2009年高考数学试卷（文）（山东）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2008-2025·（山东）数学高考真题

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1. 集合A=0,2,a ,B=  1,a2 ,若A B=0,1,2,4,16 ,则a的值为( )
U
A.0 B.1 C.2 D.4
3-i
2. 复数 等于（ ）
1-i
A．12i B.1-2i C.2i D.2-i

3. 将函数 y =sin2x的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是
4
( )

A. y =2cos2 x B. y =2sin2 x C.y =1sin(2x ) D. y =cos2x
4
4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
2 3 2 3
A.22 3 B. 42 3 C. 2 D. 4
3 3
2 2
2
俯视图
2 2
正(主)视图 侧 ( 左 ) 视图
5.在R上定义运算⊙: a⊙b = ab2ab,则满足x⊙(x-2)<0的实数x的取值范( ).
A.(0,2) B.(-2,1) C.(-,-2) (1,) D.(-1,2)
U
ex e-x
6. 函数y = 的图像大致为( ).
ex -e-x
y y y
y
1 1 1
1
O 1 x O 1 x O 1 x O 1 x
D
A B C
第- 1 -页 | 共13页log (4-x), x 0
7. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)=  2 ，则f（3）的值为( )
f(x-1)- f(x-2), x 0
A.-1 B. -2 C.1 D. 2
B
uuur uuur uuur
8.设P是△ABC所在平面内的一点，BCBA=2BP，则（ ）
uuur uuur uuur uuur
A.PAPB=0 B. PBPC =0
uuur uuur uuur uuur uuur
C. PCPA=0 D.PAPBPC =0 A P C
第8题图
9. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，
则“a^b”是“m^b”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10. 设斜率为2的直线l过抛物线y2 =ax (a ¹0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的
面积为4,则抛物线方程为( )
A.y2 =±4x B.y2 =±8x C. y2 =4x D. y2 =8x
  1
11.在区间[- , ]上随机取一个数x，cosx的值介于0到 之间的概率为( ).
2 2 2
1 2 1 2
A. B. C. D.
3  2 3
12. 已知定义在R上的奇函数 f(x)，满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( ).
A. f(-25)< f(11)< f(80) B. f(80)< f(11)< f(-25)
C. f(11)< f(80)< f(-25) D. f(-25)< f(80)< f(11)
开始
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
S=0,T=0,n=
13.在等差数列{a }中,a =7,a = a 6, 0
n 3 5 2
是
T>S
则a = ____________.
6 否
S=S+5
14.若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a¹1)有两个零点， 输出T
则实数a的取值范围是 . n=n+2
结束
15.执行右边的程序框图，输出的T= .
T=T+n
16.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙
第- 2 -页 | 共13页种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁
费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元.
三、解答题：本大题共6小题，共74分。

17.(本小题满分12分)设函数f(x)=2sinxcos2 cosxsin-sinx(0<<)在x =处取最小值.
2
(1) 求的值;
3
(2) 在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a =1,b = 2, f(A) = ,求角C.
2
18.（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA
1 1 1 1
D C
1 1
=2, E、E 分别是棱AD、AA 的中点
1 1 1 A 1 B 1
（Ⅰ）设F是棱AB的中点,证明：直线EE //平面FCC ；
1 1
E D C
1
（Ⅱ）证明:平面D AC⊥平面BB C C.
1 1 1 E
19. （本小题满分12分）
A F B
一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):
轿车A 轿车B 轿车C
舒适型 100 150 z
标准型 300 450 600
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
（1） 求z的值
（2） 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,
求至少有1辆舒适型轿车的概率;
（3） 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6,
8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之
差的绝对值不超过0.5的概率.
20.（本小题满分12分）
等比数列{a }的前 n 项和为S ，已知对任意的nÎN，点(n,S )，均在函数 y =bx r(b0且
n n n
b¹1,b,r均为常数)的图像上
（1）求r的值；
第- 3 -页 | 共13页n1
（11）当b=2时，记 b = (nÎN)求数列{b }的前n项和T
n 4a n n
n
21.（本小题满分12分）
1
已知函数 f(x)= ax3bx2 x3,其中a¹0
3
（1） 当a,b满足什么条件时, f(x)取得极值?
（2） 已知a 0,且 f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围.
22. （本小题满分14分）
r r r r
设mÎR,在平面直角坐标系中,已知向量a=(mx,y1),向量b=(x,y-1),a^b,动点M(x,y)的
轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
1
（2）已知m = ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B,且
4
OA^OB(O为坐标原点),并求出该圆的方程;
1
(3)已知m = ,设直线l与圆C:x2  y2 = R2(1<R<2)相切于A ,且l与轨迹E只有一个公共点B ,当R为何
1 1
4
值时,|A B |取得最大值?并求最大值.
1 1
2009年山东高考数学文科试题答案
a2 =16
1.【解析】:∵A=0,2,a ,B=  1,a2 ,A
U
B=0,1,2,4,16∴ ∴a=4,故选D.
 a=4
【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.
3-i (3-i)(1i) 32i-i2 42i
2. 【解析】: = = = =2i,故选C.
1-i (1-i)(1i) 1-i2 2
【命题立意】:本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除
法转变为乘法进行运算.
 
