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第四讲 整除问题和合作完工问题
✎利用倍数特性解决不定方程：
例题1（2024联考）
大学生创业主要集中在高科技、智力服务、连锁加盟和自媒体运营四个领域。某学院今年选择创业的
1 1 1
大学毕业生不到50人，其中选择智力服务领域、连锁加盟领域和自媒体运营领域的分别占 ， 和 。那么
7 2 3
该学院今年选择高科技领域创业的大学毕业生有多少人？
A．1 B．3
C．5 D．7
【答案】A
【解析】先求得7、2、3的最小公倍数为42，又因为题干说总人数不到50人，所以总人数只能是42人，
则智力服务领域人数为42×
第 1 页
1
7
=6人；连锁加盟领域人数为42×
1
2
=21人；自媒体运营领域人数为42×
1
3
=14人，故高科技领域人数为42-6-21-14=1人，对应到A选项。
例题2（2023北京）
某单位3个部门共有员工50人，拥有中级工程师职称的人员比重为40%。其中甲、乙两个部门拥有中
级工程师职称的人员比重分别为45%和32%，则丙部门拥有中级工程师职称的人员比重为多少？
A．60% B．52%
C．44% D．36%
【答案】A
【解析】甲部门中级工程师职称的人员比重为
4 5
1 0 0
=
9
2 0
；乙部门中级工程师职称的人员比重为
3 2
1 0 0
=
8
2 5
，
根据整除特性可知，甲部门员工总数为20的倍数，乙部门员工总数为25的倍数，又因为三个部门总人数
为50，故甲部门员工总数为20人，乙部门为25人，丙部门为5人，且甲部门拥有中级工程师职称人数为
9人，乙部门为8人，又已知3个部门共有中级工程师职称的人员为50×40%=20人，故丙部门拥有中级关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等
3
工程师职称人数为3人，所占比重为 ，对应到A选项。
5
例题3（2018山东）
某企业有不到100名员工，本月只有1/12的员工未得到每人1000元的全勤奖，只有13名员工未得
到每人1000元的绩效奖，两个奖都未得到的员工占员工总数的1/14。问企业本月共发放全勤奖和绩效奖
多少万元？
A．7.1 B．12.6
C．14.8 D．16.8
【答案】C
【解析】先求出12与14的最小公倍数84，又因为员工总数不到100人，所以总人数为84人。则可以求
出，未得到全勤奖的有7人，得到全勤奖的有77人，得到绩效奖的有84-13=71人，企业本月共发放全勤
奖和绩效奖=（77+71）×1000=14.8万，对应到C选项。
例题4（2021国考）
某地调派96人分赴车站、机场、超市和学校四个人流密集的区域进行卫生安全检查，其中公共卫生
专业人员有62人。已知派往机场的人员是四个区域中最多的，派往车站和超市的人员中，专业人员分别
占64%和65%，派往学校的人员中，非专业人员比专业人员少30%，问派往机场的人员中，专业人员的占比
在四个区域中排名
A．第一 B．第二
C．第三 D．第四
【答案】A
【解析】车站专业人员人数占比为
第 2 页
6 4
1 0 0
=
1
2
6
5
；超市专业人员人数占比为
6 5
1 0 0
=
1
2
3
0
；学校专业人员人数占
比为
1
1
0
7
，故去车站的总人数是25的倍数，去超市的总人数为20的倍数，去学校的总人数为17的倍数，
又因为总人数为96且派往机场的人员是四个区域中最多的，所以去车站的总人数是25人，超市为20人
学校为17人，通过计算得出去机场的总人数为34人，故去车站的专业人员为16人，超市为13人，学校
为10人，机场为23人，则占比为
2
3
3
4
批注 [毛豆十三1]: 与谁比谁是基期，假设专业人员是10
份，则非专业人员为7份。
大于66.6%，占比最高，对应到A选项。
批注 [毛豆十三2]: 盐水思想：
例题5（2019联考）
某农户饲养有肉兔和宠物兔两种不同用途的兔子共计 2200 只，所有兔子的毛色分为黑、白两种。肉
2334
=
2030 ++ 34
， 左 边 为
23
， 右 边 大 于
23
， 故 总 体 占 比 大 于
23
批注 [毛豆十三3]:
1
1
0
7
不 到 6 0 % 。关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等
兔中有87.5%的毛色为黑色，宠物兔中有23%毛色为白。据此可知，毛色为白色的肉兔至少有多少只？
A．25 B．50
C．100 D．200
【答案】A
【解析】白兔在宠物兔中的占比为
第 3 页
2 3
1 0 0
，黑色肉兔在肉兔中的占比为
7
8
，故宠物兔总数为100的倍数，肉
兔总数为8的倍数，并且兔子总数为2200，是100的倍数，所以肉兔也得是100的倍数，又因为题干问白
色肉兔至少为多少，则要肉兔总数最少，只能是200，所以白色肉兔数量最少为200×
1
8
=25，对应到A选
项。
✎利用整除特性解决纯整除问题：
3的倍数：各位数字之和是3的倍数；
9的倍数：各位数字之和是9的倍数；
最后一位能被2或5整除，这个数能被2或5整除；
最后二位能被4或25整除，这个数能被4或25整除；
最后三位能被8或125整除，这个数能被8或125整除；
例题6（2021上海）
