文档内容
书书书义务教育教科书
数学
七年级 下册
!
主 编 王建磐
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责任编辑 平 萍
! !
装帧设计 卢晓红
!
出 版 华东师范大学出版社
!! !
社 址 上海市中山北路 号 邮编
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网 址
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电 话 传真
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客服电话
!%$1 #%2$13$%!#%2$13#1
印 刷 者 山西人民印刷有限责任公司
!
开 本 开
!! !32341%5$!1#
印 张
!! !5’36
字 数 千字
!! !137
版 次 年 月第一版
!! !$%1$ 3
印 次 年 月山西第三次
!! !$%17 1$
书 号
!! !89:;532 3 6#13 563% 6<=!6#$#
定 价 元
!! !5’16
出 版 人 王 焰
! !
如发现本版图书有印订质量问题 请寄回本社客服中心调换或电话 联系
! " !"# $!%"#&"! #致亲爱的同学
欢迎你 我们的小伙伴
" !
你现在拿在手中的是依据 国家中长期教育改革和发展规划纲要 年 与国
$ !"#$#%"#"# #&
家 义务教育数学课程标准 年版 为你们提供的初中阶段六册数学教科书中的第
$ !"#$$ #&"
二本
!
本书继续从你所熟悉的情境入手 为你提供最基本的 丰富多彩的数学内容 并穿插一些
" ’ "
阅读材料 还设置了一些让你思考和实践的小栏目 给你创造了众多自主探索的好机会 书中
" " !
的习题程度不一 应用问题 探索性和开放性的问题及综合与实践都在向你招手 你的聪明才
" ’ "
智必定能得到进一步的发挥
!
现在 请你打开这本书 与我们一起继续在奇妙的数学世界里漫游 进一步探索数学的
" " "
奥秘
!
你在生活中会遇到各种各样的问题 比如要租用多少辆车才能使大家都能坐车去春游 又
" "
比如要花多少时间才能完成任务 等等 本书的前两章 一元一次方程 与 一次方程组 展现
" ! ! " ! "
给你的就是解决这些问题的方法 有了它们 你将成为解决实际问题的小能手
" " !
由等式到不等式是一个大转变 生活中存在许多不相等的数量关系 儿童乐园里的跷跷
" !
板 做实验用的天平等都给我们一种等式或不等式的直观形象 一元一次不等式 将使你学会
’ !! "
解决一些不等问题 找到适合某些不等关系的数值 你会发现许多问题中隐含着不少数学
" "
道理
!
我们还要到图形世界去遨游 你会看到各种各样的图形 如等腰三角形 等边三角形 多边
! " ’ ’
形等 一个个独特的形状都显示着各自的风貌 春节晚会上悬挂着的一条条花边 其中有不少
" ! "
图形就是我们在 多边形 与 轴对称 平移与旋转 里将要认识的新朋友 那独特的形式会给
! " ! # " "
你带来不少启示 学完它你自己就可以剪出更多更漂亮的花边了
" !
让我们一起走进更奇妙的数学世界吧
(
编者目%录
第 章 一元一次方程
! "
从实际问题到方程
$’#( &"
解一元一次方程
$’"( &)
等式的性质与方程的简单变形
#’ &)
解一元一次方程
"’ &*
阅读材料 丢番图的墓志铭与方程
( &#+
实践与探索
$’,( &#$
小结
&"!
复习题
&"#
第 章 一次方程组
# "
二元一次方程组和它的解
&’#( &")
二元一次方程组的解法
&’"( &"&
三元一次方程组及其解法
!&’(, &,&
实践与探索
&’)( &)"
阅读材料 鸡兔同笼
( &))
小结
&)+
复习题
&)$第 章 一元一次不等式
$ "
认识不等式
%’#( &+!
解一元一次不等式
%’"( &+,
不等式的解集
#’ &+,
不等式的简单变形
"’ &++
解一元一次不等式
,’ &+%
一元一次不等式组
%’,( &$"
阅读材料 等号与不等号的由来
( &$$
小结
&$&
复习题
&$%
综合与实践 球赛出线问题
( &&!
第 章 多边形
% "
三角形
*’#( &&"
认识三角形
#’ &&,
三角形的内角和与外角和
"’ &&$
三角形的三边关系
,’ &%!
多边形的内角和与外角和
*’"( &%,
用正多边形铺设地面
*’,( &%%
用相同的正多边形
#’ &%%
用多种正多边形
"’ &*!
阅读材料 多姿多彩的图案
( &*#
小结
&*,
复习题
&*)第 章 轴对称 平移与旋转
&’ " !
轴对称
#!’#( &*%
生活中的轴对称
#’ &*%
阅读材料 剪正五角星
( &#!#
轴对称的再认识
((("’ &#!"
画轴对称图形
,’ &#!+
设计轴对称图案
)’ &#!&
阅读材料
(’()*+,-. .,/*+&###
平移
#!’"( &##"
图形的平移
#’ &##"
平移的特征
"’ &##)
旋转
#!’,( &##%
图形的旋转
#’ &##%
旋转的特征
"’ &#"#
旋转对称图形
,’ &#""
阅读材料 古建筑中的旋转对称 从敦煌洞窟到欧洲教堂
( !! &#"$
中心对称
#!’)( &#"&
图形的全等
#!’+( &#,,
小结
&#,&
复习题
&#,%
综合与实践 图案设计
( &#),
数学实验附图
方格图
&#))
格点图
&#)$第 6 章 一元一次方程
某校七年级 名师生乘车外出春游 已有 辆校车共可乘坐 人 还需
"" #$% ! $ &’ !
租用 座的客车多少辆
’’ "
’’ !#"$ "&’ ##$%
本章将学习一元一次方程的解法，并
学会解决一些简单的实际问题!
书书书从实际问题到方程
6(1
问题
!"
某校七年级 名师生乘车外出春游 已有 辆校
#$% ! $
车共可乘坐 人 还需租用 座的客车多少辆
你会解决这
&’ ! ’’ "
""
个问题吗 有哪
"
些方法 回忆
"
"
小学里已经学过列方程的解法 我们不妨回顾一下
! #
设需租用客车 辆 共可乘坐 人 加上乘坐校车
$ ! ’’$ !
的 人 就是全体的 人 可得
&’ ! #$% %
’’$"&’ ##$%% !
问题归结为求出使方程 左 右两边的值相等的未
! $
知数 的值 即方程的解 也就是说 需要解这个方程
$ % &% ! %
问题
#"
在课外活动中 张老师发现同学们的年龄基本上都
!
是 岁 就问同学们 我今年 岁 经过几年后你们的
)# ! #’ ’* !
年龄正好是我年龄的)
"(
#
年 小敏同学很快发现了答案 他是这样
’# )( %
这里采用了 算的
"" #
尝试检验法 选取 年后 老师的年龄是 岁 同学的年龄是 岁
#
) ! ’& ! )’ !
未知量的一些值
!
逐个尝试 检验
不是老师年龄的)
$ ! *
找到符合问题要 #
年后 老师的年龄是 岁 同学的年龄是 岁
求的解答 $ ! ’+ ! )* !
" %
也不是老师年龄的)
*
#
第 章
""""!! ! "一元一次方程年后 老师的年龄是 岁 同学的年龄是 岁
""# ! ’% ! )& !
恰好是老师年龄的)
%
#
也有的同学说 我们可以列出方程来解
! #
设经过 年后同学的年龄是老师年龄的) 而经过
$ ! $
#
年后同学的年龄是 岁 老师的年龄是
%)# ,$& ! %’* ,$&
岁 可得
!
)
)# "$# %’* "$&% " 你会解这个
#
""
方程吗 从小敏
这个方程不像问题 中的方程 那样容易求出它的
"
) ! 同学的求解方法
解 但小敏同学的方法启发我们 可以用尝试 检验的方
% ! $ 中你能得到什么
法找出方程 的解 即只要将 代入方
启发
" ! $-)! $! #! ’! + " "
程 的左右两边 看哪个数能使两边的值相等 同样可得
" ! !
到方程的解
$-#%
思考
" 学习了下
""
一节 你将能圆
!
如果未知数可能取到的数值较多 或者不一定是 满地解决这个
!
整数 那么该从何试起 如果尝试 检验无法入手 那 问题
! " $ ! )
么又该怎么办
"
练 习
"
根据题意设未知数 并列出方程 不必求解
! # $%
某班原分成两个小组进行课外体育活动 第一组 人 第二组 人 根据学校活
!" ! $& ! $$ %
动器材的数量 要将第一组的人数调整为第二组的一半 应从第一组调多少人到
! !
第二组去
"
师徒两人铺设一条长 米的地下电缆 师傅每小时铺设 米 徒弟每小时铺设
#" )%& ! )% !
米 师傅先开始工作 个小时后徒弟在另一端开始铺设 那么师徒两人还需一
)$ % !$ !
起工作多少时间才能完成铺设任务
"
第 章
! "一元一次方程!""""#习题
"" $%!
检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解
!" #
{ }
*$") #
%)& #$&)! & ! # *
% $
%$& $%’&$& &.%) &’& ##%’’&)&! ,&)/! )/-%
根据班级内男 女同学的人数编一道应用题 和同学交流一下
#" $ ! %
小赵去商店买练习本 回来后问同学 店主告诉我 如果多买一些就给我八折
$" ! #’ !
优惠 于是 我就买了 本 结果便宜了 元 你猜原来每本价格是多少 你
% ! $/ ! )(&/ % "(
能列出方程吗
"
解一元一次方程
6(2
""!"等式的性质与方程的简单变形
我们在小学阶段学过等式的性质 你还记得吗
! "
如图 天平处于平衡状态 它表示左右两个盘
&%$%)! !
内物体的质量 是相等的 如图 若在平衡天平
($ ) % &%$%$!
两边的盘内都添上 或都拿去 质量相等的物体 则天平
% & !
仍然平衡 如图 若把平衡天平两边盘内物体的质
图
%%!%& % &%$%#!
量都扩大 或都缩小 相同的倍数 则天平仍然平衡
% & ! %
图
%%!%!
图
%%!%#
第 章
""""$! ! "一元一次方程这个事实反映了等式的基本性质
#
等式两边都加上 或都减去 同一个数或同一个
)( % &
整式 所得结果仍是等式
! %
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
第 章
! "一元一次方程!""""’
!!
如果 那么
( #)! ( "*#)"*! ( &*#)&*%
等式两边都乘以 或都除以 同一个数 除数不
$( % & %
能为 所得结果仍是等式
/&! %
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"
"
"
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!! 如果 那么 ( )
( #)! (*#)*! # %*#/&%
* *
练 习
"
回答下列问题
!" %
由 能不能得到 为什么
#)$ ( #) ( &$ #)&$" "
由 能不能得到 + , 为什么
#$$ +#, & #& " "
# #
由 能不能得到 为什么
##$ $( #&) ( ##)" "
由 $ ’能不能得到 为什么
#’$ # #$#$’" "
$ #
填空 使所得结果仍是等式 并说明是根据哪一
#" ! !
条等式性质得到的
%
如果 那么 每道小题中
#)$ $&$ #*! $#* """"& "" !
如果 那么 从前一个等式到
#$$ #$#)/ &$$! #$"""" #)/&
后一个等式 发生
如果 那么
!
##$ $$#+! $#"""&
了什么变化
如果$&) 那么 "
#’$ ##! $&) #"""%
$
由等式的基本性质 可以得到方程的变形规则
"" ! #
方程两边都加上 或都减去 同一个数或同一个
)( % &
整式 方程的解不变
! *
方程两边都乘以 或都除以 同一个不等于 的
$( % & /
数 方程的解不变
! %根据这些规则 我们可以对方程进行适当的变形 求
! !
得方程的解
%
解下列方程
""$例! #
%)& $&* #+*
%$& ’$##$&’%
""$解 %)& ""$0* -+!
两边都加上 得
*! """"$-+ ,*!
即
在解这两 """""""""" $-)$%
""
个方程时 进行
!
了怎样的变形 %$& """""" "’$-#$0’!
"
有什么共同点 两边都减去 得
"
#$! ""’$0#$-0’!
即
"""""""""""$-0’%
以上两个方程的解法 都依据了方程的变形规则
! )%
这里的变形 相当于将方程中的某些项改变符号后 从
! !
方程的一边移到另一边 像这样的变%形%%叫%做移项
%
%1234567581874&%
解下列方程
""$例# #
%)& &*$#$*
# )
%$& $# %
$ #
方程两边都除以 得
""$解 %)& 0*!
$
$#& %
*
在 解这两
"" 方程两边都除以 # 或都乘以$ 得
个方程时 进行
%$& % &!
!
$ #
了怎样的变形
"
有什么共同点
" ) # ) $
$# - # ! !
# $ # #
即 $
"" $# %
.
第 章
""""%! ! "一元一次方程这两个方程的解法 都依据了方程的变形规则 将
! $!
方程的两边都除以未知数的系数 像这样的变形通常称
%
作 将未知数的系数化为
’ )(%
概括
"
以上例 和例 解方程的过程 都是将方程进行适
) $ !
当的变形 得到 的形式
! $-( %
练 习
"
下列方程的变形是否正确 为什么
!" " "
由 得 由 得 +
#)$ # "$#*! $#* "#&""#$$ +$#&’! $#& &
’
由) 得 由 得
##$ ’#/! ’#$&"" #’$ # #$&$! $#&$ &#%
$
口答 求下列方程的解
#"# $ %
#)$ $&& #&&"" #$$ +$#&$&’&
) )
##$ &*$#&/&"" #’$ ’# %
’ $
利用方程的变形 求方程 的解 并和同学交流
! $$,# -) ! %
解下列方程
""$例$ #
%)& %$#$$&+* """""%$& & #% "$$*
) )
%#& $’& # ’&#%
$ $
""$解 %)&""""%$#$$&+!
移项 得
!
第 章
! "一元一次方程!""""(%$&$$#&+!
即
&$#&+%
两边都除以 得
&!
+
$#& %
&
%$& & #% "$$!
原方程即
% "$$#&%
移项 得
!
$$#&$%
两边都除以 得
$!
$#&)%
) )
%#& $’& # ’&#!
$ $
移项 得
!
) )
$’& ’#&# " !
$ $
即 # *
’#& %
$ $
两边都除以# 得
!
$
*
’#& %
#
练 习
"
解下列方程
!" %
#)$#$"’ #/&"""""""#$$+’"& #&&’&
##$*$"$ #+$"%&" #’$#’&$ #’") "&’&
第 章
"""")! ! "一元一次方程$ ) ) )
""#*$ $&% # &/($$&""""""#&$) & $#$" %
* ’ $ #
试解 节中问题 所列出的方程
#" &%) ) %
习题
"" $%#%!
解下列方程
!" #
%)& )% #* &$*"""""""""
# )
%$& $"$ ## & $*
’ ’
%#& #$&+ "’$#&$&$*""
%’& )/’"* #))’&* &$’*
%*& $&) #* "$$*""
%&& /(#$")($ &$$#)($ &$(+$%
解下列方程
#" #
%)& $’"# #)) &&’*"" %$& $$&) #*$"+*
) ) )
%#& $&) &$$#&)*"" %’& $&# #*$" %
# $ ’
已知 解答下列问题
$" .##$"$! /#’ &$! #
当 取何值时
%)& $ !.#/"
当 取何值时 比 大
%$& $ !. / ’"
""#"解一元一次方程
前面我们遇到的一些方程 例如
!
’’$"&’ ##$%!
)
)# "$# %’* "$&
#
等 有一个共同特点 它们都只含有一个未知数 并且含有未
! # !
知数的式子都是整式 未知数的次数都是 像这样的方程
! )!
叫做一元一次方程
%984:32:;<31874 =81> 74:<4?47=4&%
第 章
! "一元一次方程!""""*我们再一起来解几个一元一次方程
%
解方程
""$例% ##%$&$& ") #$&%$$&)&%
原方程的两边分别去括号 得
""$解 !
#$&& ") #$&$$")!
即
" #$&* #&$")%
移项 得
!
#$"$#) "*!
即
" ’$#&%
两边都除以 得
’!
#
$# %
$
练 习
"
解下列方程
!" %
#)$*#$"$$ #$#*$&)$&
#$$ #$")$ &$#$&)$ #) &#$&
##$$#$&$$ &#’$&)$ ###) &$$%
列方程求解
#" %
当 取何值时 代数式 和 的值相等
#)$ $ ! ##$ &$$ $## "$$ "
当 取何值时 代数式 的值比 的值大
#$$ ’ ! $##’"’$ *#$’&+$ #"
试解 节中问题 所列出的方程
$" &() $ %
解方程 $&# $$")
""$例& # & #)%
$ #
这个方程中的系数出现了分数 通常可以将
""$分析 !
