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2019年湖南省娄底市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）2019的相反数是（ ）
A．﹣2019 B．2019 C． D．﹣
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2）3＝8 B．（a2）3＝a6 C．a2•a3＝a6 D．4x2﹣2x＝2x
3．（3分）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
4．（3分）一组数据﹣2、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．﹣2、0 B．1、0 C．1、1 D．2、1
5．（3分）2018年8月31日，华为正式发布了全新一代自研手机SoC麒麟980，这款号称
六项全球第一的芯片，随着华为Mate20系列、荣耀Magic2相继搭载上市，它的强劲性
能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、
更智慧的使用体用，再次被市场和消费者所认可．麒麟980是全球首颗7nm（1nm＝10﹣
9m）手机芯片．7nm用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣8m B．7×10﹣9m C．0.7×10﹣8m D．7×10﹣10m
6．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°
D．旋转不改变图形的形状和大小
7．（3分）如图， O的半径为2，双曲线的解析式分别为y＝ ，则阴影部分的
⊙
面积是（ ）A．4 B．3 C．2 D．
8．（3分
π
）如图，边长为2
π
的等边△ABC的内切圆
π
的半径为（ ）
π
A．1 B． C．2 D．2
9．（3分）将y＝ 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如
图，则所得图象的解析式为（ ）
A．y＝ +1 B．y＝ ﹣1 C．y＝ +1 D．y＝ ﹣1
10．（3分）如图，直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，
0），则 解集为（ ）A．x＜﹣2 B．x＞3 C．x＜﹣2或x＞3 D．﹣2＜x＜3
11．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
abc＜0
①b2﹣4ac＜0
②2a＞b
③（a+c）2＜b2
④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角
为120°的 多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒
米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（ ）
π
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）函数 的自变量x的取值范围是 ．
14．（3分）如图，随机闭合开关S ，S ，S 中的两个，能让灯泡发光的概率是 ．
1 2 315．（3分）如图，AB∥CD，AC∥BD，∠1＝28°，则∠2的度数为 ．
16．（3分）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝
．
17．（3分）已知方程x2+bx+3＝0的一根为 + ，则方程的另一根为 ．
18．（3分）已知点P（x ，y ）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝ ，例如：
0 0
点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝ ＝ ．据此进一步可得两条平行线
y＝x和y＝x﹣4之间的距离为 ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：（ ﹣1）0﹣（ ）﹣1+|﹣ |﹣2sin60°
20．（6分）先化简，再求值： ÷（ ﹣ ）．其中a＝ ﹣1，b＝ +1．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的
高中一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关
注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制作了如下统计图
表：
关注程度 频数 频率
A．高度关注 m 0.4
B．一般关注 100 0.5
C．没有关注 20 n
（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为 ，m＝ ，n＝ ．
（2）根据以上信息补全图中的条形统计图．
（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？
22．（8分）如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝
1：1．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为
、 ．已知tan ＝2，tan ＝4，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．
α β α β
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表（二）所示：
类别 成本价（元/箱） 销售价（元/箱）
甲 25 35
乙 35 48
求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？
24．（9分）如图，点D在以AB为直径的 O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作
O的切线交AD的延长线于点E． ⊙
⊙（1）求证：直线CD是 O的切线．
（2）求证：CD•BE＝AD⊙•DE．
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括
端点）上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明
理由．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y
轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．
