湘教版7年级数学上册高清教材_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_初中高中教资_03科三专项（进去保存报考的学科即可）_02科三专项（笔记真题思维导图教学设计版本二）

义 务 教 育 教 义务教育教科书 科 书 数 学 义务教育教科书 数 学 七年级上册 七 年 级 上 册 七年级上册 义 务 教 育 教 义务教育教科书 科 书 数 学 数 学 义务教育教科书 数 学 七年级上册 七 年 级 上 册 湘教封面 数学2 改字体.indd 1 2024/3/9 19:16 七年级上册 义 务 教 育 教 义务教育教科书 科 书 数 学 数 学 义务教育教科书 数 学 七年级上册 七 年 级 上 册 湘教封面 数学2 改字体.indd 1 2024/3/9 19:16 七年级上册 义 务 教 育 教 义务教育教科书 科 书 数 学 数 学 义务教育教科书 数 学 七年级上册 七 年 级 上 册 湘教封面 数学2 改字体.indd 1 2024/3/9 19:16 七年级上册 数 学 ISBN 978-7-5539-9992-0 9787553999920> 定价： 11.50元 湘教封面 数学2 改字体.indd 1 2024/3/9 19:16七年级上册 义务教育教科书 YIWU JIAOYU JIAOKESHU 数 学 SHUXUE顾 问 袁亚湘 郑志明 主 编 丘维声 副 主 编 柳 彬 编写人员 成礼智 向利平 李建利 李铁安 李超贵 邹楚林 陈金红 赵雄辉 著作权所有，请勿擅用本书制作各类出版物，违者必究。 图书在版编目（CIP）数据 义务教育教科书. 数学七年级上册 / 丘维声主编. —长沙： 湖南教育出版社，2024.7 ISBN 978-7-5539-9992-0 Ⅰ. ①义… Ⅱ. ①丘… Ⅲ. ①中学数学课—初中—教材 Ⅳ. ①G634 中国国家版本馆CIP数据核字（2024）第039732号 义务教育教科书 数 学 七年级上册 YIWU JIAOYU JIAOKESHU SHUXUE QINIANJI SHANGCE 责任编辑：邹楚林 陈 珏 美术编辑：张婷婷 湖南教育出版社出版(长沙市韶山北路443号) 电子邮箱：hnephmath@126.com 客服电话：0731-85486740 湖 南 出 版 中 心 湖南省新华书店发行 湖南天闻新华印务有限公司印装 787 mm×1092 mm 16开 印张：11.5 字数：187 500 2024年7月第1版 2024年7月第1次印刷 ISBN 978-7-5539-9992-0 定价：11.50元 如有质量问题，影响阅读，请与湖南出版中心联系调换。 联系电话：0731-88388986 0731-88388987前 言 亲爱的同学，欢迎你迈入初中新生活！ 数学是重要的基础科学，是科技创新发展的重要支撑，数学实 力往往也是国家实力的体现. 数学是锻炼思维的体操，学好数学能 使你的思维更具逻辑性、更有条理性，同时能增强想象力和创造 力. 因此，你应努力学好数学，筑牢未来发展基石. 数学用处之大，日用之繁，一定令你对初中的数学学习充满着 好奇. 先来看看本学期的主要学习内容吧！ 生活中存在许多具有相反意义的量，我们将其中一种意义的量 用小学学过的大于 的数表示后，为表示与它意义相反的量，需要 0 引入一种新的数——负数. 引入负数后，数得到了扩充. 扩充后， 如何比较两个数的大小？如何进行四则运算？这些都是第 1 章 “有 理数”的主要内容. 在小学，你已经学会用字母表达实际情境中的数量关系. 第 2 章 “代数式”将以此为基础，带你进一步体验用数学符号表示数量 关系的过程，并学习如何对整式进行加减运算. 将一些实际问题中的未知数用字母x等表示后，你就可依据问 题中的等量关系，建立起含有未知数的等式. 第 章“一次方程 3 （组）”将以此为出发点，分别介绍含有一个未知数、两个未知数、 三个未知数，且次数均为 的方程（组）的求解方法，并举例说明如 1 何运用一次方程（组）解决一些具体问题. 生活中随处可见多姿多彩的图形，从这些图形中可以抽象出 点、线、面、体. 第 章“图形的认识”将从点、线出发，带你认 4 识线段、射线和直线的一些特征，并理解角的概念，掌握角的度量 单位及其换算，以及角的和、差计算. 1在“综合与实践”专栏，你将感受数学的神奇魅力，不断提高 数学素养和解决现实问题的能力，培养应用意识、创新意识和团结 协作的能力. 本册中《古诗文中的数学》等待你来探索，《七巧板与 拼图制作》定让你成就感满满. 在“数学文化”专栏，你将深刻感悟到数学的文化与价值，发 展文化素养. 本册将带你了解《〈九章算术〉与“正负术”》《“代数” 一词的由来》《〈九章算术〉与消元》. 至此，你大致了解了本册的主要知识内容. 以下是掌握好这些 内容的建议，我们真诚地分享给你： 认真阅读教科书，深刻理解每一个概念，掌握好基础知识和基 本技能；积极参与课堂教学活动，注重培养数学思维能力；多独立 思考，学会思考的方法，逐步学会发现、提出、分析和解决问题； 学会归纳总结，认真查找自己的不足，不断改进学习方法. 初中阶段是你学习数学的最佳时期之一，学好数学将会使你终 生受益. 相信你已经做好准备，开始努力吧！预祝你在新的学习阶 段取得令自己满意的成效！ 2目目 录录 1 第 章 有理数 1 1.1 认识负数 2 1.2 数轴、相反数与绝对值 6 1.3 有理数大小的比较 14 1.4 有理数的加法和减法 18 1.5 有理数的乘法和除法 30 ■ 多知道一点 有理数范围内三个运算律的一般性验证 43 1.6 有理数的乘方 45 1.7 有理数的混合运算 51 ■ 小结与评价 54 ■ 复习题1 56 ■ 数学文化 《九章算术》与“正负术” 60 22 第第 章章 代数式 63 2.1 代数式的概念和列代数式 64 2.2 代数式的值 71 2.3 整式的概念 75 2.4 整式的加法与减法 82 ■ 现代技术应用 用计算机做批量计算 87 ■ 小结与评价 88 ■ 复习题2 90 ■ 数学文化 “代数”一词的由来 93 1233 第第第 章章章 一次方程（组） 95 3.1 等量关系和方程 96 3.2 等式的基本性质 100 3.3 一元一次方程的解法 107 3.4 一元一次方程的应用 111 3.5 认识二元一次方程组 117 3.6 二元一次方程组的解法 120 ■ 多知道一点 整体思想的应用 126 3.7 二元一次方程组的应用 128 *3.8 三元一次方程组 135 ■ 小结与评价 139 ■ 复习题3 141 ■ 数学文化 《九章算术》与消元 144 综合与实践 古诗文中的数学 146 243 第第第 章章章 图形的认识 148 4.1 立体图形与平面图形 149 4.2 线段、射线、直线 154 4.3 角 160 ■ 现代技术应用 用计算机画线段的中点 168 ■ 小结与评价 170 ■ 复习题4 172 综合与实践 七巧板与拼图制作 175 2第 1 章 有 理 数 2022年，我国成功举办了第24届冬季奥林匹克运动会，并 在国家体育场（鸟巢）举行了盛大开幕式. 开幕式当天天气预报为 “北京，晴，零下6 ℃（摄氏度）到1 ℃”. 如何表示像“零上1 ℃”和“零下6 ℃”这样具有相反意义的 两种量呢？我们将其中一种意义的量，如零上温度等，用小学学 过的大于0的数表示后，为表示与它意义相反的量，如零下温度 等，需要引入一种新的数——负数. 引入负数后，数得到了扩充. 扩充后，如何比较两个数的大 小？如何进行加、减、乘、除运算？小学学过的运算律还适用 吗？本章将为你解开上述疑惑.1.1 认识负数 在日常生活和生产实践中，经常会遇到具有相反意义的量①. 如水位变化 有“升高多少”和“降低多少”，经营情况有“盈利多少”和“亏损多少”或 “收入多少”和“支出多少”，价格变化有“上涨多少”和“下跌多少”，等等. 思 考 在预报北京市某天的天气时，播音员说：“北京，晴，局部多云，零 下6 ℃到5 ℃ .”如何表示“零下6 ℃”和“5 ℃”呢？ 为了表示某一问题中具有相反意义的两种量，我们把其中一种意义的量， 如水位升高、价格上涨等规定为正的，用小学学过的大于0的数，如2，0.6， 1 等来表示它们，这样的数叫作正数；而把与它意义相反的量，如水位降低、 3 价格下跌等规定为负的，用在正数前面添上“-”（称作“负号”）的数，如-3 1 （读作“负3”），-0. 4， - 等来表示它们，这样的数叫作负数. 10 我们知道，气温5 ℃比0 ℃高，零下6 ℃ 比0 ℃低，于是用“5 ℃”表示“零上5 ℃”， 用“-6 ℃”表示“零下6 ℃”，如图1.1-1 所示. 零 上 正数的前面也可添上“+”（称作“正 号”），如 +3（读作“正 3”），+0. 618， 零 2 · 下 + ，+0.3等. 通常情况下，正数前面的正 3 号可省略不写. 图1.1-1 既不是正数，也不是负数. 0 正数和0统称为非负数. ①它们的属性相同，但表示的意义却相反. 2第1章 有理数 议一议 2020年12月8日，中国、尼泊尔两国向全世界正式宣布珠穆朗玛峰 峰顶的最新高度为8 848.86 m . 珠穆朗玛峰金顶 我国 “奋斗者” 号载人潜水器 2020年11月10日8时12分，我国“奋斗者”号载人潜水器在马里亚 纳海沟成功坐底，坐底深度为10 909 m，刷新中国载人深潜纪录. 将测量起点记作0，珠穆朗玛峰峰顶的高度和“奋斗者”号载人潜水 器的坐底深度分别如何表示？ 做一做 如图1.1-2，小华、小楠从同一点O出发，沿一条笔直的东西向人行 道分别去图书馆和体育馆，已知图书馆在出发点O的东边2 km处，体育 馆在出发点O的西边4 km处. 图1.1-2 如果规定向东用正数表示，则小华应向 走 km，可记为 km，小楠应向 走 km，可记为 km . 1 2 7 我们把像1，2，3，…这样的正数称为正整数，像 ， ， ，…这样的正 2 3 4 数称为正分数. 现在认识了负数，类似地，把像-1，-2，-3，…这样的负 1 2 7 数称为负整数，像 ， ， ，…这样的负数称为负分数. - - - 2 3 4 3数学 七年级上册 正整数、负整数、零统称为整数，正分数、负分数统称为分数. 由小学知识可知，正有限小数和正无限循环小数都可以化为正分数的形 159 1 · 1 ·· 1 式，例如，1. 59= ，0. 125= ，0.3= ，0.09= . 认识负数后，负 100 8 3 11 159 有限小数和负无限循环小数也可化成负分数的形式，例如，-1. 59=- ， 100 1 · 1 ·· 1 -0. 125=- ，-0.3=- ，-0.09=- . 8 3 11 特别地，正整数可看作分母为1的正分数，负整数也可看作分母为1的负 2 2 分数. 例如， +2=+ ， -2=- . 1 1 我们把可以化成正分数形式的数，称为正有理数，把可以化成负分数形式 的数，称为负有理数. 正有理数、负有理数、零统称为有理数. 因此，有理数可以进行如下分类： 正有理数 ì ïïïï 还有其他的分类 有理数í零 î ïïïï 方式吗？ 负有理数 练 习 1 银行电子账单交易明细单上，存入的钱用正数表示，支出的钱用负数表 示. 月 日张叔叔存入银行 元，交易明细单上记作 元； 8 15 2 000 月 日他又支出 元，交易明细单上记作 元. 8 28 1 600 2 通常把标准大气压下水结冰时的温度规定为 ，那么比水结冰时的温度低 0 ℃ 应记作什么？ 5 ℃ 3 分别写出 个正有理数、 个负有理数. 5 5 4 把下列各数填在相应的横线上： · · 3 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . -1 12 -0. 5 3.6 0 -5. 14 6 -78 -0. 37 -0.05 5 （）正有理数： ； 1 （）负有理数： ； 2 （）零： . 3 4第1章 有理数 习题1. 1 学而时习之 1 某粮库把运进的粮食质量用正数表示，把运出的粮食质量用负数表示. 在 6 月 日至 月 日这 天中，该粮库进出粮食的记录如下： 6 6 10 5 日期 6月6日 6月7日 6月8日 6月9日 6月10日 粮食质量/t 50 -15 -20 30 -10 请根据上表说出该粮库这 天每天的粮食进出情况. 5 2 开学第一天，小王的父母给了他 元. 当天小王买数学作业本花了 元， 50 6.5 买语文作业本花了 元. 请把开学第一天小王的收支情况分别用正数和 12.8 负数表示出来. 3 把下列各数填在相应的横线上： · 10 · 3 1 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . -14 2. 8 45 - -0.25 0 - 2. 07 -7. 1 -181 3 3 4 2 （）正有理数： ； 1 （）零： ； 2 （）负有理数： . 3 温故而知新 4 《九章算术》是我国古代数学最重要的著作之 一，全书分成九章. 第八章《方程》的第八题 讲述一个人有一次到家畜市场，卖了牛和羊， 买了猪，钱还有剩余. 把卖牛和羊得到的钱算 作正，把买猪付出的钱算作负. 按照这种记法，假设刘叔叔某天在农贸市场 《九章算术》书影 的收支情况为 ， ， ， ， ，请说明刘叔叔当天的具体买 +40 -30 -5 +20 -16 卖情况. 51.2 数轴、相反数与绝对值 1􀆰 2􀆰 1 数 轴 观 察 小玲从点O出发，沿一条笔直的东西向人行道行走，分别到达A， B，C，D四点处. 其中点A在点O东边10 m处，点B在点O西边10 m 处，点C在点O东边30 m处，点D在点O西边30 m处. 小玲用图1.2-1 中的直线和点刻画出了她分别到达的四个位置. 由图你能受到什么启发？ 图1.2-1 由图可知，可用直线表示笔直的人行道，并将出发点O用数0表示，点O 东边的点用正数表示，点O西边的点用负数表示，1个单位长度代表10m长. 抽 象 上面的例子启发我们，可以用负数、0、正数表示一条直线上的点，反过 来，也可用一条直线上的点来直观地表示数. 画一条直线（通常把它水平放置），在直线上任取一点O，把点O叫作原 点，用原点表示数0 . 规定直线的正方向（标上箭头）. 在未作特别说明时，通常把直线上从原点 向右的方向规定为正方向，从原点向左的方向规定为负方向. · · 选取适当的长度作为单位长度，则从原点向右，距原点1个单位长度的点 6第1章 有理数 表示数1，距原点2个单位长度的点表示数2，…，从原点向左，距原点1个单 位长度的点表示数-1，距原点2个单位长度的点表示数-2，…. 像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴， 如图1.2-2 所示. 图1.2-2 像上面这样，可以将任何有理数都用数轴上唯一的点来表示. 也就是说， 每个有理数都对应数轴上的一个点. 表示正有理数的点都在原点右侧，表示负 有理数的点都在原点左侧，表示0的点就是原点. 例1 如图1.2-3，数轴上的点M，N，P，Q分别表示哪个有理数？ 图1.2-3 解 点M，N，P，Q分别表示-3，1.3，-1，2.5 . 例2 画一条数轴，并分别标出表示下列各数的点： 1 1 -5，1.5，-3.5，4.5，- ， . 2 2 解 所画数轴及各数在数轴上对应的点如图1.2-4所示. 画一条数轴的 图1.2-4 关键是什么？ 练 习 1 把下列各数和数轴上对应的点用线连起来： 0 -2 3 -3.5 4.25 （第1题图） 7数学 七年级上册 2 填空： （）数轴上在原点右边距原点 个单位长度的点表示的数是 ； 1 3.7 5 （）数轴上在原点左边距原点 个单位长度的点表示的数是 ； 2 8 （）数轴上距原点 个单位长度的点有 个，它们分别表示数 . 3 2 3 画一条数轴，并分别标出表示下列各数的点： ， ， ， . -2 -0.8 0.8 2 1􀆰 2􀆰 2 相反数 说一说 如图1.2-5，点A和点B分别表示哪个有理数？点A，点B到原点的 距离相等吗？ 图1.2-5 点A表示-5，点B 点A，点B到原点的 表示5 . 距离相等，都是5 . 抽 象 像5和-5这样，如果两个数只有符号不同，那么其中一个数叫作另一个 数的相反数，也称这两个数互为相反数. 例如，2.6的相反数是-2.6，-2.6 的相反数是2.6， 因此2.6与-2.6互为相反数. 的相反数是 . 0 0 互为相反数的两个数（0除外）在数轴上对 数轴上到原点的距离 应的两个点，分别位于原点的两侧，并且到原 等于a（a>0）的点有几个？ 点的距离相等. 8第1章 有理数 例3 画一条数轴，并分别标出表示3，1.5，-6的相反数的点. 解 3 的相反数是-3，1.5 的相反数是-1. 5，-6 的相反数是 6，且 -3，-1.5，6在数轴上对应的点分别为A，B，C，如图1.2-6所示. 图1.2-6 议一议 -2.6的相反数是2.6，如何用式子表示？与同学交流你的结果. 通常把数a的相反数记作“-a”. 于是“-2.6的相反数是2.6”用式子表 示就是“-（-2. 6）=2. 6”. 例4 填空： （1）-（+0. 8）= ； （2）-（-3）= . 解 （1）-（+0. 8）=-0.8； （2）-（-3）= 3 . 练 习 1 把下列各数中互为相反数的两个数用线连起来，并在一条数轴上分别标出 表示它们的点. 2.5 4 1 0 0 -1 -2.5 -4 2 填空： （ 1 ） -（+8）= ； （ 2 ） -（+6. 7）= ； ( ) 5 （ 3 ） -（-9）= ； （ 4 ） - - = . 3 3 已知a的相反数是 3.5 ，则a等于多少？ 9数学 七年级上册 1􀆰 2􀆰 3 绝对值 在实际生活中，有时无需关注一个数是正数还是负数. 如一个人在东西向 的人行道上来回散步时，他只关注走的路程，而不关注方向. 于是，我们需要 学习一个新的概念——绝对值. 数学上规定： 正数的绝对值是它本身； 负数的绝对值是它的相反数； 的绝对值是 . 0 0 为了简便，常用“|a|”表示一个数a的绝对值. 例5 求下列各数的绝对值： 3 0.36，12，- ，-7.5，0 . 5 ||| ||| 解 | 0. 36 | =0. 36，| 12 | =12，|| - 3 || = 3 ， | 5 | 5 | -7. 5 | =7. 5，| 0 | =0 . 议一议 如果a表示一个数，则|a|等于多少？ 一般地，如果a表示一个数，则： （1）当a是正数时，|a| =a； （2）当a=0时，|a| =0； （3）当a是负数时，|a| =-a. ìa，a为非负数， 一个数的绝对值一定是 即|a| =í î-a，a为负数. 一个非负数. 做一做 画一条数轴，用数轴上的点表示4，-4，2，-2，并求这些点与原 点的距离. 10第1章 有理数 在如图1.2-7所示的数轴上，4，-4，2，-2可分别用点A，B，C，D 表示. 图1.2-7 观察图1.2-7可知，点A，B与原点O的距离均为4，点C，D与原点O的 距离均为2 . 又| 4 | =4，| -4 | =4，| 2 | =2，| -2 | =2， 因此，一个数的绝对值表示这个数在数轴上的对应点与原点之间的距离. 说一说 互为相反数的两个数的绝对值相等吗？ 互为相反数的两个数 的绝对值相等. 例6 若|a| =8. 7，求a. 解 因为绝对值等于8.7的有理数有8.7和-8.7两个， 所以a=8. 7或a=-8. 7 . 练 习 1 1 分别求 ， ， ， 的绝对值. 3 3.14 - -2.8 5 2 填空： （） | | ； （）| | ； 1 --2010 = 2 -4. 8 = ||| ||| （）| | || 5 || . 3 -1 - = | 8 | 3 画一条数轴，并分别标出表示绝对值等于 ， 的数的点. 2 3.5 11数学 七年级上册 习题1. 2 学而时习之 1 如图，写出数轴上点A，B，C，D表示的有理数. （第1题图） 2 画一条数轴，并分别标出表示下列各数的点： 2 ， ， ， ， ， . - 0 -3 2.5 -1.2 5.5 5 1 7 1 3 分别写出 ， ， ， ， 的相反数. - 0 2.5 - 8 4 6 4 画一条数轴，并分别标出表示下列各数的相反数的点： ， ， ， . -4 -3 2 -1.5 5 填空： （ 1 ） -（+7）= ； （ 2 ） -（-9）= ； ( ) 2 （） . 3 - - = 3 6 写出下列各数的绝对值： 3 4 ， ， ， . 20 -20 - 2 3 3 7 已知|a| = ，则a= . 4 3 8 画一条数轴，并分别标出表示绝对值等于 ， ， 的数的点. 0.5 0 2 温故而知新 9 点A在数轴上，位于原点的左侧，且距原点 4 个单位长度. 若将点A先向左移 动 2 个单位长度，再向右移动 10 个单位长度，此时点A所表示的数是多少？ 12第1章 有理数 10 根据要求在空框内填上适当的数： 相反数 绝对值 8 相反数 绝对值 -0.87 绝对值 相反数 -1.6 绝对值 相反数 5 绝对值 相反数 -0.3 11 如果a是正数，那么 -a是负数吗？如果a是负数，那么 -a是什么数呢？ 12 从一批乒乓球中挑选出 个球，将它们编号后进行称重检查，结果如下（超 6 过标准质量的部分记为正数，不足的部分记为负数，单位： ）： g 编号 1 2 3 4 5 6 检查结果 +0.02 -0.03 -0.05 +0.04 -0.01 +0.06 如果让你来挑选最接近标准质量的球，你会选择几号球？理由是什么？ 13 在一条不完整的数轴上从左到右有A，B，C三点，其中A，B两点的距离 是 2 个单位长度，B，C两点的距离是 1 个单位长度，如图所示. （第13题图） （ 1 ）若以B为原点，写出点A，C所对应的数；若以C为原点，写出点A， B所对应的数. （ 2 ）若原点O在图中数轴上点C的右边，且C，O两点的距离为 8 个单位长 度，写出点A，B，C所对应的数. 131.3 有理数大小的比较 1 1 在小学我们已经会比较正数的大小，例如5>3， > ；并且还知道， 2 3 1 5>0， >0，…，即正数都大于0 . 认识负数后，任意两个有理数该怎样比 2 较大小呢？ 说一说 温度-3 ℃与2 ℃，哪个温度高？温度0 ℃与-10 ℃，哪个温度高？ 2℃比-3℃高，因为我感觉温度在 2 ℃时比-3 ℃时暖和. 同样，0 ℃比 -10 ℃高，也是因为我感觉在0 ℃时比 -10℃时暖和. 由此受到启发，规定： 正数大于负数， 大于负数. 图1.3-1 0 思 考 温度-10 ℃与-3 ℃，哪个温度低？-10的绝对值与-3的绝对值， 哪个大？由此你能受到什么启发？ 我们知道温度在-10 ℃时比-3 ℃时冷，于是-10 ℃比-3 ℃低. 但是，由于| -10 | =10，| -3 | =3，因此| -10 | > | -3 |. 由此受到启发，规定： 两个负数，绝对值大的反而小. 根据这个规定，由| -10 | =10，| -3 | =3，且10>3可知，-10<-3 . 14第1章 有理数 另一方面，在数轴上表示-10的点A在表示-3的点B的左边（如图1.3-2 所示）. 图1.3-2 于是，一般地，有下述结论（如图1.3-3所示）： 在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大. 图1.3-3 例 比较下列各组数的大小： 2 3 （1）-6与-3； （2） - 与 - ； 5 5 ( ) 1 ||| 1 ||| （3） - - 与- | -2 |； （4） -（-0. 3）与|| - ||. 2 | 4 | 解 （1）因为| -6 | =6，| -3 | =3， 又6>3，所以-6<-3 . 负数比较大小， ||| 2 ||| 2 ||| 3 ||| 3 （2）因为|| - || = ，|| - || = ， 先看它们的绝对值. | 5 | 5 | 5 | 5 2 3 2 3 又 < ，所以 - >- . 5 5 5 5 ( ) 1 1 （3）因为 - - = ，- | -2 | =-2， 2 2 ( ) 1 所以 - - >- | -2 |. 2 ||| 1 ||| 1 （4）因为-（-0. 3）=0. 3，|| - || = =0. 25， 你能借助数轴 | 4 | 4 比较这四组数的大 ||| 1 ||| 又0. 3>0. 25，所以-（-0. 3）> || - ||. 小吗？试一试. | 4 | 15数学 七年级上册 练 习 1 比较下列各组数的大小： （） 与 ； （） 与 ； 1 -896 0.01 2 -1.5 -1.4 1 2 3 （） 与 ； （） 与 ； 3 - -0. 3 4 - - 4 5 7 ( ) 2 （） 与 | |； （） 与| |. 5 -5.5 --4. 5 6 - - -0. 6 3 2 在一条数轴上分别标出表示下列各数的点，并把这些数用“ ”连接起来： < ， ， ， . 0 3 -4 -1.5 习题1. 3 学而时习之 1 将下列方框中的数分别填入下面的表格中： 1 11 8，-7，-5，0， ，3， - ，-1 2 2 大于2的数 小于-2的数 2 比较下列各组数的大小： （） 与 ； （） 与 ； 1 5 -6 2 -3.5 -3.6 5 3 4 （） 与 ； （） 与 ； 3 0 - 4 - - 9 2 3 ( ) ( ) ||| ||| 3 2 13 1 （） 与|| ||； （） 与 ； 5 - - 6 - - - - 10 | 5 | 6 15 ||| 1 ||| 2 ||| 1 ||| （） 与 || ||； （） 与 || ||. 7 -0. 5 -- 8 - -- | 4 | 9 | 3 | 16第1章 有理数 3 把下列各数用“ ”连接起来： < ， ， ， . -3.5 2 0 -1 温故而知新 4 下面是某市一周的天气情况，试比较每天最低气温的大小，并在一条数轴 上将它们表示出来. 星期一 -12~1℃ 星期五 -15~-2℃ 星期二 -9~2℃ 星期六 -10~-2℃ 星期三 -6~7℃ 星期日 -11~3℃ 星期四 -7~1℃ 5 分别写出所有满足下列条件的数： （）小于 的非负整数； 1 4 （）大于 的负整数； 2 -4 （）绝对值小于 的整数. 3 3 17a+b=b+a (a+b)+c=a+（b+c） a-b=a+(-b) 1.4 有理数的加法和减法 1􀆰 4􀆰 1 有理数的加法 由小学知识可知，两个正数相加得正数，正数与0相加仍得这个正数. 认 识负数后，如何计算两个负数相加呢？一个正数与一个负数相加呢？ 观 察 小婷骑自行车从点O出发，沿一条东西向的笔直马路先向西骑行了 2 km，然后继续向西骑行了3 km，如图1.4-1所示. 若规定向东为正， 则她两次骑行后，从点O向哪个方向骑行了多少千米？ 3 km 2 km 图1.4-1 两次骑行后，小婷从点O向西骑行了（2+3）km . 由于规定向东为正，则向西应为负，于是可得等式 （-2）+（-3）= -（2 + 3）. ① 由①式受到启发，规定： 两个负数相加，结果是负数，并把它们的绝对值相加. 例1 计算： （1）（-8）+（-12）； （2）（-3. 75）+（-0. 25）； ( ) ( ) 1 1 （3） - + - . 3 4 解 （1）（-8）+（-12）=-（8+12）=-20 . （2）（-3. 75）+（-0. 25）=-（3. 75+0. 25）=-4 . 18第1章 有理数 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 7 （3） - + - =- + =- . 3 4 3 4 12 前面已经学习了如何求两个同号有理数的和，那么如何求两个异号有理数 （即一个正数与一个负数）的和呢？ 思 考 将“观察”栏目中的条件分别改为： （1）先向东骑行了4 km，然后因故掉头向西骑行了1 km； （2）先向西骑行了3 km，然后因故掉头向东骑行了1 km . 在其他条件均不变的情况下，则她两次骑行后，从点O分别向哪个方 向骑行了多少千米？ （1）如图1.4-2，由于小婷掉头向西骑行1 km抵消了原来向东骑行4 km中 ·· 的1 km，因此两次骑行后，相当于从点O向东骑行了（4-1）km . 于是有等式 · 4+（-1）= +（4-1）. ② 1 km 4 km 图1.4-2 （2）如图1.4-3，由于小婷掉头向东骑行1 km抵消了原来向西骑行3 km中 ·· 的1 km，因此两次骑行后，相当于从点O向西骑行了（3-1）km . 于是有等式 · （-3）+1= -（3-1）. ③ 1 km 3 km 图1.4-3 从②③式受到启发，规定： 异号两数相加，当正数的绝对值较大时，得正数，并用较大的绝对值减去 较小的绝对值；当负数的绝对值较大时，得负数，并用较大的绝对值减去较小 的绝对值. 19数学 七年级上册 议一议 （1）异号两数相加，当它们的绝对值相等，即互为相反数时，其和 为多少？ （2）一个数与0相加，和为多少？ 互为相反数的两个数相加得 ； 0 一个数与 相加，仍得这个数. 0 从上述有理数加法的规定可以得出： 如果两个数的和等于0，那么这两个数互为相反数. 例2 计算： （1）（-5）+9； （2）7+（-10）； ( ) ( ) 3 3 3 1 （3） + - ； （4） - + . 5 5 4 2 解 （1）（-5）+9=9-5=4 . （2）7+（-10）=-（10-7）=-3 . ( ) 3 3 （3） + - =0 . 5 5 ( ) ( ) ( ) 3 1 3 2 3 2 1 （4） - + = - + =- - =- . 4 2 4 4 4 4 4 练 习 1 填表： 和的组成 加数 加数 和 正负号 绝对值的差（和） -12 3 - 12-3 -9 9 -16 -9 -5 20第1章 有理数 2 计算： （ 1 ）（-11）+（-9）； （ 2 ）（-7）+0 ； （ 3 ） 8+（-20）； （ 4 ）（-9）+9 ； ( ) 7 （ 5 ）（-3. 