3. 【 解 析 】 : 将 函 数 y =sin2x的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 , 得 到 函 数 y =sin2(x )即
4 4

y =sin(2x )=cos2x的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为
2
y =1cos2x=2cos2 x,故选A.
【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和
基本技能,学会公式的变形.
4. 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆
第- 4 -页 | 共13页柱的底面半径为1,高为2,体积为2,四棱锥的底面
1  2 2 3
边长为 2 ，高为 3，所以体积为 ´ 2 ´ 3 =
3 3
2 3
所以该几何体的体积为2 .答案:C
3
【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,
由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地
计算出.几何体的体积.
5. 【解析】:根据定义x⊙(x-2) = x(x-2)2x(x-2) = x2  x-2<0,解得-2< x <1,所以所求的
实数x的取值范围为(-2,1),故选B.
【命题立意】:本题为定义新运算型,正确理解新定义是解决问题的关键,译出条件再解一元二次不等式.
6. 【 解 析 】 : 函 数 有 意 义 , 需 使 ex -e-x ¹0, 其 定 义 域 为  x| x ¹ 0  , 排 除 C,D, 又 因 为
ex e-x e2x 1 2
y = = =1 ,所以当x0时函数为减函数,故选A
ex -e-x e2x -1 e2x -1
【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函
数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.
7. 【解析】:由已知得 f(-1)=log 5, f(0)=log 4=2, f(1)= f(0)- f(-1)=2-log 5,
2 2 2
f(2)= f(1)- f(0)=-log 5, f(3)= f(2)- f(1)=-log 5-(2-log 5)=-2,故选B.
2 2 2
【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程..
uuur uuur uuur
8. 【解析】:因为BCBA=2BP，所以点P为线段AC的中点，所以应该选C。
【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答。
9. 【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,m^b,则a^b,反过来则不
一定.所以“a^b”是“m^b”的必要不充分条件
【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.
a a
10. 【解析】: 抛物线y2 =ax (a ¹0)的焦点F坐标为( ,0),则直线l的方程为y =2(x- ),它与y轴的
4 4
a 1 a a
交点为A(0,- ),所以△OAF的面积为 | |×| |=4,解得a=±8.所以抛物线方程为y2 =±8x,故选B
2 2 4 2
【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查
数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定
第- 5 -页 | 共13页以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.
    1
11. 【解析】:在区间[- , ] 上随机取一个数x,即xÎ[- , ]时,要使cosx的值介于0到 之间,需使
2 2 2 2 2
     1
-  x- 或  x ，区间长度为 ，由几何概型知cosx的值介于 0 到 之间的概率为
2 3 3 2 3 2

3 1
= .故选A
 3
【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值cosx的范
围,再由长度型几何概型求得.
12. 【解析】:因为 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),所以 f(x-8)= f(x),所以函数是以8为周期的周期函数,
则 f(-25) = f(-1), f(80) = f(0), f(11) = f(3),又因为 f(x)在 R 上是奇函数， f(0)=0,得
f(80) = f(0) =0, f(-25) = f(-1) = -f(1), 而 由 f(x-4)=-f(x)得
f(11) = f(3) = -f(-3) = -f(1-4) = f(1),又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以 f(1)  f(0) =0,
所以- f(1)<0,即 f(-25)< f(80)< f(11),故选D.
y
【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的
思想解答问题. f(x)=m (m>0)
-8 -6 -4  -2 a 0 2 d =2 7 4 6  a8= 3 x
13. 【解析】:设等差数列{a }的公差为 d ,则由已知得  1 解得  1 ,所以
n

