1月高三质监考(数学DA)_2024届琢名小渔河北省高三年级质量监测考试_琢名小渔河北省2024届高三年级质量监测考试数学

２０２４届高三年级质量监测考试 数学答案与解析 １．【答案】Ｄ 【解析】集合Ｍ＝{ｘ｜ｘ２－１≥０}＝{ｘ｜ｘ≥１或ｘ≤－１}，所以Ｍ∩Ｎ＝{ｘ｜１≤ｘ＜２}． 故选：Ｄ． ２．【答案】Ｃ －１ －（２＋ｉ） ２ １ 【解析】由已知ｚ（２－ｉ）＝ｉ２＝－１，所以ｚ＝ ＝ ＝－ － ｉ， ２－ｉ （２－ｉ）（２＋ｉ） ５ ５ ２ １ ｚ对应点坐标为（－ ，－ ），在第三象限，故选Ｃ． ５ ５ ３．【答案】Ａ 【解析】（法一）设ａ与ａ－ｂ夹角为θ．因为｜ｂ｜＝ （ａ－ｂ）－ａ， 得｜ｂ｜２ ＝ （ａ－ｂ）－ａ２＝（ａ－ｂ）２－２（ａ－ｂ）·ａ＋ａ２＝｜ａ－ｂ｜２－２｜ａ－ｂ｜·｜ａ｜ｃｏｓθ＋｜ａ｜２ ＝１－４ｃｏｓθ＋４ 当ｃｏｓθ＝－１时，｜ｂ｜２最大值９，｜ｂ｜的最大值３，故选：Ａ． → → （法二）因为｜ａ｜＝２，如图设ａ＝ＯＡ，ｂ＝ＯＢ， 由｜ａ－ｂ｜＝１知点Ｂ在以Ａ为圆心１为半径的圆上， 当点Ｂ与Ｏ、Ａ在一条直线，位于图中Ｂ′位置时， ｜ｂ｜的最大值３，故选：Ａ． ４．【答案】Ｂ 【解析】（法一）由题意{Ｓ －Ｓ}为Ｓ－Ｓ，Ｓ－Ｓ，Ｓ－Ｓ，Ｓ－Ｓ，…， ｎ＋２ ｎ ３ １ ４ ２ ５ ３ ６ ４ 即ａ＋ａ，ａ＋ａ，ａ＋ａ，ａ＋ａ，…， ２ ３ ３ ４ ４ ５ ５ ６ {Ｓ －Ｓ}（ｎ∈Ｎ）不是等比数列，则ａ＋ａ＝ａ＋ａ＝ａ＋ａ＝ａ＋ａ＝０， ｎ＋２ ｎ ２ ３ ３ ４ ４ ５ ５ ６ {ａ}为２，－２，２，－２，２，－２，…，则Ｓ ＝２，故选：Ｂ． ｎ ２０２３ （法二）{ａ}为等比数列，ａ＝２，设公比ｑ， ｎ １ 当ｑ＝１时，ａ＝２，则Ｓ －Ｓ＝４，{Ｓ －Ｓ}为等比数列，不符合题意， ｎ ｎ＋２ ｎ ｎ＋２ ｎ ａ（１－ｑｎ） ａ（１－ｑｎ＋２） ａ（１－ｑｎ） ａｑｎ（１－ｑ２） 当ｑ≠±１时，可得Ｓ＝ １ ，则Ｓ －Ｓ＝ １ － １ ＝ １ ， ｎ １－ｑ ｎ＋２ ｎ １－ｑ １－ｑ １－ｑ ａｑｎ＋１（１－ｑ２） １ Ｓ －Ｓ １－ｑ 则 ｎ＋３ ｎ＋１＝ ＝ｑ Ｓ －Ｓ ａｑｎ（１－ｑ２） ｎ＋２ ｎ １ １－ｑ ａｑｎ（１－ｑ２） {Ｓ －Ｓ}（ｎ∈Ｎ）不是等比数列，则Ｓ －Ｓ＝ １ ＝０，则ｑ２＝１，ｑ＝－１， ｎ＋２ ｎ ｎ＋２ ｎ １－ｑ { ２ ｎ∈Ｎ，ｎ为奇数 则数列为ａ＝ ，则Ｓ ＝２，故选：Ｂ． ｎ －２ ｎ∈Ｎ，ｎ为偶数 ２０２３ （法三）由题意知：Ｓ －Ｓ＝ａ ＋ａ ＝ａ （ｑ＋１），所以数列{ａ （ｑ＋１）}不是等比数 ｎ＋２ ｎ ｎ＋１ ｎ＋２ ｎ＋１ ｎ＋１ 列，而ａ ≠０，所以ｑ＝－１，故Ｓ ＝ａ ＝２． ｎ＋１ ２０２３ ２０２３ 【 ·高三年级质监考试———数学答案 第１页（共１０页）】 {#{QQABJQqEogCoAAJAAAgCAwH4CgMQkBEACIoGBEAMoAAASQFABAA=}#} 书书书５．【答案】Ｂ 【解析】４种色彩设为１、２、３、４，正面相邻区域不能同色必定用三种颜色，则有 Ａ３种不同方 ４ 法，对于Ａ３中的一种再考虑反面设计，如正面用三色为１、２、３，则反面颜色也可选１、２、３，但 ４ 与正面不能同色，故对应为２、３、１和３、１、２两种．反面颜色也能选１、２、４，与正面１、２、３对应 分别为２、１、４，２、４、１，４、１、２三种．同理反面颜色选１、３、４也为３种，反面选２、３、４也为３种， 则正面用三色为１、２、３，反面颜色对应有１１种，所以双面绣不同色彩设计方法共有Ａ３×１１＝ ４ ２６４种．故选：Ｂ． ６．【答案】Ｄ 【解析】由题意可知点Ａ、Ｏ、Ｍ在一条直线上． 