2009年高考数学试卷（理）（上海）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2009·高考数学真题

绝密★启用前 2009年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答 一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一．真空题 （本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个 空格填对得4分，否则一律得零分 . 1．若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I是虚数单位)，则其共轭复数z=__________________ . 2．已知集合A=x|x£1，B=x|x³a，且AÈB= R，则实数a的取值范围是____ __________________ . 4 5 x 3．若行列式1 x 3 中，元素4的代数余子式大于0， 7 8 9 则x满足的条件是________________________ . 4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x 满足的关系式是____________________________ . 5．如图，若正四棱柱ABCD-ABC D 的底面连长为2，高 1 1 1 1 为4，则异面直线BD 与AD所成角的大小是______________（结果 1 第1页 | 共18页用反三角函数表示）. 6．函数y =2cos2 x+sin2x的最小值是_____________________ . 7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量x表示 选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Ex____________（结果用最简分数表示）. 8.已知三个球的半径R ，R ，R 满足R +2R =3R ，则它们的表面积S ，S ，S ， 1 2 3 1 2 3 1 2 3 满足的等量关系是___________. w.w.w.zxxk.c.o.m x2 y2 9.已知F 、F 是椭圆C: + =1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且 1 2 a2 b2 PF  PF .若PF F 的面积为9，则b=____________. 1 2 1 2 w.w.w.zxxk.c.o.m  10.在极坐标系中，由三条直线=0，= ，cos+sin=1围成图 3 形的面积是________. x 11.当0£ x £1时，不等式sin ³ kx成立，则实数k的取值范围是____________ 2 ___.    12．已知函数 f(x) =sinx+tanx.项数为27的等差数列  a  满足a - ，  n n  2 2 ，且公差d  0.若 f(a )+ f(a )++ f(a ) =0，则当k=____________是， 1 2 27 f(a ) =0. k 13.某地街道呈现东—西、南— 北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴 第2页 | 共18页建立直角坐标系，现有下述格点(-2，2)，(3，1)，(3，4)，(-2，3)，(4，5)，(6，6)为报刊零 售点.请确定一个格点（除零售点外）__________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站 之间路程的和最短. 14.将函数y = 4+6x- x2 -2 (x  0，6  )的图像绕坐标原点逆时针方向 旋转角(0££)，得到曲线C.若对于每一个旋转角，曲线C都是 一个函数的图像，则的最大值为__________. w.w.w.zxxk.c.o.m 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答 题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。 15.“-2£ a £ 2”是“实系数一元二次方程x2 +ax+1=0有虚根”的 （A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 1 16.若事件E与F 相互独立，且PE= PF= ，则PEI F的值等于 4 1 1 1 （A）0 （B） （C） （D） 16 4 2 17.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感 染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地 新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 （A）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 （C）丙地：中位数为2，众数为3 （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3 18.过圆C：(x-1)2 +(y-1)2 =1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，AOB被圆 分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S +S =S +S ,则直线AB I ¥ Õ ||| 有（ ） （A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条 第3页 | 共18页三．解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定 区域内写出必要的步骤 19（本题满分14分） 如图，在直三棱柱ABC-ABC 中，AA = BC = AB=2, 1 1 1 1 AB BC,求二面角B -AC-C 的大小。 1 1 1 20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 有时可用函数 ì a 0.1+15ln ,(x£6) ï ï a-x f(x)=í x-4.4 ï ,(x>6) ïî x-4 描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（xN*）， f(x)表 示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。 （1） 证明：当x³7时，掌握程度的增加量 f(x+1)- f(x)总是下降； [来 （2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127], (121,133]。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。 第4页 | 共18页21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。 x2 v 已知双曲线c: - y2 =1,设过点A(-3 2,0)的直线l的方向向量e=(1,k) 2 （1） 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离； 2 （2） 证明：当k> 时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为 6 。 2 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分 6分。 已知函数y = f(x)的反函数。定义：若对给定的实数a(a0)，函数y = f(x+a)与 y = f -1(x+a)互为反函数，则称y = f(x)满足“a和性质”；若函数y = f(ax)与 y = f -1(ax)互为反函数，则称y = f(x)满足“a积性质”。 （1） 判断函数g(x)= x2 +1(x>0)是否满足“1和性质”，并说明理由； 第5页 | 共18页（2） 求所有满足“2和性质”的一次函数； （3） 设函数y = f(x)(x>0)对任何a>0，满足“a积性质”。求y = f(x)的表达式。 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分 8分。 已知a 是公差为d 的等差数列，b 是公比为q的等比数列。 n n （1） 若a =3n+1，是否存在m、kN*，有a +a =a ?说明理由； n m m+1 k a （2） 找出所有数列a 和b ，使对一切nN*, n+1 =b ,并说明理由； n n a n n （3） 若a =5,d =4,b =q=3,试确定所有的 p，使数列a 中存在某个连续 p项的 1 1 n 和是数列b 中的一项，请证明。 n 第6页 | 共18页2009年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（理工农医类） 考生注意： [ 1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴 上条形码 . 2．本试卷共有23道试题，满分150分 .考试时间20分钟 . 一．真空题 （本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个 空格填对得4分，否则一律得零分 . 4．若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I是虚数单位)，则其共轭复数z=__________________ . 1．【答案】i 【解析】设z＝a＋bi，则（a＋bi ）(1+i) =1- ìa-b=1 i，即a－b＋（a＋b）i＝1－i，由í ，解得a＝0，b＝－1，所以z＝－i，z＝i îa+b=-1 5．已知集合A=x|x£1，B=x|x³a，且AÈB= R，则实数a的取值范围是____ __________________ . 2．【答案】a≤1 【解析】因为A∪B=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a≤1。 4 5 x 6．若行列式1 x 3 中，元素4的代数余子式大于0， 7 8 9 则x满足的条件是________________________ . 8 3．【答案】x> 3 w.w.w.zxxk.c.o.m 8 【解析】依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得：x> 3 4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x 满足的关系式是____________________________ . 第7页 | 共18页ì2x,x<1 4．【答案】y =í îx-2,x>1 【解析】当x＞1时，有y＝x－2，当x＜1时有y＝2x，所以，有分段函数。 5．如图，若正四棱柱ABCD-ABC D 的底面连长为2，高 1 1 1 1 为4，则异面直线BD 与AD所成角的大小是______________（结果 1 用反三角函数表示）. 5．【答案】arctan 5 【解析】因为AD∥A D ，异面直线BD 与AD所成角就是BD 与A D 所在角，即∠A D B， 1 1 1 1 1 1 1 1 由勾股定理，得A B＝2 5，tan∠A D B＝ 5，所以，∠A D B＝arctan 5。 1 1 1 1 1 6．函数y =2cos2 x+sin2x的最小值是_____________________ . 6．【答案】1- 2  【解析】 f(x)=cos2x+sin2x+1= 2sin(2x+ )+1，所以最小值为：1- 2 4 7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量x表示 选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Ex____________（结果用最简分数表示）. 4 7．【答案】 7 C2 10 C1C1 10 【解析】x可取0，1，2，因此P（x＝0）＝ 5 = ， P（x＝1）＝ 5 2 = ， C2 21 C2 21 7 7 C2 1 10 10 1 4 P（x＝2）＝ 2 = ，Ex＝0× +1 +2 ＝ C2 21 21 21 21 7 7 8.已知三个球的半径R ，R ，R 满足R +2R =3R ，则它们的表面积S ，S ，S ， 1 2 3 1 2 3 1 2 3 满足的等量关系是___________. w.w.w.zxxk.c.o.m 8、【答案】 S +2 S =3 S 1 2 3 【解析】S =4R2， S =2 R ，同理： S =2 R S =2 R ，即R ＝ 1 1 1 1 2 2 3 3 1 S S S 1 ，R ＝ 2 ，R ＝ 3 ，由R +2R =3R 得 S +2 S =3 S 2 3 1 2 3 1 2 3 2  2  2  第8页 | 共18页x2 y2 9.