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青岛市 2017 年中考数学试卷
（考试时间：120分钟；满分：120分）
真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！
本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共有24道题．第Ⅰ卷1—8题为选择题，共24分；
第Ⅱ卷9—14题为填空题，15题为作图题，16—24题为解答题，共96分．
要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效．
第（Ⅰ）卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对
得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．
1． 的相反数是（ ）．
A．8 B． C． D．
2．下列四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）．
3．小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法错误的是（ ）．
A、众数是6吨
B、平均数是5吨
C、中位数是5吨
D、方差是
4．计算 的结果为（ ）．
A． B． C． D．
5. 如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°则顶点B的对应点
B 的坐标为（ ）
1
A.
B.C.
D.
6，如图，AB 是⊙O 的直径，C，D，E 在⊙O 上，
若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为（ ）
A、100° B、110° C、115° D、120°
7. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E， ，
AC＝2，BD＝4，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
8. 一次函数 的图像经过点A（ ），B（2,2）两点，P为反比例函数
图像上的一个动点，O为坐标原点，过P作y轴的吹吸纳，垂足为C，
则△PCO的面积为（ ）
A、2 B、4 C、8 D、不确定
第Ⅱ卷
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．近年来，国家重视精准扶贫，收效显著，据统计约65 000 000人脱贫。
65 000 000用科学计数法可表示为______________________。
10．计算
11. 若抛物线 与x轴没有交点，则m的取值范围是_____________°
12．如图，直线AB与CD分别与⊙O 相切于B、D两点，且AB⊥CD，垂足为P，连接BD.
若BD＝4，则阴影部分的面积为___________________。13，如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE、
ED、BD，若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为__________度．
14．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的表面积为____。
三、作图题（本题满分4分）
用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
15．已知：四边形ABCD．
求作：点P．使∠PCB＝∠B，且点P到AD和CD的距离相等。
结论：
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（本小题满分8分，每题4分）
（1）解不等式组 （2）化简： ；
17．（本小题满分6分）
小华和小军做摸球游戏，A袋中装有编号为1,2,3的三个小球，B袋中装有编号为4,5,6
的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同，从两个袋子中分别随机摸出一个小球，若
B袋摸出的小球的编号与A袋摸出小球的编号之差为偶数，则小华胜，否则小军胜．这个游
戏对双方公平吗？请说明理由．18．（本小题满分6分）
某中学开展了“手机伴我健康行”主题活动．他们随机抽取部分学生进行“手机使用
目的”和“每周使用手机时间”的问卷调查，并绘制成如图①②的统计图。已知“查资
料”人人数是40人。
请你根据以上信息解答以下问题
（1）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角度数是_______________。
（2）补全条形统计图
（3）该校共有学生1200人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数
19．（本小题满分6分）
如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B位于
A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成
两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）
（参考数据： ）20．（本小题满分8分）
A、B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中 表示两人离
A地的距离S（km）与时间t（h）的关系，结合图像回答下列问题：
（1）表示乙离开A地的距离与时间关系的图像是________(填 ）；
甲的速度是__________km/h；乙的速度是________km/h。
（2）甲出发后多少时间两人恰好相距5km？
21．（本小题满分8分）
已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F 分别是边AB，AC，AD的中点，
连接CE、CF、OF．
（1）求证：△ BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF正方形？请说明理由．22．（本小题满分10分）
青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间比淡季上涨 ，下表是
去年该酒店豪华间某两天的相关记录：
淡季 旺季
未入住房间数 10 0
日总收入（元） 24 000 40 000
（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元
（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变。经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，
