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甘肃省武威市 2021 年中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1. 3的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛，创新发展
拓荒牛，艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形
的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家
的
和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能 一半，
必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“50亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 将直线 向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，直线 的顶点 在 上，若 ，则 （ ）A. B. C. D.
7. 如图，点 在 上， ，则 （ ）
A. B. C. D.
8. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．
问：人与车各几何?”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人
坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少?设共有 人， 辆车，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
9. 对于任意的有理数 ，如果满足 ，那么我们称这一对数 为“相随数对”，记为
．若 是“相随数对”，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 3
10. 如图1，在 中， 于点 ．动点 从 点出发，沿折线
方向运动，运动到点 停止．设点 的运动路程为 的面积为 与 的函数图象如
图2，则 的长为（ ）A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 因式分解： ___________．
12. 关于 的不等式 的解集是___________．
13. 已知关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是_____.．
14. 开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续14天进行了体温测量，结果统计如下表：
.
体温（ ） 36.3 36.4 365 36.6 36.7 36.8
天数（天） 2 3 3 4 1 1
这14天中，小芸体温的众数是____________ ．
的
15. 如图，在矩形 中， 是 边上一点， 是 边 中点，
，则 ________ ．
16. 若点 在反比例函数 的图象上，则 ____ （填“>”或“<”或
“=”）
17. 如图，从一块直径为 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 的扇形，则此扇形的面积为_____ ．18. 一组按规律排列的代数式： ，…，则第 个式子是___________．
三、解答题：本大题共5小题，共26分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
19. 计算： ．
20. 先化简，再求值： ，其中 ．
21. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，
已知 是弦 上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作线段 的垂直平分线 ，分别交 于点 于点 ，连接 ；
②以点 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 （ 两点不重合），连接 ．
（2）直接写出引理的结论：线段 的数量关系．
22. 如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺
的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小
组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔 垂直于地面，在地面上选取 两处分别测得 和 的度数（
在同一条直线上）．
数据收集：通过实地测量：地面上 两点的距离为 ．
问题解决：求宝塔 的高度（结果保留一位小数）．
参考数据： ， ．根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
23. 一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱
子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小
球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球
颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
24. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，
竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成 五个等级，并绘制了如下不完整
的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
等级 成绩（1）本次调查一共随机抽取了_________名学生的成绩，频数分布直方图中 __________；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）所抽取学生成绩的中位数落在________等级；
（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人?
25. 如图1，小刚家，学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完
书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离 与他所用的时间
的函数关系如图2所示．
（1）小刚家与学校的距离为___________ ，小刚骑自行车的速度为________ ；
（2）求小刚从图书馆返回家的过程中， 与 的函数表达式；
（3）小刚出发35分钟时，他离家有多远?26. 如图， 内接于 是 的直径 的延长线上一点， ．过圆心 作
的平行线交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的半径及 的值；
27. 问题解决：如图1，在矩形 中，点 分别在 边上， 于点 ．
（1）求证：四边形 是正方形；
的
（2）延长 到点 ，使得 ，判断 形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形 中，点 分别在 边上， 与 相交于点 ，
，求 的长．
28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与坐标轴交于 两点，直线交 轴于点 ．点 为直线 下方抛物线上一动点，过点 作 轴的垂线，垂足为
分别交直线 于点 ．
（1）求抛物线 的表达式；
（2）当 ，连接 ，求 的面积；
（3）① 是 轴上一点，当四边形 是矩形时，求点 的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点 ，满足 ，求 周长的最小值．
