普
通 经全国中小学教材审定委员会 2005 年初审通过
高
中
课
程
标
准
实 普通高中课程标准实验教科书
验
教
科
书
选修 1-2（文科）
选
修
2
湖
南
教
育
ISBN 978-7-5355-4603-6
出
版
湖南教育出版社
社
9787535546036>
定价：7.25元
1
（
文
科
）
－Mathematics
普通高中课程标准实验教科书
数 学
选修 1-2( 文科）
湖 南 教 育 出 版 社主 编 张景中 黄楚芳
!! ! !
执行主编 李尚志
!
编 委 何书元 朱华伟 任宏硕
!! ! ! !
郑志明 王长平
!!!!! !
书书书动手又动脑!!!思维与应用的统一
这一册里 要学的是统计案例 推理与证明 框
!! ! " "
图 数系扩充及复数的引入 这些内容 既体现了数
" ! !
学应用的强大力量 又体现了数学思维的强大力量
! !
更体现了数学思维与应用的统一
!
统计学与我们每个人的生活息息相关 是数学理
!
论解决实际问题的成功范例 统计学是研究如何从数
!
据中提取有用信息的科学 在科学研究 工农业生产
! " "
新产品开发 产品质量的提高乃至政治 教育 社会
" " "
科学等各个领域 使用统计方法和不使用统计方法获
!
得的效果是大不相同的 在本学习阶段 学生将通过
! !
对统计案例的讨论 了解和使用一些常用的统计方法
! !
进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想
!
认识统计方法在决策中的作用
!
推理与证明 是数学的基本思维过程 也是学习
! !
和生活中常用的思维方式 通过经验和直觉 用归纳
! ! "
类比的方式来推测和发现有用的概念或可能的结论
!
叫作合情推理 根据已有的事实和正确的结论 包括
! #
定义 公理 定理等 按照严格的逻辑法则得到新的
" " $!
结论 叫作演绎推理 合情推理和演绎推理紧密联系
! ! !
相辅相成 数学欢迎一切有用有趣有创意的概念 但
! !
它归根结底只接受经过一丝不苟的演绎推理证明了的
结论 数学的正确性必须由逻辑证明来保证 数学证
! !
明的方法多姿多彩 有直接证明的分析法 综合法
! " !
1
书书书也有间接证明的反证法 灵活使用这些方法解决形形
!
色色的数学问题 往往需要多年的专业磨练 而结合
! "
学过的知识体会数学证明的特色并对这些方法有所了
解 则是人人皆有机会体验的美的享受 这种感受将
! !
帮助你养成言之成理 论证有据的习惯 使你在人生
# !
旅途中少走弯路 少犯错误
! !
你要动手做一件事 就要先做好计划 设计好做
! !
这件事的步骤 这就可以用框图 框图是一种语言
! ! !
一种表达方式 是沟通思维和应用的一条渠道 框图
! !
已经广泛应用于算法 计算机程序设计 工序流程的
# #
表达 设计方案的比较等方面 它不但是表示数学计
# !
算与证明过程中主要逻辑步骤的工具 也正在成为日
!
常工作和各门学科进行交流的一种常用表达方式 在
!
本册教材中 学生将通过实例理解这种表达方式 提
! !
高抽象概括能力和逻辑思维能力 逐步学会应用这种
!
方式清晰地表达和交流思想
!
从自然数到有理数 从有理数到实数 数系一次
! !
又一次扩充 复数的引入 是数系的又一次扩充 这
! ! !
是合情推理与演绎推理在数学中又一次成功的合作
!
也是数学思维和数学应用的又一次完美的统一 学习
!
了复数 你将进一步领略数学思维的神奇力量 同时
! !
又掌握了一个在现实应用中可以大显身手的有力工具
!
!!
2
书书书目 录
４
第 章 典型统计案例
4.1 随机对照试验案例 / ２
习题 １ / ６
4.2 事件的独立性 / ６
习题 ２ / ９
4.3 列联表独立性分析案例 / １２
习题 ３ / １７
4.4 一元线性回归案例 / １８
习题 ４ / ２５
小结与复习 / ２９
复习题四 / ３０
５
第 章 推理与证明
5.1 合情推理与演绎推理 / ３３
５．１．１ 合情推理（一）———归纳 / ３３
习题 １ / ３７
５．１．２ 合情推理（二）———类比 / ３９
习题 ２ / ４１
５．１．３ 演绎推理 / ４２
习题 ３ / ４４
５．１．４ 合情推理与演绎推理的关系 / ４５
5.2 直接证明与间接证明 / ４７
５．２．１ 直接证明押分析法与综合法 / ４７
习题 ４ / ４９
5.2.2 间接证明押反证法 / ５０
习题 ５ / ５２
1小结与复习 / ５３
复习题五 / ５８
阅读与思考 用计算机证明几何定理 / ６２
数学文化 公理化思想对人类文化的影响 / ６６
６
第 章 框 图
6.1 知识结构图 / ７１
习题 １ / ７３
6.2 工序流程图 / ７３
习题 ２ / ７６
习题 ３ / ８１
6.3 程序框图 / ８ ２
习题 4 / ８６
习题 5 / ８９
小结与复习 / ９０
复习题六 / ９２
７
第 章 数系的扩充与复数
7.1 解方程与数系的扩充 / ９５
7.2 复数的概念 / ９６
习题 １ / ９７
7.3 复数的四则运算 / ９８
习题 ２ / １０２
7.4 复数的几何表示 / １０３
阅读与思考 ｉ２＝ －１ 的几何意义 / １０７
习题 ３ / １０８
小结与复习 / １０９
2复习题七 / １１２
数学文化 数系扩充小史 / １１４
［多知道一点］ 假设检验案例 / １０
正态分布 / ２６
哥德巴赫猜想 / ３ ６
伽利略妙用反证法 / ５１
代数基本定理 / １０１
附 录 数学词汇中英文对照表 / １１７
3一方一药命关天 试验调查数据先
!! 4!
数据无言谁识得 精推细算系平安
第 章
!! !
典型统计案例
一方一药命关天 试验调查数据先
!! !
数据无言谁识得 精推细算系平安
!! !
一方一药命关天 试验调查数据先
!! !
数据无言谁识得 精推细算系平安
!! !
统计学是研究如何从数据中提取有用信息的科学 内
!! !
容包括如何收集和分析数据 基于统计学的数据处理方法
!
称为统计方法 在科学研究 工农业生产 新产品开发
! " " "
产品质量的提高乃至政治 教育 社会科学等各个领域
" " !
使用统计方法和不使用统计方法获得的结果是大不相同的
!
只要统计方法使用得当 往往能够得到事半功倍的效果
! !
这已成为统计学能随着科学技术和国民经济的发展而快速
统计学是研究如何从数据中提取有用信息的科学 内
!! !
发展的重要原因 时至今日 统计已成为世界上各个层次
容包括如何收集
!
和分析数据! 基于统计学的数据处理方法
!
的政府机构的重要支柱
称为统计方法 在科学研究 工农业生产 新产品开发
!
! " " "
产品质量的提高乃至政治 教育 社会科学等各个领域
" " !
使用统计方法和不使用统计方法获得的结果是大不相同的
!
只要统计方法使用得当 往往能够得到事半功倍的效果
! !
统计学是研究如何从数据中提取有用信息的科学 内
这
!
已
!
成为统计学能随着科学技术和国民经济的发展!而快速
容包括如何收集和分析数据 基于统计学的数据处理方法
发展的重要原因 时至今日! 统计已成为世界上各个层次
! !
称为统计方法 在科学研究 工农业生产 新产品开发
的政府机构的重!要支柱 " " "
产品质量的提高乃至政治! 教育 社会科学等各个领域
" " !
使用统计方法和不使用统计方法获得的结果是大不相同的
!
只要统计方法使用得当 往往能够得到事半功倍的效果
! !
这已成为统计学能随着科学技术和国民经济的发展而快速
发展的重要原因 时至今日 统计已成为世界上各个层次
! !
的政府机构的重要支柱
!
书书书
书书书
书书书第 ４ 章
典型统计案例
···············································
随机对照试验
!４"．#１!随机对照试验案例
!!
收集数据的方法之一是从总体中进行抽样 另外一个方法是在试
!! !
验中得到观测数据 为了能根据试验的数据对试验进行合理的分析
! !
需要对试验进行合理的安排
!
二维正态分布曲面 案例 坏血病的研究 世纪初期 长期在海上航行的水手
#! " #!" !
无论人们意识到与 经常患坏血病 坏血病的症状是牙龈肿大出血 皮肤上出现青灰的斑
! 否 ! 统计学存在于工农 ! !
!
点 英国海军部试图考察坏血病的起因 他们怀疑这是因为水手体内
业生产 国民经济和日
" ! !
常生活之中 不懂统计
缺少柑橘类水果中的某种成分造成的 当此想法提出时 刚好有 艘
!
可能会造成不知不觉的 ! ! #
损失 军舰要远航 为了调查水手是否由于缺少柑橘类的水果而导致坏血
! !
病 海军部设计了一次试验 随机地安排一艘军舰上的水兵每天喝柑
! $
橘汁 另外 艘军舰不供应柑橘汁
! $ !
试验的结果是 航行还没有结束 没有提供柑橘汁的水手多数得
$ !
!!!"#$%&’(
了坏血病 而提供柑橘汁的军舰没有发现坏血病 最后 提供柑橘汁
)*+,+-./01
! ! !
23456!7.89
的军舰不得不把携带的柑橘汁分给其他的军舰 以帮助他们顺利
:;<=>?@%&’ !
返航
()*+ABC"DE
!
%&’()*+)*F
尽管本次试验的计划还可以从各个方面进行改进 但是试验的结
GHIJKA+LM !
NO! 果成功地证实了最初的怀疑
!
PQ+RSTUV
在案例 中 我们称喝柑橘汁的水兵为试验组
WX!Y.DEZ[\ ! ! "%&’%()*%+,-.
;]+^_!:;<G 称不喝柑橘汁的水兵为对照组
/(01’#! "20+,(0./(01’#3
‘abcdef;gh
试验组由随机选择出的对象构成 试验组的成员要接受某种特殊
%&’()*+i!j !
klmn! 的待遇或治疗等 而对照组由那些没有接受这种特殊待遇的对象构
!
成 一个好的试验设计都应当有一个试验组和一个对照组
! !
在案例 中 如果没有对照组 为 艘军舰都提供柑橘汁 就没
! ! ! # !
有水兵患上坏血病 海军部就不能确认他们的最初怀疑 因为不能确
! !
定是否是其他的食品或治疗避免了坏血病
!
为什么试验组要随机抽取呢
%
设想在案例 中 如果安排喜欢喝柑橘汁的水兵在试验组 喜欢
! ! !
2
书书书
书书书
书书书
书书书第 ４ 章
典型统计案例
················································
喝啤酒的水兵在对照组 就不能确定研究开始前这两组水兵的身体状
!
况是否有差异 水手身体状况的差异也可能影响是否容易得坏血病
! !
随机选择试验组能够有效地抵消个体差异造成的对试验结果的影响
!
随机选择试验对象是英国统计学家费歇尔 的贡献 在
"!"#$%&# !
世纪初 他用此方法致力于农业试验的研究 从此随机选择试验
’( ! !
组成为安排试验的基本原则
!
案例 静脉吻合分流术 在一些肝硬化病例中 许多病人会
!! " # !
肝出血直至死亡 历史上有一种称为 静脉吻合分流术 的外科手术
! $ %
用于治疗肝硬化 其原理是运用外科手术的方法使血流改变方向 这
! !
种手术花费很大 并且有很高的危险性 值得做这样的手术吗
! ! &
为了解决上述问题 一共进行了三批共 次手术试验 第一批
! )* !
进行了 次无对照组的试验 结果如下
+’ ! ’
设计方法 试验次数 显著有效 中等有效 无效
+’ ’, - *
所占比例 ■ ■ ■
-) ’*./ +.*
试验说明有 ■的手术显著有效 ■的手术中等有效 看
!! -) !’*./ !
来手术是值得做的
!
第二批共进行了 次手术试验 这批试验有对照组 但是对照
*) ! !
组的病人不是随机选取的 医生根据病人的临床诊断情况决定是将病
!
人编入试验组做手术 还是编入对照组不做手术 结果如下
! ! ’
设计方法 试验次数 显著有效 中等有效 无效
*) *( + ’
所占比例 ■ ■ ■
00.- ’( *+.+
这次试验的结果是 ■的手术显著有效 ■的手术中等有
!! 00.- !’(
效 ■的手术无效 这个试验结果也是对 静脉吻合分流术
!*+.+ ! $ %
的肯定 这次的结果与无对照组的试验结果差别不是很大
! !
再看有随机选取对照组的第三批试验 这批试验共有 次手术
! , !
随机选取的方式可以是掷硬币 如果硬币正面朝上就将病人选入试验
!
组做手术 否则放入对照组不做手术 这次试验的结果如下
! ! ’
3
书书书第 ４ 章
典型统计案例
···············································
设计方法 试验次数 显著有效 中等有效 无效
! " # $
所占比例 ■ ■ ■
以上数据来源于 " %& ’&
!!
随机对照试验的结果显著地否定了外科手术 静脉吻合分流术
!"#$%&’"( )&*+$",%-
!! ! "!
+,$"’"./!!"#0$%"&’((#!
结果显示 没有随机选取对照组的前两批试验研究过分夸大了外
)*(+( (’&0 #
科手术 静脉吻合分流术 的价值 经过认真设计的有随机选取对照
! " !
组的实验研究显示 静脉吻合分流术 几乎没有什么价值
! " !
为什么会出现如此大的差别呢
$
在无对照组和非随机选取对照组的试验中 实验者根据病人的临
%
床诊断决定是否将他编入试验组进行手术 这样做就出现一种自然的
!
倾向 试验人员更倾向于将那些身体状态较好的病人选入试验组 以
# %
减少手术风险 其结果有利于对手术的肯定评价 这种结果是不真
! %
实的
!!!
对上述试验的跟踪观测发现 做手术的 个病人中 年后大约
% &# $
有 ■仍然活着 随机对照组中 没做手术的病人 年后大约也
(" % & ’$
有 ■的病人仍然活着 这就说明手术基本是无效的 而在非随机
(" ! !
对照组中 只有 ■的病人存活期超过 年 这就说明了非随机对
% !& $ %
照组中的病人健康情况较差 验证了健康情况较好的病人更容易被选
%
入试验组
!
随机安排对照组是十分必要的 否则可能得出错误的结论
! !
我们称随机选取试验组的对照试验为随机对照试验
!
在随机对照试验中 为了得到更真实的结果 有时还需要其他的
% %
手段配合
!
