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数学保温卷2 教师版
一、单选题
1．已知 ，则 （ ）
A．10 B． C．5 D．
【答案】A【详解】解法一： ，
解法二：因为 ，所以 ，故选：A.
2．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的公差等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D【详解】设等差数列 的公差为 ，因为 ，可得
，整理得 ，解得 .故选：D.
3．设 表示两条不重合的直线， 表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．存在一对异面直线 ，则
【答案】D
【详解】对于A，由 ，得直线 与 可能平行、可能相交，也可能在面内，A错误；
对于B，由 ，得 可能平行，也可能相交，B错误；
对于C，要 垂直于 内的两条相交直线，才能推出 ，C错误；
对于D，过直线 的平面 ，由 ，得 ，而 ，则 ，
1
学科网（北京）股份有限公司由 是异面直线，得直线 相交，又 ，因此 ，D正确. 故选D，
4．已知 ， ．若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B.
【详解】 ， ， 是在 上递增的奇函数，
又 是偶函数，且 时， ， 时， ，故 单调递
减； 单调递增，且 ， ，
，
，
C不成立，D不成立； ，
A不成立，B成立；故选：B．
二、多选题
5、已知圆 ，圆 ，直线 ，下列结论正确的
是（ ）
A．若直线 与圆 相切，则
B．若 ，则圆 上到直线 的距离等于 的点恰有3个
C．若圆 与圆 恰有三条公切线，则
D．若 为圆 上的点，当 时，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则 可能为
【答案】ABD
【详解】易知圆 的圆心 的坐标为 ，半径为1，圆心 到直线 的距离 ，
2
学科网（北京）股份有限公司对于A，因为直线 与圆 相切，所以 ，解得 ，A正确；
对于B，当 时，圆心 到直线 的距离 ，故圆 上到直线 的距离为 的点恰有3
个，B正确；对于C，圆 与圆 恰有三条公切线，
则两圆外切，即 ，解得 ，C错误；
对于D，如图，点 在 位置时， ，此时 ，点 在 位置时
，此时 ，所以中间必然有位置使得 ，故D正确．故选：ABD
6．设平面上，动点 到点 的距离的倒数之和等于1，那么（ ）
B． 的最小值为2
C．当点 不在坐标轴上时，点 在椭圆 的外部
D．记点 的横坐标为 ，则 随着 的增大而增大
【答案】ACD解析：对于A选项，由题意可知 ，则 ，
因 ，所以 ，解得 ，故A正确；
对于B选项，当 时， ，故B错误；
对于C选项， ，
当且仅当 时，等号成立，
所以若点 不在坐标轴上时， ，此时点 在椭圆 的外部，故C正确；
对于D选项，由 ，得 ，
3
学科网（北京）股份有限公司因 ， ，则 ，即
，所以 ，
即 ，令 ，则
，令 ，则 ，
则当 增大时， 中 也增大，即 随着 的增大而增大，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
7、记 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 ．
【答案】
【详解】因为 ，由正弦定理得 ，
所以 ，即 ，所以 或 （舍
去），即 ，又因为 ，则 ，解得 ．故答案为： .
8．已知甲同学定点投篮，每一次投中的概率均为 ，记甲同学投篮的总次数为 ．规定投中3次就
“通过”并停止投篮，则
=
值为多少时，“通过”的可能性最大，此时“通过”的概率为
1 1 1 (n−1)(n−2)
P(X=n)=C2 ( ) 2 ( ) n−3 × = （n≥3）
【解析】（1）
n-1 2 2 2 2n+1
n(n−1) (n−1)(n−2) (n−1)(4−n)
P(X=n+1)−P(X=n)= − =
2n+2 2n+1 2n+2
令
P(X=n+1)−P(X=n)≥0
，可得
3≤n≤4
，
可得，当
n=4
时，
P(X=5)=P(X=4)
,
当
n=3
时，
P(X=4)−P(X=3)>0
，即
P(X=4)>P(X=3)
,
当
n≥5
时，
P(X=n+1)−P(X=n)≤0
，即
P(X=n+1)≤P(X=n)
,
3×2 3
P(X=n) =P(X=4)=P(X=5)= =
max 25 16
可得， .
四、解答题
4
学科网（北京）股份有限公司9、如图，在三棱锥 中， 平面ABC， 为锐角，动点D在 的边AC上， ，
， ，三棱锥 的体积为 .
(1)证明：平面 平面PAB.
