文档内容
2018 年河南省中考数学试卷
（满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2. 今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达 214.7
亿元．数据“214.7亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2.147×102 B．0.2147×103 C．2.147×1010 D．0.2147×1011
3. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么
在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．厉 B．害 C．了 D．我
我
厉 害 了 的
国
4. 下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5. 河南省游资源丰富，2013～2017年旅游收入不断增长，同比增速分别为：
15.3%，12.7%，15.3%，14.5%，17.1%．关于这组数据，下列说法正确的是
（ ）
A．中位数是12.7% B．众数是15.3%
C．平均数是15.98% D．方差是0
6. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出
七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每
人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是
多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
1A． B．
C． D．
8. 现有4张卡片，其中3张卡片正面上的图案是“♢”，1张卡片正
面上的图案是“♣”，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，
从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
9. 如图，已知□AOBC的顶点O(0，0)，A(-1，2)，点B在x轴正半轴
上．按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边
OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，
两弧在
∠AOB 内交于点 F；③作射线 OF，交边 AC 于点 G．则点 G 的坐标为（
）
y
F
A．
C
A
G
B．
D
C．
D． O E B x
10. 如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1 cm/s的
速度匀速运动到点B．图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x
（s）变化的关系图象，则a的值为（ ）
A． B．2 C． D．
y/cm2
A D
a
F
B C O a a+ 5 x/s
图1 图2
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 计算： __________．
12. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，
则∠BOC的度数为____________．
2E
A D
O
B
C
13. 不等式组 的最小整数解是___________．
14. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中
点D逆时针旋转90°得到△A′B′C′，其中点B的运动路径为，则图中阴影部
分的面积为____________．
B′
C′ C
D
A A′ B
15. 如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动
点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称．D，E分别为AC，
BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为
直角三角形时，AB的长为____________．
M M
A′ A′
C C
F F
D D
E E
N N
A B A B
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （8分）共化简，再求值： ，其中 ．
317. （9分）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播
下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病，呼吸道疾病等，给人们造成困扰．
为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民
（问卷调查表如图所示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．
治理杨絮——您选哪一项？（单选）
A．减少杨树新面积，控制杨树每年的栽种量
B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树
C．选育无絮杨品种，并推广种植
D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮
E．其他
调查结果条形统计图
调查结果扇形统计图 人数
800
700
B
A
600
12%
15%
500
C E
400
40% D 300
25% 200
100
0
A B C D E 选项
根据以上统计图，解答下列问题：
（1）本次接受调查的市民共有__________人；
（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是__________；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该市约有90万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”
的人数．
418. （9分）如图，反比例函数 的图象过格点（网格线的交点）P．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形
均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；
②矩形的面积等于k的值．
y
4
3
P
2
1
-1O 1 2 3 4 x
-1
19. （9分）如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交
⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．
（1）求证：CE=EF；
（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：
①当∠D的度数为_________时，四边形ECFG为菱形；
②当∠D的度数为_________时，四边形ECOG为正方形．
D D
E E
C C
F F
A B A B
O O
20. （9分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材
由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自已的身高和习惯在
5规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种
截面图编制了如下数学问题，请你解答．
如图所示，底座上A，B两点间的距离为90 cm．低杠上点C到直线AB的距
离CE的长为155 cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234 cm，已
知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线
AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．
（结果精 确到 1 cm ．参考数据： sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132 ，
tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）
D
C
H
E
A B F
21. （10分）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售
量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．关于销售单价、日
销售量、日销售利润的几组对应值如下表：
销售单价x（元） 85 95 105 115
日销售量y（个） 175 125 75 m
6日销售利润（元） 875 1 875 1 875 875
注：日销售利润=日销售量×（销售单价-成本单价）
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；
（2）根据以上信息，填空：
该产品的成本单价是_______元．当销售单价x=_______元时，日销售利润
w最大，最大值是_________元；
