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2009 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
理科数学
第Ⅰ卷
本试卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式 S =4πR2
P(A+B)= P(A)+P(B) 其中R表示球的半径
4
如果事件A，B相互独立，那么 球的体积公式 V = πR3
3
P(A B)= P(A) P(B) 其中R表示球的半径
g g
一、选择题：
1. 设集合S = x| x <5 ,T = x|x2 +4x-21<0 ,则S T =
I
Ａ. x|-7< x<-5 Ｂ. x|3< x<5 Ｃ. x|-5< x<3 Ｄ. x|-7< x<5
ìa+log x(当x³2时)
ï 2
２.已知函数 f(x)=íx2 -4 在点x=2处连续，则常数a的值是
ï
(当x<2时）
î x-2
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５
(1+2i)2
３.复数 的值是
3-4i
Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.－i Ｄ.i
p
4.已知函数 f(x)=sin(x- )(xÎR)，下面结论错误的是
2
é pù
A.函数 f(x)的最小正周期为2p B.函数 f(x)在区间 0, 上是增函数
ê ú
ë 2û
C.函数 f(x)的图像关于直线x=0对称 D.函数 f(x)是奇函数
第1页 | 共18页5.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA^平面ABC,PA=2AB，则下
列结论正确的是
Ａ.PB^ AD Ｂ.平面PAB^平面PBC
P
C. 直线BC∥平面PAE Ｄ.直线PD与平面ABC所成的角为45°
E
D
6.已知a,b,c,d 为实数，且c>d。则“a>b”是“a-c>b-d ”的 F C
A B
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
x2 y2
7.已知双曲线 - =1(b>0)的左右焦点分别为F,F ，其一条渐近线方程为y = x，点
2 b2 1 2
uuur uuuur
P( 3,y )在该双曲线上，则PF ·PF =
0 1 2
-12 -2
A. B. C .0 D. 4
8.如图，在半径为3的球面上有A,B,C三点，ÐABC =90°,BA= BC ，球心O到平面ABC
3 2
的距离是 ，则B、C两点的球面距离是
2
p 4p
O
A. B.p C. D.2p
3 3 A
9.已知直线l :4x-3y+6=0和直线l :x=-1，抛物线y2 =4x上一动点P B C
1 2
到直线l 和直线l 的距离之和的最小值是
1 2
11 37
A.2 B.3 C. D.
5 16
10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产
每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产
品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18
吨，那么该企业可获得最大利润是
A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元
11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位
女生相邻，则不同排法的种数是
A. 360 B. 228 C. 216 D. 96
第2页 | 共18页12.已知函数 f(x)是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x都有
5
xf(x+1)=(1+x)f(x)，则 f(f( ))的值是
2
1 5
A.0 B. C.1 D.
