文档内容
2017 年湖南省邵阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）25的算术平方根是（ ）
A．5 B．±5 C．﹣5 D．25
2．（3分）如图所示，已知AB∥CD，下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4
3．（3分）3﹣π的绝对值是（ ）
A．3﹣π B．π﹣3 C．3 D．π
4．（3分）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）函数y=√x-5中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3 分）如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为
120°，为使管道对接，另一侧铺设的角度大小应为（ ）
A．120° B．100° C．80° D．60°
7．（3分）如图所示，边长为a的正方形中阴影部分的面积为（ ）
第1页（共25页）a
A．a2﹣π（ ）2 B．a2﹣πa2 C．a2﹣πa D．a2﹣2πa
2
8．（3分）“救死扶伤”是我国的传统美德，某媒体就“老人摔倒该不该扶”进行了调
查，将得到的数据经统计分析后绘制成如图所示的扇形统计图，根据统计图判断下列说
法，其中错误的一项是（ ）
A．认为依情况而定的占27%
B．认为该扶的在统计图中所对应的圆心角是234°
C．认为不该扶的占8%
D．认为该扶的占92%
9．（3分）如图所示的函数图象反映的过程是：小徐从家去菜地浇水，又去玉米地除草，
然后回家，其中x表示时间，y表示小徐离他家的距离．读图可知菜地离小徐家的距离为
（ ）
A．1.1千米 B．2千米 C．15千米 D．37千米
10．（3分）如图所示，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，某时刻在坐标系中的坐标分别
为（﹣1，1），（﹣3，1），（﹣1，﹣1），30秒后，飞机P飞到P′（4，3）位置，则
飞机Q，R的位置Q′，R′分别为（ ）
第2页（共25页）A．Q′（2，3），R′（4，1） B．Q′（2，3），R′（2，1）
C．Q′（2，2），R′（4，1） D．Q′（3，3），R′（3，1）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）将多项式mn2+2mn+m因式分解的结果是 ．
12．（3分）2016年，我国又有1240万人告别贫困，为世界脱贫工作作出了卓越贡献，将
1240万用科学记数法表示为a×10n的形式，则a的值为 ．
13．（3分）若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是 ．（写一个即可）
14．（3分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的
秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角
√1 a2+b2-c2
形的面积为S= [a2b2-( ) 2 ]，现已知△ABC的三边长分别为 1，2，√5，则
4 2
△ABC的面积为 ．
15．（3分）如图所示的正六边形ABCDEF，连结FD，则∠FDC的大小为 ．
第3页（共25页）16．（3分）如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图：
①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE；
1
②分别以D，E为圆心，以大于 DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；
2
③作射线OC．
则∠AOC的大小为 ．
17．（3分）掷一枚硬币两次，可能出现的结果有四种，我们可以利用如图所示的树状图
来分析有可能出现的结果，那么掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的概率是 ．
18．（3分）如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地
面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B点，此时仰角是
45°，则火箭在这n秒中上升的高度是 km．
第4页（共25页）三、解答题（本大题共8小题，共66分）
1
19．（8分）计算：4sin60°﹣（ ）﹣1﹣√12．
2
20．（8分）如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC=∠OCB．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．
21．（8分）先化简，再在﹣3，﹣1，0，√2，2中选择一个合适的x值代入求值．
x2 x2-9 x
• + ．
x+3 x2-2x x-2
22．（8分）为提高节水意识，小申随机统计了自己家7天的用水量，并分析了第3天的用
水情况，将得到的数据进行整理后，绘制成如图所示的统计图．（单位：升）
第5页（共25页）（1）求这7天内小申家每天用水量的平均数和中位数；
（2）求第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比；
（3）请你根据统计图中的信息，给小申家提出一条合理的节约用水建议，并估算采用你的
建议后小申家一个月（按30天计算）的节约用水量．
23．（8分）某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5
辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．
（1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；
（2）由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总
数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．
24．（8分）如图所示，直线DP和圆O相切于点C，交直线AE的延长线于点P，过点C作