案例 年小儿麻痹症 脊髓灰质炎 袭击了美国 以后的
!!#)#( & ’ %
年间 受害者成千上万 世纪 年代 人们开始研究预防疫
!" % !%" &" %
苗 当时萨凯 培育的疫苗最有希望 他的疫苗在实验室中表
! &*+,-’ .
现良好 安全 产生对脊髓灰质炎病毒的抗体 但是在大规模使用前
# % !
必须进行临床试验 通过试验最后确定疫苗是否有效 只有这样才能
% !
达到保护儿童的目的
!
4
书书书
书书书第 ４ 章
典型统计案例
················································
当时采用了随机对照的研究方案 对每个儿童用类似投掷一枚硬
!
币的方法决定是否将他编入试验组 正面朝上分在试验组 否则分在
" !
对照组 除了试验的设计人员 连医生也不知道哪个儿童分在试验
! !
组 哪个儿童分在对照组
! !
然后给分在试验组的儿童注射疫苗 给分在对照组的儿童注射生
#
理盐水 让他们认为也被注射了疫苗 得到的结果如下
! ! "
试验人数 试验后的发病率
试验组 万
!" !#$$"""""
对照组 万
!" %$$$"""""
试验结果显示 疫苗将小儿麻痹症的发病率从 降低到
%$
!! !
$"""""
由于 和 的差别超出了随机性本身所能解释的范围
!#
! %$ !# !
$"""""
所以宣布疫苗是成功的
!
我们把对照组中的处理方法称为使用安慰剂 案例 中的安慰剂
! &
是注射生理盐水 给对照组的儿童使用安慰剂是为了避免儿童的心理
!
作用影响试验的结果 尽管可以认为光靠精神作用不能抵抗小儿麻痹
!
症 但是为了确认试验结果的可靠性 使用安慰剂是必要的
! ! !
不让医生知道儿童是来自试验组还是对照组 是为了使医生能够
!
作出更公正的诊断 避免在诊断儿童是否患有小儿麻痹症时受到心理
!
因素的影响
!
在许多场合 心理因素是不能忽视的 有资料显示 在医院中给
! ! !
那些手术后产生剧痛的病人服用由淀粉制成的 止痛片 后 大约有
% & !
的病人感觉剧痛减轻
$
!
&
练 习
某个社会团体的 名理事开会决定是否增选甲为新理事 哪种选举方式最能
$# !
体现与会理事们的真实意愿 哪种选举方式有利于甲入选理事会
’ (!!)! ’
5
书书书第 ４ 章
典型统计案例
···············································
!!!"
请同意增选甲为理事的举手 请不同意增选甲为理事的举手
!!" !!! !""
采用记名投票 采用无记名投票
!#" !!!!!!!!! !$"
习题
! !
举例说明采用随机对照试验的必要性
%! !
在评价一种治疗高血压的磁疗手表时 调查了 名刚开始使用这种手表的高
&! # %’’
血压患者 他们中有 人回答磁疗手表对降低高血压有效
# () !
能否作出这种磁疗手表对降低高血压的有效率是 ■的结论
!%" () $
设计一种能够公平评价这种磁疗手表的试验方案
!&" !
你的设计中试验组和对照组是随机选取的吗
!*" $
在你的设计中 使用 安慰剂 了吗 安慰剂是什么
!+" # % & $ $
在对参加试验的人进行高血压的测量时 能让医生知道被测者使用的是磁
!)" #
疗手表还是外观完全相同的普通手表吗
$
事件的独立性
４． ２ 事件的独立性
!"#!
!!
学习概率时 我们把试验的可能结果称为试验的元素 把元素构
元素作为试验的可
!! !! # #
能结果 又被统计学家
成的集合称为试验的全集 用 表示试验的全集时 的子集是
!
们称为试验的样本点 ! ! #!
事件
或
"!"#$%&’()*’#&# !
基本事件
设全集 中有有限个元素 如果 中每个元素发生的可
+
试验的全集 又 ! #""!! !
!! !
被统计学家们称为样本 能性相同 就称
#
空间
!!"#$%&!$"’&"! 中元素数
#!""$
"中元素数
!
为 发生的概率 简称为 的概率
" # " !
6
书书书
书书书
书书书第 ４ 章
典型统计案例
················································
在计算事件 的概率时 先计算全集 中元素个数 然后再计
! ! ! !
算事件 中元素个数 特别要注意 全集 中每个元素发生的可能
! " ! !
性必须相同
"
投掷一枚骰子和一枚硬币 骰子的点数和硬币是否正面朝上是独立
!
的 这时我们称投掷一枚骰子的试验和投掷一枚硬币的试验是独立的
" "
用 表示第一个试验的全集 用 表示第二个试验的全集
!! ! !" !
如果这两个试验是独立的 就称全集 和 独立
! !! !" "#$%&’&$%&$(#)
理论和试验都证明了以下结论
"
当事件的全集 和 独立 对于 和 有
!! !" ! "!!! #!!" !
$"""##%$""#$"##!
这时 我们也称事件 独立
! !!# "
例 投掷一枚骰子和一枚硬币 计算骰子出现 或 点 硬币
!# ! ! " !
正面朝上的概率
"
解 用 表示骰子的点数是 或 用 表示硬币正面朝上 则
# ! ! "! # !
独立 表示骰子出现 或 点 硬币正面朝上
!!# "!"# ! " ! "
! $ $
######$#!"#$%$#!$$##$% & % "
# ! #
例 同学甲的数学作业得优的概率是 同学乙的语文作业
"# %&’!
得优的概率为 今天同时留了数学和语文作业 计算甲的数学作
%&(" !
业得优 乙的语文作业没得优的概率
! "
解 用 表示甲的数学作业得优 用 表示乙的语文作业没有
# ! ! #
得优 则
!
$#!$%%&’!#$##$%$)%&(*%&+"
表示甲的数学作业得优 乙的语文作业没有得优 独立
!"# ! "!!# !
所以
$#!"#$%$#!$$##$%%&’,%&+*%&!""
全班 个同学同时随机地翻开数学书 用 表示第 个同学翻
"- ! ! ’
’
开的左面页数在 页或以下 则事件
+% !
!!!!%!!
$ ! "-
7
书书书第 ４ 章
典型统计案例
···············································
是相互独立的
!
对于 用 表示第 个试验的全集 如果这
!"!!"!"!#! ! ! $ #
!
个试验是相互独立的 就称这些试验的全集 是相互
! ! !! !"!!
! " #
独立的
$
理论和试验都证明了以下结论
!
如果试验的全集 是相互独立的 则对
!! ! !! !"!! !
! " #
%"! "%"! "#"%"!
! ! " " # #
有
&$%#%###%%"&$%%&$%%&#&&$%%$
! " # ! " #
这时 我们也称事件 是相互独立的
" """"#"" !
! " #
例 高中每个年级三个班的羽毛球水平相当 各年级举办班级
#! "
羽毛球比赛时 计算都是三班得冠军的概率
" !
解 用 表示第 年级的三班获得冠军 则 相互
! " $ " """""
$ ! " #
独立
!
!
%$"%&%$"%&%$"%& !
! " # #
事件
"&"#"#"
! " #
表示都是三班得冠军 由于 相互独立 所以
! """"" "
! " #
!!!!!!%$"%&%$"#"#"%
! " #
&%$"%%$"%%$"%
! " #
!
& $$%$#&!
##
例 一服装店出售标价为 元的夹克 售货员对前来问价的
$! !’$ !
顾客以 元推销成功的概率是 如果一小时内有两位顾客前来
!’$ $%’!
问价 计算服务员对这两位顾客都没有推销成功的概率
" !
解 用 分别表示对第一 第二位顾客没有推销成功 则
! """ ’ "
! "
独立 表示对这两位顾客都没有推销成功 利用
""" !"&"#" !
! " ! "
%$"%&%$"%&!($%’)$%"
! "
得到
8
书书书第 ４ 章
典型统计案例
················································
!!""#!!"!""#!!""!!""##$"%#$"&#$#’$
! " ! "
例 下围棋时 李浩每局赢张岚的概率只有 假设他们下
!" # #$’($
棋时各局的输赢是独立的
$
计算李浩连输 局的概率
!!" ) $
计算 盘棋中李浩至少赢 局的概率
!"" ) ! $
解 用 分别表示第 第 第 局李浩输 则
!!" "#"#" !# "# ) #
! " )
表示李浩连输 局
"#"!"!" ) $
! " )
因为事件 相互独立 并且
"#"#" #
! " )
!!""#!!""#!!""#!*#$’(&#$((#
! " )
所以李浩连输 局的概率是
)
!!""#!!""!!""!!""##$(()##$!++’$
! " )
的对立事件 表示李浩至少赢 局
!""" % ! $
本例中不考虑心理
!!%"#!*!!""##$,))+$
!!
说明 盘棋中李浩至少赢 局的概率还是很大的 因素的影响
!
) ! $
练 习
幸运抽奖活动中 中奖的比率是百分之一 计算
!$ # # %
随机抽取一张 没中奖的概率
!!" # &$
有放回地随机抽取 张 没中奖的概率
!"" ’#!## # &$
’
有放回地随机抽取 张 至少中奖一次的概率
!)" ’#!## # $
在彩票的公开摇奖活动中 购买一张彩票的中奖率是千分之一 包括各类小
"$ # !
奖 计算购买 张彩票不能中奖的概率
"$ ’ $
习题
" !
投掷一枚骰子和一枚硬币 计算骰子出现点数 和硬币反面朝上的概率
!$ # + $
9
书书书
书书书第 ４ 章
典型统计案例
···············································
假设每个人的生日在一年的 天中是等可能的 在全校随机选取两名同学
!! "#$ ! !
计算以下事件的概率
!
两位同学的生日都在 号
"%# $ $
一位同学的生日在 号 另一位的生日在 号
"!# $ ! & !
某人的手机在一天内收到 条短信的概率 如下
"! " # %
"
" ’ % ! " ( $ # & )
#" ’*’% ’*’# ’*%# ’*!$ ’*!$ ’*%& ’*’& ’*’! ’*’%
计算该手机明天和后天各收到 条短信的概率
"%# $ $
计算该手机明天和后天共收到 条短信的概率
"!# $ $
计算该手机明天和后天一共收到至多 条短信的概率
""# $ !
假设检验案例
案例 一条新建的交通干线全长 前半段 后半段
!! %’+,! $+,!
在刚刚通车的一个月中 后半段就发生了 起交通事故 而
$+,! ! ( !
前半段没有发生交通事故 能否认为后半段发生交通事故的概率比前
!
半段大
"
解 同一起交通事故发生在后半段就不能发生在前半段 就像硬
! !
币掷出反面时就不会出现正面一样 起交通事故的发生是相互独立
!(
的 它们之间没有联系
! !
如果前 后半段发生交通事故的概率相同 则每一起事故发生在
# !
后半段的概率都是 于是这 起交通事故都发生在后半段的概率是
’*$! (
’*$($’*’#!$!
这是一个很小的概率 一般不会发生 所以我们认为后半段发生交通
! !
事故的概率比前半段大
!
作出以上结论也是有可能犯错误的 犯错误的概率正是
! ’*’#!$!
这是因为当前后半段发生交通事故的概率相同 而 起交通事故又都
! (
10
书书书第 ４ 章
典型统计案例
················································
出现在后半段时 我们才犯错误 也就是说我们犯错误的概率等于前
! !
后半段发生交通事故的概率相同的条件下 起交通事故都出现在后
!!
半段时的概率 这一概率正是 于是 我们判断正确的概率
! "#"$%&! !
是 ■
’("#"$%&)*+#,& !
因此我们是以 ■的把握保证后 比前 更容易发生
*+#,& &-. &-.
交通事故
!
得到了上述结果后 交通管理部门很快在进入后半段的地点安放
!
了警示牌 前方是事故多发路段 请小心驾驶
" ! !
案例 一服装店出售标价为 元的夹克 售货员声称对前来
!! ’/" !
问价的顾客以 元推销成功的概率 现在一小时内有 位
’/" "#"#$! !
顾客前来问价 服务员对这 位顾客都没有推销成功 能否判定售货
! ! !
员的 不对
"#"#$ #
解 用 分别表示对第 第 第 第 位顾
! $!$!$!$ ’! %! +! !
’ % + !
客没有推销成功 则 相互独立
! $!$!$!$ !$#$ "$ "
’ % + ! ’ %
表示对这 位顾客都没有推销成功 利用
$"$ ! !
+ !
!!!!!!%$$%#’("#$)"#!!&#’!%!+!!
&
得到
%$$%#%$$%%$$%%$$%%$$%#"#!!#"#"%&$!
’ % + !
这是一个小概率事件 其发生的原因很可能是 不对 所
! "#"#$ !
以应当判定售货员的 不对 作出这个结论也可能犯错误 犯
"#"#$ ! !
错误的概率是 ■ 于是判断正确的概率是 ■ 因此 我
%#&$ ! *,#!! ! !
们以 ■的概率保证
*,#!! "#"#$!
案例 某地区的山羊患某种疾病的概率是 且每只山羊患
"! "#!!
病与否是相互独立的 现在为了判断一种新的预防药是否有预防作
!
用 随机选取了 只山羊做试验 这 只山羊用药后都没有得这种
! $ ! $
病 问此新药是否有效
! #
解 初看起来 只山羊用药后都没有得病 应当判断新药有效
! !$ ! !
但是细想一下 就会发现即使新药无效 只山羊也可能都不得
! !$
病 为了作出正确的判断 让我们假设新药无效 然后看看事实是否
! ! !
支持这个假设
!
11
书书书第 ４ 章
典型统计案例
···············································
用 表示第 只山羊不得病 则 相互独立
! " ! !!!!"!! !!#
" ! " #
表示 只山羊都不得病
!!!!"!! # $
! " #
假设新药无效 则 于是有
! %#!$#!$%&’(%&#!
"
%#!$#%#!!!!"!!$
! " #
#%#!$%#!$%"%%#!$
! " #
#%&##"%&%’#)$
这个概率很小 几乎不会发生 说明我们的假设有问题 于是我们否
! ! $
定原来的假设 认为新药是有效的
! $
否定新药无效也可能犯错误 但是犯错误的概率是 因
! %&%’#)$
为只有在新药无效的条件下 只山羊都不得病 我们才犯错误
!# ! $
案例 解决的问题是统计中的假设检验问题 先作一个假设
* $ &&&
新药有效 在这个假设下看看实际情况是否支持这个假设 如果在这
! !
个假设下小概率事件发生了 说明实际情况不支持这个假设 于是我
! !
们就否定这个假设
$
实际问题中经常将小于或等于 或 的概率视为小概
%&%+ # %&!$
率 这时否定 假设 犯错误的概率不超过 或
! ’ (! %&%+ # %&!$$
列联表独立性分析案例
!４"．#3# 列联表独立性分析案例
##
在许多实际问题中 我们需要考察两种因素的关系 例如
## ! $ !
患肺癌与吸烟是否有关
"
儿童语言能力是否与他们的性别有关
"
汽车司机不系安全带是否与发生车祸时司机遭受致命性伤害
有关
$
为了分析这些问题 我们需要用问卷调查或现场记录等方式获取
!