那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间。不考
虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入
是多少元？
23．（本小题满分10分）
数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些
数学问题。下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
探究一：求不等式 的解集
（1）探究 的几何意义
如图①，在以O为原点的数轴上，设点A＇对应点的数为 ，
由绝对值的定义可知，点A＇与O的距离为 ，可记为：A＇O= 。将线段A＇O向右平移一个单位，
得到线段AB，，此时点A对应的数为 ，点B的对应数是1，
因为AB= A＇O，所以AB= 。
因此， 的几何意义可以理解为数轴上 所对应的点A与1所对应的点B之间的
距离AB。
（2）求方程 =2的解
因为数轴上3与 所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为
（3）求不等式 的解集
因为 表示数轴上 所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集
就转化为求这个距离小于2的点所对应的数 的范围。
请在图②的数轴上表示 的解集，并写出这个解集
探究二：探究 的几何意义
（1）探究 的几何意义
如图③，在直角坐标系中，设点M的坐标为 ，过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴
于Q，则点P点坐标（ ），Q点坐标（ ），|OP|= ，|OQ|= ，
在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y，则
因此 的几何意义可以理解为点M 与原点O（0,0）之间的距离OM
（2）探究 的几何意义
如图④，在直角坐标系中，设点 A＇的坐标为 ，由探究（二）（1）可知，
A＇O= ，将线段 A＇O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，
得到线段AB，此时A的坐标为（ ），点B的坐标为（1,5）。
因为AB= A＇O，所以 AB= ，因此 的几何意义
可以理解为点A（ ）与点B（1,5）之间的距离。（3）探究 的几何意义
请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程。
（4） 的几何意义可以理解为：_________________________.
拓展应用：
（1） + 的几何意义可以理解为：点A 与点E
的距离与点AA 与点F____________（填写坐标）的距离之和。
（2） + 的最小值为____________(直接写出结果)
24．（本小题满分12分）
已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一条
直线上，AB＝EF＝6cm，BC＝FP＝8cm，∠EFP＝90°。如图②，△EFP从图①的位置出发，
沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；EP与AB交于点G．同时，点Q从点C出发，沿CD方向
匀速运动，速度为1cm/s。过Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于M，连接AF，PQ，当点Q停止
运动时，△EFP也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当 t 为何值时，PQ∥BD？
（2）设五边形 AFPQM 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 ？
若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使点M在PG的垂直平分线上？
若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．参考答案
一、选择
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C D B B D A
二、填空
题号 9 10 11 12 13 14
答案 13 48+12
三、作图 略
四、解答题
16、（1）由①得： ；由②得： ＜ 。
所以不等式组的解集为：
（2）原式
17，解：列表如下B袋
4 5 6
A袋
1 3 4 5
2 2 3 4
3 1 2 3
共有9种等可能结果，其中B袋中数字减去A袋中数字为偶数有4种等可能结果
；则小军胜的概率为
∵ ，∴不公平。
18、（1）126° （2）40÷40%－2－16－18－32＝32人 （3）1200× =768人
19，解：如图，作BD⊥AC于点D，
在Rt△ABD中，∠ABD=67°
，∴
，∴
在Rt△BCD中，∠CBD=30°
，∴
∴
答：AC之间的距离约为596km。
20，解：（1） ； 30； 20；
（2）由图可求出 ，
由 得 ；由 得
答：甲出发后1.3h或者1.5h时，甲乙相距5km。
21，（1）证明：∵四边形ABCD为菱形
∴AB=BC=CD=DA，∠B=∠D
又E、F分别是AB、AD中点，∴BE=DF
∴△ABE≌△CDF（SAS）
（2）若AB⊥AD，则AEOF为正方形，理由如下
∵E、O分别是AB、AC中点，∴EO∥BC，
又BC∥AD，∴OE∥AD，即：OE∥AF
同理可证OF∥AE，所以四边形AEOF为平行四边形
由（1）可得AE＝AF
所以平行四边AEOF为菱形因为AD⊥AB，所以∠BAD＝90°，所以菱形AEOF为正方形。
22，解：（1）设有 间豪华间，由题可得
解得 ，经检验 是原方程的根
则：
答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元。
（2）设上涨m元，利润为 ，则
因为 ，所以抛物线开口向下
所以当 时，
23，解：探究一（3） 解集为：
探究二（3）
如图⑤，在直角坐标系中，设点 A＇的坐标为 ，
由探究（二）（1）可知， A＇O= ，
将线段 A＇O先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，
得到线段AB，此时A的坐标为（ ），点B的坐标为（ ）。
因为AB= A＇O，所以 AB= ，
因此 的几何意义可以理解为点A（ ）与点B（ ）之间的距
离。
拓展应用
（1）（ ） （2）5
24，解：（1）若PQ∥BD，则△CPQ∽于△CBD，
所以 ，即 ，解得：
（2）由∠MQD+∠CDB=∠CBD+∠CDB=90°可得，∠MQD=∠CBD
又∠MDQ=∠C=90°，所以△MDQ∽△CBD
所以 ，即 ，所以（0＜t＜6）
（3）假使存在t，使
则 ，即
整理得 ，解得
答：当t=2，