AE的垂线，交AE于点F，交圆O于点B，作平行四边形ABCD，连接BE，DO，CO．
（1）求证：DA=DC；
（2）求∠P及∠AEB的大小．
第6页（共25页）25．（8分）如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长
线分别相交于点M，N．
【问题引入】
AM 1 CN
（1）若点O是AC的中点， ，求 的值；
BM 3 BN
温馨提示：过点A作MN的平行线=交BN的延长线于点G．
【探索研究】
AM BN CO
（2）若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证： • • =1；
MB NC OA
【拓展应用】
（3）如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，
AF 1 BD 1 AE
E，F，若 ， ，求 的值．
BF 3 CD 2 CE
= =
第7页（共25页）1 9
26．（10分）如图所示，顶点为（ ，﹣ ）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）．
2 4
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是
k
直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y= （k＞0）图象上一点，若以
x
点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．
第8页（共25页）2017 年湖南省邵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2017•邵阳）25的算术平方根是（ ）
A．5 B．±5 C．﹣5 D．25
【考点】22：算术平方根．菁优网版权所有
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：∵52=25，
∴25的算术平方根是5．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关
键．
2．（3分）（2017•邵阳）如图所示，已知AB∥CD，下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4
【考点】JA：平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠4，
故选C．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．（3分）（2017•邵阳）3﹣π的绝对值是（ ）
A．3﹣π B．π﹣3 C．3 D．π
【考点】28：实数的性质；15：绝对值．菁优网版权所有
【分析】直接利用绝对值的定义分析得出答案．
【解答】解：∵3﹣π＜0，
∴|3﹣π|=π﹣3．
故选B．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握定义是解题关键．
4．（3分）（2017•邵阳）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U1：简单几何体的三视图．菁优网版权所有
第9页（共25页）【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：A、的主视图是圆，故A符合题意；
B、的主视图是矩形，故B不符合题意；
C、的主视图是三角形，故C不符合题意；
D、的主视图是正方形，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．
5．（3分）（2017•邵阳）函数y=√x-5中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；E4：函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解，然后在数轴上表示即可．
【解答】解：由题意得，x﹣5≥0，
解得x≥5．
在数轴上表示如下：
故选B．
【点评】本题考查了函数自变量的范围及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是从三
个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑
分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
6．（3分）（2017•邵阳）如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设
的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺设的角度大小应为（ ）
A．120° B．100° C．80° D．60°
【考点】JA：平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补解答．
【解答】解：∵铺设的是平行管道，
∴另一侧的角度为180°﹣120°=60°（两直线平行，同旁内角互补）．
故选D．
【点评】本题考查了两直线平行，同旁内角互补的性质，熟记性质是解题的关键．
7．（3分）（2017•邵阳）如图所示，边长为a的正方形中阴影部分的面积为（ ）
第10页（共25页）a
A．a2﹣π（ ）2 B．a2﹣πa2 C．a2﹣πa D．a2﹣2πa
2
【考点】32：列代数式．菁优网版权所有
【分析】根据图形可知阴影部分的面积是正方形的面积减去直径为a的圆的面积，本题得
以解决．
【解答】解：由图可得，
a
阴影部分的面积为：a2﹣π⋅( ) 2 ，
2
故选A．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
8．（3分）（2017•邵阳）“救死扶伤”是我国的传统美德，某媒体就“老人摔倒该不该
扶”进行了调查，将得到的数据经统计分析后绘制成如图所示的扇形统计图，根据统计图
判断下列说法，其中错误的一项是（ ）
A．认为依情况而定的占27%
B．认为该扶的在统计图中所对应的圆心角是234°
C．认为不该扶的占8%
D．认为该扶的占92%
【考点】VB：扇形统计图．菁优网版权所有
