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2024-2025 学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合𝐴={𝑥||𝑥|≤2}，𝐵={―3,―2,―1,0,1}，则𝐴∩𝐵=( )
A. {―1,0} B. {―2,―1,0} C. {―1,0,1} D. {―2,―1,0,1}
2.下列函数在区间[0,+∞)上单调递增的是( )
A. 𝑓(𝑥)=―𝑥 B. 𝑓(𝑥)=2𝑥 C. 𝑓(𝑥)=𝑙𝑔𝑥 D. 𝑓(𝑥)= 1
𝑥
3.对某种动物的三项指标𝐴，𝐵，𝐶进行调查研究.现有这种动物若干只，设每只动物的这三项指标为(𝑎,𝑏,𝑐
𝑖 𝑖 𝑖
)(𝑖∈𝑁∗).若(𝑎,𝑏)与(𝑎,𝑐)的散点图如图1和图2所示，那么关于(𝑏,𝑐)的散点图最合理的为( )
𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖
君
卷
试
中
高
：
号
众
公
A. B.
C. D.
4.甲、乙等5人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有( )
A. 36 B. 48 C. 60 D. 72
5.为改善人口结构，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑恰有
3个小孩的家庭.如果已经知道这个家庭有女孩，那么这3个小孩都是女孩的概率为( )
第1页，共10页1 1 1 1
A. B. C. D.
7 4 3 2
𝑥―1,𝑥≤𝑎,
6.设函数𝑓(𝑥)= 若𝑦=𝑓(𝑥)恰有两个零点，则实数𝑎的取值范围是( )
𝑥2―𝑥―6,𝑥>𝑎.
A. (―∞,―2) B. (―∞,―2)∪[1，3)
C. (―2,3) D. (―∞,―2)∪(3,+∞)
7.投掷一枚均匀硬币，掷出正面得1分，掷出反面得2分，投掷了3次，设总分为𝑋，那么𝑋的数学期望为
( )
9 9
A. B. 4 C. D. 5
4 2
8.已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥，𝑔(𝑥)=𝑘(𝑥―𝑥
0
)+𝑒𝑥 0，其中𝑥
0
，𝑘∈𝑅，那么“对任意的实数𝑥都有𝑓(𝑥)≥𝑔(𝑥)”
是“𝑘=𝑒𝑥 0”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件君
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必卷要条件
9.已知正整数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，𝑒满足𝑎<𝑏<𝑐<𝑑<𝑒，且𝑎+试𝑏+𝑐+𝑑+𝑒=50，那么𝑏+𝑑的最大值是( )
中
A. 22 B. 23 C. 24 D. 25
高
𝑓(𝑥 )―𝑓(𝑥 ) 𝑓(𝑥 +1)―𝑓(𝑥 )
10.已知函数𝑓(𝑥)=ln(𝑥―1)，对于实数𝑥 ，𝑥 ，已知1<𝑥 <𝑥 ，设𝑀= 2 1 ,𝑃= 2 1 ，
