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题型五 函数图象与性质探究题
类型一 新函数性质探究
1. (2022荆州)小华同学学习函数知识后，对函数y＝通过列表、描点、连线，画出了如图①所示的图象．
x … －4 －3 －2 －1 － － － 0 1 2 3 4 …
y … 1 2 4 1 0 －4 －2 － －1 …
请根据图象解答：
(1)【观察发现】①写出函数的两条性质：______________________________________________________；
②若函数图象上的两点(x，y)，(x，y)满足x＋x＝0，则y＋y＝0一定成立吗？________；(填“一定”或
1 1 2 2 1 2 1 2
“不一定”)
(2【) 延伸探究】如图②，将过A(－1，4)，B(4，－1)两点的直线向下平移n个单位长度后，得到直线l与函数y＝
－(x≤－1)的图象交于点P，连接PA，PB.
①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；
②直接用含n· 的代数式表示△PAB的面积．
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第1题图
1 中考原创好题用2. (2021自贡)函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，
然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数y＝－的图象，并探究其性
质．
列表如下：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … a 0 b －2 － － …
(1)直接写出表中a，b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
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第2题图
(2)观察函数y＝－的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当－2≤x≤2时，函数图象关于直线y＝x对称；
②x＝2时，函数有最小值，最小值为－2；
③－1x的解集________．
2 中考原创好题用类型二 与几何图形结合的函数性质探究
3. (2022兰州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，M为AB边上一动点，BN⊥CM，垂足
为N.设A，M两点间的距离为x cm(0≤x≤5)，B，N两点间距离为y cm(当点M和B点重合时，B，N两点间的距
离为0).
第3题图①
小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，
请补充完整．
(1)列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，
分别得到了y与x的几组对应值：
x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0
请你通过计算，补全表格：a＝________；
(2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点(x，y)，并画出函数y关于x的图象；
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第3题图②
3 中考原创好题用(3)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：__________________________________；
(4)解决问题：当BN＝2AM时，AM的长度大约是________cm.(结果保留两位小数)
4. (2021金华)背景：点A在反比例函数y＝(k>0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，
BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图①，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3.
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
(1)求k的值；
(2)设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图②，小李画出了x>0时“Z函数”
的图象．
①求这个“Z函数”的表达式；
②补画x<0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质(两条即可)；
③过点(3，2)作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．
第4题图
4 中考原创好题用类型三 与实际问题结合的函数性质探究
5. (2021衢州)如图①，点C是半圆O的直径AB上一动点(不包括端点)，AB＝6 cm，过点C作CD⊥AB交半圆
于点D，连接AD，过点C作CE∥AD交半圆于点E，连接EB.牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小
关系．他根据学习函数的经验，记AC＝x cm，EC＝y cm，EB＝y cm.请你一起参与探究函数y、y 随自变量x
1 2 1 2
变化的规律．
通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图②中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了
不完整图象．
x … 0.30 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00 4.80 5.60 …
y … 2.01 2.98 3.46 3.33 2.83 2.11 1.27 0.38 …
1
y … 5.60 4.95 3.95 2.96 2.06 1.24 0.57 0.10 …
2
(1)当x＝3时，y＝________；
1
(2)在图②中画出函数y 的图象，并结合图象判断函数值y 与y 的大小关系；
2 1 2
(3)由(2)知“AC取某值时，由EC＝EB”，如图③，牛牛连接了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，
请你完成计算过程．
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5 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第5题图
6. (2020盐城)以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方
的问题1～4.
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，在探究三边关系时，通过画图、度量和计算，收集到一组数据如下表：
(单位：厘米)
AC 2.8 2.7 2.6 2.3 2.0 1.5 0.4
BC 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8
AC＋BC 3.2 3.5 3.8 3.9 4.0 3.9 3.2
(2)根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC＋BC的数据进行分析：
①设BC＝x，AC＋BC＝y，以(x，y)为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点；
②连线；
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6 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第6题图①
观察思考
(3)结合表中的数据以及所画的图象，猜想：当x＝________时，y最大；
(4)进一步猜想：若Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝2a(a为常数，a>0)，则BC＝________时，AC＋BC最大；
推理证明
(5)对(4)中的猜想进行证明．
问题1，在图①中完善(2)的描点过程，并依次连线；
问题2，补全观察思考中的两个猜想：(3)______；(4)________；
问题3，证明上述(5)中的猜想；
问题4，图②中折线B－E－F－G－A是一个感光元件的截面设计草图，其中点A、B间的距离是4厘米，AG
＝BE＝1厘米，∠E＝∠F＝∠G＝90°，平行光线从AB区域射入，∠BNE＝60°，线段FM、FN为感光区域，当
EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．
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题型六 二次函数性质综合题
类型一 纯性质综合
1. (2022绍兴)已知函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(0，－3)，(－6，－3).