一批数据 例如 为了了解患肺癌是否与吸烟有关 就需要调查其他
$ ! !
条件都基本相同的 个人 将调查结果列成表 的形式 其中
& $ ’&! $ ’
表示 是否吸烟 表示 是否患肺癌
# $!( # $$
12
书书书第 ４ 章
典型统计案例
················································
表
!! !"#!!
患肺癌 不患肺癌 总 计
! " !#" !#"" !
吸烟
!$" % & %’&
不吸烟
!$#" ( ) (’)
总 计
! %’( &’) *
其中 是吸烟的总人数 是不吸烟的总人数
#%’& #(’) #
是患肺癌的总人数 是不患肺癌的总人数
%’( #&’) #
*+%’&’(’),
我们称类似 的表格为列联表 称 为两个因素 称 吸
!"# $ !#" # %
烟 和 不吸烟 为 的两个水平 称 患肺癌 和 不患肺癌
& % & ! # % & % &
为 的两个水平
" ,
由于所涉及的两个因素 均有两个水平 所以称表 为
!#" # !"#
列联表
$%$ ,
列联表 的独立性分析就是根据表中的数据分析因素 是
!"# !#"
否相互独立
,
下面我们通过对具体案例的分析学习列联表的独立性分析方法
,
案例 患肺癌与吸烟是否有关
! ’
为研究患肺癌是否与吸烟有关 从一批在年龄 生活和工作环境
# (
等方面相仿的男性中分别随机抽取了 名肺癌患者和 名非肺癌患
&’ !’
者 调查他们是否吸烟 调查结果列入表
# , !"$,
值得指出的是 这里要求被调查对象在年龄 生活和工作环境等
) (
因素方面尽量相同是为了避免这些因素对 是否患肺癌 的影响 因
% & #
为不同的年龄段或者不同的生活 工作环境等因素可能也会导致人们
(
易患肺癌 如果调查时不考虑这些因素 即使我们分析的结果是患肺
, #
癌与吸烟有关 也不清楚这种关系反映的是患肺癌与吸烟之间的关
#
系 还是由其他因素引起的关系
# ,
因此 只有尽量控制调查对象在其他方面尽可能一致 才能根据
# #
调查数据有效地分析患肺癌与吸烟的相关性 将上述调查数据列成
,
列联表 并计算出各行各列的和 得到表
$%$ # # !"$,
13
书书书第 ４ 章
典型统计案例
···············································
表 肺癌与吸烟的调查数据
!! !"# !!
患肺癌 未患肺癌 总 计
" ! !#" !#"" !
吸烟
!$" !" #$ $%
不吸烟
!$#" &# &$ %’
总 计
! ’( %( #((
从表 看出 在 个吸烟的人中有 人患肺癌 患者占
!"
!! %)& # $% !" # $
$%
■ 在不吸烟的 人中 有 人患肺癌 患者占 ■
&#
*&)&& $ %’ # &# # $%$)’$ %
%’
吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高出
■ ■ ■
*&)&& &%$)’$ ’&’)$* %
这种差异似乎已经说明吸烟与患肺癌有很大关系 但仔细想想 由于
% #
这 人是随机选取的 会不会由于随机抽样的误差使得所抽取的
#(( #
名肺癌患者中碰到了较多的吸烟者 而在 名非肺癌患者中碰到
’( # %(
了较多的不吸烟者 这样也可能导致吸烟者中肺癌患者的比例比不吸
%
烟者中肺癌患者的比例高
%
于是 我们还需进一步用统计方法说明单凭随机抽样的误差还不
#
足以造成如此大的差异
%
在本例中
(’!"#)’#$#*’&##+’&$#(,)’$%#*,+’%’#
(,*’’(#),+’%(#-’(,),*,+’#((%
为分析 是否独立 先假设 独立 也就是假设
"#! # . %"#! %
(
吸烟 与 患肺癌 独立 这时 与 独立 与 独立 与
& ’ & ’ % $ # #$# # #$ #"
独立 与 独立
#$# #" %
于是
!/!$%#"’/!$"/!#"#!/!$# %#"’/!$#"/!#"#
/!$%#""’/!$"/!#""#!/!$# %#""’/!$#"/!#""%
根据概率与频率的关系 知道
#
的估计为 的估计为
( *
/!$%#" 0 / $# ’ - ’()!"#/!$" %#" 0 / $"# ’ - ’()&##
的估计为 的估计为
) +
/!$%#"" 0 / $#"’
-
’()#$#/!$" %#"" 0 /
$#
’
-
’()&$%
的估计为 的估计为
(,) *,+
/!$" 0 /
$
’
-
’()$%#/!$#" 0 / $#’
-
’()%’#
14
书书书第 ４ 章
典型统计案例
················································
的估计为 的估计为
%&’ )&*
!!"" # !
"
$
(
$!"##!!"!" # ! "!$
(
$!"$+
因为假设 独立 所以
,#- # !." $" # ! ." / # ! . # ! " "# !.!" $" # ! .!" / # ! .! # ! " "#
都相应比较小 我们用
!."!$" # ! ."!/ # ! . # ! "!"# !." $" # ! ." / # ! .# # ! "!" #
$$$$" %$ # (! # % ." & # (! # % .#" & # (! # % ."! & # (! # % ."
! . ! " ! .#! " ! . ! "! ! .#! "! 这是 年皮尔
!! !"##
逊 引进
(!%*/)’"% !$%&’()*+,"
$ # 的统计量 有时为书
!%&)"!’&*"!%&’"!)&*"
!
-!
表示 的总体大小 当 成立时 取值应该比 写方便 也记作
!." $ !.#" $ !."! $ !." + 0 ! # " %
#
!
- "-!
较小 当 取值较大时 表示假设 不成立
# " % # 0 ! +
在本案例中 经过计算得到 的观测值为
# %
"
&!!!’()%*+&*)%&"%
$$$$$$" %$ %,"’&+
*$)$#)#!)$!
那么 是否太大呢
#
"
%$,"’& %
统计学家已经有明确的结论 如果 列联表中的两个因素
& %)% ,#
是独立的 即在 成立的情况下 且当随机调查的数据 当观测数据
- # 0 # %#)#’# !! !!"!
! 中有小于 的数
都不小于 时 随机事件 发生的概率约为 即 #!$ !
* * # ’ " %&#"#’*( !"!&# 时 ! 需采用很复杂的精
确的检验方法
!!
"
%&#"#’*"%!"!&+ %
也就是说 在 成立的情况下 的值大于 的概率非常
# 0 ! # " % #"#’*
小 近似于 即在 成立的情况下 对随机变量 进行多次
# !"!&+ 0 ! # " %
观测 观测值超过 的频率为
# #"#’* !"!&+
在本案例中 由调查数据所得到的 这件事发
#
"
%$,"’&’#"#’*#
生的概率 这是一个小概率事件
!!
"
%&,"’&"(!!
"
%&#"#’*"%!"!&+ #
因此我们有 的把握认为 不成立 即在本案例中发生的原因很
((- 0 #
!
可能是由于假定 患肺癌与吸烟独立 不对 于是否定 从而
这种思想类似于反
0 ! ’ ( + 0 ! # !!
证法
认为患肺癌与吸烟有关系
!
+
值得指出的是 我们在作出上述判断时也有可能犯错误 因为患
# #
肺癌与吸烟无关系时 的值仍有可能超过 但是这件事发生
#
"
% #"#’*#
的概率不超过 也就是说我们犯错误的概率不会超过
!"!&+ !"!&+
上面这种利用随机变量 来确定在多大程度上可以认为 两个
% ’
"
分类变量有关系 的方法称为两个分类变量的独立性检验
( +
15
书书书
书书书
书书书
书书书第 ４ 章
典型统计案例
···············································
利用独立性检验来考察两个分类变量 与 是否有关的具体做
! "
法是
!
提出假设 与 无关
"!# # !! " $
"
根据 列联表与公式 计算 的值
"## #$# ! ! # $
查对临界值 表 作出判断
"%# " &’%#% $
表
!"#
%" ! #!& " #"’(" "’&" "’#( "’!( "’!" "’"( "’"#("’"!""’""( "’""!
& "’&(("’)"*!’%#%#’")##’)"+%’*&!(’"#&+’+%()’*),!"’*#*
"
例如 如果 就有 的把握认为 与
!"!# ! #"!"’*#*% ,,’,- &! "
有关
’$
如果 就有 的把握认为 与 有关
"## ! #"+’+%(% ,,- &! " ’$
如果 就有 的把握认为 与 有关
"%# ! #"#’)"+% ,"- &! " ’%
如果 就认为没有充分的证据显示 与 有关
! ###’)"+% &! " ’$
例 用两种检验方法对某食品做沙门氏菌检验 结果如下 试比
$ % $
较两种方法和阴性结果是否有关系
$
阳性 阴性 合计
荧光抗体法
!+" ( !+(
常规培养法
#+ &* )&
合计
!*+ (% #%,
解 提出假设 两种方法与阴性没有关系
$ # ! $
"
由题意可知
%’(!+"%)((%*(#+%+(&*%’,)(!+(%*,
将它们分别代
+()&%’,*(!*+%),+((%%-(’,),*,+(#%,%
入公式得
-"’+.)*##
! #( "’,)#"*,+#"’,*#"),+# %!!%’!*($
查表 可知 即当 成立时
&’% %%" ! #!!"’*#*#%"’""!% # " %
的概率约为 或 而这里的 远
! #!!"’*#* "’""! " "’!-#% ! #%!!%’!*(
大于
!"’*#*$
因此 我们有 的把握认为它们之间有关系
% ,,’,- $
16
书书书第 ４ 章
典型统计案例
················································
练 习
为了了解高中生是否喜欢参加体育锻炼与性别之间的关系 调查者随机调查
!
了 名高中生的情况 调查结果如下 单位 人
!"" ! " # $#
喜欢参加体育锻炼 不喜欢参加体育锻炼 合 计
!
男
#$% &’ (&!
女
#)! #(" (!!
合计
))( #*’ !""
请问 高中生是否喜欢参加体育锻炼与性别之间有关系吗
# %
习题
! !
为了考察某种新药预防疾病的作用 进行动物实验得到如下观测数据
! !
患 病 未患病 合 计
! !
服用药
#! )! !"
没服用药
(& (* !"
合 计
! )$ *# #""
请问能有多大把握认为药物有效
%
17
书书书第 ４ 章
典型统计案例
···············································
一元线性回归案例
!４"．!４
!
一元线性回归案例
!!
案例 海牛是一种体型较大的水生哺乳动物 体重可达到
!! ! !
以水草为食 美洲海牛生活在美国的佛罗里达州 在船舶运
!""#$! ! !
输繁忙季节 经常被船的螺旋桨击伤致死 下面是佛罗里达州记录的
! !
年机动船只数量 和被船只撞死的海牛数 的数据
%&!!"%&&" " # !
年 份
! %&!! %&!’ %&!& %&’" %&’% %&’( %&’)
机动船只数量
" **! *+" *’% *&’ ,%) ,%( ,(+
被撞死的海牛数
# %) (% (* %+ (* (" %,
年 份
! %&’* %&’, %&’+ %&’! %&’’ %&’& %&&"
机动船只数量
" ,,& ,’, +%* +*, +!, !%% !%&
被撞死的海牛数
# )* )) )) )& *) ," *!
现在问
!! #
随着机动船只数量的增加 被撞死的海牛数是否会增加
$%% ! &
当机动船增加到 只 被撞死的海牛会是多少
$(% !," ! &
要解决上面的问题 先由数据画出散点图 横坐标是 纵坐标
! ! "!
是 见图
#! * %!
从数据散点图上看到 有随着 的增加而沿某一直线增加的趋
# "
$ $
势 直线确定了 问题 也就解决了 但这条直线应当如何确定呢
! ! $%% ! &
无论是从抽样调查中得到的成对数据 还是从科学试验 工农业
! ’
生产中得到的成对数据 在统计学中都被称为观测数据或样本 数据
! !
的个数被称为样本量
!
上面案例 中的 对观测数据称为样本 由图 的 个点
% %* ! * % %*
表示
!
样本量是 的成对观测数据用
%
$"!#%!$"!#%!(!$"!#%
% % ( ( % %
表示 这里 对固定的 和 来自相同的个体或是同一次试验的
! ! $!" #
$ $
18
书书书第 ４ 章
典型统计案例
················································
图 船只数量和被撞死海牛数的散点图
! "!
观测数据 对 和 来自不同的个体或是不同
! " ! "#!"$!%# "$!%#
" " # #
试验的观测数据
!
对于上述观测数据 我们用 表示数据 用
! $$% $!$!&!$!
" " # &
表示数据 用 和 分别表示 和
$%% %!%!&!%! $# %$ $$% $%%
" " # & " "
的均值 用 表示 的标准差 用 表示 的标准差
! ’ $$% ! ’ $%% !
$ " % "
再引入
$%)$%)&)$%
’ ( " " # # & &*$#%$!
$% &
定义 当 我们称
! ""# ’’"$!
$%
’
+ ( $%
$% ’’
$%
为 和 的相关系数
$$% $%% ’
" "
当 我们称 和 正相关
"## + %$! $$% $%% ’
$% " "
当 我们称 和 负相关
"%# + &$! $$% $%% ’
$% " "
当 我们称 和 不相关
"!# + ($! $$% $%% !
$% " "
理论上可以证明相关系数 的以下性质
+ (
$%
总是在区间 中取值
""#+ )*"!"* ’
$%
当 越接近于 时 增加 也倾向于增加 这时数据
"## + " !$ !% !
$%
"$!%#!"$!%#!&!"$!%#
" " # # & &
分散在一条上升的直线附近
’
当 越接近于 时 增加 倾向于减少 这时数据
"%# + *" !$ !% !
$%
19
书书书第 ４ 章
典型统计案例
···············································
!!""#"!!""#"$"!!""#
! ! " " # #
分散在一条减少的直线附近
$
图 至图 分别是 和 之间正相关和负相关的
# " # $ %!& %"&
% %
举例 样本量都是
$ %&$
& !&
!"
图
# "
20
书书书第 ４ 章
典型统计案例
················································
! !!
"#
图
" #
从图中看出当 时 有随着 的增加而增加的趋势 这
"" ! #!$% !# " $
"#
时我们认为 和 是高度正相关的 当 时 有
""# "## $ ! !&!$% !#
% % "#
随着 的增加而减少的趋势 这时我们称 和 是高度负相关的
" $ ""# "## $
% %
现在我们来解决本节开始的案例中的两个问题
$
为解决问题 先计算机动船只数量 和被撞死的海牛数
$&%! ""#
%
的相关系数
"## ! $
% "#
21
书书书第 ４ 章
典型统计案例
···············································
本案例中 经过计算得到
!