5）+4. 8 ； （ 6 ） 0. 625+ - . 12 小学已经学过了加法的交换律、结合律，在有理数范围内这两个运算律是 否仍然适用呢？ 做一做 （1）先填空，再判断下面两组算式的结果是否分别相等. ① 5+（-3）= ，（-3）+5= ； ②（[ -8）+（-9）]+5= ，（-8）+（[ -9）+5]= . （2）将（1）中的有理数换成其他有理数，各组算式的结果分别相等吗？ （3）由（1）（2）你能发现什么？ 一般地，有理数的加法满足如下两个运算律： 加法交换律 a+b=b+a； 加法结合律 （a+b）+c=a+（b+c）􀆰 即：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变；三个有理数相加，先把 前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 根据加法交换律和加法结合律，三个或三个以上的有理数相加，可以写成 这些数的连加式. 对于连加式，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的 某几个数相加. 例3 计算： （1）（-32）+7+（-8）； （2）4. 37+（-8）+（-4. 37）； ( ) 5 5 ( ) ( ) -2 =（-2）+ - . 2 2 3 5 7 7 （3）5 + - +4 + -2 . 5 7 5 7 21数学 七年级上册 解 （1）（-32）+7+（-8）=（-32）+（-8）+7=（[ -32）+（-8）]+7 =（-40）+7=-33 . （2）4. 37+（-8）+（-4. 37）=4. 37+（-4. 37）+（-8） =0+（-8）=-8 . ( ) ( ) 2 2 3 5 （3） 5 + - +4 + -2 5 7 5 7 根据算式的特征，恰当 ( ) ( ) ( ) 2 3 éêê 2 5 ùúú = 5 +4 +êê - + -2 úú 地运用运算律，可以使运算 5 5 ë 7 7 û 简便. =10+（-3）=7 . 例4 某24小时自助银行服务网点的一台自动存取款机在某时段内处理了 以下6笔现款储蓄业务： 存入5 200元，支出800元，支出1 000元， 存入2 500元，支出500元，支出1 500元. 问该自动存取款机在这一时段内现款增加或减少了多少元？ 解 记存入为正，则由题意可得 （+5200）+（-800）+（-1000）+（+2500）+（-500）+（-1500） =（5200+2500）+（[ -800）+（-1000）+（-500）+（-1500）] =7700+（-3800） . =3900 答：该自动存取款机在这一时段内现款增加了3 900元. 练 习 1 计算： （ 1 ）（+13）+（-7）+（-3）； （ 2 ） 1. 4+（-0. 1）+0. 6+（-1. 9）； ( ) ( ) ( ) 1 3 2 1 1 （） . 3 - + + - + + - 2 7 3 2 3 2 王叔叔在某储蓄银行原有存款 元. 某月他到该储蓄银行办理了以下 5 000 4 笔现款储蓄业务： 存入 元，支出 元，存入 元，支出 1 500 1 300 1 200 1 600 元. 先用正数和负数分别表示存入和支出后，再计算他在该储蓄银行的余款. 22第1章 有理数 1􀆰 4􀆰 2 有理数的减法 前面学习了有理数的加法，如何进行有理数的减法运算呢？ 做一做 某天北京市的最高气温是-1 ℃，最低气温是-9 ℃，这天北京市的 温差（最高气温-最低气温）是多少？ 上述问题就是求算式（-1）-（-9）的值，接下 来的关键是怎样进行运算. 从图1.4-4所示的温度计可以看出：-1 ℃比 -9 ℃ 高8 ℃，因此（-1）-（-9）=8 . 又（-1）+9=8， 于是（-1）-（-9）=（-1）+ 9 . 再看一个例子. 图1.4-4 由2+3=5，可得5-2=3 . 类似地，由2+（-3）=-1，可得-1-2=-3 . 又-1+（-2）=-3， 所以 -1 - 2 =-1 +（-2）. 由这些例子以及大量其他例子受到启发，数学上规定： 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 即 a - b =a +（-b）. 议一议 下列每组算式结果相等吗？ （1）4-（-3）与4+3； （2）-5-（+2）与-5+（-2）. 23数学 七年级上册 例5 计算： （1）0-（-3. 18）； （2）5. 3-（-2. 7）； ( ) 7 1 （3）（-10）-（-6）； （4） -3 -6 . 10 2 解 （1）0-（-3. 18）=0+3. 18=3. 18 . （2）5. 3-（-2. 7）=5. 3+2. 7=8 . （3）（-10）-（-6）=（-10）+6=-4 . ( ) 7 1 （4） -3 -6 =（-3. 7）-6. 5=（-3. 7）+（-6. 5）=-10. 2 . 10 2 例6 月球表面的温度在白昼可升到127 ℃，在黑夜可降到-183℃ . 月球 表面昼夜温差可达多少？ 解 127-（-183）=127+183=310（℃）. 答：月球表面昼夜温差可达310 ℃ . 提示 两个有理数相减，将减号变加号，减数变成它的相反数. 当然，较 大的正数减去较小的正数或 ，仍按小学所学的方法进行运算. 0 练 习 1 计算： （ 1 ） 7-（-4）； （ 2 ）（ -3 ） -（-5）； （ 3 ）（-3）-0 ； （ 4 ） 0-（-7）. 2 计算： （ 1 ） 2. 53-（-2. 47）； （ 2 ）（-1. 7）-（-2. 5）； ( ) ( ) ( ) 1 2 3 5 （ 3 ） - - - ； （ 4 ） - - . 3 3 4 6 3 在标准大气压下，酒精凝固的温度约 ，水银凝固的温度约 . -117 ℃ -39 ℃ 酒精凝固的温度比水银凝固的温度低多少？ 24第1章 有理数 1􀆰 4􀆰 3 有理数的加减混合运算 做一做 计算：8+（-5）-（-3）-7 . 观察上述算式，可以发现，算式中既有加法，也有减法. 为便于计算，可 根据“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，将它们全部转化为加法运算. 8+（-5）-（-3）-7 =8+（-5）+3+（-7） =（8+3）+（[ -5）+（-7）] =11+（-12） . =-1 议一议 上述计算过程用到了哪些运算律？与同学交流你的结果. 在上面的计算过程中，也可以把算式8+（-5）+3+（-7）中的括号及它前 面的加号省略不写，直接写成“8-5+3-7”的形式. 1 3 5 3 例7 计算： . - + - 3 4 6 8 解 1 3 5 3 - + - 3 4 6 8 ( ) ( ) 1 3 5 3 = + - + + - 3 4 6 8 ( ) ( ) ( ) 1 5 éêê 3 3 ùúú = + +êê - + - úú 3 6 ë 4 8 û ( ) 7 9 = + - 6 8 还有其他计算方法吗？ 1 . 比一比，哪个快？ = 24 25数学 七年级上册 例8 计算：- | -0. 25 | +0.75-（-0. 125）+ | -0. 075 |. 解 - | -0. 25 | +0. 75-（-0. 125）+ | -0. 075 | =-0. 25+0. 75+0. 125+0. 075 =（-0. 25+0. 75）+（0. 125+0. 075） =0. 5+0. 2 . =0. 7 例9 某条河上某处设有水文站，在汛期监测到该河一周内水位的变化情 况如下表所示，其中上升为正，下降为负，符号后面数据为每天中午12时的 水位相较于前一天12时水位的变化量. 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 水位变化/m +0.48 -0.32 -0.43 -0.37 +0.22 +0.25 +0.15 请说明本周日与上周日相比，该水文站处该河水位上升（或下降）了多少米. 解 +0. 48+（-0. 32）+（-0. 43）+（-0. 37）+（+0. 22）+（+0. 25）+ （+0. 15） =0. 48+0. 22+0. 25+0. 15+[（-0. 32）+（-0. 43）+（-0. 37）] =1. 10+（-1. 12） =-0. 02（m）. 答：本周日与上周日相比，该水文站处该河水位下降了0.02 m . 练 习 1 计算： （） （ ） （ ）； （）（ ）（ ）（ ） ； 1 -6- -4 -3+ -5 2 -10. 5 + -8. 6 - -9. 6 +10 ( ) 1 （） （ ）（ ）（ ）. 3 -3 - -4. 5 + -6. 5 - -2. 5 2 2 计算： ( ) ( ) ( ) 2 1 1 3 1 5 2 1 （ 1 ） + - - - + - ； （ 2 ） - + + - . 3 8 3 8 4 6 3 2 26第1章 有理数 3 一架飞机做特技表演，起飞后在某一时段内其高度变化情况如下： 上升 ，下降 ，上升 ，下降 . 450 m 320 m 110 m 140 m 该飞机在这一时段内高度上升（或下降）多少米？ ||| 2 ( 3 )||| ||| ( 1 ) ( 2 )||| 4 计算： -||- - - ||-|| - + - ||. | 3 2 | | 5 5 | 习题1. 4 学而时习之 1 计算： （ 1 ）（-20）+15 ； （ 2 ） 0+（-8）； ( ) ( ) 4 7 （ 3 ）（-4. 25）+4. 25 ； （ 4 ） - + - ； 11 11 ( ) 3 5 （ 5 ）（-5. 7）+6. 3 ； （ 6 ） - + . 4 6 2 为发展乡村特色产业，拓宽农民增收致 富渠道，某村新型农业经营主体搭建大 棚种植某种蔬菜. 已知某天大棚外的气 温是 ，棚外的气温比棚内的气温 -13 ℃ 低 . 求棚内的气温. 37 ℃ 3 计算： （ 1 ） 8+（-9）+2+（-1）； （ 2 ）（-7）+4+（-3）+（-4）； （ 3 ） 3. 47+（-2. 7）+（-3. 47）+2. 3 ； ( ) ( ) 1 3 4 1 （） . 4 - + + + - 7 5 7 5 4 计算： （ 1 ） 0-（-3）； （ 2 ）（-3）-（-9）； 1 1 （ 3 ）（-2. 3）-（-6. 8）； （ 4 ） 4 -7 . 2 2 27数学 七年级上册 5 按操作填空： 执行操作 执行操作 输入 -7 输出 输入 -（-7） 输出 …… …… 13 13 -9 …… -9 …… …… …… -5 -5 6“玉兔号”是我国首辆月球车，它和 着陆器共同组成“嫦娥三号”探测 器. “玉兔号”月球车能够耐受月球 表面真空、强辐射、 到 -180 ℃ 极限温度等极端环境. 试求它 150 ℃ 能耐受的温差. “玉兔号” 月球车 7 下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）. 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差/h -13 -7 +1 ： ，我国中央广播电视总台综合频道 《新闻联播》节目开始播 19 00 CCTV-1 放时，纽约、巴黎、东京三个城市的时间分别是多少？ 8 计算： （ 1 ）（-7）-（-8）+（-9）-14； （ 2 ）（ -32 ） -17-（-65）+5； 3 2 5 7 （ 3 ）（ -7. 7 ） +（-2. 3）-（-12. 6）； （ 4 ） - - + . 4 3 6 12 9 计算： （） ； （） ； 1 -5+8-28-10 2 0-3. 4+5-4. 6 7 9 3 3 （） ； （） . 3 - - + 4 -1. 75-0+3 2 4 2 4 10 筐西红柿，每筐以 为标准，超过或不足的部分分别用正数、负数表示， 7 12kg 28第1章 有理数 称重记录如下（单位： ）： ， ， ， ， ， kg -1.10 +1.53 +2.24 -0.54 -1.56 ， . 请用简便方法求这 筐西红柿的总质量. +1.57 +1. 20 7 温故而知新 ||| 2 ( 5 )||| 1 ||| 1 1 ||| 11 计算： -||- - - ||+ - || - - ||. | 3 3 | 2 | 4 4 | 12 将 ， ， ， ， ， 这 个数填入图示空格中，使得所有横、竖、 -4 -3 -2 2 3 4 6 斜对角上的 个数之和都为 3 0􀆰 （第12题图） 13 已知|a| =5 ，|b| =3 ，则 a-b的值是多少？ 14 小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数a，加 ∗ 键，再输入 数b，就进行a ∗ b= （a-b） - |b-a|的运算. （ 1 ）求（ -4 ）∗ 2 的值； （ 2 ）求（ 3∗ 2 ）∗（ -5 ）的值. 29a×(b+c)=a×b+a×c (b+c)×a=b×a+c×a

(
a×b)×c=a×(b×c) 1.5 有理数的乘法和除法 1􀆰 5􀆰 1 有理数的乘法 我们已经知道，正数与正数相乘得正数，正数与0相乘得0 . 引入负数 后，正数与负数如何相乘呢？负数与0如何相乘呢？负数与负数如何相乘呢？ 在小学学过乘法对加法的分配律，并且知道利用分配律进行计算，例如， ( ) 4 5 4 5 60× + =60× +60× 15 12 15 12 =4×4+5×5 =16+25 . =41 现在规定有理数的乘法法则，目标就是让有理数的乘法也满足乘法对加法 的分配律. 探 究 （1）3×（-5）应当规定为多少？ （2）（-5）×（-3）应当规定为多少？ 对于（1），为了满足有理数的乘法对加法的分配律，则有 3×（-5）+3×5=3×（[ -5）+5]=3×0=0 . 这表明3×（-5）与3×5互为相反数，于是有 3×（-5）=-（3×5）. 同理可得 （-5）×3=-（5×3），0×（-5）=0，（-5）×0=0 . 因此，为了满足有理数的乘法对加法的分配律，就必须规定： 正数与负数相乘得负数，并把绝对值相乘；0与负数相乘得0 . 否则，不可能满足有理数的乘法对加法的分配律. 30第1章 有理数 同样，对于（2），为了满足有理数的乘法对加法的分配律，则有 （-5）×（-3）+（-5）×3=（-5）×（[ -3）+3]=（-5）×0=0 . 这表明（-5）×（-3）与（-5）×3互为相反数，于是有 （-5）×（-3）=-（[ -5）×3]=-[-（5×3）]=5×3 . 因此，为了满足有理数的乘法对加法的分配律，就必须规定： 负数与负数相乘得正数，并把绝对值相乘. 否则，不可能满足有理数的乘法对加法的分配律. 综上可得有理数的乘法法则： 同号两数相乘得正数，异号两数相乘得负数，并把绝对值相乘； 乘任何数都得 . 0 0 例1 计算： （1）3×（-2）； （2）（-8）×5； ( ) 7 （3）0×（-6. 18）； （4） - ×0； 13 ( ) ( ) 3 2 1 （5） - × ； （6）（-3）× - ； 8 9 3 ( ) ( ) 3 10 （7） - × - . 5 17 解 （1）3×（-2）=-（3×2）=-6 . （2）（-8）×5=-（8×5）=-40 . （3）0×（-6. 18）=0 . ( ) 7 （4） - ×0=0 . 13 （+）×（+） （+） ( ) ( ) （5） - 3 × 2 =- 3 × 2 =- 1 . （-）×（-） （+） 8 9 8 9 12 （-）×（+） （-） ( ) （6）（-3）× - 1 =3× 1 =1 . （+）×（-） （-） 3 3 ( ) ( ) 3 10 3 10 6 （7） - × - = × = . 5 17 5 17 17 31数学 七年级上册 练 习 1 计算： （ 1 ） 13×（-7）； （ 2 ）（-15）×（-16）； （ 3 ）（-9. 8）×0 ； （ 4 ） 0×（-18）. 2 计算： ( ) ( ) 3 5 1 5 （ 1 ） - × ； （ 2 ） × - ； 4 6 6 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 7 8 5 （ 3 ） - × - ； （ 4 ） - × - ； 3 12 15 12 （ 5 ）（-4. 2）×1. 3 ； （ 6 ）（-1. 5）×（-6. 4）. 前面通过几个具体例子，利用乘法对加法的分配律，得出了有理数乘法法 则. 那么这样得出的有理数乘法法则，是否对所有有理数的乘法都满足乘法对 加法的分配律呢？下面我们来验证. 做一做 （1）先填空，再判断下面三组算式的结果是否分别相等. ①（-6）×[4+（-9）]=（-6）×----------------=---------------- ， （-6）×4+（-6）×（-9）=----------------+----------------=---------------- ； ②（-6）×（[ -4）+9]=（-6）×----------------=---------------- ， （-6）×（-4）+（-6）×9=----------------+----------------=---------------- ； ③（-6）×（[ -4）+（-9）]=（-6）×----------------=---------------- ， （-6）×（-4）+（-6）×（-9）=----------------+----------------=---------------- . （2）将（1）中的有理数换成其他有理数，各组算式的结果分别相等吗？ 一般地，有理数的乘法满足乘法对加法 的分配律： 有理数乘法满足乘法对 加法的分配律的一般性验证 a×（b+c）=a×b+a×c， 参见本节末的“多知道一点”. （b+c）×a=b×a+c×a. 32第1章 有理数 即一个有理数与两个有理数的和相乘，可以先把这个数分别与这两个数相 乘，再把积相加. 做一做 （1）先填空，再判断下面两组算式的结果是否分别相等. ( ) 1 ①（-3）× - = ， 6 ( ) 1 - ×（-3）= ； 6 ②（[ -2）×3]×（-4）= ×（-4）=---------------- ， （-2）×[3×（-4）]=（-2）× =---------------- . （2）将（1）中的有理数换成其他有理数，各组算式的结果分别相等吗？ （3）由（1）（2）你能发现什么？ 一般地，有理数的乘法满足如下两个运算律： 乘法交换律 a×b=b×a； 有理数乘法满足交 乘法结合律 (a×b)×c=a×(b×c) . 换律、结合律的一般性 验证参见本节末的“多 即：两个有理数相乘，交换因数的位置，积 知道一点”. 不变；三个有理数相乘，先把前两个数相乘，或 者先把后两个数相乘，积不变. 由有理数的乘法交换律、乘法结合律可知，三个或三个以上的有理数相 乘，可以写成这些数的连乘式. 对于连乘式，可以任意交换因数的位置，也可 以先把其中的几个数相乘. 另外，由于（-1）×a+a=（-1）×a+1×a =（[ -1）+1]×a =0×a =0， 因此（-1）×a与a互为相反数，即 （-1）×a=-a. 33数学 七年级上册 例2 计算： ( ) 3 2 （1）（-91）× - ； 7 13 ( ) 1 1 1 1 （2）（-60）× - - + ； 2 3 4 5 （3）（-12. 5）×（-2. 5）×（-8）×4 . ( ) 3 2 解 （1） （-91）× - 7 13 ( ) éêê3 2 ùúú =（-91）×êê + - úú ë7 13 û ( ) 3 2 =（-91）× +（-91）× - ……乘法对加法的分配律 7 13 =-39+14 . =-25 ( ) 1 1 1 1 （2） （-60）× - - + 2 3 4 5 ( ) ( ) éêê1 1 1 1 ùúú =（-60）×êê + - + - + úú ë2 3 4 5û ( ) ( ) 1 1 1 1 =（-60）× + （-60）× - +（-60）× - +（-60）× 2 3 4 5 =-30+20+15-12 . =-7 （3） （-12. 5）×（-2. 5）×（-8）×4 =（-12. 5）×（-8）×（-2. 5）×4 ……乘法交换律 =（-12. 5）×（-8）×（[ -2. 5）×4] ……乘法结合律 =100×（-10） . =-1000 由于负数与负数相乘得正数，正数与负数相乘得负数，因此，几个不等于 的数相乘，当有偶数个负数时，积为正数，当有奇数个负数时，积为负数. 0 34第1章 有理数 例3 计算： （1）（-8）×（-1）×（-3）×4×（-5）； ( ) 1 （2） - ×10×（-3. 2）×（-5）. 5 解 （1） （-8）×（-1）×（-3）×4×（-5） =8×1×3×4×5 先确定积的符号，再把 . =480 所有因数的绝对值相乘. ( ) 1 （2） - ×10×（-3. 2）×（-5） 5 ( ) 1 =- ×10×3. 2×5 5 . =-32 练 习 1 计算： ( ) ( ) 5 2 1 2 4 （ 1 ） 87× - - ； （ 2 ）（-60）× - - . 29 3 2 3 5 2 计算： （ 1 ）（-2）×17×（-5）； （ 2 ）（-15）×（-3）×（-4）×2 . 3 直接判断下列各式计算结果的符号： ( ) 6 （ 1 ）（-2）×7×8 ； （ 2 ）（-3）×5× - ； 7 ( ) 1 3 （ 3 ） ×（-2. 1）×（-6）×（-3）； （ 4 ）（-3. 6）×（-5）×（-4）× - ； 4 11 ( ) ( ) 2 6 （ 5 ） 4×（-8. 1）×（-11）×（-14）× - × - . 9 11 4 计算： ( ) 1 （ 1 ） - ×7×4 ； （ 2 ）（-0. 125）×9×（-8）； 4 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 （ 3 ）（-1. 5）×（-6）×（-4）； （ 4 ） - × - × - ×（-70）. 4 5 7 35数学 七年级上册 1􀆰 5􀆰 2 有理数的除法 思 考 我们知道2×3=6，因此 . 6÷3=2 ① 那么如何计算（-6）÷3，6÷（-3），（-6）÷（-3）呢？ 由于（-2）×3=-6， 因此 （-6）÷3=-2 . ② 类似地，由于（-2）×（-3）=6， 因此 6÷（-3）=-2 . ③ 由于2×（-3）=-6， 因此 （-6）÷（-3）=2 . ④ 抽 象 从这些式子受到启发，抽象出有理数的除法运算： 对于两个有理数a，b，其中b不为0，如果有一个有理数c，使得cb=a， 那么规定a÷b=c，且把c叫作a除以b的商. 由于有理数的除法是通过乘法来规定的，因 （+）÷（+） （+） 此，由①至④式可以得出： 同号两数相除得正数，异号两数相除得负数， （-）÷（-） （+） （-）÷（+） （-） 并把它们的绝对值相除； （+）÷（-） （-） 除以任何一个不等于 的数都得 0 0 0􀆰 例4 计算： （1）（-24）÷4； （2）（-18）÷（-9）； （3）10÷（-5）； （4）0÷（-10）. 解 （1）（-24）÷4=-（24÷4）=-6 . （2）（-18）÷（-9）=18÷9=2 . 36第1章 有理数 （3）10÷（-5）=-（10÷5）=-2 . （4）0÷（-10）=0 . 做一做 ( ) 1 分别计算10÷（-5）与10× - ，它们的结果相等吗？（-10）÷ 5 ( ) 1 （-5）与（-10）× - 的结果呢？ 5 由于 10÷（-5）=-（10÷5）=-2， 又 ( ) ( ) 1 1 10× - =- 10× =-2， 5 5 所以 ( ) 1 10 ÷（-5）=10 × - . ⑤ 5 同样可得 ( ) 1 （-10）÷（-5）=（-10）× - . ⑥ 5 ( ) 1 又（-5）× - =1，因此，类似于小学学的倒数，可以抽象出如下概念： 5 若两个有理数的乘积等于1，则把其中一个数叫作另一个数的倒数，也称 它们互为倒数. 0没有倒数. 1 1 1 例如，- 是-5的倒数，-5是- 的倒数，-5和- 互为倒数. 5 5 5 因此，⑤式表明，10除以-5等于10乘-5的倒数；⑥式表明，-10除以 -5等于-10乘-5的倒数. 一般地，有 除以一个不等于 的数等于乘这个数的倒数. 0 37数学 七年级上册 也可以表示成 1 a÷b=a× （b不为0）. b 于是，有理数的除法运算可以转化为乘法运算. 例5 计算： ( ) 1 3 （1）（-12）÷ ； （2）15÷ - ； 3 7 ( ) ( ) 2 2 （3） - ÷ - . 15 3 1 解 （1）（-12）÷ =（-12）×3=-36 . 3 ( ) ( ) 3 7 （2）15÷ - =15× - =-35 . 7 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 1 （3） - ÷ - = - × - = . 15 3 15 2 5 练 习 1 计算： （ 1 ） 14÷（-7）； （ 2 ）（-36）÷（-3）； （ 3 ） 0÷（-0. 618）； （ 4 ）（-48）÷12 . 2 填空： ( ) 1 1 （）因为 ，所以 的倒数是 ； 1 - × =1 - 6 6 5 （） 的倒数是 ， 的倒数是 . 2 - -3 8 3 计算： 1 （ 1 ）（-36）÷（-0. 6）； （ 2 ）（-4）÷ ； 7 ( ) ( ) 18 5 15 （ 3 ） ÷（-2）； （ 4 ） - ÷ - . 5 12 4 38第1章 有理数 1􀆰 5􀆰 3 有理数的乘除 在只有有理数的乘法和除法运算时，如果没有括号，则按照从左到右的顺 序依次计算，并可以把除法转化为乘法，然后再按照乘法法则进行计算；如果 有括号，就先做括号内的运算. 例6 计算： （1）（-5）×6÷（-3）； （2）（-56）÷（-2）÷（-8）. 解 （1）（-5）×6÷（-3）=（-30）÷（-3）=10 . 7 （2）（-56）÷（-2）÷（-8）=28÷（-8）=- . 2 例7 计算： ( ) 3 1 （1）（-10）÷（[ -5）×（-2）]； （2）（-24） ÷ × - ； 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 15 5 25 3 4 8 6 （3） - ÷ - ÷ - ； （4） - × - ÷ × - . 7 3 14 5 9 15 7 解 （1）（-10）÷（[ -5）×（-2）]=（-10）÷10=-1 . ( ) ( ) 3 1 4 1 （2）（-24） ÷ × - =（-24）× × - =8 . 4 4 3 4 ( ) ( ) ( ) 15 5 25 （3） - ÷ - ÷ - 7 3 14 ( ) ( ) ( ) 15 3 14 = - × - × - 7 5 25 ( ) 15 3 14 =- × × 7 5 25 18 . =- 25 ( ) ( ) ( ) 3 4 8 6 （4） - × - ÷ × - 5 9 15 7 ( ) ( ) ( ) 3 4 15 6 = - × - × × - 5 9 8 7 39数学 七年级上册 ( ) 3 4 15 6 =- × × × 5 9 8 7 3 . =- 7 议一议 下面是小楠同学做的一道计算题，他的计算是否正确？如果不正确， 说说他错在哪里. 1 （ -4）÷ （ -8）× 4 （ ）（ ） = -4 ÷ -2 . =2 练 习 1 计算： （ 1 ） 24÷（-3）÷（-4）； （ 2 ）（-6）÷（-2）÷3 ； （ 3 ） 2÷（-7）×（-4）； （ 4 ） 18÷6×（-2）. 2 计算： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 3 7 1 1 （ 1 ） - ÷ - × ； （ 2 ） - ÷ - × - ； 2 3 4 2 8 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 5 7 éêê 1 7 ùúú （ 3 ） 24× - ÷ - ； （ 4 ） - × - ÷êê - × úú. 6 3 6 12 ë 3 8û 习题1. 5 学而时习之 1 计算： （ 1 ）（-6）× 7； （ 2 ）（-25）×（-6）； （ 3 ）（-2. 6）×（-0. 5）； （ 4 ）（-100）×（-0. 2）. 40第1章 有理数 2 填空： ( ) ( ) ( ) 3 8 5 6 （） ； （） ； 1 × - = 2 - × - = 4 15 8 25 ( ) ( ) 5 3 4 （ 3 ）（-0. 4）× = ； （ 4 ） - × - = . 8 2 9 3 科学研究发现，一般情况下，海拔每升高 ，气温下降约 . 已知甲 1 km 6 ℃ 地现在的地面气温为 ，求甲地上空 处的气温. 21 ℃ 9 km 4 计算： ( ) ( ) 7 5 3 4 3 1 （ 1 ） - + ×36； （ 2 ）（-56）× - + . 9 6 4 7 8 14 5 计算： ( ) 1 （ 1 ）（-4）×（-18）×（-25）； （ 2 ） 100× - ×10×0. 01； 10 ( ) ( ) ( ) 3 5 4 6 （ 3 ）（-40）×（-1）×（-3）×（-0. 5）； （ 4 ） - × - × × - . 