7 中考原创好题用(1)求b，c的值；
(2)当－4≤x≤0时，求y的最大值；
(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
2. (2022杭州)设二次函数y＝2x2＋bx＋c(b，c是常数)的图象与x轴交于A，B两点．
1
(1)若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数y 的表达式及其图象的对称轴；
1
(2)若函数y 的表达式可以写成y＝2(x－h)2－2(h是常数)的形式，求b＋c的最小值；
1 1
(3)设一次函数y＝x－m(m是常数)，若函数y 的表达式还可以写成y＝2(x－m)(x－m－2)的形式，当函数y＝
2 1 1
y－y 的图象经过点(x，0)时，求x－m的值．
1 2 0 0
3. (2022北京)在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)，(3，n)在抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)上，设抛物线的对称轴
为x＝t.
(1)当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
(2)点(x，m)(x≠1)在抛物线上．若m0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C ，C 于点M，N.
1 2
①当MN＝6a时，求点P的坐标；
②当a－4≤x≤a－2时，C 的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
2
类型二 交点问题
7. (2021河南)如图，抛物线y＝x2＋mx与直线y＝－x＋b交于点A(2，0)和点B.
(1)求m和b的值；
(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2＋mx＞－x＋b的解集；
(3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N.若线段MN与抛物线只有一个公
共点，直接写出点M的横坐标x 的取值范围．
M
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1 0 中考原创好题用第7题图
8. (2021宜昌)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－(x＋4)(x－n)与x轴交于点A和点B(n，0)(n≥－4)，顶点坐标
1
记为(h，k).抛物线y＝－(x＋2n)2－n2＋2n＋9的顶点坐标记为(h，k).
1 1 2 2 2
(1)写出A点坐标；
(2)求k，k 的值(用含n的代数式表示)；
1 2
(3)当－4≤n≤4时，探究k 与k 的大小关系；
1 2
(4)经过点M(2n＋9，－5n2)和点N(2n，9－5n2)的直线与抛物线y＝－(x＋4)(x－n)，y＝－(x＋2n)2－n2＋2n＋9
1 2
的公共点恰好为3个不同点时，求n的值．
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第8题图
9. (2021长春)在平面直角坐标系中，抛物线y＝2(x－m)2＋2m(m为常数)的顶点为A.
(1)当m＝时，点A的坐标是________，抛物线与y轴交点的坐标是________；
(2)若点A在第一象限，且OA＝，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小
时x的取值范围；
(3)当x≤2m时，若函数y＝2(x－m)2＋2m的最小值为3，求m的值；
(4)分别过点P(4，2)，Q(4，2－2m)作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M，N.当抛物线y＝2(x－m)2＋2m与
四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若
点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值．
1 1 中考原创好题用INCLUDEPICTURE "D:\\1课件\\0. 2023\\2023版中考真题分类卷Word\\23大分类SX田倩185.tif" \*
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第9题图
类型三 整点问题
10. (2019河北)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y
＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D.
(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
(3)设x≠0，点(x，y)，(x，y)，(x，y)分别在l，a和L上，且y 是y，y 的平均数，求点(x，0)与点D间的距离；
0 0 1 0 2 0 3 3 1 2 0
(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019
和b＝2019.5时“美点”的个数．
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1 2 中考原创好题用MERGEFORMATINET
第10题图
参考答案
题型五 函数图象与性质探究题
1. 解：(1)①当x＞0或x≤－1时，y随x的增大而增大，当－1＜x≤0时，y随x的增大而减小(答案不唯一，符
合题意即可)；
②不一定；
(2)设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
将A(－1，4)，B(4，－1)代入，
得，解得.
∴直线AB的解析式为y＝－x＋3.