【分析】根据百分比和圆心角的计算方法计算即可．
【解答】解：认为依情况而定的占27%，故A正确；
认为该扶的在统计图中所对应的圆心角是65%×360°=234°，故B正确；
认为不该扶的占1﹣27%﹣65%=8%，故C正确；
认为该扶的占65%，故D错误；
故选D．
【点评】本题考查了扇形统计图，掌握百分比和圆心角的计算方法是解题的关键．
9．（3分）（2017•邵阳）如图所示的函数图象反映的过程是：小徐从家去菜地浇水，又
去玉米地除草，然后回家，其中x表示时间，y表示小徐离他家的距离．读图可知菜地离
小徐家的距离为（ ）
第11页（共25页）A．1.1千米 B．2千米 C．15千米 D．37千米
【考点】E6：函数的图象．菁优网版权所有
【分析】小徐第一个到达的地方应是菜地，也应是第一次路程不再增加的开始，所对应的
时间为15分，路程为1.1千米．
【解答】解：由图象可以看出菜地离小徐家1.1千米，
故选：A．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义
是解题关键．
10．（3分）（2017•邵阳）如图所示，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，某时刻在坐标系
中的坐标分别为（﹣1，1），（﹣3，1），（﹣1，﹣1），30秒后，飞机P飞到P′（4，
3）位置，则飞机Q，R的位置Q′，R′分别为（ ）
A．Q′（2，3），R′（4，1） B．Q′（2，3），R′（2，1） C ． Q′ （ 2 ， 2 ） ，
R′（4，1） D．Q′（3，3），R′（3，1）
【考点】D3：坐标确定位置．菁优网版权所有
【分析】由点P（﹣1，1）到P′（4，3）知，编队需向右平移5个单位、向上平移2个单
位，据此可得．
【解答】解：由点P（﹣1，1）到P′（4，3）知，编队需向右平移5个单位、向上平移2
个单位，
∴点Q（﹣3，1）的对应点Q′坐标为（2，3），点R（﹣1，﹣1）的对应点R′（4，
1），
故选：A．
【点评】本题考查了坐标确定位置，熟练掌握在平面直角坐标系确定点的坐标是解题的关
键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2017•邵阳）将多项式mn2+2mn+m因式分解的结果是 m （ n+ 1 ） 2 ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
第12页（共25页）【分析】根据提公因式法、公式法，可得答案．
【解答】解：原式=m（n2+2n+1）=m（n+1）2，
故答案为：m（n+1）2．
【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式、完全平方公式是解题关键．
12．（3分）（2017•邵阳）2016年，我国又有1240万人告别贫困，为世界脱贫工作作出
了卓越贡献，将1240万用科学记数法表示为a×10n的形式，则a的值为 1.2 4 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值是易错点，由于1240万有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．
【解答】解：1240万=1.24×107，
故a=1.24．
故答案为：1.24．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
13．（3分）（2017•邵阳）若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是 ﹣ 1 ．
（写一个即可）
【考点】H3：二次函数的性质．菁优网版权所有
【分析】根据二次项系数小于0，二次函数图象开口向下解答．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，
∴a＜0，
∴a的值可能是﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，是基础题，需熟记．
14．（3分）（2017•邵阳）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，
给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为 a，b，
√1 a2+b2-c2
c，则该三角形的面积为S= [a2b2-( ) 2 ]，现已知△ABC的三边长分别为1，
4 2
2，√5，则△ABC的面积为 1 ．
第13页（共25页）【考点】7B：二次根式的应用．菁优网版权所有
【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为1，2，√5的面积，从而可
以解答本题．
√1 a2+b2-c2
【解答】解：∵S= [a2b2-( ) 2 ]，
4 2
∴△ABC的三边长分别为1，2，√5，则△ABC的面积为：
√1 12+22-(√5) 2
S= [12×22-( ) 2 ]=1，
4 2
故答案为：1．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式
解答．
15．（3分）（2017•邵阳）如图所示的正六边形 ABCDEF，连结FD，则∠FDC的大小为
90° ．
【考点】L3：多边形内角与外角．菁优网版权所有
【分析】首先求得正六边形的内角的度数，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在正六边形ABCDEF中，∠E=∠EDC=120°，
∵EF=DE，
∴∠EDF=∠EFD=30°，
∴∠FDC=90°，
故答案为：90°
【点评】此题考查了正多边形和圆．等腰三角形的性质，此题难度不大，注意数形结合思
想的应用．
16．（3分）（2017•邵阳）如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图：
①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE；
1
②分别以D，E为圆心，以大于 DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；
2
③作射线OC．
则∠AOC的大小为 20° ．
第14页（共25页）【考点】N2：作图—基本作图．菁优网版权所有
