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试卷总评
2012年高考重庆卷数学文理科的特点是"稳中有降、梯度合理、试题亲切、背景公平"。
稳中有降：
[来源:学科网]
1、整份试题继承了去年试题的框架结构，全面考查了《考试大纲》各部分的内容，
函数、三角函数、不等式、数列、圆锥曲线等仍是稳定的主干考点；
2、客观题（选择、填空）的压轴题都较往年降低了难度，连接解答题的难度也略低于
往年，试题面向全体考生，体现了向新课改主干知识平稳过渡。
梯度合理：
整份试题层次分明，问题设置科学、合理，对数学基础、数学水平、数学能力不同的
学生有着较好的区分度，部分试题设计巧妙，能考察学生综合分析以及继续学习的潜能，
不仅有利于优秀学生的发挥，也有利于数学中等生取得满意的成绩。
试题亲切：全卷试题表述清晰、富有数学美感，考生审题无文字障碍；淡化特殊技巧，
回归常态，运算量适中；试题紧扣教材，对高中主干知识考察的明晰且突出，经典数学问
题的重构与改编所考察的数学思想与方法体现出了命题者的匠心独用。
背景公平：
全卷无偏、难、怪、繁的试题，体现数学应用意识的一些题目选材自然、具有生活体
验，如学生轮流投篮胜负的探讨、学校课表安排等题目，这些题目对城乡学生的审题、分
析以至于解题过程均体现出公平的认知背景，同时也较好地体现了新课改中数学文化的渗
透。
值得一提的是，命题者注重文理科差异，命题具有针对性。(21道试题中有9道是同
源题目，其他均采用了不同的试题，考察体现了文理科学生的数学学习能力差异)
总之，整份试题应该说是一份对如何考查双基内容作出了完美的诠释的试题，不仅是
一份有利于高校选拔人才的试卷，更对高中数学课堂教学改革起到了风向标的引领作用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
（1）命题“若p则q”的逆命题是
[来源:学#科#网]
（A）若q则p （B）若 p则 q
（C）若 则 （D）若p则
[来源:Z§xx§k.Com]
【答案】：A
第1页 | 共13页【解析】：根据原命题与逆命题的关系可得：“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”故
选A．
【考点定位】本题主要考查四种命题之间的关系．
（2）不等式 的解集是为
（A） （B） （C）（-2，1）（D） ∪
（3）设A，B为直线 与圆 的两个交点，则
（A）1 （B） （C） （D）2
（4） 的展开式中 的系数为
（A）-270 （B）-90 （C）90 （D）270
（5）
（A） （B） （C） （D）
第2页 | 共13页【答案】：C
【解析】：
【考点定位】本题考查三角恒等变化，其关键是利用
（6）设 ，向量 且 ，则
（A） （B） （C） （D）
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
（7）已知 ， ， 则a,b,c的大小关系
是
（A） （B） （C） （D）
【答案】：
【解析】： ，
， 则
【考点定位】本题考查对数函数运算．
（8）设函数 在 上可导，其导函数 ，且函数 在 处取得极小值，
第3页 | 共13页则函数 的图象可能是
【答案】：C
【解析】：由函数 在 处取得极小值可知 ， ，则 ；
， 则 时 ， 时
【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题．
（9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1， 和 且长为 的棱与长为 的棱异
面，则 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】：A
【解析】： ， ，
，
【考点定位】本题考查棱锥的结构特征，考查空间
想象能力，极限思想的应用，是中档题．．
（10）设函数 集合
则 为
（A） （B）（0，1） （C）（-1，1） （D）
[来源:学科网]
第4页 | 共13页二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。
（11）首项为1，公比为2的等比数列的前4项和
【答案】：15
【解析】：
【考点定位】本题考查等比数列的前n项和公式
（12）函数 为偶函数，则实数
第5页 | 共13页（14）设 为直线 与双曲线 左支的交点， 是左焦点，
垂直于 轴，则双曲线的离心率
【答案】：
【解析】：由 得 又 垂直于 轴，所以 则
第6页 | 共13页【考点定位】本题考查了双曲线的焦点、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方
程思想．
（15）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课
各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为 （用数
字作答）。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分））已知 为等差数列，
且 （Ⅰ）求数列 的通项公式；（Ⅱ）记 的前 项和为 ，
若 成等比数列，求正整数 的值。
【答案】：（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】：：（Ⅰ）设数列 的公差为d,由题意知 解得
第7页 | 共13页所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 因 成等比数列，
所以 从而 ，即
解得 或 （舍去），因此 。
17．（本小题满分13分）已知函数 在 处取得极值为
（1）求a、b的值；（2）若 有极大值28，求 在 上的最大值．
【答案】：（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】：：（Ⅰ）因 故 由于 在点
处取得极值
故有 即 ，化简得 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
令 ，得 当 时， 故 在 上为
增函数；
当 时， 故 在 上为减函数
当 时 ，故 在 上为增函数。
由此可知 在 处取得极大值 ， 在 处取得极小
值 由题设条件知 得 此时
， 因此 上 的最小值
第8页 | 共13页为
【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用．（1）
先对函数 进行求导，根据 =0， ，求出a，b的值．（1）根据
函数 =x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a，b的值，再令导数等
于0，求出极值点，判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右
正时有极小值．再代入原函数求出极大值和极小值．（2）列表比较函数的极值与端点函数
值的大小，端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值，端点函数值与极小值中最小的
为函数的最小值．
18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投球
3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的概率为 ，且各次投
篮互不影响。（Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率。
19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）设函数
第9页 | 共13页（其中 ）在 处取得最大值2，其图
象与轴的相邻两个交点的距离为 （I）求 的解析式； （II）求函数
的值域。
【答案】：（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】：（Ⅰ）由题设条件知 的周期 ，即 ，解得
因 在 处取得最大值2，所以 ，从而 ，
所以 ，又由 得
故 的解析式为
（Ⅱ）
因 ，且
故 的值域为
（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）已知直三棱柱
中， ， ， 为 的中点。（Ⅰ）求异面直线
和 的距离；（Ⅱ）若 ，求二面角
的平面角的余弦值。
【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】：（Ⅰ）如答（20）图1，因AC=BC，D为AB的中点，
第10页 | 共13页故CD AB。又直三棱柱中， 面 ，故 ，所以异面直线 和
AB的距离为
（Ⅱ）：由 故 面 ，从而 ，
故 为所求的二面角 的平面角。
因 是 在面 上的射影，又已知 由三垂线定理的逆定理得
从而 ， 都与 互余，因此 ，所以
≌ ，因此 得
从而
所以在 中，由余弦定理得
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
已知椭圆的中心为原点 ，长轴在
轴上，上顶点为 ，左、右焦点分别
为 ，线段 的中点分
别为 ，且△ 是面积为4
的直角三角形。（Ⅰ）求该椭圆的离心
率和标准方程；（Ⅱ）过 作直线交
椭圆于 ， ，求△ 的面积
第11页 | 共13页【答案】：（Ⅰ） + =1（Ⅱ）
【解析】：：（Ⅰ）如答（21）图，设所求椭圆的标准方程为 + =1（ ），
右焦点为 因 是直角三角形且 ，故 为直角，从
而 ，即 ，结合 得 。故 ，
所以离心率 ，在 中， 故
由题设条件 得 ，从而 因此所求 椭圆的的标准方程为：
+ =1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，由题意，直线 的倾斜角不为0，故可设直线
的方程为 ，代入椭圆方程 （*）设
则 是上面方程的两根，因此
又 ，所以
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