4 6 3 5 6 计算： （ 1 ）（-81）÷3； （ 2 ）（-45）÷（-15）； ( ) 1 （ 3 ） 20÷（-2）； （ 4 ） 8÷ - . 2 7 写出下列各数的倒数： 3 2 ， ， ， . - -0.25 -6 - 8 3 8 填空： ( ) 1 （ 1 ）（-18）× =-2； （ 2 ） - × =21； 7 （ 3 ） ×2. 5=-10； （ 4 ）（-0. 25）× =-1. 25 . 9 计算： ( ) ( ) 4 5 1 （ 1 ） ÷（-12）÷ - ； （ 2 ） 3÷ - ×（-8）； 7 7 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 （ 3 ）（-15. 6）÷（-3. 9）÷ - ； （ 4 ） - ÷ - × - ； 2 6 24 8 41数学 七年级上册 ( ) ( ) ( ) ( ) 7 éêê 3 9 ùúú 28 （ 5 ） - ×êê - ÷ - úú÷ - . 10 ë 7 14 û 45 温故而知新 10 按操作填空： 执行操作 执行操作 ( ) 1 输入 × - 输出（入） ÷（-8） 输出 3 -24 …… …… …… …… -2 …… -6 …… 11 小丽有 张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： 5 1 -3 -5 0 +3 + 4 （）从中取出 张卡片，如何抽取才能使这 张卡片上的数字先相乘再相除 1 3 3 的结果最大？最大值是多少？ （）从中取出 张卡片，如何抽取才能使这 张卡片上的数字先相除再相乘 2 3 3 的结果最小？最小值是多少？ 12 已知x，y为有理数，现规定一种新运算※：x※y=xy+1 . （ 1 ）求 2※4 的值； （ 2 ）求（ 1※4 ）※（ -2 ）的值； （）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入 和 中，并比 3 □ ○ 较 ※ 和 ※ 的运算结果； □ ○ ○ □ （ 4 ）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式表达出来. 13 已知|a-2 | + |b+3 | + |c+4 | =0 ，求 abc. 42第1章 有理数 有理数范围内三个运算律的一般性验证 1. 有理数乘法满足乘法对加法的分配律. 设a，b，c都是正数，并且b>c. 根据小学知识，有a× （b+c） =a×b+a×c. 由于a× （ -b+c） =a×[- （b-c） ] =- （a×b-a×c） =- （a×b） +a×c， a× （ -b） +a×c=- （a×b） +a×c， 因此a× （ -b+c） =a× （ -b） +a×c. 类似地，a×[b+ （ -c） ]=a×b+a× （ -c）. 由于a× （ [ -b） + （ -c） ]=a×[- （b+c） ] =- （a×b+a×c） =- （a×b） -a×c， a× （ -b） +a× （ -c） =- （a×b） -a×c， 因此a× （ [ -b） + （ -c） ]=a× （ -b） +a× （ -c）. 仿照上述过程，类似地可以得到 （ -a） × （b+c） = （ -a） ×b+ （ -a） ×c， （ -a） × （ -b+c） = （ -a） × （ -b） + （ -a） ×c， （ -a） ×[b+ （ -c） ]= （ -a） ×b+ （ -a） × （ -c）， （ -a） × （ [ -b） + （ -c） ]= （ -a） × （ -b） + （ -a） × （ -c）. 当abc=0 （即a，b，c中至少有一个为 0 ）时，结论显然成立. 综上可得，对于任何有理数a，b，c，均有： a×(b+c） =a×b+a×c. 类似地可以得到，对于任何有理数a，b，c，均有： （b+c） ×a=b×a+c×a. 43数学 七年级上册 2. 有理数乘法满足交换律. 设a，b都是正数. 根据小学学过的乘法交换律，有a×b=b×a. 由于a× （ -b） =- （a×b）， （ -b） ×a=- （b×a） =- （a×b）， 因此a× （ -b） = （ -b） ×a. 类似地，有（ -a） ×b=b× （ -a）. 由于（ -a） × （ -b） =a×b， （ -b） × （ -a） =b×a=a×b， 因此（ -a） × （ -b） = （ -b） × （ -a）. 当ab=0 （即a，b中至少有一个为 0 ）时，结论显然成立. 综上可得，对于任何有理数a，b，均有： a×b=b×a. 3. 有理数乘法满足结合律. 设a，b，c都是正数. 由小学学过的乘法结合律，有（a×b） ×c=a× （b×c）. 由于 [a× （ -b） ]×c=[- （a×b） ]×c =- （ [ a×b） ×c]=-[a× （b×c） ] ， a×[(-b)×c]=a×[- （b×c） ]=-[a× （b×c） ] ， 因此 [a× （ -b） ]×c=a× （ [ -b） ×c] . 类似地，（a×b） × （ -c） =a×[b× （ -c） ] ， [(-a） ×b]×c= （ -a） × （b×c）， [a× （ -b） ]× （ -c） =a× （ [ -b） × （ -c） ] ， （ [ -a） × （ -b） ]×c= （ -a） × （ [ -b） ×c] ， （ [ -a） ×b]× （ -c） = （ -a） ×[b× （ -c） ] ， （ [ -a） × （ -b） ]× （ -c） = （ -a） × （ [ -b） × （ -c） ] . 当abc=0 （即a，b，c中至少有一个为 0 ）时，结论显然成立. 综上可得，对于任何有理数a，b，c，均有： （a×b） ×c=a× （b×c）. 44an=a×a×a××a n个a 1.6 有理数的乘方 1􀆰 6􀆰 1 认识乘方 思 考 （-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2）可以简记为什么？ 在小学已经学过，2×2可以简记为22，2×2×2可以简记为23. 类似地， 把（-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2）简记为（-2）5. 一般地，a是有理数，n是正整数，则把  a × a × a ×…× a简记为an，即 n个a 规定an = a × a × a ×…× a. 其中，an读作“a的n次方”或“a的n次幂”. n个a 求n个相同因数的乘积的运算，叫作乘方. 在an中，a叫作底数，n叫作 指数. 即 幂 an 指数 底数 特别地，a2通常读作“a的平方”，a3通常读作“a的立方”􀆰 一个数a可以看作a1，通常将指数1省略不写，只写作a. 说一说 把下列相同因数的乘积写成幂的形式，并说出底数和指数. 2 2 2 2 （1）（-6）×（-6）×（-6）； （2） × × × . 3 3 3 3 ( )4 2 2 （1）（-6）3，底数是-6，指数是3； （2） ，底数是 ，指数是4 . 3 3 45数学 七年级上册 议一议 （ -2 ）4与-24的含义相同吗？它们的结果相同吗？（ -2 ）3与-23呢？ （-2）4表示“-2的4次方”，它的结果为16 . -24表示“2的4次方的相反 数”，它的结果为-16 . 故（-2）4与-24的含义不同，结果也不同. 类似地，（-2）3与-23的含义也不同，但结果相同. 例1 计算： （1）07； （2）16； （3）34； （4）43. 解 （1）07=0×0×0×0×0×0×0=0 . （2）16=1×1×1×1×1×1=1 . （3）34=3×3×3×3=81 . 43与34的含义有何 不同？ （4）43=4×4×4=64 . 例2 计算： （1）0. 23； （2）（-3）3； ( ) ( ) 3 4 在书写负数和分数 2 1 （3） ； （4） - . 的乘方时，一定要把负 5 2 数、分数用括号括起来. 解 （1）0. 23=0. 2×0. 2×0. 2=0. 008 . （2）（-3）3=（-3）×（-3）×（-3）=-27 . ( ) 3 2 2 2 2 8 （3） = × × = . 5 5 5 5 125 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 1 1 1 1 1 （4） - = - × - × - × - = . 2 2 2 2 2 16 思 考 结合例1、例2，你认为底数为正数的任何正整数次幂是正数吗？底 数为负数呢？底数为0呢？ 46第1章 有理数 由有理数的乘法法则可得，正数的任何正整数次幂都是正数；负数的奇次 幂是负数，负数的偶次幂是正数； 的任何正整数次幂都是 . 0 0 说一说 直接判断下列各式计算结果的符号： （1）（-4）2×（ -3）3； （2）-23×（-2）3. （1）的结果为负，（2）的结果为正. 练 习 1 填空： 2 底数a -1 2 - 3 指数n 3 5 4 幂an （-4）3 0.34 2 判断下列各等式是否成立，并说明理由. （ 1 ） 32=2×3=6； （ 2 ）（-2）3=（-3）2； （ 3 ） -32=（-3）2. 3 计算： （ 1 ）（-3）4； （ 2 ）（-4）3； ( ) 3 3 （ 3 ）（-8）3； （ 4 ） - . 4 4 直接判断下列各式计算结果的符号： ( ) ( ) 4 2 1 1 （ 1 ）（-6）3× - ； （ 2 ） -82× - . 6 4 47数学 七年级上册 1􀆰 6􀆰 2 科学记数法 在工程和科研计算中，常会遇到一些较大的数，如地 球的表面积约为511 000 000 km2，中国“人造太阳”（热核 聚变实验堆）已实现等离子体运行温度达160 000 000 ℃ . 像上面这样，这些较大的数，写起来比较复杂，于是 可以将511 000 000表示为5.11亿，将160 000 000表示为 地球表面积约为 1.6亿. 能不能用其他较简单的方式来表示这些数呢？ 511000000km2 说一说 102，103，104，…，10 n分别等于多少？你发现了什么？ 2个0 3个0 10的n次幂 102=100，103=1000， 就是1后面有n 4个0 n个0 104=10000，⋯，10 n =1000…0 . 个0 . 这启发我们可以利用10的乘方来表示一些大数，例如 511000000=5. 11×100000000=5. 11×108， 读作5.11乘10的8次方（幂）. 对于小于-10的数也可以类似表示，例如 -511000000=-5. 11×100000000=-5. 11×108. 像上面这样，把一个大于10（小于-10）的数记作a×10 n的形式，其中a大 于或等于1且小于10（a大于-10且小于或等于-1），n是正整数，这种记数法 就是科学记数法. 例3 用科学记数法表示下列各数： 在计算器上输入 （1）160000000； （2）-32000000000 . -32000000000，再 按“=”键，看看显 解 （1）160000000=1. 6×108. 示结果. （2）-32000000000=-3. 2×1010. 48第1章 有理数 例4 2020年7月23日中国发射的火星探测器“天问一号”，于2021年2 月进入环绕火星轨道. 2021年5月着陆巡视器与环绕器分离，软着陆在火星的 表面. “天问一号” 火星探测器 截至2022年3月24日，“天问一号”环绕器在轨运行609天，距离地球 2.77亿千米，请用科学记数法表示这一距离（单位：m）. 解 由于2. 77亿=277000000， 1km=1000m， 所以2.77亿千米=277000000×1000m=2. 77×1011m . 议一议 下列用科学记数法表示的数，原来各是多少？与同学交流你的结果. （1）1. 7×105； （2）-6. 09×109. 练 习 1 用科学记数法表示下列各数： （） ； （） . 1 315 000 000 2 -2 180 000 000 2 人的大脑每天能记录大约 条信息，请用科学记数法表示这个数据. 86000000 3 地球与火星的最近距离约为 万千米，最远距离则超过 亿千米. 请用 5 500 4 科学记数法分别表示 万千米和 亿千米（单位： ）. 5 500 4 m 49数学 七年级上册 4 下列用科学记数法表示的数，原来各是多少？ （ 1 ） 4. 8×106； （ 2 ） -1. 39×109. 习题1. 6 学而时习之 1 计算： ( ) ( ) 2 4 2 1 （ 1 ） ； （ 2 ） - ； 3 3 （ 3 ）（-0. 1）3； （ 4 ） -（-3）3. 2 直接判断下列各式计算结果的符号： ( ) ( ) 2 2 1 1 （ 1 ）（-5）2× - ； （ 2 ）（-3）3× - ； 5 3 （ 3 ） -23×（-3）2； （ 4 ）（-1）2×（-22）. 3 用科学记数法表示下列各数： （） ； （） . 1 180 000 000 2 -30 200 000 4 年 月 日，国家统计局公布的数据显示， 年全年社会消费品零 2024 1 17 2023 售总额超 万亿元，达到 亿元，比上年增长 . 请将 47 471 495 7.2% 471 495 亿元用科学记数法表示（单位：元）. 5 年 月 日，国家统计局公布的数据显示，初步测算， 年全社会 2024 1 17 2023 研究与试验发展经费投入达到 亿元. 请将 亿元用科学记 33 278.2 33 278.2 数法表示（单位：元）. 温故而知新 6 （ 1 ）计算： 0. 012， 0. 12， 12， 102. （ 2 ）若将数a的小数点向右（或向左）移动一位，则a2的小数点怎样移动？ （ 3 ）若将数a的小数点向右（或向左）移动一位，则a3的小数点怎样移动？ 50-3+[-5×（1-0.6）] 17-16÷（-2）3×3 1.7 有理数的混合运算 思 考 计算32×5时，先算乘方还是先算乘法？ 先算乘方： 32×5=9×5=45， 先算乘法： 32×5=3×（3×5）=3×15=45， 一般地，当只含有乘方和乘法运算时，先算乘方比先算乘法要简便一些. 议一议 下列各式分别含有哪几种运算？结合小学学过的四则混合运算顺序， 你认为下列各式应按怎样的顺序进行运算？与同学交流你的想法. （1）-3+[-5× （ 1-0. 6 ） ] ； （2）17-16÷ （ -2 ）3×3 . 以上两个算式，含有有理数的加、减、乘、除、乘方多种运算，称为有理 数的混合运算. 有理数的混合运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括 号，就先进行括号里面的运算（先小括号，再中括号，最后大括号）. 例1 计算： （1）-3+[-5×（1-0. 6）]； （2）17-16÷（-2）3×3 . 解 （1） -3+[-5×（1-0. 6）] （2） 17-16÷（-2）3×3 =-3+（-5×0. 4） =17-16÷（-8）×3 =-3+（-2） =17-（-2）×3 =-5 . =17-（-6） . =23 51数学 七年级上册 例2 计算：（1） - 3 × éê ê ê ê ê ê -32× ( - 2 ) 3 -2 ùú úú ú ； 2 ë 3 û ( ) 1 （2）（-3）4÷[2-（-7）]+4× -1 . 2 解 （1） - 3 × éê ê ê ê ê ê -32× ( - 2 ) 3 -2 ùú úú ú 2 ë 3 û ( ) 3 éêê 8 ùúú =- ×êê-9× - -2úú 2 ë 27 û ( ) 3 8 =- × -2 2 3 3 2 =- × 2 3 . =-1 ( ) 1 （2） （-3）4÷[2-（-7）]+4× -1 2 ( ) 1 =（-3）4÷9+4× - 2 =81÷9-2 =9-2 . =7 ( ) ( ) ( ) 7 7 7 7 8 例3 计算： - - ÷ - + - . 4 8 12 8 3 ( ) ( ) ( ) 7 7 7 7 8 解 - - ÷ - + - 4 8 12 8 3 若先进行括号里的运算， ( ) ( ) 7 7 7 8 8 比较哪种方法更简便. = - - × - - 4 8 12 7 3 ( ) ( ) ( ) 7 8 7 8 7 8 8 = × - - × - - × - - 4 7 8 7 12 7 3 2 8 =-2+1+ - 3 3 . =-3 52第1章 有理数 练 习 1 计算： （ 1 ） 2×（-5）-（-2）2÷（-4）； （ 2 ） 4×（-2）3-8×（-3）+9 ； （ 3 ） -2+（-2）4-24÷（-8）； （ 4 ）（-1）10×（-5）+（-2）3÷2 . 2 计算： ( ) 3 1 éêê 3 ùúú （ 1 ） -14- ×[2+（-3）]2； （ 2 ）（ -27 ） - （ êê-2 ）2× - + （ -2 ）2úú . 6 ë 4 û 习题1. 7 学而时习之 1 计算： （ 1 ） -56÷（-28）+（-2）×5 ； （ 2 ）（-3）2×（-2）-（[ -2）×（-1）]2. 2 计算： ( ) ( ) 1 3 éêê 2 ùúú （ 1 ） -7×8+24× - ； （ 2 ） - ×êê-32× - -2úú； 4 2 ë 3 û ( ) 3 1 （ 3 ）（-4）3÷（-2）3+1÷ - . 2 温故而知新 3 计算： ( ) ( ) ( ) ( ) 8 éêê 7 2 3 1 ùúú （ 1 ） - -êê - × （ -1 ）6- - ÷ - × - úú； 15 ë 20 5 7 2 û ( ) 1 éêê 1 ùúú （ 2 ） -3× （ -0. 1 ） + （ -4 ） × - -êê3× - （ -0. 1 ）2× （ -10 ）úú. 5 ë 5 û 4 将有理数 ， ， ， 进行加、减、乘、除四则运算（每个数必须用且只 3 4 -6 10 能用一次），使其结果等于 （写出一个算式即可）. 24 53数学 七年级上册 小 结 与 评 价 知识图谱 思考回顾 . 为什么要引入负数？有理数可以如何分类？ 1 . 怎样画一条数轴？怎样用数轴上的点来表示一个有理数？ 2 . 如何求一个数的相反数？如何求一个数的绝对值？ 3 . 怎样比较有理数的大小？ 4 . 怎样进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算及混合运算？ 5 . 有理数的运算满足哪些运算律？ 6 注意事项 . 既不是正数也不是负数，在考虑数的范围时要防止遗漏 . 如绝 1 0 0 对值等于本身的数有正数和 ，绝对值等于相反数的数有负数和 . 0 0 . 数轴是一条直线，由原点、正方向、单位长度三要素确定，三者 2 缺一不可. 3 . 把一个大于 10 （小于 -10 ）的数用科学记数法表示成a×10 n的形式 54第1章 有理数 时，一定要注意a大于或等于 1 且小于 10 （a大于 -10 且小于或等于 -1 ）， n为正整数. . 有理数的减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法，乘方实质 4 是求几个相同因数的乘积. 自评互评 • 自评 通过本章的学习，你对以下几方面的学习内容掌握得怎么样？根据 自己的学习情况，点亮属于你的小星星，然后请同学和老师对你的自评 进行恰当评价. . 会用正数和负数表示具体情境中具有相反意义的量 1 . 能用数轴上的点表示有理数，能借助数轴体会相反数和绝对值的意义， 2 初步体会数形结合的思想方法 . 能比较有理数的大小，能求有理数的相反数和绝对值 3 . 会运用乘方的意义准确进行有理数的乘方运算 4 . 能熟练地对有理数进行加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三 5 步以内为主） . 能合理运用有理数的运算律简化运算，能运用有理数的运算解决简单 6 问题 . 能从生活情境、数学情境中抽象概括出有理数的概念 7 . 能对现实生活问题运用有理数知识进行描述和解释，形成一定的运算 8 能力、推理能力 • 自评 / 互评 请完成下面两项评价，先自评再在小组内进行互相评价. 其中评价 由低到高分为 ， ， ， ， 五个等级. 1 2 3 4 5 . 对有理数有正确的认识，能积极主动学习有理数的相关概念、运算等 1 新知，能够确立明确的数学学习目标，有主动参与的意识和习惯， 55数学 七年级上册 注重数学知识的运用，积极进取，乐观向上 ( )/( ) . 基于对本章知识的理解，画出思维导图，并在组内展示，对自己和同 2 学画出的思维导图进行恰当评价 ( )/( ) 你对本章的学习及评价是否满意呢？当学习遇到困难时，要学会自 我激励、自我调适，适时反思和评价学习效果，并对学习目标和方法等 及时做出必要调整，主动适应，坚持不懈，必将成功！ 学而时习之 1 7 1 1 将有理数 ， ， ， ， ， ， ， ， 分别填入下面的方 1 -3 -0.1 - 0 8 -12 2 3 5 框内： 正数 既不是正数也不是负数的数 负数 2 画一条数轴，并标出表示下列各数的点： 1 3 ， ， ， ， ， 4 -3 - 0 -0.8􀆰 5 2 3 填空： 原 数 0.2 1 -1 原数的相反数 -0.5 2 3 1 1 原数的倒数 - 3 4 原数的绝对值 0 56第1章 有理数 4 填空： （）绝对值最小的正整数是 ，绝对值最小的负整数是 ； 1 （）互为相反数的两数之和为 ，互为倒数的两数之积为 ； 2 （）相反数与它本身相等的数是 ，倒数与它本身相等的数是 . 3 5 比较下列各组数的大小： （） 与 ； （） 与 ； 1 -3 -5 2 -0.1 -0.01 ( ) ( ) 2 3 ||| 1 ||| ||| 1 ||| （） 与 ； （） || ||与 || ||. 3 - - - - 4 -- -- 3 5 | 3 | | 4 | 6 在数轴上分别标出表示 2.5 ， 0 ， -2 ， 4 的点A，B，C，D，并分别求： （ 1 ）A，B两点的距离； （ 2 ）B，C两点的距离； （ 3 ）C，D两点的距离. 7 计算： （ 1 ） -5+12； （ 2 ） -6-（-9）； ( ) 3 5 3 7 （ 3 ） - - ； （ 4 ） - - - ； 4 6 8 12 ( ) 5 3 （ 5 ）（-7）×（-9）； （ 6 ） - × ； 9 10 ( ) 3 （ 7 ） -24÷（-0. 6）； （ 8 ） -6÷ - ； 7 ( ) 2 1 （ 9 ）（-1）2×（-2）3； （ 10 ） -33- - . 2 8 计算： ( ) ( ) 1 1 （ 1 ）（-2）×（-3）÷（-6）； （ 2 ）（-7）× - ÷ - ； 4 4 ( ) ( ) 2 1 10 1 1 （ 3 ）（-3. 5）÷ × ； （ 4 ）（-4）÷ - ÷ - . 2 7 2 8 9 年 月 日，中国科学技术大学宣布成功在“九章”原型机的基础 2021 10 26 上构建出“九章二号”量子计算原型机. 该原型机在求解高斯玻色取样数 学问题上比当时全球最快的超级计算机快了 1024倍.“九章二号” 1 毫秒可 算出的问题，当时全球最快的“超算”需 万亿年. 试将 万亿用科学 30 30 57数学 七年级上册 记数法表示. 250千赫兹脉冲 激光系统 144通道超导 连续激光 单光子探测器 参考光 输出光路 参考光 干涉线路 相位锁定光路 50个单模压缩态 符合计数器 反馈信号 压电相位控制 “九章二号” 光路图 10 按下列程序计算，并把答案写在表格内. 输入n +（-3）2 ÷（-2） ×（-5） 输出答案 输入n 0.5 -2 -3 … 输出答案 … 11 计算： ( ) 1 9 4 （ 1 ） -2÷2+（-2）÷ - ； （ 2 ）（ -34） ÷ × +（-16）； 2 4 9 ( ) 1 1 3 （ 3 ）（-2）5 × - - . 2 4 8 温故而知新 3 1 3 ||| 1 ||| 3 12 若a，b，c均为有理数，且|a| = ，|b| - = ，||c - || = ，分别求a， 2 2 2 | 2 | 2 b，c的值. 13 若a，b，c，d，h均为有理数，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，|h| = 1 c+d 2 ，求 ab+ +h2的值. 2 5 58第1章 有理数 14 计算： （ 1 ）（-1）3×（-5）÷（[ -3）2+2×（-5）]； ( ) ( ) éêê 1 1 1 2 ùúú （ 2 ）êê- × - + - ÷ úú÷（-2）3. ë 3 2 9 3û 15《庄子·天下》中有这样的一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”那 么， 天之后，这个“一尺之棰”还剩多少？一个月（ 天）之后呢（用算 10 30 式表示即可）？ 16 用简便方法计算： （ ）（ ） . 4×-123 + -5 ×125-127×4-75×5 上下而求索 1 1 1 1 1 1 1 1 17 观察等式： ， ， . 将这三个等 =1- = - = - 1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 式两边分别相加得 + + =1- + - + - =1- 1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 1 3 . 计算： = 4 4 1 1 1 1 （） ； 1 + + +…+ 1×2 2×3 3×4 2029×2030 1 1 1 1 （） . 2 + + +…+ 1×3 3×5 5×7 2029×2031 18（ 1 ）若|a| =a，则a是什么数？若|a| =-a，则a是什么数？ |a| |a| （ 2 ）如果 =1 ，则a是什么数？如果 =-1 ，则a是什么数？ a a a b （ 3 ）若a，b为不等于 0 的有理数，则 + 的值为多少？ |a| |b| a b （ 4 ）若有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则 + - |a| |b| c 的值为多少？ |c| （第18题图） 59数学 七年级上册 数 学 文 化 《九章算术》与 “正负术” 我国是世界上公认的四大文明古国之一，文化悠久灿烂、丰富多彩， 数学是其中的一个重要组成部分. 作为世界上数学史最长的国家之一， 我国古代数学对世界数学的发展和中外科学文化交流作出了非常巨大的 贡献，在世界数学宝库里，影响深远、风格独特. 在河南殷墟出土的甲骨上的数字，充分说明我国很早就采用了先进 的十进制的文字记数法. 河南殷墟出土的甲骨上的数字 陕西旬阳出土的汉代象牙算筹 算筹是我国古代的计算工具，算筹的计算法 已使用十进制，与九九口诀相配合，非常方便进 行数字计算. 年在湖南龙山里耶出土的秦简 2002 上记录了一份完整的“九九口诀表”，这证明了 在 多年前我国古代下层官吏就对数的运算 2 000 非常熟悉. 湖南龙山里耶出土的秦简 战国时代我国数学大为发展，经过秦汉的调 整，在西汉后期编成的数学专著 《九章算术》， 标志着中国传统数学体系的确立. 《九章算术》是经过多人之手，历经长期修订删补形成的经典著作， 内容涵盖了当今初等数学中算术、代数和几何的大量内容，其中蕴含的 思想方法对我国古代数学产生了巨大的影响. 自成书以来，《九章算术》 60第1章 有理数 便成为人们学习数学、传播数学知识的教材，是我国古代最重要的数学 教科书，并先后传入朝鲜、日本，当时在这些国家也被当作教科书使用. 现在更被译成多种文字. 《九章算术》包含大量算法，它们统领着大量例题（现传本有 题）， 246 按方法和用途分为九章，其方法具有普适性，称为“术”，故名《九章算 术》. 全书术文统率例题，这是《九章算术》体例的基本特点. 《九章算术》各章的内容如下表所示. 章 名 题 数 主要内容 方 田 38 主要解决各种形状田亩面积的计算问题 粟 米 46 主要解决粟、米等粮食互换、计算商品单价等比例问题 衰 分 20 主要是论述分配比例，兼论述其他比例问题（含反比例） 主要论述从平面图形面积、立体体积反算其边长、周长和直 少 广 24 径等问题 商 功 28 主要是讨论土方体积、粮仓体积以及计算劳动人数等问题 主要是解决交纳赋税、承担劳役等按户（人）合理负担的计算 均 输 28 问题 盈不足 20 主要是全面讨论在非负数范围内用双假设法解线性方程问题 主要介绍线性方程组的一般解法，还提出了正负数概念及其 方 程 18 加减运算法则 句（勾）股 24 主要论述直角三角形解法（边），勾股定理及其应用问题 《九章算术》的数学成就是多 方面的，其许多成果在当时都处 于世界领先地位. 例如，其中第 八章《方程》采用类似增广矩阵 的方法解决线性方程组问题，引 进了负数概念，并提出了“正负 术”，明确规定了正负数加减运算 法则. 《九章算术》书影 61数学 七年级上册 加法法则是“其异名相除，同名相益；正无入正之，负无入负之”. 减法法则是“同名相除，异名相益；正无入负之，负无入正之”. “同名”“异名”即同号、异号；“相益”“相除”指二数绝对值相加、 相减 . 用现代符号表述上述“正负术”：设a>b>0 ，则 加法法则为： （ ±a） + （ ∓b） =± （a-b），（ ±b） + （ ∓a） =∓ （a-b）， （ ±a） + （ ±b） =± （a+b）， 0+a=a， 0+ （ -a） =-a， 减法法则为： （ ±a） - （ ±b） =± （a-b），（ ±b） - （ ±a） =∓ （a-b）， （ ±a） - （ ∓b） =± （a+b）， 0-a=-a， 0- （ -a） =+a. 