（4）易证△PBG∽△PEF，
∴ ，即 ，∴
则
作MN⊥BC于N点，则四边形MNCD为矩形
所以MN=CD=6，CN= ，故：PN=
若M在PG的垂直平分线上，则GM=PM，
所以 ，所以
即：
整理得： ，解得 。
2017 年山东省青岛市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2017•青岛）﹣ 的相反数是（ ）A．8B．﹣8 C．D．﹣
【考点】14：相反数．
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【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣ 的相反数是 ，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上
“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是
0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．（3分）（2017•青岛）下列四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的
是（ ）
A． B． C． D．
【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．
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【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键
是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋
转180度后两部分重合．
3．（3分）（2017•青岛）小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，
下列说法中错误的（ ）A．众数是6吨 B．平均数是5吨 C．中位数是5吨 D．方差是
【考点】W7：方差；W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．
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【分析】根据众数、平均数、中位数和方差的定义计算各量，然后对各选项进行判
断．
【解答】解：这组数据的众数为6吨，平均数为5吨，中位数为5.5吨，方差为 ．
故选C．
【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，
则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越
小，稳定性越好．也考查了平均数、众数、中位数．
4．（3分）（2017•青岛）计算6m6÷（﹣2m2）3的结果为（ ）
A．﹣mB．﹣1 C．D．﹣
【考点】4H：整式的除法；47：幂的乘方与积的乘方．
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【分析】根据整式的除法法则即可求出答案．
【解答】解：原式=6m6÷（﹣8m6）
=﹣
故选（D）
【点评】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的除法法则，本题属于
基础题型．5．（3分）（2017•青岛）如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°，则顶点B的对应
点B 的坐标为（ ）
1
A．（﹣4，2）B．（﹣2，4）C．（4，﹣2）D．（2，﹣4）
【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．
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【分析】利用网格特征和旋转的性质，分别作出A、B、C的对应点A 、B 、C ，于是得
1 1 1
到结论．
【解答】解：如图，点B 的坐标为（﹣2，4），
1
故选B．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于
旋转角，对应线段也相等．
6．（3分）（2017•青岛）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若
∠AED=20°，则∠BCD的度数为（ ）A．100° B．110° C．115° D．120°
【考点】M5：圆周角定理．
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【分析】连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB=90°，∠ACD=20°，即可求
∠BCD的度数．
【解答】解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠AED=20°，
∴∠ACD=20°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°，
故选B．
【点评】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角
相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．（3分）（2017•青岛）如图， ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂
足为E，AB= ，AC=2，BD=4，则AE的长为（ ）A． B．C． D．
【考点】L5：平行四边形的性质．
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【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，所以平行四边形ABCD
的面积即可求出．
【解答】解：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO= AC=1，BO= BD=2，
∵AB= ，
∴AB2+AO2=BO2，
∴∠BAC=90°，
∵在Rt△BAC中，BC= = =
S = ×AB×AC= ×BC×AE，
△BAC
∴ ×2= AE，
∴AE= ，
故选D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角
三角形是解此题的关键．
8．（3分）（2017•青岛）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（﹣1，﹣4），B（2，2）两点，P为反比例函数y= 图象上一动点，O为坐标原点，过点P作y轴的垂线，