1 2 1 2 𝑥 ―𝑥 𝑥 ―𝑥 +1
： 2 1 2 1
𝑓(𝑥 )+𝑓(𝑥 )
𝑄= 1 2 ，则( ) 号
𝑥 +𝑥
1 2
众
A. 𝑥 >2时，有𝑀>𝑄>𝑃 B. 𝑥 >2时，有𝑃>𝑀>𝑄
1 1
公
C. 1<𝑥 <2时，有𝑃>𝑄>𝑀 D. 1<𝑥 <2时，有𝑀>𝑃>𝑄
1 1
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
1
11.函数𝑓(𝑥)= +𝑙𝑛𝑥的定义域是______．
𝑥+1
12.在(1―2 𝑥)6的展开式中，𝑥的系数为______.(用数字作答)
13.已知函数𝑓(𝑥)=𝑝2𝑥+𝑞2―𝑥(其中𝑝，𝑞是正实数)．
①能使函数𝑓(𝑥)为偶函数的一组𝑝，𝑞可以为______；
②若函数𝑓(𝑥)的最小值为4，则𝑝+𝑞的最小值为______．
14.设函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑(𝑎≠0)，点𝐴，𝐵，𝐶，𝐷在平面直角坐
标系中的位置如图所示.已知曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点𝐵，𝐶处的切线分别为直线𝐴𝐵
和𝐶𝐷，则此函数的解析式𝑓(𝑥)= ______．
15.一组单调不减的数据𝑎 ，𝑎 ，𝑎 ，…，𝑎 (𝑛≥3)(即𝑎 ≤𝑎 ≤𝑎 ≤⋯≤𝑎 )，满足𝑎 ≠𝑎 ，记这组数据
1 2 3 𝑛 1 2 3 𝑛 1 𝑛
𝑎 ，𝑎 ，𝑎 ，…，𝑎 的方差为𝐷；数据𝑎 ，𝑎 ，…，𝑎 的有差为𝐷 ；数据𝑎 ，𝑎 ，𝑎 ，…，𝑎 的方差为
1 2 3 𝑛 2 3 𝑛 1 1 2 3 𝑛―1
第2页，共10页𝐷 ；数据𝑎 ，𝑎 ，…，𝑎 的方差为𝐷 .给出下列四个结论：
2 2 3 𝑛―1 3
①存在单调不减的数据，使得𝐷>𝐷 ；
1
②存在单调不减的数据，使得𝐷 =𝐷 ；
1 2
③存在单调不减的数据，使得𝐷=𝐷 ；
2
④对任意单调不减的数据，都有𝐷>𝐷 ．
3
其中正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
甲、乙、丙3台机器生产同一型号的产品，假设所有产品合格与否相互独立，已知甲、乙、丙这3台机器的
3 4 3
产品合格率分别为 ， ， ．
4 5 5
君
(Ⅰ)从甲机器生产的产品中任取2件产品，求2件产品都合格的概率；
卷
(Ⅱ)从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，求恰有2件产品合格的概率；
试
(Ⅲ)若三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，任取一件产品，求这件产品合格的概率．
中
17.(本小题14分)
高
1
已知函数𝑓(𝑥)= 𝑥3―𝑥2―3𝑥． ：
3
(Ⅰ)求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(―3,𝑓(―3))处的号切线方程；
众
(Ⅱ)求函数𝑓(𝑥)的极值；
公
(Ⅲ)若函数𝑓(𝑥)在(𝑎,+∞)上存在最小值，求𝑎的取值范围．
