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2008 年普通高等学校统一考试（浙江卷）
数学(文科)试题
第Ⅰ卷 (共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
（1）已知集合 则 =
(A) (B)
(C) (D)
答案：
解析：本小题主要考查集合运算。由 =
(2)函数 的最小正周期是
（A） （B） (C) (D)
答案：B
解析：本小题主要考查正弦函数周期的求解。原函数可化为： ，故其周期为
(3)已知a,b都是实数，那么“ ”是“a>b”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
答案：D
解析：本小题主要考查充要条件相关知识。依题“a>b”既不能推出 “a>b”；反之，由“a
>b”也不能推出“ ”。故“ ”是“ >b”的既不充分也不必要条件。
a2 b2 a2 b2 a
（4）已知{a}是等比数列， ,则公比q=
n
(A) (B)-2 (C)2 (D)
答案：D
第1页 | 共11页解析：本小题主要考查等比数列通项的性质。由 ，解得
(5)已知
(A) (B) (C) (D)
答案：C
解析：本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用。由 ,且
，∴
a0,b0 ab2
，∴ a2 b2 2 。
(6)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含 的项的系数是
（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274
答案：
解析：本小题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题。本题可通过选括号（即5个括号中4
个 提 供 ， 其 余 1 个 提 供 常 数 ） 的 思 路 来 完 成 。 故 含 的 项 的 系 数 为
x4
（7）在同一平面直角坐标系中，函数 的图象和直线 的交
点个数是
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
答案：C
解 析 ： 本 小 题 主 要 考 查 三 角 函 数 图 像 的 性 质 问 题 。 原 函 数 可 化 为 ：
x 3 = 作出原函数图像，截取 部分，其
y cos( )(x[0，2])
2 2
1
与直线y 的交点个数是2个.
2
（8）若双曲线 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2，则双曲线的离心率是
（A）3 （B）5 （C） （D）
答案：D
第2页 | 共11页解析：本小题主要考查双曲线的性质及离心率问题。依题不妨取双曲线的右准线 ，则左
焦点 到右准线的距离为 ，左焦点 到右准线的距离为 ，依
题 即 ，∴双曲线的离心率
（9）对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得
（A） （B） ∥α
（C） (D)
答案：B
解析：本小题主要考查立体几何中线面关系问题。∵两条不相交的空间直线a和b，∴存在平面
，使得
a,b//。
(10)若 且当 时,恒有 ,则以a,b为坐标的点P(a,b)
所形成的平面区域的面积是
(A) (B) (C)1 (D)
答案：C
解析：本小题主要考查线性规划的相关知识。由 恒成立知，当 时， 恒成
立，∴ ；同理 ，∴以 ,b为坐标点 所形成的平面区域是一个正方形，
a P(a,b)
所以面积为1.
第Ⅱ卷
(共100分)
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
（11）已知函数 .
答案：2
解析：本小题主要考查知函数解析式，求函数值问题。代入求解即可。
第3页 | 共11页(12)若 .
7
答案：
25
解析：本小题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用。由 可知， ；而
。
(13)已知F、F为椭圆 的两个焦点，过F的直线交椭圆于A、B两点
1 2 1
若|FA|+|FB|=12，则|AB|= 。
2 2
答案：8
解析：本小题主要考查椭圆的第一定义的应用。依题直线 过椭圆的 左焦点 ,在 中，
，又 ，∴
（14）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若 则cos
A= .
答案： 3
3
解 析 ： 本 小 题 主 要 考 查 三 角 形 中 正 弦 定 理 的 应 用 。 依 题 由 正 弦 定 理 得 ：
,即 ,∴
(15)如图，已知球O的面上四点 ，DA⊥平面ABC。
AB⊥BC，DA=AB=BC= ，则球O的体积等于 。
答案：
解析：本小题主要考查球的内接几何体体积计算问题。其关键
是找出球心，从而确定球的半径。由题意，三角形 DAC,三角形
DBC都是直角三角形，且有公共斜边。所以 DC边的中点就是球
心（到D、A、C、B四点距离相等），所以球的半径就是线段DC
长度的一半。
第4页 | 共11页（16）已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a-b)=0,
则|b|的取值范围是 .