①当n＝3时，如解图，设AB交y轴于点E，连接OA，OB，直线l的解析式为y＝－x＋3－3＝－x，直线l过原
点O，
∵l∥AB，
∴S ＝S ＝S ＋S ＝×3×1＋×3×4＝；
△PAB △ABO △AEO △BEO
第1题解图
②S ＝n.
△PAB
【解法提示】∵AB＝＝5，P到AB的距离h＝n，∴S ＝×5×n＝n.
△PAB
2. (1)a＝2，b＝－，画出函数图象如解图①；
1 3 中考原创好题用第2题解图①
【解法提示】把x＝－2，y＝a代入y＝－中，得a＝－＝2；把x＝1，y＝b代入y＝－中，得b＝－＝－.
(2)②③；
【解法提示】①由函数图象可知，当－2≤x≤2时，函数图象关于原点对称，不关于直线y＝x对称，此命题错
误；②由函数图象可知，当x＝2时，函数有最小值，最小值为－2，此命题正确；③由函数图象可知，当－1＜x
＜1时，函数y的值随x的增大而减小，此命题正确．
(3)x＜－2或0＜x＜2.
【解法提示】如解图②，当x＜－2或0＜x＜2时，函数y＝的图象在直线y＝x的上方，∴不等式＞x的解集是x
＜－2或0＜x＜2.
第2题解图②
3. 解：(1)3.20；
(2)如解图①，即为所求作的图象；
第3题解图①
1 4 中考原创好题用(3)不断减小；
(4)1.67(1.50＜AM＜1.80均可).
【解法提示】如解图②，作函数y＝2x的图象与原函数图象交点的横坐标即为所求．
第3题解图②
4. 解：(1)由题意得，AB＝AD＝1，∴点A的坐标是(4，1)，
∴k＝4×1＝4；
(2)①设点A坐标为(x，)，
∴点D的横坐标为z＝x－.
∴这个“Z函数”表达式为z＝x－；
②画出的图象如解图：
第4题解图
性质如下(答案不唯一)：
(a)函数的图象是由两个分支组成的曲线．
(b)函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称．
(c)当x>0时，函数值z随自变量x的增大而增大；当x<0时，函数值z随自变量x的增大而增大．
③第一种情况，当过点(3，2)的直线与x轴垂直时，x＝3.
第二种情况，当过点(3，2)的直线与x轴不垂直时，设该直线的函数表达式为z′＝mx＋b(m≠0).
∴2＝3m＋b，即b＝－3m＋2，
∴z′＝mx－3m＋2.
由题意得，x－＝mx－3m＋2，
1 5 中考原创好题用∴x2－4＝mx2－3mx＋2x，
∴(m－1)x2＋(2－3m)x＋4＝0.
(a)当m＝1时，－x＋4＝0，解得x＝4；
(b)当m≠1时，b2－4ac＝(2－3m)2－4(m－1)×4＝9m2－28m＋20＝0，
解得m＝2，m＝；
1 2
当m＝2时，x2－4x＋4＝0，解得x＝x＝2；
1 1 2
当m＝时，x2－x＋4＝0，解得x＝x＝6；
2 1 2
综上所述，所求交点的横坐标为2，3，4，6.
5. 解：(1)3.00；(2.9至3.1都可以)
(2)函数y 的图象如解图①；
2
第5题解图①
当0＜x＜a时，y＜y；
1 2
当x＝a时，y＝y；
1 2
当x＞a时，y＞y；
1 2
(a的准确值为2，取1.9至2.1也给分)
(3)如解图②，连接OD，作EH⊥AB于点H，
∵DC⊥AB，AC＝2，OC＝1，OD＝3.
∴CD＝＝2.
设OH＝m，则CH＝1＋m，EH＝＝，
∵AD∥CE，∴∠DAC＝∠ECO，
又∵∠DCA＝∠EHC＝90°，
∴△DAC∽△ECH，∴＝，
∴＝，
∴m＝1或m＝－(舍去).
∴HC＝2，EH＝2.
∴EC＝＝2.
又∵HB＝2，
1 6 中考原创好题用∴EB＝EC＝2.
第5题解图
【一题多解】如解图③，连接BD交CE于点H，作OF⊥CE于点F，
∵AC＝2，AB＝6，∴BC＝4，OC＝1，
∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝∠ACD＝90°，
易得△ACD∽△DCB，则＝，即＝，
∴CD＝2，∴AD＝＝2.