18.(本小题13分)
在某校运动会射击项目中只有甲、乙.丙三名同学参加射击比赛，共比赛20轮，每轮比赛3名同学各射击1
次，规定每轮比赛射击环数最高者获胜.本次射击比赛中甲、乙、丙的前10轮比赛成绩(单位：环)统计如
下：
轮次1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 10.210.710.010.29.98.8 10.110.297 9.5
乙 8.6 10.49.4 9.7 9.88.8 10.09.4 10.6104
丙 6.5 8.5 7.7 9.7 8.510.38.7 7.5 10.58.5
用频率估计概率，假设甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(Ⅰ)如果命中10环及以上的环数，我们称之为“命中靶心”.依据表中的数据，估计甲在后10轮比赛中“命
中靶心”的轮数；
第3页，共10页(Ⅱ)从前10轮比赛中随机选择3轮，设𝑋表示乙获胜的轮数，求𝑋的分布列和数学期望𝐸(𝑋)；
(Ⅲ)记第5轮到第10轮比赛中甲、乙、丙的比赛成绩分别为𝑎，𝑏，𝑐.(𝑡=5,6,7,8,9,10)．
𝑖 𝑖 𝑖
定义统计量：
1 1 1 1 1
𝑑 = |𝑎 ―𝑎 |+ |𝑎 ―𝑎 |+ |𝑎 ―𝑎 |+ |𝑎 ―𝑎 |+ |𝑎 ―𝑎 |，
𝑎 2 10 9 22 9 8 23 8 7 24 7 6 24 6 5
1 1 1 1 1
𝑑 = |𝑏 ―𝑏 |+ |𝑏 ―𝑏 |+ |𝑏 ―𝑏 |+ |𝑏 ―𝑏 |+ |𝑏 ―𝑏 |，
𝑏 2 10 9 22 9 8 23 8 7 24 7 6 24 6 5
1 1 1 1 1
𝑑 = |𝑐 ―𝑐 |+ |𝑐 ―𝑐 |+ |𝑐 ―𝑐 |+ |𝑐 ―𝑐 |+ |𝑐 ―𝑐 |．
𝑐 2 10 9 22 9 8 23 8 7 24 7 6 24 6 5
请直接写出𝑑 ，𝑑 ，𝑑 的大小关系，
𝑎 𝑏 𝑐
19.(本小题15分)
𝑥2 𝑦2 1 3
已知椭圆𝐶： + =1(𝑎>𝑏>0)的离心率为 ，(0, 3)为椭圆𝐶上一点，已知点𝑃(1, )．
𝑎2 𝑏2 2 2
君
(Ⅰ)求椭圆𝐶的方程；
卷
(Ⅱ)过点(1,0)的直线𝑙与椭圆𝐶交于两个不同的点𝑀，𝑁(均异于点𝑃).若直线𝑃𝑀，𝑃𝑁的斜率互为相反数，求
试
直线𝑙的方程．
中
20.(本小题15分)
高
1+𝑥+𝑎𝑥2
已知函数𝑓(𝑥)= ，其中𝑎>0． ：
𝑒𝑥
(Ⅰ)讨论函数𝑦=𝑓(𝑥)的单调性； 号
众
(Ⅱ)若𝑎=1，𝑡<0，设曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点𝐴(𝑡,𝑓(𝑡))处的切线交𝑥轴于点𝐵．
公
(𝑖)求出点𝐵的横坐标(用𝑡表示)；
(𝑖𝑖)已知点𝐻在𝑥轴上，且𝐴𝐻⊥𝑥轴，求证：存在唯一的点𝐴(𝑡,𝑓(𝑡))，使得△𝐴𝐻𝐵为等腰直角三角形．
21.(本小题15分)
已知数列𝐴：𝑎 ，𝑎 ，…，𝑎 (𝑛≥3)，定义：𝛤(𝐴)=∑𝑛―1|𝑎 ―𝑎|.从𝐴中选取第𝑖 项、第𝑖 项、…、第𝑖
1 2 𝑛 𝑖=1 𝑖+1 𝑖 1 2 𝑚
