2009年高考数学试卷（文）（山东）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_自主命题卷·数学（2008-2025）

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1. 集合A=0,2,a ,B=  1,a2 ,若A B=0,1,2,4,16 ,则a的值为( ) U A.0 B.1 C.2 D.4 3-i 2. 复数 等于（ ） 1-i A．12i B.1-2i C.2i D.2-i  3. 将函数 y =sin2x的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是 4 ( )  A. y =2cos2 x B. y =2sin2 x C.y =1sin(2x ) D. y =cos2x 4 4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). 2 3 2 3 A.22 3 B. 42 3 C. 2 D. 4 3 3 2 2 2 俯视图 2 2 正(主)视图 侧 ( 左 ) 视图 5.在R上定义运算⊙: a⊙b = ab2ab,则满足x⊙(x-2)<0的实数x的取值范( ). A.(0,2) B.(-2,1) C.(-,-2) (1,) D.(-1,2) U ex e-x 6. 函数y = 的图像大致为( ). ex -e-x y y y y 1 1 1 1 O 1 x O 1 x O 1 x O 1 x D A B C 第- 1 -页 | 共13页log (4-x), x 0 7. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)=  2 ，则f（3）的值为( ) f(x-1)- f(x-2), x 0 A.-1 B. -2 C.1 D. 2 B uuur uuur uuur 8.设P是△ABC所在平面内的一点，BCBA=2BP，则（ ） uuur uuur uuur uuur A.PAPB=0 B. PBPC =0 uuur uuur uuur uuur uuur C. PCPA=0 D.PAPBPC =0 A P C 第8题图 9. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线， 则“a^b”是“m^b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10. 设斜率为2的直线l过抛物线y2 =ax (a ¹0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的 面积为4,则抛物线方程为( ) A.y2 =±4x B.y2 =±8x C. y2 =4x D. y2 =8x   1 11.在区间[- , ]上随机取一个数x，cosx的值介于0到 之间的概率为( ). 2 2 2 1 2 1 2 A. B. C. D. 3  2 3 12. 已知定义在R上的奇函数 f(x)，满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( ). A. f(-25)< f(11)< f(80) B. f(80)< f(11)< f(-25) C. f(11)< f(80)< f(-25) D. f(-25)< f(80)< f(11) 开始 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。 S=0,T=0,n= 13.在等差数列{a }中,a =7,a = a 6, 0 n 3 5 2 是 T>S 则a = ____________. 6 否 S=S+5 14.若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a¹1)有两个零点， 输出T 则实数a的取值范围是 . n=n+2 结束 15.执行右边的程序框图，输出的T= . T=T+n 16.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙 第- 2 -页 | 共13页种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁 费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元. 三、解答题：本大题共6小题，共74分。  17.(本小题满分12分)设函数f(x)=2sinxcos2 cosxsin-sinx(0<<)在x =处取最小值. 2 (1) 求的值; 3 (2) 在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a =1,b = 2, f(A) = ,求角C. 2 18.（本小题满分12分） 如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA 1 1 1 1 D C 1 1 =2, E、E 分别是棱AD、AA 的中点 1 1 1 A 1 B 1 （Ⅰ）设F是棱AB的中点,证明：直线EE //平面FCC ； 1 1 E D C 1 （Ⅱ）证明:平面D AC⊥平面BB C C. 1 1 1 E 19. （本小题满分12分） A F B 一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆): 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆. （1） 求z的值 （2） 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆, 求至少有1辆舒适型轿车的概率; （3） 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之 差的绝对值不超过0.5的概率. 20.（本小题满分12分） 等比数列{a }的前 n 项和为S ，已知对任意的nÎN，点(n,S )，均在函数 y =bx r(b0且 n n n b¹1,b,r均为常数)的图像上 （1）求r的值； 第- 3 -页 | 共13页n1 （11）当b=2时，记 b = (nÎN)求数列{b }的前n项和T n 4a n n n 21.