文档内容
2019 年宁夏中考数学试卷（教师版）
一、选择题（本共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中只有一个是符
合目要求的）
1．（3分）港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度
最长的跨海大桥，全长55000米．数字55000用科学记数法表示为（ ）
A．5.5×104 B．55×104 C．5.5×105 D．0.55×106
【微点】科学记数法—表示较大的数．
【思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104．
故选：A．
【点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其
中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（3分）下列各式中正确的是（ ）
A． ±2 B． 3 C． 2 D．
【微点】算术平方根；立方根．
【思路】分别根据算术平方根、立方根的性质化简即可判断．
【解析】解：A. ，故选项A不合题意；
B. ，故选项B不合题意；
C. ，故选项C不合题意；
D. ，故选项D符合题意．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了算术平方根和立方根的定义，熟练掌握算术平方根和立方根的
性质是解答本题的关键．
3．（3分）由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图所示，其中小
第 1 页 / 共 22 页正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【微点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体．
【思路】由俯视图知该几何体共3列，其中第1列前一排3个正方形、后1排1个正方
形，第2列只有后排2个正方形，第三列只有1个正方形，据此可得．
【解析】解：由俯视图知该几何体共3列，其中第1列前一排3个正方形、后1排1个
正方形，第2列只有后排2个正方形，第三列只有1个正方形，
所以其主视图为：
故选：A．
【点拨】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．（3分）为了解学生课外阅读时间情况，随机收集了30名学生一天课外阅读时间，整
理如下表：
阅读时间/小时 0.5及以下 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5及以上
人数 2 9 6 5 4 4
则本次调查中阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
A．0.7和0.7 B．0.9和0.7 C．1和0.7 D．0.9和1.1
【微点】中位数；众数．
第 2 页 / 共 22 页【思路】根据表格中的数据可知共有30人参与调查，从而可以得到全班学生平均每天
阅读时间的中位数和众数，本题得以解决．
【解析】解：由表格可得，30名学生平均每天阅读时间的中位数是： 0.9
30名学生平均每天阅读时间的是0.7，
故选：B．
【点拨】本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的众数和
中位数．
5．（3分）如图，在△ABC中AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE．连接
DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．55° D．70°
【微点】平行线的性质；等腰三角形的性质．
【思路】根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论．
【解析】解：∵AC＝CB，∠C＝40°，
∴∠BAC＝∠B （180°﹣40°）＝70°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED （180°﹣70°）＝55°，
∵GH∥DE，
∴∠GAD＝∠ADE＝55°，
故选：C．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是
解题的关键．
6．（3分）如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，
第 3 页 / 共 22 页仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
【微点】菱形的判定．
【思路】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
【解析】解：∵四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
当AB＝AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；
当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；
当∠ABD＝∠CBD时，
由AD∥BC得：∠CBD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
故选：C．
【点拨】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判
定．
7．（3分）函数y 和y＝kx+2（k≠0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
第 4 页 / 共 22 页C． D．
【微点】一次函数的图象；反比例函数的图象．
【思路】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点，可以解答
本题．
【解析】解：在函数y 和y＝kx+2（k≠0）中，
当k＞0时，函数y 的图象在第一、三象限，函数y＝kx+2的图象在第一、二、三象
限，故选项A、D错误，选项B正确，
当k＜0时，函数y 的图象在第二、四象限，函数y＝kx+2的图象在第一、二、四象
限，故选项C错误，
故选：B．
【点拨】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，
利用分类讨论的数学思想解答．
8．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为
半径作扇形ABF，扇形DCE．则图中阴影部分的面积是（ ）
A．6 B．6 C．12 D．12
π π π π
【微点】正多边形和圆；扇形面积的计算．
第 5 页 / 共 22 页【思路】根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，
从而可以解答本题．
【解析】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴正六边形ABCDEF的面积是： 6 6 ，∠FAB
＝∠EDC＝120°，
∴图中阴影部分的面积是：6 ，
故选：B．