∵AD∥CE，易得△ACD∽△CFO，BD⊥CE.
∴＝，OF＝，
∴OF＝，CF＝.
又∵OE＝3，
∴EF＝＝，
∴CE＝CF＋EF＝2.
∵∠HCB＝∠FCO，∠CFO＝∠CHB＝90°，
易得△COF∽△CBH.
∵＝＝＝＝，
∴CH＝4CF＝，BH＝4OF＝，
∴EH＝CE－CH＝，∴BE＝＝2，
∴BE＝CE.
6. 解：问题1：由题意描点、连线画函数图象如解图①；
第6题解图①
问题2：(3)2；
【解法提示】观察图象可知，x＝2时，y最大。
1 7 中考原创好题用(4)a；
问题3：
证明：设BC＝x，AC＋BC＝y，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
∴AC＝＝，
∴y＝x＋，
∴y－x＝，
整理得：y2－2xy＋x2＝4a2－x2，即2x2－2xy＋y2－4a2＝0.
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝4y2－4×2·(y2－4a2)≥0，
∴y2≤8a2，
∵y>0，a>0，∴y≤2a，
当y＝2a时，
2x2－4ax＋4a2＝0，
解得x＝x＝a，
1 2
∴当BC＝a时，AC＋BC有最大值．
问题4：
如解图②，延长AM交EF的延长线于点C，过点A作AH⊥EF于点H，过点B作BK⊥GF于点K，BK交AH
于点Q.
第6题解图②
在△BNE中，∠BNE＝60°，∠E＝90°，BE＝1 cm，
∴tan ∠BNE＝，即＝，
∴NE＝ cm，
∵AM∥BN，
∴∠C＝∠BNE＝60°，
又∵∠GFE＝90°，
∴∠CMF＝30°，
∴∠AMG＝30°，
1 8 中考原创好题用∵∠G＝90°，AG＝1 cm，∠AMG＝30°，
∴在Rt△AGM中，tan ∠AMG＝，即＝，
∴GM＝ cm，
∵∠G＝∠GFH＝90°，∠AHF＝90°，
∴四边形AGFH为矩形，
∴AH＝FG，
∵∠GFH＝∠E＝90°，∠BKF＝90°，
∴四边形BKFE为矩形，
∴BK＝FE.
∴FN＋FM＝EF＋FG－EN－GM＝BK＋AH－－＝BQ＋AQ＋QH＋QK－＝BQ＋AQ＋2－，
在Rt△ABQ中，AB＝4 cm，
由问题3可知，当BQ＝AQ＝2 cm时，AQ＋BQ的值最大，
此时EF＝(1＋2)cm.
∴当BQ＝AQ＝2时，FM＋FN最大值为(4＋2－)cm，
即当EF＝(1＋2)cm时，感光区域长度之和FM＋FN最大，最大值为(4＋2－)cm.
题型六 二次函数性质综合题
1. 解：(1)把(0，－3)，(－6，－3)代入y＝－x2＋bx＋c中，
得，
解得；
(2)由(1)得y＝－x2－6x－3＝－(x＋3)2＋6，
∵－4≤x≤0，
∴当x＝－3时，y有最大值为6；
(3)①当－3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值为－3，
当x＝m时，y有最大值为－m2－6m－3，
∴－m2－6m－3＋(－3)＝2，
∴m＝－2或m＝－4(舍去)；
②当m≤－3时，
当x＝－3时，y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y的最小值为－4，
1 9 中考原创好题用∴－(m＋3)2＋6＝－4，
∴m＝－3－或m＝－3＋(舍去).
综上所述，m＝－2或m＝－3－.
2. 解：(1)将A，B两点坐标代入y＝2x2＋bx＋c中，
1
得，解得，
∴函数y 的表达式为y＝2x2－6x＋4.
1 1
函数图象的对称轴是直线x＝－＝；
(2)由题意，整理得y＝2x2－4hx＋2h2－2，
1
∴b＋c＝－4h＋2h2－2＝2(h－1)2－4，
∴当h＝1时，b＋c的最小值是－4；
(3)由题意，得y＝y－y
1 2
＝2(x－m)(x－m－2)－(x－m)
＝(x－m)[2(x－m)－5]，
∵函数y的图象经过点(x，0)，
0
∴(x－m)[2(x－m)－5]＝0，
0 0
∴x－m＝0或x－m＝.