方程的两边都乘以同一个数 这里是都乘以 去掉方
% &&!
程中的分母 像这样的变形通常称为 去分母
% ’ (%
第 章
"""&+! ! "一元一次方程去分母 得
""$解 !
#%$&#& &$%$$")& #&!
这里为什么
即
""
#$&. &’$&$ #&% 要添上括号
移项 得 "
!
#$&’$#& ". "$!
即
&$#)+%
两边都乘以 得
%&)&!
$#&)+%
思考
"
回顾以上各例的解答过程 总结一下 解一元一次方
! #
程通常有哪些步骤 各步进行的是怎样的变形 如何根
" "
据方程的特点灵活运用方程的变形规则
"
练 习
"
指出下列方程求解过程中的错误 并予以改正
!" ! %
解方程 #$&) ’$"$ 解方程 $&) $"$ ’ &$
#)$ % # &)% #$$ % & # %
$ * # & $
解 解
")*$&* #%$"’ &)! "$$&$ &$"$ #)$ &#$!
)*$&%$#’ &) "*! "" $$&$"#$#)$ "$ "$!
+$#%! ’$#)&!
+ $#’%
$# %
%
解下列方程
#" %
*$&) + ’ &$ $&#
#)$ # &"" #$$ # &)%
% ’ # *
如图 天平的两个盘内分别盛有
""$例’ &($(’! *) @
和 的盐 问应从盘 中拿出多少盐放到盘 中 才
’* @ ! . / !
能使两者所盛盐的质量相等
"
第 章
! "一元一次方程!"""&&图
%,!,$
从盘 中拿出一些盐放到盘 中 使两盘所
""$分析 . / !
盛盐的质量相等 于是有这样的等量关系
! #
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
第 章
"""&!! ! "一元一次方程
!!
盘 现有盐的质量 盘 现有盐的质量
. - / %
设应从盘 中拿出 克盐放到盘 中 我们来计算
. $ / !
两盘中现有盐的质量 可列出表
! &%$%)%
表
’"#"!
盘 盘
. /
原 有 盐
" " %@& *) ’*
现 有 盐
" " %@&
设应从盘 中拿出 盐放到盘 中 则根
""$解 . $@ / !
据题意 得
!
*) &$#’* "$%
解这个方程 得
!
$##%
经检验 符合题意
! %
答 应从盘 中拿出 盐放到盘 中
# . # @ / %
学校团委组织 名新团员为学校建花坛搬
""$例( &*
砖 女同学每人每次搬 块 男同学每人每次搬 块 每
% & ! % !
人各搬了 次 共搬了 块 问这些新团员中有多少
’ ! )%// %
名男同学
"
题目告诉了我们好几个等量关系 其中有这
""$分析 !
样的等量关系
#
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! "
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
!!
用方程解
""
决问题的关键
是弄清题意 找
!
出等量关系
%
请你将正
""
确的式子填入
表中空白处
%
读题 找找
"" !
看 题目告诉了
!
我们哪些等量
关系 男同学搬砖数 女同学搬砖数 搬砖总数
" , - %设新团员中有 名男同学 那么立即可知女同学的人
$ !
数 从而容易算出男同学和女同学的搬砖数 可列出表
! !
由上述等量关系即可列出方程
&%$%$% %
表
’"#"#
男同学 女同学 总 数
"
请把表格填完整
参加人数 名 " %
% & $ &*
每人搬砖数 块
% & & A’
共搬砖数 块
% & )%//
设新团员中有 名男同学 根据题意 得
""$解 $ ! !
#$$"$’%&* &$& #)%//%
解这个方程 得
!
$##/%
经检验 符合题意
! %
答 这些新团员中有 名男同学
# #/ %
练 习
"
学校田径队的小刚在 米跑测试时 先以 米 秒的平均速度跑了大部分路程
!" ’// ! & 0 !
最后以 米 秒的速度冲刺到达终点 成绩为 分零 秒 问小刚在冲刺阶段花了
% 0 ! ) * %
多少时间
"
将上题的分析和列得的方程与例 相比较 看看是否相似 将你的想法和同学交
#" + ! %
流一下
%
在第 题中 若问 小刚在离终点多远处开始冲刺 该如何求解
$" ) ! ’ (! "
概括
"
用一元一次方程解决实际问题 关键在于抓住问题
!
中的等量关系 列出方程 求得方程的解后 经过检验 得
! % ! !
到实际问题的解答
%
第 章
! "一元一次方程!"""&#这一过程也可以简单地表述为
#
分析 求解
问题 方程 解答
’’抽’象’& ’’检’验’&
其中分析和抽象的过程通常包括
#
弄清题意和其中的数量关系 用字母表示适当
%)& !
的未知数 设元
% &*
找出问题所给出的等量关系 它反映了未知量
%$& !
与已知量之间的关系
*
对这个等量关系中涉及的量 列出所需的代数
%#& !
式 根据等量关系 列出方程
! ! %
在设未知数和作出解答时 应注意量的单位
! %
习题
"" $%#%#
解下列方程
!" #
%)& # #) &$%’ "$&*""""""""%$& #%$$"*& #$%’$"#& ")%
解下列方程
#" #
* &#$ # &*$ ) )
%)& # *"" %$& ) & $## & $*
$ # $ &
’"$ $’&)
%#& & #)%
’ &
在等式 ,%( ")& 中 已知 求 的值
$"%)& 1 # ! 1 #$+.! )#+! , #)%! ( *
$
已知梯形的上底 高 面积 根据梯形的面积公式
%$& ( ##! 2 #*! 1 #$/! 1 #
) 求下底 的长
%( ")&2! ) %
$
如图 足球的表面是由一些呈多边形的黑 白皮块缝合而成的
%" ! $ !
共计有 块 已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多 问两
#$ ! $!
种颜色的皮块各有多少
"
小莉和同学在 五一 假期去森林公园玩 在溪流边的 码头
&" ’ ( ! .
租了一艘小艇 逆流而上 划行速度约为 千米 时 到 地后
! ! ’ 0 % /
第 题
沿原路返回 速度增加了 回到 码头比去时少花了
% ’ &
! */B! . $/
分钟 求 两地之间的路程
% .$ / %
第 章
"""&$! ! "一元一次方程丢番图的墓志铭与方程
古希腊数学家丢番图 是以研究一类方程 不定方程 著称于
"" #C876>341<5$! # $
世的数学家 在他的墓碑上 刻着这样一段墓志铭
% ! %
坟中安葬着丢番图
!
多么令人惊讶
!
它忠实地记录了所经历的道路
%
上帝给予的童年占六分之一
!
又过十二分之一 两颊长胡
! !
再过七分之一 点燃起结婚的蜡烛
! %
五年之后天赐贵子
!
可怜迟到的宁馨儿
!
享年仅及其父之半 便进入冰冷的墓
! %
悲伤只有用数论的研究去弥补
!
又过四年 他也走完了人生的旅途
! %
请你列出方程 算一算丢番图去世时的年龄
! %
你知道吗 现存世界上最古老的方程出现在英国考古学家兰德 年找到
" )%*%
的一份古埃及人的 纸草书 上 经破译 上面都是一些方程 共 个问题 如 啊
’ ( ! ! ! %* % ’
哈 它的全部 它的) 是 一堆 它的$ ) ) 居然是 译得更明白一
! ! ! ).(&’ ! ! ! ! ##(%
+ # $ +
点就是 ) $ ) )
%$" $#).& $" $" $" $###%
+ # $ +
在我国 方程 一词最早出现于东汉初年的数学经典著作 九章算术 的第八
!’ ( ) *
章 方程 到唐 宋时期 对方程的研究达到我国古代的鼎盛阶段 那时所创立的
’ (% + ! %
用 天元术 解题 从设未知数到列方程都和现代数学十分相似 也就是在那段时
’ ( ! %
期 方程的知识从中国传入日本
! %
第 章
! "一元一次方程!"""&’实践与探索
6(3
问题
!"
用一根长 厘米的铁丝围成一个长方形
&/ %
如果长方形的宽是长的 $ 求这个长方形的
%)& !
#
长和宽
*
如果长方形的宽比长少 厘米 求这个长方形
%$& ’ !
的面积
*
比较 所得的两个长方形面积的大小
%#& %)&$ %$& %
还能围出面积更大的长方形吗
"
讨论
"
每小题中如何设未知数 在小题 中 能不能
" %$& !
直接设长方形的面积为 平方厘米 若不能 该怎
$ " !
么办
"
探索
"
将小题 中的宽比长少 厘米改为少 厘米 厘
%$& ’ # $$
米 厘米 厘米 即长与宽相等 长方形的面积分别
$) $/ % &!
有什么变化
"
练 习
"
一块长 宽 高分别为 厘米 厘米 厘米的长方体橡皮泥 要用它来捏一个底
!" + + ’ +# +$ !
面半径为 厘米的圆柱 则圆柱的高是多少 精确到 厘米 取
)(* ! " # /() !# #()’$
第 章
"""&%! ! "一元一次方程在一个底面直径 厘米 高 厘米的圆柱形瓶内装满水 再将瓶内的水倒入一个
#" * + )% !
底面直径 厘米 高 厘米的圆柱形玻璃杯中 能否完全装下 若装不下 那么
& + )/ ! " !
瓶内水面还有多高 若未能装满 求杯内水面离杯口的距离
" ! %
本节问题 中 通过探索我们发现 在周长一定的情况下 长
) ! ! !
方形的长和宽越接近 面积就越大 实际上 当长和宽相等 即成
! % ! !
为正方形时 面积最大 通过以后的学习 我们就会知道其中的
! % !
道理
%
有趣的是 若把这根铁丝围成任何封闭的平面图形 包括随意七
# %
凹八凸的不规则图形 面积最大的是圆 这里面的道理涉及进一步
&! %
的数学知识 将来你有兴趣去认识它们吗
! "
问题
#"
新学年开始 某校三个年级为地震灾区捐款 经统
! %
计 七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的$ 八年级
! !
*
捐款数是全校三个年级捐款数的平均数 已知九年级捐
!
款 元 求其他两个年级的捐款数
).&’ ! %
讨论
"
在解决本题时 你是怎样设元的 还有没有其他的
! "
设元方法 比较一下 哪种设元方法比较容易列出方程
" ! "
说说你的道理
%
第 章
! "一元一次方程!"""&(练 习
"
填空
!" %
学校图书馆原有图书 册 最近增加了 现在有图书 册
#)$ ( ! $/B! """ &
某煤矿预计今年比去年增产 达到年产煤 万吨 设去年产煤 万吨
#$$ )*B! &/ ! $ !
则可列方程
""""""""""&
某商品按定价的八折出售 售价为 元 则原定价是 元
##$ ! )’(%/ ! """" %
自 政府补贴 家电下乡 活动开展以来 农村家电市
#" ’ ! ( !
场销量明显增加 某县的一个家电门市部统计了在
%
家电下乡活动启动前后 销售给农户的 两种型
! D+ E
号电视机的情况 启动前一个月 型电视机和 型
% !D E
电视机共售出 台 启动后第一个月销售 型电视
.&/ & D
机和 型电视机的数量分别比活动启动前一个月增
E 第 题
长 和 两种型号的电视机共售出 台 % $ &
$/B #/B! )).$ %
已知 型电视机每台价格是 元 型电视机每台价格是 元 根据
"" D $).% !E )%.% !
家电下乡 的有关政策 政府按每台电视机价格的 给予农户补贴 求活动启
’ ( ! )#B %
动后的第一个月 该门市部销售给农户的 台电视机 政府共补贴了多少
! )).$ ! "
精确到 万元
# /%) $
习题
"" $%&%!
一个角的余角比这个角的补角的一半小 求这个角的度数
!" ’/F! %
某市去年年底人均居住面积为 平方米 计划在今年年底增加到人均 平
#" )) ! )#(*
方米 求今年的住房年增长率 精确到
% %% /()B&
某银行设立大学生助学贷款 分 年期与 年期两种 贷款年利率分别为
$" ! #!’ *!+ %
和 贷款利息的 由国家财政贴补 某大学生预计 年后能一
&(/#B &($)B! */B % &
次性偿还 万元 问他现在大约可以贷款多少 精确到 万元
)(% ! " % /() &
解答下列问题
%" #
师徒两人检修一条长 米的自来水管道 师傅每小时检修 米 徒弟每
%)& )%/ ! )* !
小时检修 米 现两人合作 多少时间可以完成整条管道的检修
)/ % ! "
师徒两人检修一条煤气管道 师傅单独完成要 小时 徒弟单独完成要
%$& ! )/ ! )*
小时 现两人合作 需多少小时完成
% ! "
第 章
"""&)! ! "一元一次方程
书书书 书书书学校准备添置一批课桌椅 原订购 套 每套 元 店方表示 如果多购 可以
&" ! &/ ! )// % # !
优惠 结果校方购了 套 每套减价 元 但商店获得同样多的利润 求每套课
% +$ ! # ! %
桌椅的成本
%
问题
&"
课外活动时李老师来教室布置作业 有一道题只写
!
了 学校校办厂需制作一块广告牌 请来两名工人 已知
’ ! %
师傅单独完成需 天 徒弟单独完成需 天 就停住了
’ ! & ( %
片刻后 同学们带着疑问的目光 窃窃私语 这个题目
! ! #’
没有完呀 要求什么呢
)(’ "(++
李老师开口了 同学们的疑问是有道理的 今天我
#’ %
就是要请同学们自己来提出问题 请发挥你的想象力 把
% !
这个问题补充完整
%(
调皮的小刘说 让我试一试 于是 上去添了 两
#’ %( ! #
人合作需几天完成
"
有同学反对 这太简单了 但也引起了大家的兴
#’ )(
趣 于是各自试了起来 有考虑一人先做几天再让另一人
! #
做的 有考虑两人先合作再一人离开的 也有考虑两人合 你还能提
""
! !
出其他问题吗
作完成后的报酬问题的
"
++" 试一试 并解答
李老师选了两位同学的问题 综合起来 在黑板上写 !
! ! 这些问题
出 现由徒弟先做 天 再两人合作 完成后共得到报酬 %
# ) ! ! ’*/
元 如果按各人完成的工作量计算报酬 那么该如何分配
% ! "
试解答这一问题 并与同学们一起交流各自的做法
! %
习题
"" $%&%#
试将下列问题改为与我们日常生活 学习有关的问题 使所列得的方程相同或相
!" $ !
似 食堂存煤若干吨 原来每天烧煤 吨 用去 吨后 改进设备 每天的耗煤量
# ! # ! )* ! !
降低为原来的一半 结果多烧了 天 求原存煤量
! )/ ! %
中国民航规定 乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运 千克行李 超过
#" # $/ !
部分每千克按飞机票价的 购买行李票 一名乘坐经济舱的旅客托运了
)(*B % #*
千克行李 机票连同行李费共付 元 求该旅客的机票价
! )#$# ! %
第 章
! "一元一次方程!"""&*为庆祝学校运动会开幕 七年级 班学生接受了制作小旗的任务 原计划一半同
$" ! %$& !
学参加制作 每天制作 面 完成了三分之一以后 全班同学一起参加制作 结果
! ’/ % ! !
比原计划提前一天半完成任务 假设每人的制作效率相同 问共制作小旗多少面
% ! "
一辆汽车从 地驶往 地 前三分之一路段为普通公路 其余路段为高速公
%" . / ! !
路 已知汽车在普通公路上行驶的速度为 在高速公路上行驶的速度
% &/ ?GH>!
为 汽车从 地到 地一共行驶了 小时 请你根据以上信息 就该
)// ?GH>! . / $%$ % !
汽车行驶的 路程 或 时间 提出一个问题 并给出解答
’ ( ’ (! ! %
""一! 知识结构
实
际
分析 !!!!
"
问 ’’’抽象 !!!!"
题
第 章
"""!+! ! "一元一次方程
!!
一 解 一
元 一 元
一
元
一 次
数量关系 等量关系 方程变形 一 运 算
次 方
’’& ’’设’’’’元’& ’’’’’& 次 ’’’’’& 程
方 方 的
程 程 解
) (
(
(( (
’’’’’’’’’’’’’’解’释’’检’验’’’’’’’’’’’’’
"
二! 要点
对一元一次方程的认识 要联系生活实际 在解决实际问题过程
)( ! !
中体会 方程是反映现实世界数量相等关系的一个有效的数学模型
# %
解一元一次方程时 既要注意合理地进行方程的变形 也要注
$( ! !
意根据方程的特点灵活运用方程的变形规则
%
在应用一元一次方程解实际问题时 要学会分析问题的本领
#( ! %
能根据题意 将实际问题转化为数学问题 特别是寻求主要的数量相
! !
等关系 列出方程 求得方程的解后 要注意检验所得结果是否符合实
! % !