【点拨】本题考查正多边形和圆、扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用
数形结合的思想解答．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：2a3﹣8a＝ 2 a （ a + 2 ）（ a ﹣ 2 ） ．
【微点】提公因式法与公式法的综合运用．
【思路】原式提取2a，再利用平方差公式分解即可．
【解析】解：原式＝2a（a2﹣4）＝2a（a+2）（a﹣2），
故答案为：2a（a+2）（a﹣2）
【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方程是解本
题的关键．
10．（3分）计算：（ ）﹣1+|2 |＝ ．
【微点】实数的运算；负整数指数幂．
【思路】分别化简每一项可得（ ）﹣1+|2 |＝﹣2+2 ；
【解析】解：（ ）﹣1+|2 |＝﹣2+2 ；
故答案为 ；
【点拨】本题考查实数的运算，负整数指数幂的运算；掌握实数的运算性质，负整数指
第 6 页 / 共 22 页数幂的运算法则是解题的关键．
11．（3分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色乒乓球和若干个
白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为 ，那么盒子内
白色乒乓球的个数为 4 ．
【微点】概率公式．
【思路】设盒子内白色乒乓球的个数为x，根据摸到白色乒乓球的概率为 列出关于x的
方程，解之可得．
【解析】解：设盒子内白色乒乓球的个数为x，
根据题意，得： ，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原分式方程的解，
∴盒子内白色乒乓球的个数为4，
故答案为：4．
【点拨】此题主要考查了概率公式，关键是掌握随机事件 A的概率P（A）＝事件A可
能出现的结果数：所有可能出现的结果数．
12．（3分）已知一元二次方程3x2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围 k
．
【微点】根的判别式．
【思路】方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范
围．
【解析】解：∵方程3x2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即42﹣4×3×（﹣k）＞0，
解得k ，
第 7 页 / 共 22 页故答案为：k ．
【点拨】本题考查根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根． ⇔
13．（3分）为⇔了解某班学生体育锻炼的用时情况，收集了该班学生一天用于体育锻炼的
时间（单位：小时），整理成如图的统计图．则该班学生这天用于体育锻炼的平均时间
为 1.1 5 小时．
【微点】条形统计图；加权平均数．
【思路】首先根据条形图得出该班学生的总人数以及一天用于体育锻炼的时间，再利用
加权平均数的公式列式计算即可．
【解析】解：由图可知，该班一共有学生：8+16+12+4＝40（人），
该班学生这天用于体育锻炼的平均时间为：（0.5×8+1×16+1.5×12+2×4）÷40＝1.15（小
时）．
故答案为1.15．
【点拨】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信
息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．也考查了加权平均
数．
14．（3分）如图，AB是 O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧 沿弦AB折叠交于
⊙
OC的中点D，若AB＝2 ，则 O的半径为 3 ．
⊙
【微点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）．
【思路】连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得
第 8 页 / 共 22 页结果．
【解析】解：连接OA，设半径为x，
∵将劣弧 沿弦AB折叠交于OC的中点D，
∴OC ，OC⊥AB，
∴AC ，
∵OA2﹣OC2＝AC2，
∴ ，
解得，x＝3 ．
故答案为：3 ．
【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列
出半径的方程．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，
分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两
弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若∠A＝30°，则 ．
第 9 页 / 共 22 页【微点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形；作图—基本作图．
【思路】利用基本作图得BD平分∠ABC，再计算出∠ABD＝∠CBD＝30°，所以DA＝
DB，利用BD＝2CD得到AD＝2CD，然后根据三角形面积公式可得到 的值．
【解析】解：由作法得BD平分∠ABC，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴DA＝DB，
在Rt△BCD中，BD＝2CD，
∴AD＝2CD，
∴ ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；
作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知
直线的垂线）．
16．（3分）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以
方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其
所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是
（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 4×14+52，据
此易得x＝2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格
第 10 页 / 共 22 页点上）中，能够说明方程x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是 ．（只填序号）
②
【微点】一元二次方程的应用．
【思路】仿造案例，构造面积是（x+x﹣4）2的大正方形，由它的面积为4×12+42，可求
出x＝6，此题得解．
【解析】解：∵x2﹣4x﹣12＝0即x（x﹣4）＝12，
∴构造如图 中大正方形的面积是（x+x﹣4）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中
间小正方形的②面积，即4×12+42，
据此易得x＝6．
故答案为： ．
【点拨】本②题考查了一元二次方程的应用，仿造案例，构造出合适的大正方形是解题的
关键．
三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）