已知F 、F 是椭圆C: + =1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且 1 2 a2 b2 PF  PF .若PF F 的面积为9，则b=____________. 1 2 1 2 w.w.w.zxxk.c.o.m 9．【答案】3 ì| PF |+| PF |= 2a 1 2 ï 【解析】依题意，有í| PF || PF |=18 ，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝ 1 2 ï | PF |2 +| PF |2= 4c2 î 1 2 3。  10.在极坐标系中，由三条直线=0，= ，cos+sin=1围成图形的面积是_ 3 _______. 3- 3 10、【答案】 4 w.w.w.zxxk.c.o.m 【解析】化为普通方程，分别为：y＝0，y＝ 3x，x＋y＝1，画出三条直 3 -1 3- 3 线的图象如右图，可求得A（ ， ），B（1,0），三角形AOB 2 2 1 3- 3 3- 3 的面积为： 1 ＝ 2 2 4 x 11.当0£ x £1时，不等式sin ³ kx成立，则实数k的取值范围是_______________. 2 11、【答案】k≤1 x 【解析】作出y =sin 与y =kx的图象，要使不等式 1 2 2 x sin ³ kx成立，由图可知须k≤1。 2    12．已知函数 f(x) =sinx+tanx.项数为27的等差数列  a  满足a - ， ，且公 n n  2 2 差d  0.若 f(a )+ f(a )++ f(a ) =0，则当k=____________是， f(a ) =0. 1 2 27 k 12．【答案】14 【解析】函数 f(x) =sinx+tanx在   (- ，)是增函数，显然又为奇函数，函数图象关于原点对称，因为 2 2 第9页 | 共18页a +a = a +a == 2a ， 1 27 2 26 14 所以 f(a )+ f(a )= f(a )+ f(a )== f(a )=0，所以当k =14时， f(a ) =0 1 27 2 26 14 k . 13.某地街道呈现东—西、南— 北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴 建立直角坐标系，现有下述格点(-2，2)，(3，1)，(3，4)，(-2，3)，(4，5)，(6，6)为报刊零 售点.请确定一个格点（除零售点外）__________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站 之间路程的和最短. 13．【答案】（3，3） 【解析】设发行站的位置为x,y，零售点到发行站的距离为 z =2 x+2 + y-2 +2 x-3 + y-1 + y-4 + y-3 + x-4 + y-5 + x-6 + y-6 -2+3+3-2+4+6 2+1+4+3+5+6 7 ，这六个点的横纵坐标的平均值为 =2， = ， 6 6 2 记 7 A（2， ），画出图形可知，发行站的位置应该在点A附近，代入附近的点的坐标进行比 2 较可知，在（3,3）处z取得最小值。 14.将函数y = 4+6x- x2 -2 (x  0，6  )的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角 (0££)，得到曲线C.若对于每一个旋转角，曲线C都是一个函数的图像，则的 最大值为__________. w.w.w.zxxk.c.o.m 2 14．【答案】arctan 3 【解析】由 y = 4+6x- x2 -2得：（x－3）2＋（y＋2）2＝13，(x  0，6  )，它的图 象是以（3，－2）为圆心， 13为半径的一段圆弧， 1 3 设过原点且与曲线C相切的直线为y＝kx，当θ＝0时，k＝－ ＝ k 2 OC 3 ，此时直线的倾斜角为β，即tanβ＝ ，当切线与y轴重合时，曲线上 2 的点满足函数的定义，即是一个函数的图象，再逆时针旋转时，曲线不再是一个函数的图 第10页 | 共18页3 2 象，旋转角为90°－β，则tan（90°－β）＝ ，即θ＝arctan 2 3 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答 题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。 15.“-2£ a £ 2”是“实系数一元二次方程x2 +ax+1=0有虚根”的 （A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 15、【答案】A 【解析】△＝a2－4＜0时，－2＜a＜2，因为“-2£ a £ 2”是“－2＜a＜2”的必要不充分 条件，故选A。 1 16.若事件E与F 相互独立，且PE= PF= ，则PEI F的值等于 4 1 1 1 （A）0 （B） （C） （D） 16 4 2 16、【答案】B 1 1 1 【解析】PEI F＝PEPF=  ＝ 4 4 16 17.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感 染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地 新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 （A）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 （C）丙地：中位数为2，众数为3 （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3 17、【答案】D w.w.w.zxxk.c.o.m 【解析】根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中， 中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0 ，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果 有大于7的数存在，那么方差不会为3，故答案选D. 18.