际问题的要求
%A 组
解下列方程
!" #
$ )
%)& $&) # $"#*"""""""%$& *%$&*& "$%$&)$& #/*
# $
) $ &’
%#& ’$"# #$%$&)& ")*"" %’& ’" # *
$ #
$ # $$"* #$&$
%*& %#$"+& #$ & $*"" %&& & #)%
+ $ & %
取何值时 代数式 与 的值互为相反数
#"%)& $ ! ’$&* #$&& "
取何值时 代数式 3") 的值比#3") 的值小
%$& 3 ! )"
# $
课外活动中一些学生分组参加活动 原来每组 人 后来重新编组 每组 人
$" ! % ! ! )$ !
这样就比原来减少 组 问这些学生共有多少人
$ % "
一种药品现在售价为每盒 元 比原来降低了 问原售价为多少元
%" *&()/ ! )*B! "
用一根直径为 厘米的圆柱形铅柱 铸造 只直径为 厘米的铅球 问应截
&" )$ ! )/ )$ !
取多长的铅柱 球的体积公式 ’
" % 4- #5#&
#
一个三位数 百位数字比十位数字大 个位数字比十位数字的 倍少 若将三
’" ! )! # $%
个数字的顺序颠倒后 所得的三位数与原三位数的和是 求这个三位数
! ))+)! %
七年级 个班为希望小学捐赠图书 班捐了 册 班捐书数是 个班级
(" # %%)& )*$ !%$& #
捐书数的平均数 班捐书数是年级捐书总数的 个班共捐了多少册
!%#& ’/B!# "
B 组
解下列方程
)" #
[ ( ) ]
# ) $ #$&+ $")+
%)& $ $& " #*$*""""""%$& $ & #& *
$ $ # ’ *
( )
$&’ # ’ )
%#& $(’ & # $*"" %’& $&) &$ &$#$%
$ * # ’
已知 $ 是方程 ( # ) # 的解 求 的值
*" $# # +& $" $#*+ ! + %
# ’ $
第 章
! "一元一次方程!"""!&当 取何值时 关于 的方程 和 的解相同
!+" 3 ! $ $%$$&#& #) &$$ % &3#$%$")& "
学校在植树活动中种了杨树和杉树两类树木 已知种植杨树的棵数比总数的一
!!" !
半多 棵 种植杉树的棵数比总数的三分之一少 棵 两类树木各种了多
*& ! )’ %
少棵
"
从甲地到乙地 长途汽车原需行驶 个小时 开通高速公路后 路程缩短了
!#" ! + ! ! #/
千米 车速平均每小时增加了 千米 结果只需 个小时即可到达 求甲 乙两
! #/ ! ’ % $
地之间高速公路的路程
%
小王每天去体育场晨练 都见到一位田径队的叔叔也在锻炼 两人沿 米环
!$" ! % ’//
形跑道跑步 每次总是小王跑 圈 叔叔跑 圈
! $ ! # %
一天 两人同时同地出发 反向而跑 小明看了一下记时表 发现隔了 秒
%)& ! ! ! ! #$
钟两人第一次相遇 求两人的速度
! *
第二天小王打算和叔叔同时同地出发 同向而跑 看叔叔隔多少时间再次
%$& ! !
与他相遇 你能先给小王预测一下吗
% "
C 组
当 时 代数式 的值是 求当 时这个代数式的值
!%" $#$ ! $$$ "%# &*&$"* )/! $#&# %
解下列方程
!&" #
%)& 6$&# 6#$*""""""""""""%$& 6$$") 6#*%
一批树苗按下列方法依次由各班领取 第一班取 棵和余下的) 第二班取
!’" # )// !
)/
棵和余下的) 第三班取 棵和余下的) 最后树苗全部被取完 且
$// ! #// ++ !
)/ )/
各班的树苗数都相等 求树苗总数和班级数
% %
小赵为班级购买笔记本用作晚会上的奖品 回来时向生活委员小陈交账说
!(" % #
一共买了 本 有两种规格 单价分别为 元和 元 去时我领了
’ #& ! ! )(%/ $(&/ % )//
元 现在找回 元 小陈算了一下 说 你肯定搞错了 小赵一想 发觉
! $+(&/ %( ! #’ %( !
的确不对 因为他把自己口袋里原有的 元钱一起当作找回的钱款给了小陈
! $ %
请你算一算两种笔记本各买了多少 想一想有没有可能找回 元 试应用
" $+(&/ !
方程的知识予以解释
%
七年级 班有 名学生 安排值日生时要考虑 周一至周五每天除打扫教室
!)" %*& ’& ! #
外 还要打扫学校包干区 包干区面积不大 平时人数可少些 周五大扫除要和
! * ! !
打扫教室的人数差不多 周一早晨需安排 至 名同学整理教室 每位同学每
* ) $ *
周轮到一次值日 请你代理劳动委员 安排值日人数
% ! %
第 章
"""!!! ! "一元一次方程第 7 章 一次方程组
我们的小世界杯 足球赛规定 胜一场得 分 平一场得 分 负一场得
""’ ( % # ! ) ! /
分 勇士队赛了 场 共得 分 已知这个队只负了 场 那么胜了几场 又平
% . ! )+ % $ ! "
了几场呢
"
* ,+ -. 0$
# A* ,) A+ -)+
这就要研究有两个未知数的问题了
,
本章将研究一次方程组的解法，并学
会解决一些简单的实际问题%二元一次方程组
7(1
和它的解
问题
!"
让我们来看导图中的问题
#
暑假里 新晚报 组织了 我们的小世界杯 足球邀
!. / ’ (
请赛 比赛规定 胜一场得 分 平一场得 分 负一场得
% # # ! ) !
分 勇士队在第一轮比赛中赛了 场 只负了 场 共
/ % . ! $ !
得 分
)+ %
那么这个队胜了几场 又平了几场呢
" "
请你试一
""
试 并比较一下
这个问题可以用算术方法来解 也可以列一元一次
!
两种解法 !
% 方程来解
%
思考
"
问题中告诉了我们哪些等量关系 问题中有两个未
"
知数 如果分别设为 又会怎样呢
! $$ ’! "
第 章
"""!$! " "一次方程组探索
"
在下表的空格中填入数字或式子
%
胜 平 合 计
"
场 数
"" $ ’
得 分
""
设勇士队胜了 场 平了 场 那么根据题意 由上
"" $ ! ’ ! ! 这两个方
表得 ""
程有什么共同
的特点
""
$"’#+! !
和
#$"’#)+% "
这里 比赛场数 要满足两个等量关系 一个是
! $$ ’ #
胜与平的场数 一共是 场 另一个是这些场次的得
! + *
分 一共是 分 也就是说 两个未知数 必须同时
! )+ % ! $$ ’
满足 这两个方程 因此 把两个方程合在一起 并
!$ " % ! !
写成
{
$"’#+! !
#$"’#)+% "
上面列出的两个方程都有两个未知数 并且含未知数
!
项的次数都是 像这样的方程 叫做二元一次方程 把这
)% ! %
样的两个二元一次方程合在一起 就组成了一个二元一次
!
方程组
%5I51:G7J984:32:;<318745=81> 1=7<4?47=45&%
用算术方法或者通过列一元一次方程都可以求得
勇士队胜了 场 平了 场 即
* ! $ ! $#*! ’#$%
这里的 与 既满足方程 即
$#* ’#$ !!
* "$ #+!
第 章
" "一次方程组!"""!’又满足方程 即
"!
# !* "$ #)+%
我们就说 与 是二元一次方程组
$#* ’#$
{
$"’#+!
#$"’#)+
的解 并记作
!
{
$#*!
’#$%
一般地 使二元一次方程组中两个方程的左右两边的
!
值都相等的两个未知数的值 叫做二元一次方程组的解
! %
问题
#"
某校现有校舍 计划拆除部分旧校舍 改
$/ /// G$! !
建新校舍 使校舍总面积增加 若新建校舍的面积
! #/B%
为被拆除的旧校舍面积的 倍 则应该拆除多少旧校舍
’ ! !
建造多少新校舍
"
若设应拆除 旧校舍 建造 新校舍 请你根据
$G$ ! ’G$ !
题意列一个方程组
%
习题
"" ’%!
设适当的未知数 列出二元一次方程组
!" ! #
甲 乙两数的和为 甲数的) 比乙数的 倍少 求这两个数
%)& $ )’! $ +! *
#
摩托车的速度是货车速度的# 倍 两车的速度之和是 千米 时 求摩托
%$& ! $// 0 !
$
车和货车的速度
*
第 章
"""!%! " "一次方程组某种时装的单价是某种皮装单价的 倍 件皮装比 件时装贵 元
" %#& )(’ !* # +// !
求时装和皮装的单价
%
已知下面的三对数值
#" #
{ { {
$#&%! $#/! $#)/!
"""""" """"""
’#)/* ’#&&* ’#&)%
哪几对数值能使方程 ) 左 右两边的值相等
%)& $&’#& $ "
$
{
)
哪几对数值是方程组 $&’#&! 的解
%$& $ "
$$"#)’#&))
二元一次方程组
7(2
的解法
探索
"
我们先来回顾 节中的问题
+%) $%
在问题 中 如果设应拆除 旧校舍 建造 新
$ ! $G$ ! ’G$
校舍 那么根据题意可列出方程组
!
{
’&$#$//// !#/B! !
’#’$% "
怎样求这个二元一次方程组的解呢
"
观察
"
方程 表明 与 的值是相等的 因此 方程 中
" !’ ’$ ! ! !
的 可以看成 即将 代入
’ ’$! " !#
第 章
" "一次方程组!"""!(!!!
"""""""" ’ "
!!!
第 章
"""!)! " "一次方程组
! # ’$
!! "
!!
!
通过 代入
"" ’ (!
消去 了 得到 ,
’ ( ’!
了一元一次方程 ’ &$#$//// !#/B!
!
就可以解了
) 可得
" ’$&$#$//// !#/B%
把 代入 得
""$解 " !!
"’$&$#$//// !#/B!
#$#&///!
$#$///%
把 代入 得
$#$/// "!
’#%///%
{
所以 $#$///!
’#%///%
答 应拆除 旧校舍 建造 新校舍
# $/// G$ ! %/// G$ %
从这个解法中我们可以发现 通过将 代入 能消
# " !!
去未知数 得到一个关于 的一元一次方程 求出它的
’! $ !
解 进而求出 的值
! ’ %
用同样的方法可以解 节问题 中的二元一次方
+%) )
程组
%
解方程组
""$例! #
{
$"’#+! !
这里没有一个
"" #$"’#)+% "
方程是一个未知数用
另一个未知数表示的
由 得
形式 怎么办呢 ""$解 !!
! "
’#+ &$% $
将 代入 得
$ "!
#$"+ &$#)+%解得
$#*%
将 代入 得
$#* $!
’#$%
{
所以 $#*!
"
’#$%
思考
"
回顾并概括上面的解答过程 并想一想 怎样解方
! !
程组
#
{
#$&*’#&!
$"’’#&)*%
练 习
"
解下列方程组
%
{
$##’"$!
!" """"""""
$"#’#%%
{
’$&#’#)+!
#"
’#+ &*$%
{
$&’#&*!
$" ""
#$"$’#)/%
{
$$&+’#%!
%"
’&$$#&#($%
解方程组
""$例# #
{
$$&+’#%! !
这两个方程
#$&%’&)/ #/% " ""
中未知数的系数
能不能将其中一个方程适当变形 用一个未 都不是 怎么办
""$分析 ! )! "
知数来表示另一个未知数呢
"
第 章
" "一次方程组!"""!*由 得
""$解 !!
这里是先消去 +
"" $#’ " ’% $
得到关于 的一 $
$! ’
元一次方程 可以先 将 代入 得
% $ "!
消去 吗 试一试
’ " %
( )
+
# ’ " ’&%’&)/ #/%
$
解得
" ’#&/(%%
将 代入 得
’#&/(% $!
+
$#’ " !%&/(%&!
$
即
$#)($%
{
所以 $#)($!
"
’#&/(%%
练 习
"
把下列各方程变形为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式
!" %
#)$’$&’#&)&""""""""
#$$*$&)/’")* #/%
解下列方程组
#" %
{
$$&’’#&!
#)$ ""
#$"$’#)+&
{
#’#$"’!
#$$
$$"*’#&).&
{
$$"#’#+!
##$ ""
#$&*’#)&
{
#$"*’#*!
#’$
#$&’’#$#%
第 章
"""#+! " "一次方程组解方程组
""$例$ #
{
#$"*’#*! !
#$&’’#$#% "
探索
"
注意到这个方程组的未知数 的系数相同 都是
$ ! #%
请你把这两个方程的左边与左边相减 右边与右边相减
! !
看看 能得到什么结果
! "
把两个方程的两边分别相减 就消去了 得到
! $!
.’#&)%!
即
’#&$%
把 代入 得
’#&$ !!
此题我们已
#$"* !%&$& #*% ""
在前面练习过 对
解得 !
照一下 这里的解
$#*%
!
法是否比较简便
这样 我们求得了一对 的值 显然 { $#*! 是 "
优点在哪里
! $$ ’ % !
"
’#&$
原方程组的解
%
思考
"
从上面的解答过程中 你发现了二元一次方程组的
!
新解法吗
""
解方程组
""$例% #
{
#$"+’#.! !
怎样消去
""
’$&+’#*% " 一个未 知 数
"
得 先消去哪一个
""$解 ! ,"!
比较简便
"
+$#)’!
第 章
" "一次方程组!"""#&即
$#$%
将 代入 得
$-$ !!
& "+’#.!
解得 #
’# %
+
{
$#$!
所以
#
’# %
+
概括
"
在解例 例 时 我们是通过 代入 消去一个未知
)$ $ ! ’ (
数 将方程组转化为一元一次方程来解的 这种解法叫做
! %
代入消元法 简称代入法
代入 也好
! %
""’ ( !
加减 也罢 基本思 在解例 例 时 我们是通过将两个方程的两边分
’ ( ! #$ ’ !
想是 消 元 转 别相加 或相减 消去一个未知数 将方程组转化为一元
’ ($ ’ % & !
化 将新问题 化
一次方程来解的 这种解法叫做加减消元法 简称加
(! ’
归 为老问题来解决 % !
( % 减法
%
练 习
"
解下列方程组
%
{
*$"’#+!
!" """""""""
#$&’#)%
{
’$&#’#*!
#"
’$"&’#)’%
{
&$"+’#*!
$" ""
&$&+’#).%
{
/(*$&#’#&)!
%"
)
& $"*’##%
$
第 章
"""#!! " "一次方程组解方程组
""$例& #
{
#$&’’#)/! !
直接相加减
*$"&’#’$% " ""
不能消去一个未
设法把这个方程组变成像例 或例 那样
""$分析 # ’ 知数 怎么办呢
! "
的形式 想想看 如何才能达到要求
% ! "
得
""$解 ! A#!" A$!
{
.$&)$’##/! $
)/$")$’#%’% %
得
$ ,%! ).$#))’!
即
$#&%
把 代入 得
$#& "!
#/ "&’#’$!
解得
’#$%
{
所以 $#&!
’#$%
思考
"
能否先消去 再求解 怎么做
$ " "
在本节例 解方程组
$
{
$$&+’#%!
#$&%’&)/ #/
时 用了什么方法 现在你不妨用加减法试一试 看哪种
! " !
方法比较简便
%
第 章
" "一次方程组!"""##练 习
"
解下列方程组
%
{
#$&$’#&!
!" "
$$"#’#)+%
{
’$&$’#)’!
#" "
*$"’#+%
{
$&#’#&$/!
$" "
#$"+’#)//%
{
$$&#’#%!
%"
*’&+$#*%
某蔬菜公司收购到某种蔬菜 吨 准备加
""$例’ )’/ !
工后上市销售 该公司的加工能力是 每天可以粗加工
% #
吨或者精加工 吨 现计划用 天完成加工任务 该
)& & % )* !
公司应安排几天粗加工 几天精加工 如果每吨蔬菜粗
! "
加工后的利润为 元 精加工后的利润为 元 那
)/// ! $/// !
么照此安排 该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多
!
少元
"
问题的关键是解答前一个问题 即先求出安
""$分析 !
排粗加工和精加工的天数 从题目的信息中我们可以得
%
到这样的等量关系
#
!!!!!!!!!!!!!!!!
"
%)&
!!!!!!!!!!!!!!!!"
第 章
"""#$! " "一次方程组
!!
粗加工天数 精加工天数
, -)**
!!!!!!!!!!!!!!!!
"
%$&
!!!!!!!!!!!!!!!!"
!!
粗加工任务 精加工任务
, -)’/%
设粗加工和精加工的天数分别为 将两个等量
$$ ’!