(2)当点P到直线BD的距离为 时，求PD与平面ABC所成的角.
【详解】（1）证明：因为 平面ABC， 平面ABC，所以 ，
， ，
所以 ，同理得 .
又因为 ，所以 .
因为 为锐角三角形，所以 .
由余弦定理，可知 ，所以 ，所以
，
又因为 ， ，PA， 平面PAB，
所以 平面PAB，所以平面 平面PAB.
（2）如图，以 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， .
设 ，则 .
由 ，
解得 或 （负值舍去），所以 .
由（1）知PD与平面ABC所成的角为 ，所以 ，
所以 ，即PD与平面ABC所成的角为 .
5
学科网（北京）股份有限公司10．为考察某种药物预防和治疗流感的效果，某药物研究所用100只小白鼠进行了分组试验，该分组试
验分两个阶段：第一阶段为5天的观察预防期，第二阶段为10天的观察治疗期.第一阶段结束时，统计
数据如下：患病小白鼠的比例为 ，未服药小白鼠的比例为 ，未服药且未患病的小白鼠有20只.
(1)完成下面 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，推断该药物对预防流感是否有效.
流感
合
药物
未患 患 计
病 病
未服
用
服用
合计
(2)第一阶段结束时，若在患病的小白鼠中随机抽取2只，用 表示服药的只数，求 的分布列和数学期
望.
(3)第二阶段结束时，针对第一阶段结束时的服药且患病的小白鼠中有16%被治愈，未服药患病的小白鼠
中有5%自愈，服药未患病的小白鼠中有20%患病，未服药未患病的小白鼠中有15%患病.用频率估计概
率，试验结束后，从这100只小白鼠中任选1只，检测是否患病后放回，若该操作进行5次，求选出的5
只小白鼠中至少有2只患病的概率. 附： ，其中 .
0.1 0.05 0.01
2.70 3.84 6.63
6 1 5
【详解】（1）因为患病小白鼠的比例为 ，所以患病小白鼠有 只，
则不患病的小白鼠有 只，又未服药小白鼠的比例为 ，
所以未服药小白鼠有 ，从而完善 列联表，如下表：
流感
合
药物
未患 患 计
病 病
6
学科网（北京）股份有限公司未服
20 20 40
用
服用 35 25 60
合计 55 45 100
零假设为 ：该药物对预防流感无关联. 因为 ，显然 ，
根据小概率值 的独立性检验，推断 成立，没有充分证据表明该药物对预防流感有效.
（2）由题意X的所有可能取值为 ，
则 ， ， ，所以 的分布列为：
0 1 2
所以 的数学期望为 .
（3）第二阶段结束后，服药且患病的小白鼠中有16%被治愈，那么服药且患病后仍患病的小白鼠的数
量为 ，未服药患病的小白鼠中有5%自愈，
那么未服药患病后仍患病的小白鼠的数量为 ，
服药未患病的小白鼠中有20%患病，那么服药未患病后患病的小白鼠的数量为 ，
未服药未患病的小白鼠中有15%患病，那么未服药未患病后患病的小白鼠的数量为 ，
所以第二阶段结束后患病的小白鼠的总数量为 ，
所以从这100只小白鼠中任选1只，患病的概率为 ，
设 表示选出的5只小白鼠中患病的只数，则 ，
“至少有2只患病”的对立事件为“0只患病”或“1只患病”，
7
学科网（北京）股份有限公司所以 .
11、设数列 的前 项和为 ，且 1，定义： ，已
知在平面直角坐标系中，记圆 ，曲线 .
(1)求 的通项公式； (2)求 与 的交点个数；(3)探究当 时， 与 是否有交点.
【详解】（1）由于 ，当 时， ，作差得 ，即
，
又 ，故 ；经检验 同样满足，故 的通项公式为 .
（2）由题易得 ，画出 与曲线 的图象，
可知 与 的交点个数为2.
（3）没有交点.只需证明对任意的 ，有 ，
这是因为 经过点 经过点 ，
若 ，说明 在 处的 值大于 在 处的 值，且 为增函数，则没有交点，
只需证明 ，即 . 记函数 ，
则 ，
故 在 上单调递增. 又 ，
当 时， ，易得 恒成立；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，易得 恒成立，即 ，
故 ，故当 时， 与 无交点.
【点睛】关键点点睛：本题第3问关键是通过式子变形转化为证明 ，构造函数
，借助导数研究单调性解题，综合性强，属于难题.
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