项(𝑖 <𝑖 <…<𝑖 ,2≤𝑚≤𝑛―1).则称数列𝑎 ,𝑎 ,⋯,𝑎 为𝐴的长度为𝑚的子列.若𝐴：𝑎 ，𝑎 ，…，𝑎 (𝑛≥3)
1 2 𝑚 𝑖 𝑖 𝑖 1 2 𝑛
1 2 𝑛
为1，2，…，𝑛的一个排列，则称数列𝐴具有性质𝑃．
(Ⅰ)已知𝐴：1，3，4，2，5，6，若数列𝐵是数列𝐴的长度为4的子列，写出𝑇(𝐵)的最大值和最小值；
(Ⅱ)已知数列𝐴：𝑎 ，𝑎 ，…，𝑎 具有性质𝑃，且存在唯一的长度为3的子列𝐵，使得𝑇(𝐵)=𝑇(𝐴)，求𝑇(𝐴)的
1 2 6
最小值；
(Ⅲ)已知数列𝐴：𝑎 ，𝑎 ，…，𝑎 具有性质𝑃，且𝑛为偶数，求𝑇(𝐴)的最大值，并直接写出当𝑇(𝐴)取得最大
1 2 𝑛
值时数列𝐴的个数．
第4页，共10页参考答案
1.𝐷
2.𝐵
3.𝐴
4.𝐷
5.𝐴
6.𝐵
7.𝐶
8.𝐶
9.𝐵
10.𝐷 君
11.(0,+∞) 卷
12.60 试
中
13.𝑝=1，𝑞=1(答案不唯一) 4
高
1 1
14. 𝑥3+ 𝑥
2 2
：
15.①②③
号
16.(Ⅰ)根据题意，甲机器的产品合格众率为 3 ，
4
公
3 3 9
从甲机器生产的产品中任取2件产品，2件产品都合格的概率𝑃= × = ；
4 4 16
(Ⅱ)根据题意，设从甲机器生产的产品中任取1件，该产品为合格品为事件𝐴，从乙机器生产的产品中任取1
件，该产品为合格品为事件𝐵，从丙机器生产的产品中任取1件，该产品为合格品为事件𝐶，
3 4 3
则𝑃(𝐴)= ，𝑃(𝐵)= ，𝑃(𝐶)= ．
4 5 5
― ― ― 3 4 3 3 4 3 3 4 3 9
则要求概率𝑃=𝑃(𝐴𝐵𝐶)+𝑃(𝐴𝐵𝐶)+𝑃(𝐴𝐵𝐶)= × ×(1― )+ ×(1― )× +(1― )× × = ；
4 5 5 4 5 5 4 5 5 20
(Ⅲ)根据题意，若三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，任取一件产品，
设该产品是甲生产的为事件𝐷 ，是乙生产的为事件𝐷 ，是丙生产的为事件𝐷 ，
1 2 3
这件产品合格为事件𝐸，
1 3 1 4 1 3 43
则𝑃(𝐸)=𝑃(𝐷 )𝑃(𝐸|𝐷 )+𝑃(𝐷 )𝑃(𝐸|𝐷 )+𝑃(𝐷 )𝑃(𝐸|𝐷 )= × + × + × = ．
1 1 2 2 3 3 3 4 3 5 3 5 60
第5页，共10页1
17.(𝐼)𝑓(―3)= ×(―3)3―(―3)2+9=―9，
3
𝑓′(𝑥)=𝑥2―2𝑥―3=(𝑥―3)(𝑥+1)，
故𝑓′(―3)=(―3―3)×(―3+1)=12，
故𝑦=𝑓(𝑥)在点(―3,𝑓(―3))处的切线方程为𝑦+9=12(𝑥+3)，
即12𝑥―𝑦+27=0；
(Ⅱ)令𝑓′(𝑥)=(𝑥―3)(𝑥+1)>0，得𝑥>3或𝑥<―1，
令𝑓′(𝑥)<0，得―1<𝑥<3，故𝑓(𝑥)在(―∞,―1)，(3,+∞)上单调递增，在(―1,3)上单调递减，
故𝑓(𝑥)在𝑥=―1处取得极大值，在𝑥=3处取得极小值，
1 5
极大值为𝑓(―1)=― ―1+3= ，极小值为𝑓(3)=9―9―9=―9；
3 3
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，𝑓(𝑥)在(―∞,―1)，(3,+∞)上单调递增，