关系直接 翻译 就可列出方程组
’ ( %设应安排 天粗加工 天精加工 根据
""$解 $ !’ %
题意 有
!
{
$"’#)*!
)&$"&’#)’/%
解这个方程组 得
!
{
$#*!
’#)/%
出售这些加工后的蔬菜一共可获利
")/// !)& !* "$/// !& !)/
元
#$/////% &%
答 应安排 天粗加工 天精加工 加工后出售共
# * !)/ !
可获利 元
$///// %
归纳
"
在第 章中 我们借助列一元一次方程解决了一些
& !
简单的实际问题 在这里 又借助列二元一次方程组解决
% !
了另一些实际问题 实际上 在很多问题中 都存在着一
% ! !
些等量关系 因此我们往往可以借助列方程或方程组的
!
方法来处理这些问题 这种处理问题的过程可以进一步
%
概括为
#
分析 求解
问题 方程 组 解答
’’抽’象’& ! "’’检’验’&
要注意的是 处理实际问题的方法往往是多种多样
!
的 应该根据具体问题灵活选用
! %
第 章
" "一次方程组!"""#’练 习
"
名工人按定额完成了 件产品 其中三级工每人定额 件 二级工每人定
!"$$ #’// ! $// !
额 件 若这 名工人中只有二级工与三级工 问二级工与三级工各有多
)*/ % $$ !
少名
""
为改善富春河的周围环境 县政府决定 将该河上游 地的一部分牧场改为林场
#" ! ! . %
改变后 预计林场和牧场共有 公顷 牧场面积是林场面积的 请你算一
! )&$ ! $/B%
算 改变后林场 牧场的面积各为多少公顷
! + "
某船的载重为 吨 容积为 现有甲 乙两种货物要运 其中甲种货物每
$" $&/ ! )/// G#% + !
吨体积为 乙种货物每吨体积为 若要充分利用这艘船的载重与容积 则
% G#! $ G#! !
甲 乙两种货物应各装多少吨 设装运货物时不留空隙
+ " # $
习题
"" ’%#
解下列方程组
!" #
{
$&#’#$!
%)& """"""""""
$$"’#)%*
{
$( ")#/!
%$&
’( "#)#&*
{
#$&$’"$/ #/!
%#& ""
$$")*’&# #/*
{
$’&% #&$!
%’&
’$"#’#+%
第一小组的同学分铅笔若干支 若每人各取 支 则还剩 支 若有 人只取
#" ! * ! ’ * ) $
支 则其余每人恰好各得 支 问第一小组同学有多少人 铅笔有多少支
! & % " "
甲 乙两人要加工 个机器零件 若甲先做 天 然后两人再共做 天 则还有
$" $ ’// ! ) ! $ !
个无法完成 若两人合作 天 则可超产 个 问甲 乙两人每天各加工多少
&/ * # ! $/ % $
个零件
"
某厂第二车间的人数比第一车间人数的’ 少 人 如果从第一车间调 人到
%" #/ % )/
*
第二车间 那么第二车间的人数就是第一车间人数的# 问这两个车间原来各有
! %
’
多少人
"
第 章
"""#%! " "一次方程组* 三元一次方程组
7(3
及其解法
问题
"
在 节中 我们应用二元一次方程组 求出了勇士
+%) ! !
队在 我们的小世界杯 足球赛第一轮比赛中胜与平的
’ (
场数
%
在第二轮比赛中 勇士队参加了 场比赛 按同样
! )/ !
的计分规则 共得 分 已知勇士队在比赛中胜的场数
! )% %
正好等于平与负的场数之和 那么勇士队在第二轮比赛
!
中胜 平 负的场数各是多少
$ $ "
这个问题可以用多种方法 算术方法 列出一元一
% $
次方程或二元一次方程组 来解决 请 你 试 一
""
& % 试 并对不同的
小明同学提出了一个新的思路 !
# 方法进行比较
问题中有三个未知数 如果设这个队在第二轮比赛 %
!
中胜 平 负的场数分别为 又将怎样呢
$ $ $$ ’$ 7! "
分别将已知条件直接 翻译 列出方程 并将它们
’ (! !
写成方程组的形式 得
!
{
$"’"7#)/! !
#$"’#)%! "
$#’"7% $
像这样的方程组称为三元一次方程组
%
怎样解三元一次方程组呢
"
在上一节中 我们学习了二元一次方程组的解法 其 回 忆 一 下
""
! !
二元一次方程组
基本思想是 通过 消元 消去一个未知数 将方程组转
# ’ (! ! 的解法 从中能
化为一元一次方程求解 方法有代入消元法和加减消 !
得到什么启示
%
"
元法
%
第 章
" "一次方程组!"""#(对于三元一次方程组 同样可以先消去一个 或两
! %
个 未知数 转化为二元一次方程组 或一元一次方程
& ! % &
求解
%
注意到方程 中 是用含 和 的代数式来表示
$ !$ ’ 7
的 将它分别代入方程 得到
! !$ "!
{
$’"$7#)/! %
’’"#7#)%% &
化归思想在这
这是一个关于 的二元一次方程组 解之得
""
里进一步得到体 ’$ 7 !
现 你体会到了吗 {
’##!
! "
7#$%
将 代入方程 可以得到
’##! 7#$ $! $#*%
所以这个三元一次方程组的解是
{
$#*!
’##!
7#$%
上面的三元一次方程组能否应用加减消元法求解
"
或者能否利用方程 直接消去方程 中的 比较
$! ! ’,7"
一下 哪种方法更简便
! "
解方程组
""$例! #
{
$$&#’"’7##! !
#$&$’"7#+! "
$"$’#)% $
由方程 得
""$解 "!
7#+ &#$"$’% %
将 分别代入方程 和 得
% ! $!
{
$$&#’"’%+ &#$"$’& ##!
$"$’&#%+ &#$"$’& #)%
第 章
"""#)! " "一次方程组整理 得
!
{
&$$"’#&*!
*$&$’#))%
解这个二元一次方程组 得
!
{
$#)!
’#&#%
代入 得
%!
7#+ &# && #&$%
所以原方程组的解是
{
$#)!
’#&#!
7#&$%
概括 能否先消去
""
" 或 怎么
$% ’&"
做 比较一下
" !
这里 我们用的是代入消元法 先由方程 用含有 哪个更简便
! # "! "
的代数式表示 再分别代入方程 和 消去未知
$$ ’ 7! ! $!
数 转化为只含有 的二元一次方程组求解
7! $$ ’ %
练 习
"
解下列方程组
!" %
{ {
$"’"7#&! #$&$’#*!
#)$ #$&’"$7#)$!""""""""#$$ ’&*7#&))!
$&’#&’& #7&’$#$%
试用加减消元法解例 中的方程组
#" ) %
解方程组
""$例# #
{
#$"’’##! !
$$&#’&$7#$! "
*$&#’"’7#&$$% $
第 章
" "一次方程组!"""#*三个方程中未知数的系数都不是 或
""$分析 )
用代入消元法比较麻烦 可考虑用加减消元法
0)! !
来解
%
得
""$解 $ 0"!
#$"&7#&$’!
即
$"$7#&%%
得
""! A# ," A’!
)+$&)+7#)+!
即
$&7#)%
得方程组
{
$"$7#&%!
通 过 加
" " ’ $&7#)%
减 先消去
(! ’% {
解得 $#&$!
7#&#%
将 代入方程 得
$#&$! 7#&# "! ’#/%
所以原方程组的解是
{
$#&$!
能否先消去 ’#/!
""
或 怎么 7#&#%
7% $&"
做 比较一下
" !
哪个更简便
" 概括
"
上述例 和例 的解答分别应用了代入消元法和加
) $
减消元法 先消去某一个未知数 将三元一次方程组转化
! !
为二元一次方程组 然后解所得的二元一次方程组 得到
! !
两个未知数的值 进而求出第三个未知数的值 从而得到
! !
原方程组的解
%
第 章
"""$+! " "一次方程组练 习
"
解下列方程组
!" %
{
$"’&7#$!
#)$ ’$&$’"#7"% #/!"""""
$"#’&$7&& #/&
$ ’
# !
# $
#$$ ’ 7
# !
’ *
$"’"7#&/%
已知 当 时 当 时 当 时
#" ’#($$ ")$"*% $#&$ ! ’#.& $#/ ! ’##& $#$ !’#
求 的值
*% (+ )+ * %
习题
"" ’%&
解下列方程组
!" #
{
$"’&7#/!
%)& $$&’"#7#$!
$&’’&$7"& #/*
{
#$"’#&!
%$& $"$’&7#*!
*$&#’"$7#’*
{
$"’"7#&)!
%#& ’$&$’"#7#*!
’&7#% &$$*
{
$$"#’#*!
%’& #’&’7##!
’7"*$#+%
某初级中学共有学生 人 已知八年级学生人数比其他两个年级人数的平均
#" &+# !
数多 人 九年级学生人数比七年级学生人数少 人 个年级各有多少人
$* ! % !# "
第 章
" "一次方程组!"""$&实践与探索
7(4
问题
!"
要用 张白卡纸做长方体的包装盒 准备把这些白
$/ !
卡纸分成两部分 一部分做侧面 另一部分做底面 已知
! ! %
每张白卡纸可以做 个侧面 或者做 个底面 如果 个
$ ! # % )
侧面和 个底面可以做成一个包装盒 那么如何分才能
$ !
使做成的侧面和底面正好配套
"
请你设计一种分法
%
想一想 如果可以将一张白卡纸裁出一个侧面和一
!
个底面 那么 该如何分这些白卡纸 才能既使做出的侧
! ! !
面和底面配套 又能充分利用白卡纸
! "
问题
#"
小明在拼图时 发现 个大小一样的长方形 恰好可
! % !
以拼成如图 所示的一个大的长方形
+(’() %
小红看见了 说 我来试一试 结果小红七拼八
! #’ %(
凑 拼成如图 所示的正方形 咳 怎么中间还留下
! +(’($ % !
了一个洞 恰好是边长为 的小正方形
! $ GG )
你能求出这些长方形的长和宽吗
"
"
图 图
(,$,& (,$,!
第 章
"""$!! " "一次方程组探索
"
设长方形的长和宽分别为 图 给
$GG$ ’GG% +(’($
我们提供了一个信息
#
一条路不通
"" !
另辟蹊径 仔细
1大正方形 &% !1长方形 #$$! )
观察两幅图 你还
即 !
%$"$’&$ &%$’#’% 能发现哪些有用
但这是我们还没有研究过的方程 你有什么其他办 的信息
) "
法来解决这个问题
"
在 节提出的问题中选出一个 用本章的方法来处理 并比较一下
&%# ! !
两种方法 谈谈你的感受
! %
习题
"" ’%(
某市为更有效地利用水资源 制定了用水收费标准 如果一户三口之家每月用水
!" ! #
量不超过 按每立方米水 元收费 如果超过 超过部分按每立方
.G#! )(#/ * .G#!
米水 元收费 其余仍按每立方米水 元收费 小红一家三人 月份共用
$(./ ! )(#/ % !)
水 支付水费 元 问该市制定的用水标准 为多少 小红一家超过部分
)$ G#! $$ % . "
的用水是多少立方米
"
长风乐园的门票价格如下表所示 某校七年级 两个班共 人去游长
#" % %)&$%$& )/’
风乐园 其中 班人数较少 不到 人 班人数较多 有 多人 经估算
! %)& ! */ !%$& ! */ % !
如果两个班都以班为单位分别购票 那么一共应付 元 如果两个班联合起
! )$’/ *
来 作为一个团体购票 那么可以节省不少钱 问两个班各有多少名学生
! ! % "
购票人数 人 以上
% &" )!*/ *)!)// )//
每人门票价 元
% & )# )) .
第 章
" "一次方程组!"""$#
书书书 书书书鸡 兔 同 笼
今有鸡兔同笼
上有三十五头
下有九十四足
问鸡兔各几何
这是出自我国 孙子算经 卷中著名的 雉 鸡 兔同笼 问题 可以认为是我
) * ’ # $ ( !
国鸡兔同笼问题的始祖 对这一问题 孙子算经 给出了简捷而又巧妙的解法
% !) * %
上置头 下置足 半其足 以头除足 以足除头 即得 此处除意为减
’ ! % ! ! ! %(# $
即先设金鸡独立 玉兔双腿 即 半其足 这时共有腿数为
! # ’ ($! %.’ K$ -’+%
在这 条腿数中 每数一条腿应该有一只鸡 而每数两条腿才有一只兔 也
’+ ! ! !
就是说 鸡的头足数相等 而每只兔的头数却比足数少一 所以兔数为
! ! !
’+ &#* #)$!
鸡数为
#* &)$ #$#%
在一般情况下 如果设 为鸡数 为兔数 为鸡兔总共只数 为鸡兔总
! $ !’ !. !/
共足数 则
!
{
$"’#.!
$$"’’#/%
{
( )
/
$#.&’#.& &.!
可解得 $
/
’# &.%
$
这就是说 兔数恰好为腿数的二分之一 半其足 与总头数之差 以头除足
! # $ # $%
在古代朱世杰的 算学启蒙 年 卷中 永乐大典 卷中的 丁巨算
) *#)$.. $ +) * )
法 严恭的 通原算法 中 也有鸡兔同笼问题的记载 朱世杰的解法与 孙子算
*+ ) * ! % )
经 不同 而与现在算术解法则几乎完全一样
* ! %
第 章
"""$$! " "一次方程组""一! 知识结构
二! 要点
在实际问题中 经常会遇到有多个未知量的问题 和一元一次
)( ! %
方程一样 二 三 元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系
! % &
的数学模型 要学会将实际问题转化为数学问题 列出二 三 元一次
% ! % &
方程组 最终求得符合实际的解
! %
解一次方程组的基本思想是消元 转化 通过消元 把三元一次
$( $ # !
方程组转化为二元一次方程组 把二元一次方程组转化为一元一次方
!
程 最常见的消元方法有代入法和加减法 一个方程组用什么方法来
% %
逐步消元 应根据它的特点灵活选定
! %
通过列方程组来解实际问题 应注意检验和正确作答 检验不
#( ! %
仅要检查求得的解是否满足所列方程组中的每一个方程 而且要检验
!
所得的解答是否符合实际问题的要求
%
第 章
" "一次方程组!"""$’A 组
填空
!" #
在 $ 中 如果 那么 如果 那么
%)& ’# $&’ ! $#)(*! ’#""""! ’#/! $#
#
""""*"
由 得到用 表示 的式子为
%$& #$&$’#*! $ ’ ’-""""%
解下列方程组
#" #
{ {
#$&)#’#&)&! $"$’"$ #/!
%)& """"""%$&
$"#’#$* +$&’’#&’)*
{ {
#8&’9#)’! *$"&’#)*($!
%#& %’&
*8"’9#$* #$&$’#&/(’*
{
) $
{ $"#’# !
$+"., #’(%! $ #
%*& "" %&&
#+&*, #&)** # $.
$& ’#& %
’ )$
解下列方程组
$" #
{ {
#$&$’#%! $$&#’&7#&’!
%)& $’"#7#)! "" %$& $"$’"$7#&!
$"*’&7#&’* #$"$’"7#))%
在等式 中 当 时 当 时 求 的值
%" ’#3$") ! $#) !’#&$* $#&) !’#&’% 3$ ) %
小明与他的爸爸一起做 投篮球 游戏 两人商定规则为 小明投中 个得 分
&" ’ ( % # ) # !
小明爸爸投中 个得 分 结果两人一共投中了 个 经计算 发现两人的得
) ) % $/ ! !
分恰好相等 你能知道他们两人各投中几个吗
% "
今年 小李的年龄是他爷爷的) 小李发现 年之后 他的年龄变成爷爷的
’" ! % !)$ !
*
) 试求出今年小李的年龄
% %
#
某检测站计划在规定时间内检测一批仪器 如果每天检测 台 那么在规定时
(" ! #/ !
间内只能检测计划数的’ 现在每天实际检测 台 结果不但比原计划提前了
% ’/ !
*
一天完成任务 还多检测了 台 问规定时间是多少天 原计划检测多少台
! $* % " "
第 章
"""$%! " "一次方程组B 组
解下列方程组
)" #
$$&) #’&$
" #$!
$"’ $$&’
* ’
%)& # #$"$*""""""%$&
$ # #$") #’"$
& #/%
* ’
两地相距 千米 甲从 地出发步行到 地 乙从 地出发步行到 地
*".$ / # % . / ! / . %
两人同时出发 分钟后相遇 又经过 分钟后 甲所余路程为乙所余路程的
!$/ ! )/ !
倍 求两人的速度
$ % %
甲 乙两人同时加工一批零件 前 小时两人共加工 件 后 小时中甲先花
!+" $ ! # )$& ! *
了 小时修理工具 之后甲每小时比以前多加工 件 结果在后 小时内 甲
) ! )/ ! * !