a 4d = a d 6 d =2
1 1
a =a 5d =13答案:13.
6 1
【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.
14. 【解析】: 设函数y =ax(a 0,且a¹1}和函数y = xa,则函数f(x)=ax-x-a(a>0且a¹1)有两个零
点, 就是函数y =ax(a 0,且a¹1}与函数y = xa有两个交点,由图象可知当0< a <1时两函数只有一
个交点,不符合,当a 1时,因为函数 y =ax(a 1)的图象过点(0,1),而直线 y = xa所过的点（0，a）一
定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a 1}
【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数
的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.
15. 【解析】:按照程序框图依次执行为S=5,n=2,T=2;
S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;
S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30
第- 6 -页 | 共13页【命题立意】:本题主要考查了循环结构的程序框图,一般都可以
反复的进行运算直到满足条件结束,本题中涉及到三个变量,
注意每个变量的运行结果和执行情况.
16. 【解析】:设甲种设备需要生产 x天, 乙种设备需要生产 y天, 该公司所需租赁费为 z元,则
z =200x300y，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示:
产品 A类产品 B类产品 租赁费
设备 (件)(≥50) (件)(≥140) (元)
甲设备 5 10 200
乙设备 6 20 300
 6
 5x6y³50 x y³10
ï
ï ï 5
则满足的关系为10x20y³140即: ,
x2y³14
ï ï
 x³0,y³0
ï x³0,y³0
 6
ïx y =10
作出不等式表示的平面区域,当z =200x300y对应的直线过两直线 5 的交点(4,5)时，目标函
ï x2y =14
数z =200x300y取得最低为2300元.
【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表
格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题
17. 解:
1cos
（1） f(x)=2sinx× cosxsin-sinx
2
=sinxsinxcoscosxsin-sinx
=sinxcoscosxsin =sin(x)
因为函数f(x)在x =处取最小值，所以sin()=-1,