2 2
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
1
13.(2x- )6的展开式的常数项是 （用数字作答）
2x
14.若⊙O :x2 + y2 =5与⊙O :(x-m)2 + y2 =20(mÎR)相交于A、B两点，且两圆在
1 2
点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是
A1
15.如图，已知正三棱柱ABC-ABC 的各条棱长都相等，M 是侧 棱CC
1 1 1 1
B1 C1
的中点，则异面直线AB和BM 所成的角的大小是 。
1
M
A
16．设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射 f :V ®V,aÎV ，记
B C
a的象为 f(a)。若映射 f :V ®V 满足：对所有 a,bÎV 及任意实数 l,m都有
f(la+mb)=lf(a)+mf(b)，则 f 称为平面M 上的线性变换。现有下列命题：
①设 f 是平面M 上的线性变换，则 f(0)=0
②对aÎV,设f(a)=2a，则 f 是平面M 上的线性变换；
③若e是平面M 上的单位向量，对aÎV,设f(a)=a-e，则 f 是平面M 上的线性变换；
④设 f 是平面M 上的线性变换，a,bÎV ，若a,b共线，则 f(a), f(b)也共线。
其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
第3页 | 共18页三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分12分）
在 ABC中 ， A,B为 锐 角 ， 角 A,B,C所 对 应 的 边 分 别 为 a,b,c， 且
V
3 10
cos2A= ,sinB=
5 10
（I）求A+B的值；
（II）若a+b= 2-1，求a,b,c的值。
18. （本小题满分12分）
为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发
行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织
3
了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客。在省
4
1 2
外游客中有 持金卡，在省内游客中有 持银卡。
3 3
（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；
（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量x，求x的分
布列及数学期望Ex。
第4页 | 共18页19（本小题满分12分）
如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直
角三角形，AB= AE,FA= FE,ÐAEF =45°
E
（I）求证：EF ^平面BCE；
（II）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点
F
M ，使得PM 平面BCE？若存在，请指出点M 的位置，
P
A B
并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
D
P C
（III）求二面角F -BD-A的大小。
20（本小题满分12分）
x2 y2 2
已知椭圆 + =1(a>b>0)的左右焦点分别为F,F ，离心率e= ，右准线方程为
a2 b 1 2 2
x=2。
（I）求椭圆的标准方程；
uuuur uuuur 2 26
（II）过点F 的直线l与该椭圆交于M,N 两点，且 F M +F N = ，求直线l的方程。
1 2 2 3
第5页 | 共18页21. （本小题满分12分）
已知a>0,且a¹1函数 f(x)=log (1-ax)。
a
（I）求函数 f(x)的定义域，并判断 f(x)的单调性；
af(n)
（II）若nÎN*,求 lim ;
n®+¥an +a
（III）当a=e（e为自然对数的底数）时，设h(x)=(1-ef(x))(x2 -m+1)，若函数h(x)
的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h(x)的极值。
22. （本小题满分14分）
设数列 a 的前 n项和为 S ，对任意的正整数 n，都有 a =5S +1成立，记
n n n n
4+a
b = n (nÎN*)。
n 1-a
n
（I）求数列b 的通项公式；
n
（II）记c =b -b (nÎN*)，设数列c 的前n项和为T ，求证：对任意正整数n都
n 2n 2n-1 n n
3
有T < ；
n 2
（III）设数列b 的前n项和为R 。已知正实数l满足：对任意正整数n,R £ln恒成立，
n n n
求l的最小值。
第6页 | 共18页2009 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
理科数学参考答案
（1） C （2） B (3) A (4) D (5) D (6) B
(7) C (8) B (9) A （10）D (11) B (12) A
（13） -20 （14）4 （15）90o （16）①②③
1.设集合S = x| x <5 ,T = x|x2 +4x-21<0 ,则S T =
I
Ａ. x|-7< x<-5 Ｂ. x|3< x<5 Ｃ. x|-5< x<3 Ｄ. x|-7< x<5
【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础
题。
解析：由题S = (-5,5),T = (-7,3)，故选择C。
ìa+log x(当x³2时)
ï 2
２.已知函数 f(x)=íx2 -4 在点x=2处连续，则常数a的值是
ï
(当x<2时）
î x-2
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５
【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。
解析：由题得a+log2 2= 2+2 a = 3，故选择B。