【分析】直接根据角平分线的作法即可得出结论．
【解答】解：∵由作法可知，OC是∠AOB的平分线，
1
∴∠AOC= ∠AOB=20°．
2
故答案为：20°．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
17．（3分）（2017•邵阳）掷一枚硬币两次，可能出现的结果有四种，我们可以利用如图
所示的树状图来分析有可能出现的结果，那么掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的概
3
率是 ．
4
【考点】X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题．
【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出掷一枚硬币两次，至少有一次出
现正面的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的结果数为3，
3
所以掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的概率= ．
4
3
故答案为 ．
4
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概
率．
18．（3分）（2017•邵阳）如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A
第15页（共25页）点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B
点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是 （ 2 0√3 ﹣ 2 0 ） km．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【分析】分别在Rt△ALR，Rt△BLR中，求出AL、BL即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ARL中，
√3
∵LR=AR•cos30°=40× =20√3（km），AL=AR•sin30°=20（km），
2
在Rt△BLR中，∵∠BRL=45°，
∴RL=LB=20√3，
∴AB=LB﹣AL=（20√3﹣20）km，
故答案为（20√3﹣20）km．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题
的关键是熟练掌握锐角三角函数的概念解决问题．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
1
19．（8分）（2017•邵阳）计算：4sin60°﹣（ ）﹣1﹣√12．
2
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所
有
【分析】依据特殊锐角三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质进行解答即
可．
√3
【解答】解：原式=4× ﹣2﹣2√3
2
=2√3﹣2﹣2√3
=﹣2．
【点评】本题主要考查的是实数的运算，熟练掌握特殊锐角三角函数值、负整数指数幂的
性质、二次根式的性质是解题的关键．
20．（8分）（2017•邵阳）如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，
∠OBC=∠OCB．
第16页（共25页）（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．
【考点】LF：正方形的判定；L5：平行四边形的性质；LD：矩形的判定与性质．菁优网版
权所有
【专题】14 ：证明题．
【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，根据等角对等边可得
OB=OC，然后求出AC=BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明；
（2）根据正方形的判定方法添加即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：AB=AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形．
或：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判断，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握特殊四边
形的判定方法与性质是解题的关键．
21．（8分）（2017•邵阳）先化简，再在﹣3，﹣1，0，√2，2中选择一个合适的x值代
入求值．
x2 x2-9 x
• + ．
x+3 x2-2x x-2
【考点】6D：分式的化简求值．菁优网版权所有
【分析】根据分式的乘法和加法可以化简题目中的式子，然后在﹣3，﹣1，0，√2，2中选
第17页（共25页）择一个使得原分式有意义的x的值代入即可解答本题．
x2 x2-9 x
【解答】解： • +
x+3 x2-2x x-2
x2 (x+3)(x-3) x
= ⋅ +
x+3 x(x-2) x-2
x(x-3) x
= +
x-2 x-2
x2-3x+x
=
x-2
x(x-2)
=
x-2
=x，
当x=﹣1时，原式=﹣1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的化简求值的方法．
22．（8分）（2017•邵阳）为提高节水意识，小申随机统计了自己家7天的用水量，并分
析了第3天的用水情况，将得到的数据进行整理后，绘制成如图所示的统计图．（单位：
升）
（1）求这7天内小申家每天用水量的平均数和中位数；
（2）求第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比；
（3）请你根据统计图中的信息，给小申家提出一条合理的节约用水建议，并估算采用你的
建议后小申家一个月（按30天计算）的节约用水量．
【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VD：折线统计图；W2：加权平均数；
W4：中位数．菁优网版权所有