这和我们现在所学的正负数加减运算法则是一样的. 这部著作证明 了我国是世界上最早使用负数的国家. 作注是中国传统数学著述的重要方式. 公元 世纪，我国数学家刘徽 3 （约 世纪）对《九章算术》“正负术”进行了创造性的注释，率先给出了 3 负数的定义——“今两筭得失相反，要令正负以名之”（“筭”通“算”）， 并在运算中用红色的算筹（用于记数的小棒）表示正数，用黑色的算筹表 示负数. 现如今有很多秦汉时期的竹简陆续被发现，如湖北省江陵张家山 247 号墓出土的《算数书》有一题名“医”的条目，提到“程曰：医治病者 得六十筭而负廿筭”，表明当时用正、负数来对医生的治病效果作出评 价. 这些出土文物，都充分地证明负数在我国的起源是很早的. 国外认识并承认负数，较之我国要晚得多. 直至公元 世纪，古印 7 度数学家才提出负数的概念，但当时其他各国都还不承认方程有“负 数”的解. 负数的引入使数系得到了扩充，在历史上，它对数学的发展起到了 推动作用，为人类进一步认识世界提供了有力的工具. 62第 ２ 章 代 数 式 从新中国第一颗人造地球卫星“东方红”的成功发射到“北 斗”卫星导航系统的高水平运行，从“神舟一号”无人飞行到中 国空间站的有人中长期驻留……我国航天事业一步一个脚印，一 次次在浩瀚太空中刷新“中国高度”. 在这一探索无边宇宙的过程中，火箭飞行时间和平均速度有 所不同，但数学上可以将它们分别统一用t和v表示. 将数与表示数的字母用运算符号连接，得到的式子能进行 加、减运算吗？如能，又应该如何进行加、减运算？本章将学习 上述内容.（1603.9×a）kg 2.1 代数式的概念和列代数式 做一做 （1）据新华社2021年10月17日报 道：由“杂交水稻之父”袁隆平院士专 家团队研发的杂交水稻双季亩①产为 1 603.9 kg（其 中 早 稻 平 均 亩 产 为 667.8 kg，晚稻平均亩产为936.1 kg）. 按照双季亩产1 603.9 kg计算，10亩的 杂交水稻之父——袁隆平 产量为（1603. 9×10）kg，16.5亩的产 量为（1603. 9×16. 5）kg，a 亩的产量 为 kg . （2）已知小楠跑100 m花了13 s，则他的平均速度是（100÷13）m/s， 100 可以记作 m/s；类似地，若小婷跑100 m花了14 s，则她的平均速度 13 100 是 m/s；若小华跑100 m花了t s，则他的平均速度是 m/s . 14 （3）已知一个正方形的边长为2，将正方形的一组对边的长度各增加 1，另一组对边的长度不变，则所得到的长方形与原正方形的面积之差是 （2+1）×2-22. 若正方形的边长为a，进行同样的变化，则所得到的长 方形与原正方形的面积之差是 . 从上述例子以及结合以前遇到的很多用字母表 示数的例子，可以体会到，用字母表示数，更具有 你还能举出几个 普遍意义，能为叙述和研究问题带来方便. 用字母表示数的例子 吗？试一试. ①亩，我国的一种面积单位，1亩≈666.67m2. 64第２章 代数式 观 察 观察下面的一些式子，找出它们的共同特征. 100 1603. 9×a， ，（a+1）×a-a2. t 可以发现，上述式子都是数与表示数的字母用运算符号连接而成. 把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式. 单独一个字母或者一个数也是代数式. 提示 代数式中，数字与字母相乘时，“ × ”通常省略不写，例如 1603. 9×a 写成 1 603.9a；字母与字母相乘时，“ × ”通常省略不写或写成“ ⋅ ”，例 如a×b可以写成ab或a⋅b. 字母和数字相乘的结果，数字写在字母的前 面，例如a×2=2a. 例1 填空： 3 （1）比a的 大c的数是 ； 5 （2）a与b的积的2倍为 ； （3）a（a不为0）的倒数与b的和为 ； （4）a的5倍与b的8倍的和为 . 3 解 （1） a+c； （2）2ab； 5 1 （3） +b； （4）5a+8b. a 例2 填空： （1）1893=1000× +100× +10× + ； （2）一个四位正整数，它的千位数字是a，百位数字是b，十位数字是c， 个位数字是d，则这个四位正整数可表示为 ； （3）被7除余4的数为 （商用自然数n表示）； 65数学 七年级上册 （4）x表示一个两位正整数，y表示一个三位正整数，把x放在y的右边组 成一个五位数，则这个五位数可以表示为 . 解 （1）由题意可得，1893=1000×1+100×8+10×9+3，所以空 格分别填1，8，9，3 . （2）由题意可得，这个四位正整数是1000a+100b+10c+d，所以空格 填1000a+100b+10c+d. （3）由题意可得，这个数是7n+4，所以空格填7n+4 . （4）由题意可得，这个五位数可表示为100y+x，所以空格填100y+x. 例3 我国“复兴号”CR400系列动车组列车的最高时速可达400 km . 如 果按最高时速计算，问： （1）60 min可以运行多少千米？ （2）t min可以运行多少千米？ 解 （1）60 min=1h，400×1=400（km）； t t 20t （2）tmin= h，400× = （km）. 60 60 3 20t 答：60 min可以运行400 km，t min可以运行 km . 3 练 习 1 填空： （ 1 ）比b的一半少 3 的数是 ； （ 2 ）a的平方与b的平方的和是 ； （ 3 ）a与b的和的平方是 ； （ 4 ）一个两位正整数，它的十位数字是a，个位数字是b，则这个两位正整 数可表示为 ； （ 5 ）一个三位正整数，它的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， 则这个三位正整数可表示为 . 2 小明上学骑自行车的速度是他步行速度的 3 倍，若小明的步行速度是v m/s ， 则他骑自行车的速度是多少？ 66第２章 代数式 做一做 观察图2.1-1，并完成下表： 图2.1-1 六边形的个数 图案 所需火柴棍根数 1 6 2 6+5=11 3 6+5×2=16 4 6+5× = … … … m（m为正整数） … 6+5× = 由图2.1-1可知，1个六边形需火柴棍6根，每增加1个六边形只需增加5 根火柴棍，因此，围4个六边形需火柴棍6+5×（4-1）=21（根），围m个六 边形需火柴棍[6+5（m-1）]根. 例4 填空： （1）日平均气温可以用一天中2：00，8：00，14：00，20：00四个时刻气温 的平均值来表示，若某地上述四个时刻的气温分别是a ℃，b ℃，c ℃，d ℃， 则该地的日平均气温是 ℃； （2）把a本科普书、b本作文书、c本文学书分给若干名学生，若每人5本， 则剩余3本，由此可知学生人数为 . 67数学 七年级上册 a+b+c+d a+b+c-3 解 （1） . （2） . 4 5 例5 为了增强公民节水意识，某市鼓励居民合理利用水资源，对自来水 的水费实行阶梯水价，并实行“一户一表”计费. 对于5人及以下的家庭，规 定如下： 每户每年用水量 水价/（元/m3） 180m3及以下 2.07 超过180m3但不超过260m3的部分 4.07 超过260m3的部分 6.07 （1）若某个家庭（5人及以下）一年总用水量为a m3，其中a不超过180，则 该家庭一年的水费是多少？ （2）若某个家庭（5人及以下）一年中前十个月用水量为180 m3，后两个月 用水量为b m3，其中b不超过80，则这样的家庭一年的水费是多少？ 解 （1）由于一年总用水量为a m3，且a不超过180，因而其价格为每立 方米2.07元，故这样的家庭一年的水费为2. 07a元. （2）一年中前十个月的水费为2. 07×180=372. 6（元）. 由于后两个月用水量不超过80 m3， 于是全年用水量不超过260m3. 又后两个月用水量为b m3，从而后两个月的水费为4.07b元， 因此，这样的家庭一年的水费为（372. 6+4. 07b）元，其中b不超过80 . 说一说 结合生活实例说明代数式25a可以表示什么. 如果苹果的价格 如果小强跑步的速度是 是每千克a元，那么买 am/s，那么他25s所跑的 25kg苹果需要25a元. 路程为25am . 68第２章 代数式 练 习 1 用代数式填空： （）某阶梯教室第一排有 个座位，第二排有 个座位，以后每排都比它 1 8 10 前一排多 2 个座位，那么第n排有 个座位； 1 （ 2 ）一批货物共x t ，第一天售出这批货物的 ，第二天售出剩下的一半， 3 还剩下货物 . t （ 3 ）一件进价为x元的商品，卖出后利润率为 25% ，则这件商品的利润（利 润 进价 利润率）为 . = × 2 某商店购进每双m元的旅游鞋 100 双，每双n元的皮 鞋 双，那么该商店一共需支付多少元？ 50 3 如图，小斌将边长为 的正方形纸片的 个角各剪 10 4 去一个边长为x的小正方形，其中x<5 ，求剩余部 分的面积. a 4 结合生活实例说明代数式 可以表示什么. （第3题图） 2 习题2. 1 学而时习之 1 用代数式表示： 1 （ 1 ）a的 与 10 的和； 3 （ 2 ）a的倒数与b的倒数的和，其中a，b均不为 0 ； （ 3 ）c的相反数的 5 倍与 -3 的和； （ 4 ）x的平方减去y的平方的差； （ 5 ）x减去y的差的平方. 2 某校七年级师生参加献爱心捐款活动，其中有 名教师， 名学生. 若 15 200 平均每名教师捐a元，每名学生捐b元，则他们共捐款多少元？ 3 李叔叔存入银行一年期整存整取的定期储蓄 2 万元，年利率为a% ，一年到 69数学 七年级上册 期日，他能得到利息多少元（利息 本金 年利率 年数，无利息税）？ = × × 他能得到本金与利息的和（即本息和）多少元？ 4 测得一根弹簧的长度 l 与所挂物体质量m 的关系如下表所示（重物不超过 时，去掉重物后，弹簧能恢复原状）： 20 kg 物体质量m/kg 0 1 2 3 … a（a不超过20） 弹簧长度l/cm 6 6+0.5 6+1 6+1.5 … 请完成上表. 5 结合生活实例说明代数式x+6 可以表示什么（至少写出 3 个）. 温故而知新 6 在本节例 5 中，若某个家庭（ 5 人及以下）一年中前十个月用水量为 210 m3， 后两个月用水量为c m3，其中c大于 50 ，则这样的家庭一年的水费是多少？ 7 小王利用计算机设计了一个计算程序，请根据数据完成下表. 输入 … 1 2 3 4 5 … n 1 2 3 4 输出 … … 2 5 10 17 70U V W > ? @ A B C > ? @ A B C D E F 2.2 代数式的值 做一做 在上节的例5中，对于某个家庭（5人及以下），如果一年中前十个月 用水量为180 m3，后两个月用水量为b m3，其中b不超过80，我们求出了 这样的家庭一年的水费是 （372. 6+4. 07b）元. 运用这一结论，解决下列问题： （1）若小华家（5人及以下）一年中前十个月用水量为180 m3，后两个 月用水量为40 m3，则小华家一年的水费是 372. 6+4. 07× = （元）； （2）若小玲家（5人及以下）一年中前十个月用水量为180 m3，后两个 月用水量为60 m3，则小玲家一年的水费是 372. 6+4. 07× = （元）. 在代数式372. 6+4. 07b里，把b用40代入，则小华家一年的水费是 372. 6+4. 07×40=535. 4（元）. 在代数式372. 6+4. 07b里，把b用60代入，则小玲家一年的水费是 372. 6+4. 07×60=616. 8（元）. 如果把代数式里的字母用数代入，那么计算后得出的结果叫作这个代数式 的一个值. 将b用一个数代入 得出一个结果 代数式 372.6+4.07b 71数学 七年级上册 代数式里的字母可以用不同的数代入，但是这些数还须符合一定的要求. 例如，在上面5人及以下家庭一年的水费的例子中，b的值只能取不超过80的 非负数. 例1 在代数式x2-5x+6里， （1）当x取3时，求x2-5x+6的值； 习惯上也将“x取3” （2）当x取-2时，求x2-5x+6的值； 简记为“x=3”. 5 （3）当x取 - 时，求x2-5x+6的值. 2 解 （1）将x用3代入，则x2-5x+6的值为 32-5×3+6=9-15+6=0 . （2）将x用-2代入，则x2-5x+6的值为 （-2）2-5×（-2）+6=4+10+6=20 . 5 （3）将x用 - 代入，则x2-5x+6的值为 2 ( ) ( ) 2 5 5 25 25 99 - -5× - +6= + +6= . 2 2 4 2 4 x2-y3 1 例2 已知代数式 ，当x= ，y=-2时，求这个代数式的值. xy 2 1 x2-y3 解 将x用 ，y用-2代入，则 的值为 2 xy ( ) 2 1 -（-2）3 1 +8 2 4 33 . = =- 1 -1 4 ×（-2） 2 例3 计算不规则图形的面积时，有时采用“方 格法”. 具体计算方法如下：假定每个小方格的边长 为1，S为图形的面积，L是边界上的格点数，N是内 L 部格点数，则有S= +N-1 . 请根据此方法计算 图2.2-1 2 72第２章 代数式 图2.2-1中四边形ABCD的面积. 解 由图2.2-1可知，边界上的格点数L=8，内部格点数N=12，所以 四边形ABCD的面积 L 8 S= +N-1= +12-1=15 . 2 2 练 习 1 填空： -2a+1 输入ɑ的值 输出结果 4 -4 0 2 - 3 1 3 1 1 2 在代数式x2+ x-3 里，当x分别取 -2 ， ， - 时，求x2+ x-3 2 2 2 2 的值. 3 已知代数式 4x2+2y， 1 1 （ 1 ）当x= ，y=- 时，求 4x2+2y的值； 2 2 3 3 （ 2 ）当x=- ，y=- 时，求 4x2+2y的值. 2 4 4 请用例 的方法求下图中图形的面积. 3 （第4题图） 73数学 七年级上册 习题2. 2 学而时习之 1 填表： 1 3 a -2 -1 - 0 0.5 3 4 2 2 3a-1 ( 3a-1 )2 2 在代数式b2-4ac里，当a，b，c分别取 -1 ， -2 ， 3 时，求这个代数式 的值. n（a+b） 3 人们常用公式 来计算堆成如图所示形状的钢 2 管的根数，其中a 是顶层的根数，b是底层的根数，n 是层数. 如果一堆钢管有 层，顶层、底层的钢管数 6 量分别为 根， 根，求这堆钢管的根数. 5 10 4 根据一项科学研究，一个 岁至 岁的人每天所需 10 50 n （第3题图） 的睡眠时间t（ h ）可用公式t=11- 计算出来，其 10 中n代表人的岁数. 根据这个公式，一个 15 岁的未成年人每天所需的睡眠 时间是多少？ 温故而知新 5 已知 a2 + 2a - 1 = 0 ，求 3（a2+2a）+2 的值. 6 如图，在一个边长为 b cm 的正方形的四角各剪去一 ( ) b 1 个半径为a cm a不超过 的 圆. 请用代数式表示 2 4 阴影部分的面积，并求当a=2 ，b = 6 时阴影部分 的面积（结果保留 π ）. （第6题图） 74
πr2 2.3 整式的概念 观 察 下面横线上的代数式里含有加减运算吗？只含有哪些运算？ （1）以8 km/h的平均速度行走t h的路程是 8t km； （2）半径为r的圆的面积是 πr2 ； （3）底面是边长为x的正方形，高为y的长方体的体积是 x2y . 我们知道，8t表示8与t的积，πr2表示π与r2的积，x2y表示x2与y的积. 这 三个代数式均不含加减运算，只含有数与字母的幂的乘法运算. 抽 象 由数与字母及其幂的乘积组成的代数式叫作单项式，其中这个数叫作单项 式的系数，所有字母的指数的和叫作单项式的次数. 当单项式的系数为“1” 或“-1”时，“1”省略不写. 例如，x，8t，πr2，-x2y 都是单项 书写单项式时，一般数字 式. 其中，x的系数是1，次数是1；8t的 在前，字母在后，且字母顺序 系数是8，次数是1；πr2的系数是π，次数 遵循英文字母表的顺序. 是2；-x2y的系数是-1，次数是3 . 单独一个数也可看作单项式，并约定一个不为0的数其次数为0 . 做一做 填表（其中π是圆周率）： 单项式 -1.5x4 x2 y3 -y 5xy2 πx2y 2πx 系数 -1.5 1 次数 4 2 75数学 七年级上册 说一说 图2.3-1是由一个长方形和一个半圆组成. 已知 y 长方形的长为x，宽为y，半圆的直径为y. （1）长方形的面积为多少？ x （2）半圆的面积为多少？ （3）由长方形和半圆组成的图形的面积为多少？ 图2.3-1 1 1 （1）xy；（2） πy2；（3）xy+ πy2. 8 8 从这个例子受到启发，有时需要考虑几个单项式的和. 抽 象 几个单项式的和叫作多项式，其中的每个单项式叫作多项式的项，不含字 母的项叫作常数项，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数. 1 例如，多项式2x3+x2 -7x+9和xy+ πy2的常数项分别是9和0，次数 8 是3和2 . 1 又如，多项式 x4+4x3-5x2y+3xy2-7xy+y2-1 的常数项是-1， 2 次数是4 . 习惯上把单项式和多项式统称为整式. 例1 分别写出下列多项式的次数和常数项： （1）2x-3； （2）-x3+7x-4； （3）3x2-5xy+y2-4x+6y-9 . 解 （1）2x-3的次数是1，常数项是-3 . （2）-x3+7x-4的次数是3，常数项是-4 . （3）3x2-5xy+y2-4x+6y-9的次数是2，常数项是-9 . 76第２章 代数式 练 习 1 填表（其中 是圆周率）： π 1 4 单项式 x4 2000x2 -x πx3 4xy5 -6x4y2 5 3 系数 次数 2 分别写出下列多项式的次数和常数项. （ 1 ） -3x+11 ； 1 （ 2 ） - x2+4x-7 ； 3 （ 3 ）x3-2x2y-3x+y2+5y-1 ； （ 4 ） -x4+5x2y3-12xy+y2-2y+25 . 说一说 在多项式x4-3x2y+5x3+7x2y+4中，项-3x2y与7x2y中含有的 字母相同吗？相同字母的指数也相同吗？ 这两项都只含有相同的字母x，y， 且x的指数都是2，y的指数都是1 . 由此受到启发，引出下述概念： 把所含字母相同并且相同字母的指数也相同的单 非零常数也是 项式称为同类项. 同类项吗？ 在多项式x4-3x2y+5x3+7x2y+4中，-3x2y 与7x2y是同类项. 从数的加法满足交换律和结合律，数的乘法满足对加法的分配律受到启 发，可得 77数学 七年级上册 x4-3x2y+5x3+7x2y+4 =x4-3x2y+7x2y+5x3+4 …… 加法交换律 =x4+（-3x2y+7x2y）+5x3+4 …… 加法结合律 =x4+（-3+7）x2y+5x3+4 =x4+4x2y+5x3+4 . 一般地，在多项式中，要把同类项的系数相加合并成一项，这叫作合并同 类项. 例2 把下列多项式合并同类项： （1）2x3-9x3+x2-7； （2）-3x2y2+5xy3-7x2y2-8xy3-10 . 解 （1） 2x3-9x3+x2-7 =（2-9）x3+x2-7 合并同类项时，字母 和字母的指数不变. =-7x3+x2-7 . （2） -3x2y2+5xy3-7x2y2-8xy3-10 =（-3-7）x2y2+（5-8）xy3-10 =-10x2y2-3xy3-10 . 像例2这样，在多项式中，先把同类项在底下画线标出，对于不同的同类 项，分别用不同的线，然后再合并同类项，合并完后，多项式的次数和项数分 别是几，则称此多项式为几次几项式. 例如，称（1）的结果为三次三项式，称 （2）的结果为四次三项式. 在把多项式合并同类项后，一般要把它的各项按照一定的次序排列： 把只含一个字母的多项式的各项按照该字母的指数由大到小（或由小到大） 排列，称为降幂（或升幂）排列. 例如，-x4+5x3-3x2-7x+12是降幂排列，12-7x-3x2+5x3-x4 是升幂排列. 习惯上，把只含一个字母的多项式按降幂排列；把含有多个字母的多项式 按照其中某个字母进行降幂排列. 78第２章 代数式 例如，3x4y-5x3y2+7x2y4-xy3+xy+y2-13是按x降幂排列. 例3 写出下列多项式的次数和常数项，并指出它们是不是按x降幂排列， 对于不是按x降幂排列的多项式，试着按x进行降幂排列： 1 1 3 （1）- x5+ x4-7x3- x+10； 3 2 4 （2）5x2y4-2x3y2+6xy3-7y-19 . 1 1 3 解 （1）- x5+ x4-7x3- x+10的次数是5，常数项是10，且是 3 2 4 按x降幂排列. （2）5x2y4-2x3y2+6xy3-7y-19的次数是6，常数项是-19，它不是 按x降幂排列，按x降幂排列应为-2x3y2+5x2y4+6xy3-7y-19 . 说一说 分别将多项式x3-4x2+7x2-2x-5与多项式 x3+3x2-6x+4x- 5合并同类项，你会发现什么？ 分别将两个多项式合并同类项后，均等于 x3+3x2-2x-5 . 两个多项式分别合并同类项后，如果它们的对应项系数都相等，那么称这 两个多项式相等. 例如，若多项式ax2+bxy2-cy与多项式dx2-exy2相等，其中a，b，c， d，e均为常数，则a=d，b=-e，-c=0 . 练 习 1 找出下面的同类项： 1 · 2x3，xy2， -5x， ， -7xy2， 3x， 0. 1 ， -4x3. 4 79数学 七年级上册 2 把下列多项式合并同类项，并指出它们分别是几次几项式. （ 1 ） 6x4-5x4+7x2-3x4+8； （ 2 ） 8x4y-5x3y-6x4y+2x3y+9xy-11 . 3 指出下列多项式是不是按x降幂排列，对于不是按x降幂排列的多项式，按 x进行降幂排列： （ 1 ）x4-3x2+5x-1 ； （ 2 ）x2y3-5x3y+7xy2-6y2-23 ； （ 3 ） 3xy4-4x4-7x3+6x2-5x+2y-7 . 4 已知下列两个多项式相等，求常数a，b的值. x3-5x2+3x2-7x+2，x3+ax2+bx+2 . 习题2. 3 学而时习之 1 下列说法中错误的是（ ） 2 2 （ A ） - x2y的系数是 - （ B ） 0 是单项式 3 3 2 （ C ） xy的次数是 1 （ D ） -x是一次单项式 3 2 （多选题）下列语句中正确的有（ ） （ A ）数字 1 的次数是 0 （ B ）单项式 -x的系数与次数都是 1 1 2xy 2 （ C ） xy是二次单项式 （ D ） - 的系数是 - 2 3 3 3 分别写出下列多项式的次数和常数项，并指出是几次几项式. （ 1 ） 2x-1； （ 2 ）x5+x4+x3+x2+x+1； （ 3 ） 4x2-3xy+5y2-2x+6y-1； （ 4 ）x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4. 4 下列各组中的两项是不是同类项？若不是，说明理由. （ 1 ）xy与 2xz； （ 2 ） 3xy与 -2yx； 80第２章 代数式 1 （ 3 ）x2yz与xy2z； （ 4 ） -8xy2与 xy2； 2 （） 与 . 5 -0. 3 8 5 把下列多项式合并同类项，并指出是几次几项式. （ 1 ） 8x3+5x3+3x2-4x3+1； （ 2 ） 2y4+4y3-5y4+3y2-6y3+4； （ 3 ） 3x5y2-2x3y2+5x2y+7x3y2-x2y+xy. 6 若多项式ax2+2x+3 与 3x2+5x2+bx+3 相等，求常数a，b的值. 温故而知新 7 若 7axb2与 -a3by的和为单项式，求yx的值. 8 一个多项式有 项，它的项依次为 8 x3 x4 x5 x6 - x2， ， - ， ， - ，…. 2 3 4 5 根据这些项的规律，写出这个多项式. 9 有一列按照一定规律写出的单项式： -2x， 4x2， -6x3， 8x4， -10x5，…. （）写出这列单项式中的第 个和第 个； 1 6 7 （）写出这列单项式中的第 个和第 个； 2 2 026 2 027 （ 3 ）写出这列单项式中的第 2k个和第（ 2k+1 ）个，其中k是正整数. 81-（x2+x-1）=？ 2.4 整式的加法与减法 我们知道，有理数的加法满足加法交换律和结合律. 由于整式中的每个字 母都可以表示数，因而也规定整式的加法同样满足加法交换律和结合律. 于是，进行整式加法运算时，如果括号前只有“+”，可以直接去掉括号， 再把得到的多项式合并同类项. 例1 计算： （1）（5x2-7）+（-6x2-4）； （2）（-6x3y2+7xy3)+(9x3y2-11xy3）. 解 （1） （5x2-7）+（-6x2-4） =5x2-7-6x2-4 =[5+（-6）] x2+（[ -7）+（-4）] =-x2-11 . （2） (-6x3y2+7xy3）+（9x3y2-11xy3） 习惯上将最后 =-6x3y2+7xy3+9x3y2-11xy3 结果按某字母进行 =（[ -6）+9] x3y2+[7+（-11）] xy3 降幂排列. =3x3y2-4xy3. 做一做 计算：（4x3y2-7xy4+x+1）+(-4x3y2+7xy4-x-1）= . （4x3y2-7xy4+x+1）+（-4x3y2+7xy4-x-1） =（4-4）x3y2+（-7+7）xy4+（1-1）x+（1-1） =0x3y2+0xy4+0x+0 . =0 类似于相反数，称4x3y2-7xy4+x+1与-4x3y2+7xy4-x-1互为相反 82第２章 代数式 多项式. 多项式4x3y2-7xy4+x+1的相反多项式就是把它的各项反号得到的多 项式，即 -（4x3y2-7xy4+x+1）=-4x3y2+7xy4-x-1 . 前面规定有理数的减法是“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，类 似地，减去一个多项式，等于加上这个多项式的相反多项式，然后按整式的加 法进行运算. 例2 计算： （1）（3x2+5x）-（-6x2+2x-3）； （2）（5x3y2+3x+7）-（-4x3y2+7xy4-x）. 解 （1） （3x2+5x）-（-6x2+2x-3） =（3x2+5x）+（6x2-2x+3） =9x2+3x+3 . （2） （5x3y2+3x+7）-（-4x3y2+7xy4-x） 计算多项式的 减法时，一般先把 =（5x3y2+3x+7）+（4x3y2-7xy4+x） 减法转化为加法. =9x3y2-7xy4+4x+7 . 由上可得：括号前是“-”时，需把括号里的各项都反号，才能去掉括号 和括号前的“-”. 综上可得下列去括号法则： 括号前是 “ ”，可以直接去掉括号，原括号里各项符号都不变； + 括号前是 “ ”，去掉括号和它前面的 “ ” 时，原括号里各项符号均要 - - 改变. 做一做 填空： （1）-（x2+x-1）= ； （2）-（y3-3y2+y-1）= . 83数学 七年级上册 练 习 1 计算： （ 1 ）（-3x2+5x）+（-7x2+6x）； （ 2 ）（3x4+5x2-6）+（-7x4-8x2-10）； （ 3 ）（-6xy+10x-2y2）+（xy+4x-3y2）. 2 计算： （ 1 ）（2x+1）-（3x+5）； （ 2 ）（x2-3x+6）-（x2+4x-1）； （ 3 ）（-5x+3y）-（2x-y）； （ 4 ）（x4-3x2y2+y4）-（5x2y2-xy3+y4）. 思 考 计算：3（xy-2y）-5（x-2y+1）= . 类似于有理数的运算满足乘法对加法的分配律，规定整式的运算同样满足 乘法对加法的分配律. 于是， 3（xy-2y）-5（x-2y+1） =（3xy-6y）-（5x-10y+5） =3xy-6y-5x+10y-5 =3xy-5x+4y-5 . 例3 计算：（3x2y3-xy2）-2（x2y3+6xy2）+（-4x2y3+2xy2）. 解 （3x2y3-xy2）-2（x2y3+6xy2）+（-4x2y3+2xy2） =3x2y3-xy2-（2x2y3+12xy2）-4x2y3+2xy2 =3x2y3-xy2-2x2y3-12xy2-4x2y3+2xy2 =[3+（-2）+（-4）] x2y3+（[ -1）+（-12）+2] xy2 =-3x2y3-11xy2. 84第２章 代数式 例4 计算： （1）（4x2-5xy+3y2）-（3x2+2y2）； （2）[4×（-2）2-5×（-2）×3+3×32]-[3×（-2）2+2×32]； （3）[4×（-3）2-5×（-3）×c+3×c2]-[3×（-3）2+2×c2] . 分析 将（ 2 ）与（ 1 ）进行比较，可以发现：将（ 1 ）中的字母x，y分别用 -2 ， 3 代入即可得（ 2 ），于是只需将（ 1 ）的结果中的字母x，y分别用 -2 ， 3 代入，即 可得（）的结果，这样能大大减少运算量. 类似地，可以求得（）的计算结果. 2 3 解 （1） （4x2-5xy+3y2）-（3x2+2y2） =4x2-5xy+3y2-3x2-2y2 =x2-5xy+y2. ① （2）将等式①中的x用-2，y用3代入，则 [4×（-2）2-5×（-2）×3+3×32]-[3×（-2）2+2×32] =（-2）2-5×（-2）×3+32 =4+30+9 . =43 （3）将等式①中的x用-3，y用c代入，则 [4×（-3）2-5×（-3）×c+3×c2]-[3×（-3）2+2×c2] =（-3）2-5×（-3）×c+c2 =9+15c+c2. 例4表明，只要将一个多项式经过计算得到的等式中的字母，用任意数或 任意多项式代入，就可得到许多等式，这体现了多项式的重要性. 