!!"!"#$!!#"#%&$’(!$#))$!"!$#**$#!!$ #&#&$("%
! # !#
于是相关系数
&#&$("
& # #,$&’*%%
!# ))$!"+**$#!
说明被撞死的海牛数 和机动船只数量 高度正相关 所以只要机
# ! %
动船数增加 被撞死的海牛数就会增加
! %
为了解决问题 需要为数据建立回归直线 设回归直线是
"%#! %
$$$$$$’$#"(!)*%
我们可以认为 和 满足以下的关系
# ! $
+ +
#"(!)*),!+"*!%!%!-
+ + +
其中的 表示随机误差 我们称上述的模型为一元线性
,!,!%!, %
* % -
回归模型
"-./0122032044.5/6570-#%
解决一元线性回归模型的方法是求出直线 这里的直线 就是
’! ’
以前学习的回归直线
%
利用最小二乘法得到的 的最小二乘估计是
(!*
$ &#&$("
(" !#" #,$*%!!
$% ))$!"%
!
*"#".(!!#%&$’(8,$*%!+!"#$!#8’*$!%
回归直线是
’$#",$*%!!.’*$!%
回归直线的图形见图
’ ’%
图 船只数量和被撞死海牛数的回归直线
’ ’$
$
22
书书书第 ４ 章
典型统计案例
················································
当机动船增加到 条时 被撞死的海牛数的预测值是
!"# !
只
!"#$%&"’!"#()%$"!"& " ##
例 下面是我国 年出口贸易额 百亿美元 和我国
" %**#$&### $" #
百亿元人民币 的数据
+,-!" # #
年 份
" %**# %**% %**& %**. %**) %**"
$ /$&% !$%* 0$)* *$%! %&$%# %)$00
! %0"$)0 &%/$%0 &//$.0 .)/$.) )/!$"* "0)$!0
年 份
" %**/ %**! %**0 %*** &###
$ %"$%% %0$&* %0$.! %*$)* &)$*&
! /!0$0" !))$/. !0.$)" 0&#$/0 0*)$)&
试建立 与 之间的回归直线
! $ #
解 根据收集的数据作散点图 图
" " ) "##
图 出口贸易额和 数据散点图
) "" +,-
从图 看出 集中在一条直线附
) " " "$!!#"%"%!&!%!%%#
% %
近 因此可以用线性回归模型
!
!"&$’(’)!%"%!&!%!*
% % %
来描述 之间的关系 描述了随机误差造成的影响 其中也包
$!! #) !
%
括了观测误差 经计算
#
$#!%)$#&!!$!"))$).!+!"$/!!+!&)!$/!!+ !%.!&$#*#
$ ! $!
相关系数
%.!&$#*
, ! !#$*!!#
$! &)!$/!’"$/!
23
书书书第 ４ 章
典型统计案例
···············································
所以 和 是高度正相关的 说明外贸出口带动了 的增长
!! " # !"# !
可以计算出 的最小二乘估计
$!%
’ %&’$()*
%& !"! !-$(,.!
’$ +(,’$
!
$&""(%!#!+--(-&/-$(,.0%-()$!/+&(*-!
于是 回归直线为 见图
! "&-$(,.!(+&(*- " - ,##
图 出口贸易额和 的回归直线
- ,$ !"#
已知 年的出口贸易额 由回归直线知 年 的
$))% $ !&$,(,%! $))% !"#
预测值为
百亿元人民币
"!-$(,.0$,(,%/+&(*-!%).%(’’" ##
练 习
下表是从某大学随机抽取的 名女大学生的身高 和体重 的数据
. !"12# ""34# $
编号
% $ & - + , ’ .
身高
! %,+ %,+ %+’ %’) %’+ %’+ %++ %’)
体重
" -. +’ +) +- ,- ,% -& +*
试求出 与 之间的回归直线 并预报一名身高为 的女生的体重
" ! ! %’$12 #
24
书书书第 ４ 章
典型统计案例
················································
习题
! !
很多人关心比萨 斜塔的倾斜状况 下面是 年至 年比萨斜塔
!! !"#$%" # !&’( !&)*
的测量记录 其中的倾斜值是指塔上某个固定点与其初始位置的距离 为了简
! !
化数据 表中只给出小数点后面第 至第 位的值 例如把 简化成
# + , # +-&*,+.
*,+!
年份
" !&’( !&’’ !&)/ !&)+ !&), !&)*
倾斜值
# *,+ *(* *)) *)& ’!’ ’,+
画出数据的散点图
!!" !
计算年份 和倾斜量 的相关系数
!+" " # !
如果不对比萨斜塔进行维护 它的倾斜情况是否会逐年恶化
!0" # $
建立回归直线 在散点图中补充回归直线
!," # !
对 年的倾斜值进行估计 并
!(" !&’*#!&’)#!&’&#!&)!#!&)0#!&)(#!&)’ #
和以下的真实测量值进行比较
!
年份
" !&’* !&’) !&’& !&)! !&)0 !&)( !&)’
倾斜值
# *,, **’ *’0 *&* ’!0 ’+( ’(’
新兴电脑公司有 名产品推销员 其工作年限与年推销金额数据如下表
+! ) # %
推销员编号
! + 0 , ( * ’ )
工作年限 年
"! " 0 + !/ ( ) , , )
年推销金额 万元
#! " ++ !) &( ,/ ’( ,( ,/ ’)
求年推销金额 关于工作年限 的相关系数
!!" # " &
求年推销金额 关于工作年限 的线性回归直线
!+" # " &
分别估计工作年限为 年和 年时的年推销金额
!0" ’ !! !
25
书书书第 ４ 章
典型统计案例
···············································
正态分布
很早以前 人们不知道圆周率 我们也假设 是未知的 为了
! " ! #!
研究圆的直径和周长的关系 需要对圆的周长进行测量 在测量前
! ! !
用 表示测量值 称 是随机变量 测量后得到 的取值
" ! " ! " !
由于各种随机因素的存在 例如测量本身的随机误差等 使得对
! !
直径相同的圆的测量会得到不同的结果
!
进行大量的独立重复测量后就得到了大量的测量值 理论和试验
!
都证明这些测量值的样本方差会稳定在一个固定的数值 附近 我们
!! !
称 为随机变量 的方差 或测量的方差 用 表示
!! " ! ! #""# !
我们把 槡 叫作随机变量 的标准差 或测量标准差 在
!$ #""# " ! !
一些实际问题中 标准差 是已知的 标准差未知时 可以用多次测
! ! ! !
量值的样本标准差近似
!
根据标准差的性质知道 越小表示测量的精度越高 越大表
!! !!
示测量精度越低 所以 表示的是测量的精度
! ! !
例 对于直径 的圆测量了它的周长 次 得到的测量数据
! "#$ %& !
如下 单位
" $#$#$
’("’’!’("&)!’("%%!’("%*!’("!*!’("+,!’("+,!’("%&
’("%)!’("%,!’("’-!’(",+!’("’&!’("),!’("’-!’("%%
’("+’!’("%’!’("%"!’("!,!’("%)!’("",!’(",+!’("*%
’("!)!’(",-!’("+*!’(""&!’(""’!’(",+!’("’%!’(",,
’(",)!’(",+!’("+*!’(",,!’("+,!’("")!’("%"!’("’)
求其样本均值和样本标准差
!
解 样本均值是
!
’("’’.’("&).%.’("’)
%"$ $’("%, "#$#!
%&
样本标准差是
26
书书书第 ４ 章
典型统计案例
················································
槡
!!"#!!$!"#%&"’#!!"#()$!"#%&"’###!!"#!)$!"#%&"’
!!"
%(
"("(#)!*+"$
由于测量的次数已经较多 在测量误差的标准差 未知时 可以用测
$ ! $
量数据的样本标准差代替测量的标准差 即认为
$
!"("(#) !*+"$
高斯 最早研究了测量误差问题 引入了
!,-.//$#000%#)&&" $
标准正态密度 曲线
!123+-4*51/678"
’
# %
"
!%""槡 5&’!&’#%##’"$
’!
其中的 约等于 图 是标准正态密度函数 的
5 ’"0#)$ % 0 ("" !%"
图形
$
图 标准正态密度曲线
% 0!
标准正态密度曲线 有如下的特点
!! " !%" &
曲线关于 轴对称
!#" ( ’
在 处达到最大值
!’" " !%" %"( ’
曲线和 轴所夹的面积等于
!!" % #’
用 表示曲线阴影部分的面积 见图 则
!%" #!)" ! % 0"$
#!)"##!&)""#$!#!&)""#$#!)"$
用 表示测量值时 如果测量误差仅由随机误差造成 就称测
* $ $
量没有系统偏差 这时我们称被测物体的真实值 是随机变量 的
$ $ *
数学期望或均值 记作
$ +!*""$$
由于 是测量值 所以对实数
* $ )$
!*&$ "
$)
!
27
书书书第 ４ 章
典型统计案例
···············································
是随机事件 下面的定理给出了这个事件发生的概率
! !
定理 用 表示测量值 的数学期望 用 表示测量的
! ""##$! # ! "
标准差 则有如下的结果 对于实数
! ! %!
"!#&
!#’!
"%
"
$#"%#$
"
""#&
!#’!
#’%
"
$#"%#$
"
"##
当
%#$!&
!$#’!$
"%
"
$"#"%#’!!
"
在统计上经常用到 的情况 人们已经计算出
%$!%&’ !
#"!%&’#$$%&()!!"#"!%&’#’!*$%&)!
于是
!$#’!$ "
& "!%&’ $$%&)!
"
我们称定理中的随机变量 服从数学期望是 标准差是 的正
# ! ! "
态分布
"+,-./01234-25642,+#!
对直径等于 的圆测量的周长是 设测量的标准差是
!1. #! "$
用 表示真正的周长 下面估计 的大小
$%$!7 "1.#! ! ! ! !
根据上述性质得到
&
!$#’!$
"!%&’
"
$"#"!%&’#’!*$%&)!
"
说明事件
%$#’!$"!%&’"&$
#$#’!$
"!%&’
$
"
发生的概率是 也就是说测量值 离真值 的距离小于
$%&)! # ! !%&’"
的概率是
$%&)!
如果测量值是 将 代入 得到
#$#%!##! "$$%$!7 !
$#%!##8!$"!%&’9$%$!7*$%$#)"7!
上式发生的概率是
$%&)!
28
书书书第 ４ 章
典型统计案例
················································
!!!!!
小结与复习
随机对照试验 随机选取试验组和对照组是安排试验的
!"#! !
基本原则 随机对照试验是指随机选取试验组和对照组的试验 我
! !
们把对照组中的处理方法称为使用安慰剂
!
事件的独立性 如果事件 是相互独立
!"$! ! """"#""
! " #
的 则
"
$$""""#""%%$$"%$$"%&#&$$"%!
! " # ! " #
列联表 在许多实际问题中 经常需要考察两种因素之
!"%! ! "
间的关系 列联表的独立性分析方法是检验所述的两个因素是否独
!
立的有效方法
!
回归直线 当 和 的相关系数 的绝对值 较
!"!! ! ’&( ’(( ) #)#
’ ’ &( &(
大时 可以用一条直线描述数据 和 的关系 这条直线就是回
" ’&( ’(( "
’ ’
归直线 用
!
*!(%+&,-
表示这条回归直线时 其中的 可以用下面的公式进行计算
" -"+ !
.
+% &("!-%($/+&%!
."
用回归直线进行预测 &得到回归直线后 只要 与 高度
! " ’&( ’((
’ ’
相关 即只要相关系数 对于新的 就可以用回归直
" #)#&#$%" &"
&(
线 对 进行预测 事实证明 越接近于 预测
(%+&,- ( ! !#) # !"
&(
就越准确 越接近 预测也越好
)& &%" !
29
书书书第 ４ 章
典型统计案例
···············································
复 习 题 四
在对一种新的安眠药进行药效评估时 调查了 名开始使用这种药的人 结
!! ! "# !
果有 人认为新药比常用药更有效
!$ !
能否作出新药比常用药更有效的结论
"!# $
如果不能作出上述结论 应当采用怎样的试验方案
""# ! $
如何安排对照组和试验组
"%# $
本例中是否应当使用安慰剂
"&# $
早在 多年前 美国通用电器公司成立了由社会学家和公司人事部成员组成
"! ’# !
的研究组 研究组的任务是考察照明程度对生产灯泡的工人的生产率有何影
!
响 研究中发现 增加照明度后产量增加 但是奇怪的是降低照明度后 产量
! ! ! !
也增加 原因是
! "!!#
工人们对研究组的研究工作有了反应
"(#
增加照明度确能提高生产率
")#
降低照明度确能提高生产率
"*#
电视台在公布招聘多名节目主持人后 收到了 份符合条件人员的申请简历
%! ! % !
根据以往的经验 每个符合条件的人员在面试时能够被录用的概率是 设
! #+$!
每个申请者能否被录用是相互独立的 面试这 个申请者时 计算
! % ! %
个申请者都被录用的概率
"!#% &
只有一个申请者被录用的概率
""# !
某广告声称一种新药的治疗有效率是 ■ 如果随机抽取的 个病人用药后都
&! ,# ! -
无效 能否认为广告不真实
! $
下表是 年美国佛罗里达州 个地区的人命案中被告是否被判死刑
-! !.’$’!.’’ "#
30
书书书第 ４ 章
典型统计案例
················································
的 个宣判结果 对是否判死刑和被告的肤色是否有关进行独立性分析
!"# $ $
已知
! %!
!
!!!"#$%"&$"&$"
判刑
死刑 非死刑 合计
被告
白人
&’ &(& &%$
黑人
&# &(’ &%%
合计
)% !’$ )!%
每门高炮击中飞机的概率是 要以 ■的把握击中飞机 需要几门高炮
%$ $"*# ’’ # $
某跳高运动员跳过 的概率 不计每次试跳消耗的体能 计算
#$ &"*+ ’&$"*$ # %
他首次试跳成功的概率
!&" &
第 次试跳才首次成功的概率
!!" ) &
要以 ■的概率跳过 至少需要试跳多少次
!)" ’’ &"*+# $
31
书书书5
第 章
推理与证明
久病成医信不虚 庖丁解牛未足奇
! !
青山踏遍寻真谛 斗室神游识玄机
! !
力学定律通宇宙 几何公理贯中西
! !
有理有据走天下 文章千古叹神笔
! !
推理与证明 是数学的基本思维过程
" # !
也是人们生活和学习中经常使用的思维方式
!
推理一般包括合情推理和演绎推理 本章将
!
通过对已学知识的回顾 进一步体会合情推
!
