣5＝35人，
条形图如图所示，
第12页（共20页）（3）若全校共有2000名学生，该校约有2000× ＝400名学生喜爱打乒乓球．
（4）画树状图得：
∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，
∴P（B、C两人进行比赛）＝ ＝ ．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了概率公式．
20．【分析】（1）求出OE∥DM，求出OE⊥DE，根据切线的判定得出即可；
（2）连接EN，求出∠MDE＝∠MEN，求出△MDE∽△MEN，根据相似三角形的判定得出
即可．
【解答】证明：（1）∵ME平分∠DMN，
∴∠OME＝∠DME，
∵OM＝OE，
∴∠OME＝∠OEM，
∴∠DME＝∠OEM，
∴OE∥DM，
∵DM⊥DE，
∴OE⊥DE，
∵OE过O，
∴DE是 O的切线；
⊙
第13页（共20页）（2）
连接EN，
∵DM⊥DE，MN为 O的直径，
∴∠MDE＝∠MEN＝⊙90°，
∵∠NME＝∠DME，
∴△MDE∽△MEN，
∴ ＝ ，
∴ME2＝MD•MN
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合
运用知识点进行推理是解此题的关键．
21．【分析】（1）根据一次函数y＝﹣2x+1的图象经过点A（﹣1，m），即可得到点A的坐标，再
根据反比例函数y＝ 的图象经过A（﹣1，3），即可得到k的值；
（2）先求得AC＝3﹣（﹣2）＝5，BC＝ ﹣（﹣1）＝ ，再根据四边形AEDB的面积＝
△ABC的面积﹣△CDE的面积进行计算即可．
【解答】解：（1）如图所示，延长AE，BD交于点C，则∠ACB＝90°，
∵一次函数y＝﹣2x+1的图象经过点A（﹣1，m），
∴m＝2+1＝3，
∴A（﹣1，3），
∵反比例函数y＝ 的图象经过A（﹣1，3），
∴k＝﹣1×3＝﹣3；
（2）∵BD⊥y轴，垂足为点D，且点D的坐标为（0，﹣2），
∴令y＝﹣2，则﹣2＝﹣2x+1，
第14页（共20页）∴x＝ ，即B（ ，﹣2），
∴C（﹣1，﹣2），
∴AC＝3﹣（﹣2）＝5，BC＝ ﹣（﹣1）＝ ，
∴四边形AEDB的面积＝△ABC的面积﹣△CDE的面积
＝ AC×BC﹣ CE×CD
＝ ×5× ﹣ ×2×1
＝ ．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是掌握：反比
例函数与一次函数交点坐标同时满足反比例函数与一次函数解析式．
22．【分析】如图作FH⊥AE于H．由题意可知∠HAF＝∠HFA＝45°，推出AH＝HF，设AH＝
HF＝x，则EF＝2x，EH＝ x，在Rt△AEB中，由∠E＝30°，AB＝5米，推出AE＝2AB＝10
米，可得x+ x＝10，解方程即可．
【解答】解：如图作FH⊥AE于H．由题意可知∠HAF＝∠HFA＝45°，
∴AH＝HF，设AH＝HF＝x，则EF＝2x，EH＝ x，
在Rt△AEB中，∵∠E＝30°，AB＝5米，
∴AE＝2AB＝10米，
∴x+ x＝10，
∴x＝5 ﹣5，
∴EF＝2x＝10 ﹣10≈7.3米，
答：E与点F之间的距离为7.3米．
第15页（共20页）【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、锐角三角函数、等腰直角三角形
的性质、一元一次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建方程解决问题．
23．【分析】（1）依据待定系数法，即可求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）分两种情况进行讨论，当x＝8时，s ＝﹣80；当x＝16时，s ＝﹣16；根据﹣16＞﹣
max max
80，可得当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元．
（3）根据第二年的年利润s＝（x﹣4）（﹣x+28）﹣16＝﹣x2+32x﹣128，令s＝103，可得方程
103＝﹣x2+32x﹣128，解得x ＝11，x ＝21，然后在平面直角坐标系中，画出s与x的函数
1 2
图象，根据图象即可得出销售价格x（元/件）的取值范围．
【解答】解：（1）当4≤x≤8时，设y＝ ，将A（4，40）代入得k＝4×40＝160，
∴y与x之间的函数关系式为y＝ ；
当8＜x≤28时，设y＝k'x+b，将B（8，20），C（28，0）代入得，
，解得 ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+28，
综上所述，y＝ ；
（2）当4≤x≤8时，s＝（x﹣4）y﹣160＝（x﹣4）• ﹣160＝﹣ ，
∵当4≤x≤8时，s随着x的增大而增大，
∴当x＝8时，s ＝﹣ ＝﹣80；
max
当8＜x≤28时，s＝（x﹣4）y﹣160＝（x﹣4）（﹣x+28）﹣160＝﹣（x﹣16）2﹣16，
∴当x＝16时，s ＝﹣16；