(1+2i)2
３.复数 的值是
3-4i
Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.－i Ｄ.i
【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。
(1+2i)2 (4i -3)(3+4i) -16-9
解析： = = = -1，故选择A。
3-4i 25 25
p
4.已知函数 f(x)=sin(x- )(xÎR)，下面结论错误的是
2
é pù
A.函数 f(x)的最小正周期为2p B.函数 f(x)在区间 0, 上是增函数
ê ú
ë 2û
C.函数 f(x)的图像关于直线x=0对称 D.函数 f(x)是奇函数
【考点定位】本小题考查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等，基础题。（同文
4）
解： f(x)= -cosx，其中A、C显然正确，故选择D。
5. 如 图 ，已 知 六 棱 锥 P-ABCDEF的 底 面 是 正 六 边 形 ，
P
PA^平面ABC,PA=2AB，则下列结论正确的是
Ａ.PB^ AD Ｂ.平面PAB^平面PBC
、C. 直线BC∥平面PAE E
D
Ｄ.直线PD与平面ABC所成的角为45° F C
A B
【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系，基础题。（同文6）
解：由三垂线定理，因AD与AB不相互垂直，排除A；作AG ^ PB于G ，
因面PAB ^面ABCDEF，而AG在面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂
直，故排除B；由BC//EF ，而EF是平面PAE的斜线，故排除C，故选择D。
第7页 | 共18页6.已知a,b,c,d 为实数，且c>d。则“a>b”是“a-c>b-d ”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文7）
解析：a > b推不出a-c>b-d ；但a-c > b-d a > b+c-d > b，故选择B。
x2 y2
7.已知双曲线 - =1(b>0)的左右焦点分别为F,F ，其一条渐近线方程为y = x，点
2 b2 1 2
uuur uuuur
P( 3,y )在该双曲线上，则PF ·PF =
0 1 2
-12 -2
A. B. C .0 D. 4
【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，基础题。（同文8）
解析：由题知b2 = 2，故 y = 3-2 = 1,F (-2,0),F (2,0)，
0 1 2
∴PF ·PF = (-2- 3,1)·(2- 3,1)= 3-4+1= 0，故选择C。
1 2
8.如图，在半径为3的球面上有A,B,C三点，ÐABC =90°,BA= BC ，球心O到平面ABC
3 2
的距离是 ，则B、C两点的球面距离是
2
p 4p
A. B.p C. D.2p
3 3
O
【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距，基础题。（同文9）
A
解析：由知截面圆的半径
B C
18 3 2 2 p
r = 9- = BC = 3 2 = 3，故ÐBOC = ，所以B、C
4 2 2 3
p
两点的球面距离为3 =p，故选择B。
3
9.已知直线l :4x-3y+6=0和直线l :x=-1，抛物线 y2 =4x上一动点P到直线l 和直
1 2 1
线l 的距离之和的最小值是
2
11 37
A.2 B.3 C. D.
5 16
【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。
解析：直线l :x=-1为抛物线 y2 =4x的准线，由抛物线的定义知，P到l 的距离等于P
2 2
到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线 y2 =4x上找一个点P使得P到点
F(1,0)和直线l 的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l :4x-3y+6=0的距离，即
2 1
|4-0+6|
d = = 2，故选择A。
min 5
10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产
每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产
品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18
吨，那么该企业可获得最大利润是
A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元
【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文10）
解析：设甲、乙种两种产品各需生产x、 y吨，可使利润z最大，故本题即
第8页 | 共18页ì3x+ y £13
ï
ï2x+3y £18
已知约束条件 í ，求目标函数 z = 5x+3y的最大值，可求出最优解为
x ³ 0
ï
ï îy ³ 0
ìx = 3
í ，故z =15+12= 27，故选择D。
îy = 4 max
11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位
女生相邻，则不同排法的种数是
A. 360 B. 228 C. 216 D. 96
【考点定位】本小题考查排列综合问题，基础题。
解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有A3C2A2A2 = 332
3 3 4 2
种，其中男生甲站两端的有A1A2C2A2A2 =144，符合条件的排法故共有
2 2 3 3 2
12.已知函数 f(x)是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x都有
5
xf(x+1)=(1+x)f(x)，则 f(f( ))的值是
2
1 5
A.0 B. C.1 D.
