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2025 年 12 月高三联考 强化卷
数 学
本试卷满分 分,考试时间 分钟
150 120 .
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知 为虚数单位 若z z 则z
i , +2 =6+i, = ( )
A.2+i B.2-i
C.1+2i D.1-2i
2.在生物界中 部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌. 已知某类昆虫在水平方向上的速度 v 单
, (
H
位 米/秒 与跳跃高度H 单位 米 满足v2 4 则该类昆虫的最大跳跃高度为
: ) ( : ) = Hv2 , ( )
1-
. 米 . 米 . 米 米
A.0 25 B.0 5 C.0 75 D.1
3.设p x a q x2 x 且p是q成立的充分不必要条件 则a的取值范围是
: ≥ , : +3 -10>0, , ( )
A.(0,2) B.(2,+∞)
C.[2,+∞) D.(2,5]
4.已知圆O 与圆O 的半径分别为 和 如图 圆O 在圆O 内部沿着圆 O 的边缘滚动 AB 是圆 O 的任意
1 2 3 1, , 2 1 1 , 2
直径 则O→A O→B
, 1 · 1 = ( )
A.1 B.3 C.5 D.8
5.若正四棱台上 下底面的面积分别为 高为 则此四棱台的体积与表面积的数值之比为
、 1,16, 2, ( )
14 1 7 7
A. B. C. D.
45 3 15 90
6.已知等比数列 a 满足1 1 1 a 1 记S 为其前n项和 则S
{ n} a +a +a =14, 2= , n , 3= ( )
1 2 3 4
7 7 7
A. B. C. D.7
8 4 2
7.已知点A B 线段 AB 为 M 的一条直径.设过点 C 且与 M 相切的两条直线的斜率分
(-1,1), (3,3), ☉ (2,-1) ☉
别为k k 则k k
1, 2, 1+ 2= ( )
3 2 2 3
A.- B.- C. D.
2 3 3 2
数学 第1页(共4页)8.已知正实数a b满足a a -2 2 025 和b b 2 029 则ab的值为
, e =e (ln -2)=e , ( )
2029 2028
A.e B.e
2027 2026
C.e D.e
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得
6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数f x x φ φ 的部分图象如图所示 将函数 f x 图象上所有点的
( )=sin(2 + )(| |<π) , ( )
横坐标变为原来的1 纵坐标不变 得到函数g x 的图象 则以下说法正确的有
, , ( ) , ( )
2
φ π
A. =
3
f x 图象关于直线x 5π对称
B. ( ) =
12
( )
g x x π
C. ( )=sin 4 -
3
g x 在 上单调递增
D. ( ) [2 025π,2 026π]
( )
10.已知向量a b m 1 c 则下列说法正确的是
=(2,4), = ,m , =(3,3), ( )
若m 则 a c b
A. =1, ( - )⊥
若a b 则m 2
B. ∥ , =
2
a在c上的投影向量为c
C.
b c 的最小值为
D. | - | 7
11.已知函数f x 1x2 x x x 则下列结论中正确的是
( )= +4 -(4 +1)ln , ( )
2
f x 有四个单调区间
A. ( )
f x 存在最小值
B. ( )
f x 有三个极值点 从小到大依次为a b c 则a b c成等差数列
C. ( ) , , , , , ,
f x 有三个极值点 从小到大依次为a b c 则a b c成等比数列
D. ( ) , , , , , ,
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
( ) ( )
12.已知 α 5π 1 则 α π .
sin + = , cos + =
6 3 3
13.一个底面边长为 高为 的正四棱柱容器 容器的厚度忽略不计 容器是封闭的 内有两个半径相等的铁
2, 3 ( , )
球 则铁球半径的最大值为 .
,
( )
14.已知函数f x x3 x πx φ 若 φ R 使得对 x 都有 f x a 则 a 的最小值
( )= -3 +sin + , ∃ ∈ ∀ ∈[- 3, 3], ( )≤ ,
2
为 .
数学 第2页(共4页)四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 分 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c a C c A.
(13 ) △ , , , , , , sin = 3 cos
求A
(1) ;
点D在边BC上 AD平分 BAC 若a AD 2 2 求 ABC的周长.
(2) , ∠ , =4, = , △
3
16. 分 已知数列 a 的首项为 其前n项和为S 且满足 na S n n n .
(15 ) { n} 1, n, 3 n +1-6 n= ( +1)( +2)
求数列 a 的通项公式.
(1) { n}
证明 1 1 1 1 .
(2) :a +a +a +…+a <2
n
1 2 3
17. 分 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 平面ABCD BC AC AB DC.
(15 ) , - , ⊥ , ⊥ , ∥
证明 平面PBC 平面PAC.
(1) : ⊥
若BC CD PA AB AD P A B C在同一个球面上 球心为O.
(2) =2, =3, = =4, = 3, , , , ,
求DO与平面PBC所成角的正弦值
(i) ;
设P→H λP→D N为PC的中点且H A O N四点共面 求实数λ的值.
(ii) = , , , , ,
数学 第3页(共4页)18. 分 如图 在平面四边形ABCD中 AB BD CD E为线段CD上一点 且AD AE BE BC.
(17 ) , , = = =1, , = , =
若 BCD ° 求DE.
(1) ∠ =75 ,
记 ADB α BDC β BCD γ
(2) ∠ = ,∠ = ,∠ = ,
证明 2γ α α β
(i) :1-4cos =4cos cos( + );
求 α β的值.
(ii) 2 +
19. 分 已知函数f x ax 1 a x 其中a .
(17 ) ( )=ln( )+ x + ( -1), ≠0
当a 时 若直线y x b是曲线y f x 的一条切线 求b的值
(1) =1 , =- + = ( ) , ;
讨论f x 的单调性
(2) ( ) ;
若集合 x f x x Z 中有且仅有一个元素 求a的取值范围.
(3) { | ( )<1, ∈ } ,
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