君
在(―1,3)上单调递减，且𝑓(3)=𝑓(―3)=―9，
卷
要想𝑓(𝑥)在(𝑎,+∞)上存在最小值，故―3≤𝑎<3．
试
6 3
18.(𝐼)甲前10轮比赛中“命中靶心”的次数为6次，所中以甲“命中靶心”的概率为 = ，
10 5
高
3
所以估计甲在后10轮比赛中“命中靶心”的轮数为10× =6次；
： 5
(Ⅱ)乙前10轮比赛中只有第9，10获胜，其余8轮均没有取得胜利，故随机变量𝑋的值为0，1，2，
号
所以𝑃(𝑋=0)= 𝐶3 8 𝐶0 2= 7 ， 众
𝐶3 15
10
公
𝐶2𝐶1 7
𝑃(𝑋=1)= 8 2= ，
𝐶3 15
10
𝐶1𝐶2 1
𝑃(𝑋=1)= 8 2= ，
𝐶3 15
10
所以𝑋的分布列为：
𝑥 0 1 2
𝑃 7 715 1
7 7 1 3
所以𝐸(𝑋)=0× +1× +2× = ；
15 15 15 5
(Ⅲ)由题意得𝑎 =9.5，𝑎 =9.7，𝑎 =10.2，𝑎 =10.1，𝑎 =8.8，𝑎 =9.9，
10 9 8 7 6 5
1 1 1 1 1
所𝑑 = |9.5―9.7|+ |9.7―10.2|+ |10.2―10.1|+ |10.1―8.8|+ |8.8―9.9|
𝑎 2 22 23 24 24
1 1 1 1 1
= ×0.2+ ×0.5+ ×0.1+ ×1.3+ ×1.1=0.3875，
2 22 23 24 24
由题意可得𝑏 =10.4，𝑏 =10.5，𝑏 =9.4，𝑏=10.0，𝑏 =8.8，𝑏 =9.8，
10 9 8 6 5
第6页，共10页1 1 1 1 1
所以𝑑 = |10.4―10.5|+ |10.5―9.4|+ |9.4―10.0|+ |10.0―8.8|+ |8.8―9.8|
𝑎 2 22 23 24 24
1 1 1 1 1
= ×0.1+ ×1.1+ ×0.6+ ×1.2+ ×1.0=0.5375，
2 22 23 24 24
由题意可得𝑐 =8.5，𝑐 =10.5，𝑐 =7.5，𝑐 =8.7，𝑐 =10.3，𝑐 =8.5，
10 9 8 7 6 5
1 1 1 1 1
所以𝑑 = |8.5―10.5|+ |10.5―7.5|+ |7.5―8.7|+ |8.7―10.3|+ |10.3―8.5|
𝑎 2 22 23 24 24
1 1 1 1 1
= ×2+ ×3.0+ ×1.2+ ×1.6+ ×1.8=2.1125，
2 22 23 24 24
所以𝑑 <𝑑 <𝑑 ．
𝑎 𝑏 𝑐
19.(𝐼)由椭圆𝐶：𝑥2
+
𝑦2
=1，过点(0, 3)，
𝑎2 𝑏2
则𝑏= 3由椭圆𝐶的离心率为 1 ，得 𝑎2―𝑏2= 1 ，
2 𝑎 2
则𝑎=2，所以椭圆𝐶的方程为𝑥2 + 𝑦2 =1； 君
4 3
卷
(Ⅱ)依题意，直线𝑙的斜率存在，设方程为𝑦=𝑘(𝑥―1)，
试
𝑦=𝑘(𝑥―1)
由 消去𝑦得(4𝑘2+3)𝑥2―8𝑘2𝑥+4𝑘2―12=0，显然𝛥>0，
3𝑥2+4𝑦2=12 中
设𝑀(𝑥 ,𝑦 )，𝑁(𝑥 ,𝑦 )，则𝑥 +𝑥 = 8𝑘2 ，𝑥 𝑥 高 = 4𝑘2―12，
1 1 2 2 1 2 4𝑘2+3 1 2 4𝑘2+3
：
𝑦 ―3 𝑦 ―3