2 2
【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。（同文12）
1 1 1 1 1 1 1 1
解析：令 x = - ，则 - f( )= f(- )= f( ) f( )= 0；令 x = 0，则
2 2 2 2 2 2 2 2
f(0)= 0
x+1
由xf(x+1)=(1+x)f(x)得 f(x+1)= f(x)，所以
x
5 3
5 2 3 5 3 5 2 1 5
f( )= f( )= f( )= f( )= 0 f(f( ))= f(0)= 0，故选择A。
2 3 2 3 2 3 1 2 2
2 2
1
13.(2x- )6的展开式的常数项是 （用数字作答）
2x
【考点定位】本小题考查二项式展开式的特殊项，基础题。（同文13）
1
解析：由题知(2x- )6的通项为T = (-1)rCr26-2r x6-2r，令6-2r = 0得r = 3，故
2x r+1 6
常数项为(-1)3C3 = -20。
6
14.若⊙O :x2 + y2 =5与⊙O :(x-m)2 + y2 =20(mÎR)相交于A、B两点，且两圆在
1 2
点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是
w
【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题。
解 析 ： 由 题 知 O (0,0),O (m,0)， 且 5 <|m|< 3 5， 又 O A^ AO ， 所 以 有
1 2 1 2
5 20
m2 = ( 5)2 +(2 5)2 = 25 m = 5，∴AB = 2 = 4。
5
15.如图，已知正三棱柱 ABC-ABC 的各条棱长都相等，M 是侧 棱
1 1 1 A1
CC 的 中 点 ， 则 异 面 直 线 AB和BM 所 成 的 角 的 大 小
1 1
是 。
B1 C1
【考点定位】本小题考查异面直线的夹角，基础题。
M
A
第9页 | 共18页
B C解析：不妨设棱长为2，选择基向量{BA,BB ,BC}，则
1
1
AB = BB - BA,BM = BC - BB
1 1 2 1
1
(BB - BA)·(BC + BB )
1 2 1 0-2+2+0
cos< AB ,BM >= = = 0，故填写90o。
1
2 2 5 2 2 5
法2：取BC中点N，连结B N ，则AN ^面B C ，∴B N 是AB 在面B C 上的射影，
1 1 1 1 1
由几何知识知B N ^ BM ，由三垂线定理得AB ^ BM ，故填写90o。
1 1
16．设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射 f :V ®V,aÎV ，记a的象为
f(a)。 若 映 射 f :V ®V 满 足 ： 对 所 有 a,bÎV 及 任 意 实 数 l,m都 有
f(la+mb)=lf(a)+mf(b)，则 f 称为平面M 上的线性变换。现有下列命题：
①设 f 是平面M 上的线性变换，则 f(0)= 0
②对aÎV 设 f(a)= 2a，则 f 是平面M 上的线性变换；
③若e是平面M 上的单位向量，对aÎV 设 f(a)= a-e，则 f 是平面M 上的线性变换；
④设 f 是平面M 上的线性变换，a,bÎV ，若a,b共线，则 f(a), f(b)也共线。
其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
【考点定位】本小题考查新定义，创新题。
解析：令a = b = 0,l=m=1，由题有 f(0)= 2f(0) f(0)= 0，故①正确；
由题 f(la+mb)= 2(la+mb)，lf(a)+mf(b)= 2la+2mb = 2(la+mb)，即
f(la+mb)=lf(a)+mf(b)，故②正确；
由题 f(la+mb)=la+mb-e，lf(a)+mf(b)=la-e+mb-e，即
f(la+mb)¹lf(a)+mf(b)，故③不正确；
由 题 b =la， f(0)= f(a-lb)= f(a)-lf(b)= 0 f(a)=lf(b)， 即
f(a), f(b)也共线，故④正确；
三、解答题
（17）本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦
定理等基础知识及基本运算能力。
10 3 10
解：（Ⅰ） A、B为锐角，sinB= ，\cosB= 1-sin2b =
Q
10 10
3
又cos2A=1-2sin2 A= ，
5
5 2 5
\sinA= ，cosA= 1-sin2 A = ，
5 5
2 5 3 10 5 10 2
\cos(A+B)=cosAcosB-sin AsinB= ´ - ´ =
5 10 5 10 2
第10页 | 共18页0< A+B
0
当0