比乙多加工了 件 甲 乙两人原来每小时各加工多少件
)/ % $ "
已知某个三角形的周长为 其中两条边的长度之和等于第三条边长度的
!!" )% LG!
倍 而它们的差等于第三条边长度的 )
$ ! !
#
求这个三角形三边的长度
%
两块试验田去年共产花生 千克 改用良
!#" ’+/ %
种后 今年共产花生 千克 已知第一块
! *$# %
田的产量比去年增产 第二块田的产
)&B!
量比去年增产 求改用良种后每块田
)/B%
的产量
%
第 题
二果问价 源于我国古代算书 四元玉鉴
% )$ &
!$" % . /&#
九百九十九文钱 甜果苦果买一千 甜果九个十一文
" "
苦果七个四文钱 试问甜苦果几个 又问各该几个钱
" "
C 组
客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶 客车长 米 货车长 米 如果
!%" ! ’*/ ! &// %
两车相向而行 那么从两车车头相遇到车尾离开共需 秒钟 如果客车从后面
! $) *
追货车 那么从客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需 分
! ) ’*
秒 求两车的速度
% %
第 章
" "一次方程组!"""$(李老师去一家文具店给美术小组的 名同学买铅笔和橡皮 到了商店后发现
!&" #/ % !
按商店规定 如果给全组每人都买 支铅笔和 块橡皮 那么按零售价计算 共
! $ ) ! !
需付 元 如果给全组每人都买 支铅笔和 块橡皮 那么可以按批发价计
#/ * # $ !
算 共需付 元 已知每支铅笔的批发价比零售价低 元 每块橡皮的
! ’/(*/ % /(/* !
批发价比零售价低 元 这家文具店每支铅笔和每块橡皮的批发价各是多
/()/ %
少元
""
一张方桌由 个桌面 条桌腿组成 如果 立方米木料可以做方桌的桌面
!’" ) $’ % ) */
个或做桌腿 条 现有 立方米木料 那么用多少立方米木料做桌面 多少立
#// ! * ! $
方米木料做桌腿 做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌 能配成多少张方桌
! " "
第 章
"""$)! " "一次方程组第 8 章 一元一次不等式
某班 名学生去世纪公园 世纪公园的票价是每人 元 一次购票满
"" $+ % * & #/
张 每张票可少收 元
! ) %
怎么买票合算
"
这里涉及数学上的不等式
,
本章将研究一元一次不等式的解法，
并学会解决一些简单的实际问题%认识不等式
8(1
问题
"
世纪公园的票价是每人 元 一次购票满 张 每
* * #/ !
张票可少收 元 某班有 名少先队员去世纪公园进行
) % $+
活动 当领队王小华准备好了零钱到售票处买 张票
% $+
时 爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华 提议买 张票
! ! #/ %
但有的同学不明白 明明我们只有 个人 买 张票
! $+ ! #/ !
岂不是 浪费 吗
’ ( "
那么 究竟李敏的提议对不对 是不是真的 浪
! " ’
费 呢
解决这个
"" ( "
问题的关键是
比较两种方式 我们不妨一起来算一算
#
付款的多少
买 张票 要付款
%
$+ !
元
* !$+ #)#*% &%
买 张票 要付款
"" #/ !
元
’ !#/ #)$/% &%
显然
"" )$/ :)#*%
这就是说 买 张票比买 张票付款要少 表面上
! #/ $+ !
看是 浪费 了 张票 实际上反而节省了
’ ( # ! %
当然 如果去世纪公园的人数较少 例如 个人
! % )/ &!
显然不值得去买 张票 还是按实际人数买票为好 现
#/ ! %
在的问题是 少于 人时 有多少人去世纪公园 买
# #/ ! ! #/
张票反而合算呢
"
探索
"
我们一起来分析上面提出的问题
%
第 章
"""’+! # "一元一次不等式设有 人要去世纪公园 如果 那么按实际人
! " !"#$!
数买票 张 要付款 元 买 张票 要付款
! ! %!" #$ #$ !
元
& ’#$ ()*$" #"
如果买 张票合算 那么应有
#$ !
尝试 检验
)*$ #%!"
!! * !
现在的问题就是 取哪些数值时 上式成立 找出符合要求的
%! ! &
答案
前面已经算过 当 时 上式成立 让我们再取 "
! !(*+ ! "
一些值试一试 将结果填入下表
! "
比较 与 的大小 成立吗
! %! )*$ %! )*$ "%! &
不成立
*) )$% )*$ ,%!
**
*#
*&
*%
*-
成立
*+ )#% )*$ "%!
*.
*/
由上表可见 当 时
!! ! !$!!!!!!!! !)*$ "%!
成立 也就是说 少于 人时 至少要有 人进公
" ! #$ ! !!!!
园 买 张票反而合算
! #$ "
概括
!
像上面出现的 那样用不
)*$ ")#%! !"#$! )*$ "%!
等号 或 表示不等关系的式子 叫做不等式
’ "( ’ ,( !
"0123456078#"
不等式 中含有未知数 能使不等式成立的
)*$ "%! !"
未知数的值 叫做不等式的解
! "9:6470:1 :;0123456078#"
如上例中 都是不等式
!!$*%!*-!*+! ) )*$ #%!
的解 而 则都不是它的解
! !$*&! *#! **! *) "
第 章
! !一元一次不等式!###!"
书书书用不等式表示下列关系 并分别写出两个满
!!!例 !
足不等式的数
%
的一半小于
")# ! <)$!
与 的和大于
"*# % & $=%$
是负数
"## & $!!
是非负数
"&# ’ "
) 如
!!!解 ")# !#()" !$(#! (&"
*
或 如
!!’,$ ’( "*# %)& *$=%" %$$! )"
通常可表示成 如
$! "## & #$" & $(#! (&"
是非负数 即 不是负数 所以 或
’"$"
"&# ’ ! ’ ! ’*$ ’$$"
如
’$$! *"
练 习
!
用不等式表示
!" !
的 倍大于 与 的差小于
")# ! # %$!!!!!!!!!"*# % * <)$
的 倍大于 的) 与 的差是负数
"## ! * !$ "&# % # $
*
是正数 不是正数
"%# & $ "-# ’ "
用 号或 号填空
#" % "& % ,& !
")# + )# !!!!& )#$!! "*# + )"()# !!!!& )"()#$
"## + +# !!!!& +#$!! "&# + +"(## !!!!& +"(##"
下列各数中 哪些是不等式 的解 哪些不是
$" ’ !)* *% ( (
<#’ <*’ <)’$’)=%’*=%’#’#=%’%’+"
习题
!! "#$
比较下列各数的大小 用 号或 号填空
!" ! ’ "( ’ ,( %
")# (# !! (*$!!!!!!!!"*# () !!$$
"## # !! (&$ "&# (% !! (-$
) * ) *
"%# !! $!! "-# ( !! ( "
* # * #
第 章
###!$! ! !一元一次不等式用不等式表示
#" %
的) 与 的差大于
")# ! # *$!
*
与 的和小于零
"*# *! ) $
的 倍与 的差是正数
"## & * & $!!
的) 与 的和是负数
"&# ’ , $
*
与 的差是非负数
"%# & ’ $!!
的绝对值与 的和大于
"-# ! ) )"
解一元一次不等式
8=2
!!!"不等式的解集
回忆
!
在上一节练习第 题中 我们发现
# ! ! <#* <** <)*
都不是不等式 的解 而
$* )=%* *=%*# !)* *% ! #=%*%*+
都是不等式 的解 由此可以看出 不等式
!)* *% " !
有许多个解
!)* *% "
进而看出 大于 的每一个数都是不等式
! # !)* *%
的解 而不大于 的每一个数都不是不等式 的
! # !)* *%
解 不等式 的解有无数个 它们组成一个集
" !)* *% !
合 称为不等式 的解集
! !)* *% "
概括
!
一个不等式的所有解 组成这个不等式的解的集合
! !
简称为这个不等式的解集
"9:6470:1 927#"
第 章
! !一元一次不等式!###!%研究不等式的一个重要任务 就是求出不等式的解
!
集 求不等式的解集的过程 叫做解不等式
" ! "
不等式 的解集 可以表示成 它也可
!)* *% ! !,#!
以在数轴上直观地表示出来 如图 所示
! .=*=) "
同样 如果某个不等式的解集为 也可以在
! !# <*!
比较图 数轴上直观地表示出来 如图 所示
!! .=*=) ! .=*=* "
与图 它们有
.=*=*!
什么区别
&
图
’($("
图
’($($
这里 出现了符号 一般地 解集 表
! ’#(" ! !# &!
示 小于或等于 或者说 不大于 类似地
’! &(! ’! &(" !
解集 表示 大于或等于 或者说 不小
!" &! ’! &(! ’!
于
&("
在数轴上 解集 是指表示数 的点左边的部
! !# &! &
分 包括表示数 的点在内 这一点画成实心圆点 而解
! & ! "
集 则是指表示数 的点左边的部分 但不包括表
!#&! & !
示数 的点 这一点画成空心圆圈 对于解集 和
& ! " !" &
在数轴上的表示 与此相仿
!*& ! "
练 习
!
根据 当 为任何正数时 都能使不等式 成立 能不能说 不等式
!" % ! ’ !)# ** &’ % !)
的解集是 为什么
# ** !*$&( (
两个不等式的解集分别为 和 它们有什么不同 在数轴上怎样表示它
#" !#* !#*’ (
们的区别
(!
两个不等式的解集分别为 和 分别在数轴上将它们表示出来
$" !#) !")’ "
第 章
###!&! ! !一元一次不等式!!#"不等式的简单变形
回顾与探索
!
方程有哪些
在解一元一次方程时 我们主要是对方程进行变形 !!
! " 简单变形
在研究解不等式时 我们先探究不等式的变形规律 &
! "
如图 所示 一个倾斜的天平两边分别放有重
.=*=# !
物 其质量分别为 和 如果在两边盘内分别加
! & ’!& *’"
上等质量的砝码 那么盘子仍然像原来那样倾斜 即有
,! !
& ),*’),"
图
’($(%
概括
!
不等式的性质 如果 那么
!% ! &"!
! #$%" #$! ! &$%" &$’
这就是说 不等式的两边都加上 或都减去 同一个
! " #
数或同一个整式 不等号的方向不变
! "
思考
!
不等式的两边都乘以 或都除以 同一个不为零的
" #
数 不等号的方向是否也不变呢
! &
第 章
! !一元一次不等式!###!!将不等式 的两边都乘以同一个数 比较所得结
+ ,& !
果的大小 用 或 号填空
! ’ "(*’ ,( ’ (( %
+ +# !! & +#!
+ +* !! & +*!
+ +) !! & +)!
+ +$ !! & +$!
+ +"()# !! & +"()#!
+ +"(*# !! & +"(*#!
+ +"(## !! & +"(##!
))!
你能从中发现什么
&
概括
!
不等式的性质 如果 并且 那么
#% ! %"! $%$!
! "
!$%"$! % ’
$ $
不等式的性质 如果 并且 那么
$% ! %"! $($!
! "
!$("$! ( ’
$ $
这就是说 不等式的两边都乘以 或都除以 同一个
! " #
正数 不等号的方向不变 不等式的两边都乘以 或都除
! $ "
以 同一个负数 不等号的方向改变
# ! "
与解方程类似 解不等式的过程 就是利用不等式的
! !
基本性质 将不等式进行适当的变形 得到 或
! ! !,& !"&
的形式
"
解不等式
!!!例! %
")# !(+ #.$!!!!!
"*# #!#*!(#"
第 章
###!)! ! !一元一次不等式不等式的两边都加上 不等号的方向
!!!解 ")# +!
不变 所以
! !
!(+ )+ #. )+!
得
!#)%"
不等式的两边都减去 即都加上 不等
"*# *!" <*!#! 这两小题
号的方向不变 所以 !!
中不等式的变
!
形与方程的什
#!(*!#*!(# (*!!
么变形类似
&
得
!#(#"
这里的变形 与方程变形中的移项类似 试总结一
! "
下 怎样进行不等式的 移项
% ’ (&
解不等式
!!!例# %
)
")# !*(#$!!!!!!"*# (*!#-"
*
不等式的两边都乘以 不等号的方向
!!!解 ")# *!
不变 所以
!
)
!+* *"(## +*!
*
得
!*(-"
不等式的两边都除以 即都乘以 ) 不
"*# <*" < #! 这两小题中不
* !!
等号的方向改变 所以 等式的变形与方程
!
的什么变形类似
&
( ) ) ( ) ) 有什么不同
(*!+ ( *- + ( ! &
* *
得
!*(#"
这里的变形 与方程变形中的 将未知数的系数化
! ’
为 类似 它依据的是不等式的性质 或性质 要注意
)( ! * #"
不等式两边都乘以 或都除以 的数是正数还是负数 从
" # !
而确定变形时不等号的方向是否需要改变
"
第 章
! !一元一次不等式!###!*练 习
!
解下列不等式 并把解集在数轴上表示出来
’ !
!"!(* *$"!!!!!!!!!!#"!)) *$"
$"(*!#&"!! ’"#!#$"
!!$"解一元一次不等式
前面遇到的不等式有一个共同的特点 它们都只含
%
有一个未知数 并且含未知数的式子都是整式 未知数的
! !
次数都是 像这样的不等式叫做一元一次不等式
)"
"60125>0123456078?07@ :1241A1:?1#"
我们再来解一些一元一次不等式
"
解下列不等式 并将解集在数轴上表示
!!!例$ !
出来
%
")# *!() #&!))#$
"*# *"%!)## # !(#") (*!#"
!!!解 ")# *!() #&!))#"
移项 得
!
*!(&!#)# ))"
合并同类项 得
!
(*!#)&"
两边都除以 得
(*!
一元一次不等 !*(+"
!!
式与一元一次方程 它在数轴上的表示如图
的解法有哪些类似 .=*=&"
之处 有什么不同
& &
图
’($(&
第 章
###!’! ! !一元一次不等式"*# *"%!)## # !(#") (*!#"
去括号 得
!
)$!)- # !(# )-!"
移项 合并同类项 得
* !
#!# (/"
两边都除以 得
#!
!# (#"
它在数轴上的表示如图
.=*=%"
图
’($(!
当 取何值时 代数式 !)& 与#!() 的值的
!!!例’ ! !
# *
差大于
)&
根据题意 得
!!!解 !
!)& #!()
( *)"
# *
去分母 得
!
*"!)&# (#"#!()# *-"
去括号 得
!
*!). (/!)# *-!
即
(+!))) *-"
移项 得
!
(+!*(%"
两边都除以 得
<+!
%
!# "
+
第 章
! !一元一次不等式!###!+所以 当 取小于 % 的任何数时 代数式 !)& 与
! ! !
+ #
#!() 的值的差大于
)"
*
讨论
!
回顾例 与例 的解答过程 总结一下解一元一次
# & !
不等式的方法 与你的同伴讨论和交流
! "
练 习
!
解下列不等式 并把解集在数轴上表示出来
!" ’ !
")# *!)) *#$!!!!!!!!!"*# * (!#)$
"## *"!))# ##!$!! "&# #"!)*# "&"!()# )+"
解不等式 *!(# #!(*
#" ! * "
# *
一个工程队原定在 天内至少要挖土 前两天一共完成了 由于整
$" )$ -$$ B#’ )*$ B#’
个工程调整工期 要求提前两天完成挖土任务 问后 天内平均每天至少要挖土
’ " -
多少立方米
(
问题
!
在 科学与艺术 知识竞赛的预选赛中共有 道题
’ ( *$ !
对于每一道题 答对得 分 答错或不答扣 分 总得分
! )$ ! % !
不少于 分者能通过预选赛 育才中学有 名学生通过了
.$ " *%
预选赛 通过者至少应答对多少道题 有哪些可能情形
! & &
讨论
!
试解决这个问题 你是用什么方法解决的 有
")# " &
没有其他方法 与你的同伴讨论和交流一下
& "
第 章
###),! ! !一元一次不等式如果你是利用不等式的知识解决这个问题的
"*# !
那么在得到不等式的解集后 如何给出原问题的答案
! &
应该如何表述
&
练 习
!
求下列不等式的所有正整数解
!" !
")# (&!"()*$!!!!!!!!"*# #!()) #$"
一次智力测验 有 道选择题 评分标准为 对 题给 分 错 题扣 分 不答题
#" ’ *$ " ! ) % ’ ) * ’
不给分也不扣分 小明有 道题未答 则他至少要答对几道题 总分才不会低于
" * ’ ’
分
-$ (!