练 习 计算： （ 1 ）（-3x2y2+5xy-y3）+3（7x2y2-xy+4y3）； （ 2 ）（x3+5x-1）-3（2x3-3x2）+（4x2-5x+6）； （ 3 ） 4（-2x3+4x）+（x3-5x2+1）-2（-x3+x）； （ 4 ）（x3y-3x2y2-x）+4（2x3y-x2y2）-3（-x3y+6x2y2）. 85数学 七年级上册 习题2. 4 学而时习之 1 计算： （ 1 ）（3x-7）+（5x-6）； （ 2 ）（x2-3）+（-5x2-7）； （ 3 ）（2x3y2-x2y3+5x）+（7x2y3-x）. 2 计算： （ 1 ）（x2-2x+5）-（-3x2+x-7）； （ 2 ）（2x3-3x2y+y2）-（-2x2y+x-y2）. 3 计算： （ 1 ）（x2-5x+3）-2（-x3+x2-x）+3（x3-x2+1）； （ 2 ）xy-4（2xy-3x）+5（3xy-2x）. 4 先计算 2（x3y2-5xy3+x）+（3xy3-2x）-3（x3y2-xy3+7x），再利用所得 结果计算： 2× （ [ -1 ）3× （ -2 ）2-5× （ -1 ） × （ -2 ）3+ （ -1 ） ]+[3× （ -1 ） × （ -2 ）3-2× （ -1 ） ]-3× （ [ -1 ）3× （ -2 ）2- （ -1 ） × （ -2 ）3+7× （ -1 ） ] . 温故而知新 5 一个两位数，它的十位数字是a，个位数字是b，将这个两位数的十位数字 与个位数字交换位置后得到一个新的两位数，求所得数与原数的和（用含a， b的代数式表示）. 1 6 小王认为：代数式x2+ （ 4x2+6xy） -3x2-3xy的值与x，y的取值无关. 2 你认为呢？试说明理由. 7 已知a，b为有理数，则 - （a-b）与 -a-b相等吗？与 -a+b相等吗？ 8 计算： （ 1 ） 3 （x+y） -5 （x+y） + （x+y）； （ 2 ） 5 （ 3x2-2y） -4 （ 2x+3y2） + （ 3x2-2y） -3 （ 2x+3y2）. 86第２章 代数式 用计算机做批量计算 在日常生活中，我们经常会碰到一些大量的重复计算问题，这个时候我们 可以利用计算机来完成. 下表是利用某计算机软件制作的某工厂九月份的员工 工资表，其中“应发工资”与“实发工资”的计算方法如下： 应发工资 基础工资 计件单价 计件数量； = + × 实发工资 应发工资 考勤扣款. = - 如何利用该计算机软件快速计算出每一个员工的工资呢？ 具体步骤 . 在单元格 中，输入公式“ ”后回车，即可计算出张大 1 F3 =C3+D3*E3 山的“应发工资”；在单元格 中，输入公式“ ”后回车，即可计 H3 =F3-G3 算出该工人的“实发工资”. . 选中单元格 ，并将光标移至单元格的右下角，当出现黑色十字形光 2 F3 标时，双击鼠标左键让公式向下自动填充，即可完成对所有人的“应发工资” 的计算. 在单元格 执行同样的操作，即可完成对所有人的“实发工资”的 H3 计算. 操作与思考 . 在上面的表格中，修改某员工的工资数据，如“计件数量”或“计 1 件单价”等，该员工的“应发工资”与“实发工资”会自动变化吗？ . 搜集生活中的案例，并利用计算机软件的批量计算功能解决问题. 2 87数学 七年级上册 小 结 与 评 价 知识图谱 思考回顾 . 什么叫作代数式？列代数式时，一般怎样规范书写？ 1 . 举例说明如何求代数式的值. 2 . 什么叫作单项式、多项式？单独一个数或字母是单项式吗？单项 3 式的次数、多项式的次数分别是如何确定的？ . 什么叫作同类项？怎样合并同类项？ 4 . 举例说明如何进行整式的加减运算. 5 注意事项 . 单独一个数或字母是单项式，分母中含有字母的代数式不是整式. 1 . 单项式的次数是所有字母的指数的和，多项式的次数是多项式中 2 次数最高的项的次数. 3 . 确定单项式的系数时要注意前面的正负号，如 -x2y的系数是 -1 ； 确定多项式中每一项的系数时也要注意它前面的符号. 4. 合并同类项时，只把它们的系数相加，字母和字母的指数不变. . 去括号时，若括号前面是负号，则要将括号里的每一项都反号. 5 88第２章 代数式 自评互评 • 自评 通过本章的学习，你对以下几方面的学习内容掌握得怎么样？根据 自己的学习情况，点亮属于你的小星星，然后请同学和老师对你的自评 进行恰当评价. . 能分析具体问题中的数量关系，并用代数式表示 1 . 会选择适当的方法求代数式的值 2 . 会利用合并同类项和去括号的法则进行简单的整式加减运算 3 . 能从现实生活问题中认知数量关系，找出规律，从而能用含字母的代 4 数式清晰、准确地认识、理解和表达身边的一些事例 . 能熟悉用字母表示数后的运算和推理，初步形成符号意识，并从中感 5 悟数学结论的一般性，理解运算方法与运算律的关系，运算能力得到 进一步提升 • 自评 / 互评 请完成下面两项评价，先自评再在小组内进行互相评价. 其中评价 由低到高分为 ， ， ， ， 五个等级. 1 2 3 4 5 . 对用字母表示数的意义有较深体会，对本章内容的学习有浓厚的兴趣， 1 能独立思考、专心听讲、积极与同伴合作完成各种数学学习活动，作 业能保质保量完成 ( )/( ) . 根据对本章知识结构的理解，画出思维导图，并在组内展示，对自己 2 和同学画出的思维导图进行恰当评价 ( )/( ) 你对本章的学习及评价还满意吗？既要学会肯定自己，也要学会反 思自己有所欠缺的地方，学习数学尤其需要这样. 只有不断总结，不断 反思，同时努力去爱数学、学数学、用数学，才能取得更大的进步！ 89数学 七年级上册 复习题2 学而时习之 1 用代数式填空： （ 1 ）正方形的边长为a，那么它的周长是 ，面积是 ； （ 2 ）某地区去年的人均收入为b万元，今后一段时期每年将以 9% 的增长率 增加，则经过三年增长，该地区人均收入为 万元. 2 列代数式： （ 1 ）x的立方减去y的 4 倍； （ 2 ）a的相反数与b（b不为 0 ）的倒数的和； （ 3 ）a减去b的差的平方，再加上a与b的和的平方. 3 如图，我们做一个游戏：从大拇指开始，按照大拇指 食 → 指 中指 无名指 小指 无名指 中指 食指 大拇 → → → → → → → 指 食指 ……的顺序依次数正整数 ， ， ， ， ，…， → → 1 2 3 4 5 当第（n+1 ）次数到中指时，恰好数到的数是 （用含n的代数式表示）. （第3题图） 2x-3y 4 已知代数式 ，当x=5 ，y=3 时，求这个代数式的值. 3x+2y 5 分别写出下列单项式的系数和次数（其中 是圆周率）： π 1 π （ 1 ） 5x； （ 2 ） πx2y； （ 3 ） . 3 2 6 分别写出下列多项式的次数和常数项： 3 1 2 1 （ 1 ） x2- x + ； （ 2 ） x - y2； 4 5 3 3 （ 3 ） 2x2-3y2-1 ； （ 4 ） 2x2+3xy3+4y4-y-1 . 7 计算： ( ) ( ) 2 1 （ 1 ） x -4 +2 x+5 ； 3 3 （ 2 ）x2y-（5x2y-2xy2）+（-3xy2-y3）； 90第２章 代数式 1 （ 3 ） 2（x2-5xy+3y2）- （6x2+6xy-3y2）； 3 1 （ 4 ） - （3x2-15xy+9y2）-3（-2x2+2xy-y2）. 3 8 先计算（4x2-2xy+y2）-3（x2-xy+5y2），再利用所得结果分别计算： éê ê ê ( 1 ) ( 1 ) 2ùúú éêê ( 1 ) （ 1 ） ê ê ê4× （ -1）2-2× （ -1 ） × - + - úú-3× （ êê-1 ）2- （ -1 ） × - + ë 2 2 û ë 2 ( 1 ) 2ùúú ； 5× - úú 2 û （ 2 ） [4a2-2a× （ -2 ） + （ -2 ）2]-3[a2-a× （ -2 ） +5× （ -2 ）2] . 9 已知两个整式的和是x3y+x2y-2z，其中一个整式是 2x3y+z，求另一个 整式. 10 已知多项式A=2x2-3xy+2y2，B=2x2+xy-3y2. （ 1 ）求A-B； （ 2 ）如果A+B+C=0 ，求多项式C. 11 小亮在做“计算（ 5x3+2x4y-3xy2） + （x3+3xy2+y3） - （ 6x3-x2y2+2y2） 的值，其中x=2 ，y=-1 ”这道题时，把“x=2 ”错看成“x=-2 ”，但 他计算的结果却是正确的. 请说明其原因. 温故而知新 5 5 12 已知|a+2 | + |b-3 | =0 ，求 - a- b+4ab的值. 2 3 13 已知x为绝对值等于 4 的负数，y为最小的正整数，z的倒数为 -0. 5 的相反 数，求代数式 4x2y3-[2xyz+ （ 5x2y3-7xyz） -x2y3] 的值. ( ) 1 1 14 若代数式 2x2+ax- y+ - （x-2y+1-bx2）的值与字母x的取值无 3 5 关，求a，b的值. 15 （ 1 ） 若 a+b=7 ，ab=10 ，求（ 5ab+4a+7b） + （ 6a-3ab） - （ 4ab-3b） 的值； 91数学 七年级上册 （ 2 ）若a2+2ab=-2 ，ab-b2=-4 ，求 2a2+5ab-b2的值. 1 16 一棵桃树结了x个桃子，有三只猴子先后来摘桃. 第一只猴子摘走 ，再从 5 1 树上摘一个吃掉；第二只猴子摘走剩下的 ，再从树上摘一个吃掉；第三 5 1 只猴子再摘走剩下的 ，再从树上摘一个吃掉. 用代数式表示树上最后剩 5 下的桃子数. 上下而求索 17 观察下面的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，回答问题： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 … 1 第1行 — — — — — 1 1 2 第2行 — — — — 2 1 1 2 3 第3行 — — — 3 2 1 1 2 3 4 第4行 — — 4 3 2 1 第5行 — … （ 1 ）分别写出第 3 列的前 5 个数、第 5 列的前 4 个数、第n列的前n个数. 21 （ 2 ）若第a行、第b列的数为 ，求a，b的值. 2024 （ 3 ）用代数式表示第n行、第k列的数. 92第２章 代数式 数 学 文 化 “代数” 一词的由来 “代数”是英文“ ”的翻译. 源于 世纪初阿拉伯数学 algebra algebra 9 家花剌子米（ ，约 —约 ）所著的《代数学》一书. 该书 al-Khw rizmi 780 850 书名中含有“ ”和“ ”，其中“ ”意为“还原”或“移 al-jabr muqabalah al-jabr 项”，“ ”意为“对消”或“化简”. 后来第二个单词逐渐被人省 muqabalah 略，而“ ”也逐渐演变成“ ”. al-jabr al-gebra 代数学是数学的一个重要基础分支. 初等代数（或称古典代数）是更 古老的算术的推广和发展，主要研究数和代表数的文字或字母的代数运 算（加法、减法、乘法、除法、乘方和开方）的理论和方法，研究多项式 的代数运算和方法. 它的中心问题是求多项式方程和方程组的解（或称为 根），包括解的公式、数值解的算法以及解的分布等. 因此，初等代数可 以简称为方程论. 公元 年前后，古希腊数学家丢番图（ ，约 世纪）写了 250 Diophantus 3 一本数学巨著《算术》 (Arithmetica）. 其中他创设了未知数的符号，并蕴 含有建立方程的思想. 但丢番图所创造的代数符号多是相应文字的字头， 而且问题的叙述方式仍主要是文字，属于较原始的简单代数. 他在解二 次及以上的方程时，都只是满足于一个答案，完全排斥负数及零等解. 虽然跟现代的代数思想仍有一段距离，但他在代数学方面的成就已很卓 越，故有“代数学之父”的称号. 丢番图创用符号是一大进步，美中不足的 是只用一个符号表示未知数，遇到多个未知数 时仍用同一符号，因此为了避免混淆，不得不 应用精妙的技巧，导致这些方法不具有普遍性. 法国数学家韦达在 世纪认为代数是发现 16 数学真理的特设步骤，亦即是柏拉图认为的分 析法——先假定所求的结果成立，然后根据逐 韦达（Viète，1540—1603） 93数学 七年级上册 步推理，得出一个已知的真理，因而要有意识地、系统地使用符号. 韦达对符号代数学的发展有不少贡献，现在我们所用的“ ”“ ” + - 就是他创造的. 同时，他用母音（a，e，i，o，u）代表未知量，子音（b， c，d，…）代表已知量， 还得出了一元二次方程的根（即一元二次方程的 解）与系数的关系——韦达定理. 其后笛卡儿（ ， — ）也开始看到代数的巨大潜力， Descartes 1596 1650 并改用字母序列的前面部分 a，b，c，d，…表示已知量，后面部分 x，y，z，…表示未知量，这个习惯一直沿用至今. 实际上，我国古代在初等代数方面有着 光辉成就和自己的特色，如我国古代数学名 著《九章算术》第八章《方程》中的“方程 术”等，就运用了“复原”和“对消”这一 解方程的最重要的变换手段. 年，清代数学家李善兰和英国传教 1859 方程术 士伟烈亚力（ ， — ）合译英国数 Wylie 1815 1887 学家德·摩根（ ， — ）的代 De Morgan 1806 1871 数著作 《代数学》（Elements of Algebra）时， 首次把“ ”翻译成“代数”. algebra 年，清代数学家华蘅芳（ — 1873 1833 ）和英国传教士傅兰雅（ ， — 1902 Fryer 1839 ）合译另一本代数著作时，进一步指出： 1928 “代数之法，无论何数，皆可以任何记号 李善兰（1811—1882） 代之.” 故而，所谓“代数”，就是用符号来代表 数，这个名称也就一直沿用至今. 94第 3 章 一 次 方 程（组） 中国现存最古老的数学经典著作之一——《九章算术》中有 一章名为《方程》. 古代数学家刘徽在对其进行注释时，说：“程， 课程也. 群物总杂，各列有数，总言其实. 令每行为率，二物者 再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程.” 金元数学家李冶（1192—1279）在其著作《测圆海镜》中，系 统地介绍了天元术，其中的“元（未知数）”沿用至今. 后人将方程思想发扬光大，使之成为刻画现实世界中等量关 系的有效模型. 本章将从认识最简单的一元一次方程开始，通过 探索等式的性质，学习几种一次方程（组）的求解方法，进而解决 一些简单的实际问题.4X+2（35-X）=94 3.1 等量关系和方程 思 考 （1）为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区 于今年9月举办了一次中学生篮球联赛. 比赛规则为：胜一场得2分，输一 场得1分. 若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，共 得26分. 问：其中蕴含怎样的等量关系？如何根据等 量关系，列出相应等式？ （2） 图3.1-1是一个长方体形状的包装盒示意图， 长为1.2 m， 高为1 m，表面积为6.8 m2. 其中蕴含怎 图3.1-1 样的等量关系？如何根据等量关系，列出相应等式？ （1）中蕴含以下等量关系： 胜的场数得分+输的场数得分=总得分. （1）中还有其他 （2）中蕴含以下等量关系： 等量关系吗？ （长×宽+宽×高+长×高）×2=表面积. 前面已经学习了用字母表示数，这启发我们，可以先将问题中的未知量用 字母表示，然后再探索解决办法. 对于（1），设该队胜了x场，则该队输了（14-x）场. 又由于胜一场得2分， 输一场得1分，总共得了26分，因此可得以下等式： 2x+（14-x）=26 . ① 对于（2）， 若设包装盒底面的宽是y m， 则根据题意可得以下等式： （1. 2×y+y×1+1. 2×1）×2=6. 8， 即 2. 4y+2y+2. 4=6. 8 . ② ①②式中的x，y叫作未知数，含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程. 像方程①②这样，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方 程叫作一元一次方程. 96第3章 一次方程（组） 做一做 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作， 成书于公元400年前后，传本共有上、中、下三 卷. 下卷有许多著名数学题，如第31题就是有 趣的“鸡兔同笼”问题：有若干只鸡兔同在一 个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔？ （1）找出上述趣题中的等量关系； （2）适当设未知数，列出一元一次方程. 《孙子算经》书影 上述趣题中存在以下等量关系： （1）兔的只数+鸡的只数=35； （2）兔的脚数+鸡的脚数=94 . 设兔有x只，则鸡有（35-x）只. 由于每只兔有4只脚，每只鸡有2只脚，并且笼子里总共有94只脚， 因此，可得如下一元一次方程： 4x+2（35-x）=94 . ③ 将方程③左边的多项式整理得 4x+（70-2x）=2x+70， 从而方程③变成 2x+70=94 . ④ 如果要求出上述问题中兔的只数，则需要找到一个数，将这个数代入方程 ④后，能使方程左、右两边的值相等，则这个数就是所求兔的只数. 议一议 如何找到一个数，使方程④左、右两边的值相等？ 对于方程④，就是要找出一个数，使得它的2 倍与70的和等于94 . 根据方程④中x的实际意义可 为什么x是正整数？ 知，这个数一定是正整数. 97数学 七年级上册 估计x的值 方程④左边的值 与方程④右边的值94比较 第1次估算 10 90 小了 第2次估算 15 100 大了 第3次估算 13 96 大了 第4次估算 12 94 相等 第5次估算 11 92 小了 因此，只有一个数12符合条件. 对于含有一个未知数x的方程，若x用一个数c代入能使方程左、右两边的 值相等，这个数c就是这个方程的一个解. 习惯上记作x=c. 由上可知，12是方程④的唯一解. 于是上述趣题中兔有12只，鸡有23只. 对于一些较简单的方程，可以先确定未知数的一个较小的取值范围，然后 在此范围内估算出方程的解. 这种方法是解决问题的一种重要策略. 例 分别检验x的下列值是否是方程2. 5x+318=1068的解. （1）x=300； （2）x=330 . 解 （1）把x用300代入原方程得， 左边=2. 5×300+318=1068， 左边=右边， 所以x=300是方程2. 5x+318=1068的解. （2）把x用330代入原方程得， 左边=2. 5×330+318=1143， 左边≠右边， 所以x=330不是方程2. 5x+318=1068的解. 练 习 1 排球场的长比宽多 ，周长是 ，排球场的宽为多少？列出方程. 9 m 54 m 2 估计方程 4x+1=61 的解. 3 对于方程 2x-6=7x+4 ，分别检验x=2 和x=-2 是不是它的解. 98第3章 一次方程（组） 习题3. 1 学而时习之 1 有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 个头，从下面数有 只脚， 40 110 问笼中各有多少只兔和多少只鸡？列出方程. 2 一种商品打八折后售价为 元，问该商品原价为多少？列出方程. 208 2 3 估计方程 x+1=7 的解. 3 4 下面左边的数分别是右边哪个方程的解？请用线连接起来. 2 x+3=5 1 4x+5=1 2 2（x+1）=3 -1 2.5 4（x-1）=6 温故而知新 5 小青比她妈妈小 岁，今年她妈妈的年龄正好是小青的 倍，小青今年几 27 4 岁？列出方程. 6 如图，有两个圆柱形的水杯，大杯的内径为 ，小杯的内径为 . 已 8 cm 6 cm 知这两个杯子装的水量相等，且小杯中水的高度比大杯中水的高度高 ， 7 cm 问大杯装的水的高度是多少？列出方程. 单位：cm （第6题图） 7 若关于x的方程 2x+a=-1 的解是x=-4 ，则a的值是多少？ 993.2 等式的基本性质 前面我们经历了估计方程的解的过程，可以发现这一过程比较复杂，因 此，需要寻找一种求方程的解的一般方法. 在小学，已经学习了等式的基本性质，即 基本性质Ⅰ 等式两边都加上或减去同一个数，等式两边仍然相等； 基本性质Ⅱ 等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两 边仍然相等. 方程是含有未知数的等式，那么对于含有未知数的等式，上述基本性质还 成立吗？下面来研究. 思 考 1 方程（1）5x=4x+2，（2） x=5的解分别是多少？ 3 对于方程（1），设数a是方程5x=4x+2的解，则5a=4a+2 . 根据小学所学的等式的基本性质Ⅰ，两边都减去同一个数4a，得a=2 . 因此，2是方程5x=4x+2的唯一解. 又 5x=4x+2 两边都减去 4x x=2 . 由此受到启发，可以总结出对于含有未知数的等式也成立的等式的基本 性质1： 等式两边都加上或减去同一个数（或整式），等式两边仍然相等. 1 1 对于方程（2），设数b是方程 x=5的解，则 b=5 . 3 3 根据小学所学的等式的基本性质Ⅱ，两边都乘同一个数3，得b=15 . 1 因此，15是方程 x=5的唯一解. 3 100第3章 一次方程（组） 1 又 x=5 3 1 两边都乘 或除以 3 3 x=15 . 由此受到启发，可以总结出对于含有未知数的等式也成立的等式的基本 性质2： 等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为 的数，等式两边仍然相等. 0 例1 填空，并说明理由. （1）如果x+2=y+7，那么x= ； （2）如果 3x = 9y，那么x= ； 1 1 （3）如果 - x = y，那么3x= . 2 3 解 （1）因为x+2=y+7，由等式的基本性质1可知，等式两边都减去 2，得 x+2-2=y+7-2， 即 x=y+5 . （2）因为3x=9y，由等式的基本性质2可知，等式两边都除以3，得 3x 9y = ， 3 3 即 x=3y. 1 1 （3）因为 - x= y，由等式的基本性质2可知，等式两边都乘-6，得 2 3 1 1 - x×（-6）= y×（-6）， 2 3 即 3x=-2y. 例2 判断下列等式变形是否正确，并说明理由. （1）如果2m-3n=7，那么2m=7-3n； 2x-1 4x-2 （2）如果 = ，那么5（2x-1）=4（4x-2）. 4 5 101数学 七年级上册 解 （1）错误. 由等式的基本性质1可知，等式两边都加上3n，得 2m-3n+3n=7+3n， 即 2m=7+3n. （2）正确. 由等式的基本性质2可知，等式两边都乘20，得 2x-1 4x-2 ×20= ×20， 4 5 即 5（2x-1）=4（4x-2）. 练 习 1 请在括号中写出下列等式变形的理由. （ 1 ）如果x+y=2y+7 ，那么x=y+7 ； （ ） 2 （ 2 ）如果 3x=2y，那么x= y； （ ） 3 1 1 （ 3 ）如果 - x=- y，那么x=2y； （ ） 4 2 （ 4 ）如果 2x+3=3y-1 ，那么 2x-6=3y-10 . （ ） 2 判断下列等式变形是否正确，并说明理由. 1 （ 1 ）若 x+3=y-1 ，则x+3=3y-3 ； 3 （ 2 ）若 2x-6=4y-2 ，则 -x+3=-2y+2 . 3 下列说法中正确的是（ ） a b （ A ）若ac=bc，则a=b （ B ）若 =- ，则a=-b c c 1 （ C ）若x-3=4 ，则x=3-4 （ D ）若 - x=6 ，则x=-2 3 做一做 利用等式的基本性质把下列方程化成x=a的形式： （1）7x=6x-5； （2）2x+80=110 . （1）在7x=6x-5的两边都减去6x，得 102第3章 一次方程（组） 7x-6x=6x-5-6x， 即 x=-5 . （2）在方程2x+80=110的两边都减去80，得 2x+80-80=110-80， 即 2x=30 . 在方程2x=30的两边都除以2，得x=15 . 由上可知，在方程7x=6x-5的两边都减去6x，得7x-6x=-5 . 这可 看作是把含有未知数x的项6x改变符号后，将其从等号右边移到左边. 即 7x=6x-5， 7x-6x=-5 . 又在方程2x+80=110的两边都减去80，得2x=110-80 . 这也可看作 是把不含未知数的项（即常数项）80改变符号后，将其从等号左边移到右边. 即 2x+80=110， 2x=110-80 . 把方程中的某一项改变符号后，从等式的一边移到另一边，方程的这种变 形叫作移项. 必须牢记：移项要变号. 议一议 下面方程的移项是否正确？如有错误，请改正. （1）若 x-4=8，则x=8-4； （2）若3y=2y+5，则-3y-2y=5； （3）若5x-2=4x+1，则5x-4x=1+2 . 1 例3 把方程- x-5=4化成x=a的形式. 3 1 解 移项，得 - x=4+5， 3 1 合并同类项，得 - x=9， 3 两边都乘-3，得 x=-27 . 103数学 七年级上册 练 习 利用等式的基本性质把下列方程化成x=a的形式： （ 1 ） 5x-7=8 ； （ 2 ） -6x+9=-10x+1 ； 3 （ 3 ） 198x+201=200x+208 ； （ 4 ） x-1=3 . 2 思 考 如何把方程3（2x+5）=x+5化成x=a的形式？ 运用乘法对加法的分配律，得 6x+15=x+5， 移项，得 6x-x=5-15， 合并同类项，得 5x=-10， 两边都除以5，得 x=-2 . 上面运用乘法对加法的分配律，将方程中的括号去掉，方程的这种变形叫 作去括号. 5 4 例4 把方程 x= x-7化成x=a的形式. 2 3 解 在原方程的两边都乘6，得 为什么要乘6？ ( ) 5 4 6× x=6 x-7 ， 2 3 去括号，得 15x=8x-42， 移项，得 15x-8x=-42， 去括号时，括号前的数 合并同类项，得 7x=-42， 要与括号内的每一项相乘. 两边都除以7，得 x=-6 . 在例4中，在原方程的两边都乘各个分母的最小公倍数，从而将分母去掉， 方程的这种变形叫作去分母. 104第3章 一次方程（组） 议一议 下面方程的去分母是否正确？如有错误，请改正. 5x 2x-3 （1） - =2，去分母，得5x-2x+3=2； 3 5 3x+1 5x （2） + =4，去分母，得 4（3x+1）+25x=80 . 5 4 3x+1 7+x 例5 把方程 = 化成x=a的形式. 3 6 解 去分母，得 2（3x+1）=7+x， 去括号，得 6x+2=7+x， 移项，得 6x-x=7-2， 合并同类项，得 5x=5， 两边都除以5，得 x=1 . 练 习 把下列方程化成x=a的形式： （ 1 ） 9x=2（x-7）； （ 2 ） 5（3x+4）=3（4x+7）； （ 3 ） -3 （x+2 ） =9 ； （ 4 ） 3- （ 2-x） =-1 ； 1 1 3 1 1 1 （ 5 ） x - = + x； （ 6 ） x - （ 3-2x） =1 ； 2 4 2 4 3 4 5 4x-13 3x+1 x-1 （ 7 ） x= ； （ 8 ） = . 3 5 2 4 习题3. 2 学而时习之 1 请在括号中写出下列等式变形的理由. （ 1 ）如果 2x+5=y+6 ，那么 2x=y+1 ； （ ） 1 1 3 （ 2 ）如果 x= y，那么x= y； （ ） 3 4 4 105数学 七年级上册 （ 3 ）如果 x2-5=y2+1 ，那么x2-y2=6 . （ ） 2 利用等式的基本性质把下列方程化成x=a的形式： （ 1 ） 2-3x=x-4 ； （ 2 ） -2x=-3x+1 . 3 在把方程 2（2x+3）=x+5 化成x=a的形式时，小喆同学的做法如下： 去括号，得 4x+3=x+5， 移项，得 4x-x=5-3， 合并同类项，得 3x=2， 3 两边都除以 3 ，得 x= . 2 上述变形中，哪几步是错的？请改正，并给出这个方程的正确变形过程. 4 把下列方程化成x=a的形式： ( ) ( ) x x 1 1 （ 1 ） +1= -2 ； （ 2 ） 6 x-4 +2x=7-3 x-1 ； 2 4 2 3 2x-1 5x+1 2x+3 9x+5 （） ； （） . 3 - =1 4 - =0 6 4 2 8 温故而知新 5 已知 2a-b=4 ，请利用等式的基本性质求下列各式的值. （ 1 ） 2a-b+2 ； （ 2 ） 4a-2b. 1 6 已知 2a-b=4 ，c+d=1 ，请利用等式的基本性质求a- b-2c-2d 2 的值. 2x-0. 3 0. 6x+0. 4 x+0. 5 7 把方程 - = 化成x=a的形式. 0. 2 0. 3 0. 6 1063.3 一元一次方程的解法 由上节知识可知，利用等式的基本性质可以将只含有未知数x的一元一次 方程化为x=a的形式，具体来说： 对于只含有未知数x的一元一次方程，可以通过去分母、去括号、移项、 合并同类项，然后再除以未知数的系数，从而将其化为x=a的形式. 这实质 上是求方程的解的过程. 求方程的解的过程叫作解方程. 做一做 解方程：4x+3=2x-7 . 移项，得 4x-2x=-7-3， 合并同类项，得 2x=-10， 两边都除以2，得 x=-5 . 检验： 把x用-5分别代入原方程左、右两边，得 除特别要求外， 左边的值为4×（-5）+3=-17， 这个检验过程一般不 右边的值为2×（-5）-7=-17， 写出来. 从而左、右两边的值相等， 因此，-5是原方程的解. 例1 解方程：3（2x-1）=3x+1 . 