理 演绎推理以及二者之间的联系与差异
$久病成医信不虚 庖丁解牛未足奇 !
体会数学证明的特点! 了解数学证明的!基本
青山踏遍寻真谛 !斗室神游识玄机
方法 ! !
力!学定律通宇宙 几何公理贯中西
! !
有理有据走天下 文章千古叹神笔
! !
推理与证明 是数学的基本思维过程
" # !
也是人们生活和学习中经常使用的思维方式
!
推理一般包括合情推理和演绎推理 本章将
!
通过对已学知识的回顾 进一步体会合情推
!
理 演绎推理以及二者之间的联系与差异
$ !
体会数学证明的特点 了解数学证明的基本
!
方法
!
书书书
书书书第 ５ 章
推理与证明
··················································
合情推理和演绎推理
!５"．#１!合情推理与演绎推理
!!
推理是人们思维活动的过程 我们把从一个或几个已知的判断推
!
出新判断的思维过程称为推理
!
本节将介绍人们在日常生活和科学研究中经常使用的两种推理
合情推理和演绎推理
""" !
!! ! 5 " . # 1 " . # 1 ! 合 归 情 纳 推理（一）———归纳
合情推理 的意思是 合乎情理 的推理
#$%&’()*%+,+&(-.)./$ % & !
在日常生活中 律师对案情的论证分析就是合情推理 数学中的合情
! !
推理有多种多样 最常见的就是归纳和类比
! !
用手扔出的石子 它要掉下来 再扔一个玻璃球 它也要掉下
! ! !
来 再扔一个苹果 它还是要掉下来 我们会想到 不管扔的是什么
! ! ! ’ 在物理 化学 生
!! ! !
东西 它都是要掉下来的 进一步去想这是为什么 想到最后 认为 物 医学等许多实验科
! ( ! ! !
学的研究中 用归纳推
是由于地球有引力 但是 我们并没有把每件东西都扔上去试一试 "
! ! ! 理来验证一条定律 一
!
试了若干次 就认为可以相信这是普遍规律 条假说是常有的事 理
! ! !
论对不对 用实验 来
像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫作归 "
验证
!!
纳 农谚 瑞 雪 兆 丰
#).0’12)-.$! #
年 霜下东风一日晴
归纳常常从观察开始 一个生物学家会观察鸟的生活 一个化学 $"# $
! ! 等 就是农民根据多年
"
家会观察晶体的形状 一个数学家会观察数和形 的实践经验进行归纳的
! !
结果
例 观察下列等式
!
!! ’
#3#4!
!
#56344!
"
#565!364!
#
#565!57384!
$
#565!57593!4!
%
))
!%&$&#&"&!’#(
33
书书书
书书书
书书书第 ５ 章
推理与证明
·················································
通过对上面几个式子的观察 我们可以推测这样一个结论 对任
! "
何正整数 等式 恒成立
! !"#"$"#"$%!"!%#!% $
例 探求凸多面体的面数 顶点数 棱数之间的关系 欧拉公
!! & & $
式的发现
%$
欧拉曾观察一些特殊的多面体 如立方体 三棱柱 五棱柱 四
欧 拉
! ! !!"#$%" ! & & &
瑞士数学
&’(’#&’)*$" 棱锥 三棱锥 五棱锥 八面体 塔顶体 截角立方体等 如图
家 物理学家 欧拉是数 & & & & & ! $ !$
% !
学史上最多产的数学 我们将每个多面体的面数 顶点数 棱数 列成下表
%& && ’ "
家 而且涉猎广 人们把
" " 多 面 体 面数 顶点数 棱数
他称为 数学界的莎士 ! ! $%% $&% $’%
& 三棱锥
比亚
& & ’
’! 四棱锥
$ $ (
三棱柱
$ ’ )
五棱锥
’ ’ !*
立方体
’ ( !%
八面体
( ’ !%
五棱柱
+ !* !$
截角立方体
+ !* !$
塔顶体
) ) !’
十二面体
!% %* #*
二十面体
%* !% #*
运用归纳推理的一
!!
般步骤为 首先 通过观
! "
察特例发现某些共性或
一般规律 然后 把这种
# "
共性推广为一般性命题
猜想 最后 对所得出
$ %# "
的 一 般 性 命 题 进 行
检验
!!
图
$ !
34
书书书
书书书
书书书第 ５ 章
推理与证明
··················································
首先考虑特殊的多面体的面数 顶点数与棱数 并思考如下问题
! " #
面数是否随着顶点数目的增大而增大 否 如塔顶体与截角
$!% & "
立方体
!
棱数是否随着面数 或顶点数目 的增大而增大 否 如八
$"% $ % & "
面体与五棱柱 塔顶体与截角立方体
" !
进一步考虑 尽管 和 均非始终如一地随着 的增大而增大
# " # $ "
但总趋势似乎是增大的 即 是在不断增大的 那么是否有 任
" "%# ! ’
何多面体的面数加顶点数与棱有同增趋势
(&
由表中数据可知均成立
#
#%"&$’"!
从而 欧拉得出猜想 任意多面体的面数 顶点数 棱数
" # "! #! $
满足
#%"&$’"
后来欧拉证明了这个猜想是正确的 这就是著名的欧拉公式
" !
用归纳推理可以帮助我们从具体事例中发现一般规律 但是应该
!
注意 仅根据一系列有限的特殊事例所得出的一般结论不一定可靠
" "
只是一种合情推理 其结论正确与否 还需要经过理论的证明和实践
" "
的检验
!
例 设 取 则
!! ($)%’)"%)%!!" )’!"""#")"$"
($!%’!#"!($"%’!%"!($#%’"#"
($&%’#!"!($’%’&!"!($(%’’#"
($%%’(%"!($)%’)#"!($$%’!*!!
可以看出 这些值都是质数
" !
从这些特殊情况似乎可以归纳出 当 为正整数时
# ) "($)%’)"%
的值都是质数 但经过进一步检验却发现这个结论是错误的
)%!! ! !
事实上 当 时 这是个合数
" )’!* "($!*%’!*"%!*+!!,!"!" !
尽管由归纳推理所得的结论未必是可靠的 还需进一步检验 但
" !
它由特殊到一般 由具体到抽象的认识功能 对于科学发现却是十分
! "
有用的 观察 实验 对有限的资料做归纳整理 提出猜想 乃是科
! ! " " "
学研究的最基本的方法之一
!
35
书书书第 ５ 章
推理与证明
·················································
哥德巴赫猜想
观察
!"#$#!
%"#$&!
’("#$)"&$&!
’*"&$)!
’+"#$’’")$)!
’!"#$’#"&$’’!
""
归纳猜想 任何一个大于 的偶数都可以表示成两个奇素数之
! +
和 这就是著名的哥德巴赫猜想 这个猜想至今没有得到证明
! ! !
练 习
右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的
’! ! ’
称为杨辉三角形 根据图中的数构成的规律 所表示
’!*!’
! !"
的数是
’!#!#!’
!!!!! ’!+!"!+!’
观察下列等式
’!&!’(!’(!&!’
*! "
’##’*!
’#$*###*!
’#$*#$###!*!
’#$*#$##$+##’(*!
##
想一想 等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系 猜一猜可以
! $
引出什么规律
!
36
书书书第 ５ 章
推理与证明
··················································
习题
! !
下列各列数都是依照一定的规律排列 在括号里填上适当的数
!! ! !
"!#!!"!#!!$!!%!"!!#$
" ! $ !$ $"
"&# ! ! ! !"!!#! (
!& $ ’ !& !&
已知数列 的第 项 且 " 试归纳出这个
&! %"& ! "$!! " $ # "#$!!&!$!’#!
# ! #%! !)"
#
数列的通项公式
!
应用归纳推理猜测 槡 的值
$!!!!!!!!!!!!!!!’!!*!&!&&!’!& "#"! #!
$#个% $#个% %
&# #
如图 图 是棱长为 的小正方体 图 图 是由这样的小正方体摆
’! " &! "+# ! ! ",#( "-#
放而成 按照这样的方法继续摆放 自上而下分别叫第 层 第 层 第
! ! ! ! & !’!
层 第 层的小正方体的个数记为 解答下列问题
# ! # &! )
#
图
" &
按照要求填表
"!# !
# ! & $ ’ ’
& ! $ . ’
#
"&#& $ !!!!!! ! "$#&$ !
!/ #
设 计算 的值
"( ’"##$#&%#%’!"#"! #! ’"!#!’"&#!’"$#!’!’"!/# !
%
同时作出归纳推理 并用 验证你的猜想是否正确
! #$’/ (
37
书书书第 ５ 章
推理与证明
·················································
求凸 边形的内角和
!! " !
图 中 为四个平面图 数一数 每个平面图各有
"!!#" $ % !&"#!’"#!("#!)" ! $
多少个顶点 多少条边 它们围成了多少个区域 请将结果填入下表
% % % &
图
$ %
顶点数 边 数 区域数
!
!&" * ! %
!’"
!("
!)"
观察上表 推断一个平面图的顶点数 边数 区域数之间有什么关系
!+" $ # # !
现已知某个平面图有 个顶点 且围成了 个区域 试根据以上关系
!%" ,,, $ ,,, $
确定这个图有多少条边
!
38
书书书第 ５ 章
推理与证明
··················································
!!
!5". #1". $2
!
合类情比推理（二）———类比
传说木工用的锯子是鲁班发明的 有一天鲁班到山上去 手指突 这种仿照生物机制
! ! !!
的类比 到了近代 便发
然被一根丝毛草划了一下 划破了一道口子 他想 一根小草怎么会 ! !
! ! ! 展成了一门新兴的学
这样厉害呢 鲁班仔细一看 发现草叶子的边缘生着许多锋利的小 科 即近代仿生学 例
" ! ! !
如 潜水艇的设计思想
齿 鲁班立即想到 如果照着丝毛草叶子的模样 用铁片打制一把带 !
! ! ! 来自鱼类在水中浮沉之
利齿的工具 用它在树上来回拉 不就可以很快地将树割断吗 回去 生物机制的类比
! ! " !
类比是一种相似
后他马上打了一把这样的工具 这就是锯子 !! !
! ! 即类比的对象在某些部
聪明的鲁班在这里所使用的推理方法称为类比 类比 分或关系上的相似 在
#%&%’()*$! !
文学艺术与科学研究中
是根据两个不同的对象在某方面的相似之处 推测出这两个对象在其
! 都充满了类比 类比用
!
他方面也可能有相似之处 如根据带齿的草叶与带齿的铁片结构相 得好 在文学作品中可
! !
使文章大为生色 在科
似 由前者能划破手指 推出后者能割断树木 例如 代数中根据分 !
! ! ! ! 学研究中可引出新的
式与分数都具有分子 分母这个相同的形式 从而推出分式具有分数 发现
% ! !
相似的性质 分式可以如分数一样进行化简和运算 这就是类比
! ! !
例 长方形和长方体 如图 所示
!! ! ! + !
问君能有几多愁
! "
恰似一江春水向东流
#
李煜 用的就是类比
$ % !
图
! +
长方形的每一边恰与对边平行 而与其余的边垂直 我们在学习立体几
! ! !!
何时常常可以类比平面
长方体的每一面恰与对面平行 而与其余的面垂直
! ! 几何 将在平面几何中
!
这两种几何图形间可以建立类比关系 如下表所示 成立的结论进行推广
! ! !
得到许多类似的结论
长 方 形 长 方 体 !
! ! ! !
每相邻两棱互相垂直
每相邻两边互相垂直
每相邻两面互相垂直
对边互相平行 对棱互相平行
对边长度相等 对棱长度相等
39
书书书
书书书
书书书
书书书
书书书第 ５ 章
推理与证明
·················································
续表
!!
长 方 形 长 方 体
! ! ! !
对角线相等 对角线相等
对角线互相平分 对角线互相平分
对角线的平方等于长与宽的平方和 对角线的平方等于长 宽 高的平方和
! !
面积等于长与宽的乘积 体积等于长 宽 高的乘积
! !
!"#$ %"#$&
例 著名的欧姆定律是德国物理学家欧姆在 年把电传导
!! !! !"#$
系统与热传导系统作类比而导出的 电流 与热量 相当 电压
’ ( ) " *
同温差 相当 电阻 与比热容 的倒数相当
!+ " , & ’
电传导系统 热传导系统
电流 热量
(# $ ) # $
电压 温差
* # $ !+ # $
电阻 比热容的倒数
!
, # $ # $
&
在热传导系统中有关系式
!! %
是质量
)"-&!+ #- $’
于是 就可猜想在电传导系统中有关系式
" %
*
(" "
,
这就是欧姆定律
’
例 医药试验不宜直接在人体上进行 老鼠 猴子与人在身体
"! ’ !
结构上具有类似之处 于是 有理由相信 在这些动物身上的试验结
" " "
果类似于在人体上试验的结果
’
练 习
线段 三角形与四面体 如图 所示
!’ ! " % % ’
线段是直线 一维空间 上的最简单的封闭图形 它由两点围成
# $ " ’
三角形是平面 二维空间 上的最简单的封闭图形 它可以看作平面上一条线
# $ "
40
书书书第 ５ 章
推理与证明
··················································
段外一点与这条线段上的端点连线所围成的图形 如果我们把线段叫
! !!
一维单形 三角形叫二
四面体是空间 三维空间 上的最简单的封闭图形 它可以看作 !
! " # !!!!!! 维单形 四面体叫三维
!
的封闭图形
单形 那么单形的概念
!!!!!!! ! !
可以推广到高维空间中
去了 例如我们可以考
!
虑四维单形 五维单形
"
等等
!
图
! !
这三种图形之间可以作类比 这种类比是在不同维数的空间中进行的
# !
把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比 试由 平行四边形对边相等
"! # $ %
得出平行六面体的相关性质
!
习题
! !
平面上的圆与空间中的球的类比
#! !
平面几何中的概念 立体几何中的类似概念
圆 球
圆的切线
圆的弦
圆的周长
圆的面积
圆的性质 球的性质
圆心与弦 非直径 中点的连线垂直
! "
于弦
与圆心距离相等的两弦相等 与圆心
&
距离不等的两弦不等 距圆心较近的
&
弦较长
’’ ’’
41
书书书
书书书第 ５ 章
推理与证明
·················································
将椭圆与双曲线相应概念 性质作类比 填写下表
!! ! " #
椭圆 "! %! 双曲线 "! %!
$ ’" $#!&!#% ( ’" $#!#"&!#%
#! &! #! &!
对称性 轴 轴 原点 对称性
$" !% ! % """"""
焦点 槡 焦点
$)*"#%"*’ #!(&! """""""
离心率 离心率
*
+’ #" """"""
#
长轴 !+,$其中焦准距 &!% 实轴
!#’ ,’ """""""
"$+! *
短轴 !+, $其中焦准距 &!% 虚轴
!&’ 槡 ,’ """""""
"$+! *
椭圆上一点 处的切线方程
-$"
#
"%# % 双曲线上一点
-$"
#
"%# %
处的
为 切线方程为
" # " $ %#% ’" """"""
#! &!