（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本．预计在今后的销售中，
日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，
日销售利润不低于3 750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元
22. （10分）（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，
连接AC，BD交于点M．填空：
① 的值为_____________；
②∠AMB的度数为_____________．
（2）类比探究
7如 图 2 ， 在 △ OAB 和 △ OCD 中 ， ∠ AOB=∠ COD=90° ，
∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断 的值及
∠AMB的度数，并说明理由．
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于
点M．若OD=1，OB= ，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
C C
O
M
D O O
D
M
A B A B
A B
图1 图2 备用图
23. （11分）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于
点C．直线y=x-5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM
的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四
边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写
出点M的坐标．
8y y y
O A B x O A B x O A B x
C C C
备用图 备用图
2018 年河南省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）﹣ 的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣ 的相反数是： ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．（3分）今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达 214.7
亿元，数据“214.7亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2.147×102 B．0.2147×103 C．2.147×1010 D．0.2147×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数
9点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，
n是负数．
【解答】解：214.7亿，用科学记数法表示为2.147×1010，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的
形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么
在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．厉 B．害 C．了 D．我
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一
特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“的”与“害”是相对面，
“了”与“厉”是相对面，
“我”与“国”是相对面．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，
从相对面入手，分析及解答问题．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x2）3=﹣x5 B．x2+x3=x5 C．x3•x4=x7 D．2x3﹣x3=1
【分析】分别根据幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则逐
一计算即可判断．
【解答】解：A、（﹣x2）3=﹣x6，此选项错误；
B、x2、x3不是同类项，不能合并，此选项错误；
C、x3•x4=x7，此选项正确；
10D、2x3﹣x3=x3，此选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方、同类项概念、
同底数幂相乘及合并同类项法则．
5．（3分）河南省旅游资源丰富，2013～2017年旅游收入不断增长，同比增速
分别为：15.3%，12.7%，15.3%，14.5%，17.1%．关于这组数据，下列说法正确
的是（ ）
A．中位数是12.7% B．众数是15.3%
C．平均数是15.98%D．方差是0
【分析】直接利用方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义分别分
析得出答案．
【解答】解：A、按大小顺序排序为：12.7%，14.5%，15.3%，15.3%，17.1%，
故中位数是：15.3%，故此选项错误；
B、众数是15.3%，正确；
C、 （15.3%+12.7%+15.3%+14.5%+17.1%）
=14.98%，故选项C错误；
D、∵5个数据不完全相同，
∴方差不可能为零，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义，
正确把握相关定义是解题关键．
6．（3分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出
七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5
钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合
伙人数为x人，羊价为y线，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
11C． D．
【分析】设设合伙人数为x人，羊价为y线，根据羊的价格不变列出方程组．
【解答】解：设合伙人数为 x 人，羊价为 y 线，根据题意，可列方程组为：
．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题
的关键．
7．（3分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=0
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．
【解答】解：A、x2+6x+9=0
△=62﹣4×9=36﹣36=0，
方程有两个相等实数根；
B、x2=x
x2﹣x=0
△=（﹣1）2﹣4×1×0=1＞0
两个不相等实数根；
C、x2+3=2x
x2﹣2x+3=0
△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，
方程无实根；
D、（x﹣1）2+1=0
（x﹣1）2=﹣1，
则方程无实根；
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c=0
12（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两
个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程
无实数根．
8．（3分）现有4张卡片，其中3张卡片正面上的图案是“ ”，1张卡片
正面上的图案是“ ”，它们除此之外完全相同．把这 4张卡片背面朝上洗
匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用树状图法列举出所有可能进而求出概率．
【解答】解：令3张 用A ，A ，A ，表示， 用B表示，
1 2 3
可得：
，
一共有12种可能，两张卡片正面图案相同的有6种，
故从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是： ．
故选：D．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有的可能是解题关键．
9．（3分）如图，已知 ▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴
正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边
OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧
在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（ ）
13A．（ ﹣1，2） B．（ ，2） C．（3﹣ ，2） D．（ ﹣2，2）
【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO= ，依据∠AGO=∠AOG，即
可得到AG=AO= ，进而得出HG= ﹣1，可得G（ ﹣1，2）．
【解答】解：∵ ▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），
∴AH=1，HO=2，