解 去括号，得 6x-3=3x+1， 移项，得 6x-3x=1+3， 合并同类项，得 3x=4， 4 两边都除以3，得 x= . 3 107数学 七年级上册 做一做 解本章3.1节开篇列出的两个方程，并与同学相互检查. （1）2x+（14-x）=26； （2）2. 4y+2y+2. 4=6. 8 . 1 1 例2 解方程： （x+1）+ （x-1）=1 . 去分母时，方程两边 2 4 解 去分母，得 2（x+1）+（x-1）=4， 的每一项都要乘各个分母 的最小公倍数. 去括号，得 2x+2+x-1=4， 移项，得 2x+x=4-2+1， 合并同类项，得 3x=3， 两边都除以3，得 x=1 . 练 习 1 解下列方程： （ 1 ） 4x-6=-2x-4； （ 2 ） -0. 6x+7=1. 4x-3 ； （ 3 ） 2（2x-1）-3（4x+3）=7 ； （ 4 ） 3（4x-1）-5（-2x+1）=6x. 2 解下列方程： 1 1 1 1 （ 1 ） （x+1 ） - （x-2 ） =3 ； （ 2 ） （x+2 ） + （x-6 ） =8 . 3 4 5 4 做一做 3x-1 -x+2 解方程： - =x. 2 5 去分母，得 5（3x-1）-2（-x+2）=10x， 去括号，得 15x-5+2x-4=10x， 方程右边为什么 移项，得 15x+2x-10x=5+4， 要乘10？ 合并同类项，得 7x=9， 9 两边都除以7，得 x= . 7 108第3章 一次方程（组） 例3 解方程：0. 2（x-2）-0. 1（3x+4）=0. 3（x+3）. 解 去括号，得 0. 2x-0. 4-0. 3x-0. 4=0. 3x+0. 9， 移项，得 0. 2x-0. 3x-0. 3x=0. 4+0. 4+0. 9， 合并同类项，得 -0. 4x=1. 7， 还有其他解法吗？ 17 两边都除以-0.4，得 x=- . 4 x-10 1 2 例4 当x用什么数代入时，多项式 的值与多项式 x 的值 - 3 4 3 相等？ x-10 1 2 分析 本题实际是求一个能使 与 x- 的值相等的未知数x的值. 3 4 3 x-10 1 2 解 由题意可知，要解方程： = x - . 3 4 3 去分母，得 4（x-10）=3x-8， 去括号，得 4x-40=3x-8， 移项、合并同类项，得 x=32 . x-10 1 2 故当x用32代入时，多项式 的值与多项式 x - 的值相等. 3 4 3 做一做 结合上述例题，总结解一元一次方程的基本步骤，并与同学交流你 的结果. 练 习 1 解下列方程： 5 3x-1 2x+1 x-1 （ 1 ） x - =1； （ 2 ） + =2； 3 2 7 2 2x-1 5x+1 （ 3 ） - =1； （ 4 ） 50%（3x-1）-20%（-x+2）=x. 6 8 2 （ 2x-3 ） 2 当x用什么数代入时，多项式 +2 的值与多项式 3x-1 的值相等？ 5 109数学 七年级上册 习题3. 3 学而时习之 1 解下列方程： （ 1 ） 9x+2=6x-4； （ 2 ） 0. 5x=0. 3x-2； （ 3 ） 2（3x-4）+7（-x+4）=4x； （ 4 ） 5（x+8）-5=6（2x-7）； x+2 2x-3 x+17 3x-7 （ 5 ） - =1； （ 6 ） - =-2 . 4 6 5 4 2 解下列方程： -3x+5 5x+3 1 4 （ 1 ） = ； （ 2 ） （5x+2）= （3x-1）； 2 3 5 5 x 2x （） . 3 -1= 12 15 3 解下列方程： （ 1 ） 25%（x+50）=15%x+5%×60； 6x-2 4x+1 10x+1 （ 2 ） - = ； 3 2 5 （ 3 ） 0. 4（3x-2）-0. 2（7x+3）=0. 3（2x-1）. 2x-9 1 1 4 当x用什么数代入时，多项式 的值与多项式 x 的值相等？ + 3 5 4 温故而知新 2x-0. 3 x+0. 4 5 解方程： . - =1 0. 5 0. 3 4x+8 3x-7 6 当x用什么数代入时，多项式 的值与多项式 的值互为相 3 4 反数？ 1 éêê 1 ùúú 2 7 解方程： êêx- （x-1 ）úú = （x-1 ）. 2 ë 2 û 3 110标价：x元 现售价：0.8x元 进价：4000元 利润：（4000×5%）元 3.4 一元一次方程的应用 一元一次方程是一种重要的数学模型. 利用等量关系建立一元一次方程， 可以帮助我们解决一些实际问题. 思 考 一艘轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行时需4 h，逆水航行 时需5 h . 已知水流速度为2 km/h，则轮船在静水中的航行速度是多少？ 在这个问题中有如下等量关系： （1）轮船顺水航行的速度=轮船在静水中的航行速度+水流速度， （2）轮船逆水航行的速度=轮船在静水中的航行速度-水流速度， （3）轮船顺水航行的路程=轮船逆水航行的路程. 设轮船在静水中的航行速度为x km/h，则根据等量关系（1）（2）分别可得， 轮船顺水航行的速度为（x+2）km/h，逆水航行的速度为（x-2）km/h . 又路程=速度×时间，于是根据等量关系（3），可列出方程： 4（x+2）=5（x-2）. 解得 x=18 . 因此，轮船在静水中的航行速度为18 km/h . 例1 某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16把，如果椅子腿数与 凳子腿数的和为60，试问：有几张椅子和几把凳子？ 分析 本题中有如下等量关系： 椅子数 凳子数 ，椅子腿数 凳子腿数 . + =16 + =60 111数学 七年级上册 解 设有x张椅子，则有（16-x）把凳子. 根据题意，得 4x+3（16-x）=60 . 解得 x=12 . 因此，凳子有16-12=4（把）. 答：有12张椅子，4把凳子. 例2 刺绣是我国民间传统手工艺之一. 我国 刺绣主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类. 若 刺绣一件作品，甲单独绣需要15天才能完成，乙 单独绣需要12天才能完成. 现在甲先单独绣1天， 接着乙又单独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人合 绣. 试问：再合绣多少天可以完成这件作品？ 分析 设总工作量为 ，则甲每天完成总工作 1 1 1 量的 ，乙每天完成总工作量的 . 若甲、乙两 单面湘绣《饮虎》 15 12 人合绣了x天，则甲共绣了（x+1 ）天，乙共绣了（x+4 ）天. 本题中等量关系为：甲完成的工作量 乙完成的工作量 总工作量. + = 解 设剩下的工作由甲、乙两人合绣x天可以完成，则根据题意，得 1 1 （x+1）+ （x+4）=1 . 15 12 解得 x=4 . 答：甲、乙两人再合绣4天就可以完成这件作品. 做一做 结合上述3个实例，用流程图总结用一元一次方程解决有关实际问题 的具体步骤，并与同学交流. 分析题目 设出未知数 检验解 实际问题 解方程 找出等量关系 列出方程 的合理性 112第3章 一次方程（组） 练 习 1 （）一个长方形的周长是 ，且长比宽多 ，求该长方形的长； 1 60 cm 5 cm （）一个长方形的周长是 ，且长与宽的比是 ∶ ，求该长方形的宽. 2 60 cm 3 2 2 足球比赛的记分规则是：胜一场得 分，平一场得 分，负一场得 分. 某 3 1 0 队在某次比赛中共踢 场球，负了 场，共得 分. 问：该队共胜多少场？ 14 5 19 思 考 为进一步感悟雷锋胸怀祖国、服务人民的 爱国精神，星期日早晨，小楠和小华分别骑自 行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆. 已知 他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，并且小楠 每小时骑10 km，他在上午10时到达，小华每 小时骑15 km，他在上午9时30分到达. 他俩的 家到雷锋纪念馆的路程是多少？ 本问题中有如下等量关系： 小楠花的时间-小华花的时间=0. 5h . 由于小楠、小华到雷锋纪念馆花的时间等于路程除以他们各自的速度，若 设他俩的家到雷锋纪念馆的路程为x km，则根据等量关系，得 x x . - =0. 5 10 15 解得 x=15 . 因此，他俩的家到雷锋纪念馆的路程为15 km . 113数学 七年级上册 例3 某校七年级甲班有45人，乙班有39人. 现要从甲、乙两班各抽调 一些同学去参加“歌唱祖国”歌咏比赛，已知从甲班抽调的人比乙班多1人， 此时甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的2倍. 请问：从甲、乙两班各抽调了 多少人参加歌咏比赛？ 分析 本题中有如下等量关系： （）甲班抽调的人数 乙班抽调的人数 ； 1 - =1 （）抽调后甲班剩余人数 乙班剩余人数 . 2 = ×2 解 设从甲班抽调了x人，那么从乙班抽调了（x-1）人. 根据题意，得 45-x=2[39-（x-1）] . 解得 x=35 . 于是，x-1=35-1=34 . 答：从甲班抽调了35人，从乙班抽调了34人参加歌咏比赛. 例4 现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，公路的两端各栽1棵， 并且相邻两棵树的间隔相等. 方案一：如果每隔5 m栽1棵，则树苗缺21棵； 方案二：如果每隔5. 5 m栽1棵，则树苗正好用完. 根据以上方案，请算出原有树苗的棵数和这段公路的长度. 分析 观察下面的植树示意图（图 ），可得如下等量关系： 3.4-1 图3.4-1 路长 相邻两树的间隔 （种植的树苗数 ）. = × -1 设原有树苗x棵，由题意可得下表： 方案 间隔/m 种植的树苗数 路长/m 一 5 x+21 5（x+21-1） 二 5.5 x 5.5（x-1） 114第3章 一次方程（组） 本题中还有如下等量关系： 方案一的路长 方案二的路长. = 解 设原有树苗x棵，根据题意，得 5（x+21-1）=5. 5（x-1）. 解得 x=211 . 因此，原有树苗211棵，这段公路长为 5×（211+21-1）=5×231=1155（m）. 答：原有树苗211棵，这段公路长1 155 m . 练 习 1 一队学生步行去参加社会公益活动，每小时走 . 学生甲因故推迟 4 km 30 min 出发，为赶上队伍，甲以 的速度追赶，试问：甲用多长时间就可追 6 km/h 上队伍？ 2 某村一条道路一侧装有路灯 盏（两端都 56 有），且相邻两盏灯的距离为 . 为进 30 m 一步建设美丽乡村，该村计划将该道路 的路灯全部更换为亮度更强的节能灯， 且相邻两盏灯的距离变为 ，则需要 25 m 安装节能灯多少盏？ 习题3. 4 学而时习之 1 小明根据方程 5x+2=6x-8 编写了一道应用题，请你把空缺的部分补充 完整. 某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师，如果每人做 个， 5 那么就比计划少 个； . 请问手工 2 小组有几人？（设手工小组有x人） 2 一架飞机在两个城市之间飞行，顺风飞行时需 ，逆风飞行时则需 . 2.9h 3.1 h 115数学 七年级上册 已知风速为 ，求无风时飞机的航速和这两个城市之间航线的距离. 20 km/h 3 今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四. 问人数、物价各几何？ ——《九章算术·盈不足》 意思是：几个人一起购买某物品，如果每人出 8 钱①，则多了 3 钱；如果每 人出 钱，则少了 钱. 问有多少人？物品的价格是多少？ 7 4 4 检修一台机器，甲、乙小组单独做分别需 ， 就可完成. 两小组合 7.5 h 5 h 做 后，再由乙小组单独做，还需几小时才能完成这台机器的检修任务？ 1 h 5 一个两位数的两个数字之和为 ，如果将个位数字和十位数字对调后再加上 6 ，仍得原数，求这个两位数. 18 6 小明的家与小红的家相距 . 小明从家里出发骑自行车去小红家，两人 20 km 商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明. 已知小明骑车的速度为 ，小红骑车的速度为 . 如果小明先走 ，那么小红骑 13 km/h 12 km/h 30 min 车要走多少小时才能与小明相遇？ 温故而知新 7 已知两个长方形重叠部分的面积相当于大长方 1 1 形面积的 ，相当于小长方形面积的 ，若重叠 6 4 以外的其他部分的面积为 224 cm2，如图所示， 求重叠部分的面积. 8 某商场把一种双肩背的书包按进价提高 标 50% （第7题图） 价，然后再按八折出售，这样商场每卖出一个 这样的书包就可盈利 元. 请问：这种书包的进价是多少元？如果按六折 8 出售，商场还盈利吗？为什么？ ①钱，古代一种货币单位. 1164x+y=5 3x-2y=1 3.5 认识二元一次方程组 思 考 前面我们已经知道本章3.1节的“鸡兔同笼”趣题中存在两个等量关 系，并运用一元一次方程知识予以解决. 若设兔有x只，鸡有y只，你能 根据两个等量关系列出两个方程吗？列出的方程还是一元一次方程吗？ 该“鸡兔同笼”趣题中存在以下两个等量关系： （1）兔的只数+鸡的只数=35； （2）兔的脚数+鸡的脚数=94 . 设兔有x只，鸡有y只，则根据上述两个等量关系可列出以下两个方程： x+y=35，4x+2y=94 . 上述两个方程都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，这样的 方程叫作二元一次方程. 要解决上述“鸡兔同笼”问题，（1）（2）两个等量关系需要同时成立，也即 未知数x，y必须同时满足上述两个方程. 于是将两个方程联立，得 ìx+y=35， ① í î4x+2y=94 . ② 像这样，只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫 作二元一次方程组. 做一做 （1）把满足方程①，且符合问题的实际意义的x，y的值填入下表： x … y … （2）上表中存在哪对x，y的值满足方程②吗？若有，请指出. 由上表可知，x=1，y=34/x=2，y=33/…/x=34，y=1都能使方程 117数学 七年级上册 x+y=35两边的值相等，因而它们都是方程x+y=35的解. 要注意的是， 如果不考虑方程x+y=35与前面实际问题的联系，那么x=-1，y=36/ x=0. 5，y=34. 5/…也都是方程x+y=35的解. 一般地，使二元一次方程左右两边的值相 等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解. 一般地，一个二元 我们还发现，x=12，y=23既满足方程 一次方程有无数组解. ①，又满足方程② . 也就是说，x=12，y=23 是方程①与方程②的公共解. 于是，将这两个 数写成（12，23）的形式，它就是由方程①和②组成的方程组的一个解. 一般地，对于未知数为x，y的二元一次方程组，若x，y分别用数c ，c 代 1 2 入，能使每个方程左右两边的值相等，则把（c ，c ）叫作这个方程组的一个解. 1 2 ìx=c， 习惯上记作í 1 求方程组的解的过程叫作解方程组. îy=c . 2 例 小玲在文具店买了3本练习本，2支圆珠笔，共花去17元，其中购买 练习本比圆珠笔多花1元. （1）设练习本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，试列出相应的二元一 次方程组. ìx=3， （2）í 是列出的二元一次方程组的一个解吗？ îy=4 分析 本题中等量关系如下： 购买练习本所花的钱 购买圆珠笔所花的钱＝ 元， + 17 购买练习本所花的钱 购买圆珠笔所花的钱＝ 元. - 1 ì3x+2y=17， ① 解 （1）根据等量关系，得í î3x-2y=1 . ② （2）把x用3，y用4分别代入方程①②可得： 方程①左边的值是3×3+2×4=17，方程①右边的值也是17； 方程②左边的值为3×3-2×4=1，方程②右边的值也是1 . ìx=3， 因此，í 是列出的二元一次方程组的一个解. îy=4 118第3章 一次方程（组） 练 习 1 一艘轮船顺流航行的速度为 ，逆流航行的速度为 . 它在静 24 km/h 18 km/h 水中的速度为xkm/h ，水的流速为ykm/h ，请列出相应的二元一次方程组. ìx=2， 2 若一个二元一次方程组的解为í 则这个方程组可以是 îy=-1， （只要求写一个）. ìx=2， ì3x-4y=2， 3 í 是二元一次方程组í 的解吗？ îy=1 î4x-3y=6 习题3. 5 学而时习之 1 《九章算术》在《方程》一章里叙述一 次方程组是由算筹布置而成的，书中 算筹为竖排. 为了看图方便，我们改 （1） （2） 为横排，如图所示. 其中图（）所示的 1 （第1题图） ì3x+2y=19， 算筹图表示方程组í 则图（ 2 ）所示的算筹图可以表示（ ） îx+4y=23， ì3x+2y=19， ì2x+y=11， （ A ）í （ B ）í îx+4y=23 î4x+3y=222 ì2x+y=11， ì2x+y=6， （ C ）í （ D ）í î4x+3y=27 î4x+3y=27 温故而知新 2 《孙子算经》中记载有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺 五寸，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木， 绳子还剩余 尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余 尺，问长木有多 4.5 1 长？设长木长x尺，绳子长y尺，试根据题意列出相应的二元一次方程组. 119关键 消元 3.6 二元一次方程组的解法 3􀆰 6􀆰 1 代入消元法 思 考 将本章3.1节列出的一元一次方程4x+2（35-x）=94与上节列出的 ì x+y=35， 二元一次方程组í 进行比较，你能从中找到解二元一次方程 î4x+2y=94 组的方法吗？ 通过比较可以发现，若将二元一次方程组 ìx+y=35， ① í î4x+2y=94 ② 中的方程①变形为 y=35-x， ③ 再把y的表达式③代入方程②中，就得到了3.1节列出的一元一次方程： 4x+2（35-x）=94 . 解得x=12 . 将x用12代入③式，得y=35-12=23 . ìx=12， 经检验，í 是由方程①和②组成的二元一次方程组的解. îy=23 由上可得到解二元一次方程组的一种方法： 把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后 把这个代数式代入另一个方程中，便消去了一个未知数，得到一个一元一次方 程，解这个一元一次方程就可以求出其中一个未知数的值，再把求出的未知数 的值代入前面的代数式中，就可以求出另一个未知数的值. 至此就求出了二元 一次方程组的解. 这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法. 120第3章 一次方程（组） 例1 解二元一次方程组： ì2x-4y=0， ① í î5x-7y=3 . ② 解 将方程①移项，得 2x=4y， 两边都除以2，得 x=2y. ③ 把③式代入方程②中，得 5×2y-7y=3， 解得 y=1 . 把y用1代入③式，得 x=2 . ìx=2， 因此，í 是原二元一次方程组的解. îy=1 做一做 用消去未知数y的方法能否求出例1中方程组的解？动手试一试. 例2 解二元一次方程组： ì2x-3y=-1， ① í î3x+2y=18 . ② 解 将方程①移项、两边都除以2，得 3 1 x= y- . ③ 2 2 把③式代入方程②中，得 ( ) 3 1 3 y - +2y=18， 2 2 解得 y=3. 把y用3代入③式，得 x=4. ìx=4， 因此，í 是原二元一次方程组的解. îy=3 121数学 七年级上册 练 习 用代入消元法解下列二元一次方程组： ì3x+y=12 ， ì3x+2y=5 ， （ 1 ）í （ 2 ）í î2x-5y=25 ； î2x-y=1 ； ì3x-7y=1 ， ì5x+y=1 ， （ 3 ）í （ 4 ）í îx+5y=-3 ； î-2x+3y=-34 . 3􀆰 6􀆰 2 加减消元法 观 察 ì7x+3y=1 ， ① 已知二元一次方程组í î2x-3y=8 . ② （1）用代入消元法求解； （2）上述方程组中未知数y的系数有什么特点？这对解方程组有什么 启发？ 利用代入消元法可以求得上述方程组的解， 但观察方程①和方程②，可以发现：方程①中y 若f=g，u=v， 的系数和方程②中y的系数互为相反数. 这启发 则f±u=g±v. 我们，若把方程①②的左右两边分别相加，就可 消去y，从而得到关于x的一元一次方程. ①+②，得 9x=9， 两边都除以9，得 x=1 . 把x用1代入方程①，得 7×1+3y=1， 解得 y=-2 . ìx=1， 因此，í 是原二元一次方程组的解. îy=-2 122第3章 一次方程（组） ì2x+3y=-1， ① 例3 解二元一次方程组í î2x-5y=7 . ② 分析 观察方程 ①② ，就可发现两个方程中未知数x的系数相同，从而可 把方程 ①② 的左右两边分别相减，于是得到关于y的一元一次方程. 解 ①-②，得 8y=-8， 两边都除以8，得 y=-1 . 把y用-1代入方程①，得 2x+3×（-1）=-1， 解得 x=1 . 用代入消元法 试试，哪种简便？ ìx=1， 因此，í 是原二元一次方程组的解. îy=-1 思 考 如果二元一次方程组中两个未知数的系数既不相等也不互为相反数， ì2x+3y=-11，① 例如í 如何消去某个未知数，使其转化为一个一元一 î6x-5y=9， ② 次方程？ 观察方程①②，可发现方程①中x的系数的3倍 等于方程②中x的系数，从而可先把方程①的左右 如果先消去y， 两边都乘3，再将得到的方程与方程②左右两边对应 应怎么做？ 相减，便得到关于y的一元一次方程. 下面采用上述方法来求解此方程组. ①×3，得 6x+9y=-33 . ③ ③-②，得 （6x+9y）-（6x-5y）=-33-9， 去括号，得 6x+9y-6x+5y=-33-9， 合并同类项，得 14y=-42， 两边都除以14，得 y=-3 . 把y用-3代入方程①，得 2x+3×（-3）=-11， 123数学 七年级上册 解得 x=-1 . ìx=-1， 因此，í 是原二元一次方程组的解. î y=-3 综上可知，对于二元一次方程组，把一个方程进行适当变形后，再加上 （或减去）另一个方程，消去其中一个未知数，得到只含另一个未知数的一元一 次方程，解这个一元一次方程求出另一个未知数的值，再把这个值代入原二元 一次方程组的任意一个方程，就可以求出被消去的未知数的值，从而得到原二 元一次方程组的解. 这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法. 议一议 用自己的语言总结解二元一次方程组的基本思路，然后与同学交流. 解二元一次方程组的基本思路是： 消去一个未知数（简称消元），得到一个 一元一次方程，然后解这个一元一次方程， 我国元代数学家朱世杰 求出一个未知数的值，接着再去求另一个未 （13—14世纪）在《四元玉 鉴》中就用到了消元法. 知数的值. 代入消元法和加减消元法是两种求解方 程组的方法，应根据具体情况灵活选择. 练 习 1 用加减消元法解下列二元一次方程组： ì2x+7y=22， ì-2x+5y=11， （ 1 ）í （ 2 ）í î-2x+3y=18； î3x+5y=-4； ì3x+2y=8， ì3x-4y=7， （ 3 ）í （ 4 ）í î6x-5y=-47； î5x+2y=10 . ì ax+by=13 ， ìx=3 ， 2 已知关于x，y的二元一次方程组í 的解为í 求a，b î（a+b）x-ay=9 î y=2 ， 的值. 124第3章 一次方程（组） 习题3. 6 学而时习之 1 用代入消元法解下列二元一次方程组： ìx-3y=1， ì4x+3y=6， （ 1 ）í （ 2 ）í î5x-9y=-13； îx-0. 5y=-1； ì2x-y=3， ì2x-5y=21， （ 3 ）í （ 4 ）í î-3x+5y=-7； î3x+y=6 . 2 用加减消元法解下列二元一次方程组： ì2 1 ï ïï ï 3 x - 3 y=7， ì2x-y=3， （ 1 ）í （ 2 ）í ïï 2 î4x+3y=-13； ïï- x+y=-13； î 3 ì2x+5y=0， ì1. 5x-2y=-1， （ 3 ）í （ 4 ）í îx+3y=1； î-4. 5x+7y=8 . 3 选择适当的方法解下列二元一次方程组： ìx+2y+5=0， ì2（x+2y） -5y=-1， （ 1 ）í （ 2 ）í î7x-2y-13=0； î3（x-y） +y=2 . 温故而知新 ìax+by=7 ， ìx=1 ， 4 已知关于x，y的二元一次方程组í 的解是í 求a+b îbx-ay=5 îy=-2 ， 的值. ì3x-ay=16 ， ìx=7 ， 5 如果关于x，y的二元一次方程组í 的解是í 那么关于 î2x-by=15 îy=1 ， ì3 （x+y） -a（x-y） =16 ， x，y的二元一次方程组í 的解是什么？ î2 （x+y） -b（x-y） =15 125数学 七年级上册 整体思想的应用 整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整 体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想. 整体思想的主要表现形式有整体代换、整体设元、整体变形、整体 补形、整体配凑、整体构造等. 在初中数学中的数与式、方程与不等式、 函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有广泛的应用. 例1 已知a+b=5 ，求（a+b）2-4 （a+b）的值 . 分析 由于无法直接求出a，b的值，因而无法直接将a，b的值代入 计算得出. 但若将a+b看作一个整体，则问题就可迎刃而解了. 解 由于a+b=5 ， 则（a+b）2-4 （a+b） =52-4×5=5 . 1 例2 已知a2-a-4=0 ，求a2-2 （a2-a+3 ） - （a2-a-4 ） - 2 a的值. 分析 仔细观察已知式和所求式，它们当中都有a2-a，可以将a2- a-4=0 转化为a2-a=4 ，再把a2-a的值直接代入所求式即可. 1 解 a2-2 （a2-a+3 ） - （a2-a-4 ） -a 2 1 =a2-a-2 （a2-a+3 ） - (a2-a-4 ） 2 1 = （a2-a） -2 （a2-a） -6- (a2-a） +2 2 3 =- （a2-a） -4 . 2 3 又a2-a=4 ，所以原式 =- ×4-4=-10 . 2 126第3章 一次方程（组） 例3 一个四位数，其首位上的数字为 ，若把首位移作末位，则新 1 的四位数比原数的 倍还多 ，试求原来的四位数. 4 1 971 分析 设原来的四位数去掉首位数字后的三位数为x，将原来四位数 首位上的数字 移至末位，得到一个新的四位数，其过程可用下图表示： 1  x   x  1 1 1000+x 10x+1 解 设原来的四位数去掉首位数字后的三位数为x，于是原来的四位 数为 1000+x，新的四位数可表示为 10x+1 . 于是 10x+1=4 （ 1000+x） +1971 ， 解得x=995 . 因此，原来的四位数为 . 1 995 ì3 （ 0. 8+y） -8 （x-3 ） =-4， 例4 解方程组í î20 （x-3 ） +3 （ 0. 8+y） =24 . ì3m-8n=-4 ， 解 设0. 8+y=m，x-3=n，则原方程组变为í î20n+3m=24 . ì 4 ìx=4 ， ïïïïm= ， ïïïï 解得í 3 进一步求得原方程组的解为í 8 ïïïï ïïïïy= . în=1 . î 15 练习 1 . 当x=1 时，代数式px2+qx+1 的值是 2 001 ，则当x= -1 时，代数式 -px2+qx+1 的值为 . 2 . 一个万位数字为 3 ，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c， --------- -------- 个位数字为d的五位数可表示为 3abcd，它的 2 倍与另一个五位数abcd8 相等， 求这两个五位数. ì9 （x+y） + （x-y） =25 ， 3 . 解方程组í î2 （x+y） - （x-y） =8 . 127x+y=335 x=3y-17 3.7 二元一次方程组的应用 利用二元一次方程组也可以解决一些实际问题. 思 考 小楠收集的中国邮票和外国邮票共有335张，其中中国邮票的张数比 外国邮票的张数的3倍少17 . 小楠收集的中国邮票和外国邮票各有多少张？ 本问题涉及的等量关系为： 中国邮票的张数+外国邮票的张数=335， 中国邮票的张数=3× 外国邮票的张数-17 . 设小楠有中国邮票x张，外国邮票y张，根据等量关系，得 ìx+y=335， í îx=3y-17 . ìx=247， 解得í îy=88 . 因此，小楠收集了中国邮票247张，外国邮票88张. 例1 某业余运动员针对自行车和长跑项目进行专项训练. 