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2013 年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项．
1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
2．（5分）在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（5分）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex关
于y轴对称，则f（x）=（ ）
A．ex+1 B．ex﹣1 C．e﹣x+1 D．e﹣x﹣1
6．（5分）若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A．y=±2x B． C． D．
第1页 | 共5页7．（5分）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图
形的面积等于（ ）
A． B．2 C． D．
8．（5分）设关于x，y的不等式组 表示的平面区域内存在点
P（x ，y ），满足x ﹣2y =2，求得m的取值范围是（ ）
0 0 0 0
A． B． C． D．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）在极坐标系中，点（2， ）到直线ρsinθ=2的距离等于 ．
10．（5分）若等比数列{a }满足a +a =20，a +a =40，则公比q= ；前n
n 2 4 3 5
项和S = ．
n
11．（5分）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，
若PA=3，PD：DB=9：16，则PD= ，AB= ．
12．（5分）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至
少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．
13．（5 分）向量 ， ， 在正方形网格中的位置如图所示，若
（λ，μ R），则 = ．
∈
第2页 | 共5页14．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A B C D 中，E为BC的中点，
1 1 1 1
点P在线段D E上，点P到直线CC 的距离的最小值为 ．
1 1
三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤
15．（13分）在△ABC中，a=3，b=2 ，∠B=2∠A．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求c的值．
16．（13分）如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空
气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于 200表示空气重
度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留 2
天
第3页 | 共5页（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求
证明）
17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A B C 中，AA C C是边长为4的正方形．
1 1 1 1 1
平面ABC⊥平面AA C C，AB=3，BC=5．
1 1
（Ⅰ）求证：AA ⊥平面ABC；
1
（Ⅱ）求证二面角A ﹣BC ﹣B 的余弦值；
1 1 1
（Ⅲ）证明：在线段BC 上存在点D，使得AD⊥A B，并求 的值．
1 1
18．（13分）设l为曲线C：y= 在点（1，0）处的切线．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．
第4页 | 共5页19．（14分）已知A，B，C是椭圆W： 上的三个点，O是坐标原点．
（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．
20．（13分）已知{a }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值
n
记为A ，第n项之后各项a ，a …的最小值记为B ，d =A ﹣B ．
n n+1 n+2 n n n n
（Ⅰ）若{a }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意
n
n N*，a =a ），写出d ，d ，d ，d 的值；
n+4 n 1 2 3 4
（Ⅱ）设d是非负整数，证明：d =﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{a }是
∈ n n
公差为d的等差数列；
（Ⅲ）证明：若a =2，d =1（n=1，2，3，…），则{a }的项只能是1或者2，
1 n n
且有无穷多项为1．
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