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2018 年山东省青岛市中考数学试卷
一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）观察下列四个图形，中心对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）斑叶兰被列为国家二级保护植物，它的一粒种子重约0.0000005克．将
0.0000005用科学记数法表示为（ ）
A．5×107 B．5×10﹣7 C．0.5×10﹣6 D．5×10﹣6
3．（3分）如图，点A所表示的数的绝对值是（ ）
A．3B．﹣3 C． D．
4．（3分）计算（a2）3﹣5a3•a3的结果是（ ）
A．a5﹣5a6 B．a6﹣5a9 C．﹣4a6D．4a6
5．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是 的中点，则∠D的度
数是（ ）
A．70° B．55° C．35.5° D．35°
6．（3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的
直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF= ，则BC的长是（ ）A． B． C．3D．
7．（3分）如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A'B'，其中点
A、B的对应点分别是点A'、B'，则点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，3）B．（4，0）C．（3，﹣3）D．（5，﹣1）
8．（3分）已知一次函数y= x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角
坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
9．（3分）已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为S
甲
2、S 2，则S 2 S 2（填“＞”、“=”、“＜”）
乙 甲 乙10．（3分）计算：2﹣1× +2cos30°= ．
11．（3分）5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，两
工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了
15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，求
两个工厂5月份的用水量各是多少．设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月
份用水量为y吨，根据题意列关于x，y的方程组为 ．
12．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，
AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
13．（3分）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，
以
OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分
的面积是 ．
14．（3分）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了
9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有种．
三、作图题：本大题满分4分.
15．（4分）已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．
求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到
∠ABC两边的距离相等．
四、解答题（本大题共9小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.）
16．（8分）（1）解不等式组：
（2）化简：（ ﹣2）• ．
17．（6分）小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动．小明想参加敬老服务活动，
小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小
明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个
数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机
抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的
想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮
的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
18．（6分）八年级（1）班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘
制了以下统计图．
请根据图中信息解决下列问题：
（1）共有 名同学参与问卷调查；
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）全校共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多
少．
19．（6分）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直
的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位
于南偏西73.7°，测得AC=840m，BC=500m．请求出点O到BC的距离．
参考数据：sin73.7°≈ ，cos73.7°≈ ，tan73.7°≈
20．（8分）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y ），C（6m，
1
y ），其中m＞0．
2
（1）当y ﹣y =4时，求m的值；
1 2
（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，
若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．21．（8分）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD
的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB=AF；
（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
22．（10分）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发
出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成
本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=
﹣x+26．
（1）求这种产品第一年的利润W（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；
1
（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投
入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产
品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算
该公司第二年的利润W 至少为多少万元．
2
23．（10分）问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图1方式
搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律．问题探究：
我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法．
探究一
用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n的矩形框架（m、n是正整数），需要木棒的
条数．
如图①，当m=1，n=1时，横放木棒为1×（1+1）条，纵放木棒为（1+1）×1条，共需
4条；
如图②，当m=2，n=1时，横放木棒为2×（1+1）条，纵放木棒为（2+1）×1条，共需
7条；
如图③，当m=2，n=2时，横放木棒为2×（2+1））条，纵放木棒为（2+1）×2条，共
需12条；如图④，当m=3，n=1时，横放木棒为3×（1+1）条，纵放木棒为（3+1）
×1条，共需10条；
如图⑤，当m=3，n=2时，横放木棒为3×（2+1）条，纵放木棒为（3+1）×2条，共需
17条．
问题（一）：当m=4，n=2时，共需木棒 条．
问题（二）：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒为 条，
纵放的木棒为 条．
探究二
用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n，高是s的长方体框架（m、n、s是正整数），
需要木棒的条数．
如图⑥，当m=3，n=2，s=1时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（1+1）=34条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×1=12条，共需46条；
如图⑦，当m=3，n=2，s=2时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×
（2+1）=51条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×2=24条，共需75条；
如图⑧，当m=3，n=2，s=3时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×
（3+1）=68条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×3=36条，共需104条．
问题（三）：当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒条数
之和为 条，竖放木棒条数为 条．
实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架，总
共使用了170条木棒，则这个长方体框架的横长是 ．
拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，
需要木棒 条．
24．（12分）已知：如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB=16cm，BC=6cm，
CD=8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速
运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平行
四边形AQPE，设运动的时间为t（s），0＜t＜5．
根据题意解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示AP；