某次训练中， 10 他骑自行车的平均速度为10 m/s，跑步的平均速度为 m/s，自行车路段和 3 长跑路段共5 km，共用时15 min . 求自行车路段和长跑路段的长度. 分析 本问题涉及的等量关系为： 自行车路段的长度 长跑路段的长度 ， + =5 km 骑自行车的时间 长跑时间 . + =15 min 解 设自行车路段的长度为x m，长跑路段的长度为y m，则 ìx+y=5000， ïï ïï x y í . + =15×60 ïï10 10 ïï î 3 128第3章 一次方程（组） ìx=3000， 解得í îy=2000 . 答：自行车路段的长度为3 000 m，长跑路段的长度为2 000 m . 例２ 甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价 15%，乙商品提价10%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和降低了5% . 求甲、乙两种商品原来的单价. 分析 设甲商品原来的单价为x元，乙商品原来的单价为y元. 甲商品降价 15% ，则甲商品的单价变成x-15%x=（1-15%）x（元）. 乙商品提价 10% ，则乙商品的单价变成y+10%y=（1+10%）y（元）. 由题意得，调价后单价和为 100-100×5%=100×（1-5%）（元）. 本问题涉及的等量关系为： 甲商品原单价 乙商品原单价 元， + =100 调价后甲商品单价 + 调价后乙商品单价 =100×（1-5%）元. 解 设甲商品原来的单价为x元，乙商品原来的单价为y元. 根据题意，得 ì x+y=100， í î（1-15%）x+（1+10%）y=100×（1-5%）. ìx=60， 解得í îy=40 . 答：甲商品原来的单价为60元，乙商品原来的单价为40元. 做一做 用流程图表示利用二元一次方程组解决有关实际问题的思路，并与 同学交流. 检查解是否符合实际问题 分析题意 实际 列出二元一 解方程组 的需要，如果符合，它就 问题 次方程组 找出两个 是实际问题的解 等量关系 129数学 七年级上册 练 习 1 有甲、乙两种铜和银的合金，甲种合金含银 ，乙种合金含银 . 25% 37.5% 现在要熔制含银 的合金 ，甲、乙两种合金应各取多少千克？（不 30% 100 kg 计过程中的损耗） 2 甲、乙两人从相距 的两地相向而行. 如果甲比乙先走 ，那么他们在 36km 2h 乙出发 后相遇；如果乙比甲先走 ，那么他们在甲出发 后相遇. 2.5h 2h 3h 设甲、乙两人的速度分别是x km/h ，y km/h ，填写下表并求x，y的值. 甲、乙两人行走的 甲行走的路程/km 乙行走的路程/km 路程之和/km 第一种情况 （甲先走2h） 第二种情况 （乙先走2h） 思 考 小华从家里到学校的路是一 段上坡路和一段平路. 假设他始 终保持上坡路每分钟走40 m，平 路每分钟走60 m，下坡路每分钟 走80 m，则他从家里到学校需15 min，从学校到家里需10 min . 试问： 小华家离学校多远？ 上述问题中，小华家到学校的路程分为两段——上坡路与平路，并且小华 回家所走的下坡路长等于小华去学校所走的上坡路长. 同时，可以得到以下等量关系： 走上坡路的时间+走平路的时间=15 min， 走平路的时间+走下坡路的时间=10 min . 于是，设小华家到学校的上坡路长xm，平路长ym，则根据等量关系，得 130第3章 一次方程（组） ì x y ïï + =15， ïï40 60 í ïï y x . ïï + =10 î 60 80 ìx=400， 解得í îy=300 . 于是，上坡路与平路的长度之和为x+y=400+300=700（m）. 因此，小华家离学校700 m . 例3 某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某 汽车运输公司的甲、乙两种货车，具体信息如下表所示： 第一次 第二次 甲种货车辆数 2 5 乙种货车辆数 3 6 累计运货量/t 26 56 该果园第三次打算继续租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车，可一次 刚好运完这批水果. 如果每吨运费为30元，该果园三次总共应付运费多少元？ 分析 等量关系为： 辆甲种货车运货量 辆乙种货车运货量 ， 2 +3 =26 t 辆甲种货车运货量 辆乙种货车运货量 . 5 +6 =56 t 解 设甲、乙两种货车每辆次分别可运水果x t，y t . ì2x+3y=26， 根据题意，得í î5x+6y=56 . ìx=4， 解得í îy=6 . 于是，第三次运输了水果3×4+5×6=42（t）. 因而合计运输了水果26+56+42=124（t）. 因此，三次总共应付运费124×30=3720（元）. 答：该果园三次总共应付运费3 720元. 131数学 七年级上册 例4 对于多项式kx+b（其中k，b为常数），若x分别用1，-1代入时， kx+b的值分别为-1，3，求k和b的值. 分析 k，b是待确定的系数. 把x分别用两个数代入，得出kx+b的两个 值，这样可得到一个关于k，b的二元一次方程组. 解 根据题意，得 ìk×1+b=-1， í îk×（-1）+b=3 . ìk=-2， 解得í îb=1 . 故所求k和b的值分别为-2和1 . 练 习 1 已知制作如图所示的甲、乙两种无盖的长方体纸盒， 需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与 正方形的边长相等. 现有 张正方形硬纸片和 150 300 张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？ 2 对于多项式kx+b（k，b为常数），若x分别用 2 ， 6 代 （第1题图） 入时，kx+b的值分别为 30 ， 10 ，求k和b的值. 习题3. 7 学而时习之 1 为保护环境，某校环保小组成员利用星期六和星期日两天收集废旧电池. 已知两天的收集情况如下表： 日期 Ⅰ型电池 Ⅱ型电池 总质量 星期六 50节 60节 5000g 星期日 30节 40节 3100g 问：每节 型电池、 型电池的质量分别是多少？ Ⅰ Ⅱ 132第3章 一次方程（组） 2 张强与李毅二人分别从相距 的甲、乙两地出发，相向而行. 如果张 20 km 强比李毅早出发 ，那么在李毅出发 后，他们相遇；如果他们同时 30 min 2 h 出发，那么 后两人还相距 . 求张强、李毅每小时所走的路程. 1 h 11 km 3 小亮对小芬说：“我生日的月和日相加是 ，月的 倍和日相加是 .”小 37 2 43 芬说：“这不可能啊！”你觉得小芬说得对吗？为什么？ 4 一套茶具由 把茶壶和 只茶杯组成，生产这套 1 6 茶具的主要材料是紫砂泥，用 紫砂泥可做 1 kg 把茶壶或 只茶杯. 现要用 紫砂泥制作 4 12 6 kg 这种茶具，应用多少千克紫砂泥做茶壶，多少 千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具多少套？ 紫砂茶壶、茶杯 5 某装订车间的工人要将一批书打包后送往邮局，其中每包书的数目相等. 7 第一次他们领来这批书的 ，结果打了 个包还多 本；第二次他们把 14 35 12 剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了 包. 试 11 问：这批书共有多少本？ 6 在课间活动中，小英、小丽和小敏在操场上画出A，B两个区域，一起玩投 沙包游戏. 沙包落在A区域所得分值与落在B区域所得分值不同，当每人 各投沙包四次时，其落点和四次总分如图所示，请求出小敏的四次总分. A A A B B B 8   U34 U32 UU （第6题图） 7 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两. 问：牛、羊各直金 几何？ ——《九章算术·方程》 133数学 七年级上册 温故而知新 8 某中学为使学生进一步领会“社会主义 是拼出来、干出来、拿命换来的，不仅 过去如此，新时代也是如此. 没有老一 辈人拼命地干，没有他们付出的鲜血乃 至生命，就没有今天的幸福生活，我们 要永远铭记他们”的精神，组织该校七年级学生去参观红旗渠纪念馆. 原 计划租用 座客车若干辆，但会有 人没有座位；若租用同样数量的 45 15 60 座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满. 已知 座客车租金为每辆 45 元， 座客车租金为每辆 元，问： 220 60 300 （）这批学生的人数是多少？原计划租用多少辆 座客车？ 1 45 （ ）若租用同一种车，要使每名学生都有座位，应该怎样租用才合算？ 2 9 根据图中给出的信息，解答下列问题： （第9题图） （）如果放入 个球，使水面上升到 ，放入的大球、小球各多少个？ 1 10 50 cm （）现放入若干个球，使水面升高 ，且小球个数为奇数，问有几种可 2 21 cm 能？请一一列出（写出结果即可）. 1 10 一辆汽车从甲地驶往乙地，前 路段为普通公路，其余路段为高速公路. 3 已知汽车在普通公路上行驶的速度为 ，在高速公路上行驶的速度 60 km/h 为 汽车从甲地到乙地一共行驶了 . 100 km/h, 2.2 h 请你根据以上信息，就该汽车行驶的路程或时间提出一个用二元一次方程 组解决的问题，并写出解答过程. 134x+y=7 2y+z=6 x-z=7 *3.8 三元一次方程组 在列方程解许多实际问题时，其涉及的未知数可能不止两个，例如三个. 此时常常需要列出含有三个未知数的方程. 类比一元一次方程和二元一次方程的概念，含有三个未知数，并且含未知 数的项的次数都是1的方程，叫作三元一次方程. 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次 方程组. 一般地，三元一次方程组含有三个方程. 做一做 已知一个三位数的个位数字是十位数字与百位数字之和的2倍，百位 数字是十位数字的3倍，三位数字之和为12 . 设个位数字为x，十位数字 为y，百位数字为z，请列出这个方程组. ìx=2（y+z）， ïï ïï 根据题意，所求方程组为íz=3y， ïï î ïïx+y+z=12 . 对于未知数为x，y，z的三元一次方程组，若x，y，z分别用数c ，c ，c 1 2 3 代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把（c ，c ，c）叫作这个方程组的一 1 2 3 ìx=c， ïï 1 ïï 个解. 习惯上也记作íy=c， 2 ïï ïï îz=c . 3 思 考 解二元一次方程组的思路是通过消元将其转化为一元一次方程来求 解，这种思路是否适合解三元一次方程组呢？ *本节为选学内容. 135数学 七年级上册 ìx+y+2z=3， ① ïï ïï 下面我们以í-2x-y+z=-3， ② 为例来探索三元一次方程组的解法. ïï î ïïx+2y-4z=-5 ③ 将方程①两边都乘2，得2x+2y+4z=6 . ④ ④+②，得 y+5z=3 . ⑤ ①-③，得 -y+6z=8 . ⑥ 解由方程⑤和⑥组成的二元一次方程组，得 y=-2，z=1 . 把y=-2，z=1代入方程①，得x=3 . ìx=3， ïï ïï 因此，íy=-2，是原三元一次方程组的解. ïï ïï îz=1 由此受到启发，解三元一次方程组时，应先消去一个未知数，将三元一次 方程组转化为二元一次方程组，然后利用解二元一次方程组的方法求解. 消元 的方法仍是代入消元法或加减消元法. 例1 解三元一次方程组： ì5x+4y+z=0， ① ïï ïï í3x+y-4z=1， ② ïï î ïïx+y+z=-2 . ③ 解 ③×5-①，得 y+4z=-10 . ④ ③×3-②，得 2y+7z=-7 . ⑤ ④×2-⑤，得 z=-13 . 把z用-13代入方程④，得 y=42 . 把y用42，z用-13代入方程③，得 x=-31 . 136第3章 一次方程（组） ìx=-31， ïï ïï 因此，íy=42， 是原三元一次方程组的解. ïï ïï îz=-13 例2 解三元一次方程组： ì5x-3y+2z=-15， ① ïï ïï í2x-y+3z=-9， ② ïï î ïï 3x+y-5z=-14 . ③ 解 ②×3-①，得 x+7z=-12 . ④ ②+③，得 5x-2z=-23 . ⑤ ④×5-⑤，得 37z=-37， 两边都除以37，得 z=-1 . 把z用-1代入方程④，得 x=-5 . 把x用-5，z用-1代入方程②，得 y=-4 . ìx=-5， ïï ïï 因此，íy=-4，是原三元一次方程组的解. ïï ïï îz=-1 做一做 自己动手求出本节开篇“做一做”栏目中的三位数，并将结果与同 学进行对比. 练 习 解下列三元一次方程组： ìx+y=7， ì2x+5y+z=-11， ïï ïï ïï ïï （ 1 ）í2y+z=6， （ 2 ）í3x-2y+5z=24， ïï ïï î ïï x-z=7； î ïïx+3y+4z=-15 . 137数学 七年级上册 习题3. 8 学而时习之 1 解下列三元一次方程组： ì3x-4y-7z=16， ì3x-2z=1， ïï ïï ïï ïï （ 1 ）í2x+3y+5z=-7， （ 2 ）í2y+3z=2， ïï ïï î ïïx-2y+z=-6； î ïïx-3y=18； ìx-y+z=0， ì3x+4y=6， ïï ïï ïï ïï （ 3 ）í4x+2y+z=3， （ 4 ）í5x-9y+9z=8， ïï ïï î ïï 25x+5y+z=60； î ïï 2x+3y+z=10 . 2 一个有三条边的算法图如图所示，每个 里有一个数，这个数等于它所在 边的两个 里的数之和，请在三个 中填入正确的数. ○ ○ 8 3 3 8 21 （第2题图） 温故而知新 3 某农场 名职工耕种 公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种 300 51 植农作物每公顷所需的劳动力及投入的资金如下表： 农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金 水稻 4人 1万元 棉花 8人 1万元 蔬菜 5人 2万元 已知该农场计划投入资金 万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面 67 积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？ 138第3章 一次方程（组） 小 结 与 评 价 知识图谱 思考回顾 . 什么是方程？建立方程的关键是什么？什么是方程的一个解？ 1 . 什么是一元一次方程？ 2 . 叙述等式的基本性质 和等式的基本性质 . 3 1 2 . 如何解一元一次方程？ 4 . 如何用一元一次方程解决有关的实际问题？ 5 . 什么是二元一次方程组？什么是二元一次方程组的一个解？ 6 . 解二元一次方程组的基本思路是什么？ 7 . 如何解二元一次方程组？ 8 . 用二元一次方程组解决有关实际问题的关键是什么？ 9 *10 . 如何解三元一次方程组？ 注意事项 1 . 移项要变号，一般把含有x的项移到等号左边，把常数项移到等 号右边. . 去括号时，括号前面的数要乘括号里的每一项. 2 . 去分母时要在方程两边都乘各个分母的最小公倍数. 3 . 解二元一次方程组时，要注意观察未知数的系数特征，灵活选择 4 消元方法. 139数学 七年级上册 自评互评 • 自评 通过本章的学习，你对以下几方面的学习内容掌握得怎么样？根据 自己的学习情况，点亮属于你的小星星，然后请同学和老师对你的自评 进行恰当评价. . 能根据具体问题中的等量关系列出方程，能估计方程的解 1 . 能运用等式的基本性质进行等式变形 2 . 能利用等式的基本性质解一元一次方程 3 . 能根据二元一次方程组的系数特征，灵活选择代入消元法或加减消元 4 法解二元一次方程组 . 经历对现实问题中量的分析、用字母表示未知数、建立两个量之间的 5 关系这一过程，知道方程是现实问题中含有未知数的等量关系的数学 表达 . 经历一次方程（组）模型的建立，模型意识和应用意识得到加强 6 • 自评 / 互评 请完成下面两项评价，先自评再在小组内进行互相评价. 其中评价 由低到高分为 ， ， ， ， 五个等级. 1 2 3 4 5 . 能从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并能运用一元一次方程 1 或二元一次方程组知识解决，在解方程（组）时能灵活选择适当的方法 ( )/( ) . 根据自己的理解，画出本章的思维导图，并在组内展示，对自己和同 2 学画出的思维导图进行恰当评价 ( )/( ) 你对本章的学习及评价还满意吗？对待学习，要多总结，多反思， 查找不足，汲取他人值得借鉴的经验，一步一个脚印，不断提升自己. 只有这样，才能在学好数学、用好数学的道路上稳步前行！ 140第3章 一次方程（组） 复习题3 学而时习之 1 解下列一元一次方程： （ 1 ） 5x-3=-x+3 ； （ 2 ） 0. 4x-7=0. 6x-9 ； 2x-1 3x-4 （ 3 ） 5 （x-1 ） =3 （x+1 ）； （ 4 ） - =1 . 3 4 2 一百馒头一百僧，大和三个更无争， 小和三人分一个，大小和尚得几丁. ——《算法统宗》 意思是：有 个和尚分 个馒头，如果大 100 100 和尚 人分 个，小和尚 人分 个，正好分 1 3 3 1 完. 试问大、小和尚各有多少人？ 《算法统宗》书影 3 某长方体的展开图如图所示，已知展开图的面 积为 310cm2，求x的值. 4 小丽每天要在 ： 之前赶到距家 的学 7 50 1 000 m 校上学. 一天，小丽以 的速度出发， 0.8 m/s 后，小丽的爸爸发现她忘了带数学书. 5 min 于是，爸爸立即以 的速度去追小丽， Ucm 1.2 m/s 并且在途中追上了她. 爸爸追上小丽用了多 （第3题图） 长时间？追上小丽时，距离学校还有多远？ 5 已知二元一次方程：（ 1 ）x+y=4 ；（ 2 ） 2x-y=2 ；（ 3 ）x-2y=1 . 请从 这三个方程中选择两个你喜欢的方程，组成一个方程组，并求出这个方程组 的解. 6 解下列二元一次方程组： ì7x+3y=15， ì3x+2y=6， （ 1 ）í （ 2 ）í î2x-3y=12； î- x+y=2； ì4x+3y=1， ì3x-5y+23=0， （ 3 ）í （ 4 ）í î3x-4y=-18； î5x+2y-34=0 . 141数学 七年级上册 7 为建设宜居宜业和美乡村， 满足人民日益增长的精神文化需求，某村委会 决定扩建“村民活动中心”， 分两次采购了同一型号的电脑和乐器（两次采 购的单价不变），具体如下表： 第1次 第2次 电脑/台 10 2 乐器/件 8 5 合计/元 39800 10000 求该型号电脑和该种乐器的单价. 8 为在全社会弘扬劳动精神、奉献精神，小亮所在年级到某地参加志愿者活 动. 车上准备了 箱矿泉水，每箱的瓶数相同. 到达目的地后，先从车上 5 搬下 箱，分发给每位志愿者 瓶矿泉水， 有 位未领到；接着又从车上搬 2 1 8 下 箱，继续分发，最后每位志愿者都有 瓶矿泉水，还剩下８瓶. 问： 3 2 有多少人参加志愿者活动？每箱有多少瓶矿泉水？ 9 *解下列三元一次方程组： ìx-2y=0， ìx+3y-7z=-8， ïï ïï ïï ïï （ 1 ）í2x-y+z=2， （ 2 ）í2x+5y+4z=4， ïï ïï î ïïx-2y+3z=-3； î ïï -3x-7y-2z=-3 . 温故而知新 10 解下列一元一次方程： 2 3 1 （ 1 ） - （3x+2）+ （x-1）= ； 5 2 10 x-3 -x+6 2x+1 （ 2 ） + - =1 . 2 3 4 11 要配制含盐 的盐水 ，已有含盐 的盐水 ，还需要加入含盐 6% 700 g 5% 200 g 溶质质量 的盐水及水各多少克？（浓度 ，此处溶 8% = ×100% 溶质质量 溶剂质量 + 质质量为盐的质量，溶剂质量为水的质量） 142第3章 一次方程（组） 12 解下列二元一次方程组： ì2（x+y-1）=3（3-y）-3， ì2x-3y=24， ïïïï ïïïï （ 1 ）íx y （ 2 ）í（5x+15y）-5 ï ïï ï + =2； ï ïï ï =0 . î î 3 2 3 13 下列二元一次方程组有解吗？如有，有多少组解？ ìx-3y=2， ìx-3y=2， （ 1 ）í （ 2 ）í î-2x+6y=5； î-2x+6y=-4 . 14 建一个长方形花圃，为了节约材料，以建好的墙或局部为长方形的长，其 他三边用总长为 的栅栏围成. 现在甲、乙两人各设计了一个方案：甲 70 m 的方案是长比宽多 ，乙的方案是长比宽多 . 已知墙长 ，问谁 10 m 4 m 28 m 的方案比较符合实际？为什么？ 上下而求索 5m-1 7-m a |b| 15 已知m，n满足的条件分别为： 2m- + =5 ，n= + 3 2 |a| b （a，b均不为 0 ），求mn的值. 16 足球的表面由白块和黑块组成. 已知黑块是五边形， 白块是六边形，且每一白块的 条边中，有 边与黑 6 3 块相接，另 边与白块相接，每一黑块的 边全与白 3 5 块的边相接. 已知黑块总数是 ，求白块数. 12 17 甲、乙二人骑自行车同时从相距 的两地相向而 5 km 行，经过 相遇. 10 min （）甲、乙两人的速度各是多少？请至少写出满足条件的两组解. 1 （）请你适当增加题目中的条件，使问题（）有唯一解，并解答你改编后的 2 1 问题. 143数学 七年级上册 数 学 文 化 《九章算术》与消元 《九章算术》第八章《方程》中开创了线性方程组（即一次方程组）的 解法，其思想就是“消元”. 下面以该章第 题为例来介绍. 1 题目：“今有上禾（带穗的粟秆）三秉，中禾二秉，下禾一秉，实（打 下来的籽实）三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗. 问上、中、下禾实一秉各 几何？” 紧跟着书中给出了答案：“上禾一秉九斗四分斗之一，中禾一秉四斗 四分斗之一，下禾一秉二斗四分斗之三.” 书中给出答案后，提出了“方程术”（线性方程组的列法和解法）： “置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗于右方. 中、左禾列如 右方. 以右行上禾遍乘中行，而以直除. 又乘其次，亦以直除. 然以中 行中禾不尽者遍乘左行，而以直除. 左方下禾不尽者，上为法，下为实. 实即下禾之实. 求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实. 余，如中禾 秉数而一，即中禾之实. 求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾 之实. 余，如上禾秉数而一，即上禾之实. 实皆如法，各得一斗.” 中国古代数学家表示方程时，没有使用专门的记法来表示未知数， 只用算筹表示各未知数的系数，且竖排. 若按现在的方法表示上述解答 过程，将算筹换作阿拉伯数字，则： ① ② ③ ① ④ ③ 上禾 1 2 3 上禾 1 6 3 中禾 2 3 2 （②×3）→④ 中禾 2 9 2 下禾 3 1 1 下禾 3 3 1 实 26 34 39 实 26 102 39 144第3章 一次方程（组） ① ⑤ ③ ⑥ ⑤ ③ 上禾 1 0 3 上禾 3 0 3 （④-③- ③）→⑤ 中禾 2 5 2 （①×3）→⑥ 中禾 6 5 2 下禾 3 1 1 下禾 9 1 1 实 26 24 39 实 78 24 39 ⑦ ⑤ ③ ⑧ ⑤ ③ 上禾 0 0 3 上禾 0 0 3 （⑥-③）→⑦ 中禾 4 5 2 （⑦×5）→⑧ 中禾 20 5 2 下禾 8 1 1 下禾 40 1 1 实 39 24 39 实 195 24 39 ⑨ ⑤ ③ ⑨ ⑩ ③ （⑧-⑤-⑤- 上禾 0 0 3 （⑤×36- 上禾 0 0 3 ⑤-⑤）→⑨ 中禾 0 5 2 ⑨）÷5→⑩ 中禾 0 36 2 下禾 36 1 1 下禾 36 0 1 实 99 24 39 实 99 153 39 ⑨ ⑩ 􀃊􀁉􀁓 ⑨ ⑩ 􀃊􀁉􀁔 （③×36- 上禾 0 0 108 （􀃊􀁉􀁓-⑩- 上禾 0 0 36 ⑨）→􀃊􀁉􀁓 中禾 0 36 72 ⑩）÷3→􀃊􀁉􀁔 中禾 0 36 0 下禾 36 0 0 下禾 36 0 0 实 99 153 1305 实 99 153 333 即 秉上禾、中禾、下禾得实的斗数分别为 ， ， ，因此一 36 333 153 99 37 17 11 秉上禾、中禾、下禾得实的斗数分别为 ， ， . 4 4 4 上述算法实质上就是用加减消元法来解由方程 3x+2y+z=39 ， 2x+3y+z=34 ，x+2y+3z=26 组成的方程组. 中国这种求解线性方程组的方法，是极为超前的，这在欧洲则要追 溯到 世纪了. 18 145古诗文中的数学



说 一 说 山村咏怀 宋·邵雍 请试着说出一首含有 一去二三里， 数字1到10的古诗. 烟村四五家. 亭台六七座， 八九十枝花. 想 一 想 下列四句诗中是否蕴含数学中的加、减、乘、除运算？ 花间一壶酒，独酌无相亲. 举杯邀明月，对影成三人. 楼外十分风景好，一分山色九分湖. 正见当垆女，红妆二八年. 锦城丝管日纷纷，半入江风半入云. 议 一 议 《算法统宗》中有这样一首诗： 巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧. 三百六十四只碗，恰合用尽不差争. 三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹. 请问先生能算者，都来寺内几多僧. 如何用一元一次方程求解上述问题？ 做 一 做 从元朝著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中，查找两个能用一元一次方程解 答的数学问题，并试着求解 . 146例如，“我有一壶酒，携着游春走. 遇务①添一倍，逢店饮斗九②. 店务经四 处，没了壶中酒. 借问此壶中，当元多少酒（即问原来应当有多少酒）”. 设原来有酒x斗，则 2{2[2（2x-1.9）-1.9]-1.9}-1.9=0 . 57 解得x= . 32 57 因此，原来有酒 斗. 32 想 一 想 《孙子算经》中记载有一道 “物不知数” 题： 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物 几何？ 书中提供的答案是 ，你认为答案正确吗？还有其他的答案吗？ 23 设物有x，则x=3a+2=5b+3=7c+2 ，其中a，b，c均为非负整数. 不难发 现，除了 23 外，还有 128 等形如 23+105 （n 其中n为非负整数）的数都是答案. 议 一 议 北朝时的数学著作《张丘建算经》中有一题为 : 今有鸡翁一直钱五，鸡母一直钱三，鸡雏三直钱一. 凡百钱买鸡百只. 问鸡 翁母雏各几何. 史称 “百鸡问题”. 如何列方程组？列出的方程组与我们之前学过的有什么不同？ 能求出该方程组的解吗？解唯一吗？ 做 一 做 查询相关文献，以 “我国古代数学中的方程” 为题，写一份简单研究报告，要求 其中列举几个我国古代数学著作或数学家对方程的研究和贡献等，并与同学分享. ①即酒肆，卖酒的地方. ②“斗九” 即一斗九，也就是1.9斗. 147第 4 章 图 形 的 认 识 港珠澳大桥作为全球已建最长跨海大桥，因其超大的建筑规 模、空前的施工难度和顶尖的建造技术而闻名世界. 观察下图，你能从中抽象出点、线段、射线、直线、平面以 及一些立体图形吗？ 如何用符号表示线段、射线、直线、角等基本图形？怎样比 较线段的长短和角的大小？角的度量单位有哪些？它们之间如何 换算？本章将学习这些内容，并让你感受到简单的图形也能构建 出丰富的图形世界.4.1 立体图形与平面图形 我们生活的三维空间中有着绚丽多彩的几何图形. 图4.1-1呈现了许多让 人赏心悦目的立体建筑. 水立方 国家大剧院 黄鹤楼 福建土楼 东方明珠塔 广州塔 重庆江北嘴IFS 香港中银大厦 图4.1-1 149数学 七年级上册 小学阶段，我们初步认识了长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、点、线 段、三角形、四边形、圆等几何图形，它们都是从各式各样的物体外形中抽象 出来的. 其中，有些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形，例 如，长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等. 说一说 观察图4.1-2中的实物图形，不考虑实物的颜色、材料、质量、大小 等因素，仅关注它们的形状，你能发现它们分别与图4.1-3中哪种立体图 形对应吗？ （1） （2） （3） （4） 图4.1-2 （a） （b） （c） （d） 图4.1-3 图4.1-2中的（1）（2）（3）（4）分别与 图4.1-3中的（b）（a）（d）（c）对应. 有些几何图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形，例如，点、线 段、直线、三角形、四边形、圆等. 150第4章 图形的认识 议一议 几何图形在建筑、图案、徽标等许多方面都有着广泛的应用. 观察 图4.1-4所示的各种标志，分别指出其包含的平面图形，并与同学交流. 