直线𝑃𝑀，𝑃𝑁的斜率分别为𝑘
𝑃𝑀
= 1 2，𝑘
𝑃𝑁
= 2 2，由𝑘
𝑃𝑀
+𝑘
𝑃𝑁
=0，
𝑥 ―1 号𝑥 ―1
1 2
得
𝑥
𝑦 1
―
―
1
3 2+
𝑥
𝑦 2
―
―
1
3 2=0，即(𝑥
2
―1)(𝑘𝑥
1
众―𝑘― 3
2
)+(𝑥
1
―1)(𝑘𝑥
2
―𝑘― 3
2
)=0，
1 2
公
3
整理得2𝑘𝑥 𝑥 ―(2𝑘+ )(𝑥 +𝑥 )+2𝑘+3=0，
1 2 2 1 2
则2𝑘⋅
4𝑘2―12
―(2𝑘+
3
)⋅
8𝑘2
+2𝑘+3=0，解得𝑘=
1
，
4𝑘2+3 2 4𝑘2+3 2
1
所以直线𝑙的方程为𝑦= (𝑥―1)，即𝑥―2𝑦―1=0．
2
20.(Ⅰ)𝑓(𝑥)=
1+𝑥+𝑎𝑥2
，其中𝑎>0，定义域为𝑅．
𝑒𝑥
𝑓′(𝑥)=
(1+2𝑎𝑥)𝑒𝑥―(1+𝑥+𝑎𝑥2)𝑒𝑥
=
―𝑎𝑥2+(2𝑎―1)𝑥
=
[―𝑎𝑥+(2𝑎―1)]𝑥，
𝑒2𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥
第7页，共10页1
令𝑓′(𝑥)=0，则𝑥=0或2― ，
𝑎
1 1
当0=2― 时，即𝑎= ，此时𝑓′(𝑥)≤0，所以𝑓(𝑥)在𝑅上单调递减；
𝑎 2
1 1 1
当0>2― 时，即0<𝑎< ，当𝑥<2― 时，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)单调递减，
𝑎 2 𝑎
1
当2― <𝑥<0时，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)单调递增，当𝑥>0时，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)单调递减，
𝑎
1 1
所以𝑓(𝑥)在(―∞,2― )，(0,+∞)上单调递减，𝑓(𝑥)在(2― ,0)上单调递减；
𝑎 𝑎
1 1
当0<2― 时，即𝑎> ，当𝑥<0时，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)单调递减，
𝑎 2
1
当0<𝑥<2― 时，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)单调递增，
𝑎
1
当𝑥>2― 时，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)单调递减，
𝑎
君
1 1
所以𝑓(𝑥)在(―∞,0)，(2― ,+∞)上单调递减，𝑓(𝑥)在(0,2― )上单调递减；
卷
𝑎 𝑎
1 试
综上：当𝑎= 时，𝑓(𝑥)在𝑅上单调递减；
2
中
1 1 1
当𝑎> 时，𝑓(𝑥)在(―∞,0)，(2― ,+∞)上单调递减，在(0,2― )上单调递减；
2 𝑎 高 𝑎
1 1 ： 1
当0<𝑎< 时，𝑓(𝑥)在(―∞,2― )，(0,+∞)上单调递减，𝑓(𝑥)在(2― ,0)上单调递减；
2 𝑎 𝑎
号
(Ⅱ)(𝑖)当𝑎=1时，𝑓(𝑥)= 1+𝑥+𝑥2 ，𝑓′(𝑥)= (―𝑥+1)𝑥，
𝑒𝑥 众 𝑒𝑥
当𝑥=𝑡时，𝑓(𝑡)= 1+𝑡+𝑡2 ，𝑓′(𝑡 公 )= (―𝑡+1)𝑡，