垂足为C，则△PCO的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．不确定
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；F8：一次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】根据待定系数法，可得k，b，根据反比例函数图象上的点垂直于坐标轴得
到的三角形的面积等于|k|的一半，可得答案．
【解答】解：将A（﹣1，﹣4），B（2，2）代入函数解析式，得
，
解得 ，
P为反比例函数y= 图象上一动点，
反比例函数的解析式y= ，
P为反比例函数y= 图象上一动点，O为坐标原点，过点P作y轴的垂线，垂足为
C，
则△PCO的面积为 |k|=2，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上的
点垂直于坐标轴得到的三角形的面积等于|k|的一半
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）（2017•青岛）近年来，国家重视精准扶贫，收效显著，据统计约
65000000人脱贫，65000000用科学记数法可表示为 6. 5 × 1 0 7 ．【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：65000000=6.5×107，
故答案为：6.5×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（3分）（2017•青岛）计算：（ + ）× = 1 3 ．
【考点】79：二次根式的混合运算．
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【专题】11 ：计算题．
【分析】先把各二次根式化简为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根
式的乘法运算即可．
【解答】解：原式=（2 + ）×
= ×
=13．
故答案为13．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，
然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
11．（3分）（2017•青岛）若抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围
是 m ＞ 9 ．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
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【分析】利用根的判别式△＜0列不等式求解即可．
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点，∴△=b2﹣4ac＜0，
∴（﹣6）2﹣4×1•m＜0，
解得m＞9，
∴m的取值范围是m＞9．
故答案为：m＞9．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题
的关键．
12．（3分）（2017•青岛）如图，直线AB，CD分别与⊙O相切于B，D两点，且
AB⊥CD，垂足为P，连接BD，若BD=4，则阴影部分的面积为 2π﹣ 4 ．
【考点】MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算．
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【分析】连接OB、OD，根据切线的性质和垂直得出∠OBP=∠P=∠ODP=90°，求出四
边形 BODP 是正方形，根据正方形的性质得出∠BOD=90°，求出扇形 BOD 和
△BOD的面积，即可得出答案．
【解答】解：
连接OB、OD，
∵直线AB，CD分别与⊙O相切于B，D两点，AB⊥CD，
∴∠OBP=∠P=∠ODP=90°，
∵OB=OD，
∴四边形BODP是正方形，
∴∠BOD=90°，∵BD=4，
∴OB= =2 ，
∴阴影部分的面积S=S ﹣S = ﹣ =2π﹣4，
扇形BOD △BOD
故答案为：2π﹣4．
【点评】本题考查了切线的性质、扇形的面积计算等知识点，能分别求出扇形BOD
和△BOD的面积是解此题的关键．
13．（3分）（2017•青岛）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线
AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为 3 2 度．
【考点】KP：直角三角形斜边上的中线．
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【分析】根据已知条件得到点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，
根据圆周角定理得到∠DEB=116°，根据直角三角形的性质得到DE=BE= AC，根据
等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，
∵∠BAD=58°，
∴∠DEB=116°，
∵DE=BE= AC，
∴∠EBD=∠EDB=32°，故答案为：32．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，圆周角定理，推出A，B，C，D
四点共圆是解题的关键．
14．（3分）（2017•青岛）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边
形，则该几何体的表面积为 4 8 + 1 2 ．
【考点】U3：由三视图判断几何体．
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【分析】观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱，然后根据提供的尺寸
求得其表面积即可．
【解答】解：观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱，其底面边长为2，
高为4，
故其边心距为 ，
所以其表面积为2×4×6+2× ×6×2× =48+12 ，
故答案为：48+12 ．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够根据三视图
判断几何体的形状及各部分的尺寸，难度不大．
三、解答题（本大题共4分）
15．（4分）（2017•青岛）已知：四边形ABCD．求作：点P，使∠PCB=∠B，且点P到边AD和CD的距离相等．
【考点】N2：作图—基本作图；KF：角平分线的性质．
