文档内容
山西大学附中
2025～2026学年第一学期高三10月模块诊断
数 学 试 题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.）
1．数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的 分位数是（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】C
【分析】根据百分位数的定义求 分位数.
【详解】由 ，结合已知数据从小到大， 分位数是第3、4位两个数字的平均数，
所求分位数为 .
故选：C
2．复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据复数的除法确定复数 ，即可判断其对应的点所在的象限.
【详解】由 ，可得复数 在复平面内对应的点为 ，
所在的象限为第三象限.
故选：C
3．设集合 { 是等腰直角三角形}， { 是等腰三角形}， { 是等边三角形}， { 是
直角三角形}，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等腰直角三角形、等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念可判断.
【详解】直角三角形不一定是等腰直角三角形，故B错误；
等边三角形都是等腰三角形，故 ，故C正确；
等边三角形都不是等腰直角三角形，故A错误；
直角三角形不一定是等腰三角形，故D错误.
故选：C4．若关于 的不等式 的解集是 ，则关于 的不等式 的解集是
（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】由条件确定 ，将原不等式转换成 ，即可求解.
【详解】由题意可得， ，即 ，
则有 ，
即 ，
解得 或 ，
即解集为 或
故选：B
5．在 中，已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理，角化边，再利用余弦定理可求角A.
【详解】因为
，
由正弦定理得： ，
由余弦定理， ，又 为三角形内角，所以 .
故选：D
6．已知等差数列 的前 项和分别为 ，若 ，则满足 的正整数 有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】利用等差数列性质得 ，由 即可求解.
【详解】由 ，得 ，
又 ，所以 ，
整理得 ，所以 ，故符合条件的 可取1，2，
故选：C．
7．已知抛物线 的焦点为 ， ， 是抛物线上两点，且 ，弦 的中点
在 的准线的射影为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】由抛物线定义对线段进行转化，再由中位线得到线段 ，解三角形得到线段 ，由基本不
等式得到取值范围，从而得到最值.
【详解】设 、 ， ， 在准线的射影分别为 ，如图所示，根据抛物线的定义，可知 ， ，
在梯形 中，有 ，
在 中， ，
又∵ ，∴ ，
当且仅当 时取等号，∴ ，
故 的最小值为 .
故选：C
8．当函数 取得最小值时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式将函数 转化为单一三角函数形式，找到最小值对应的相位角，
再利用和角公式计算 的值.
【详解】 ，其中 ， .
当 时， 取最小值，此时 ，故 。.
所以 ， ，故 .
故选：A.
二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求
的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．已知双曲线 ，则（ ）
A．
B．双曲线 的实轴长为
C．双曲线 的渐近线方程为
D．当双曲线 的离心率等于其虚轴长时，
【答案】ABD
【详解】选项A：依题意可得双曲线C的焦点在x轴上，所以 所以选项A正确；
选项B、C：对照焦点在x轴上的双曲线的标准方程： ，知 .所以双
曲线 的实轴长为 ；双曲线 的渐近线方程为： ，即 .所以选项B正确，选项
C错误；
选项D：双曲线 的离心率等于虚轴长时， ，则 ，所以 ，解得
.所以选项D正确.
故选：ABD.
10．已知 是递增的等比数列，其前n项和为 ，若 ，（ ）
A． B．C． D． 不是等比数列
【答案】AC
【详解】设 的公比为 ，则由 ， 递增，得 ，
因为 ，所以 ，解得 或 （舍去），
对于A， ，故A正确；
对于B， ， .故B错误；
对于C， ， ，故C正确；
对于D， ， ，所以 是首项为3，公比为 等比数列，故D错误．
故选：AC
11．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，它是工程数学中重要的函数，也是一类很重要
的初等函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．已知双曲正弦函数的解析式为
，双曲余弦函数的解析式为 （其中 为自然对数的底数），则下列说法
正确的是（ ）
A．
B．函数 为奇函数
C．若直线 与函数 和 的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为
，则
D．若存在 ，关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为【答案】BCD
【详解】对于A， ，
，
化简后得 ，故A错误；
对于B， 的定义域为R， ，所以 是偶函数；
的定义域为R， ，所以 是奇函数，
所以函数 为奇函数，故B正确；
对于C，因为直线 与函数 和 的图象共有三个交点， 在R
上单调递增，即直线 与函数 只有一个交点，
所以直线 与函数 有两个交点，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即 ， ，解得 ，
所以 ，则 ，故C正确；
对于D， ， ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
则 ，又 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 最小值为1，
因为存在 ，关于 的不等式 恒成立，
所以 ，
所以 的取值范围为 ，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知向量 ，若向量 在向量 上的投影向量为 ，则 .
【答案】 /0.5
【详解】 ，
向量 在向量 上的投影向量为 ，
又向量 在向量 上的投影向量为 ，故 ，解得 .
故答案为：
13．若函数 在区间 上有两个极值点，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题意，函数 ，可得 ，
因为函数 在区间 上有两个极值点，
即 在 上有两个不等的实数根，即 在 上有两个不等的实数根，
即函数 和 的图象有两个交点，
又由 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，且当 时， ，当 时， ，
所以 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为： .
14． 如图，在四面体 中， ， ， ， .点 ， 分别
在侧面 和棱 上运动， 为线段 中点，当 运动时，点 的轨迹把三棱锥
分成上、下两部分的体积之比等于 .