过圆C：(x-1)2 +(y-1)2 =1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B ，AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 S +S =S +S ,则直线AB有（ ） I ¥ Õ ||| （A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条 第11页 | 共18页18、【答案】B 【解析】由已知，得：S -S =S -S ,，第II，IV部分的面 IV II III I 积是定值，所以，S -S 为定值，即S -S ,为定值，当直 IV II III I 线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线A B只有一条，故选B。 三．解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规 定区域内写出必要的步骤 19（本题满分14分） 如图，在直三棱柱ABC-ABC 中，AA = BC = AB=2, 1 1 1 1 AB BC,求二面角B -AC-C 的大小。 1 1 1 19，【解】如图，建立空间直角坐标系 则A（2，0，0）、 C（0，2，0） A1（2，0，2）， B1（0，0，2） 、C1（0，2，2） ……2分 设AC的中点为M，∵BM⊥AC, BM⊥CC1; uuuuv ∴BM⊥平面A1C1C,即BM =(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量。……5分 v 设平面ABC 的一个法向量是n=(x,y,z) =（x，y，z）， 1 1 1 uuuv uuuuv AC=（-2，2，-2）， AB =（-2，0，0） ……7分 1 1 1 v uuuv v uuuv \n×AB=-2x=0,n×AC =-2x+2y-2z =0,令z =1,解得x=0,y =1 1 v \n=(0,1,1)...................10分 v uuuuv 设法向量n与BM 的夹角为j，二面角B -AC-C 的大小为，显然为 1 1 1 锐角 v uuuuv n×BM 1  cos= cosj= = ,解得= Q v uuuuv n BM 2 3 …………………….14分  \二面角B -AC-C的大小为 1 1 1 3 20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 有时可用函数 第12页 | 共18页ì a 0.1+15ln ,(x£6) ï ï a-x f(x)=í x-4.4 ï ,(x>6) ïî x-4 描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（xN*）， f(x)表 示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。 （3） 证明：当x³7时，掌握程度的增加量 f(x+1)- f(x)总是下降； [来 （4） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127], (121,133]。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。 0.4 20.证明（1）当x³7时，f(x+1)- f(x)= (x-3)(x-4) 而当x³7时，函数y =(x-3)(x-4)单调递增，且(x-3)(x-4)>0……..3分 故 f(x+1)- f(x)单调递减 \当x³7时，掌握程度的增长量 f(x+1)- f(x)总是下降……………..6分 a （2）由题意可知0.1+15ln =0.85……………….9分 a-6 a 整理得 =e0.05 a-6 e0.05 解得a= ×6=20.506=123.0,123.0(121,127]…….13分 e0.05 -1 由此可知，该学科是乙学科……………..14分 w.w.w.zxxk.c.o.m 21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。 x2 v 已知双曲线c: - y2 =1,设过点A(-3 2,0)的直线l的方向向量e=(1,k) 2 （3） 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离； 2 （4） 证明：当k> 时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为 6 。 2 x 21.（1）双曲线C的渐近线m: ± 2y =0............2分 2 第13页 | 共18页\直线l的方程x± 2y+3 2 =0………………..6分 w.w.w.zxxk.c.o.m 3 2 直线l与m的距离d = = 6……….8分 1+2 （2）设过原点且平行与l的直线b:kx- y =0 3 2 k 则直线l与b的距离d = 1+k2 2 当k > 时，d > 6 2 w.w.w.zxxk.c.o.m 又双曲线C的渐近线为x± 2y =0 \双曲线C的右支在直线b的右下方， \双曲线C右支上的任意点到直线l的距离为 6 。 故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为 6 。 [ 证法二] 双曲线C的右支上存在点Q (x ,y )到直线l的距离为 6 ， 0 0 ì kx - y +3 2 ï 0 0 = 6,(1) 则í 1+k2 ï x -2y =2,(2) î 0 0 由（1）得y =kx +3 2k± 6 1+k2 ， 0 0 g 设t = 3 2k± 6 1+k2 g 2 当k > ，t = 3 2k± 6 1+k2 >0………………………………..13分 g 2 将y =kx +t 代入（2）得(1-2k2)x2 -4ktx -2(t2 +1)=0 （*） 0 0 0 0 2 k > ,t >0,\1-2k2 <0,-4kt <0,-2(t2 +1)<0 Q 2 \方程（*）不存在正根，即假设不成立 w.w.w.zxxk.c.o.m 故在双曲线C的右支上不存在Q，使之到直线l 的距离为 6 …………….16分 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分 6分。 第14页 | 共18页已知函数y = f(x)的反函数。