图4.1-4 虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是相互联系的， 立体图形中某些部分是平面图形，如正方体的每个侧面都是正方形. 从不同角度看立体图形，往往会得到不同形状的 平面图形. 如图4.1-5，从整体来看，是长方体；从不 同侧面看，可以看到长方形或正方形，从中还可以看 到点、线段. 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们 的表面适当剪开，可以展开成平面图形. 比如，长方 图4.1-5 体纸盒是一个立体图形，可以将其展开成平面图形， 如图4.1-6所示. 图4.1-6 做一做 自己动手将一个纸质包装盒剪开铺平，看看它的展开图是由哪些平 面图形组成，然后再动手将其复原. 151数学 七年级上册 练 习 1 分别说出从下列实物中能抽象出的立体图形. （第1题图） 2 下面的图案分别由哪些平面图形构成？请分别列举出来. （第2题图） 习题4. 1 学而时习之 １ 下面是苏州博物馆一栋建筑的正面图，请你画出能从图中抽象出来的平面 图形. （第1题图） 152第4章 图形的认识 ２ 下面这些图形中，哪些是立体图形，哪些是平面图形？ （第2题图） 3 如图，第一排图形可分别看作是第二排哪个立体图形展开的形状？把它们 用线连起来. （第3题图） 温故而知新 4 位于湖南省长沙市岳麓山腰的爱晚亭，是早期革命活动圣地. 下面两幅图 分别是它的外景图和内景图，你能从中抽象出哪些立体图形和平面图形？ （第4题图） 1534.2 线段、射线、直线 观 察 图4.2-1中可以近似地看作线段、射线的分别有哪些？ 图4.2-1 绷紧的钢拉索、笔直的路灯杆等实物都给我们以线段的形象，线段有两个 端点. 线段向一端无限延长形成了射线，射线有一个端点. 例如，可从图4.2-1 的灯光中抽象出射线. 线段向两端无限延长形成了直线，直线没有端点. 一般用以下方式表示线段、射线、直线. 名称 图形 表示方法 线段AB（或BA） 线段 线段a 射线AB 射线 射线BA 直线AB（或BA） 直线 直线l 一条线段向两端无限延长就得到一条直线，这说明一条直线有两个方向， 154第4章 图形的认识 它们是互为相反的方向，取定一个方向， 就确定了另一个方向. 如图4.2-2中的 图4.2-2 直线AB，一个是从A到B的方向，一个 是从B到A的方向. 例如，把一条笔直 的自行车专用道看成一条直线，那么自 行车专用道就有两个互为相反的方向（如 图4.2-3）. 图4.2-3 做一做 任意画一个点和一条直线，你能发现，点与直线有哪几种位置关系？ 点与直线有两种位置关系：点在直线上 或点在直线外，也可以说直线经过这个点或 直线不经过这个点. 如图4.2-4，点P在直 图4.2-4 线l上（直线l经过点P），点Q在直线l外（直 线l不经过点Q）. 当两条不同的直线只有一个公共点时， 称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的 交点. 如图4.2-5，直线l 与l 相交于点O. 1 2 图4.2-5 思 考 （1）将一根小木条固定在墙面上，至少需 要几颗钉子？ （2）如图4.2-6，过其中一个点可以画多 图4.2-6 少条直线？过两点呢？ 由生活经验可以总结出关于直线的基本事实： 基本事实是人们在 过两点有且只有①一条直线. 长期实践中总结出来的 简单说成：两点确定一条直线. 公认的事实. ①“有且只有” 表示存在且唯一. 155数学 七年级上册 练 习 1 如图，判断下列语句是否正确. （ 1 ）点O在直线AB上； （ 2 ）B是直线AB的一个端点； （第1题图） （ 3 ）点O在射线AB上； （ 4 ）射线AO和射线OA是同一条射线. 2 按下列语句分别画出图形： （ 1 ）点P在直线l外； （ 2 ）以O为端点的三条射线OA，OB，OC； （ 3 ）点C在线段AB上. 说一说 怎样比较图4.2-7中的线段AB，CD的长短呢？ 图4.2-7 我用刻度尺测量 把其中一条线段移到另一 的方法. 条上作比较，如图4.2-8 . 图4.2-8 线段AB的长度记作 AB或|AB|. 为简便起见，本套教科书把线段AB的 长度记作AB. 一般可从上下文区分AB表示的是线段还是线段AB的长度. 像图4.2-8这样，对任意两条线段AB与CD，将线段AB移到CD上，使 点A与点C重合，点B与点D都在点C的同侧，这时可能出现的情形如下表： 156第4章 图形的认识 图形 线段AB与CD的关系 记作 AB小于CD ABCD 如图4.2-9，点C落在线段AB的延长线（即以B为端 点，方向为A到B的射线）上，则线段AC是线段AB与线段 图4.2-9 BC的和，记作AC=AB+BC，线段BC是线段AC与线段 AB的差，记作BC=AC-AB. 议一议 杭州湾跨海大桥是跨越杭州湾的便捷通道. 大桥北起嘉兴市，跨越 宽阔的杭州湾海域后止于宁波市，全长36 km . 大桥建成后宁波至上海的 陆路距离缩短了约120 km . 这是什么原理？互相交流一下. 上海 杭州湾跨海大桥 杭州 宁波 根据长期实践经验可以得到关于线段的基本 事实： 两点之间的所有连线中，线段最短. 简单说成：两点之间，线段最短. 连接两点的线段的长度，叫作这两点的距离. 157数学 七年级上册 例1 如图4.2-10，已知线段a，借助圆规和直尺 作一条线段使它等于2a. 图4.2-10 作法 （1）作射线AD； （2）在AD上顺次截取AB=BC=a. 则线段AC就是所求作的线段（如图4.2-11）. 图4.2-11 像这样仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫尺规作图. 若点B在线段AC上，且把线段AC分成相等的两条线段AB与BC，这时 B叫作线段AC的中点. 如图4.2-11，B是线段AC的中点，则 AB = BC = 1 AC. 类似地，还有线段的三等分点、四等分点等. 2 例2 如图4.2-12，已知线段a，b（a>b），作一条 线段使它等于a-b. 作法 （1）作射线AF； 图4.2-12 （2）在射线AF上截取AC=a； （3）在线段AC上截取AB=b. 图4.2-13 则线段BC就是所求作的线段（如图4.2-13）. 练 习 1 用圆规截取的方法比较图中下列两组线段的大小： （ 1 ）AC和AB； （ 2 ）BC和AB. 2 如图，线段AB=6 ，C是AB的中点，D是 AC的 （第1题图） 中点，求线段AC，AD的长. （第2题图） （第3题图） 3 如图，已知线段a，b，作一条线段使它等于a+b（只要求作出图形，不要 求写作法）. 158第4章 图形的认识 习题4. 2 学而时习之 1 按下列语句分别画出图形： （ 1 ）过一点P画直线AB； （ 2 ）直线m，n，l相交于点P； （ 3 ）A，B，C是直线l上三点，且点C在点A与点B之间. 2 平面上有A，B，C三点，经过其中任意两点画一条直线. 问最多能画几条 直线？最少能画几条直线？ 3 线段AB=1. 8 cm ，延长AB（即沿点A到点B的方向延长）至点C，使得 BC=3AB，D为BC的中点，则B，D两点的距离是多少？ 4 如图，已知四点A，B，C，D. A （ 1 ）画直线AB； D B （ 2 ）画射线AC； （ 3 ）连接BC并延长BC到点E，使得CE=AB+BC； C （ 4 ）在线段BD上取点P，使PA+PC的值最小. （第4题图） 以上只要求作出图形，不要求写作法. 5 已知线段AD=6cm ，B，C是线段AD的三等分点，求线段AB，CD的长. 温故而知新 6 如图，点B，C在线段AD上，判断下列说法是否正确，并说明理由. （ 1 ）若AB=CD，则AC=BD； （ 2 ）若AC=BD，则AB=CD. （第6题图） 7 （）平面上有 个点，其中任意 个点都不在同一条直线上，经过每两点画 1 4 3 一条直线，一共可以画多少条直线？ （）平面上有 个点，其中任意 个点都不在同一条直线上，经过每两点画 2 5 3 一条直线，一共可以画多少条直线？ 1594.3 角 4􀆰 3􀆰 1 角与角的大小比较 观 察 在小学就已经认识角. 观察图4.3-1，你能从中抽象出一些角吗？这 些角都有什么共同特征？ 图4.3-1 抽 象 角可以看成是由具有公共端点的两条射线组成的图形. 如图4.3-2，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB位 置时，就出现了角的形象. 因此，我们把一条射线绕着 它的端点从一个位置逆时针（或顺时针）旋转到另一位置 时所成的图形称为角. 图4.3-2 其中，射线的端点O叫作角的顶点. 射线原来所在 的位置OA叫作角的始边，旋转后的位置OB叫作角的 终边，角的始边和终边统称为角的边. 从始边旋转到终 边所扫过的区域，叫作角的内部. 角的大小由角的始边绕顶点旋转至终边时旋转量的 平角 大小决定. 当射线绕着端点旋转到与原来的位置在同一直线上 但方向相反时，所成的图形叫作平角，如图4.3-3所示. 图4.3-3 160第4章 图形的认识 当射线绕着端点旋转一周，又重新回到原来 位置时，所成的图形叫作周角，如图4.3-4所示. 如果没有特别说明， 本书中所讲的角只限于不 周角 大于平角的角. 图4.3-4 角通常可用如图4.3-5所示的方法来表示. 用三个大写字母表示 角时，顶点字母应放在中 间. α，β，γ等希腊字母， AOB， BOA或 O 1 α 也常用来表示角. ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ 图4.3-5 探 究 任画两个角，怎样比较它们的大小？ 方法1：用量角器量出每个角的度数，再比较两者的大小. 方法2：设画出的两角分别为∠ABC，∠DEF. 先移动∠DEF，使它的顶 点E与∠ABC的顶点B重合，并且使∠DEF的一条边EF与∠ABC的一条边 BC重合，边ED，BA都在BC的同侧. 这时可能出现以下情形： 情形 示意图 ∠ABC与∠DEF的关系 A（D） ED与BA重合 ∠ABC=∠DEF B（E） C（F） A D ED落在∠ABC内部 ∠ABC>∠DEF B（E） C（F） D A ED落在∠ABC外部 ∠ABC<∠DEF B（E） C（F） 161数学 七年级上册 方法3：如图4.3-6，设画出的两角分别为∠ABC，∠DEF. 分别以两角 的顶点B，E为圆心，以相同长度的半径画一段圆弧，与∠ABC，∠DEF的两 边分别相交于点M，N及点P，Q. 再将圆规尖移至点M处，使另一脚落在点 N处. 在不改变圆规张角的条件下，将圆规尖移至点P处. 如图4.3-6（1），若另一脚可与点Q重合，则∠ABC=∠DEF； 如图4.3-6（2），若另一脚落在∠DEF内部，则∠ABC<∠DEF； 如图4.3-6（3），若另一脚落在∠DEF外部，则∠ABC>∠DEF. （1） （2） （3） 图4.3-6 以一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个 角分成两个相等的角，那么这条射线叫作这个角的平 分线 . 如图 4.3-7，若 OC 是∠AOB 的平分线，则 1 ∠AOC=∠BOC= ∠AOB. 图4.3-7 2 练 习 1 图中有哪几个角？用适当的方式将这些角表示出来. （第1题图） （第2题图） 2 对于如图所示的各个角，用“ ”“ ”或“ ”填空： > < = （ 1 ） ∠AOB ∠AOC； （ 2 ） ∠DOB ∠BOC； （ 3 ） ∠BOC ∠AOD； （ 4 ） ∠AOD ∠BOD. 3 在一张纸片上画一个角，通过折叠折出这个角的平分线. 162第4章 图形的认识 4􀆰 3􀆰 2 角的度量与计算 在小学，我们已经知道一个周角等于360°，一个平角等于180° . 把一个周 角分为360等份，每一等份叫作1度，记作1° . 平角的一半（即90°的角）叫作直角. 小于直角（即小于90°）的角叫作锐角. 大于直角但小于平角（即大于90°但小于180°）的角叫作钝角. 议一议 用量角器任量一个角，并就度量过程中可能遇到的问题相互交流. 在用量角器量一个角时，很多时候它的度数并不是整数，因而以度为单位 精度还不够，与长度单位一样，这时需要考虑用更小的单位来度量. 把1°的角分成60等份，每一等份叫作1分，记作1′，再把1′的角分成60等 份，每一等份叫作1秒，记作1″，即 ( ) ( ) 1 ° 1 ′ 1°=60′，1′=60″，1′= ，1″= . 60 60 度、分、秒是角的基本度量单位. 度、分、秒之间的换算是六十进制，这 与时间单位时、分、秒之间的换算是一样的. 例1 用度、分、秒表示54.26° . 解 . 54. 26°=54°+0. 26° 又0. 26°=0. 26×60′=15. 6′=15′+0. 6′，而0. 6′=0. 6×60″=36″， 因此，54. 26°=54°15′36″ . 例2 用度表示48°25′48″ . ( ) 1 ′ 解 48″=48× =0. 8′，25′48″=25′+48″=25′+0. 8′=25. 8′， 60 ( ) 1 ° 25. 8′ = 25. 8 × = 0. 43°， 60 因此，48°25′48″=48. 43° . 163数学 七年级上册 例3 计算： （1）37°28′+24°35′； （2）83°20′-45°38′20″ . 解 （1）37°28′+24°35′=61°63′=62°3′ . （2）83°20′-45°38′20″=82°79′60″-45°38′20″=37°41′40″ . 练 习 1 填空： （） ； （） ； 1 0. 65°= ′ 2 32. 43°= ° ′ ″ （） ； （） . 3 120°36′54″= ° 4 108°42′36″= ° 2 计算： （） ； （） . 1 72°12′+50°40′30″ 2 113°50′40″ -57°48′42″ 3 时整，钟表的时针与分针所成的角的度数是多少？ 时整呢？ 10 15 （第3题图） 做一做 如图4.3-8，量一量、算一算：∠1+∠2，∠3+∠4的度数分别是 多少？ （a） （b） 图4.3-8 如果两个角的和等于一个直角（90°），那么就说这两个角互为余角（简称 互余），也说其中一个角是另一个角的余角. 164第4章 图形的认识 如果两个角的和等于一个平角（180°），那么就说这两个角互为补角（简称 互补），也说其中一个角是另一个角的补角. 例如，34°的角与56°的角互为余角，图4.3-8（a）中∠1与∠2互为余角；48° 的角与132°的角互为补角，图4.3-8（b）中∠3与∠4互为补角. 思 考 （1）如图4.3-9（a），∠1与∠2互补，∠1与∠3互补，那么∠2与∠3 有什么大小关系？ （2）如图4.3-9（b），∠4与∠5互余，∠4与∠6互余，那么∠5与∠6 有什么大小关系？ （a） （b） 图4.3-9 由于∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°， 所以∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1 . 因此∠2=∠3（等量代换）. 等量代换是指 由此可得： “如果a=b且c= 同角（或等角）的补角相等. b，那么a=c”. 类似地，可以得到∠5=∠6，于是有： 同角（或等角）的余角相等. 例4 如图4.3-10，∠AOB与∠BOD互为余角，OC 是∠BOD的平分线，∠AOB=29. 66°，求∠COD的度数. 解 因为∠AOB与∠BOD互为余角， 所以∠BOD=90°-∠AOB =90°-29. 66° 图4.3-10 . =60. 34° 165数学 七年级上册 又因为OC是∠BOD的平分线， 1 1 所以∠COD= ∠BOD= ×60. 34°=30. 17° . 2 2 因此，∠COD的度数为30.17° . 1 例5 已知一个角的余角是这个角的补角的 ，求这个角的度数. 3 解 设这个角为x°，则这个角的余角为（90-x）°，补角为（180-x）° . 1 根据题意，得 90-x= （180-x）， 3 解得 x=45 . 因此，这个角为45° . 练 习 1 填空： （） 的补角等于 ； 1 105°26′ （） 的余角等于 . 2 28°25′32″ 2 如图， ∠BOD=118° ， ∠COD是直角，OC平分 ∠AOB，求 ∠AOB的度数. （第2题图） 习题4. 3 学而时习之 1 如图，以AB为一条边的角有哪些？分别将这些角按从大到小的顺序用 “ ”连接起来. > （第1题图） 166第4章 图形的认识 2 如图，已知 ∠AOB. （ 1 ）在 ∠AOB的内部画射线OC. （ 2 ）画 ∠BOD，使OB在 ∠AOD的内部. （第2题图） （）所画图形中有哪些角？ 3 3 用量角器分别量出图中 ∠A， ∠B， ∠C， ∠D的大小， 并用“ ”把它们连接起来. < 4 用“ ”“ ” 或“ ”填空： > < = （） ； 1 3.15° 3°15′ （第3题图） （） ； 2 42°24′ 42.34° （） . 3 35°32′24″ 35.54° 5 计算： （） ； 1 32°45′48″+20°25′ （） . 2 179°48′-103°52′54″ 6 的余角等于多少？ 的补角呢？ 74°38′ 80°20′49″ 7 已知一个角的补角是它的余角的 倍，求这个角的 4 度数. 8 如图， ∠AOB=114° ，OF是 ∠AOB的平分线， ∠1 和 ∠2 互余，求 ∠1 的度数. （第8题图） 温故而知新 9 以任一点为顶点，用一个三角尺（三个角分别为 ， 30° ， ）可以画出哪些度数的角？ 60° 90° 10 如图， ∠AOC和 ∠BOD都是直角， ∠AOB ∠AOD= ∶ 2 11 ，求 ∠AOB和 ∠BOC的度数. ∶ （第10题图） 167数学 七年级上册 用计算机画线段的中点 计算机技术的发展，给许多数学问题的解决带来了新的方案. 如可以用计 算机软件绘制线段的中点. 具体步骤 . 打开某计算机软件，点击“开始作图”，进入新的作图区（如图 ）. 1 1 顶部工具栏 作图区 左侧工具栏 底部工具栏 图1 在图 1 中，选择左侧工具栏中的“线段”工具，在作图区域作出线段AB， 选择左侧工具栏中的“选择 | 拖动”工具，选择线段AB，点击底部第一组工具 栏中的“中点 | 中心”（或者按快捷键“ Ctrl+M ”），作出线段AB的中点C （如图 ）. 2 图2 2 . 在图 2 中，选择点A和点B，点击底部第九组工具栏中的“计算 | 测量”， 168第4章 图形的认识 就可以度量出A，B两点间的距离，即线段AB的长度. 继续用同样的方法度 量出线段AC和BC的长度. . 点击底部第九组工具栏中的“计算测量”（或者按快捷键“ ”）， 3 | Alt+= 调出计算面板，依次点击线段AB的长度度量值m ，“ ÷ ”，线段AC的长度度 0 量值m（如图 3 ）. 1 m0/m1 图3 4 . 在图 3 中，点击“确定”按钮得到m 与m 的比值m（如图 4 ）. 可以发现 0 1 3 m =2 ，即线段AB的长度是线段AC的长度的两倍，这也验证了点C是线段 3 AB的中点. 图4 操作与思考 1 . 在图 4 中，拖动点A或者点B，观察度量值m ，m ，m 和m 的变化， 0 1 2 3 写出你的发现. 2 . 分别画出线段AC和线段BC的中点. 169数学 七年级上册 小 结 与 评 价 知识图谱 思考回顾 . 线段、射线、直线有什么区别与联系？怎样比较线段的长短？ 1 . 什么样的图形是角？ 2 . 角的大小用什么单位表示？怎样比较两个角的大小？ 3 . 怎样进行角的度量与计算？ 4 . 同角或等角的补角有什么关系？同角或等角的余角有什么关系？ 5 注意事项 . 为了区分有公共顶点的几个角，一般用三个大写字母表示角. 1 . 角的大小由始边绕顶点旋转到终边位置的旋转量确定，与所画角 2 的边的长短无关（角的边是两条射线）. . 角的度、分、秒之间的换算是六十进制. 3 . 如果没有特别说明，本书中所讲的角只限于不大于平角的角. 4 170第4章 图形的认识 自评互评 小 结 与 评 价 • 自评 通过本章的学习，你对以下几方面的学习内容掌握得怎么样？根据 自己的学习情况，点亮属于你的小星星，然后请同学和老师对你的自评 进行恰当评价. . 能根据实物模型，抽象出点、线、面、角 1 . 能比较线段的长短和计算线段的和、差 2 . 能度量角的大小，能对角进行度、分、秒换算，会计算角的和、差 3 . 掌握同角（或等角）的补角相等，同角（或等角）的余角相等 4 . 能从现实生活中的一些物体，抽象出一些几何图形，抽象思维与空间 5 想象力得到了发展 . 通过图形分析与比较，能从中发现线段、射线、直线三者的共性，分 6 辨出它们之间的差异，同时会用数学语言描述它们以及角的概念，会 用数学的眼光观察现实世界 • 自评 / 互评 请完成下面两项评价，先自评再在小组内进行互相评价. 其中评价 由低到高分为 ， ， ， ， 五个等级. 1 2 3 4 5 . 能从身边实物中抽象出一些简单几何图形，认识到生活中处处有数学， 1 能积极、愉快地参与数学讨论、探索、合作、操作，能努力克服数学 活动中遇到的困难 ( )/( ) . 基于自己对本章知识的理解，画出思维导图，并在组内展示，对自己 2 和同学画出的思维导图进行恰当评价 ( )/( ) 你对本章的学习及评价还满意吗？学习能力的提升在于善学勤思， 认真总结，养成良好的学习习惯，根据自己制订的、适合自己的学习计 划不断努力，才能变成更好的自己！ 171数学 七年级上册 复习题4 学而时习之 1 从下面的图形中，你能抽象出哪些立体图形？ （第1题图） 2 按下列语句分别画出图形： （ 1 ）直线l经过A，B，C三点，点D在线段BC上； （ 2 ）直线a，b，c两两相交，分别交于A，B，C三点； （ 3 ）M是直线l外一点，过点M有一条直线m与直线l相交于点N. 3 如图，A，B，C，D四点在一条直线上，则： （ 1 ）DB+CD= ； （ 2 ）AB-AC= ； （ 3 ）AB-AC-DB= . （第3题图） （第4题图） 4 如图，小强要从A点走到C点，有五条路线可到达目的地. 请你帮他选择 一条最近的路线（只要求在图中标出来）. 5 如图，已知线段AB长为 6 ，C是AB的中点，D是BC的中点，E是AD的中 点，求线段AE的长. （第5题图） （第6题图） 6 如图，已知线段a，b，画一条线段c，使它等于 2a-b. 172第4章 图形的认识 7 填空： （） ； 1 35°15′36″= ° （） ； 2 25. 47°= ° ′ ″ （） ； 3 85°28′+14°46′= ° ′ （） . 4 65. 5°-34°40′32″= ° ′ ″ 8 判断（正确的画“ ”，错误的画“ ”）： （）钝角的补角一定是锐角； （ ） 1 （）锐角和钝角一定互补； （ ） 2 （）一个角的补角一定大于这个角； （ ） 3 （）如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角的补角相等. （ ） 4 9 如图，AB为直线， OC为射线，且OD平分 ∠BOC， OE平分 ∠AOC，求 ∠DOE的度数. （第9题图） （第10题图） 10 如图，OD，OE 分别是 ∠AOC 和 ∠BOC 的平分线， ∠AOD=24.9° ， ∠BOC=37.8° ，求 ∠AOE的度数（结果用度、分、秒表示）. 11 已知 是 的余角， 是 的补角，且 ，分别求 ， 的 ∠2 ∠1 ∠3 ∠2 ∠1=40° ∠2 ∠3 度数. 12（）一个角的余角比这个角的补角的一半少 ，求这个角的度数； 1 42° （）一个角的补角比这个角的余角的 倍大 ，求这个角的度数. 2 3 10° 温故而知新 13 点 C在线段 AB上，且 AC BC=2 3 ，点 D在线段 AB的延长线上， ∶ ∶ BD=AC，E为AD的中点. 若AB=40 cm ，求线段CE的长. 173数学 七年级上册 14 如图， ∠AOB=164°59′58″ ， ∠AOC=∠BOD=90° ，求 ∠COD 的度数 （结果用度、分、秒表示）. （第14题图） 上下而求索 15 如图（ a ），点C线段AB上，图中共有 3 条线段，分别为AB，AC和BC. 若 其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C为线段AB的 “二倍点”. （）一条线段的中点是此线段的“二倍点”吗？请说明理由. 1 （ 2 ）图（ b ）中线段AB=3cm ，若点M从点B开始以 0.5 cm/s 的速度向点A 运动，到点A时停止运动，设运动时间为t s ， 则t为何值时，点M为线段 AB的“二倍点”？ （a） （b） （第15题图） （第16题图） 16 如图，将三个形状、大小完全一样的正方形的一个顶点重合放置， ∠FAG= 45° ， ∠BAC=30° ，求 ∠DAE的度数. 174七巧板与拼图制作 我国古代四大智力玩具之一的七巧板，如图 所 1 示，相传已有上千年历史， 世纪时流传到国外，立 18 刻引起国外友人的极大兴趣，并将其称为 “ 唐图”， 意思是来自中国的拼图. 由于通过七巧板可以拼出丰 图1 七巧板 富多彩的美丽图案，因此也有人称七巧板为 “ 东方 魔板”. 观 察 观察图 中的七巧板，你发现它是由哪些平面图形组成的？ 1 它由两个小三角形、一个中等三角形、两个大三角 形、一个正方形和一个平行四边形，共7个平面图形组成. 想 一 想 准备一副七巧板，解决下列问题： （ ）分别找出图形中的一个锐角、一个钝角，将它们表示出来并量出度数. 1 （ ）初步比较这 个图形的面积之间的大小关系. 2 7 做 一 做 自己动手制作一副七巧板，并解决下列问题： （ ）利用其中的中等三角形和两个小三角形，拼出一个等腰三角形. 1 （ ）将 块部件拼成一个大正方形，你有多少种拼法？ 2 7 （ ）用 块部件能拼出多少个三角形？ 块， 块， 块呢？能够取其中 块拼出 3 2 4 5 7 6 三角形吗？如果可以，在每一种情况下简述拼接过程. （ ）从 块部件中任取不少于 块的部件拼出梯形，并简述拼接方法. 4 7 2 175我国民间流传着一首关于七巧板的歌谣： 七巧板，真好玩，姑娘小子都喜欢. 正方形，三角 形，七块小板拼图案. 摆只鸡，摆条鱼，摆只蝴蝶舞翩 跹. 摆小桥，摆帆船，摆朵荷花浮水面. 随心所欲翻花 样，动手动脑乐无边. 这首歌谣生动形象地描绘出了利用七巧板可以拼出多种美 35th IMO 丽图形的情景. H 1994 G O N 例如，第 35 届国际数学奥林匹克竞赛（ IMO ）①的会标就是 N G K O 一条由七巧板拼成的乘风破浪的帆船，如图 所示. 2 发挥创造力和想象力，仅凭七巧板，还可以拼出许多诸如 图2 数字、人物、动物、桥、房屋等栩栩如生的图形. 做 一 做 利用七巧板拼出图 中各个图形. 3 数字1 字母D 步行者 3 5 4 六边形 蝴蝶 金鱼 1 2 6 7 图3 ①国际数学奥林匹克竞赛（IMO）创办于1959年，有 “数学世界杯” 之称，每年举办一次，由参赛国轮流 主办，目的是激发青少年对数学的兴趣，培养青少年的数学才能，发现科技后备人才，促进各国数学 教育的交流与发展. 国际数学奥林匹克竞赛是国际科学奥林匹克历史最长的赛事，是国际中学生数学大赛，在世界上影响 非常之大. 我国自1985年起参加IMO，共有20多次总成绩排名第一. 176议 一 议 图 是欧洲人创造的 “七巧板” 的示意图，也称为 “毕达哥拉斯拼板”. 它与我 4 国的七巧板有哪些异同？ 3 5 4 1 2 6 7 图4 图5 国内有研究者为了进一步拓展七巧板的功能，设计了现代版 “智力七巧板”. 它 由 块图形组成，且存在不规则图形，如图 所示. 7 5 现代版 “智力七巧板” 的外观看似简单，实则与传统的七巧板大不相同. 因为增 加了弧线，所以拼接起来奥妙无穷，创造的天地更加广阔. 做 一 做 （ ）上网查询我国古代四大智力玩具的另外三种，如图 所示，选择其中一种， 1 6 并以图文并茂的形式介绍其玩法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 九连环 孔明锁 华容道 图6 （ ）通过利用七巧板拼接图形，可以发现许多图形都是由三角形、四边形组成， 2 这对你接下来学习 “图形与几何” 的知识有什么启示？将你的收获写成小报告形式， 与同学进行交流. 177后 记 本册教科书是依据教育部颁布的 《义务教育数学课程标准 （ 2022 年版）》编写的. 本册教科书的编写，充分吸收了近十年来义务教育课程改革的 优秀成果，借鉴了 2012 年版《义务教育教科书·数学（七年级上 册）》编写经验，凝聚了广大学科专家、教育专家、教材编写专家、 思政专家、教研人员和一线教师，以及装帧设计专家的集体智慧. 在此对所有为本次编写、出版、试教、审读等提供过帮助和支 持的同仁和社会各界朋友，表示衷心感谢！特别感谢 年版本册 2012 教科书主编严士健先生及所有编写人员！真诚地感谢张伟平院士、 潘建伟院士、周向宇院士、李文林教授、陈大岳教授、邹大海教授 等的帮助！ 在本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书所选用资 料和图片的作者进行了联系，得到了他们的大力支持. 对此，我们 表达诚挚的谢意！遗憾的是，仍有部分作者未能取得联系，恳请这 些作者尽快与我们联系，以便支付稿酬. 教材建设是一项长期的任务，我们真诚地希望，广大教师、学 生及家长在使用本册教科书的过程中及时将意见或建议反馈给我 们. 我们将集思广益，不断修订，使其趋于完善. 联系方式 电话： 0731-85486739/85486740 邮箱： hnephmath@126.com 湖南教育出版社