由｜ＡＯ｜＝３｜ＯＭ｜，得｜ＡＦ｜＝３｜ＦＢ｜． （法一）过点Ａ作ＡＮ垂直与ｘ＝－１于点Ｎ，作ＢＤ⊥ＡＮ于点Ｄ， 因为 Ｃ：ｙ２＝４ｘ得 ＡＦ＝ＡＮ＝３ｒ，ＢＦ＝ＢＭ＝ｒ，所以 ＡＢ＝４ｒ， ＡＤ＝ＡＮ－ＢＭ＝２ｒ，则 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，∠ＤＡＢ＝６０°，则直线ｌ的斜率为槡３，故选：Ｄ． ４ （法二）设直线ｌ：ｙ＝ｋ（ｘ－１）与ｙ２＝４ｘ联立得ｙ２－ ｙ－４＝０． ｋ ４ 设Ａ（ｘ，ｙ），Ｂ（ｘ，ｙ），则ｙ＋ｙ＝ ，ｙｙ＝－４， １ １ ２ ２ １ ２ ｋ １２ 由｜ＡＦ｜＝３｜ＦＢ｜得ｙ＝－３ｙ， １ ２ ４ ｙ＋ｙ＝  １ ２ ｋ 由ｙｙ＝－４ ，解得ｋ＝槡３，故选：Ｄ．  １２ ｙ＝－３ｙ １ ２ （法三）设Ａ（ｘ，ｙ），Ｂ（ｘ，ｙ）， １ １ ２ ２ ｙ２＝４ｘ ① １ １ ｙ２＝４ｘ９ｙ２＝３６ｘ ② ２ ２ ２ ２ ①－②得（ｙ－３ｙ）（ｙ＋３ｙ）＝４（ｘ－９ｘ） ③ １ ２ １ ２ １ ２ → → 由｜ＡＦ｜＝３｜ＦＢ｜得ＡＦ＝３ＦＢ，（１－ｘ，－ｙ）＝３（ｘ－１，ｙ）， １ １ ２ ２ ｘ＋３ｘ＝４，ｙ＋３ｙ＝０． １ ２ １ ２ 代入③得ｘ－９ｘ＝０，解得ｘ＝３，ｙ＝２槡３， １ ２ １ １ 则直线ＡＢ的斜率为槡３，故选：Ｄ． ７．【答案】Ｃ ２π 【解析】由图可知φ＝ ，依题意可得ω＞０， ３ π ２π ２πωπ ２π 因为ｘ∈（０， ］，所以ωｘ＋ ∈（ ， ＋ ］． ２ ３ ３ ２ ３ ２π 又ｙ＝ｓｉｎｘ，ｘ∈（ ，３π］的图象如下所示： ３ 【 ·高三年级质监考试———数学答案 第２页（共１０页）】 {#{QQABJQqEogCoAAJAAAgCAwH4CgMQkBEACIoGBEAMoAAASQFABAA=}#}π 要使函数在区间（０， ］恰有一条对称轴和一个对称中心， ２ ３π ωπ ５ ８ 则 ≤ ＜２π，解得 ≤ω＜ ，故选：Ｃ． ２ ２ ３ ３ ８．【答案】Ｂ １ {２ｘ－１ ｘ≥ ２ 【解析】ｆ（ｘ）＝ ２ｘ－１ ＝ ，又ｆ（ｆ（ｘ））＝ ２ｆ（ｘ）－１， １ １－２ｘ ｘ＜ ２ １ １ 则ｘ∈［０， ］时，ｆ（ｘ）＝ ２ｘ－１ ＝１－２ｘ∈［ ，１］， ４ ２ ｆ（ｆ（ｘ））＝２ｆ（ｘ）－１＝２（１－２ｘ）－１＝１－４ｘ， １ １ １ ｘ∈［ ， ］时，ｆ（ｘ）＝ ２ｘ－１ ＝１－２ｘ∈［０， ］， ４ ２ ２ ｆ（ｆ（ｘ））＝１－２ｆ（ｘ）＝１－２（１－２ｘ）＝４ｘ－１， １ ３ １ ｘ∈［ ， ］时，ｆ（ｘ）＝ ２ｘ－１ ＝２ｘ－１∈［０， ］， ２ ４ ２ ｆ（ｆ（ｘ））＝１－２ｆ（ｘ）＝１－２（２ｘ－１）＝３－４ｘ， ３ １ ｘ∈［ ，１］时，ｆ（ｘ）＝ ２ｘ－１ ＝２ｘ－１∈［ ，１］， ４ ２ ｆ（ｆ（ｘ））＝２ｆ（ｘ）－１＝２（２ｘ－１）－１＝４ｘ－３， 得图像如右图所示． 故曲线ｙ＝ｆ（ｆ（ｘ）） ｘ∈［０，１］与ｙ＝１ １ 围成的面积为 ．故选：Ｂ． ２ ９．【答案】ＡＤ １０．【答案】ＣＤ 【解析】ｆ′（ｘ）＝３ｘ２＋１，若Ａ点是切点，则ｆ′（１）＝４， 切线方程为ｙ－２＝４（ｘ－１），即４ｘ－ｙ－２＝０，故Ｃ正确． 若Ａ点不是切点，设切点Ｂ（ｔ，ｔ３＋ｔ）且ｆ′（ｘ）＝３ｘ２＋１，则Ｂ处切线斜率为ｆ′（ｔ）＝３ｔ２＋１， ｔ３＋ｔ－２ 也可用Ａ、Ｂ两点坐标，求直线ＡＢ的斜率为 ． ｔ－１ ｔ３＋ｔ－２ 则３ｔ２＋１＝ ，３ｔ３－３ｔ２＋ｔ－１＝ｔ３＋ｔ－２， ｔ－１ １ ５ １ ７ 解得点Ｂ为（－ ，－ ），故切线斜率为ｆ′（－ ）＝ ， ２ ８ ２ ４ 所以切线方程为７ｘ－４ｙ＋１＝０，故Ｄ正确．故选：ＣＤ． 【 ·高三年级质监考试———数学答案 第３页（共１０页）】 {#{QQABJQqEogCoAAJAAAgCAwH4CgMQkBEACIoGBEAMoAAASQFABAA=}#}１１．