∴Rt△AOH中，AO= ，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG=∠EOG，
又∵AG∥OE，
∴∠AGO=∠EOG，
∴∠AGO=∠AOG，
∴AG=AO= ，
∴HG= ﹣1，
∴G（ ﹣1，2），
故选：A．
【点评】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的
14运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然
后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
10．（3分）如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的
速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）
变化的关系图象，则a的值为（ ）
A． B．2 C． D．2
【分析】通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此
可求菱形的高DE，再由图象可知，BD= ，应用两次勾股定理分别求BE和a．
【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E
由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm2．
∴AD=a
∴
∴DE=2
当点F从D到B时，用 s
∴BD=
Rt△DBE中，
BE=
∵ABCD是菱形
∴EC=a﹣1，DC=a
Rt△DEC中，
15a2=22+（a﹣1）2
解得a=
故选：C．
【点评】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函
数图象变化与动点位置之间的关系．
二、细心填一填（本大题共 5小题，每小题3分，满分15分，请把答案填在答
題卷相应题号的横线上）
11．（3分）计算：|﹣5|﹣ = 2 ．
【分析】直接利用二次根式以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=5﹣3
=2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
12．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则
∠BOC的度数为 140 ° ．
【分析】直接利用垂直的定义结合互余以及互补的定义分析得出答案．
【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，
∴∠EOB=90°，
∵∠EOD=50°，
16∴∠BOD=40°，
则∠BOC的度数为：180°﹣40°=140°．
故答案为：140°．
【点评】此题主要考查了垂直的定义、互余以及互补的定义，正确把握相关定
义是解题关键．
13．（3分）不等式组 的最小整数解是 ﹣ 2 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≤1，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1，
∴不等式组的最小整数解是﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式
的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中点
D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为 ，则图中阴影部分
的面积为 π﹣ ．
17【分析】先利用勾股定理求出DB′= = ，A′B′= =2 ，再根据S
=S ﹣S ﹣S ，计算即可．
阴 扇形BDB′ △DBC △DB′C
【解答】解：△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜
边AB上，CA′⊥AB，
DB′= = ，
A′B′= =2 ，
∴S = ﹣1×2÷2﹣（2 ﹣ ）× ÷2= π﹣ ．
阴
故答案为 π﹣ ．
【点评】本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知
识解决问题，属于中考常考题型．
15．（3分）如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动
点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点 D，E分别为AC，BC
的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角
形时，AB的长为 4 或 4 ．
18【分析】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直
角三角形斜边中线的性质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB的长；
②当∠A'FE=90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．
【解答】解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠MAN=90°，
∴∠CDE=∠A'EF，
∴AC∥A'E，
∴∠ACB=∠A'EC，
∴∠A'CB=∠A'EC，
∴A'C=A'E=4，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC=2A'B=8，
由勾股定理得：AB2=BC2﹣AC2，
∴AB= =4 ；
②当∠A'FE=90°时，如图2，
∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，
19∴∠ABF=90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC=∠CBA'=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4；
综上所述，AB的长为4 或4；
故答案为：4 或4；
【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直
角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问
题．
三、计算题（本大题共8题，共75分，请认真读题）
16．（8分）先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，其中x= +1．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，
20【解答】解：当x= +1时，
原式= •
=1﹣x
=﹣
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题
属于基础题型．
17．（9分）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，
漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民
对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如
表所示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．
治理杨絮一一您选哪一项？（单选）
A．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量
B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树
C．选育无絮杨品种，并推广种植
D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮
E．其他
根据以上统计图，解答下列问题：
（1）本次接受调查的市民共有 2000 人；
（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是 28.8 ° ；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该市约有90万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人
21数．
【分析】（1）将A选项人数除以总人数即可得；
（2）用360°乘以E选项人数所占比例可得；
（3）用总人数乘以D选项人数所占百分比求得其人数，据此补全图形即可得；
（4）用总人数乘以样本中C选项人数所占百分比可得．
【解答】解：（1）本次接受调查的市民人数为300÷15%=2000人，
故答案为：2000；
（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是360°× =28.8°，
故答案为：28.8°；
（3）D选项的人数为2000×25%=500，
补全条形图如下：
（4）估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数为 70×40%=28（万
人）．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从
不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示