17．（6分）已知：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（5，4），B
（0，3），C（2，1）．
（1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A B C ，并写出点C 的坐标；
1 1 1 1
（2）画出将A B C 绕点C 按顺时针旋转90°所得的△A B C ．
1 1 1 1 2 2 1
【微点】作图﹣旋转变换．
【思路】（1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；
（2）分别作出点A 、B 绕点C 按顺时针旋转90°所得的对应点，再顺次连接即可得．
1 1 1
第 11 页 / 共 22 页【解析】解：（1）如图所示，△A B C 即为所求，其中点C 的坐标为（﹣2，﹣1）．
1 1 1 1
（2）如图所示，△A B C 即为所求．
2 2 1
【点拨】此题主要考查了图形的旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
18．（6分）解方程： 1 ．
【微点】解分式方程．
【思路】方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得x＝4；
【解析】解： 1 ，
方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得
2（x﹣1）+（x+2）（x﹣1）＝x（x+2），
∴x＝4，
经检验x＝4是方程的解；
∴方程的解为x＝4；
【点拨】本题考查分式方程的解；掌握分式方程的求解方法，验根是关键．
19．（6分）解不等式组： ．
【微点】解一元一次不等式组．
【思路】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中
间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
第 12 页 / 共 22 页【解析】解：解不等式 1，得：x≥4，
解不等式 x+2，得：x＞﹣7，
则不等式组的解集为x≥4．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（6分）学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中，为学生化妆．其中5名男生和3名
女生共需化妆费190元；3名男生的化妆费用与2名女生的化妆费用相同．
（1）求每位男生和女生的化妆费分别为多少元；
（2）如果学校提供的化妆总费用为2000元，根据活动需要至少应有42名女生化妆，
那么男生最多有多少人化妆．
【微点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【思路】（1）设每位男生的化妆费是x元，每位女生的化妆费是y元．关键描述语：5
名男生和3名女生共需化妆费190元；3名男生的化妆费用与2名女生的化妆费用相同．
（2）设男生有a人化妆，根据女生人数 42列出不等
式并解答．
【解析】解：（1）设每位男生的化妆费是x元，每位女生的化妆费是y元，
依题意得： ．
解得： ．
答：每位男生的化妆费是20元，每位女生的化妆费是30元；
（2）设男生有a人化妆，
依题意得： 42．
解得a≤37．
即a的最大值是37．
第 13 页 / 共 22 页答：男生最多有37人化妆．
【点拨】考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读
懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系．
21．（6分）如图，已知矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EF⊥EC，且AE
＝CD．
（1）求证：AF＝DE；
（2）若DE AD，求tan∠AFE．
【微点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．
【思路】（1）根据矩形的性质得到∠A＝∠D＝90°，由垂直的定义得到∠FEC＝90°，
根据余角的性质得到∠AFE＝∠DEC，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）由已知条件得到AE DE，由AF＝DE，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵EF⊥CE，
∴∠FEC＝90°，
∴∠AFE+∠AEF＝∠AEF+∠DEC＝90°，
∴∠AFE＝∠DEC，
在△AEF与△DCE中， ，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AF＝DE；
（2）解：∵DE AD，
第 14 页 / 共 22 页∴AE DE，
∵AF＝DE，
∴tan∠AFE ．
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，正确的
识别图形是解题的关键．
22．（6分）为了创建文明城市，增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃
圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为A，B，C，D，E，F，G，H，其中
“√”表示投放正确，“×”表示投放错误，统计情况如下表．
学生 A B C D E F G H
垃圾类别
厨余垃圾 √ √ √ √ √ √ √ √
可回收垃圾 √ × √ × × √ √ √
有害垃圾 × √ × √ √ × × √
其他垃圾 × √ √ × × √ √ √
（1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；
（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从 8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生
中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果．
【微点】统计表；列表法与树状图法．
【思路】（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）利用列表法可得所有等可能结果．
【解析】解：（1）8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率为 ；
（2）列表如下：
A C F G
A CA FA GA
C AC FC GC
F AF CF GF
第 15 页 / 共 22 页G AG CG FG
【点拨】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所
有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用
到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
四、解答题（本共4道题，其中23、24题每题8分，25、28题每题10分，共38分）