（2）设四边形CPQB的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）当QP⊥BD时，求t的值；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．2018 年山东省青岛市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）观察下列四个图形，中心对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转
180度后两部分重合．
2．（3分）斑叶兰被列为国家二级保护植物，它的一粒种子重约0.0000005克．将
0.0000005用科学记数法表示为（ ）
A．5×107 B．5×10﹣7 C．0.5×10﹣6 D．5×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，
与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一
个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.0000005用科学记数法表示为5×10﹣7．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|
＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）如图，点A所表示的数的绝对值是（ ）
A．3B．﹣3 C． D．
【分析】根据负数的绝对值是其相反数解答即可．
【解答】解：|﹣3|=3，
故选：A．
【点评】此题考查绝对值问题，关键是根据负数的绝对值是其相反数解答．
4．（3分）计算（a2）3﹣5a3•a3的结果是（ ）
A．a5﹣5a6 B．a6﹣5a9 C．﹣4a6D．4a6
【分析】直接利用幂的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以单项式、合并同类项
法则计算得出答案．
【解答】解：（a2）3﹣5a3•a3
=a6﹣5a6
=﹣4a6．
故选：C．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算、单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是
解题关键．
5．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是 的中点，则∠D的度
数是（ ）
A．70° B．55° C．35.5° D．35°
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB= ∠AOC，再根据圆周角定理解答．
【解答】解：连接OB，
∵点B是 的中点，
∴∠AOB= ∠AOC=70°，
由圆周角定理得，∠D= ∠AOB=35°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆
中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的
关键．
6．（3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的
直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF= ，则BC的长是（ ）
A． B． C．3D．
【分析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°，所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形
的性质可知EF= AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．
【解答】解：
∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，
∴∠B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，
∵点E为AB中点，
∴EF= AB，EF= ，
∴AB=AC=3，
∵∠BAC=90°，
∴BC= =3 ，
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的
运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．
7．（3分）如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A'B'，其中点
A、B的对应点分别是点A'、B'，则点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，3）B．（4，0）C．（3，﹣3）D．（5，﹣1）
【分析】画图可得结论．
【解答】解：画图如下：则A'（5，﹣1），
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握顺时针或逆时针旋转某个点或某直线
的位置关系．
8．（3分）已知一次函数y= x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角
坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数图象一次函数图象经过的象限，即可得出 ＜0、c＞0，由
此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣ ＞0，与y轴的交点在y
轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知： ＜0、c＞0，∴二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣ ＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据一次函数图象经
过的象限，找出 ＜0、c＞0是解题的关键．
二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
9．（3分）已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为S
甲
2、S 2，则S 2 ＞ S 2（填“＞”、“=”、“＜”）
乙 甲 乙
【分析】结合图形，根据数据波动较大的方差较大即可求解．
【解答】解：从图看出：乙组数据的波动较小，故乙的方差较小，即S 2＞S 2．
甲 乙
故答案为：＞．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越
大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，
表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
10．（3分）计算：2﹣1× +2cos30°= 2 ．
【分析】根据特殊角的三角函数值和有理数的乘法和加法可以解答本题．
【解答】解：2﹣1× +2cos30°
=
=
=2 ，故答案为：2 ．
【点评】本题考查实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的
关键是明确它们各自的计算方法．
11．（3分）5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，两
工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了
15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，求
两个工厂5月份的用水量各是多少．设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月
份用水量为y吨，根据题意列关于x，y的方程组为 ．
【分析】设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据两厂5
月份的用水量及6月份的用水量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得
解．
【解答】解：设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，
根据题意得： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
12．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，
AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为
．
【分析】根据正方形的四条边都相等可得 AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，进一
步得∠AGE=∠BGF=90°，从而知GH= BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答
案．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，
在△ABE和△DAF中，
∵ ，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA=90°，
∴∠DAF+∠BEA=90°，
∴∠AGE=∠BGF=90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH= BF，
∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3，
∴BF= = ，
∴GH= BF= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角
互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
13．（3分）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，
以
OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是 ﹣ π ．
【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案．
【解答】解：∵∠B=90°，∠C=30°，
∴∠A=60°，
∵OA=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠COF=120°，
∵OA=2，
∴扇形OGF的面积为： =
∵OA为半径的圆与CB相切于点E，
∴∠OEC=90°，
∴OC=2OE=4，
∴AC=OC+OA=6，
∴AB= AC=3，
∴由勾股定理可知：BC=3
∴△ABC的面积为： ×3×3 =
∵△OAF的面积为： ×2× = ，
∴阴影部分面积为： ﹣ ﹣ π= ﹣ π
故答案为： ﹣ π【点评】本题考查扇形面积公式，涉及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，
切线的性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高．
14．（3分）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了
9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有 4
种．
【分析】先根据主视图确定每一列最大分别为4，2，3，再根据左视确定每一行最
大分别为4，3，2，总和要保证为16，还要保证俯视图有9个位置．
【解答】解：这个几何体的搭法共有4种：如下图所示：
故答案为：4．
【点评】本题考查几何体的三视图．由几何体的主视图、左视图及小立方块的个数
可知俯视图的列数和行数中的最大数字．
三、作图题：本大题满分4分.
