文档内容
2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至
9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
1．已知全集U =R，集合A= x|-2≤x≤3 ，B=x|x<-1或x>4，那么集合
A ð B 等于（ ）
I U
A．
x|-2≤x<4
B．
x|x≤3或x≥4
C．
x|-2≤x<-1
D．
x|-1≤x≤3
2π
2．若a=20.5，b=log 3，c=log sin ，则（ ）
π 2 5
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a
3．“函数 f(x)(xÎR)存在反函数”是“函数 f(x)在R上为增函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若点P到直线x=-1的距离比它到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
ìx- y+1≥0，
ï
5．若实数x，y满足íx+ y≥0， 则z =3x+2y的最小值是（ ）
ï x≤0，
î
A．0 B．1 C． 3 D．9
6．已知数列a 对任意的 p，qÎN*满足a =a +a ，且a =-6，那么a 等于（
n p+q p q 2 10
第1页 | 共5页）
A．-165 B．-33 C．-30 D．-21
7．过直线y = x上的一点作圆(x-5)2 +(y-1)2 =2的两条切线l，l ，当直线l，l 关于
1 2 1 2
y = x对称时，它们之间的夹角为（ ）
A．30o B．45o C．60o D．90o
8．如图，动点P在正方体ABCD-ABC D 的对角线BD 上．过点P作垂直于平面
1 1 1 1 1
BBDD的直线，与正方体表面相交于M，N ．设BP= x，MN = y，则函数y = f(x)
1 1
的图象大致是（ ）
y y y y
A
1
O x O x O x O x
A． B． C． D．
A
2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）
第Ⅱ卷
（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9．已知(a-i)2 =2i，其中i是虚数单位，那么实数a= ．
10．已知向量a与b的夹角为120o，且 a = b =4，那么b (2a+b)的值为 ．
g
n
æ 1 ö
11．若ç x2 + ÷ 展开式的各项系数之和为32，则n= ，其展开式中的常数项为
è x3 ø
．（用数字作答）
12．如图，函数 f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为
y
(0，4)，(2，0)，(6，4)，则 f(f(0))= ； A
4 C
3
2
1
B
第2页 | 共5页 O 1 2 3 4 5 6 xf(1+Dx)- f(1)
lim = ．（用数字作答）
Dx®0 Dx
é π πù
13．已知函数 f(x)= x2 -cosx，对于 - ， 上的任意x，x ，有如下条件：
ê ë 2 2 ú û 1 2
①x > x ； ②x2 > x2； ③ x > x ．
1 2 1 2 1 2
其中能使 f(x )> f(x )恒成立的条件序号是 ．
1 2
14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植
在点P (x，y )处，其中x =1，y =1，当k≥2时，
k k k 1 1
ì é æk-1ö æk-2öù
ï x = x +1-5 ê T ç ÷ -T ç ÷ú ，
ï k k-1 ë è 5 ø è 5 øû
í
ï æk-1ö æk-2ö
y = y +T -T ．
ç ÷ ç ÷
ï î k k-1 è 5 ø è 5 ø
T(a)表示非负实数a的整数部分，例如T(2.6)=2，T(0.2)=0．
按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13分）
æ πö
已知函数 f(x)=sin2wx+ 3sinwxsin ç wx+ ÷（w>0）的最小正周期为π．
è 2ø
（Ⅰ）求w的值；
é 2πù
（Ⅱ）求函数 f(x)在区间 0， 上的取值范围．
ê ú
ë 3 û
16．（本小题共14分）
如图，在三棱锥P-ABC 中，AC = BC =2，ÐACB=90o，AP= BP= AB，
PC ^ AC ． P
（Ⅰ）求证：PC ^ AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；
（Ⅲ）求点C到平面APB的距离． A B
C
第3页 | 共5页17．（本小题共13分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至
少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量x为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求x的分布列．
18．（本小题共13分）
2x-b
已知函数 f(x)= ，求导函数 f¢(x)，并确定 f(x)的单调区间．
(x-1)2
19．（本小题共14分）
已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2 +3y2 =4上，对角线BD所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线BD过点(0，1)时，求直线AC的方程；
（Ⅱ）当ÐABC =60o时，求菱形ABCD面积的最大值．
20．（本小题共13分）
对于每项均是正整数的数列A：a，a， ，a ，定义变换T ，T 将数列A变换成数列
1 2 L n 1 1
T(A)：n，a -1，a -1， ，a -1．
1 1 2 L n
对于每项均是非负整数的数列B：b，b， ，b ，定义变换T ，T 将数列B各项从大到
1 2 L m 2 2
小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T (B)；
2
又定义S(B)=2(b +2b + +mb )+b2 +b2 + +b2．
1 2 L m 1 2 L m
设A 是每项均为正整数的有穷数列，令A =T (T(A ))(k =0，1，2， )．
0 k+1 2 1 k L
（Ⅰ）如果数列A 为5，3，2，写出数列A，A ；
0 1 2
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S(T(A))=S(A)；
1
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A ，存在正整数K，当k≥K
0
时，S(A )=S(A )．
k+1 k
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