【答案】ＡＢ １２．【答案】ＢＣ 【解析】（法一）由题意点Ｂ、点Ｃ到α的距离均为３， ∴ＢＣ∥α 设ＢＣ中点为Ｍ，Ｍ、Ｄ在α内投影为Ｍ′，Ｄ′， 则ＭＭ′＝３，ＤＤ′＝２， 槡３ 槡３ 正四面体中设ＡＤ＝ｘ，则ＡＭ＝ ｘ，ＭＤ＝ ｘ， ２ ２ ｃｏｓ∠ＭＡＤ＝ｃｏｓ（∠ＭＡＭ′－∠ＤＡＤ′） ３ １ 槡 ４ ｘ２－９ 槡ｘ２－４ ３ ２ 得 ＝ · ＋ · 槡３ 槡３ ｘ 槡３ ｘ ｘ ｘ ２ ２ 解得ｘ＝２槡３，故Ｃ正确； ＭＨ １ 则面ＡＢＣ⊥面α， ＝ ，故Ｂ正确． ＭＤ ３ → → → （法二）设α的单位法向量ｎ＝ｘＡＢ＋ｙＡＣ＋ｚＡＤ，ＡＢ ＝ａ ａ２ ａ２ ａ２ｘ＋ ｙ＋ ｚ＝３ ２ {  Ａ → Ｂ·ｎ＝３  ２ ２   ｘ＝ ａ２ → ａ２ ａ２  则 ＡＣ·ｎ＝３ 得 ｘ＋ａ２ｙ＋ ｚ＝３ 解得 ２ ２ ２ ｙ＝ →   ａ２ ＡＤ·ｎ＝２ ａ２ ｘ＋ ａ２ ｙ＋ａ２ｚ＝２   ｚ＝０ ２ ２ ２→ ２→ ２→ ２→ ∴ｎ＝ ＡＢ＋ ＡＣ ∴ｎ２＝（ ＡＢ＋ ＡＣ）２＝１得ａ２＝１２，ａ＝２槡３． ａ２ ａ２ ａ２ ａ２ １３．【答案】４，－４ 【解析】含ｘ３的项为：ｘ２·Ｃ３·ｘ·（－１）３＋４ｘ·Ｃ２·ｘ２·（－１）２＋４·Ｃ１·ｘ３·（－１）＝－４ｘ３ ４ ４ ４ ＋２４ｘ３－１６ｘ３，故ａ＝４； ３ 令ｘ＝０，即４＝ａ， ０ 令ｘ＝１，即０＝ａ＋ａ＋ａ＋ａ＋ａ＋ａ＋ａ， ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ∴ａ＋ａ＋ａ＋ａ＋ａ＋ａ＝－４， １ ２ ３ ４ ５ ６ 故答案为：４；－４． ３ １４．【答案】－ ２ θ θ θ θ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ｓｉｎθ ｓｉｎθ ２ ２ ２ ２ 【解析】（法一） － ＝ － １－ｃｏｓθ １＋ｃｏｓθ θ θ θ θ １－（ｃｏｓ２ －ｓｉｎ２ ） １＋（ｃｏｓ２ －ｓｉｎ２ ） ２ ２ ２ ２ θ θ θ θ θ θ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ｃｏｓ ｓｉｎ ２ ２ ２ ２ ２ ２ １ θ ＝ － ＝ － ＝ －ｔａｎ θ θ θ θ θ ２ ２ｓｉｎ２ ２ｃｏｓ２ ｓｉｎ ｃｏｓ ｔａｎ ２ ２ ２ ２ ２ １ ３ ＝ －２＝－ ２ ２ 【 ·高三年级质监考试———数学答案 第４页（共１０页）】 {#{QQABJQqEogCoAAJAAAgCAwH4CgMQkBEACIoGBEAMoAAASQFABAA=}#}θ ２ｔａｎ θ ２ ２×２ ４ （法二）因为ｔａｎ ＝２，所以ｔａｎθ＝ ＝ ＝－ ， ２ θ １－４ ３ １－ｔａｎ２ ２ ｓｉｎθ ｓｉｎθ ２ｓｉｎθｃｏｓθ ２ｓｉｎθｃｏｓθ ２ｓｉｎθｃｏｓθ ２ｃｏｓθ 则 － ＝ ＝ ＝ ＝ １－ｃｏｓθ １＋ｃｏｓθ （１－ｃｏｓθ）（１＋ｃｏｓθ） １－ｃｏｓ２θ ｓｉｎ２θ ｓｉｎθ ３ ３ ＝２×（－ ）＝－ ４ ２ ３ 故答案为：－ ． ２ １９槡３π １５．【答案】 ８１ ｅｎ－１ １６．【答案】 ｌｏｇｅ ｅｎ－ｅｎ－１ ４ 【解析】设Ｐ（ｘ，０），则Ｑ（ｘ，ｆ（ｘ）），因为ｆ（ｘ）＝２ｘ， ｎ ｎ ｎ ｎ ｎ 所以ｆ′（ｘ）＝２ｘｌｎ２， 则Ｑ（ｘ，ｆ（ｘ））处切线为ｙ＝２ｘｎｌｎ２（ｘ－ｘ）＋２ｘｎ， ｎ ｎ ｎ ｎ 切线与ｘ轴相交得Ｐ （ｘ ，０）， ｎ＋１ ｎ＋１ １ ｎ－１ ｘ －ｘ＝－ ，因为ｘ＝０得ｘ＝－ ， ｎ＋１ ｎ ｌｎ２ １ ｎ ｌｎ２ １ 所以ＰＰ＝ＰＰ＝…＝ＰＰ ＝ ， １ ２ ２ ３ ｎ ｎ＋１ ｌｎ２ ｆ（ｘ）＝２－ｎ ｌｎ － ２ １ ＝ １ ， ｎ ｅｎ－１ １ １ １ １ １ １ 所以Ｓ ＋Ｓ ＋…＋Ｓ ＝ · （１＋ ＋ ＋ ＋…＋ ） △Ｐ１Ｑ１Ｐ２ △Ｐ２Ｑ２Ｐ３ △ＰｎＱｎＰｎ＋１ ２ ｌｎ２ ｅ ｅ２ ｅ３ ｅｎ－１ １ １－ １ １ １ １ １ １ ｅｎ １ ｅｎ－１ ｅｎ－１ ＝ （１＋ ＋ ＋ ＋…＋ ）＝ · ＝ · ＝ ｌｏｇｅ ２ｌｎ２ ｅ ｅ２ ｅ３ ｅｎ－１ ２ｌｎ２ １ ２ｌｎ２ ｅｎ－ｅｎ－１ ｅｎ－ｅｎ－１ ４ １－ ｅ ｅｎ－１ 故答案为： ｌｏｇｅ（其它形式只要正确均得分）． ｅｎ－ｅｎ－１ ４ Ａ＋Ｃ Ｂ π １７．解：（１）△ＡＢＣ中Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π， ＋ ＝ ， ２ ２ ２ Ａ＋Ｃ Ｂ 所以ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ，ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）， !!!!!!!!!!!!!!!!!! ２分 ２ ２ Ｂ Ａ＋Ｃ 又因为ｓｉｎ ｓｉｎ 是ｓｉｎ（Ｂ－Ａ）与ｓｉｎＣ的等差中项， ２ ２ Ｂ Ｂ 得２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｓｉｎ（Ｂ－Ａ）＋ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ（Ｂ－Ａ）＋ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）， ２ ２ Ｂ Ｂ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝２ｓｉｎＢｃｏｓＡ， ２ ２ ｓｉｎＢ＝２ｓｉｎＢｃｏｓＡ， 【 ·高三年级质监考试———数学答案 第５页（共１０页）】 {#{QQABJQqEogCoAAJAAAgCAwH4CgMQkBEACIoGBEAMoAAASQFABAA=}#}１ ｃｏｓＡ＝ （０＜Ａ＜π），!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４分 ２ π Ａ＝ ．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５分 ３ ＢＤ ＡＢ ｃ （２）由题意得， ＝ ＝２，即 ＝２，所以ｃ＝２ｂ， !!!!!!!!!!!!!!! ６分 ＤＣ ＡＣ ｂ 因为Ｓ ＋Ｓ ＝Ｓ ， △ＡＢＤ △ＡＣＤ △ＡＢＣ １ １ １ 所以 ｂｓｉｎ３０°＋ ｃｓｉｎ３０°＝ ｂｃｓｉｎ６０°，所以ｂ＋ｃ＝槡３ｂｃ． ２ ２ ２ 槡３ 因为ｃ＝２ｂ，所以ｂ＝ ，ｃ＝槡３，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８分 ２ １ ３槡３ 所以Ｓ ＝ ｂｃｓｉｎ６０°＝ ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １０分 △ＡＢＣ ２ ８ １８．解：（１）∵ａ －ａ＝２ｎ， ｎ＋１ ｎ ∴ａ－ａ＝２，ａ－ａ＝４，…，ａ－ａ ＝２（ｎ－１）．!!!!!!!!!!!!!!! ２分 ２ １ ３ ２ ｎ ｎ－１ 由上述ｎ－１个等式相加得ａ－ａ＝２＋４＋…＋２（ｎ－２）＋２（ｎ－１）， ｎ １ ∴ａ＝１＋２＋４＋…＋２（ｎ－１）＝ｎ（ｎ－１）＋１＝ｎ２－ｎ＋１， !!!!!!!!!!! ５分 ｎ １ （２）ａ＝１，ａ＝ｎ２－ｎ＋１＞０，所以 ＞０， １ ｎ ａ ｎ １ １ １ １ １ Ｓ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ≥ ＝１，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７分 ｎ ａ ａ ａ ａ ａ １ ２ ３ ｎ １ １ １ １ ( １ １) 当ｎ≥２时， ＝ ＜ ＝ － ， !!!!!!!!!!!! ９分 ａ ｎ（ｎ－１）＋１ ｎ（ｎ－１） ｎ－１ ｎ ｎ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ ∴ ＜１－ ， ＜ － ， ＜ － ，…， ＜ － ． ａ ２ ａ ２ ３ ａ ３ ４ ａ ｎ－１ ｎ ２ ３ ４ ｎ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ Ｓ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＜１＋１－ ＋ － ＋…＋ － ＝２－ ＜２． ｎ ａ ａ ａ ａ ２ ２ ３ ｎ－１ ｎ ｎ １ ２ ３ ｎ 综上，１≤Ｓ＜２，得证．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２分 ｎ １９．解：（１）梯形ＰＡＢＣ中，ＡＢ∥ＰＣ，∠Ｂ＝９０°， ∵ＰＤ＝２，Ｍ为ＰＤ中点， ∴四边形ＡＢＣＭ为矩形， ∴ＰＭ＝１，又∵ＰＡ＝２， ∴∠Ｐ＝６０°， △ＰＡＤ为等边三角形， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２分 ∴ＳＤ⊥ＡＭ， 又∵ＳＤ⊥ＣＤ，ＣＤ∥ＡＢ， ∴ＳＤ⊥ＡＢ， ∴ＳＤ⊥面ＡＭＢ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４分 ∵ＳＤ面ＳＡＤ， ∴平面ＡＭＢ⊥平面ＳＡＤ； !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５分 （２）由（１）知△ＳＡＤ为等边三角形， ∴△ＢＡＤ为等边三角形， 取ＡＤ的中点Ｏ， 【 ·高三年级质监考试———数学答案 第６页（共１０页）】 {#{QQABJQqEogCoAAJAAAgCAwH4CgMQkBEACIoGBEAMoAAASQFABAA=}#}得ＳＯ⊥ＡＤ，ＳＯ＝槡３，ＢＯ＝槡３， ∵ＳＢ＝槡６， ∴ＳＯ⊥ＯＢ， ∴ＳＯ⊥面ＡＢＣＤ．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７分 以Ｏ为原点，分别以ＯＡ、ＯＢ、ＯＳ所在直线为ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴建立如图所示的坐标系，得 ３槡３ Ｂ（０，槡３，０），Ｃ（－ ， ，０），Ｓ（０，０，槡３） !!!!!!!! ８分 ２ ２ → → ３槡３ ＳＢ＝（０，槡３，－槡３），ＳＣ＝（－ ， ，－槡３）， ２ ２ 设平面ＳＢＣ的法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ） {ｎ·  Ｓ → Ｂ＝０ {槡３ｙ－槡３ｚ＝０ ∴ 得 → ３ 槡３ ｎ·ＳＣ＝０ － ｘ＋ ｙ－槡３ｚ＝０ ２ ２ 可取ｎ（１，－槡３，－槡３）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １０分 → 取平面ＳＡＤ的法向量为ＯＢ＝（０，槡３，０） → → ｎ·ＯＢ －３ 槡２１ ｃｏｓ＜ｎ，ＯＢ＞ ＝ → ＝ ＝ !!!!!!!!!!!!! １１分 ｎ· ＯＢ 槡７×槡３ ７ 槡２１ ∴平面ＳＡＤ与平面ＳＢＣ夹角的余弦值为 ．!!!!!!!!!!!!!!!! １２分 ７ ａ ２０．