15．（4分）已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．
求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到
∠ABC两边的距离相等．【分析】根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵点P在∠ABC的平分线上，
∴点P到∠ABC两边的距离相等（角平分线上的点到角的两边距离相等），
∵点P在线段BD的垂直平分线上，
∴PB=PD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），
如图所示：
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等
知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
四、解答题（本大题共9小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.）
16．（8分）（1）解不等式组：
（2）化简：（ ﹣2）• ．
【分析】（1）先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：（1）解不等式 ＜1，得：x＜5，解不等式2x+16＞14，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜5；
（2）原式=（ ﹣ ）•
= •
= ．
【点评】本题主要考查分式的混合运算和解一元一次不等式组，解题的关键是掌
握解一元一次不等式组的步骤和分式混合运算顺序和运算法则．
17．（6分）小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动．小明想参加敬老服务活动，
小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小
明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个
数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机
抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的
想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮
的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【分析】首先根据题意列表，然后根据表求得所有等可能的结果与和为奇数、偶数
的情况，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：不公平，
列表如下：
4 5 6
4 8 9 10
5 9 10 11
6 10 11 12
由表可知，共有9种等可能结果，其中和为偶数的有5种结果，和为奇数的有4种
结果，
所以按照小明的想法参加敬老服务活动的概率为 ，按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动的概率为 ，
由 ≠ 知这个游戏不公平；
【点评】此题考查了列表法求概率．注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出
所有等可能的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18．（6分）八年级（1）班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校
随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘
制了以下统计图．
请根据图中信息解决下列问题：
（1）共有 10 0 名同学参与问卷调查；
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）全校共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多
少．
【分析】（1）由读书1本的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以读4本的百分比求得其人数，减去男生人数即可得出女生人数，
用读2本的人数除以总人数可得对应百分比；
（3）总人数乘以样本中读2本人数所占比例．
【解答】解：（1）参与问卷调查的学生人数为（8+2）÷10%=100人，
故答案为：100；
（2）读4本的女生人数为100×15%﹣10=5人，读2本人数所占百分比为 ×100%=38%，
补全图形如下：
（3）估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为1500×38%=570人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同
的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个
项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．（6分）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直
的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位
于南偏西73.7°，测得AC=840m，BC=500m．请求出点O到BC的距离．
参考数据：sin73.7°≈ ，cos73.7°≈ ，tan73.7°≈
【分析】作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，设OM=x，根据矩形的性质用x表示出
OM、MC，根据正切的定义用x表示出BM，根据题意列式计算即可．
【解答】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，
则四边形ONCM为矩形，
∴ON=MC，OM=NC，设OM=x，则NC=x，AN=840﹣x，
在Rt△ANO中，∠OAN=45°，
∴ON=AN=840﹣x，则MC=ON=840﹣x，
在Rt△BOM中，BM= = x，
由题意得，840﹣x+ x=500，
解得，x=480，
答：点O到BC的距离为480m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注
方向角是解题的关键．
20．（8分）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y ），C（6m，
1
y ），其中m＞0．
2
（1）当y ﹣y =4时，求m的值；
1 2