判断下列推理是否正确
%! !
类比与归纳一样 把 与 类比 则有
!! ! $"% #$&$*% &’(# $"$%% " #
也是一种合情推理 其
!
结论正确与否 必须经 """"""" ""&’(# $"$%%’&’(# "$&’(#%!
!
把 与 类比 则有
过严格的证明 $!% #$&$*% )*+$"$%% " #
!
"""""" """)*+$"$%%’)*+"$)*+%!
把 与 类比 则有
$%% $#&%. $#$&%. " #
""""""" ""$#$&%.’#.$&.!
""
,5-. "1-. %3 "演演绎绎推推理理
演绎推理 与归纳推理的过程相反 它是从一
$./.012*3/*+4/5/+1/% "
般到特殊的推理
!
演绎推理的主要形式就是由大前提 小前提推出结论的三段论式
!
推理
!
42
书书书
书书书第 ５ 章
推理与证明
··················································
例 大前提 马有四条腿
!! ! "
小前提 白马是马
! "
结 论 白马有四条腿
! ! !
这是三段论式推理常用的一种格式 可以用以下公式来表示
# !
是
"$#%" #&# 三段论式推理的根
!!
是 据 用集合的观点来讲
$$"%$是"&
! 就是
!
若集合 的所有
!
$$#%$ #& " !
元素都具有性质
三段论的公式中包含三个判断 "!#
! 是 的子集 那么 中
! ! #
第一个判断称为大前提 它提供了一个一般的事实或道理 所 有 元 素 都 具 有 性
# "
质
第二个判断称为小前提 它指出了一个特殊情况 "$!
# "
这两个判断联合起来揭示了一般事实或道理和特殊情况的内在联
数学理论都是用演
系 从而产生了第三个判断 结论 !!
绎推理组织起来的 每
# $$$ ! !
一个数学理论都是一个
演绎推理是一种必然性推理 演绎推理的前提与结论之间有蕴含
# 演绎体系 最典型的例
!
关系 因而 只要大前提 小前提都是真实的 推理的形式是正确的 那
子就是欧几里得几何
! # ’ # # !
它是建立在五组公理之
么结论必是真实的 但错误的前提可能导致错误的结论
! ! 上的演绎体系
!
例 用三段论证明
"! !
直角三角形两锐角之和为
!"#!
证明 因为任意三角形三内角之和为 大前提
! $%"## % &
而直角三角形是三角形 小前提
!!! # % &
所以直角三角形三内角之和为 结论
!!! $%"#! % &
设直角三角形两锐角为 和 则上面结论可表示为
! " #
!%"%!"#&$%"#!
因为等量减等量差相等 大前提
# % &
而 是等量减等量 小前提
!%!%"%!"#&’!"#&$%"#’!"#! # % &
所以 成立 结论
!!%"&!"#! ! % &
这里用了两次三段论进行推理 在数学中有时要用很多次的三段
#
论来证明一个命题 数学命题的证明过程就是一连串三段论的有序组
!
合 只是为了简洁 往往略去大前提或小前提 甚至有的大前提 小
! # # ’
前提全省略 如
!
完整式
!
43
书书书
书书书
书书书第 ５ 章
推理与证明
·················································
一切直角都相等 大前提
!! ! " #
这两个角是直角 小前提
!! ! " #
所以 这两个角相等 结论
!! ! ! " #
省略式
$
因为这两个角是直角 小前提
!! ! " #
所以这两个角相等 结论
!! ! " #
或省略式
$
两个直角相等 结论
!! ! " #
例 设
!! ""#!#$%&"$#&"$’!#&"$’##%#& "#&!
" ! # $’! $
求证
$&#&#%#&%#$!
" ! $
证明 由假设可知
!
!!!""#!#$%&"$#&"$’!#&"$’##%#& "#&!
" ! # $’! $
大前提
" #
取 小前提
!!"%!! " #
即得
!!!!!!#$%&#&#%#&!
" ! $
练 习
用三段论证明 矩形的两条对角线互相平分
$ !
习题
! !
把下列各个推理还原成三段论
!
因为 和 是等腰 的两底角 所以
!! "(&) "()& #(&) ! "(&)%"()&!
44
书书书第 ５ 章
推理与证明
··················································
三点可以确定一个圆 因为它们不在同一直线上
!!"!#!$ ! !
一圆周角所对的弦是直径 则它是直角
"! ! !
用三段论证明
#! "
同一平面内 如果两条直线都和第三条直线垂直 那么 这两条直线平行
! ! ! !
!!
$5%. &1%. #4 !合合情情推推理理与与演演绎绎推推理理的的关关系系
古希腊亚历山大城有一位久负盛名的学者 海伦 约
### $’()*+!
世纪 有一天 一位远道而来的将军向他请教一个问题 海伦 古希腊数学
& %! ! " !! !
家 物理学家 天文学
从 地出发到河边饮完马再到 地去 在河边哪个地方饮马可 " "
" # ! 家 他发现了光学中的
!
使路途最短 如图 反射定律
& $ ,! !
图
$ ,
海伦巧妙地类比光的反射原理给出了下面的解法
"
要解决的问题是 如何在 上选出一个点 使 最短
" %& ’! "’(#’ !
用合情推理的方法设想答案 从 到直线上一点 再从 到
" " ’! ’
恰似光线的反射 因为光走最短路线 由此猜想 最短路线应该像
# ! ! !
光的反射线
!
用合情推理构思证明 如果把 看成镜子 把点 看作一只
" %& ! #
眼睛 从镜子里看点 的像点 点 应该在镜子的背后 并且点
! " ")! ") !
在 的延长线上
") #’ !
45
书书书
书书书第 ５ 章
推理与证明
·················································
由此先作点 关于 的对称点 连接 交 于
! "# !$! %!$! "# &!
点 即为所求
& ’
图
! "
用演绎法证明如下
"
如图 所示 在 上任取一点 异于点 则
! " ! "# &$ # &$! !&$(
从而
!$&$!!&(!$&!
!&$)&$%(!$&$)&$%!!$%(!$&)&%(!&)&%’
由此可知 到 经 点距离最短
"! % & ’
在探索自然规律时 首先要确定一个目标 或者提出一个要解决
! !
的问题 然后通过日常的实践 分析和合情推理 总结出一个预期的
% & !
解决方案或猜想 最后还需对此猜想作出严格的证明 证明的过程中
% ’
则需要按演绎推理的规则进行 证明完前一步 下一步又该如何演
! !
绎 仍需依靠合情推理提供思路 直至完成全部证明
! ! ’
波利亚曾指出 数学的创造过程是与其他知识的创造过程一
#$ "’
样的 在证明一个定理之前 你先得猜想这个定理的内容 在你完全
! ! !
作出详细的证明之前 你先得猜想证明的思路 你要先把观察到的结
! ’
果加以综合 然后加以类比 你得一次又一次地尝试 数学家的创造
! ! ’
性成果是论证推理 演绎推理 即证明 但这个证明是通过合情推
# $! ’
理 通过猜想而发现的
! ’(
46
书书书第 ５ 章
推理与证明
··················································
直接证明与间接证明
!５"．#２!直接证明与间接证明
!!
!!
!"#"$!直接证明! 分析法与综合法
5. 2. 1 直接证明：分析法与综合法
走迷宫 游戏要求人们从入口处走到迷宫的出口处 人们习惯
! " #
于 顺推 即从 入口 开始依次在各个岔口来回试探 碰壁后再
! "# ! " #
调整路线 这样反复试探 最终可以找到 出口 如果倒过来走
# # ! "! #
即从 出口 倒推到 入口 有时更容易办到
! " ! "# !
在数学证明中 就有这样的两种方法 一种是由已知走向求证
# $ #
即从数学题的已知条件出发 经过逐步的逻辑推理 最后达到待证结
# #
论或需求的问题 称为综合法 另一种则是反过
综合法的由因导
# %%&’()*%+%,*()-.&’
法法
来 由求证走向已知 即从数学题的待证结论或需求问题出发 一步 果 有如从长江源头顺
!
# # #
流而下 一直到达上海
一步地探索下去 最后达到题设的已知条件 称为分析法 !
的长江口
# # %/’/0&%+%
"
综合法和分析法是直接证明的两种基本方法 分析法的执果索
,*()-.&! ! 因 有如从上海沿长江
例 如图 在直三棱柱 中 !
逆流而上去寻找长江的
!! ! 1# "#$ "#$ #"# "#$#
$ $ $ $ $
试用综合法和分析法证明 源头
"#%$$# $"$""#" !
$ $ $
图
! 1
证法一 综合法
!
连接 在直三棱柱 中
"#" "#$ "#$ #&"#%$$%###
$ $ $ $ $ $
四边形 为正方形
’ "##" " ’"#""#"
$ $ $ $
又 平面 故
"#"#$#’"#" "#$# "#""$"
$ $ $ $ $ $ $ $
又 平面 故
##""$#’"$" ""### "$""#"
$ $ $ $ $ $ $ $ $
证法二 分析法
!
47
书书书
书书书第 ５ 章
推理与证明
·················································
连接
!""
!
平面
!#!!""!#! !!""
! ! ! ! ! !
平面 直棱柱定义
$!#!"""""! !"#"
! ! ! ! ! ! !
"# 平面
%!
!
#
!
!!"
!
"!"
!
! !
!
"#
!
"
已知
$!"!"# ! "#
! !
"# 是正方形
%!"
!
!!
!
""!
!
!""
!
"!"$##
!
$""
!
"
由此 命题得证
# %
从上例可以看出 分析法的特点是 从 未知 看 需知 执
# $ % & % &#
果索因 逐步靠拢 已知 其逐步推理 实际上是要寻找它的充分
# % &% #
条件 综合法的特点是 从 已知 看 可知 逐步推向 未知
% $ % & % &# % &#
由因导果 其逐步推理 实际上是寻找它的必要条件
# # %
例 求证 槡 槡 槡 槡
!& $ #& $’ %& &%
分析 用综合法不太容易想到解决这类问题的途径 所以用分析
& #
法探求证明途径
%
证法一 分析法
&
槡 槡 槡 槡
&&&&&&&& #& $’ %& &
槡 槡 槡 槡
"!#& $"#’!%& &"#
槡 槡
"’(# !)’’(# !*
槡 槡
" !)’ !*
"!)’!*%
最后一个不等式成立 故原不等式成立
# %
基于上述分析法的证明 我们还可以给出例 的综合法证明
# # %
证法二 综合法
&
&&&&&&&&!)’!*#
槡 槡
( !)’ !*#
槡 槡
(’(# !)’’(# !*#
槡 槡 槡 槡
(!#& $"#’!%& &"#%
因为槡 槡 槡 槡 所以槡 槡 槡 槡
#& $)+#%& &)+# #& $’ %& &%
在上例中 我们很难想到从 入手 用综合法比较困
# %!)’!*& #
48
书书书第 ５ 章
推理与证明
··················································
难 因此先用分析法探索证明的途径 然后用综合法的形式写出证明
有时也将综合法
! ! !! !
过程 这是解决数学问题的一种常用方法 分析法结合起来 就好
"
! ! 像有两个人 一个人从
"
入口走向迷宫的出口
"
一个人从迷宫出口走向
练 习
入口 争取在某处相会
" !
分别用综合法与分析法证明
"
两个不相等的正数的算术平均数大于它们的几何平均数
!! !
设 为不全相等的正数 求证
#%$&" $%"&# "%#&$
"! "!#!$ ! " % % !#!
" # $
习题
" !
分别用综合法与分析法证明
"
如图 在平行四边形 中
!! $ %! ’()* !(+,+)!’-,-*!
求证
"(.,./,/*!
图
$ %
如果 为实数 那么 0" !
"! 0 ! # !
!&0’ "
设 均为正实数 且 求证
#! "!# ! "$#! ""#%##!""#%"#"!
分别用综合法与分析法证明
"
如图 在平行四边形 中 于 于
’! $ !(! ’()* !’.%(* .!)/%(* /!
49
书书书
书书书第 ５ 章
推理与证明
·················································
求证 是平行四边形
!!"#$ %
图
! "#
求证 槡 槡 槡
!% ! $% &!’ !%
""
!5(. ’2(. ’2
"
间间接接证证明明：!反反证证法法
间接证明不是从正面确定论题的真实性 而是证明它的反论题为
"
假 或改证它的等价命题为真 以间接地达到目的 反证法是间接证
" " %
明的一种基本方法
%
例 如图 所示 直线 平行于平
!" ! "" " &
面 是过直线 的平面 平面 与 相交于
!" " & " ! "
直线 求证 直线 平行于直线
’( ! & ’(
证明 假设命题的结论不成立 即 直
" " #
线 不平行于直线 由于直线 在同
图
& ’$( &"’ ! ""
一平面 中 且直线 不平行 则直线 相交 设交点为
" " &"’ " &"’ ( ("
又点 在直线 上 故点 在平面 上 所以 直线 与平面 相交
( ’ " ( ! ( " & !
于点 这与条件 直线 平行于平面 矛盾 因此 假设不成立
(( # & !$ ( " "
成语故事 自相矛
!! ! 故原命题成立
盾 中 以子之矛攻子 (
" #!
之盾 正是采用了反 上述证明没有从原命题的已知条件出发去推出结论 而是先假设
"# "
证法
!! 原命题的否定成立 从这个假设出发 经过推理 得出与已知事实相
" " "
矛盾的结果 这个矛盾的结果说明原命题结论的否定不成立 从而间
" "
接肯定了原命题结论成立 像这样一种间接证法 称为反证法
% "
%)*+,-./01.0234,)+/.5&%
学习反证法应把握它的一般步骤
!
反设 假设所要证明的结论不成立 而设结论的反面成立
%"& ! " ’
50
书书书
书书书第 ５ 章
推理与证明
··················································
归谬 由 反设 出发 通过正确的推理 导出矛盾 与已
这相当于增加了一
!!" # $ % & & ’’’
!!
知条件 已知的公理 定义 定理 反设及明显的事实矛盾或自相矛盾 个已知条件 无异于雪
!
& ( ( ( ) 中送炭
"
结论 因为推理正确 产生矛盾的原因在于 反设 的谬
!"" # & $ %
误 既然结论的反面不成立 从而肯定了结论成立
& & !
运用反证法的关键在于导出矛盾
!
例 求证 槡是无理数
!! # ! !
用反证法证明如下
#
反设 假设槡 是有理数 不妨设槡
#
为互质的正
! ! & !" !$&#
$
整数
"!