解：（１）ｆ（ｘ）＝ｘｅｘ－ａｌｎｘ－１，得ｆ′（ｘ）＝（ｘ＋１）ｅｘ－ ， ｘ 所以ｆ′（１）＝２ｅ－ａ．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２分 函数ｆ（ｘ）＝ｘｅｘ－ａｌｎｘ－１在ｘ＝１处的切线斜率为２ｅ－１． ２ｅ－ａ＝２ｅ－１，得ａ＝１．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４分 （２）（法一）由（１）得ｆ（ｘ）＝ｘｅｘ－ｌｎｘ－１．证明ｆ（ｘ）≥ｘ，即证ｘｅｘ－ｌｎｘ－１≥ｘ， 即ｅｌｎｘ＋ｘ≥ｌｎｘ＋ｘ＋１，设ｌｎｘ＋ｘ＝ｔ，即证ｅｔ≥ｔ＋１．!!!!!!!!!!!!!!! ７分 下面证明ｅｔ≥ｔ＋１成立： 构造函数ｇ（ｔ）＝ｅｔ－ｔ－１，求导得ｇ′（ｔ）＝ｅｔ－１， 则ｔ∈（－∞，０）时，ｇ′（ｔ）＜０，ｇ（ｔ）单调递减； ｔ∈（０，＋∞）时，ｇ′（ｔ）＞０，ｇ（ｔ）单调递增．!!!!!!!!!!!!!!!!!! １０分 故函数ｇ（ｔ）≥ｇ（０）＝０，即ｅｔ≥ｔ＋１恒成立， 得ｅｌｎｘ＋ｘ≥ｌｎｘ＋ｘ＋１，所以ｘｅｘ－ｌｎｘ－１≥ｘ，ｆ（ｘ）≥ｘ得证．!!!!!!!!!!! １２分 （法二）令ｕ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｘ＝ｘｅｘ－ｌｎｘ－１－ｘ，ｘ∈（０，＋∞）， １ １ 则ｕ′（ｘ）＝ｅｘ＋ｘｅｘ－ －１＝（１＋ｘ）（ｅｘ－ ），ｘ＞０， ｘ ｘ １ １ １ 设ｙ＝ｅｘ－ ，则ｙ′＝ｅｘ＋ ＞０，则ｙ＝ｅｘ－ 单调递增， !!!!!!!!!!!! ６分 ｘ ｘ２ ｘ １ 当ｘ＝ 时，ｙ＝槡ｅ－２＜０， ２ 当ｘ＝１时，ｙ＝ｅ－１＞０， 【 ·高三年级质监考试———数学答案 第７页（共１０页）】 {#{QQABJQqEogCoAAJAAAgCAwH4CgMQkBEACIoGBEAMoAAASQFABAA=}#}１ 故存在唯一ｘ＞０使得ｅｘ０－ ＝０，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８分 ０ ｘ ０ 又因１＋ｘ＞０，所以当ｘ＞ｘ时，ｕ′（ｘ）＞０， ０ 当ｘ＜ｘ时，ｕ′（ｘ）＜０， ０ 故ｕ（ｘ）在（０，ｘ）上单调递减，在（ｘ，＋∞）上单调递增， ０ ０ ∴ｕ（ｘ）≥ｕ（ｘ）＝ｘｅｘ０－ｌｎｘ－１－ｘ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １０分 ０ ０ ０ ０ １ 又ｅｘ０＝ ，即ｘｅｘ０＝１，即ｌｎｘ＋ｘ＝０，故ｕ（ｘ）＝０， ｘ ０ ０ ０ ０ ０ ∴ｕ（ｘ）≥０，ｆ（ｘ）≥ｘ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２分 ２１．解：（１）分别计算甲乙运动员在平均成绩ｘ，ｘ和方差ｓ，ｓ， 甲 乙 甲 乙 ５＋６３＋９５＋９２＋６ ｘ ＝ ＝７２， 甲 ５ ７２＋７３＋６６＋７＋７９ ｘ ＝ ＝７２， !!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１分） 乙 ５ １ 而ｓ２ ＝ ［（７２－５）２＋（６３－７２）２＋（９５－７２）２＋（９２－７２）２＋（６－７２）２］＝３２７６ 甲 ５ １ ｓ２ ＝ ［（７２－７２）２＋（７３－７２）２＋（６６－７２）２＋（７－７２）２＋（７９－７２）２］＝０１８， 乙 ５ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ３分 因为ｘ ＝ｘ，ｓ２ ＞ｓ２，所以在平均数一样的条件下，乙的水平更为稳定，但考虑甲乙水平均 甲 乙 甲 乙 不靠前，再加上中国乒乓球运动员的世界领先水平，我认为不应派成绩稳定的乙去参赛，应 该派甲去，有可能超常发挥取得更好成绩．!