（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，
若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．
【分析】（1）先根据反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y= ，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y = =
1
，y = = ，然后根据y ﹣y =4列出方程 ﹣ =4，解方程即可求出m的值；
2 1 2
（2）设BD与x轴交于点E．根据三角形PBD的面积是8列出方程 • •PE=8，求出
PE=4m，再由E（2m，0），点P在x轴上，即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y= ，
∵反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），
∴k=﹣4×（﹣3）=12，
∴反比例函数的解析式为y= ，
∵反比例函数的图象经过点B（2m，y ），C（6m，y ），
1 2
∴y = = ，y = = ，
1 2
∵y ﹣y =4，
1 2
∴ ﹣ =4，
∴m=1；
（2）设BD与x轴交于点E．
∵点B（2m， ），C（6m， ），过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点
D，
∴D（2m， ），BD= ﹣ = ．
∵三角形PBD的面积是8，
∴ BD•PE=8，
∴ • •PE=8，
∴PE=4m，∵E（2m，0），点P在x轴上，
∴点P坐标为（﹣2m，0）或（6m，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的
坐标特征以及三角形的面积，正确求出双曲线的解析式是解题的关键．
21．（8分）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD
的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB=AF；
（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；
（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BE∥CD，AB=CD，
∴∠AFC=∠DCG，
∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF=CD，
∴AB=CF．（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵AF=CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠FAG=60°，
∵AB=AG=AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG=GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG=CG，∵AG=GD，
∴AD=CF，
∴四边形ACDF是矩形．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性
质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发
出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成
本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=
﹣x+26．
（1）求这种产品第一年的利润W（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；
1
（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投
入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产
品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算
该公司第二年的利润W 至少为多少万元．
2
【分析】（1）根据总利润=每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；
（2）构建方程即可解决问题；
（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数，利用而学会设的性质即
可解决问题；【解答】解：（1）W =（x﹣6）（﹣x+26）﹣80=﹣x2+32x﹣236．
1
（2）由题意：20=﹣x2+32x﹣236．
解得：x=16，
答：该产品第一年的售价是16元．
（3）由题意：7≤x≤16，
W =（x﹣5）（﹣x+26）﹣20=﹣x2+31x﹣150，
2
∵7≤x≤16，
∴x=7时，W 有最小值，最小值=18（万元），
2
答：该公司第二年的利润W 至少为18万元．
2
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理
解题意，学会构建方程或函数解决问题，属于中考常考题型．
23．（10分）问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图1方式
搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律．
问题探究：
我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法．
探究一
用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n的矩形框架（m、n是正整数），需要木棒的
条数．
如图①，当m=1，n=1时，横放木棒为1×（1+1）条，纵放木棒为（1+1）×1条，共需
4条；
如图②，当m=2，n=1时，横放木棒为2×（1+1）条，纵放木棒为（2+1）×1条，共需
7条；如图③，当m=2，n=2时，横放木棒为2×（2+1））条，纵放木棒为（2+1）×2条，共
需12条；如图④，当m=3，n=1时，横放木棒为3×（1+1）条，纵放木棒为（3+1）
×1条，共需10条；
如图⑤，当m=3，n=2时，横放木棒为3×（2+1）条，纵放木棒为（3+1）×2条，共需
17条．
问题（一）：当m=4，n=2时，共需木棒 2 2 条．
问题（二）：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒为 m （ n + 1 ） 条，
纵放的木棒为 n （ m + 1 ） 条．
探究二