（本小题满分12分） 1 已知函数 f(x)= ax3bx2 x3,其中a¹0 3 （1） 当a,b满足什么条件时, f(x)取得极值? （2） 已知a 0,且 f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围. 22. （本小题满分14分） r r r r 设mÎR,在平面直角坐标系中,已知向量a=(mx,y1),向量b=(x,y-1),a^b,动点M(x,y)的 轨迹为E. （1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; 1 （2）已知m = ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B,且 4 OA^OB(O为坐标原点),并求出该圆的方程; 1 (3)已知m = ,设直线l与圆C:x2  y2 = R2(10) -8 -6 -4  -2 a 0 2 d =2 7 4 6  a8= 3 x 13. 【解析】:设等差数列{a }的公差为 d ,则由已知得  1 解得  1 ,所以 n  a 4d = a d 6 d =2 1 1 a =a 5d =13答案:13. 6 1 【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算. 14. 【解析】: 设函数y =ax(a 0,且a¹1}和函数y = xa,则函数f(x)=ax-x-a(a>0且a¹1)有两个零 点, 就是函数y =ax(a 0,且a¹1}与函数y = xa有两个交点,由图象可知当0< a <1时两函数只有一 个交点,不符合,当a 1时,因为函数 y =ax(a 1)的图象过点(0,1),而直线 y = xa所过的点（0，a）一 定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a 1} 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数 的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答. 15. 【解析】:按照程序框图依次执行为S=5,n=2,T=2; S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12; S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30 第- 6 -页 | 共13页【命题立意】:本题主要考查了循环结构的程序框图,一般都可以 反复的进行运算直到满足条件结束,本题中涉及到三个变量, 注意每个变量的运行结果和执行情况. 16. 【解析】:设甲种设备需要生产 x天, 乙种设备需要生产 y天, 该公司所需租赁费为 z元,则 z =200x300y，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示: 产品 A类产品 B类产品 租赁费 设备 (件)(≥50) (件)(≥140) (元) 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300  6  5x6y³50 x y³10 ï ï ï 5 则满足的关系为10x20y³140即: , x2y³14 ï ï  x³0,y³0 ï x³0,y³0  6 ïx y =10 作出不等式表示的平面区域,当z =200x300y对应的直线过两直线 5 的交点(4,5)时，目标函 ï x2y =14 数z =200x300y取得最低为2300元. 【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表 格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题 17. 解: 1cos （1） f(x)=2sinx× cosxsin-sinx 2 =sinxsinxcoscosxsin-sinx =sinxcoscosxsin =sin(x) 因为函数f(x)在x =处取最小值，所以sin()=-1,  由诱导公式知sin=1,因为0<<,所以= . 2  （2）由（1）知 f(x)=sin(x )=cosx 2 3  因为 f(A)=cosA= ,且A为ABC的内角,所以A= . 2 6 第- 7 -页 | 共13页a b 又因为a =1,b = 2,所以由正弦定理,得 = , sinA sinB bsinA 1 2 也就是sinB= = 2´ = , a 2 2  3 因为ba,所以B = 或B = . 4 4    7 当B = 时,C =- - = ; 4 6 4 12 3  3  当B = 时,C =- - = . 4 6 4 12 7  综上所述，C = 或C = 12 12 【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用 正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合. 18. （Ⅰ）证明： D C 1 1 在直四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，取A 1 B 1 的中点F 1 ， A 1 F B 1 1 连接A D，C F ，CF ，因为AB=4, CD=2,且AB//CD， 1 1 1 1 E D C 1 // 所以CD=A F ，A F CD为平行四边形，所以CF //A D， E 1 1 1 1 1 1 A F B 又因为E、E 分别是棱AD、AA 的中点，所以EE //A D， 1 1 1 1 所以CF //EE ，又因为EE Ë平面FCC ，CF Ì平面FCC ， 1 1 1 1 1 1 所以直线EE //平面FCC . 1 1 （Ⅱ）连接AC,在直棱柱中，CC ⊥平面ABCD,ACÌ平面ABCD, D C 1 1 1 所以CC 1 ⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4, BC=2, A 1 B 1 F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形， E D C ÐBCF =60°,△ACF为等腰三角形，且ÐACF =30° 1 E 所以AC⊥BC, 又因为BC与CC 1 都在平面BB 1 C 1 C内且交于点C,A F B 所以AC⊥平面BB C C,而AC Ì平面D AC, 1 1 1 所以平面D AC⊥平面BB C C. 1 1 1 【命题立意】: 本题主要考查直棱柱的概念、线面平行和线面垂直位置关系的判定.