答案：
解析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题。依题 ，即
，∴ 且 ，又 为单位向量，∴ ，
∴ ∴
（17）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不
同，且1和2相邻。这样的六位数的个数是 （用数字作答）
答案：40
解析：：本小题主要考查排列组合知识。依题先排除1和2的剩余4个元素有 种方
案，再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体，有 种插法，∴不同的安排方案共有
种。
三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。
（18）（本题14分）
已知数列 的首项 ，通项 ，且成等差数列。
求：
（Ⅰ）p,q的值；
(Ⅱ) 数列 前n项和 的公式。
答案：本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力。满分14分。
（Ⅰ）解：由
Ⅱ
p=1,q=1
第5页 | 共11页(Ⅱ)解：
（19）（本题14分）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球，已知袋中共有10个球，从中
任意摸出1个球，得到黑球的概率是 ;从中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 .求：
（Ⅰ）从中任意摸出2个球，得到的数是黑球的概率；
（Ⅱ）袋中白球的个数。
答案：.本题主要考查排列组合、概率等基础知识，同时考
查逻辑思维能力和数学应用能力。满分14分。
（Ⅰ）解：由题意知，袋中黑球的个数为
记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球”为事件A，则
（Ⅱ）解：记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B。
设袋中白球的个数为x，则
得到 x=5
（20）（本题14分）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,∠BCF=∠CEF=90°,AD=
（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？
答案：空间本题主要考查空间线面关系向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力
和推理运算能力。满分14分。
方法一：
（Ⅰ）证明：过点E作EG⊥CF并CF于G，连结DG，可得四边形BCGE为矩形。又ABCD为矩
形，
第6页 | 共11页所以AD⊥∥EG,从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG。
因为AE 平面DCF，DG 平面DCF，所以AE∥平面DCF。
（Ⅱ）解：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连结AH。
由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得
AB⊥平面BEFC，
从而 AH⊥EF，
所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角。
在Rt△EFG中，因为EG=AD=
又因为CE⊥EF，所以CF=4，
从而 BE=CG=3。
于是BH=BE·sin∠BEH=
因为AB=BH·tan∠AHB,
所以当AB为 时，二面角A-EF-G的大小为60°.
方法二：
如图，以点C为坐标原点，以CB、CF和CD分别
作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz.
设AB=a,BE=b,CF=c,
则C（0，0，0），A（
（ Ⅰ ） 证 明 ：
所以
所以CB⊥平面ABE。
因为GB⊥平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF
故AE∥平面DCF
（II）解：因为 ，
所以 ，从而
解得b＝3，c＝4．
所以 ．
设 与平面AEF垂直，
则 ，
第7页 | 共11页解得 ．
又因为BA⊥平面BEFC， ，
所以 ，
得到 ．
所以当AB为 时，二面角A－EFC的大小为60°．
（21）（本题15分）已知a是实数，函数 .
（Ⅰ）若f1(1)=3,求a的值及曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求 在区间[0，2]上的最大值。
答案：本题主要考查基本性质、导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析问题和解
决问题的能力。满分15分。
（I）解： ．
因为 ，
所以 ．
又当 时， ，
所以曲线 处的切线方程为 ．
（II）解：令 ，解得 ．
当 ，即a≤0时， 在[0，2]上单调递增，从而
．
当 时，即a≥3时， 在[0，2]上单调递减，从而
．
第8页 | 共11页当 ，即 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，从
而
综上所述，
（22）（本题15分）已知曲线C是到点 和到直线
距离相等的点的轨迹，l是过点Q（-1，0）的直
线，
M是 C上 （ 不 在 l上 ） 的 动 点 ；A、B在 l上 ，
轴（如图）。
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求出直线l的方程，使得 为常数。
答案：本题主要考查求曲线轨迹方程，两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本
思想方法和综合解题能力。满分15分。
（I）解：设 为C上的点，则
．
N到直线 的距离为 ．
由题设得 ．
化简，得曲线C的方程为 ．
第9页 | 共11页（II）解法一：
设 ，直线l： ，则 ，从而
．
在Rt△QMA中，因为
，
．
所以
，
当k＝2时，
从而所求直线l方程为
解法二：
设 ，直线直线l： ，则 ，从而
过 垂直于l的直线l： ，
1
因为 ，所以
，
第10页 | 共11页，
当k＝2时， ，
从而所求直线l方程为
第11页 | 共11页