习题
!! "#%
解下列不等式
!" %
")# !(% #$$!!!!!!!!!!!"*# #!"*!(-$
)
"## *!#(#$!! "&# (*!* "
#
写出下列各图所表示的不等式的解集
#" %
")#
"*#
解下列不等式 并把它们的解集在数轴上表示出来
$" ! %
")# #!"(#$!!
"*# (#!)# #$$
"## *!)* ##!)#$!!
"&# %!() *.!)#"
分别取什么值时 代数式 的值满足下列要求
’"& ! &&C* &
大于
")# )$!!!!!
等于
"*# )$
小于
"## )"
第 章
! !一元一次不等式!###)"解下列不等式
(" %
!
")# )) *!$
*
"*# #"!)## #%"!()# )+$
) )
"## "!(## # (*!$
* #
!() !)&
"&# ( *(*"
# *
求不等式 的所有负整数解
)" ) <*!"- "
某高速公路工地需要实施爆破 操作人员点燃导火线后 要在炸药爆炸前跑到
*" ! !
米以外的安全区域 已知导火线的燃烧速度是 厘米 秒 人跑步的速度
&$$ " )=* - !
是 米 秒 问导火线必须超过多长 才能保证操作人员的安全
% - " ! &
一元一次不等式组
8=3
问题
!
用每分钟可抽 吨水的抽水机来抽污水管道里积
#$
存的污水 估计积存的污水不少于 吨且不超过
! )*$$
吨 那么需要多少时间能将污水抽完
)%$$ ! &
分析
!
设需要 分钟能将污水抽完 那么总的抽水量为
! !
吨 由题意 应有
#$! " !
#$!")*$$!
并且
#$!#)%$$"
在这个实际问题中 未知量 应同时满足这两个
! !
第 章
###)$! ! !一元一次不等式不等式 我们把这两个一元一次不等式合在一起 就得到
" !
一个一元一次不等式组
%
{#$!")*$$! !
#$!#)%$$" "
分别求这两个不等式的解集 得
!
{!"&$!
!#%$"
同时满足不等式 的未知数 应是这两个不等
!* " !
式解集的公共部分 如图 在同一数轴上表示出这
" .=#=)!
两个不等式的解集 可知其公共部分是 和 之间的
! &$ %$
数 包括 和 记作 这就是所列不等式
" &$ %$#! &$#!#%$"
组的解集
"
图
’(%("
所提问题的答案为 需要 到 分钟能将污水
% &$ %$
抽完
"
概括
!
不等式组中几个不等式的解集的公共部分 叫做这
!
个不等式组的解集
"
解一元一次不等式组 通常可以先分别求出不等式
!
组中每一个不等式的解集 再求出它们的公共部分 利用
! "
数轴可以帮助我们得到一元一次不等式组的解集
"
解不等式组
!!!例! %
{#!() **!))! !
*!*." "
第 章
! !一元一次不等式!###)%解不等式 得
!!!解 !! !!!!!**"
解不等式 得
"! !*&"
如图 在同一数轴上表示不等式 的解
."#"*! !* "
集 可知所求不等式组的解集是
!
!*&"
图
’(%($
练 习
!
解下列不等式组 并把它们的解集在数轴上表示出来
’ !
{!() #$’ {%!)/ *()’ {*!() *$’ {(#!#$’
!" ! #" ! $" ! ’"
*!(% #)" ) (!#$" & (!*$" &!)+ *$"
解不等式组
!!!例# %
{*!)) #()! !
# (!#)" "
解不等式 得
!!!解 !! !!!#()"
解不等式 得
"! !"*"
如图 在同一数轴上表示不等式 的解
."#"#! !* "
集 容易看出 这两个不等式的解集没有公共部分 这时
" ! " !
这个不等式组无解
"
图
’(%(%
第 章
###)&! ! !一元一次不等式练 习
!
填表
!" !
不等式组 {!(* #$! {!(* #$! {!(* *$! {!(* *$!
!)# #$ !)# *$ !)# #$ !)# *$
数轴表示
解 集
!!
解下列不等式组 并把它们的解集在数轴上表示出来
#" ’ !
{!() *-"!)##’
")#
%"!(*# () #&") )!#$
!(*
{ #$’
#
"*#
) )
& ( !#( !"
# &
试求不等式组 {!)* *$’的所有整数解
$" "
!(- #$
习题
!! "#&
解下列不等式组
!" %
{& )*!*+!)#!
")#
&!)% ##!)-$
{*!(% ##!(%!
"*#
-!(# #- (#!$
{&!)%$ #.!)#!
"##
%
&!(+ #-!( $
+
{%!)& ##"!))#!
"&# !() *!()
" "
* %
求不等式组 的所有整数解
#" *##!<+ ". "
第 章
! !一元一次不等式!###)!等号与不等号的由来
等号 与不等号 从小学用到现在 都是我们最熟悉的符
!! % (& % ,&)% "&’ ’
号了
"
你知道它们的由来吗 人们是从什么时候开始使用这些符号的呢
( (
说来话长 世纪中叶之前的数学书中 都还是用单词表示两个量的相等
")- ’
关系的 直到 年 英国数学家列科尔德在他的论文 智慧的磨刀石 中提出
" )%%+ ’ * + !
为了避免枯燥地重复 等于 这个单词 我认真比较了许多的图形
% 09523456627:" # ’
与记号 觉得世界上再也没有比两条平行而又等长的线段 意义更相同了 这位
’ ’ "&
伟大的数学家很有创见地用两条平行且相等的线段 表示 相等 叫做
% (& % &’% (&
等号
"
当时 也有人用其他符号表示过相等关系 数学家笛卡儿在 年出版的
’ ’ )-#+
几何学 中 还曾用 表示相等关系
* + ’ %D& "
世纪 德国数学家莱布尼兹 在各种场合大力倡导使用符号 在他和
)+ ’ ’ % (&’
其他数学家的共同努力下 这一符号才逐渐被世人所公认
’ "
至于不等号 和 其经历就更多了 年 法国数学家日腊尔在他
% ,& % "&’ ")-*/ ’
的 代数教程 中 用象征的符号 表示 大于 用 表示 小于 例如
* + ’ %..& % &’ % E & % &" ’/
大于 记作 小于 记作
0’ !%/..0&$/ 0’ !%/E0&"
年 英国数学家哈里奥特创造了符号 与 分别表示 大于 和
)-#) ’ % ,& % "&’ % &
小于 这就是我们使用的不等号
% &’ "
那时 还有数学家创造过其他符号 例如 数学家奥乌列德曾于 年采用
’ ’ ’ )-#)
与 分别表示 大于 和 小于 又如 法国数学家厄里贡曾在
% & % & % & % &" ’
年采用一些看来并不简便的符号表示不等关系 如用 表示
)-#& ’ %&# *’& %& ,
用 表示
’&’ %’* #&& %’"&&"
那些繁琐的记号 逐渐被人们所淘汰 只有哈里奥特创造的符号 和
’ ’ % ,&
由于它们的简便性 在数学中广为传用 为人们所接受和认可
% "&’ ’ ’ "
由等号 与不等号 和 还引申出一些其他数学符号 例如 全等
% (& % ,& % "& " ’
恒等 相似 近似 近似 不等于 大于或等于
%$&) %%&) %&&) %’&) %(&) %)&) %"&)
小于或等于 远大于 远小于 不大于 不小于 等
%#&) %*&) %+&) %,&) %-& "
数学中的符号太多了 它们的出现 都是为了数学表达的简捷方便 有了这
’ ’ ’
些符号 我们就能简单明了地表达数学推理与求解过程
’ "
第 章
###))! ! !一元一次不等式!!一! 知识结构
分析 抽象 不等式的
实际问题 ! 不等式 组
///不/等/关/系/. " # ////////. 性质
2 1
1 1 1 11
1 0 0
1 一元一次不等式 组 解一元一次不等式 组
1 " # ///. " #
1
1 1
1
1 1
////////////解/释//检/验////////////
!
二! 要点
不等式的知识源于实际问题 要学会分析现实世界中量与量之
)= "
间的不等 大小 关系 并列出不等式
" # ! "
要注意把解一元一次不等式的过程与解一元一次方程的过程
*=
进行类比 把不等式的变形与方程的变形相对照 特别要注意不等式
! !
的性质 当不等式的两边都乘以 或都除以 同一个负数时 不等号的
#% " # !
方向改变 这种类比的思想 在以后的学习中还会经常用到
" ! "
将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来 可以加深对一元
#= !
一次不等式和一元一次不等式组的解集的理解 也便于直观地得到一
!
元一次不等式组的解集
"
第 章
! !一元一次不等式!###)*A 组
下面方程或不等式的解法对不对 为什么
!" & &
由 得 由 得
")# (!$%! !$(%$!!!!!!"*# (!*%! !*(%$
由 得 由 ) 得
"## *!*(&! !#(*$ "&# ( !##! !"(-"
*
解下列不等式 并把它们的解集在数轴上表示出来
#" ! %
")# (#!#$$!!!!!!!!!!! "*# .!)) #%!(#$
) #"*!()#
"## #"!)*# () "% (*"!(*#$!! "&# ") (*!# * "
# *
分别取什么值时 代数式 的值满足下列要求
$"! ! % <#! &
是负数 是 是正数
")# $!!!!!!"*# $$!!!!!!"## "
解下列不等式组
’" %
{*"!))# #$! {*!*#!!
")# !!!! !!!! "*# !!!
*!() #$$ !)* *&$
{) ) {*!(- ##!!
!) #)!
"## * * !!! "&# !)* !()
( "$"
#!(+ #()$ % &
求满足不等式 的所有正整数
(" *1 (% #% (*1 1"
B 组
判断下列不等式的变形是否正确
)" %
由 得
")# & #’! &,#’,$
由 且 得 ! %
"*# !*%! 2)$! ( #( $
2 2
由 得
"## !*%! !3* *%3*$
由 得
"&# !3* *%3*! !*%"
三个连续自然数的和小于 这样的自然数组共有几组 把它们分别写
*" )%! &
出来
"!
第 章
###)’! ! !一元一次不等式C 组
已知关于 的方程 的解是非负数 求 的取值范围
+" ! #4(%!$(/ ! 4 "
已知 求 的取值范围
," 5%!(# 5$# (%!! ! "
三人去公园玩跷跷板 由下面的示意图 你能判断三人的轻
!-"")# /* 0* 6 ! ")#!
重吗
&
四人去公园玩跷跷板 由下面的示意图 你该如何判断这
"*# 7* 8* 9* : ! "*#!
四人的轻重呢
&
第 题
" )$ #
第 章
! !一元一次不等式!###)+球赛出线问题
我们观看各种激烈的体育比赛时 总是对结果充满了期待 那么
! !
你能利用所学的知识预测比赛结果吗 例如 中国男子篮球队所在
& %
小组有六支球队 小组前 名出线 那么中国队要想小组出线 至少应
! & ! !
该取得几场胜利 在现实生活中 有许多这样的比赛 那么怎样分析
& ! !
比赛呢 请研究如下问题
& %
问题 某次篮球联赛中 火炬队与月亮队要争夺一个出线权 火
! ! !
炬队目前的战绩是 胜 负 其中有 场以 分之差负于月亮队
)+ )# " ) & #!
后面还要比赛 场 其中包括再与月亮队比赛 场 月亮队目前的
- " ) #$
战绩是 胜 负 后面还要比赛 场
)% )- ! % "
探究以下问题
%
为确保出线 火炬队在后面的比赛中至少要胜多少场
")# ! &
如果火炬队在后面对月亮队的 场比赛中至少胜月亮队
"*# ) %
分 那么它在后面的其他比赛中至少胜几场就一定能出线
! &
如果月亮队在后面的比赛中 胜 包括胜火炬队 场 负
"## # " ) #* !
那么火炬队在后面的比赛中至少要胜几场才能确保出线
&
如果火炬队在后面的比赛中 胜 负 未能出线 那么月亮
"&# * & ! !
队在后面的比赛中的战果如何
&
第 章
###*,! ! !一元一次不等式第 9 章 多边形
瓷砖是生活中常见的装饰材料 你见过哪些形状的瓷砖 它们的形状有什
!! " (
么特点呢
(
你知道瓷砖能铺满地面的奥秘吗
(
本章将探索三角形和多边形的有关性质，
解开关于瓷砖的一个个疑团"三角形
9=1
走在大街上 进入宾馆或饭店 在许多地方 我们经
! ! !
常可以看到由各种形状的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地
面和墙面 在这些地面或墙面上 相邻的地砖或瓷砖平整
! !
地贴合在一起 整个地面或墙面没有一点空隙 如图
! ! /=)=)
所示
"
图
+("("
第 章
###*$! " !多 边 形这些形状的地砖或瓷砖为什么能铺满地面而不留
一点空隙呢 换一些其他形状的行不行
& &
为了解决这些问题 我们有必要研究多边形的有关
!
性质 三角形是最简单的多边形 让我们从三角形开始
" ! !
探究一下其中的道理
"
!!!"认识三角形
三角形 是我们早就认识的几何图形 它是
"7>051F62# !
由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的
平面图形 这三条线段就是三角形的边
! "
三角形的顶点采用大写字母 表示 如图
/* 0* 6* ) !
整个三角形记为
/")"*")#! 3/06"
如图 所示 在三角形中 每两条边所组成
/=)=*"*# ! !
的角叫做三角形的内角 如 三角形中内角的一边
! 4/60$
与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角
!
如 是与 的内角 相邻的外角 图
4/6; 3/06 4/60 "
指明了与 相关的主要名称
/=)=*"*# 3/06 "
图
+("($
思考
!
有多少个内角 多少个外角 与内角 相
3/06 & & 4/
邻的外角有几个 它们是什么关系 怎样画出
& & 3/06
的外角
&
第 章
" !多 边 形!###*%图 中 三个三角形的内角各有什么特点
/=)=# ! &
图
+("(%
第一个三角形中 三个内角均为锐角 第二个三角形中
! $ !
有一个内角是直角 第三个三角形中 有一个内角是钝角
$ ! "
三角形可以按角来分类
%
所有内角都是锐角 锐角三角形
+++ $
有一个内角是直角 直角三角形
+++ $
有一个内角是钝角 钝角三角形
+++ "
图 中 三个三角形的边各有什么特点
/=)=& ! &
图
+("(&
第一个三角形的三边互不相等 第二个三角形有两
$
等边三角 条边相等 第三个三角形的三边都相等
!! $ "
形是等腰三角
我们把有两条边相等的三角形称为等腰三角形 相
形吗 !
& 等的两边叫做等腰三角形的腰 把三条边都相等的三角
$
形称为等边三角形 或正三角形
" #"
在图 中找出等腰三角形 正
!! /=)=% *
三角形 锐角三角形 直角三角形和钝
* * !
角三角形
"
图
!!!!! +("(!
第 章
###*&! " !多 边 形练 习
!
在练习本上画出
!" !
等腰锐角三角形
")# $ ,
等腰直角三角形
"*# $ ,!,
等腰钝角三角形
"## " ,!,!,
个点如图所示那样放着 把这些点作为三角形的顶 第 题
#"- " " * #
点 看看可以画多少个正三角形
’ (
如图 所示 取 边 的中点 连结 线
!! /=)=- ! 3/06 /0 2F465>K:68F:1#" *
形 正方形 正五边形等
" #* "
连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形
的对角线 例如 图 中 线段 是四边形
" ! /=*=#")# ! /6 /06;
的一条对角线 图 中 虚线表示的线段也
$ /=*=#"*#* "## !
是所画多边形的对角线
"
还可以画出
!!
哪些对角线
&
图
+($(%
由图 可以看出 从多边形的一个顶点引出的对
/=*=# !
角线把多边形划分为若干个三角形 我们已知一个三角形
"
的内角和等于 那么四边形的内角和等于多少呢 五边
).$G! &
形 六边形呢 一般地 边形的内角和等于多少呢
* & !1 &
探索
!
为了求得 边形的内角和 请根据图 所示 完
1 ! /=*=& !
成表
/=*=)"
图
+($(&
第 章
###’&! " !多 边 形表
,"#"!
多 边 形 的 边 数
# & % - + ) 1
分成的三角形的个数
) * )
多 边 形 的 内 角 和
).$G #-$G )
由此 我们得出
!! !
边形的内角和为
) ")/##$!+-.’
归纳推理 是数学中的一种推理方式 体现了从特殊到一般的
’ ( !
推理过程 在这里 我们通过对三边形 四边形 五边形等的探索 发
" ! * * !
现它们的内角和与边数之间存在某种逻辑关系 从而归纳出多边形
!
的内角和公式 这种归纳推理的方式 我们今后还会经常用到 当然
" ! " !
看 出来的数学结果未必一定正确 但它们还是给我们指引了研究
’ ( !