定义：若对给定的实数a(a0)，函数y = f(x+a)与 y = f -1(x+a)互为反函数，则称y = f(x)满足“a和性质”；若函数y = f(ax)与 y = f -1(ax)互为反函数，则称y = f(x)满足“a积性质”。 （4） 判断函数g(x)= x2 +1(x>0)是否满足“1和性质”，并说明理由； （5） 求所有满足“2和性质”的一次函数； （6） 设函数y = f(x)(x>0)对任何a>0，满足“a积性质”。求y = f(x)的表达式。 22（1）解，函数g(x)= x2 +1(x>0)的反函数是g-1(x)= x-1(x>1) \g-1(x+1)= x(x>0) w.w.w.zxxk.c.o.m 而g(x+1)=(x+1)2 +1(x>-1),其反函数为y = x-1-1(x>1) 故函数g(x)= x2 +1(x>0)不满足“1和性质” （2）设函数 f(x)=kx+b(xR)满足“2和性质”，k 0. x-b x+2-b \ f -1(x)= (xR),\ f -1(x+2)= …….6分 k k x-b-2k 而 f(x+2)=k(x+2)+b(xR),得反函数y = ………….8分 k x+2-b x-b-2k 由“2和性质”定义可知 = 对xR恒成立 k k \k =-1,bR,即所求一次函数为 f(x)=-x+b(bR)………..10分 （3）设a>0，x >0，且点(x ,y )在y = f(ax)图像上，则(y ,x )在函数 0 0 0 0 0 y = f -1(ax)图象上， 故 f(ax )= y ，可得ay = f(x )=af(ax )， ．．．．．．12分 0 0 0 0 0 f -1(ay )= x ， 0 0 w.w.w.zxxk.c.o.m x x x f(x ) 令ax = x，则a= 。\ f(x )= f(x)，即 f(x)= 0 0 。 0 x 0 x x 0 0 ．．．．．．14分 第15页 | 共18页k k k 综上所述，1=bqn-1 =b f(x)= (k 0)，此时 f(ax)= ，其反函数就是y = ， 1 n x ax ax k 而 f -1(ax)= ，故y = f(ax)与y = f -1(ax)互为反函数 。 ．．．．．．16分 ax 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分 8分。 已知a 是公差为d 的等差数列，b 是公比为q的等比数列。 n n （4） 若a =3n+1，是否存在m、kN*，有a +a =a ?说明理由； n m m+1 k a （5） 找出所有数列a 和b ，使对一切nN*, n+1 =b ,并说明理由； n n a n n （6） 若a =5,d =4,b =q=3,试确定所有的 p，使数列a 中存在某个连续 p项的 1 1 n 和是数列b 中的一项，请证明。 n 23．[解法一]（1）由a +a =a ，得6m+5=3k+1， ．．．．．．2分 m m+1 k 4 整理后，可得k-2m= ， m、k  N*，\k-2m为整数， Q 3 \不存在m、k  N*，使等式成立。 ．．．．．．5分 a a +nd （2）若 n+1 =b ，即 1 =bqn-1， （*） a n a +(n-1)d 1 1 （ⅰ）若d =0,则1=bqn-1 =b 。 1 n 当{a }为非零常数列，{b }为恒等于1的常数列，满足要求。 n n ．．．．．．7分 a +nd （ⅱ）若d 0，（*）式等号左边取极限得lim 1 =1，（*）式等号右边的极限 n®¥a +(n-1)d 1 只有当q=1时，才能等于1。此时等号左边是常数，\d =0，矛盾。 综上所述，只有当{a }为非零常数列，{b }为恒等于1的常数列，满足要求。．．．．． n n ．10分 a 【解法二】设a =nd +c,若 n+1 =b ,且b 为等比数列 n a n n n 第16页 | 共18页a a 则 n+2 / n+1 =q,对nN*都成立，即a a =qa2 a a n n+2 n+1 n+1 n \(dn+c)(dn+2d +c)-q(dn+d +c)2 对nN*都成立，\a2 =qd2....7分 （i） 若d=0，则a =c0,\b =1,nN* n n dn+d +c （ii） 若d 0,则q=1,\b =m（常数）即 =m，则d=0，矛盾 n dn+c a 综上所述，有a =c0,b =1,使对一切nN*, n+1 =b ， 10分 n n a n n （3）a =4n+1,b =3n,nN* n n 设a +a ++a =b =3k,p、kN*,mN . m+1 m+2 m+p k 4(m+1)+1+4(m+ p)+1 p=3k， 2 3k \4m+2p+3= , p、kN*,\p=35,sN . 13分 Q p 取k =3s+2,4m=32s+2 -23s -3=(4-1)2s+2 -2(4-1)s -3 0, 15分  由二项展开式可得正整数M M ，使得（4-1）2s+2=4M +1, 1、 2 1 2(4-1)s =8M +(-1)s2, 2   \4m=4(M -2M )- (-1)s +12,\存在整数m满足要求. 1 2 故当且仅当p=3s,sN时，命题成立. 说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分） 若p为偶数，则a +a +……+a 为偶数，但3k为奇数 m+1 m+2 m+p 故此等式不成立，所以，p一定为奇数。 当p=1时，则a =b ,即4m+5=3k， m+1 k 而3k=(4-1)k =C0×4k +C1×4k-1×(-1)++Ck-1×4×(-1)k-1+Ck ×(-1)k =4M +(-1)k,M Z, k k k k 当ｋ为偶数时，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立 1分 当p=3时，则a +a +a =b ,即3a -b , m+1 m+2 m+3 k m+2 k 也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1 第17页 | 共18页由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m, 4m+9=3k成立 2分 当p=5时，则a +a +……+a =b ,即5a =b m+1 m+2 m+5 k m+3 k 也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在 故不是所有奇数都成立. 2分 第18页 | 共18页