文档内容
武昌区 2024 届高三年级上学期期末质量检测
数学
本试题卷共4页，共22题.满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，
并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.命题“有些三角形是直角三角形”的否定为（ ）
A.所有三角形都是直角三角形 B.所有三角形都不是直角三角形
C.有些三角形不是直角三角形 D.有些三角形不是锐角三角形
2.若复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.已知正数 ， 满足 ，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知 ，则 （ ）
A.2 B. C. D.1
5.已知集合 ，若 ，则集合 可以为（ ）
A. B. C. D.
6.为了解决化圆为方问题，古希腊数学家希皮亚斯发明了“割圆曲线”，若割圆曲线的方程为 ，
，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 有最大值 B. 有最小值
C. 随 的增大而增大 D. 随 的增大而减小
7.已知函数 ， ，若函数 在 上存在最大值，但不存在最小值，则
的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8..已知 是坐标原点，过抛物线 上异于 的点 作抛物线的切线 交 轴于点 ，
则 的外接圆方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.对于随机变量 ，下列说法正确的有（ ）
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
10.已知不重合的直线 ， ， 和平面 ， ，则（ ）
A.若 ， ，则
B.若 ， ，则
C.若 ， ， ， ，则
D.若 ， ，则
11.已知数列 满足 ， ，数列 满足 ，
则（ ）
A.
B.
学科网（北京）股份有限公司C.存在 ，使得
D.数列 单调递增，且对任意 ，都有
12.已知 ， 是曲线 上不同的两点， 为坐标
原点，则（ ）
A. 的最小值为1
B.
C.若直线 与曲线 有公共点，则
D.对任意位于 轴左侧且不在 轴上的点 ，都存在唯一点 ，使得曲线 在 ， 两点处的切线垂直
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设 为 所在平面内一点，满足 ，则 __________.
14.若点 在圆 上，则过 的圆的切线方程为__________.
15.楷书也叫正楷、真书、正书，是从隶书逐渐演变而来的一种汉字字体，其书写特点是笔画严整规范、线条
平直自然、结构匀称方正、运笔流畅有度，《辞海》解释楷书“形体方正，笔画平直，可作楷模”，故名楷
书.楷书中竖的写法有垂露竖、悬针竖和短竖三种，小君同学在练习用楷书书写“十”字时，竖的写法可能随
机选用其中任意一种，现在小君一行写了5个“十”字，若只比较5处竖的写法，不比较其它笔画，且短竖
不超过3处，则不同的写法共有__________种.（用数字作答）
16.棱长为10cm的密闭正四面体容器内装有体积为 的水，翻转容器，使得水面至少与2条棱平行，
且水面是三角形，不考虑容器厚度及其它因素影响，则水面面积的最小值为__________ .
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知 ， ， 分别为 的内角 ， ， 的对边，且 .
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为2，求 .
18.（12分）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ，
， 为 的中点，点 ， 分别在棱 ， 上， ， .
学科网（北京）股份有限公司（1）求证； ；
（2）求平面 与平面 所成二面角的余弦值.
19.（12分）数学运算是数学学科的核心素养之一，具备较好的数学运算素养一般体现为在运算中算法合理、
计算准确、过程规范、细节到位，为了诊断学情、培养习惯、发展素养，某老师计划调研准确率与运算速度
之间是否有关，他记录了一段时间的相关数据如下表：
项目 速度快 速度慢 合计
准确率高 10 22 32
准确率低 11 17 28
合计 21 39 60
（1）依据 的独立性检验，能否认为数学考试中准确率与运算速度相关？
（2）为鼓励学生全面发展，现随机将准确率高且速度快的10名同学分成人数分别为3，3，4的三个小组进
行小组才艺展示，若甲、乙两人在这10人中，求甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率.
附：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
其中 .
20.（12分）已知数列 的前 项和为 ， ， .
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）若 表示不超过 的最大整数， ，求实数 的取值范围.
21.（12分）已知双曲线 （ ， ），点 是 的右焦点， 的一条渐近线方
程为 .
学科网（北京）股份有限公司（1）求 的标准方程；
（2）过点 的直线与 的右支交于 ， 两点，以 为直径的圆记为 ，是否存在定圆与圆 内切？
若存在，求出定圆的方程；若不存在，说明理由.
22.（12分）已知函数 ， .
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 有且仅有1个零点，求 的取值范围.
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