max
∵﹣16＞﹣80，
∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元．
第16页（共20页）（3）∵第一年的年利润为﹣16万元，
∴16万元应作为第二年的成本，
又∵x＞8，
∴第二年的年利润s＝（x﹣4）（﹣x+28）﹣16＝﹣x2+32x﹣128，
令s＝103，则103＝﹣x2+32x﹣128，
解得x ＝11，x ＝21，
1 2
在平面直角坐标系中，画出s与x的函数示意图可得：
观察示意图可知，当s≥103时，11≤x≤21，
∴当11≤x≤21时，第二年的年利润s不低于103万元．
【点评】本题主要考查了反比例函数与二次函数的综合应用，在商品经营活动中，经常会
遇到求最大利润，最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析
式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义；解题时注意，依
据函数图象可得函数关系式为分段函数，解决问题时需要运用分类思想以及数形结合思
想进行求解．
24．【分析】（1）可求得P点坐标，由O、P、A的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）当t＝2s时，可知P与点B重合，在Rt△ABQ中可求得tan∠QPA的值；
（3）用t可表示出BP和AQ的长，由△PBM∽△QAM可得到关于t的方程，可求得t的值；
（4）当点Q在线段OA上时，S＝S△CPQ ；当点Q在线段OA上，且点P在线段CB的延长线
上时，由相似三角形的性质可用t表示出AM的长，由S＝S四边形BCQM ＝S矩形OABC ﹣S△COQ
﹣S△AMQ ，可求得S与t的关系式；当点Q在OA的延长线上时，设CQ交AB于点M，利用
△AQM∽△BCM可用t表示出AM，从而可表示出BM，S＝S△CBM ，可求得答案．
第17页（共20页）【解答】解：
（1）当t＝1s时，则CP＝2，
∵OC＝3，四边形OABC是矩形，
∴P（2，3），且A（4，0），
∵抛物线过原点O，
∴可设抛物线解析式为y＝ax2+bx，
∴ ，解得 ，
∴过O、P、A三点的抛物线的解析式为y＝﹣ x2+3x；
（2）当t＝2s时，则CP＝2×2＝4＝BC，即点P与点B重合，OQ＝2，如图1，
∴AQ＝OA﹣OQ＝4﹣2＝2，且AP＝OC＝3，
∴tan∠QPA＝ ＝ ；
（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，则可知点Q在线段OA上，点P在线段CB的延长
线上，如图2，
则CP＝2t，OQ＝t，
∴BP＝PC﹣CB＝2t﹣4，AQ＝OA﹣OQ＝4﹣t，
第18页（共20页）∵PC∥OA，
∴△PBM∽△QAM，
∴ ＝ ，且BM＝2AM，
∴ ＝2，解得t＝3，
∴当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM＝2AM时，t为3s；
（4）当0≤t≤2时，如图3，
由题意可知CP＝2t，
∴S＝S△PCQ ＝ ×2t×3＝3t；
当2＜t≤4时，设PQ交AB于点M，如图4，
由题意可知PC＝2t，OQ＝t，则BP＝2t﹣4，AQ＝4﹣t，
同（3）可得 ＝ ＝ ，
∴BM＝ •AM，
∴3﹣AM＝ •AM，解得AM＝ ，
第19页（共20页）∴S＝S四边形BCQM ＝S矩形OABC ﹣S△COQ ﹣S△AMQ ＝3×4﹣ ×t×3﹣ ×（4﹣t）× ＝24﹣
﹣3t；
当t＞4时，设CQ与AB交于点M，如图5，
由题意可知OQ＝t，AQ＝t﹣4，
∵AB∥OC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得AM＝ ，
∴BM＝3﹣ ＝ ，
∴S＝S△BCM ＝ ×4× ＝ ；
综上可知S＝ ．
【点评】本题为二次函数与四边形的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、相似三角形
的判定和性质、三角函数的定义、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得P点坐
标是解题的关键，在（2）中确定P、B重合是解题的关键，在（3）中由相似三角形的性质得
到关于t的方程是解题的关键，在（4）中确定出P、Q的位置，从而确定出S为哪一部分图
形的面积是解题的关键．本题为“运动型”问题，用t和速度表示出相应线段的长度，化
“动”为“静”是解这类问题的一般思路．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最
后一问，情况较多，难度较大．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/9/5 17:28:33；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
第20页（共20页）