由诱导公式知sin=1,因为0<<,所以= .
2

（2）由（1）知 f(x)=sin(x )=cosx
2
3 
因为 f(A)=cosA= ,且A为ABC的内角,所以A= .
2 6
第- 7 -页 | 共13页a b
又因为a =1,b = 2,所以由正弦定理,得 = ,
sinA sinB
bsinA 1 2
也就是sinB= = 2´ = ,
a 2 2
 3
因为ba,所以B = 或B = .
4 4
   7
当B = 时,C =- - = ;
4 6 4 12
3  3 
当B = 时,C =- - = .
4 6 4 12
7 
综上所述，C = 或C =
12 12
【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用
正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.
18. （Ⅰ）证明： D C
1 1
在直四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，取A 1 B 1 的中点F 1 ， A 1 F B 1
1
连接A D，C F ，CF ，因为AB=4, CD=2,且AB//CD，
1 1 1 1
E D C
1
//
所以CD=A F ，A F CD为平行四边形，所以CF //A D， E
1 1 1 1 1 1
A F B
又因为E、E 分别是棱AD、AA 的中点，所以EE //A D，
1 1 1 1
所以CF //EE ，又因为EE Ë平面FCC ，CF Ì平面FCC ，
1 1 1 1 1 1
所以直线EE //平面FCC .
1 1
（Ⅱ）连接AC,在直棱柱中，CC ⊥平面ABCD,ACÌ平面ABCD, D C
1 1 1
所以CC 1 ⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4, BC=2, A 1 B 1
F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，
E D C
ÐBCF =60°,△ACF为等腰三角形，且ÐACF =30° 1
E
所以AC⊥BC, 又因为BC与CC 1 都在平面BB 1 C 1 C内且交于点C,A F B
所以AC⊥平面BB C C,而AC Ì平面D AC,
1 1 1
所以平面D AC⊥平面BB C C.
1 1 1
【命题立意】: 本题主要考查直棱柱的概念、线面平行和线面垂直位置关系的判定.熟练掌握平行和垂直的
判定定理.完成线线、线面位置关系的转化.
50 10
19. 解 : (1). 设 该 厂 本 月 生 产 轿 车 为 n 辆 , 由 题 意 得 , = , 所 以 n=2000.
n 100300
z=2000-100-300-150-450-600=400
第- 8 -页 | 共13页(2) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以
400 m
= ,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S ,S ;B B ,B ,则从中任取2
1 2 1, 2 3
1000 5
辆的所有基本事件为(S , B ), (S , B ) , (S , B ) (S ,B ), (S ,B ), (S ,B ),( (S , S ),(B ,B ),
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 1 2 1 2
(B ,B ) ,(B ,B )共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S , B ), (S , B ) , (S , B )
2 3 1 3 1 1 1 2 1 3
7
(S ,B ), (S ,B ), (S ,B ),( (S , S ),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为 .
2 1 2 2 2 3 1 2
10
1
(3)样本的平均数为x= (9.48.69.29.68.79.39.08.2)=9,
8
那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数
6
为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为 =0.75.
8
【命题立意】:本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题.要读懂题意,
分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答.
20. 解:因为对任意的nÎN,点(n,S )，均在函数y =bx r(b0且b¹1,b,r均为常数)的图像上.所以得
n
S =bn r,
n
当n=1时,a =S =br,
1 1
当n³2时,a =S -S =bn r-(bn-1r)=bn -bn-1 =(b-1)bn-1,
n n n-1
当n=2时，a =(b-1)b
2
a b(b-1)
又因为{a }为等比数列, 所以 2 =b，即 =b解得r =-1
n a br
1
（2）由（1）知，nÎN，a =(b-1)bn-1 =2n-1,
n
n1 n1 n1
所以 b = = =
n 4a 4´2n-1 2n1
n
2 3 4 n1
T =     ，
n 22 23 24 L 2n1
1 2 3 4 n n1
T =     
2 n 23 24 25 L 2n1 2n2
两式相减,得
1 1
´(1- )
1 2 1 1 1 1 n1 1 23 2n-1 n1
T =      - =  -
2 n 22 23 24 25 L 2n1 2n2 2 1 2n2
1-
2
第- 9 -页 | 共13页3 1 n1
= - -
4 2n1 2n2
3 1 n1 3 n3
所以T = - - = -
n 2 2n 2n1 2 2n1
【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知S 求a 的基本题型,并运用错位相减法
n n
求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n项和T .
n
21. 解: (1)由已知得 f '(x)=ax2 2bx1,令 f'(x) =0,得ax2 2bx1=0,
f(x)要取得极值,方程ax2 2bx1=0必须有解,
所以△=4b2 -4a0,即b2 a, 此时方程ax2 2bx1=0的根为
-2b- 4b2 -4a -b- b2 -a -2b 4b2 -4a -b b2 -a