公司购买某设备 24 套，现要登记单价，但是数据上没有标注单价，且总价第一位和最后一位模糊不
清，只看到是☆579△元。则☆可能是几？
A．3 B．5
C．7 D．9
【答案】C
【解析】将24因式分解为3×8，所以这个数即是3也是8的倍数，则后三位需要是8的倍数，△只能是
2；所有数字之和需要是3的倍数，则☆可以是1、4、7，观察选项，只能是C。
例题7（2015黑龙江）
小李某月请了连续5天的年假，这5天的日期数字相乘为7893600，问他最后一天年假的日期是？
A．25日 B．26日
C．27日 D．28日
【答案】B
【解析】将所有各位数字相加等于33，可以确定此数是3的倍数并且不是9的倍数，则5天的日期相乘只
能出现一个3因子，观察选项，只有B选项符合。关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等
例题8（2022深圳）
小王从图书馆借了一本书，书共204页，阅读时，他发现书的前半部分有连续的4个页码被墨水污染，
将其余200个页码加总，其和刚好可以被85整除，则被污染的4个页码中最小的数是多少？
A．100 B．95
C．75 D．41
【答案】D
【解析】先计算204页总数为
第 4 页
（ 1 + 2 0 ） 4
2
2 0 4
= 2 0 5 1 0 2 ，其中102可以拆成6×17，205一定是5的倍
数，故205×102是85的倍数，又因为剩余200个页码加总其和刚好可以被85整除，所以被污染的4个
页码总和也是85的倍数，通过计算可知，D选项当选。
例题9（2020国考）
某种产品每箱48个。小李制作这种产品，第1天制作了1个，以后每天都比前一天多制作1个。X天
后总共制作了整数箱产品。问X的最小值在以下哪个范围内？
A．在41～60之间 B．超过60
C．不到20 D．在20～40之间
【答案】D
【解析】利用等差数列求和公式求得X天后制作总量为
（ 1 + ） X
2
X
=48N，（1+X）×X=96N，根据奇偶特
性，X与（X+1）一奇一偶，则96N也应拆分成一奇一偶相乘，等于32×3N，3N一定为奇数，故N=11，X
为32，在D选项范围内。
✎合作完工问题的整体思想：
例题10（2018浙江）
某蛋糕店接到300个蛋糕的订单。已知老板一天能做30个蛋糕，店员小红一天只能做10个。蛋糕制
作过程中，老板有一个周末外出，小红请了8天假，两人在外时间不重叠。问制作这批蛋糕一共花了多少
天？关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等
A．11 B．12
C．13 D．14
【答案】A
【解析】老板外出时，小红做了20个蛋糕；小红请假时，老板做了240个蛋糕，此时还剩40个蛋糕没做，
正好是老板和小红一天的制作量，故总时间=2+8+1=11天，对应到A选项。
例题11（2017年国考）
某商铺甲乙两组员工利用包装礼品的边角料制作一批花朵装饰门店。甲组单独制作需要 10 小时，乙
组单独制作需要15小时，现两组一起做，期间乙组休息了1小时40分，完成时甲组比乙组多做300朵。
问这批花有多少朵？
A．600 B．900
C．1350 D．1500
【答案】B
【解析】已知时间，可设工作总量为30N，甲的效率为3N，乙的效率为2N，甲每小时比乙多做N朵花；
乙休息时，甲完成了3N×
第 5 页
5
3
25N
=5N，此时总量还剩25N，还需合作完工时间为 =5小时，则在剩下这5
5N
小时内，甲还将比乙多做5N朵花，故甲总计比乙多做 10N朵花，N=30，总量为 30×30=900，对应到 B
选项。
例题12（2022江苏B）
甲、乙、丙三个物流公司合作完成两个仓库K和L的货物搬运任务。已知两个仓库的工作量相同，他
们先在K工作2小时，完成了K工作量的75%；然后乙、丙先去L工作，甲留在K继续工作，并用3小时
完成了K的剩余工作量后再去L工作，直至任务全部完成。甲在L工作的总时间为多少？
A．20分钟 B．30分钟
C．40分钟 D．50分钟
【答案】A
【解析】设K、L的总量都为4，根据题干列式：2（甲+乙+丙）=3，则甲+乙+丙一小时的工作效率为
3
2
，
由于三个工作组都没有休息，故他们完成所有的工作需要的时间为
83
2
=
1 6
3
，甲在L工作的总时间=甲工作
的总时间-甲在K工作的总时间=
1 6
3
− 5 =
1
3
小时，对应到A选项。
例题13（2022四川）
工厂甲、乙、丙3条生产线共同完成一项任务，甲、丙先合作两天，完成了全部任务的1/3，接着乙、
丙合作两天完成剩下任务的 45%，最后甲、乙合作两天恰好完成剩余任务。问甲完成的部分占全部任务的
多少？
A．4/15 B．1/3关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等
C．2/5 D．3/5
【答案】C
【解析】设总工作量为1，根据题干可知，甲、乙、丙都干了四天，可得4（甲+乙+丙）=1，2（乙+丙）=
1
（1- ）×
3
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4 5
1 0 0
=
3
1 0
，则4（乙+丙）=
6
1 0
，故4甲=1-
3
5
=
2
5
，对应到C选项。