出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18．（9分）如图，反比例函数y= （x＞0）的图象过格点（网格线的交点）
P．
（1）求反比例函数的解析式；
22（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需
满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；
②矩形的面积等于k的值．
【分析】（1）将P点坐标代入y= ，利用待定系数法即可求出反比例函数的解
析式；
（2）根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y= （x＞0）的图象过格点P（2，2），
∴k=2×2=4，
∴反比例函数的解析式为y= ；
（2）如图所示：
矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，反比例函数图象上点的坐标特征，
待定系数法求反比例函数解析式，矩形的判定与性质，正确求出反比例函数的
解析式是解题的关键．
19．（9分）如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，
23过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．
（1）求证：CE=EF；
（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：
①当∠D的度数为 30 ° 时，四边形ECFG为菱形；
②当∠D的度数为 22.5 ° 时，四边形ECOG为正方形．
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠1+∠4=90°，再利用等腰三
角形和互余证明∠1=∠2，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；
（2）①当∠D=30°时，∠DAO=60°，证明△CEF和△FEG都为等边三角形，从而
得到EF=FG=GE=CE=CF，则可判断四边形ECFG为菱形；
②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，利用三角形内角和计算出∠COE=45°，利用对
称 得 ∠ EOG=45° ， 则 ∠ COG=90° ， 接 着 证 明 △ OEC≌ △ OEG 得 到
∠OEG=∠OCE=90°，从而证明四边形 ECOG 为矩形，然后进一步证明四边形
ECOG为正方形．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°，
∵DO⊥AB，
∴∠3+∠B=90°，
而∠2=∠3，
∴∠2+∠B=90°，
而OB=OC，
24∴∠4=∠B，
∴∠1=∠2，
∴CE=FE；
（2）解：①当∠D=30°时，∠DAO=60°，
而AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=30°，
∴∠3=∠2=60°，
而CE=FE，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE=CF=EF，
同理可得∠GFE=60°，
利用对称得FG=FC，
∵FG=EF，
∴△FEG为等边三角形，
∴EG=FG，
∴EF=FG=GE=CE，
∴四边形ECFG为菱形；
②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，
而OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=67.5°，
∴∠AOC=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，
∴∠AOC=45°，
∴∠COE=45°，
利用对称得∠EOG=45°，
∴∠COG=90°，
易得△OEC≌△OEG，
∴∠OEG=∠OCE=90°，
∴四边形ECOG为矩形，
而OC=OG，
25∴四边形ECOG为正方形．
故答案为30°，22.5°．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆
的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了菱形和正
方形的判定．
20．（9分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、
低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内
调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如
下数学问题，请你解答．
如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离
CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的
支架 AC 与直线 AB 的夹角∠CAE 为 82.4°，高杠的支架 BD 与直线 AB 的夹角
∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数
据 sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，
cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）
26【分析】利用锐角三角函数，在Rt△ACE和Rt△DBF中，分别求出AE、BF的长．
计算出EF．通过矩形CEFH得到CH的长．
【解答】解：在Rt△ACE中，
∵tan∠CAE= ，
∴AE= = ≈ ≈21（cm）
在Rt△DBF中，
∵tan∠DBF= ，
∴BF= = ≈ =40（cm）
∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151（cm）
∵CE⊥EF，CH⊥DF，DF⊥EF
∴四边形CEFH是矩形，
∴CH=EF=151cm
答：高、低杠间的水平距离CH的长为151cm．
【点评】本题考查了锐角三角函数解直角三角形．题目难度不大，注意精确度．
21．（10 分）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量 y
（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，
日销售利润的几组对应值如表：
销售单价x（元） 85 95 105 115
日销售量y（个） 175 125 75 m
27日销售利润w 875 1875 1875 875
（元）
（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；
（2）根据以上信息，填空：
该产品的成本单价是 80 元，当销售单价x= 100 元时，日销售利润w最
大，最大值是 2000 元；
（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日
销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销
售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y关于x的函数解析式；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得生产成本和w的最大值；
（3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以取得科技创新后的成本．
【解答】解；（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
，得 ，
即y关于x的函数解析式是y=﹣5x+600，
当x=115时，y=﹣5×115+600=25，
即m的值是25；
（2）设成本为a元/个，
当x=85时，875=175×（85﹣a），得a=80，
w=（﹣5x+600）（x﹣80）=﹣5x2+1000x﹣48000=﹣5（x﹣100）2+2000，
∴当x=100时，w取得最大值，此时w=2000，
故答案为：80，100，2000；
（3）设科技创新后成本为b元，
当x=90时，
（﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750，
解得，b≤65，
答：该产品的成本单价应不超过65元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、不等式的应用，解
28答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和数形结合的
思想解答．
22．（10分）（1）问题发现
如图 1，在△OAB 和△OCD 中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接
AC，BD交于点M．填空：
① 的值为 1 ；
②∠AMB的度数为 40 ° ．
（2）类比探究
如图 2，在△OAB和△OCD 中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接
AC交BD的延长线于点M．请判断 的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD 绕点 O在平面内旋转，AC，BD 所在直线交于点
