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2019 年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选
项涂填到答题卡上.每小题4分，共40分）
1.﹣2的绝对值等于（ ）
A. ﹣ B. C. ﹣2 D. 2
2.改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份
和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.2019年“五一”假期期间，我市共接待国内、外游客140.42万人次，实现旅游综合收入8.94亿元，则“旅
的
游综合收入”用科学记数法表示正确 是（ ）
A. 1.4042×106 B. 14.042×105 C. 8.94×108 D. 0.894×109
4.某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其中一块（经抽象后）
按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是（ ）
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是（ ）
A. a2+a3＝a5 B. （a3）2＝a5C. （a•b）2＝a2•b2 D.
的
6.现有一组数据：1，4，3，2，4，x．若该组数据 中位数是3，则x的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.下列说法正确的是（ ）
A. 有两边和一角分别相等的两个三角形全等
B. 有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形
C. 如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°
D. 点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度
8.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝
∠CDB，则四边形ABCD的面积为（ ）
A. 40 B. 24 C. 20 D. 15
的
9.某公司有如图所示 甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对
各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，各基地之间的
距离之比a：b：c：d：e＝2：3：4：3：3（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数
量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
10.若关于x的不等式组 有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题（本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题4分，共32分）
11.分解因式： =_____________．
12.方程 的解为x＝_____．
13.使代数式 有意义的x的取值范围是 ．
14.下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为100分）的成绩统计表：
同学 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 90 88 92 94 91
乙 90 91 93 94 92
根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是_____．
15.已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且
直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝_____．
的
16.如图，已知点F是 ABC 重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点
△
F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S，S，则S：S＝_____．
1 2 1 2
17.如图，直线y＝4﹣x与双曲线y 交于A，B两点，过B作直线BC⊥y轴，垂足为C，则以OA为直径
的圆与直线BC的交点坐标是_____．18.我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行
起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）n的展开
式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一
一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）15的展开式按x的升幂排列得：（s+x）15＝a+ax+ax2+…
0 1 2
+a x15
15
依上述规律，解决下列问题：（1）若s＝1，则a＝___；（2）若s＝2，则a+a+a+…+a ＝___．
2 0 1 2 15
三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程.共78分）
19.计算：（﹣1）2019 sin60°﹣（﹣3）．
20.先化简，再求值： ，其中a＝2．
21.为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下
测得C，D之间的距离为400米．已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB．（可能用到的
数据： 1.414， 11.732）22.在一段长为1000的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员均从A点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出
发30秒钟，甲距A点的距离y（米）与其出发的时间x（分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是150米
分钟，且当乙到达B点后立即按原速返回．
（1）当x为何值时，两人第一次相遇？
（2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．
23.如图，已知⊙O是 ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，在劣弧 上取一点D，使 ，将
△
ADC沿AD对折，得到 ADE，连接CE．
△（1）求证：CE是⊙O的△切线；
（2）若CE C D，劣弧 的弧长为π，求⊙O的半径．
24.如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求 PAB的面积的最大值，并求出
此时点P的坐标． △
25.某种机器使用若干年后即被淘汰，该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使用情况，随机抽取了100台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易损零件数均只有8，9，10，11这四
种情况，并整理了这100台机器在使用期内更换的该易损零件数，绘制成如图所示不完整的条形统计图．
（1）请补全该条形统计图；
（2）某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述100台机器更换的该易损零件数的频率
代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率．
①求这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率；
②若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个200元；若在使用过程中，因备用该易损零件不足，再购
买，则每个500元．请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进行决策：购买机器的同时应
购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？
26.（1）如图1，在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝8，将平行四边形ABCD分割成两部分，
然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）
（2）若将一边长为1的正方形按如图2﹣1所示剪开，恰好能拼成如图2﹣2所示的矩形，则m的值是多少？
的
（3）四边形ABCD是一个长为7，宽为5 矩形（面积为35），若把它按如图3﹣1所示的方式剪开，分
成四部分，重新拼成如图3﹣2所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36）．问：重新拼成
的图形的面积为什么会增加？请说明理由．