0 0
3. 解：(1)∵m＝n，
∴点(1，m)，(3，n)关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴t＝2；
∵c＝2，
∴当x＝0时，y＝2，
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，2)；
(2)由题意得，抛物线经过点(1，m)，(3，n)，(0，c)，
∵m1.5，
∴1.5－x＋b的解集为x<－1或x>2；
(3)－1≤x <2或x ＝3.
M M
【解法提示】如解图①，∵A(2，0)，B(－1，3)，∴当点M在AB线段上(不含点A)时，线段MN与抛物线只有一个
公共交点；如解图②，当线段MN经过抛物线顶点P时，线段MN与抛物线只有一个公共交点，∵P(1，－1)，
2 3 中考原创好题用∴点M的纵坐标为－1，∴x ＝3，综上所述，点M的横坐标x 的取值范围是－1≤x ＜2或x ＝3.
M M M M
第7题解图
8. 解：(1)∵y＝－(x＋4)(x－n)，令y＝0，即－(x＋4)(x－n)＝0，
1 1
∴x＝－4，x＝n.
1 2
∴A(－4，0)；
(2)y＝－(x＋4)(x－n)
1
＝－x2＋(n－4)x＋4n
＝－(x－)2＋n2＋2n＋4，
∴k＝n2＋2n＋4，
1
∵y＝－(x＋2n)2－n2＋2n＋9，
2
∴k＝－n2＋2n＋9；
2
(3)∵k＝n2＋2n＋4，k＝－n2＋2n＋9，
1 2
当k＝k 时，即n2＋2n＋4＝－n2＋2n＋9，
1 2
解得n＝－2或n＝2.
设y＝k－k＝n2－5.
1 2
由解图①可知：
第8题解图①
当－4≤n＜－2时，k＞k，
1 2
当－2＜n＜2时，k＜k，
1 2
当2＜n≤4时，k＞k，
1 2
当n＝－2或n＝2时，k＝k；
1 2
(4)设直线MN的解析式为y＝kx＋b，
2 4 中考原创好题用则，
由①－②得，k＝－1，
∴b＝－5n2＋2n＋9，
∴直线MN的解析式为y＝－x－5n2＋2n＋9.
第一种情况：如解图②.
当直线MN经过抛物线y，y 的交点时，
1 2
联立抛物线y ＝－x2＋(n－4)x＋4n与y ＝－x2－4nx－5n2＋2n＋9的解析式可得，(5n－4)x＝－5n2－2n＋
1 2
9③，
联立直线y＝－x－5n2＋2n＋9与抛物线y＝－x2－4nx－5n2＋2n＋9的解析式可得，x2＋(4n－1)x＝0，
2
解得x＝0，x＝1－4n，
1 2
当x＝0时，把x＝0代入y 得y＝4n，
1 1 1 1
把x＝0，y＝4n代入直线的解析式得4n＝－5n2＋2n＋9，
1 1
∴5n2＋2n－9＝0，
∴n＝，
此时直线MN与抛物线y，y 的公共点恰好为三个不同点．
1 2
当x＝1－4n时，把x＝1－4n代入③得，(5n－4)(1－4n)＝－5n2－2n＋9，
2 2
∵该方程判别式Δ＜0，
∴该方程没有实数根．
第二种情况：如解图③，
当直线MN与抛物线y＝－x2＋(n－4)x＋4n只有一个公共点时，
1
联立直线y＝－x－5n2＋2n＋9与抛物线y＝－x2＋(n－4)x＋4n可得，
1
∴－x2＋(n－3)x＋5n2＋2n－9＝0，
此时Δ＝0，即(n－3)2＋4(5n2＋2n－9)＝0，
∴21n2＋2n－27＝0，
∴n＝，
由第一种情况而知直线MN与抛物线y＝－x2－4nx－5n2＋2n＋9公共点的横坐标为x＝0，x＝1－4n，
2 1 2
当n＝时，1－4n≠0，
∴x≠x，
1 2
∴此时直线MN与抛物线y，y 的公共点恰好为三个不同点．
1 2
2 5 中考原创好题用图③
图④
第8题解图
第三种情况：如解图④，当直线MN与抛物线y＝－x2－4nx－5n2＋2n＋9只有一个公共点时，
2
∵x＝0，x＝1－4n，
1 2
∴n＝，
联立直线y＝－x－5n2＋2n＋9与抛物线y＝－x2＋(n－4)x＋4n，得－x2＋(n－3)x＋5n2＋2n－9＝0，
1
Δ＝(n－3)2＋4(5n2＋2n－9)＝21n2＋2n－27，
当n＝时，Δ＜0，
此时直线MN与抛物线y，y 的公共点只有一个，
1 2
∴n≠，
综上所述，n＝，n＝，n＝，n＝.