【分析】（1）根据平均数和中位数的定义求解可得；
（2）用洗衣服的水量除以第3天的用水总量即可得；
（3）根据条形图给出合理建议均可，如：将洗衣服的水留到冲厕所．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 这 7 天 内 小 申 家 每 天 用 水 量 的 平 均 数 为
815+780+800+785+790+825+805
=800（升），
7
将这7天的用水量从小到大重新排列为：780、785、790、800、805、815、825，
∴用水量的中位数为800升；
第18页（共25页）100
（2） ×100%=12.5%，
800
答：第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比为12.5%；
（3）小申家冲厕所的用水量较大，可以将洗衣服的水留到冲厕所，
采用以上建议，每天可节约用水100升，一个月估计可以节约用水100×30=3000升．
【点评】此题主要考查了统计图、平均数、中位数，关键是看懂统计表，从统计表中获取
必要的信息，熟练掌握平均数，中位数与众数的计算方法．
23．（8分）（2017•邵阳）某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用
6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．
（1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；
（2）由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总
数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．
【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）根据题意结合每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个以及师生共300人
参加一次大型公益活动，分别得出等式求出答案；
（2）根据（1）中所求，进而利用总人数为300+30，进而得出不等式求出答案．
【解答】解：（1）设每辆小客车的乘客座位数是x个，大客车的乘客座位数是y个，
{& y-x=17
根据题意可得： ，
&6 y+5x=300
{&x=18
解得： ，
& y=35
答：每辆小客车的乘客座位数是18个，大客车的乘客座位数是35个；
（2）设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则
18a+35（11﹣a）≥300+30，
4
解得：a≤3 ，
17
符合条件的a最大整数为3，
答：租用小客车数量的最大值为3．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出不
等关系是解题关键．
24．（8分）（2017•邵阳）如图所示，直线DP和圆O相切于点C，交直线AE的延长线于
点P，过点C作AE的垂线，交AE于点F，交圆O于点B，作平行四边形ABCD，连接BE，
DO，CO．
（1）求证：DA=DC；
（2）求∠P及∠AEB的大小．
第19页（共25页）【考点】MC：切线的性质；L5：平行四边形的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）欲证明DA=DC，只要证明Rt△DAO≌△Rt△DCO即可；
（2）想办法证明∠P=30°即可解决问题；
【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∵CB⊥AE，
∴AD⊥AE，
∴∠DAO=90°，
∵DP与⊙O相切于点C，
∴DC⊥OC，
∴∠DCO=90°，
在Rt△DAO和Rt△DCO中，
{&DO=DO
，
&AO=CO
∴Rt△DAO≌△Rt△DCO，
∴DA=DC．
（2）∵CB⊥AE，AE是直径，
1
∴CF=FB= BC，
2
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
1
∴CF= AD，
2
∵CF∥DA，
∴△PCF∽△PDA，
PC CF 1
∴ = = ，
PD DA 2
1 1
∴PC= PD，DC= PD，
2 2
∵DA=DC，
1
∴DA= PD，
2
在Rt△DAP中，∠P=30°，
∵DP∥AB，
∴∠FAB=∠P=30°，
∵AE是⊙O的直径，
第20页（共25页）∴∠ABE=90°，
∴∠AEB=60°．
【点评】本题考查切线的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角
形中30度角的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形
或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（8分）（2017•邵阳）如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与
AB，BC的延长线分别相交于点M，N．
【问题引入】
AM 1 CN
（1）若点O是AC的中点， = ，求 的值；
BM 3 BN
温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G．
【探索研究】
AM BN CO
（2）若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证： • • =1；
MB NC OA
【拓展应用】
（3）如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，
AF 1 BD 1 AE
E，F，若 = ， = ，求 的值．
BF 3 CD 2 CE
【考点】SO：相似形综合题．菁优网版权所有
BG AB NG AM
【分析】（1）作AG∥MN交BN延长线于点G，证△ABG∽△MBN得 = ，即 =
BN MB BN MB
NG AO CN NG AM
，同理由△ACG∽△OCN得 = ，结合AO=CO得NG=CN，从而由 = = 可得答
CN CO BN BN BM
案；
NG AM CO CN AM BN CO NG BN CN