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４分 （２）设比赛局数为随机变量Ｘ，由题意知Ｘ的可能取值必须为偶数：２、４、６……２０． １ １ １ １ １ 则Ｐ（Ｘ＝２）＝ × ＋ × ＝ ， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５分 ２ ２ ２ ２ ２ 当Ｘ＝４时，说明前两局二人各胜一局，然后第三局和第四局均为甲胜或均为乙胜，且前两 １ １ １ 局二人各胜一局的概率为２× × ＝ ． ２ ２ ２ １ １ １ １ １ １ 故Ｐ（Ｘ＝４）＝ ×（ × ＋ × ）＝ ．!!!!!!!!!!!!!!!!! ６分 ２ ２ ２ ２ ２ ４ 发现，当４≤Ｘ≤１８时，双方前两局，前四局，……到前 Ｘ－２局甲乙胜负局数均相同，且第 Ｘ－１局，第Ｘ局均为甲胜或乙胜，于是设Ｘ＝２ｎ（ｎ∈Ｎ，２≤ｎ≤９） １ １ １ １ １ １ １ Ｐ（Ｘ＝２ｎ）＝２×（２× × ）ｎ－１（ × ）＝ ×（ ）ｎ－１＝（ ）ｎ． ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ 显然ｎ＝１时，也满足上式． 而ｎ＝２０时，说明双方前两局，前四局，……到前１８局甲乙胜负局数均相同， １ １ １ Ｐ（Ｘ＝２０）＝（２× × ）９＝（ ）９． ２ ２ ２ 故Ｘ的分布列为 Ｘ ２ ４ ６ ８ …… １８ ２０ １ １ １ １ １ １ Ｐ （ ）２ （ ）３ （ ）４ （ ）９ （ ）９ ２ ２ ２ ２ ２ ２ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ９分 【 ·高三年级质监考试———数学答案 第８页（共１０页）】 {#{QQABJQqEogCoAAJAAAgCAwH4CgMQkBEACIoGBEAMoAAASQFABAA=}#}１ １ １ １ １ １ 故Ｘ的数学期望Ｅ（Ｘ）＝２× ＋４× ＋６× ＋８× ＋…＋１８× ＋２０× ． ２ ２２ ２３ ２４ ２９ ２９ １ １ １ １ １ 设Ｙ＝２× ＋４× ＋６× ＋８× ＋…＋１８× ① ２ ２２ ２３ ２４ ２９ １ １ １ １ １ １ 则 Ｙ＝２× ＋４× ＋６× ＋８× ＋…＋１８× ② ２ ２２ ２３ ２４ ２５ ２１０ ①－②得 １ １ １ １ １ １ １ １ Ｙ＝２× ＋２× ＋２× ＋２× ＋８× ＋…＋２× －１８× ２ ２ ２２ ２３ ２４ ２５ ２９ ２１０ １ １ １ １ １ １ １ ＝２（ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ）－１８× ２ ２２ ２３ ２４ ２５ ２９ ２１０ １ １ （１－ ） ２ ２９ １ １１ ＝２× －１８× ＝２－ １ ２１０ ２９ １－ ２ １１ Ｙ＝４－ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １０分 ２８ １ １１ １ １ １０２３ Ｅ（Ｘ）＝Ｙ＋２０× ＝４－ ＋２０× ＝４－ ＝ ． ２９ ２８ ２９ ２８ ２５６ １０２３ 所以需要进行的比赛局数的数学期望为 ．!!!!!!!!!!!!!!!! １２分 ２５６ ２２．