用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n，高是s的长方体框架（m、n、s是正整数），
需要木棒的条数．
如图⑥，当m=3，n=2，s=1时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×
（1+1）=34条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×1=12条，共需46条；
如图⑦，当m=3，n=2，s=2时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×
（2+1）=51条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×2=24条，共需75条；
如图⑧，当m=3，n=2，s=3时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×
（3+1）=68条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×3=36条，共需104条．
问题（三）：当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒条数
之和为 [ m （ n + 1 ） + n （ m + 1 ） ]（ s + 1 ） 条，竖放木棒条数为 （ m + 1 ）（ n + 1 ） s 条．
实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架，总
共使用了170条木棒，则这个长方体框架的横长是 4 ．拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，
需要木棒 1320 条．
【分析】从特殊到一般探究规律后利用规律即可解决问题；
【解答】解：问题（一）：当m=4，n=2时，横放木棒为4×（2+1）条，纵放木棒为
（4+1）×2条，共需22条；
问题（二）：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒为 m（n+1）条，纵放的
木棒为n（m+1）条；
问题（三）：当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒条数
之和为[m（n+1）+n（m+1）]（s+1）条，竖放木棒条数为（m+1）（n+1）s条．
实际应用：这个长方体框架的横长是 s，则：[3m+2（m+1）]×5+（m+1）
×3×4=170，解得m=4，
拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，
横放与纵放木棒条数之和为165×6=990条，竖放木棒条数为60×5=330条需要
木棒1320条．
故答案为22，m（n+1），n（m+1），[m（n+1）+n（m+1）]（s+1），（m+1）（n+1）s，4，
1320；
【点评】本题考查规律型﹣图形变化类问题，解题的关键是理解题意，学会用分类
讨论的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
24．（12分）已知：如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB=16cm，BC=6cm，
CD=8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速
运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平行
四边形AQPE，设运动的时间为t（s），0＜t＜5．
根据题意解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示AP；（2）设四边形CPQB的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）当QP⊥BD时，求t的值；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠ABD的平分线上？若存在，
求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图作DH⊥AB于H则四边形DHBC是矩形，利用勾股定理求出AD的
长即可解决问题；
（2）作PN⊥AB于N．连接PB，根据S=S +S ，计算即可；
△PQB △BCP
（3）当PQ⊥BD时，∠PQN+∠DBA=90°，∠QPN+∠PQN=90°，推出∠QPN=∠DBA，
推出tan∠QPN= = ，由此构建方程即可解解题问题；
（4）存在．连接 BE 交 DH 于 K，作 KM⊥BD 于 M．当 BE 平分∠ABD 时，
△KBH≌△KBM，推出KH=KM，BH=BM=8，设KH=KM=x，在Rt△DKM中，（6﹣x）
2=22+x2，解得x= ，作EF⊥AB于F，则△AEF≌△QPN，推出EF=PN= （10﹣2t），
AF=QN= （10﹣2t）﹣2t，推出BF=16﹣[ （10﹣2t）﹣2t]，由KH∥EF，可得 = ，
由此构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）如图作DH⊥AB于H，则四边形DHBC是矩形，
∴CD=BH=8，DH=BC=6，
∴AH=AB﹣BH=8，AD= =10，BD= =10，
由题意AP=AD﹣DP=10﹣2t．
（2）作PN⊥AB于N．连接PB．在Rt△APN中，PA=10﹣2t，
∴PN=PA•sin∠DAH= （10﹣2t），AN=PA•cos∠DAH= （10﹣2t），
∴BN=16﹣AN=16﹣ （10﹣2t），
S=S +S = •（16﹣2t）• （10﹣2t）+ ×6×[16﹣ （10﹣2t）]= t2﹣12t+78
△PQB △BCP（3）当PQ⊥BD时，∠PQN+∠DBA=90°，
∵∠QPN+∠PQN=90°，
∴∠QPN=∠DBA，
∴tan∠QPN= = ，
∴ = ，
解得t= ，
经检验：t= 是分式方程的解，
∴当t= s时，PQ⊥BD．
（4）存在．
理由：连接BE交DH于K，作KM⊥BD于M．
当BE平分∠ABD时，△KBH≌△KBM，
∴KH=KM，BH=BM=8，设KH=KM=x，
在Rt△DKM中，（6﹣x）2=22+x2，
解得x= ，
作EF⊥AB于F，则△AEF≌△QPN，
∴EF=PN= （10﹣2t），AF=QN= （10﹣2t）﹣2t，
∴BF=16﹣[ （10﹣2t）﹣2t]，
∵KH∥EF，
∴ = ，
∴ = ，解得：t= ，
经检验：t= 是分式方程的解，
∴当t= s时，点E在∠ABD的平分线．
【点评】本题考查四边形综合题，解直角三角形、锐角三角函数、全等三角形的判
定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线
构造直角三角形或全等三角形解决问题，学会理由参数构建方程解决问题，属于
中考压轴题．