x = = ,x = = ,
1 2a a 2 2a a
所以 f '(x)=a(x-x )(x-x )
1 2
当a 0时,
x (-∞,x ) x (x ,x ) x (x ,+∞)
1 1 1 2 2 2
f '(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
所以 f(x)在x , x 处分别取得极大值和极小值.
1 2
当a <0时,
x (-∞,x ) x (x ,x ) x (x ,+∞)
2 2 2 1 1 1
f '(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数
所以 f(x)在x , x 处分别取得极大值和极小值.
1 2
综上,当a,b满足b2 a时, f(x)取得极值
(2)要使 f(x)在区间(0,1]上单调递增,需使 f '(x)=ax2 2bx1³0在(0,1]上恒成立.
ax 1 ax 1
即b³- - , xÎ(0,1]恒成立, 所以b³(- - )
2 2x 2 2x max
1
a(x2 - )
ax 1 a 1 a
设g(x)=- - ,g'(x)=-  = ,
2 2x 2 2x2 2x2
第- 10 -页 | 共13页1 1
令g'(x)=0得x= 或x=- (舍去),
a a
1 1 ax 1
当a 1时,0< <1,当xÎ(0, )时g'(x)0,g(x)=- - 单调增函数;
a a 2 2x
1 ax 1
当xÎ( ,1]时g'(x)<0,g(x)=- - 单调减函数,
a 2 2x
1 1
所以当x= 时,g(x)取得最大,最大值为g( )=- a.
a a
所以b³- a
1 ax 1
当0<a1时, ³1,此时g'(x)³0在区间(0,1]恒成立,所以g(x)=- - 在区间(0,1]上单调递增,
a 2 2x
a1 a1
当x=1时g(x)最大,最大值为g(1)=- ,所以b³-
2 2
a1
综上,当a 1时, b³- a ;当0<a1时, b³-
2
【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单
调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的
思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.
r r r r
22. 解:（1）因为a^b,a=(mx,y1),b=(x,y-1),
r r
所以a×b=mx2  y2 -1=0, 即mx2  y2 =1.
当m=0时,方程表示两直线,方程为y = ±1;
当m=1时, 方程表示的是圆
当m 0且m ¹1时,方程表示的是椭圆;
当m<0时,方程表示的是双曲线.
1 x2
(2).当m = 时, 轨迹 E 的方程为  y2 =1,设圆心在原点的圆的一条切线为 y =kxt,解方程组
4 4
 y =kxt
ï
x2 得x2 4(kxt)2 =4,即(14k2)x2 8ktx4t2 -4=0,
 y2 =1
ï
 4
要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,
则使△=64k2t2 -16(14k2)(t2 -1)=16(4k2 -t2 1)0,
第- 11 -页 | 共13页 8kt
x x =-
ï ï 1 2 14k2
即4k2 -t2 10,即t2 <4k2 1, 且
4t2 -4
ï
x x =
ï 1 2 14k2
k2(4t2 -4) 8k2t2 t2 -4k2
y y =(kx t)(kx t)=k2x x kt(x x )t2 = - t2 = ,
1 2 1 2 1 2 1 2 14k2 14k2 14k2
uuur uuur 4t2 -4 t2 -4k2 5t2 -4k2 -4
要使OA^OB, 需使x x  y y =0,即  = =0,
1 2 1 2 14k2 14k2 14k2
所以5t2 -4k2 -4=0, 即5t2 =4k2 4且t2 <4k2 1, 即4k2 4<20k2 5恒成立.
所以又因为直线y =kxt为圆心在原点的圆的一条切线,
4
(1k2)
t t2 5 4 4
所以圆的半径为r = ,r2 = = = , 所求的圆为x2  y2 = .
1k2 1k2 1k2 5 5
2 x2 2 2 2 2
当切线的斜率不存在时,切线为x = ± 5,与  y2 =1交于点( 5,± 5)或(- 5,± 5)也满
5 4 5 5 5 5
足OA^OB.
4
综上, 存在圆心在原点的圆 x2  y2 = ，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且
5
uuur uuur
OA^OB.
1 x2
(3) 当 m = 时 ,轨 迹 E 的 方程 为  y2 =1, 设直 线 l的 方 程为 y =kxt, 因为 直 线 l与 圆
4 4
t
C:x2  y2 = R2(1<R<2)相切于A , 由（2）知R= , 即t2 = R2(1k2) ①
1
1k2
因为l与轨迹E只有一个公共点B ,
1
 y =kxt
ï
由（2）知x2 得x2 4(kxt)2 =4,
 y2 =1
ï
 4
即(14k2)x2 8ktx4t2 -4=0有唯一解
则△=64k2t2 -16(14k2)(t2 -1)=16(4k2 -t2 1)=0, 即4k2 -t2 1=0, ②
第- 12 -页 | 共13页 3R2
t2 =
ï
ï 4-R2
由①②得 , 此时A,B重合为B (x ,y )点,
R2 -1 1 1 1
ï
k2 =
ï 4-R2
 8kt
x x =-
ï ï 1 2 14k2 4t2 -4 16R2 -16
由 中x = x ,所以,x2 = = ,
4t2 -4 1 2 1 14k2 3R2
ï
x x =
ï 1 2 14k2
1 4-R2 4
B (x ,y )点在椭圆上,所以y2 =1- x2 = ,所以|OB |2= x2  y2 =5- ,
1 1 1 1 4 1 3R2 1 1 1 R2
4 4 4
在直角三角形OA B 中,| AB |2=|OB |2 -|OA |2=5- -R2 =5-( R2)因为 R2 ³4当且仅
1 1 1 1 1 1 R2 R2 R2
当R= 2Î(1,2)时取等号,所以| AB |25-4=1,即
1 1
当R= 2Î(1,2)时|A B |取得最大值,最大值为1.
1 1
【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组
法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.
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