的方向 因此 归纳推理和演绎推理相结合是必要的
" ! "
求八边形的内角和
!!!例! "
八边形的内角和为
!!!解
"1 (*# +).$G$". (*# +).$G$)$.$G"
已知一个多边形的内角和等于 求这
!!!例# *)-$G!
个多边形的边数
"
设这个多边形的边数为 根据题意 得
!!!解 1! !
"1 (*#,).$G$*)-$G"
解得
1 $)&"
即这个多边形的边数为
)&"
第 章
" !多 边 形!###’!如图 在 边形 图中取 的情形 内任取
/=*=%! 1 " 1 (- #
一点 连结点 与多边形的每一个顶点 可得几个三角
7! 7 !
形 你能否根据这样划分多边形的方法来说明 边形的
& 1
内角和等于
"1 <*#,).$G&
图
+($(!
为了说明多边形的内角和公式 我们已经尝试用两
!
种方法划分多边形 这里是在多边形内任取一点 前面可
" !
以看作是任取一个顶点 那么是否还可以移动点 引出
" 7!
其他的方法呢
&
试试看 你一定会有新的发现
! "
练 习
!
求下列图形中 的值
!" ! "
!!!!
第 题
" ) #
已知一个多边形的内角和等于 求这个多边形的边数
#" )&&$G’ "
与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个 这两个
!! !
外角是对顶角 从与每个内角相邻的两个外角中分别取一
"
个相加 得到的和称为多边形的外角和 如图
! " /=*=-!
就是四边形 的外角和
4) C4* C4# C4& /06; "
从图中可以知道
%
图
+($()
"4) )4%# )"4* )4-# )"4# )4+# )"4& )
所以
4.# $& +).$G!
!4) )4* )4# )4&
$& +).$G("4% )4- )4+ )4.#"
第 章
###’)! " !多 边 形四边形 的内角和为
/06;
4% C4- C4+ C4. (#-$G"
因此
4) )4* )4# )4& $#-$G"
那么 边形的外角和应该等于多少度呢
!1 &
探索
!
根据 边形的每一个内角与它的相邻的外角都互为
1
补角 可以求得 边形的外角和 据此 请将数据填入
! 1 " !
表 中
/=*=* "!
表
,"#"#
多边形的边数
# & % - + ) 1 试用计算
!!
多边形的内角和 器计算相应的
# ’).$G
与外角和的总和 ) 数据
(%&$G "!
多边形的内角和
).$G )
多边形的外角和
#-$G )
因此 任意多边形的外角和都为
!! ! $)-.’
一个多边形的每个外角都是 这个多边
!!!例$ +*G!
形是几边形
&
设多边形的边数为 根据题意 得
!!!解 1! !
1,+*G$#-$G"
解得
1 $%"
因此 这个多边形是五边形
! "
一个多边形的内角和等于它外角和的 倍
!!!例’ % !
这个多边形是几边形
&
设多边形的边数为 根据题意 得
!!!解 1! !
"1 (*#,).$G$% +#-$G"
解得
1 $)*"
因此 这个多边形是十二边形
! "
第 章
" !多 边 形!###’*练 习
!
一个多边形的每一个外角都等于 这个多边形是几边形 它的每一个内角是
!" &%G’ (
多少度
(
在一个多边形中 它的内角最多可以有几个是锐角
#" ’ (
习题
!! ’#%
先任意画一个五边形 然后画出它所有的对角线 数一
!" ! !
数 一共有多少条对角线
! &
根据图形填空
#" %
")# 4) (46C!!!!! 4* (40C!!!!$
"*# 4/C40C46C4;C4<(!!!! C4) C
4* (!!!!"!
想一想 这个结论对任意的五角星是否都成立
! " 第 题
" * #
一个多边形的外角和是内角和的* 求这个多边形的边数
$" ! "
+
用正多边形铺设地面
9=3
现在让我们回到本章一开始所提出的问题 某些形
!! %
状的地砖或瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙 实
&
际生活中 它们的形状大多是正多边形 就让我们从此开
! !
始 探究一下其中的奥秘吧
! -
!!!"用相同的正多边形
探索
!
使用给定的某种正多边形 它能否铺满地面 既不留
! !
下一丝空白 又不相互重叠呢
! &
第 章
###’’! " !多 边 形这显然与正多边形的内角大小有关 为了探索哪些
"
正多边形能铺满地面 请根据图 完成表
! /=#=)! /=#=)"
图
+(%("
可以借助于计算器
"
表
,"$"!
正多边形的边数
# & % - + ) 1
正多边形的内角和
).$G #-$G )
正多边形每个内角的大小
-$G /$G )
概括
!
使用给定的某种正多边形 当围绕一点拼在一起的
!
几个内角加在一起恰好组成一个周角时 就可以铺满
!
地面
"
如正六边形的每个内角为 三个 拼在一起
)*$G! )*$G
恰好组成周角 所以全用正六边形瓷砖就可以铺满地面
!
如第 页图 所示
" +* /")")"## #"
参见图 你能说明为什么正三角形
/=)=)")#* "*#!
和正方形能铺满地面吗
&
如图 正五边形不能铺满地面 正八边形也不
/=#=*! !
能铺满地面
"
图
+(%($
第 章
" !多 边 形!###’+练 习
!
如图 将图 中相邻两行正三角形分开 添
!! ’ /=)=)")# ’
一行正方形 它表明把正三角形和正方形结合在一起也
"
能铺满地面 正三角形 正方形 正六边形两两结合是否
" ) )
都能铺满地面呢 把正三角形 正方形 正六边形三者
( ) )
结合在一起呢 请你试试看
( " !
!!#"用多种正多边形
如图 用正三角形和正六边形也能铺满地面
/=#=#! "
类似的情况还有吗
&
图
+(%(%
我们还可以发现其他的情况 如图
! /=#=&!/=#=+"
!!!
图 图
+(%(& +(%(!
!!!
图 图
+(%() +(%(*
第 章
###+,! " !多 边 形
书书书现以图 为例 观察一下其中的关系 正十二边
!! /=#=% ! "
其他的图形
形的一个内角为")* (*#,).$G 正六边形的一 !!
是否也满足这一
$)%$G!
)*
条件
个内角为 正方形的一个内角为 三者之和恰为
&
)*$G! /$G!
一个周角 实际上这三种正多边形结合在一起恰好
#-$G"
能铺满地面
"
练 习
!
试说明本节中几种正多边形能铺满地面的理由
!" "
任意剪出一些形状 大小相同的三角形纸板 拼拼看 它们能否铺满地面
#" ) ’ ’ "
习题
!! ’#&
选择题 可能有多个答案
!" " #
下列正多边形中 能够铺满地面的是
")# ! "!!#"
正方形 正五边形 正八边形 正六边形
L= !!!M= !!!N= !!!O=
下列正多边形的组合中 能够铺满地面的是
"*# ! "!!#"!
正八边形和正方形
L= !
正五边形和正八边形
M=
正六边形和正三角形
N=
试画出用正三角形和正六边形铺满地面 但与图 不同的图形
#" ! /=#=# "
任意剪出一些形状 大小相同的四边形纸板 拼拼看 它们能否铺满地面
$" * ! ! "
多姿多彩的图案
我们已经看到了用正多边形拼成的各种图案 实际上 有许多图案是用规则
!! ’ ’
或不规则的基本图形拼成的 如图
’ )!&"
第 章
" !多 边 形!###+"
书书书!!
图 图
) *
!!
图 图
# &
图 和图 分别说明了相应的图案是如何由基本图形拼成的
!! % - "
!
图 图
% -
你玩过哪些拼图 你自己能设计出一幅拼图吗
( (
第 章
###+$! " !多 边 形!!一! 知识结构
二! 要点
本章通过对三角形和多边形的一系列探索活动 归纳得到关于
)= !
三角形的边 角及多边形的角的一些推断 演绎证明了某些推断的正
* !
确性
"
推理的数学思想在本章得到了充分体现 我们运用归纳推理
*= % !
从具体的多边形着手分析 发现其中的逻辑关系 归纳出多边形内角
! !
和公式 我们还对探索得到的 三角形的内角和等于 这一结论
$ ’ ).$G( !
进行了演绎推理 基本依据是平行线中的一些基本事实与推导所得的
!
结论
"
本章还利用学习得到的数学结论 用于实际生活 理解某些正
#= ! !
多边形能够铺满地面的道理
"
第 章
" !多 边 形!###+%A 组
判断题 对的填 错的填
!" " ’7(! ’ ’(#
三角形中至少有两个锐角
")# " "!!#
钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和
"*# " "!!#
锐角三角形的三个内角都是锐角
"## " "!!#
钝角三角形的三个内角都是钝角
"&# " "!!#
直角三角形的两个锐角互为余角
"%# " "!!#
已知两条线段 其长度分别为 与 另有长度分别为
#" &* ’! *=% JB #=% JB" ) JB*
和 的 条线段 其中能够与线段 一起组成三角形的
# JB*% JB*+ JB / JB % ! &* ’
有哪几条
&
如图 按规定 一块模板中 的延长线应相交成 角 因交点不在板上
$" ! ! /0* 6; .%G " !
不便测量 工人师傅连结 测得 此时 的
! /6! 40/6(#*G! 4;6/(-%G! /0* 6;
延长线相交所成的角是不是符合规定 为什么
& &
!!!!!
第 题 第 题
" # # " & #
如图 在 中 是 上一点 是 上一点 相交于点
’" ! 3/06 !; /0 !< /6 !0<* 6; =!4/$
求 的度数 的度数
-*G! 4/6;$#%G! 4/0<$*$G" %")#40;6 $"*#40=; "
对于上述问题 在以下解答过程的空白处填上适当的内容 理由或数学式
! " #"
解
!")# H 40;6$4/)4/6;"!!!!!!!!!#!
等量代换
I 40;6$-*G)#%G$/+G" #"
"*# H 40=;)40;6)4/0<$!!!!"!!!!!!!!!#!
等式的性质
I 40=;$).$G(40;6(4/0<" #
等量代换
$).$G(/+G(*$G" #
$-#G"
求下列多边形的内角和
(" %
五边形 九边形 十二边形
")# $!!!!!!"*# $!!!!!!"## "
第 章
###+&! " !多 边 形已知多边形的内角和分别如下 求相应的多边形的边数
)" ! %
")# /$$G$!!!!!!!!"*# )/.$G$!!!!!!!!"## *+$$G"
已知在一个十边形中 其中九个内角的和是 求这个十边形另一个内角
*" ! )*/$G!
的度数
"!
正八边形的每一个外角是多少度
+" &
如果一个正多边形的每个外角都是 那么这个多边形有多少条边
," *&G! &
若三角形三个内角的比为 则这个三角形是什么三角形
!-" )P*P#! &
B 组
选择题
!!"
在三角形的所有外角 每个顶点处只取一个外角 中 锐角最多有
")# " # ! "!!#"
个 个
L=# !! M=*
个 个
N=) !!!!! O=$
边形的内角和比 边形的内角和大
"*# "1C)# 1 "!!#"
L=).$G M=#-$G
N=1,).$G O=1,#-$G
在 中 那么 的最大长度应小于多少 最小
!#" 3/06 !/6$)*JB! /0$.JB! 06 &
长度应满足什么条件呢
&
在各个内角都相等的多边形中 一个外角等于一个内角的) 求这个多边形每
!$" ! !
%
一个内角的度数和它的边数
"
C 组
如图 已知 是 中 的外角平分线 请说明
!’" ! 6; 3/06 4/60 ! 40/6*40"
第 题
" )& #
第 章
" !多 边 形!###+!如图 六边形 的内角都相等 与 有什么关系
!(" ! /06;<= !4;/0$-$G"/0 ;< &
第 题
" )% #
如图 是四边形 的一个外角 如果 与 互为补角 那么
!)" !406< /06; ! 40 4; !
与 的大小相等吗 请说明理由
406< 4/ & "
第 题
" )- #
第 章
###+)! " !多 边 形第 10 章 轴对称、平移与旋转
世界充满着运动 从天体 星球的运行 到原子 粒子的作用 其中最基本的
!! ’ ) ’ ) ’
是轴对称 平移及旋转等运动
) "
轴对称 平移及旋转等合成了大千世界许许多多千姿百态的运动
) "
本章将探究在轴对称、平移与旋转的变换下
图形发生的变化"轴对称
10=1
!!!"生活中的轴对称
不论是在自然界中还是在建筑中 不论是在艺术中
!
还是在科学中 甚至在最普通的日常生活用品中 对称的
! !
形式都随处可见 山倒映在湖中 这是令人难忘的对称景
" !
象 自远古以来 对称的形式都被认为是和谐美丽的
" ! "
图 中的各个图形 相信你可能都见过 把它
)$")") ! !
们沿某条直线对折 对折后的两部分能完全重合 即为
! !
轴对称图形 这条直线即为这
"5;0F4>2:;601298BB27>8#!
个图形的对称轴
"5Q09:;98BB27>8#"
找 出 图
! !
中各图形
)$")")
的对称轴 是否
"
有些图形的对称
轴不止一条呢
&
图
",("("
第 章
###+’! #$ !轴对称"平移与旋转用一张半透明的纸描出图 所示的星形图
)$")"* !
然后用不同的方式对折 用直尺画出折痕 看看这颗星
! !
有多少条对称轴
"
图
",("($
我们再看图 中的两组图形
!! )$")"# "
图
### ",("(%
每一组里 某一边的图形沿虚线对折之后与另一边
!! !
的图形完全重合
"
像这样 把一个图形沿着某一条直线翻折过去 如果
! !
你能举出
它能够与另一个图形重合 那么就说这两个图形成轴对
!!
! 日常生活中两
称 这条直线就是对称轴 两个图形中的对应点 即两个
! ! " 个图形成轴对
图形重合时互相重合的点 叫做对称点
称的例子吗
# "
&
请你标出图 中 三点的对称点
!! )$")"# /* 0* 6 /* 0* 6"
) ) )
在纸上滴几滴墨水 把纸张对折 随后打开 看看形
! ! !
成的两块墨迹是不是关于折痕对称 画出它的对称轴
" "
第 章
#$ !轴对称"平移与旋转!###++显然 轴对称图形 或成轴对称的两个图形 沿对称
这就是轴 ! " #
!! 轴对折后的两部分是完全重合的 所以
对称图形的基
!
本特征 轴对称图形 或成轴对称的两个图形 的对应线段 对
" " # "
折后重合的线段 相等 对应角 对折后重合的角 相等
# ! " # "
练 习
!
你一定见过许多美丽的照片或图片 如图所示的三幅图片都给我们一种美妙和谐
!" ’
的轴对称形象
"
! !
第 题
" ) #
现在请你尽可能多地找出类似的照片或图片 与你的同伴一起欣赏
’ "
观察下列各种图形 分别判断是不是轴对称图形
#" ’ "
!!!!!!")#!!!!!!!"*#!!!!!!"##!!!!!!!"&#
!!!!!"%#!!! !!!!"-#!!!!!!"+#!!!!!!!".#
!!!!!"/#!!! !!!!")$#!!!!!!"))#!!!!!!")*#
第 题
" * #
第 章
##",,! #$ !轴对称"平移与旋转剪 正 五 角 星
节日前夕 常要制作许多五角星 我们用折纸的方法 可以直接剪出一个五
!! ! ! !
角星
!
方法是这样的 拿一张长方形 或圆形 的纸 如图 先对折 再沿虚线将平
" # $ ! "! !
角折成五等份 得到图 在五等份的折线上 取点 和点 使 比三分之一
! #% ! " #! $#
的 微微长一点 沿斜线 把图 中的阴影部分剪掉 然后把纸展开 就得到
$" ! "# # ! !
图 所示的一个正五角星
$ !
图 图 图
!!!!! "!!!!!!! !!! #!!!!!! !!! $
如图 若取 比三分之一的 长得多 如 为 的一半 这时剪出
%! $# $" # $# $" $!
的五角星就不一样了 它的五个角的边比较短 如图 而当沿直角方向剪去时
! % &! !
展开后则成了一个正五边形
!
图 图
!!!!!! %!!!!!!!!! !!!!! !!! &
想一想 这种折纸剪正五角星的方法 其中隐含着什么数学道理
! ! &
第 章
!" !轴对称!平移与旋转"##!"!
书书书!!!"轴对称的再认识
观察线段和角 它们都是轴对称图形吗
! "
在纸上画出线段 及它的中点 再过点
"% $! $
画出与 垂直的直线 沿直线 将纸对折 看
"% #&! #& !
看线段 与 是否重合
$" $% "
从上面的操作我们可以看出 线段是轴对称图形
!! ! !
直线 是线段 的对称轴 它垂直于线段 又
#& "% ! "%!
平分线段 我们把这样垂直并且平分一条线段的直线
"%!
垂直平分
!!
称为这条线段的垂直平分线
线又可称为中 #’()’(*+,-./0)1,2(-34)$!
