文档内容
成都石室中学 2025-2026 学年度上期高 2026 届一诊模拟
数学试题
（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．已知集合 ， ，则
A． B．
C． D．
2．某校高三年级1000名学生参加体育健康标准测试，从中随机抽取
部分学生的成绩（规定满分为100分)，得到如图频率分布直方图，
则估计该次考试成绩在区间 内的学生人数为
A．100 B．200 C．300 D．400
3．已知 为坐标原点， 是抛物线 的焦点， 为 上一点，若 ，则
A．8 B．6 C．4 D．2
y
4.已知定义在 上的奇函数 在 上的图象如图所示，则不等式
的解集为
O 3 3 x
A. B.
C. D.
5.将正弦曲线上所有的点横坐标变为原来的2倍，再向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则函数 的单调增区间为
A. B. C. D.
6.在平行四边形 中， , 是线段DE的中点，连结 交 于O，
若 ，则
A．1 B． C． D.
7. 三个相同的盒子里分别放有两个黑球，一个黑球一个红球，两个红球，现从任意的盒子里随机取出一球，
若该球为红色，则该盒剩下的另一球是也是红色的概率为
A. B． C． D．
8. 若存在 使得不等式 成立，则正实数 的取值范围为
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知在 的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有
A． B．第4项的二项式系数最大
C． 的系数为 D．展开式各项系数之和为
10.设函数 ，则
A．当 时， 是 的极小值点B．当 时，函数 有三个零点
C．若函数 有三个零点 ，则
D．已知 是函数 的极大值点，若 ，则
11．已知点 为双曲线 右支上一点， 分别为其左、右焦点, ， 为双曲线 的两条渐近
线，过点 分别作 ， ，垂足依次为 ，过点 作 交 于点 ，过点 作 交
于点 为坐标原点，则下列结论正确的是
A． 的最大值为 B． 的内心 到 轴的距离为
C． D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献.人们把欧拉恒等式“ ”与
麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”.其中，欧拉恒等式是欧拉公式： 的一种
特殊情况.若复数 ，则 = .
13. 已知 分别为 三个内角 的对边，若
，则 .
14．如图，已知正四面体 顶点处有一质点 ，点 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，
若质点 的初始位置位于点 处，记点 移动 次后仍在底面 上的概率为 .则 ；满足
的 的最大值为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤.
15. （本小题13分）
已知椭圆 ： （ ）的右顶点为 ，离心率为 ，左、右焦点分别为 、 ，
为椭圆 上不同于左、右顶点的任意一点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)求 的取值范围.
16. （本小题满分15分）
某校举办校刊义卖活动，学生在义卖处每领取一本校刊，便自觉向收银箱中支付至少两元钱.现统计了
连续5天的售出校刊数量和收益情况，如下表：
售出校刊数量x（单位：箱） 6 5 7 5 7
收益y（单位：元） 240 220 260 230 270
(1)求收益y关于售出数量x的回归直线方程，并计算售出8箱校刊时的预计收益；
(2)学校决定将收益奖励在科技创新大赛中获奖的学生，获奖学生每人奖励100元.已知甲、乙两名学生
是否获奖是相互独立的，甲获奖的概率为 ，乙获奖的概率为 ，求甲、乙两名学生获奖总金额X的分布
列及数学期望.
附： ， .17.（本小题15分）
已知正项数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，证明： .
18．（本小题17分）
如图所示，在直三棱柱 中， ，
，点 是线段 上的动点（不与点 重合）.
(1)求证：
(2)若平面 与平面 所成角的正弦值不小于 ，求线段 的取值范围.
(3)设点 到面 的距离为 ，四面体 的外接球半径为 ，求 的取值范围.
19. （本小题满分17分）
已知 ，其中 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的最值；
(3)若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