归谬 由反设有槡 故 必是 的因数 于是可
! !$"#"#!"!$!& ! # &
设 为正整数 所以 故 又是 的因
#"!%!% ""!$!"#%!& $!"!%!& ! $
数 因此 有公因数 这与 为互质的正整数相矛盾 槡
! $&# !& $&# ! !!!"# !$%&!
结论 假设槡是有理数不成立 故槡是无理数 ’()*+,#-.
! ! & ! ! /!01234567
在应用反证法证题时 必须按 反设 归谬 结论 的思路进
"$%&89%&$!
& $ ’ ’ %
行 这就是应用反证法的三步曲 但叙述上可以简略每一步的名称 :.;<=>?@$A
& & ! BCDEFG!
例 若 求证
"! &#$&’#$&&"(’""!& #&(’$!!
证明 假设 则
! &(’#!&
!!!!!&"(’" "!&(’"!&!)&’(’!"
"!&(’"*!&(’"!)"&’+#!%!!!)"&’"!
*&"(’""!&+!#!%!!!)"&’"!+&’#&!
又 槡 这与 矛盾 故假设不成立
&"(’"%! &"’"&+&’$&& &’#& & !
+&(’$!!
伽利略妙用反证法
年 意大利 岁的科学家伽利略 为了推翻古希腊哲学家
&’() ! !’ !
51
书书书
书书书
书书书
书书书第 ５ 章
推理与证明
·················································
亚里士多德的 不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比
! "
的错误论断 他除了拿两个重量不同的铁球登上著名的比萨斜塔当众
#
做实验来说明外 还运用了反证法加以证明
# $
假设亚里士多德的论断是正确的 设有物体 且
! "### "重 !
则 应比 先落地 现把 与 捆在一起成为物体 则
#重# " # ! " # "$##
故 比 先落地 又因 比 落得快
%"$#&重!"重# "$# " ’ " # #"##
在一起时 应减慢 的下落速度 所以 又应比 后落地
## " # "$# " !
这样便得到了自相矛盾的结果 这个矛盾之所以产生 是由亚里士多
! #
德的论断所致 因此这个论断是错误的
# !
练 习
已知直线 和平面 若 且 求证
%!& !! %"!!&#!! %$&! "%$!!
习题
% !
已知 求证 中至少有一个不小于
!
!! ’#($)("$%($&! "&’#!$&!&’#"$&!&’##$& !
"
已知 为实数 且 求证
"! %!&!*!+ !%$&)!!*$+)!! %*$&+!!! "%!&!*!
中至少有一个是负数
+ !
已知 求证 不可能
#! $’%’"!$’&’"!$’*’"! "%#"%&$!&#"%*$!*#"%%$
都大于
!!
若 是奇数 则方程 不可能有整数根
&! ,!- ! ("$,($-)$ !
52
书书书第 ５ 章
推理与证明
··················································
!!!
小结与复习
一 指导思想
!
!!
推理与证明 是数学的基本思维过程 也是人们生活和学习
! " #
中经常使用的思维方式 推理一般包括合情推理和演绎推理
! !
证明通常包括逻辑证明和实验 实践证明 数学结论的正确性
$ !
必须通过逻辑证明来保证 即在前提正确的基础上 通过正确使用
# #
推理规则得出结论
!
在本章中 通过对已学知识的回顾 进一步体会合情推理 演
# # $
绎推理以及二者之间的联系与差异 体会数学证明的特点 了解数
% #
学证明的基本方法 包括直接证明和间接证明的方法 感受逻辑证
# %
明在数学以及日常生活中的作用 养成言之有理 论证有据的习
# $
惯 通过本章的学习 开发灵性 掌握方法 深入到数学的精髓
! # # # !
二 内容提要
!
!!
合情推理与演绎推理
!! !
合情推理是根据已有的事实和正确的结论 包括实验和实践的
&
结果 以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程 归纳
’# # $
类比是合情推理常用的思维方法 在解决问题的过程中 合情推理
! #
具有猜测和发现结论 探索和提供思路的作用 有利于创新意识的
$ #
培养 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论 包括定义 公
! & $
理 定理等 按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程 培养
$ ’# !
和提高演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标 合
!
情推理和演绎推理之间联系紧密 相辅相成
# !
归纳
&!’ !
归纳是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模式
!
53
书书书第 ５ 章
推理与证明
·················································
归纳有以下几个特点
!
归纳是依据特殊现象推断一般现象 因而 由归纳所得的结
! " "
论超越了前提所包容的范围
#
归纳是依据若干已知的 没有穷尽的现象推断尚属未知的现
" $
象 因而结论具有猜测的性质
" #
归纳的前提是特殊的情况 所以归纳是立足于观察 经验或
# " $
实验的基础上的
!
类比
%!& !
类比是在两类不同的事物之间进行对比 找出若干相同或相似
"
点之后 推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种推理
"
模式
!
类比有以下几个特点
!
类比是从人们已经掌握了的事物的属性 推测正在研究中的
! "
事物的属性 它以旧有认识作基础 类比出新的结果
" " #
类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性
" #
类比的结果是猜测性的 不一定可靠 但它却具有发现的
# " "
功能
!
在运用类比推理时 其一般步骤为 首先 找出两类对象之间可
" ! "
以确切表述的相似性 或一致性 然后 用一类对象的性质去推测另
% &# "
一类对象的性质 从而得出一个猜想 最后 检验这个猜想
" # " !
演绎推理
%"& !
演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式
!
演绎推理的主要形式 就是由大前提 小前提推出结论的三段
" $
论式推理 三段论式推理常用的一种格式 可以用以下公式来
! "
表示
!
是
"’#%" #&"
是
$’"%$是"&
!
$’#%$ #&
三段论推理的根据 用集合论的观点来讲 就是 若集合
" " ! "
的所有元素都具有性质 是 的子集 那么 中所有元素都
#"$ " " $
54
书书书第 ５ 章
推理与证明
··················································
具有性质
!"
三段论的公式中包含三个判断 第一个判断称为大前提 它提
! "
供了一个一般的事实或道理 第二个判断叫小前提 它指出了一个
# "
特殊情况 这两个判断联合起来 揭示了一般事实或道理和特殊情
# "
况的内在联系 从而产生了第三个判断 结论
" $$$ "
直接证明与间接证明
!" "
直接证明 分析法与综合法
%"& ! "
分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法
"
而综合法则是从原因推导到由原因产生的结果的思维方法 具体地
"
说 分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发 一步一步地探
" "
索下去 最后达到题设的已知条件 综合法是从数学题的已知条件
" #
出发 经过逐步的逻辑推理 最后达到待证结论或需求问题
" " "
间接证明 反证法
%!& ! "
对于反证法 法国数学家 阿达玛 这样
" !" %#$%$&’(’)’*(&
说过 反证法在于表明 若肯定定理的假设而否定其结论 就会
!’ ! "
导致矛盾 这是对反证法极好的概括
"( "
反证法证题的一般步骤
!
反设 假设所要证明的结论不成立 而设结论的反面成立
! ! " #
归谬 由 反设 出发 通过正确的推理 导出矛盾 与
" ! ’ ( " " $$$
已知条件 已知的公理 定义 定理 反设及明显的事实矛盾或自
" ) ) )
相矛盾
#
结论 因为推理正确 产生矛盾的原因在于 反设 的谬
# ! " ’ (
误 既然结论的反面不成立 从而肯定了结论成立
" " "
三 学习要求和需要注意的问题
!
!!
学习要求
"" "
结合已学过的数学实例和生活中的实例 了解合情推理的
%"& "
含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 体会并认识合情推理
" "
在数学发现中的作用
"
结合已学过的数学实例和生活中的实例 体会演绎推理的
%!& "
55
书书书第 ５ 章
推理与证明
·················································
重要性 掌握演绎推理的基本模式 并能运用它们进行一些简单
! !
推理
!
通过具体实例 了解合情推理和演绎推理之间的联系点和
"!# !
差异
!
结合已经学过的数学实例 了解直接证明的两种基本方法
""# !
分析法和综合法 了解分析法和综合法的思考过程及特点
$$$ % !
结合已经学过的数学实例 了解间接证明的一种基本方法
"## !
反证法 了解反证法的思考过程 特点
$$$ % & !
需要注意的问题
$! !
应通过实例 运用合情推理去探索 猜测一些数学结论
"%# ! & !
并用演绎推理确认所得结论的正确性 或者用反例推翻错误的猜
!
想 重点在于通过学习具体实例理解合情推理与演绎推理 而不追
! !
求对概念的抽象表述
!
要认识到观察 归纳 类比 猜想 证明是相互联系的
"$# & & & & !
在数学学习中综合运用它们 在探讨某些问题时 可以先从观察入
! !
手 发现问题的特点 形成解决问题的初步思路 然后用归纳 类
! ! % &
比方法进行试探 提出猜想 最后用逻辑推理方法 例如数学归纳
! % "
法 进行推证 以检验所提出的猜想
# ! !
本章中设置的证明内容是对已学过的基本证明方法的总
"!#
结 应通过学习实例 认识各种证明方法的特点 体会证明的必要
! ! !
性 对证明的技巧性不作过高的要求
! !
四 参考例题
!
!!
例 在平面上有 条直线 任何两条都不平行 并且任何三
!! " ! !
条都不交于同一点 问这些直线把平面分成多少部分
! ’
解 设 条直线分平面为 部分 先观察特例 有如下结果
! " # ! ! (
"
" % $ ! " # & )
# $ " ’ %% %& $$ )
"
与 之间的关系不太明显 但 有如下关系
" # ! #$# (
" " "$%
56
书书书第 ５ 章
推理与证明
··················································
! ! " # $ % & !
" " $ ’ !! !& "" !
!
"#" " # $ % & !
! !#!
观察上表发现如下规律
!! ""#" $!#!$"$#$!%%
! !#!
这是因为在 条直线后添加第 条直线被原 条直线截
!#! ! !#!
得的 段中的任何一段都将它所在的原平面一分为二 相应地增加
! $
部分 所以 即 从而
! $ " $" &!$ " #" $!% " #" $"$
! !#! ! !#! " !
将上面各式相加有
"#"$#$"#"$$$!$"#" $!%
# " $ # ! !#!
"#"$"(#(!(!%
! !
所以
!"$"&"(#(!(!$"("(#(!(!
! !
!
$!(#!("(!(!%$!( !#!&!%%
"
注 也可由如下观察发现 由上表知
!" $ ""$!(!$"$!(
! ! "
依此类推 便可猜
!("$"$!(!("(#$"$!(!("(#($$ $
# $
想到
!
"$!(!("(#(!(!$!( !#!&!%%
! "
例 费马大定理
!! %
我国早在商周时代 约公元前 年 就已经知道了不定
# !!)) %
方程
’"&("$)"
至少有一组正整数解
"’$#$($$$)$%%
法国数学家费马 在阅读古希腊数学家
#*+,-./$!&)!&!&&%%
丢番图的 算术 一书的第 卷第 命题 将一个平方数分为两个
’ ( ! 0 )
平方数的和 时 他想到了更一般的问题 费马在页边空白处写下
* $ $
了如下的一段话
"
将一个立方数分为两个立方数的和 一个四次方数
! "
分为两个四次方数的和 或者一般地将一个 次方数分为
" !
两个同次方数的和 这是不可能的 关于此 我确信已找
" % "
57
书书书第 ５ 章
推理与证明
·················································
到了一个真正奇妙的证明 可惜这儿的空白太小 写不下
! ! !"
这段叙述用现代数学语言来说 就是
!
当整数 时 方程
" "!! !
#"$%"&’"
没有正整数解
#!
这就是著名的费马大定理 这个结论费马认为可以证明 但并
! !
没有给出证明过程 这个困惑了世间智者 多年的猜想 终于在
! "#$ !
年获证
%&&# !
复 习 题 五
观察下面的几个算式 找出规律
%! ! $
%’!’%()
%’!’"’!’%(&
%’!’"’)’"’!’%(%*
%’!’"’)’#’)’"’!’%(!#
%%
利用上面的规律 请你迅速算出
! $%’!’"’%’&&’%$$’&&’%’"’!’%(
""""""!
如图 所示 由火柴杆拼成的一列图形中 第 个图形由 个正方形组成
!! # %! ! ! " " !
通过观察可以发现 第 个图形中 火柴杆有 根 第 个图形中 火柴杆
$ ) ! & " !
有 根
!
图
# %!
58
书书书第 ５ 章
推理与证明
··················································
观察图 中各正方形图案 每条边上有 个圆点 第 个图案中圆
!! " #! ! """!$# ! "
点的总数是
#" !
$ $ $ $
$ $ $ $ $
$ $ " $ $ " $ $ "%%
$ $ $ $ $ $ $ $ $
"$$ #$% "$! #$& "$% #$#$
$ ! %
图
"""""""" " #!
按此规律推断出 与 的关系式为
# " !
"
某地区原来森林木材的存储量为 每年增长率为 ■ 因生产建设的需要每
%! %! $" !
年年底要砍伐的木材量为 设 为 年后该地区森林木材的存储量 请归纳
&! % " !
"
推理 的表达式
% !
"
用三段论证明
"! &
在梯形 中 求证
’()* !’*#()!’($*)! &$($$)!
用综合法证明
’! &
若 为不全相等的三个正实数 则
%!&!+ !
"%,&#"&,+#"+,%#%&%&+!
分别用分析法 综合法和反证法证明 槡 槡 槡
(! ’ & !) (&$) ’!
用反证法证明
&! &
若 为正整数 且 则槡 槡
%!&(*!" ! "!$! " %! " &!
四个小动物换座位 开始是鼠 猴 兔 猫分别坐 号位上 如图
+! ! ’ ’ ’ #!$!!!% "
第一次前后排动物互换座位 第二次左右列动物互换座位 这样
" #%#! ! !%!
交替进行下去 那么第 次互换座位后 小兔坐在第 号座位上
! $**" ! !
鼠 猴 兔 猫 猫 兔 猴 鼠
# $ # $ # $ # $
兔 猫 鼠 猴 猴 鼠 猫 兔
! % ""! % ""! % ""! %
开始 第一次 第二次 第三次
图
" #%
59
书书书第 ５ 章
推理与证明
·················································
分别用综合法 分析法和反证法证明
!"! ! "
若 为互不相等的正数 且 则
! !
"## # "$#%!# $ !#!
" #
圆内两条非直径的弦相交 试证它们不能互相平分
!!! # !
设 用三段论
!$! $&$’%(%%"&($%!&()!’$%$&()$’$$&$%()!&’()!$%(’(#
( ( ( ( (
证明
"
$!%%( ")%( !$%( $)%( &$&$$)!%(%( (%"’
$$%%( "$!’&%($%( !&$!’&%()!$%( $&$$!’&%()$$&$%( (&(%!!
用三段论证明
!&! "
若 是不等于 的实数 则函数 的图象关于直线 对称
&)"
" ! # ’% ’%& !
"&)!