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【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知：到边AD和CD的距离相
等的点在∠ADC 的平分线上，所以第一步作∠ADC 的平分线 DE，要想满足
∠PCB=∠B，则作CP∥AB，得到点P．
【解答】解：作法：①作∠ADC的平分线DE，
②过C作CP∥AB，交DE于点P，
则点P就是所求作的点；
【点评】本题是作图题，考查了角平分线的性质、平行线的性质，熟练掌握角平分
线上的点到角两边距离相等是关键．
三、解答题（本大题共9小题，共74分）
16．（8分）（2017•青岛）（1）解不等式组：
（2）化简：（ ﹣a）÷ ．【考点】6C：分式的混合运算；CB：解一元一次不等式组．
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【分析】（1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可；
（2）先算减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）∵解不等式①得：x＜﹣ ，
解不等式②得：x＜﹣10，
∴不等式组的解集为x＜﹣10；
（2）原式= ÷
= •
= ．
【点评】本题考查了分式的混合运算和解一元一次不等式组，能根据不等式的解
集找出不等式组的解集是解（1）的关键，能灵活运用分式的运算法则进行化简是
解（2）的关键，注意运算顺序．
17．（6分）（2017•青岛）小华和小军做摸球游戏：A袋装有编号为1，2，3的三个小
球，B袋装有编号为4，5，6的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同．从两
个袋子中分别随机摸出一个小球，若B袋摸出小球的编号与A袋摸出小球的编号
之差为偶数，则小华胜，否则小军胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【考点】X7：游戏公平性；X6：列表法与树状图法．
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【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字
的差为偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：不公平，
画树状图得：∵共有9种等可能的结果，数字的差为偶数的有4种情况，
∴P = ，P = ，
（小华胜） （小军胜）
∵ ≠ ，
∴这个游戏对双方不公平．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以
不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法
适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
18．（6分）（2017•青岛）某中学开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机
抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并
绘制成如图①，②的统计图，已知“查资料”的人数是40人．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角度数是 12 6 度；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有学生1200人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数．
【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．
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【专题】11 ：计算题；541：数据的收集与整理．
【分析】（1）由扇形统计图其他的百分比求出“玩游戏”的百分比，乘以360即
可得到结果；
（2）求出3小时以上的人数，补全条形统计图即可；
（3）由每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的百分比乘以1200即可得
到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：1﹣（40%+18%+7%）=35%，
则“玩游戏”对应的圆心角度数是360°×35%=126°；
故答案为：126；
（2）根据题意得：40÷40%=100（人），
∴3小时以上的人数为100﹣（2+16+18+32）=32（人），
补全条形统计图，如图所示：
（3）根据题意得：1200×64%=768（人），
则每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数约有768人．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的
数据是解本题的关键．
19．（6分）（2017•青岛）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B
地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁
线路的长．（结果保留整数）
（参考数据：sin67°≈ ，cos67°≈ ，tan67°≈ ， ≈1.73）
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
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【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，
进而可得出结论．
【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，
∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，
∴∠ABD=67°，
∴AD=AB•sin67°=520× = =480km，
BD=AB•cos67°=520× = =200km．
∵C地位于B地南偏东30°方向，
∴∠CBD=30°，
∴CD=BD•tan30°=200× = ，
∴AC=AD+CD=480+ ≈480+115=595（km）．答：A地到C地之间高铁线路的长为595km．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟记锐角三角函数的
定义是解答此题的关键．
20．（8分）（2017•青岛）A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲
先出发，图中l ，l 表示两人离A地的距离s（km）与时间（t h）的关系，请结合图象
1 2
解答下列问题：
（1）表示乙离A地的距离与时间关系的图象是 l （填l 或l ）；
2 1 2
甲的速度是 3 0 km/h，乙的速度是 2 0 km/h；
（2）甲出发多少小时两人恰好相距5km？
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）观察图象即可知道乙的函数图象为l ，根据速度= ，利用图中信息
2
即可解决问题；
（2）分相遇前或相遇后两种情形分别列出方程即可解决问题；
【解答】解：（1）由题意可知，乙的函数图象是l ，
2甲的速度是 =30km/h，乙的速度是 =20km/h．
故答案为l ，30，20．
2
（2）设甲出发多少小时两人恰好相距5km．
由题意30x+20（x﹣0.5）+5=60或30x+20（x﹣0.5）﹣5=60
解得x=1.3或1.5，
答：甲出发1.3小时或1.5小时两人恰好相距5km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活应用速度、
路程、时间之间的关系解决问题．
21．（8分）（2017•青岛）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD
的中点，连接CE，CF，OE，OF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
【考点】LF：正方形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质．
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【分析】（1）由菱形的性质得出∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，由已知和三角形中位线
定理证出AE=BE=DF=AF，OF= DC，OE= BC，OE∥BC，由SAS证明△BCE≌△DCF即
可；
（2）由（1）得：AE=OE=OF=AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO=90°，四边
形AEOF是正方形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴AE=BE=DF=AF，OF= DC，OE= BC，OE∥BC，
在△BCE和△DCF中， ，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：
由（1）得：AE=OE=OF=AF，
∴四边形AEOF是菱形，
∵AB⊥BC，OE∥BC，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO=90°，
∴四边形AEOF是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、
三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定是解决问题
的关键．
22．（10分）（2017•青岛）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，
旺季每间价格比淡季上涨 ．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：
淡季 旺季
未入住房间数 10 0
日总收入（元） 24000 40000
（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？
（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去
年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入
住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪
华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？【考点】HE：二次函数的应用．
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【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店豪华间的间数和
旺季每间的价格；
（2）根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即
可解答本题．
【解答】解：（1）设淡季每间的价格为x元，酒店豪华间有y间，
，
解得， ，
∴x+ x=600+ =800，
答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；
（2）设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元，
y=（800+x）（50﹣ ）= 42025，
∴当x=225时，y取得最大值，此时y=42025，
答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收
入是42025元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需
要的条件，利用二次函数的性质解答．
23．（10分）（2017•青岛）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形
结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助
数”的方法在解决代数问题中的应用．
探究一：求不等式|x﹣1|＜2的解集
（1）探究|x﹣1|的几何意义
如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应的数是x﹣1，有绝对值的定义可知，点A′与点O的距离为|x﹣1|，可记为A′O=|x﹣1|．将线段A′O向右平移1个单位
得到线段AB，此时点A对应的数是x，点B对应的数是1．因为AB=A′O，所以AB=|
x﹣1|，因此，|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的
点B之间的距离AB．
（2）求方程|x﹣1|=2的解
因为数轴上3和﹣1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的
解为3，﹣1．
（3）求不等式|x﹣1|＜2的解集
因为|x﹣1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式
解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围．