𝑒𝑡 𝑒𝑡
所以曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点𝐴(𝑡,𝑓(𝑡))处的切线方程为𝑦― 1+𝑡+𝑡2 = (―𝑡+1)𝑡 (𝑥―𝑡)，
𝑒𝑡 𝑒𝑡
令𝑦=0，则𝑥=
𝑡3+𝑡+1，所以点𝐵( 𝑡3+𝑡+1
,0)，
𝑡2―𝑡 𝑡2―𝑡
所以点𝐵的横坐标𝑡3+𝑡+1．
𝑡2―𝑡
(𝑖𝑖)证明：𝐴(𝑡,
1+𝑡+𝑡2
)，𝐵(
𝑡3+𝑡+1
,0)，
𝑒𝑡 𝑡2―𝑡
已知点𝐻在𝑥轴上，且𝐴𝐻⊥𝑥轴，
所以𝐻(𝑡,0)，若△𝐴𝐻𝐵为等腰直角三角形，则𝐴𝐻=𝐻𝐵，
即|
1+𝑡+𝑡2
―0|=|
𝑡3+𝑡+1
―𝑡|，则|
1+𝑡+𝑡2
|=|
𝑡2+𝑡+1
|，
𝑒𝑡 𝑡2―𝑡 𝑒𝑡 𝑡2―𝑡
因为𝑡<0，所以𝑒𝑡=𝑡2―𝑡，
画出𝑦=𝑒𝑡，𝑦=𝑡2―𝑡图象如图：
第8页，共10页结合图象可知，𝑦=𝑒𝑡，𝑦=𝑡2―𝑡在𝑡<0有一个交点，所以存在唯一的点𝐴(𝑡,𝑓(𝑡))，使得△𝐴𝐻𝐵为等腰直
君
角三角形．
卷
21.(𝐼)对于数列𝐴：1，3，4，2，5，6，长度为4的子列𝐵，𝑇(𝐵)=∑3 |𝑏 ―𝑏|．
𝑖=1 𝑖+1 𝑖
试
最大值：
中
构造子列使相邻项差值绝对值和最大．选子列1，4，2，6，
高
|4―1|+|2―4|+|6―2|=3+2+4=9．
：
最小值：
号
构造子列使相邻项差值绝对值和最小众．选子列3，4，5，6，
|4―3|+|5―4|+|6―5|=1公+1+1=3．
(𝐼𝐼)数列𝐴是1，2，3，4，5，6的排列，存在唯一长度为3的子列𝐵使𝑇(𝐵)=𝑇(𝐴)．
分析极端项(首、尾及中间“峰谷”项)，因唯一性，中间极端项必为1或6．
若中间极端项为1，设两端含6，构造数列如2，1，3，4，5，6，
𝑇(𝐴)=|1―2|+|3―1|+|4―3|+|5―4|+|6―5|=1+2+1+1+1=6．
若中间极端项为6，构造数列如1，6，5，4，3，2，𝑇(𝐴)更大(计算得9)．
故𝑇(𝐴)最小值为6．
(𝐼𝐼𝐼)𝑛为偶数，设𝑛=2𝑘，将数分为两组𝑀={1,2,⋯,𝑘}，𝑁={𝑘+1,𝑘+2,⋯,2𝑘}．
构造数列使𝑇(𝐴)最大：需交替“峰谷”，即𝑎 <𝑎 >𝑎 <𝑎 >⋯>𝑎 <𝑎 (或反向)．
1 2 3 4 2𝑘―1 2𝑘
𝑇(𝐴)=(𝑎 2 ―𝑎 1 )+(𝑎 2 ―𝑎 3 )+(𝑎 4 ―𝑎 3 )+(𝑎 4 ―𝑎 5 )+⋯+(𝑎 2𝑘 ―𝑎 2𝑘―1 )化简得𝑇(𝐴)=2(𝑎 2 +𝑎 4 +⋯+
𝑎 )―2(𝑎 +𝑎 +⋯+𝑎 )+𝑎 ―𝑎 ．
2𝑘―2 3 5 2𝑘―1 2𝑘 1
取𝑎 =𝑘，𝑎 =𝑘+1，{𝑎 ,𝑎 ,⋯,𝑎 }={𝑘+2,⋯,2𝑘}，{𝑎 ,𝑎 ,⋯,𝑎 }={1,⋯,𝑘―1}，
1 2𝑘 2 4 2𝑘―2 3 5 2𝑘―1
第9页，共10页𝑛2
此时𝑇(𝐴)最大值为 ―1．
2
𝑛
{𝑎 ,𝑎 ,⋯,𝑎 }与{𝑎 ,𝑎 ,⋯,𝑎 }各自排列数为( ―1)!，因有𝑎 <𝑎 和𝑎 >𝑎 两种方向，
2 4 2𝑘―2 3 5 2𝑘―1 2 1 2 1 2
𝑛
总数为2[( ―1)!]2．
2
君
卷
试
中
高
：
号
众
公
第10页，共10页