熟练掌握平行和垂直的 判定定理.完成线线、线面位置关系的转化. 50 10 19. 解 : (1). 设 该 厂 本 月 生 产 轿 车 为 n 辆 , 由 题 意 得 , = , 所 以 n=2000. n 100300 z=2000-100-300-150-450-600=400 第- 8 -页 | 共13页(2) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以 400 m = ,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S ,S ;B B ,B ,则从中任取2 1 2 1, 2 3 1000 5 辆的所有基本事件为(S , B ), (S , B ) , (S , B ) (S ,B ), (S ,B ), (S ,B ),( (S , S ),(B ,B ), 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 1 2 1 2 (B ,B ) ,(B ,B )共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S , B ), (S , B ) , (S , B ) 2 3 1 3 1 1 1 2 1 3 7 (S ,B ), (S ,B ), (S ,B ),( (S , S ),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为 . 2 1 2 2 2 3 1 2 10 1 (3)样本的平均数为x= (9.48.69.29.68.79.39.08.2)=9, 8 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数 6 为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为 =0.75. 8 【命题立意】:本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题.要读懂题意, 分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答. 20. 解:因为对任意的nÎN,点(n,S )，均在函数y =bx r(b0且b¹1,b,r均为常数)的图像上.所以得 n S =bn r, n 当n=1时,a =S =br, 1 1 当n³2时,a =S -S =bn r-(bn-1r)=bn -bn-1 =(b-1)bn-1, n n n-1 当n=2时，a =(b-1)b 2 a b(b-1) 又因为{a }为等比数列, 所以 2 =b，即 =b解得r =-1 n a br 1 （2）由（1）知，nÎN，a =(b-1)bn-1 =2n-1, n n1 n1 n1 所以 b = = = n 4a 4´2n-1 2n1 n 2 3 4 n1 T =     ， n 22 23 24 L 2n1 1 2 3 4 n n1 T =      2 n 23 24 25 L 2n1 2n2 两式相减,得 1 1 ´(1- ) 1 2 1 1 1 1 n1 1 23 2n-1 n1 T =      - =  - 2 n 22 23 24 25 L 2n1 2n2 2 1 2n2 1- 2 第- 9 -页 | 共13页3 1 n1 = - - 4 2n1 2n2 3 1 n1 3 n3 所以T = - - = - n 2 2n 2n1 2 2n1 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知S 求a 的基本题型,并运用错位相减法 n n 求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n项和T . n 21. 解: (1)由已知得 f '(x)=ax2 2bx1,令 f'(x) =0,得ax2 2bx1=0, f(x)要取得极值,方程ax2 2bx1=0必须有解, 所以△=4b2 -4a0,即b2 a, 此时方程ax2 2bx1=0的根为 -2b- 4b2 -4a -b- b2 -a -2b 4b2 -4a -b b2 -a x = = ,x = = , 1 2a a 2 2a a 所以 f '(x)=a(x-x )(x-x ) 1 2 当a 0时, x (-∞,x ) x (x ,x ) x (x ,+∞) 1 1 1 2 2 2 f '(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以 f(x)在x , x 处分别取得极大值和极小值. 1 2 当a <0时, x (-∞,x ) x (x ,x ) x (x ,+∞) 2 2 2 1 1 1 f '(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以 f(x)在x , x 处分别取得极大值和极小值. 1 2 综上,当a,b满足b2 a时, f(x)取得极值 (2)要使 f(x)在区间(0,1]上单调递增,需使 f '(x)=ax2 2bx1³0在(0,1]上恒成立. ax 1 ax 1 即b³- - , xÎ(0,1]恒成立, 所以b³(- - ) 2 2x 2 2x max 1 a(x2 - ) ax 1 a 1 a 设g(x)=- - ,g'(x)=-  = , 2 2x 2 2x2 2x2 第- 10 -页 | 共13页1 1 令g'(x)=0得x= 或x=- (舍去), a a 1 1 ax 1 当a 1时,0< <1,当xÎ(0, )时g'(x)0,g(x)=- - 单调增函数; a a 2 2x 1 ax 1 当xÎ( ,1]时g'(x)<0,g(x)=- - 单调减函数, a 2 2x 1 1 所以当x= 时,g(x)取得最大,最大值为g( )=- a. a a 所以b³- a 1 ax 1 当0