23．（8分）如图在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径作 O交AC于点D，连接OD．
（1）求证：OD∥BC； ⊙
（2）过点D作 O的切线，交BC于点E，若∠A＝30°，求 的值．
⊙
【微点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．
【思路】（1）由边等得角等，再由同位角相等，可证得平行；
（2）连接BD，由∠A＝30°得∠C，由切线得OD⊥DE，由OD∥BC，得DE⊥BC，再
利用三角函数可求得CD与BE的比值．
【解析】解：（1）证明∵AB＝BC
∴∠A＝∠C
∵OD＝OA
∴∠A＝∠ADO
∴∠C＝∠ADO
∴OD∥BC
（2）如图，连接BD，
∵∠A＝30°，∠A＝∠C
∴∠C＝30°
∵DE为 O的切线，
⊙
第 16 页 / 共 22 页∴DE⊥OD
∵OD∥BC
∴DE⊥BC
∴∠BED＝90°
∵AB为 O的直径
∴∠BDA⊙＝90°，∠CBD＝60°
∴ tan∠C＝tan30°
∴BD CD
∴ cos∠CBD＝cos60°
∴BE BD CD
∴
【点拨】本题属于圆的综合题，考查了平行线的判定，切线的性质，三角函数等知识点，
综合性较强，难度中等略大．
24．（8分）将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、
BC分别与x轴和y轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿y轴向下平移，当点B平
移到原点O时运动停止．设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面
积为s，s关于m的函数图象（如图2所示）与m轴相交于点P（ ，0），与s轴相交
于点Q．
（1）试确定三角板ABC的面积；
（2）求平移前AB边所在直线的解析式；
（3）求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标．
第 17 页 / 共 22 页【微点】一次函数综合题．
【思路】（1）与m轴相交于点P（ ，0），可知OB ，OA＝1；
（2）设AB的解析式y＝kx+b，将点B（0， ），A（1，0）代入即可；
（3）在移动过程中OB m，则OA＝tan30°×OB （ m）＝1 m，
所以s （ m）×（1 m） m ，（0≤m ）；当m＝
0时，s ，即可求Q（0， ）．
【解析】解：（1）∵与m轴相交于点P（ ，0），
∴OB ，
∵∠ABC＝30°，
∴OA＝1，
∴S ；
（2）∵B（0， ），A（1，0），
设AB的解析式y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴y x ；
第 18 页 / 共 22 页（3）在移动过程中OB m，则OA＝tan30°×OB （ m）＝1 m，
∴s （ m）×（1 m） m ，（0≤m ）
当m＝0时，s ，
∴Q（0， ）．
【点拨】本题考查直角三角形平移，一次函数的性质；能够通过函数图象得到B（0，
）是解题的关键．
25．（10分）在综合与实践活动中，活动小组对学校400米的跑道进行规划设计，跑道由
两段直道和两端是半圆弧的跑道组成．其中400米跑道最内圈为400米，两端半圆弧的
半径为36米．（ 取3.14）．
（1）求400米跑π道中一段直道的长度；
（2）在活动中发现跑道周长（单位：米）随跑道宽度（距最内圈的距离，单位：米）
的变化而变化．请完成下表：
跑道宽度/米 0 1 2 3 4 5 …
跑道周长/米 400 …
若设x表示跑道宽度（单位：米），y表示该跑道周长（单位：米），试写出y与x的函
数关系式：
（3）将446米的跑道周长作为400米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长
400米）形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条？
【微点】规律型：图形的变化类；一次函数的应用．
【思路】（1）根据周长的意义：直道长度+弯道长度＝400求出，
第 19 页 / 共 22 页（2）跑道宽度增加，就是半圆的半径增加，依据圆的周长公式可求当跑道宽度为1、
2、3、4、5、……时，跑道的周长，填写表格．并求出函数关系式．
（3）依据关系式，可求当跑道周长为446米时，对应的跑道的宽度，再根据每道宽1.2
米，求出可以设计几条跑道．
【解析】解：（1）400米跑道中一段直道的长度＝（400﹣2×36×3.14）÷2＝86.96 m
（2）表格如下：
y＝2 x+400＝6.28x+400；
（3）π当y＝446时，即6.28x+400＝446，
解得：x≈7.32 m
7.32÷1.2≈6 条
∴最多能铺设道宽为1.2米的跑道6条．
【点拨】体会跑道周长怎样随着跑道宽度的变化而变化的关系，进而得出宽度周长y与
跑道宽度x之间的函数关系式，其中圆的周长公式、一次函数性质是解决问题必需的知
识．
26．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC
上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于
点N，连接NQ，设BQ为x．
（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；
（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；
（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．
【微点】相似形综合题．
【思路】（1）根据题意得到∠MQB＝∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；
第 20 页 / 共 22 页（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；
（3）根据勾股定理求出BC，根据相似三角形的性质用x表示出QM、BM，根据梯形面
积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可．
【解析】解：（1）∵MQ⊥BC，
∴∠MQB＝90°，
∴∠MQB＝∠CAB，又∠QBM＝∠ABC，
∴△QBM∽△ABC；
（2）当BQ＝MN时，四边形BMNQ为平行四边形，
∵MN∥BQ，BQ＝MN，
∴四边形BMNQ为平行四边形；
（3）∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC 5，
∵△QBM∽△ABC，
∴ ，即 ，
解得，QM x，BM x，
∵MN∥BC，
∴ ，即 ，
解得，MN＝5 x，
则四边形BMNQ的面积 （5 x+x） x （x ）2 ，
∴当x 时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为 ．
【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，
第 21 页 / 共 22 页掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键．
第 22 页 / 共 22 页