垂线
!
如图 在半透明纸上画出 对折 使角
"5!"!%! !"$%! !
的两条边完全重合 然后用直尺画出折痕 看看射线
! $’!
与 是什么关系
$’ !"$% !
从上面的操作可以看出 角也是轴对称图形 对称轴
图
!"%!%& ! !
是它的角平分线所在的直线
!
在研究轴对称图形时 往往需要找到它的对称轴 看
! !
看沿对称轴翻折后各部分的对称情况
!
如图 方格纸内的两图形都是轴对称图形
"5!"!&! !
请画出它们的对称轴
!
第 章
##!"$! !" !轴对称!平移与旋转图
!"%!%(
由于图形在方格纸内 我们可以凭直觉很准确地画
!! !
出两个图形的对称轴 你能想想这是什么原因吗
! "
如果没有方格纸 且又不能折叠时 那么如何准确地
! !
画出图形的对称轴呢
"
请试着分别画出图 所示图形的对称轴
"5!"!6 !
图
!"%!%)
用折叠的方法可以检验自己画的对称轴是否准确
!! !
如果不能折叠 又该如何判断对称轴的位置呢 连结对称点
! " !!
的线段与对称轴
有什么关系
"
如图 点 和点 关于某条直线成
!! "5!"!7! " "(
轴对称 你能画出这条直线吗
! " !
图
# # !"%!%*
第 章
!" !轴对称!平移与旋转"##!"’其实 如图 我们只要连结点 和点 取
!! ! "5!"!8! " "(!
线段 的中点 过点 画直线 使 垂直于 即
""( $! $ )! ) ""(!
画出线段 的垂直平分线 直线 就是点 和点
""( )! ) " "(
的对称轴
!
图
!"%!%+
我们现在可以总结出其他复杂的轴对称图形的对
你还能找到 称轴的画法
!! %
其他方法吗 先找出轴对称图形的任意一组对称点 连结对称点
" !! ! !
得到一条线段 再画出这条线段的垂直平分线 就可以得
! !
到该图形的对称轴
!
通过以上的操作 我们有下面的结论
! %
如果一个图形是轴对称图形 那么连结对称点的线
!
段的垂直平分线就是该图形的对称轴
!
练 习
!
平面上的两条相交直线是轴对称图形吗 如果是 它有几条对称轴 画图试
#" & ! &
试看
!
把一张正方形的纸折叠两次 然后分别剪出下列图形
!" ! !
#"$ !!!!!!##$
第 题
!!!!!!!!!!!!# # $
第 章
##!"&! !" !轴对称!平移与旋转下面的一些虚线 哪些是图形的对称轴 哪些不是
$" ! ! &
第 题
# $ $
!!$"画轴对称图形
如果给出一个图形和一条直线 那么如何画出这个
!
图形关于这条直线的对称图形呢
"
如图 实线所构成的图形为已知图形 虚线
"5!"!9! !
为对称轴 试画出已知图形的轴对称图形 画好之后 你
! ! !
可以通过折叠的方法来验证你画得是否正确
!
和其他同学
!!
!!
图 比较一下 谁的
!"%!%, !
方法较为简单
在格点图中 很容易画出已知图形的轴对称图形 如 "
!! ! !
果没有格点 你还能准确地画出已知图形的轴对称图
!
形吗
"
第 章
!" !轴对称!平移与旋转"##!"(如图 已知点 和直线 试画出点 关
"5!"!"5! " )! "
于直线 的对称点
) "(!
图
!"%!%!"
如图 按下面的方法画点 关于直线 的对
!! "5!"!""! " )
称点
"(%
用量角器或三角尺过点 画直线 的垂线
#"$ " ) "%!
垂足为点
$&
图
在 上取 从而得到对称点
!"%!%!!
##$ "% $"(:$"! "(!
画好之后 你可以通过折叠的方法来验证一下点
! "
和点 是否关于直线 对称
"( ) !
已知 直线 画
!!"例 #"%#! )!
出 关于直线 对称的图形
#"%# ) !
如图 我们可以
!!"解 "5!"!"#!
按这样的步骤来画
%
分别画出点 和 关于
#"$ "’ % # 图
!"%!%!$
直线 的对称点 和
) "’ % #&
" " "
连结
##$ "%’ %#’ #"!
" " " " " "
就是所求的 关于直线 对称的三
#"%# #"%# )
" " "
你可以试 角形
!! !
一试 画出其他
从上例可以知道 如果图形是由直线 线段或射线组
!
复杂图形的轴 ! ’
成时 那么只要画出图形中的特殊点 如线段的端点 角
对称图形
! # ’
!
的顶点等 的对称点 然后连结对称点 就可以画出关于
$ ! !
这条直线的对称图形
!
第 章
##!")! !" !轴对称!平移与旋转练 习
!
在图中分别画出点 关于两条直线的对称点 和
#" " "( "*!
画出所示图形关于直线 的对称图形
!" ) !
!!!!!!!!!!
第 题 第 题
# " $ # # $
!!%"设计轴对称图案
在商标 衣料图案和众多的日用品上 我们可以看到
’ !
不少丰富多彩的装饰图案 仔细观察这些装饰图案 你会
! !
发现其中有许多轴对称图形
!
图 是两个轴对称图形 它们有多少条对称
"5!"!"$ !
轴 我们可以利用轴对称来画出它们吗
" "
图
!"%!%!’
第 章
!" !轴对称!平移与旋转"##!"*请准备一张正方形纸片 按图 所示的 个
! "5!"!"% &
步骤来画
%
在正方形纸片上用虚线画出 条对称轴
#"$ % &
如图 在其中一个三角形中 画出图形形状
##$ ##$! !
的基本线条 注意 不同的线条最终会得到不同的图案
# % !
你可以自己设计线条 而不必和课本上的一样
! $&
按照其中一条斜的对称轴画出图 中图形的
#$$ ##$
对称图形
&
按照另一条斜的对称轴画出图 中图形的对
#%$ #$$
称图形
&
按照水平 或垂直 的对称轴画出图 中图形
#&$ # $ #%$
的对称图形 得到图 从而得到图 中的
! #&$! "5!"!"$
图
#"$!!
图
!"%!%!&
画好之后 你可以在图案上涂上你喜欢的颜色 擦掉
! !
其他多余的线条 一幅对称的图案就完成了
! !
画轴对称图形 这只是图案设计的一种方法 我们以
! !
后还会接触更多的方法 当然如果我们懂一些美术知识
! !
就可以设计出许多漂亮的图案了
!
第 章
##!"+! !" !轴对称!平移与旋转练 习
!
用四块如图所示的瓷砖拼成一个正方形 形成轴对称的图
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案 和你的同伴比一比 看谁的拼法多
! ! !
仿照课本给出的步骤 利用下图设计一个轴对称图案
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第 题
# " $
第 题
# # $
习题
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图中三角形 与哪些三角形成轴对称 整个图形中有几条对称轴
#" % " "
第 题
# " $
下面的图形中 哪些是轴对称图形 哪些不是轴对称图形
!" ! " "
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第 题
!!!!!!!!!!!!!!!# # $
第 章
!" !轴对称!平移与旋转"##!",右边图形与左边图形成轴对称的是
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在图形中标出点 和 关于直线 的对称点
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第 题
# % $
下列图形中 哪些是轴对称图形 哪些不是轴对称图形 如果是轴对称图形 请
&" ! " " !
画出对称轴
!
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第 题
# & $
如图 分别以 为对称轴 画出各图形的对称图形 并观察图形 和它的轴对
’" ! "% ! ! #$$
称图形构成什么三角形 说说你的想法
! !
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第 题
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第 章
##!!"! !" !轴对称!平移与旋转!"#$%&’((&)$%
?0*@=(,A2-4B’.3()2C4D23C(3,B(4* 3C(2-)((*E
FC(3,B(20)(24B(3,B(22GBB(3),-0/H/,I(3C,2J
"0B1),+@(X*,P()2,3GY)(22L
第 章
!" !轴对称!平移与旋转"##!!!平 移
10<2
!!#"图形的平移
在日常生活中 我们经常可以看到如图 所示
! "5<#<"
的一些现象
%
滑雪运动员在白茫茫的平坦雪地上滑行 大楼电梯
!
上上下下地迎送来客 火车在笔直的铁轨上飞驰而过 飞
! !
机起飞前在跑道上加速滑行 这些都给我们以物体平行
!
移动的感觉
!
!!!
图
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我们还可以看到如图 所示的一幅幅美丽的
"5<#<#
图案 它们都可以看成是某一基本的平面图形沿着一定
!
的方向移动而产生的结果
!
!!!
图
!"%$%$
平面图形在它所在的平面上的平行移动 简称为
!
平移 它由移动的方向和距离所决定
#3)0*2/03,4*$! !
第 章
##!!$! !" !轴对称!平移与旋转如图 当我们使用直尺与三角尺画平行线
"5<#<$!
时 沿着直尺 平移到 就可以画出
!#"%# ,8 #"(%(#(! "%
的平行线 了
"(%( !
我们把点 与点 叫做对应点 把线段 与线段
" "( ! "%
叫做对应线段 与 叫做对应角 此时
"(%( !!" !"( ! %
点 的对应点是点
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点 的对应点是点
# !!!!!!& 图
线段 的对应线段是线段 !"%$%’
"# !!!!!!&
线段 的对应线段是线段
%# !!!!!!&
的对应角是
!% !!!!!!&
的对应角是
!# !!!!!!!
平移的方向就是由点 到点 的方向 平移
#"%# % %( !
的距离就是线段 的长度
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在图 中 沿着由点 到点 的方向
"5<#<% !#"%# " "( !
平移到 的位置 你知道线段 的中点 以及
#"(%(#( ! "# ’
线段 上的点 平移到什么地方去了吗 请在图上标
%# 9 "
出它们的对应点 和 的位置
’( 9( ! 图
## !"%$%&
练 习
!
举出现实生活中平移的一些实例
#" !
如图所示的 和 都是等边三角形 其中一个等边三角形经过平移后成
!" #"%# #&:; !
为另一个等边三角形 指出点 的对应点 线段 的对应线段 以
! "’ %’ # ! "%’ %#’ #" !
及 的对应角
!"’ !%’ !# !
第 题
# # $
第 章
!" !轴对称!平移与旋转"##!!’如图 小船经过平移到了新的位置 你发现缺少什么了吗 请补上
$" ! ! & !
第 题
# $ $
!!!"平移的特征
如图 在画平行线的时候 有时为了需要 将
"5<#<&! ! !
直尺与三角尺放在倾斜的位置上 但不管怎样 我们总可
! !
以推得
"(%($ "%! "(%(<"%! !%(’ .! #"%#
关于直线 对称的 再画出 关于直线 对称的
> #"(%(#(! #"(%(#( . #"*%*#*!
观察 和 你能发现这两个三角形有什么关系吗
#"%# #"*%*#*! "
图
!"%$%!"
第 章
##!!)! !" !轴对称!平移与旋转练 习
!
如图 在长方形 中 对角线 与 相交于点 画出 平移后的三角
#" ! "%#& ! "# %& $! #"$%
形 其平移方向为射线 的方向 平移的距离为线段 的长
! "& ! "& !
第 题 !!!!! 第 题
# " $ # # $
先将方格纸中的图形向左平移 格 然后再向下平移 格 画出平移后的图形
!" & ! $ ! !
将所给图形沿着 方向平移 平移的距离为线段 的长 画出平移后的图形
$" ,8 ! ,8 ! !
第 题
!!# $ $
习题
!! !"$%
任意画一个三角形 然后将此三角形沿着北偏东 的方向平移 厘米 画出
#" ! 65Z #<8 !
平移后的三角形
!
如图 平移方格纸中的图形 使点 平移到点 处 画出平移后的图形
!" ! ! " "( ! !
!!!!!!
第 题 第 题
# # $ # $ $
如图 画出线段 平移后的线段 其平移方向为射线 的方向 平
$" !"%<&#! "% &:! "& !
移的距离为线段 的长 平移后 连结 则 是什么三角形 试说明理由
"& ! ! :#! #&:# " !
第 章
!" !轴对称!平移与旋转"##!!*利用如图所示的图形 通过平移设计图案
%" ! !
第 题
# % $
旋 转
10<3
!!#"图形的旋转
在日常生活中 除了物体的平行移动外 我们还可以
! !
看到许多如图 所示物体的旋转现象
"5<$<" !
时钟上的秒针在不停地转动 大风车的转动给人们
!
带来快乐 飞速转动的电风扇叶片给人们带来丝丝凉意
! !
!
图
!"%’%!
图 中的两个图形都可以看成 由一个或几个
"5<$<# %
基本的平面图形 在它所在的平面上转动而产生的奇妙
!
画面
!
!!!
图
!"%’%$
第 章
##!!+! !" !轴对称!平移与旋转这些图形有什么共同点呢
"
如图 单摆上的小球由位置 转到位置
"5<$<$! , ,(!
显然它是绕上面的悬挂点在一个平面上转动 像这样的
!
运动 就叫做旋转 这一悬挂点就叫做小球旋
! #)4303,4*$!
转的旋转中心 显然 旋转中心在旋转
#-(*3)(4M)4303,4*$! !
过程中保持不动 图形的旋转由旋转中心 旋转的角度和
! ’
旋转的方向所决定
!
图
!"%’%’
如图 用一张半透明的薄纸 覆盖在画有任
"5!$!%! !
意 的纸上 在薄纸上画出与 重合的一个三
#"$% ! #"$%
角形 然后用一枚图钉在点 处固定 将薄纸绕着图钉 图形旋转时
! $ ! !! !
即点 逆时针旋转 薄纸上的三角形就旋转到了 必须注意旋转中
# $$ %&Z!
心 旋转的角度和
新的位置 标上 我们可以认为 逆时针旋转
’
! "(’ %(! #"$% 旋转的方向
后变成 !
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图
!"%’%&
在这样的旋转过程中 你发现了什么
! "
从图 中 可以看到点 旋转到点 旋
"5<$<% ! " "(! $"
转到 旋转到 这些都是互相对应的
$"(! !"$% !"($%(!
点 线段与角 此时
’ ! %
点 的对应点是点
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线段 的对应线段是线段
的 边
$% !!!!& #"$%
线段 的对应线段是线段 的中点 的对
"% !!!!& $% &
的对应角是 应点在哪里
!" !!!!& "
的对应角是
!% !!!!&
第 章
!" !轴对称!平移与旋转"##!!,旋转中心是点
!!!!&
旋转的角度是
!!!!!
如图 如果旋转中心在 外的点
"5<$<&! #"%# $
处 逆时针旋转 将 旋转到 的位
! 65Z! #"%# #"(%(#(
置 那么这两个三角形的顶点 边与角是如何对应
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的呢
"
图
!"%’%(
如图 是等边三角形 是
!!"例# "5<$<6!#"%# !& %#
上一点 经过逆时针旋转后到达 的位置
!#"%& #"#: !
旋转中心是哪一点
#"$ "
旋转了多少度
##$ "
图 如果 是 的中点 那么经过上述旋转后 点
!"%’%) #$$ ’ "% ! !
转到了什么位置
’ "
旋转中心是点
!!"解 #"$ "!
旋转了
##$ 65Z!
点 转到了 的中点位置上
#$$ ’ "# !
如图 点 是线段 上一点
!!"例! "5<$<7#"$! ’ "% !
将线段 绕着点 顺时针旋转 旋转后的线段与原
"% ’ 95Z!
线段的位置有何关系 如果逆时针旋转 呢
" 95Z "
图
!"%’%*
第 章
##!$"! !" !轴对称!平移与旋转如图 顺时针旋转 与 线段旋转
!!"解 "5<$<7##$! 95Z!"(%( "% !! 95Z
后与原来位置的
互相垂直
! 线段互相垂直
如图 逆时针旋转 与 互相 !
"5<$<7#$$! 95Z!"*%* "%
垂直
!
练 习
!
举出现实生活中旋转的一些实例
#" !
如图 按逆时针方向旋转一个角度后成为 图中哪一点是旋转中
!" !#"%# #"%(#(!
心 旋转了多少度
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!!!!!!
第 题 第 题
# # $ # $ $
如图 与 都是等腰直角三角形 和 都是直角 点 在
$" !#"%# #"&: !!# !":& ! : "%
上 如果 经逆时针旋转后能与 重合 那么哪一点是旋转中心 旋转
! #"%# #"&: ! &
了多少度
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!!!"旋转的特征
探索
#
观察第 页图 与第 页图 你能
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发现有哪些线段相等 有哪些角相等
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我们可以看到 在图 中 线段 都是
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绕点 逆时针旋转 到对应线段 而且
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第 章
!" !轴对称!平移与旋转"##!$!!"$%