M，若OD=1，OB= ，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
【分析】（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值为1；
②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根据三角形的内角和定理得：
∠AMB=180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣140°=40°；
（2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则 = ，由全
等三角形的性质得∠AMB的度数；
（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：
29△AOC∽△BOD，则∠AMB=90°， ，可得AC的长．
【解答】解：（1）问题发现
①如图1，∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠COA=∠DOB，
∵OC=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC=BD，
∴ =1，
②∵△COA≌△DOB，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOB=40°，
∴∠OAB+∠ABO=140°，
在 △ AMB 中 ， ∠ AMB=180°﹣ （ ∠ CAO+∠ OAB+∠ ABD ） =180°﹣
（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣140°=40°，
故答案为：①1；②40°；
（2）类比探究
如图2， = ，∠AMB=90°，理由是：
Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，
∴ ，
同理得： ，
∴ ，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴ = ，∠CAO=∠DBO，
30在 △ AMB 中 ， ∠ AMB=180°﹣ （ ∠ MAB+∠ ABM ） =180°﹣
（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°；
（3）拓展延伸
①点C与点M重合时，如图3，同理得：△AOC∽△BOD，
∴∠AMB=90°， ，
设BD=x，则AC= x，
Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，
∴CD=2，BC=x﹣2，
Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB= ，
∴AB=2OB=2 ，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
，
x2﹣x﹣6=0，
（x﹣3）（x+2）=0，
x =3，x =﹣2，
1 2
∴AC=3 ；
②点C与点M重合时，如图4，同理得：∠AMB=90°， ，
设BD=x，则AC= x，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
+（x+2）2=
x2+x﹣6=0，
（x+3）（x﹣2）=0，
x =﹣3，x =2，
1 2
31∴AC=2 ；
综上所述，AC的长为3 或2 ．
【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，
几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，
并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．
23．（11分）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直
线y=x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平
行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求
点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M
的坐标．
32【分析】（1）利用一次函数解析式确定C（0，﹣5），B（5，0），然后利用
待定系数法求抛物线解析式；
（2）①先解方程﹣x2+6x﹣5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形
得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以 AM=2 ，接着根
据平行四边形的性质得到PQ=AM=2 ，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，
如图 1，利用∠PDQ=45°得到 PD= PQ=4，设 P（m，﹣m2+6m﹣5），则 D
（m，m﹣5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）
=4；当P点在直线BC下方时，PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5），然后分别解方程
即可得到P点的横坐标；
②作 AN⊥BC 于 N，NH⊥x 轴于 H，作 AC 的垂直平分线交 BC 于 M ，交 AC 于
1
E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM B=2∠ACB，再
1
确定N（3，﹣2），
AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（ ，﹣ ），利用两直线垂直的问题可设
直线EM 的解析式为y=﹣ x+b，把E（ ，﹣ ）代入求出b得到直线EM 的解
1 1
33析式为y=﹣ x﹣ ，则解方程组 得M 点的坐标；作直线BC上作
1
点 M 关 于 N 点 的 对 称 点 M ， 如 图 2 ， 利 用 对 称 性 得 到
1 2
∠AM C=∠AM B=2∠ACB，设M （x，x﹣5），根据中点坐标公式得到3=
2 1 2
，然后求出x即可得到M 的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．
2
【解答】解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5），
当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；
（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x =1，x =5，则A（1，0），
1 2
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵AM⊥BC，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴AM= AB= ×4=2 ，
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，
∴PQ=AM=2 ，PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，
∴PD= PQ= ×2 =4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当P点在直线BC上方时，
PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m =1，m =4，
1 2
当P点在直线BC下方时，
34PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m = ，m = ，
1 2
综上所述，P点的横坐标为4或 或 ；
②作 AN⊥BC 于 N，NH⊥x 轴于 H，作 AC 的垂直平分线交 BC 于 M ，交 AC 于
1
E，如图2，
∵M A=M C，
1 1
∴∠ACM =∠CAM ，
1 1
∴∠AM B=2∠ACB，
1
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH=BH=NH=2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（ ，﹣ ），
设直线EM 的解析式为y=﹣ x+b，
1
把E（ ，﹣ ）代入得﹣ +b=﹣ ，解得b=﹣ ，
∴直线EM 的解析式为y=﹣ x﹣ ，
1
解方程组 得 ，则M （ ，﹣ ）；
1
作 直 线 BC 上 作 点 M 关 于 N 点 的 对 称 点 M ， 如 图 2 ， 则
1 2
∠AM C=∠AM B=2∠ACB，
2 1
设M （x，x﹣5），
2
∵3= ，
∴x= ，
35∴M （ ，﹣ ），
2
综上所述，点M的坐标为（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特
征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待
定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数
学问题．
36