（2）由 = 、 = 知 • • = • • =1；
BN MB AO NG MB NC OA BN NC NG
AF BC DP AE CB DP
（3）由（2）知，在△ABD中有 • • =1、在△ACD中有 • • =1，从而
BF CD PA EC BD PA
第21页（共25页）AF BC DP AE CB DP AE AF BC BD AF BD 1
• • = • • ，据此知 = • • = • = ．
BF CD PA EC BD PA EC BF CD CB FB CD 6
【解答】解：（1）过点A作AG∥MN交BN延长线于点G，
∴∠G=∠BNM，
又∠B=∠B，
∴△ABG∽△MBN，
BG AB
∴ = ，
BN MB
BG AB
∴ ﹣1= ﹣1，
BN MB
BG-BN AB-MB NG AM
∴ = ，即 = ，
BN MB BN MB
NG AO
同理，在△ACG和△OCN中， = ，
CN CO
CO CN
∴ = ，
AO NG
∵O为AC中点，
∴AO=CO，
∴NG=CN，
CN NG AM 1
∴ = = = ；
BN BN BM 3
NG AM CO CN
（2）由（1）知， = 、 = ，
BN MB AO NG
AM BN CO NG BN CN
∴ • • = • • =1；
MB NC OA BN NC NG
（3）在△ABD中，点P是AD上的一点，过点P的直线与AC、BD的延长线相交于点C，
AF BC DP
由（2）得 • • =1，
BF CD PA
在△ACD中，点P是AD上一点，过点P是AD上一点，过点P的直线与AC、AD的延长线分
别相交于点E、B，
AE CB DP
由（2）得 • • =1，
EC BD PA
AF BC DP AE CB DP
∴ • • = • • ，
BF CD PA EC BD PA
AE AF BC BD AF BD 1 1 1
∴ = • • = • = × = ．
EC BF CD CB FB CD 3 2 6
【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质及比例
式的基本性质是解题的关键．
1 9
26．（10分）（2017•邵阳）如图所示，顶点为（ ，﹣ ）的抛物线y=ax2+bx+c过点M
2 4
（2，0）．
第22页（共25页）（1）求抛物线的解析式；
（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是
k
直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y= （k＞0）图象上一点，若以
x
点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
1 9
【分析】（1）设抛物线方程为顶点式y=a（x﹣ ）2﹣ ，将点M的坐标代入求a的值即
2 4
可；
（2）设直线y=x+1与y轴交于点G，易求G（0，1）．则直角△AOG是等腰直角三角形
k
∠AGO=45°．点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），而k＞0，所以反比例函数y=
x
（k＞0）图象位于点一、三象限．故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能
有如下2种情况：
①此菱形以AB为边且AC也为边，②此菱形以AB为对角线，利用点的坐标与图形的性质，
勾股定理，菱形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征求得k的值即可．
1 9
【解答】解：（1）依题意可设抛物线方程为顶点式y=a（x﹣ ）2﹣ （a≠0），
2 4
1 9
将点M（2，0）代入可得：a（2﹣ ）2﹣ =0，
2 4
解得a=1．
1 9
故抛物线的解析式为：y=（x﹣ ）2﹣ ；
2 4
1 9
（2）由（1）知，抛物线的解析式为：y=（x﹣ ）2﹣ ．
2 4
1
则对称轴为x= ，
2
1
∴点A与点M（2，0）关于直线x= 对称，
2
∴A（1，0）．
令x=0，则y=﹣2，
∴B（0，﹣2）．
在直角△OAB中，OA=1，OB=2，则AB=√5．
设直线y=x+1与y轴交于点G，易求G（0，1）．
第23页（共25页）∴直角△AOG是等腰直角三角形，
∴∠AGO=45°．
k
∵点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），而k＞0，所以反比例函数y= （k＞0）图
x
象位于点一、三象限．
故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2种情况：
①此菱形以AB为边且AC也为边，如图1所示，
过点D作DN⊥y轴于点N，
在直角△BDN中，∵∠DBN=∠AGO=45°，
√5 √10
∴DN=BN= = ，
√2 2
√10 √10
∴D（﹣ ，﹣ ﹣2），
2 2
k
∵点D在反比例函数y= （k＞0）图象上，
x
√10 √10 5
∴k=﹣ ×（﹣ ﹣2）= +√10；
2 2 2
②此菱形以AB为对角线，如图2，
k
作AB的垂直平分线CD交直线y=x+1于点C，交反比例函数y= （k＞0）的图象于点D．
x
再分别过点D、B作DE⊥x轴于点F，BE⊥y轴，DE与BE相较于点E．
在直角△BDE中，同①可证∠AGO=∠DBO=∠BDE=45°，
∴BE=DE．
可设点D的坐标为（x，x﹣2）．
∵BE2+DE2=BD2，
∴BD=√2BE=√2x．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BD=√2x．
∴在直角△ADF中，AD2=AF2+DF2，即（√2x）=（x+1）2+（x﹣2）2，
5
解得x= ，
2
5 1
∴点D的坐标是（ ， ）．
2 2
k
∵点D在反比例函数y= （k＞0）图象上，
x
5 1 5
∴k= × = ，
2 2 4
5 5
综上所述，k的值是 +√10或 ．
2 4
第24页（共25页）【点评】本题考查了二次函数综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，勾股定
理，菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点．解答（2）题时要分类讨论，
以防漏解．
第25页（共25页）