请在图②的数轴上表示|x﹣1|＜2的解集，并写出这个解集．
探究二：探究 的几何意义
（1）探究 的几何意义
如图③，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作
MQ⊥y轴于Q，则P点坐标为（x，0），Q点坐标为（0，y），OP=|x|，OQ=|y|，在
Rt△OPM中，PM=OQ=|y|，则MO= = = ，因此，
的几何意义可以理解为点M（x，y）与点O（0，0）之间的距离MO．
（2）探究 的几何意义
如图④，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究二（1）可知，A′O=
，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得
到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5），因为AB=A′O，所以AB= ，因此 的几何意义可以理解为点 A
（x，y）与点B（1，5）之间的距离AB．
（3）探究 的几何意义
请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程．
（4） 的几何意义可以理解为： 点（ x ， y ）与点（ a ， b ）之间的距
离 ．
拓展应用：
（1） + 的几何意义可以理解为：点A（x，
y）与点E（2，﹣1）的距离和点A（x，y）与点F （﹣ 1 ，﹣ 5 ） （填写坐标）的距离之
和．
（2） + 的最小值为 5 （直接写出结果）
【考点】RB：几何变换综合题．
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【分析】探究一（3）由于|x﹣1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距
离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围，从而画出数轴即可．
探究二（3）由于 的几何意义是：点A（x，y）与B（﹣3，4）之间
的距离，所以构造直角三角形利用勾股定理即可得出答案．
（4）根据前面的探究可知 的几何意义是表示点（x，y）与点
（a，b）之间的距离；
拓展研究（1）根据探究二（4）可知点F的坐标；
（2）根据三角形的三边关系即可求出答案．
【解答】解：探究一：（3）如图所示，
∴|x﹣1|＜2的解集是﹣1＜x＜3，
探究二：（3） 的几何意义是：点A（x，y）与B（﹣3，4）之间的距
离，
∴过点B作BD⊥x轴于D，过点A作AC⊥BD于点C，
∴AC=|x+3|，BC=|y﹣4|，
∴由勾股定理可知：AB2=AC2+BC2，
∴AB= ，
（4）根据前面的探究可知 的几何意义是表示点（x，y）与点
（a，b）之间的距离；
拓展研究：（1）由探究二（4）可知 表示点（x，y）与（﹣1，﹣5）
之间的距离，
故F（﹣1，﹣5），（2）由（1）可知： + 表示点A（x，y）与点E
（2，﹣1）的距离和点A（x，y）与点F（﹣1，﹣5）的距离之和，
当A（x，y）位于直线EF外时，
此时点A、E、F三点组成△AEF，
∴由三角形三边关系可知：EF＜AF+AE，
当点A位置线段EF之间时，此时EF=AF+AE，
∴ + 的最小值为EF的距离，
∴EF= =5
故答案为：探究二（4）点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
拓展研究（1）（﹣1，﹣5）；（2）5．
【点评】本题考查学生的阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求
出答案，本题考查学生综合能力，属于中等题型．
24．（12分）（2017•青岛）已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重
合），点F，B（P），C在同一直线上，AB=EF=6cm，BC=FP=8cm，∠EFP=90°，如图②，
△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，EP与AB交于点
G；同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CD 方向匀速运动，速度为 1cm/s．过点 Q 作QM⊥BD，垂足为H，交AD于点M，连接AF，FQ，当点Q停止运动时，△EFQ也停
止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BD？
（2）设五边形AFPQM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S ：S =9：8？若存在，求
五边形AFPQM 矩形ABCD
出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在线段PG的垂直平分线上？若
存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】LO：四边形综合题．
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【分析】（1）如图1中，当PQ∥BD时， = ，可得 = ，解方程即可；
（2）如图2中，当0＜t＜6时，S =S ﹣S ﹣S ，由此计算即可解
五边形AFPQM 梯形AFCD △DMQ △PQC
决问题；
（3）假设存在，根据题意列出方程即可解决问题；
（4）如图3中，连接MG、MP，作MK⊥BC于K．理由勾股定理，根据MG=MP，列出
方程即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，
当PQ∥BD时， = ，∴ = ，
∴t= ，
∴t= s时，PQ∥BD．
（2）如图2中，
当0＜t＜6时，S =S ﹣S ﹣S
五边形AFPQM 梯形AFCD △DMQ △PQC
= （8+8﹣t+8）•6﹣ •（6﹣t）• （6﹣t）﹣ •（8﹣t）•t
= t2﹣ t+ ．
（3）如图2中，假设存在，则有（ t2﹣ t+ ．）：48=9：8，
解得t=2或18（舍弃），
∴t=2s时，S ：S =9：8．
五边形AFPQM 矩形ABCD
（4）存在．
理由：如图3中，连接MG、MP，作MK⊥BC于K．易知：AG=6﹣ t．DQ=6﹣t，DM=KC= （6﹣t），PK=8﹣t﹣ （6﹣t），MK=CD=6，
∵点M在PG的垂直平分线上，
∴MG=MP，
∴AG2+AM2=PK2+MK2，
∴（6﹣ t）2+[8﹣ （6﹣t）]2=62+[8﹣t﹣ （6﹣t）]2，
解得t= 或0（舍弃），
∴t= s时，点M在线段PG的垂直平分线上
【点评】本题考查四边形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、多边形的
面积等知识，解题的关键是学会理由分割法求多边形面积，学会用方程的思想思
考问题，属于中考压轴题．