1 2 3 4
9. 解：(1)(，1)，(0，)；
【解法提示】当m＝时，抛物线的表达式为y＝2(x－)2＋1，∴顶点A的坐标为(，1)，令x＝0，得y＝2(0－)2＋1
＝，∴抛物线与y轴交点的坐标为(0，).
(2)由题意得，顶点A的坐标为(m，2m)，且m>0，
∵OA＝，∴m2＋(2m)2＝5.
解得m＝－1(舍去)，m＝1，
1 2
∴此抛物线所对应的二次函数的表达式为y＝2(x－1)2＋2，
∵2＞0，
∴当x≤1时，函数值y随x的增大而减小；
(3)当m＞0时，函数y＝2(x－m)2＋2m的最小值为2m＝3，解得m＝；
2 6 中考原创好题用当m<0时，函数y＝2(x－m)2＋2m的最小值为2m2＋2m＝3，
解得m＝，m＝(舍去).
1 2
综上所述，m的值为或；
(4)m的值为－3－或或.
【解法提示】如解图①，当m<0时，由点B到y轴距离与点C到x轴距离相等，得点B的坐标为(－2，2－2m).
得2(－2－m)2＋2m＝2－2m，解得m＝－3－，m＝－3＋(舍去)；如解图②，当m＞0时，点B的坐标为(2－
1 2
2m，2).∴2(2－2m－m)2＋2m＝2，解得m＝，m＝(舍去)；如解图③，当m＞0，点C在对称轴上时，点B的坐标
3 4
为(2m，2)，∴2(2m－m)2＋2m＝2，解得m＝(舍去)，m＝.综上所述，m的值为－3－或或.
5 6
第9题解图
10. 解：(1)∵直线a与y轴交于点B，
∴B(0，－b)，
∵AB＝8，
∴OA＝OB＝4，
∴b＝4；
∴抛物线L的解析式为y＝－x2＋4x，对称轴为直线x＝－＝2，直线a的解析式为y＝x－4，
当x＝2时，y＝2－4＝－2，
∴L的对称轴与a的交点坐标为(2，－2)；
(2)∵抛物线L的解析式为y＝－x2＋bx，
∴点C的坐标为(，).
∵点C在l下方，
∴点C与l的距离为b－＝－(b－2)2＋1≤1，
∴点C与l距离的最大值为1；
(3)由题意可得，y＝b，y＝x－b，y＝－x＋bx，
1 2 0 3 0
∵y 是y，y 的平均数，
3 1 2
∴y＝，即－x＋bx＝，
3 0
化简得x(2x－2b＋1)＝0，
0 0
2 7 中考原创好题用解得x＝0(舍去)或x＝b－，
0 0
对于L，当y＝0时，0＝－x2＋bx，即0＝－x(x－b).
解得x＝0，x＝b，
1 2
∵b＞0，
∴D点坐标为(b，0)，
∴点(x，0)与点D间的距离为b－(b－)＝；
0
(4)b＝2019时，“美点”的个数为4040；b＝2019.5时，“美点”的个数为1010.
【解法提示】当b＝2019时，直线a的解析式为y＝x－2019，抛物线L的解析式为y＝－x2＋2019x，联立可得，
解得，或，∴抛物线L和直线a的交点坐标为(－1，－2020)，(2019，0)，∴美点的个数为2021＋2019＝4040个；
当b＝2019.5时，直线a的解析式为y＝x－2019.5，抛物线L的解析式为y＝－x2＋2019.5x，联立可得，解得，
或，∴抛物线L和直线a的交点坐标为(－1，－2020.5)，(2019.5，0)，∴美点的个数为0＋1010＝1010个．
2 8 中考原创好题用