【答案】
【分析】根据已知证得 ，即 ，易知点 的轨迹以 为球心的球面被三个平面
所截得，应用球体、棱锥的体积公式求体积，即可得.
【详解】由 ， ， ， 平面 ，则 平面 ，
由 平面 ，则 ，则 ，而 ，故 ，
则中点 的轨迹以 为球心的球面（如图），被三个平面 所截，体积为球体的 ，
所以上部分体积为 ，下部分体积为 ，
所以上、下两部分的体积之比等于 .
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．已知函数 ．
(1)求函数 的周期和其图像的对称轴方程；
(2)当 时，求 的值域．
【详解】（1） ， ……3分
所以 ； ……5分
令 ，解得 ． ……7分
（2）因为 ，所以 ……9分
从而可知 ，
因此 ，故所求值域为 ． ……13分
16．已知椭圆 ， ，且 的离心率为 .
(1)求 的标准方程；
(2)若 ，直线 交椭圆 于 两点，且 的面积为 ，求 的值.
【详解】（1）由题意得： ，即 则 ， ……3分所以 的标准方程为： . ……5分
（2）由题意设 ，
联立 ，消去 得： ， ……7分
则 ， ……8分
则 ， ……10分
可得 ， ……12分
设直线 与 轴的交点为 ，且 ，则 ， ……13分
故 ，解得 . ……15分
17．在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， 平面 ，
.
(1)求证：平面 平面 ；
(2) 平面 于点 ，求二面角 的余弦值.
【详解】（1）在 和 中，
， ，
与 互余，所以 ，即 . ……2分
又 平面 ， 平面 ， . ……3分又平面 中， ，
平面 ， ……4分
又 平面 ， 平面 平面 . ……5分
（2） ， ， 两两互相垂直，
分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系. ……6分
不妨设 ，则 ， ， ， ，
， . ……7分
点 在平面 内，
设 ， ……8分
则
， ……9分
平面 ， ， ，
，
解得 ， ……11分
，即 ， ……12分
点 到平面 的距离 ，
点 到棱 的距离 ， ……13分
设二面角 大小为 ，则 ， ……14分
，即二面角 的余弦值为 . ……15分
（其他解法酌情给分）
18．已知函数 （ ， ， ）.
(1)当 ， 时，求函数 的最小值；
(2)当 时，若 存在两个极值点 ， ，求证： ；
(3)设 ， 为函数 的极值点，且 ，若 ， ， 是一个三角形的三边长，求 的取值范围.
(参考： )
【详解】（1）当 ， 时， 且 ，
则 ， ……2分
当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ； ……4分
（2）当 时，则 且 ，可得 ，
由 存在两个极值点 ， ，则 是 在 上的两个不同根，
所以 ，可得 ， ……6分
由 ，
……8分
所以 ， ，
所以 . ……10分
（3）由题设 且 ，
因为 ， 为函数 的极值点，则 ，所以 ，即 ，显然 ，则 ， ……11分
由 ，则 ，故 ，易知 ， ……12分
由 ， ， 是一个三角形的三边长，则 ，即 ，所以 ，
令 且 ，则 ，
当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，
又 ，故 时 ，综上， ， ……14分
而 ，
由 在 上单调递增， ……15分
当 ，则 ，
当 ， ，则 ，
故 ，即 的范围为 . ……17分
19．某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：
①顾客在该商场内的消费额每满100元，可获得1张奖券；
②每张奖券可以进行1次抽奖活动，即从装有4个白球、2个红球的盒子中，随机摸取1个球（每个球被
摸到的可能性相同）．奖励规则：
若摸出白球，则没有中奖，摸出的白球放回原盒子中，本张奖券抽奖活动结束；
若摸出红球，则中奖，获得礼品1份，且摸出的红球不放回原盒子中，同时得到一次额外的抽奖机会
（该抽奖机会无需使用新的奖券），继续从当前盒子中随机摸取1个球，其奖励规则不变；
③从第二张奖券开始，使用每张奖券抽奖时均在前一张奖券抽奖活动的基础上进行；
④若顾客获得2份礼品（即该顾客将2个红球都摸出）或使用完所获奖券，则该顾客本次购物的抽奖活动
结束．
(1)顾客甲通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“甲使用第2张奖券抽奖，中奖"的概
率；
(2)顾客乙通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“乙获得第2份礼品时，共使用了3
张奖券”的概率；
(3)顾客丙消费了1000元，设 表示顾客丙在这次抽奖活动中所使用奖券的数量，写出 的分布列并证明
期望 .【详解】（1）设事件 “甲使用第 张奖券抽奖，中 次奖” ，
则所求事件为 ，其概率为
．
……3分
（2）设事件 “乙使用第 张奖券抽奖，中 次奖” ，
则所求事件为 ，其概率为
．
……7分
（3）由题意可知 的所有可能取值为1，2，⋯，10．
当 时，表示顾客丙使用 张奖券将2个红球全部摸出；
当 时，表示顾客丙使用第10张奖券抽奖时盒子里有1个或2个红球．
设事件“顾客丙使用第 张奖券抽奖时盒子里有2个红球”的概率为 ，事件“顾客丙使用第 张奖券抽
奖时盒子里有1个红球”的概率为 ，
则 ， ， ， ……8分
， ……10分
∴ ， ……11分
， ∴
，∴ ， ， ……13分
∴ ， ，
……15分
∴ ； ……16分
∴ . ……17分