解：（１）选结论一证明， ｘ２ ｙ２ Ｍ（ｘ，ｙ）为椭圆Ｃ： ＋ ＝１上一动点， ０ ０ ４ ３ ｘ２ ｙ２ ｙ２ ｘ２ ３ｘ２ 所以 ０＋ ０＝１，得 ０＝１－ ０，即ｙ２＝３－ ０．!!!!!!!!!!!!!!!!! ２分 ４ ３ ３ ４ ０ ４ 动点Ｍ与定点Ｆ（－１，０）的距离和Ｍ到定直线ｘ＝－４的距离的比为 １ ３ｘ２ ４ｘ２＋８ｘ＋１６－３ｘ２ ｘ２＋８ｘ＋１６ 槡（ｘ＋１）２＋ｙ２ 槡ｘ２ ０ ＋２ｘ ０ ＋１＋３－ ４ ０ 槡 ０ ０ ４ ０ 槡 ０ ４ ０ ０ ０＝ ＝ ＝ ｘ＋４ ｘ＋４ ｘ＋４ ｘ＋４ ０ ０ ０ ０ （ｘ＋４）２ ０ 槡 ４ １ ＝ ＝ ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４分 ｘ＋４ ２ ０ 选结论二证明， ｘ２ ｙ２ Ｍ（ｘ，ｙ）为椭圆Ｃ： ＋ ＝１上一动点， ０ ０ ４ ３ ｘ２ ｙ２ ｙ２ ｘ２ ３ｘ２ 所以 ０＋ ０＝１，得 ０＝１－ ０，即ｙ２＝３－ ０．!!!!!!!!!!!!!!!!! ２分 ４ ３ ３ ４ ０ ４ 动点Ｍ与定点Ｆ（１，０）的距离和Ｍ到定直线ｘ＝４的距离的比为 ２ ３ｘ２ ４ｘ２－８ｘ＋１６－３ｘ２ ｘ２－８ｘ＋１６ 槡（ｘ－１）２＋ｙ２ 槡ｘ２ ０ －２ｘ ０ ＋１＋３－ ４ ０ 槡 ０ ０ ４ ０ 槡 ０ ４ ０ ０ ０＝ ＝ ＝ ４－ｘ ４－ｘ ４－ｘ ４－ｘ ０ ０ ０ ０ （ｘ－４）２ ０ 槡 ４ １ ＝ ＝ ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４分 ４－ｘ ２ ０ 【 ·高三年级质监考试———数学答案 第９页（共１０页）】 {#{QQABJQqEogCoAAJAAAgCAwH4CgMQkBEACIoGBEAMoAAASQFABAA=}#}（２）过点Ａ作ｘ＝－４的垂线垂足为Ｑ，过点Ｆ作ＦＰ垂直于ＡＱ，垂足为Ｐ， １ １ ＡＦ １ 由（１）知 １ ＝ ， ＡＱ ２ 所以２ＡＦ ＝ ＡＱ， １ ＡＰ ＝ ＡＱ － ＰＱ ＝２ＡＦ －３， １ 设∠ＡＦＯ＝θ，则∠ＱＡＦ＝θ， １ １ ＡＰ ２ＡＦ －３ ｃｏｓ∠ＱＡＦ＝ｃｏｓθ＝ ＝ １ ， １ ＡＦ ＡＦ １ １ 得ｃｏｓθ· ＡＦ ＝２ＡＦ －３， １ １ ３ 即 ＡＦ ＝ ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６分 １ ２－ｃｏｓθ π 因为ＡＦ⊥ＢＦ，所以∠ＢＦＯ＝ －θ， １ ２ ２ ２ ３ 同理可得 ＢＦ ＝ ２ ２－ｓｉｎθ １ １ ３ ３ 则四边形ＡＢＦＦ面积＝ ＡＦ · ＢＦ ＝ · · １ ２ ２ １ ２ ２ ２－ｃｏｓθ ２－ｓｉｎθ ９ １ ９ １ ＝ · ＝ · ２ （２－ｃｏｓθ）（２－ｓｉｎθ） ２ ４－２（ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）＋ｓｉｎθｃｏｓθ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８分 ｔ２－１ 设ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝ｔ，则ｓｉｎθｃｏｓθ＝ ２ π π π ３π 且ｔ＝槡２ｓｉｎ（θ＋ ），因为θ为锐角，所以θ＋ ∈（ ， ） ４ ４ ４ ４ ｔ∈（１，槡２］ ｔ２－１ ｔ２－４ｔ＋７ 所以４－２（ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）＋ｓｉｎθｃｏｓθ＝ －２ｔ＋４＝ ， !!!!!!!!! １０分 ２ ２ ｔ２－４ｔ＋７ 函数ｙ＝ 在ｔ∈（１，槡２］单调减， ２ ９－４槡２ 当ｔ＝槡２时，取到最小值 ， ２ ９ ２ ８１＋３６槡２ 所以四边形ＡＢＥＦ面积最大值为 · ＝ ．!!!!!!!!!!! １２分 ２ ９－４槡２ ４９ 【 ·高三年级质监考试———数学答案 第１０页（共１０页）】 {#{QQABJQqEogCoAAJAAAgCAwH4CgMQkBEACIoGBEAMoAAASQFABAA=}#}