已知数列
!#! "
! ! ! !
# # #&# #&
!($ $(& &(# ($($!%
为其前 项和 计算 由此推测计算 的公式 并给出证明
* ( # *#*#*# * # !
( ! $ & (
将直角三角形与直四面体进行类比 把勾股定理推广到三维空间的形式
!)! # !
已知正三角形内任一点 到三条边的距离之和等于三角形的高 我们可以猜
!*! + !
测正四面体内任意一点 到四个面的距离之和等于多少 并给出证明
+ ( !
证明 任何面积等于 的凸四边形的周长及两条对角线的长度之和不小于
!+! " !
槡
#,$ $!
已知 且 求证
!-! &""$,%!#$#&#(%# &$&$&$&%!! "
, ! $ (
槡 槡 槡 槡
!# &$ &$&$ &#(!
! $ (
提示 由 槡 类比证明
$ " $ &&#&$&%! %
! $ ! $
角谷猜想 也称 问题
!.!$ # &&$! !%
任取一个大于 的自然数 反复进行下述两种运算
$ # "
若是奇数 就将该数乘以 再加上
$!% # & !’
若是偶数 则将该数除以
$$% # $!
例如 对 反复进行这样的运算 有
# & #
&$!"$)$!*$-$#$$$!!
60
书书书第 ５ 章
推理与证明
··················································
对 反复进行上述运算 其最终结果也都是 再对 进行这样的运
!!"!# ! $! %
算 有
!
%!&&!$$!’!!$%!"&!&#!$’!!(!&(!$(!"!$#!)!!!&!$!
运用归纳推理建立猜想 通常称为 角谷猜想 从任意一个大于 的自然
" # $%& &
数出发 反复进行 两种运算 最后必定得到 这个猜想后来被人
! "$%’"&% ! $!
们多次检验 发现对 亿以下的数都是正确的 究竟是否对大于 的一切
! %((( ! &
自然数都正确 至今还不得而知
! !
61
书书书第 ５ 章
推理与证明
·················································
阅读与思考
!!!
用计算机证明几何定理
用计算机证明几何定理
用机器证明数学定理 是历史上一些杰出的数学家与哲学家梦
!
寐以求的事
!
数学问题大体上有两类 一类是求解 一类是求证 我们熟悉
" ! !
的求解问题很多 解方程 解应用题 几何作图 求最大公约数与
" # # #
最小公倍数 我们熟悉的求证问题 大多是初等几何证明题 还有
! ! !
证明恒等式 证明不等式
# !
中国古代数学研究的中心问题是求解 把问题分为若干类 分
! !
别给出解题的方法 这方法是一系列确定的步骤 谁都可以学会
! ! !
会一个方法 便能解一类问题 九章算术 就是这么做的
! !$ % !
用一个固定的程序解决一类问题 这就是数学机械化的基本思
!
想 追求数学的机械化方法 是中国古代数学的优秀传统之一
! ! !
在西方 以希腊几何学研究为代表的古代数学 所研究的中心
! !
问题不是求解而是求证 是从公理出发用演绎推理方式证明一个一
!
个的定理 而证明定理的方法 则是一题一证 各具巧思 无一确
! ! ! !
定的法则可循 证明的成功有赖于技巧与灵感
! !
能不能找到一种方法 像解方程那样 按固定法则证明一批一
! !
批的几何定理呢
&
世纪法国的唯理论哲学家 发明了解析几何的数学家笛卡
!" #
儿 曾有过一个大胆的设想
! "
一切问题化为数学问题 一切数学问题化为代数问题 一切
’ ! !
代数问题化为代数方程求解问题
!(
笛卡儿想得太简单了 如果实现了他的计划 一切科学问题都
" !
可以机械地解决了 因为代数方程求解是有机械法则的
! !
62
书书书第 ５ 章
推理与证明
··················································
但是笛卡儿总算用坐标方法 解析几何的方法 把初等几何
!!! "
问题化成了代数问题
!
比笛卡儿稍晚一些的德国唯理论哲学家 与牛顿同时创立微积
#
分的数学家莱布尼茨 曾有过 推理机器 的设想 希望用一台机
" $ % "
器代替人的推理活动 当人们争论得面红耳赤相持不下的时候 不
! "
妨心平气和地坐下来 让机器演算一遍 以确定是非曲直 莱布尼
" " !
茨还真的设计过计算机 他的努力促进了数理逻辑的研究
" !
世纪的数学大师希尔伯特 在他的名著 几何基础 一书
!" " & ’
中 也曾提出过一小类几何命题的机械判定方法
" !
第二次世界大战以后 电子计算机的出现大大促进了定理机器
"
证明的研究 经过许多出色数学家的辛勤耕耘 这个领域有了蓬勃
! "
发展 各国数学家先后提出过几种用机器证明初等几何定理的方法
!
这是数学家们长期以来就想实行机械化的领域 但是都不能在
!!! "
计算机上真的用来证明非平凡的几何定理 一直到杰出的中国数学
!
家吴文俊教授在 年发表他的初等几何机器证明新方法之后
#$%% "
在电子计算机上证明初等几何定理才成为现实 一个古老的梦想开
!
始实现了 用吴方法已在计算机上证明了 多条不平凡的几何定
! &""
理 其中包括一些新发现的定理
" !
吴方法的基本思想是 先把几何问题化为代数问题 再把代数
( "
问题化为代数恒等式的检验问题 代数恒等式的检验是机械的 问
! "
题的转化过程也是机械的 整个问题也就机械化了
" !
下面是吴方法 代数法 的一个简单例子
) * !
求证 平行四边形的两条对角线互相平分
( !
分析 第一步 几何问题代数化
! ( !
画图 如图 并建立直角
) ’ #’*"
坐标系 设
" ")"""*"#)$""*"%)&"’*"
用代数等式表示出
())"**"+),"-*"
题设条件有以下四式
(
)#*(%""#"*.’/"+
图
)!*"("#%"’).)&.$**/"+ ’ #’
63
书书书第 ５ 章
推理与证明
·················································
点 在 上
!!" ! "# #$%&’()"$
点 在 上
!#" ! *+ #!,&-"(&!%&-".)"/
表示出命题结论有以下两式
%
或
!$""!)!##%%&’)" %(&$)"$
或
!&"*!)!+#,0-&%%)" %(&.)"/
第二步 整序
% /
原来表示假设条件的方程组化为较简单的升列
/
!’".&$)"$
!%"$,&!’&-".)"$
!!"%-(&-$)"$
!#"$%&’()"/
第三步 伪除法求余
% /
若要证明 即 成立 把第二步中变元 降
"!)!## %%&’)" # &
次 后代入验证即得证
’ /
吴方法的成功吸引人们向更高的目标攀登 怎样用计算机产生
#
人能看得懂并能检验的证明
(
我国科学家提出了用面积消点的方法 对这类问题做了更简
#
明 更易于理解的机械化处理 即可读式证明
) # /
下面只陈述最简的大意
%
几何图形一般是由点 线 角 圆等基本元素构成 而两点决
) ) ) #
定一线 两线决定一角 三点决定一圆 所以这些基本的元素
# # #*#
最后都可以还原为点的表达
/
一个几何命题的已知条件 是通过一步一步画图的次序描写出
#
来的 第一步给出的是若干个自由的点 包括线 角 圆等 接
# ! ) ) "#
着在这些自由点的基础上 给出与自由点有依存关系的新点 每出
# #
现一个新点 都算一个新的步骤 已知条件就是一个个新点的诞生
# #
过程的步骤
/
同样一个几何命题的结论条件 也由一系列点的关系所表述
# #
这些关系式经过整理以后 可以把所有有关点的信息放在表达式的
#
左端 而右端只剩一个常数项
# /
64
书书书第 ５ 章
推理与证明
··················································
消点证明的思路就是把结论条件中出现的许多点 先选一个在
!
已知条件中最后出现的点消去 在消去的同时显示所根据的理由
! !
这样 结论条件中就不再出现这个点 已知条件中也可以把最后一
! !
个步骤删去 继续如此做下去 最后结论条件的左端也只剩下纯粹
! !
的常量值 不证自明了
! !
难点在于 怎么消去一个点 并提供一个消点的充足理由 这
! ! !
需要建立一个定理的信息库 并且还需要建立一个有力度的搜索
!
法 以便搜索到当前待消除点的相关的已知定理 用此定理既可以
! !
消去点 又同时提供了推理的理由 这跟我们平时做题具有相同的
! !
演绎过程
!
但是定理的信息库规模太大了 就好像你平时把定理都已经背
!
下来 无须证明就能判断命题是否成立 失去了推理的意义 如果
! ! "
定理的信息库规模太小了 一切都要从公理开始推导 既烦琐又重
! !
复 也不符合逻辑的推导意义
! !
为什么叫面积消点法 就是要找出一条深贯平面几何内涵的线
#
索 使得这条线索离源头的公理较近 离众多其他命题又不太远
! ! !
这样就可以最大限度地压缩定理的信息库 而包容了消点的威力
! !
面积定理就是这样一条能够贯穿整个知识内容的主线索 找到了这
!
条线索 也就由此诞生了可读性的机器证明
! !
65
书书书第 ５ 章
推理与证明
·················································
数学文化
!!!
公理化思想对人类文化的影响
公理化思想对人类文化的影响
公理化思想产生阶段是由亚里士多德的完全三段论到欧几里得
几何原本 的问世
! " !
公元前 世纪 哲学家和逻辑学家亚里士多德从理论上全面阐
! #
述了公理与演绎思想 总结了前人所发现和创立的逻辑知识 以完
# #
全三段论为出发点 用演绎的方法推导出其余 个不同格式的所
# "#
有三段论 从而创立了人类历史上第一个公理化方法
# !
欧几里得的 几何原本
"! ! "!
数学家欧几里得将逻辑公理演绎方法应用于几何学 于公元前
#
约 年完成了数学史上的划时代著作 几何原本 几何原本
!$$ ! "!! "
是有史以来用公理化思想方法建立起来的第一门演绎数学 而且成
#
为以后 多年严格证明的典范 书中开篇便给出五条公理
%$$$ ! $
等于同一个量的量彼此相等
%"& ’
等量加等量其和相等
%%& ’
等量减等量其差相等
%!& ’
互相重合的量彼此相等
%&& ’
全体大于部分
%’& !
同时给出关于几何的五条公设
$
从每个点到每个别的点可以引直线
%"& ’
有限的直线可以沿直线连续地延长
%%& ’
以任一点为中心可以用任意半径画圆
%!& ’
所有直角都相等
%&& ’
如果一条直线与另外两条直线相交 在一侧构成两个同侧
%’& #
内角之和小于两直角 那么这两条直线无限延长时 就在同侧内角
# #
66
书书书第 ５ 章
推理与证明
··················································
和小于两直角的那一侧相交
!
在 几何原本 中欧几里得还给出了 个定义 书中共有
! " !!" #
个命题皆由定义 公理与公设出发 用正确的逻辑推理逐一证
#$% $ #
明出来 前面已证得的结论后面可以当已知来用 他的这种数学
% &!
系统开创了公理系统的先河 这种公理化的数学有不少优点 论证
# #
有根有源 使思维经济有效 便于本学科知识的系统化和逻辑上的
# #
严格化 便于该学科的传播等等
# !
公理化方法就是选择尽可能少的原始概念和一组公理作为出发
点 采用逻辑推理的法则 将一门科学建立成演绎系统的一种方
# #
法 现代公理系统不仅要求有上述原始概念和原始命题 而且要求
! #
这些原始命题具有独立性 相容性 完备性
$ $ !
牛顿力学体系的公理化展开方式
&! !
牛顿力学体系是一个公理化的演绎系统 这在牛顿的 自然哲
# !
学的数学原理 以下简称 原理 一书中有清晰的表述 原理
"% ! "& !! "
是一部划时代的科学巨著 是按照公理化方法写成的一本力学
#
著作
!
原理 在一开始的 说明 与 附说 中 阐明了关于 物
! " ’ ( ’ ( # ’
质 运动 外力 向心力 绝对空间 绝对时间 的概
($’ ($’ ($’ ($’ ($’ (
念与定义 直接提出了力学三定律 牛顿三定律 作为公理 在三
# % & #
定律之后 推出了 条运动基本定理 在 条运动基本定理之后
# $ # $ #
分卷讨论 物体运动 及 宇宙系统 原理 的公理化展开模式
’ ( ’ (!! "
简述如下
)
基本概念
)
在第一卷之前先给出了 个定义 它们是 物质的量 运动的
’ # ) #
量 物体固有的力 外力 向心力 向心力的绝对度量 向心力的
# # # # #
加速度 向心力的运动度量
# !
公理 条
!! ")
牛顿第一定律 每个物体都保持其静止或匀速直线运动的
%!& )
状态 除非有外力作用于它迫使其改变那个状态
# !
牛顿第二定律 运动的变化正比于外力 变化的方向沿外
%&& ) #
67
书书书第 ５ 章
推理与证明
·················································
力作用的直线方向
!
牛顿第三定律 每一种作用都有一个相等的反作用 或者
!!" # $
两个物体间的相互作用总是相等的而且方向相反
!
运动基本定理 条
!! "#
力的平行四边形法则 二力共同作用于一物体时 此物体
!"" # $
沿二力组成的平行四边形的对角线运动 运动所需的时间与它分别
%
受到这两个力作用时沿平行四边形两边运动的时间相同
!
力 的 三 角 形 法 则 见 图
!%" !
沿 的力可由沿 的力
# "$"# "# "$
与沿 的力合成 同样 沿 的
$# % $ "#
力也可分解为两个任意的沿 的力
"$
图
与沿 的力
# "$
$# !
运动 动量 守恒 即在物体互相碰撞时 各方向运动 动
!!" ! " $ $ !
量 的总和不变
" !
两物体或多物体体系的公共重心 在无外力作用时 保持
!&" $ $
静止或匀速直线运动 而不以体系内的物体的作用而改变其状态
$ !
当某空间静止或匀速直线运动时 该空间内所有物体的运
!#" $
动不受影响
!
不管物体之间以任何方式运动 如果有相等的加速力以平
!$" $
行的方向对之发生作用 则物体之间仍继续以相同的方式运动着
$ $
就像没有受到这个力的作用一样
!
这 条运动的基本定理是建立在公理基础之上的 即是通过力
$ $
学三定律严格证明的 原理 在推演出运动的 条基本定理之后
!& ’ $ $
就进一步讨论 物体之运动 以及 宇宙系统 在讨论中 牛顿
( ) ( )! $
仍然采用相同的研究方法 即所有的定理都是从三定律以及被三定
$
律证明了的 条运动基本定理推演出来的
$ !
综上所述 牛顿是通过综合的方法总结出一组公理 再由公理
$ $
推演得到一系列定理 这些定理散见于各卷中 其中 第一卷总共
! $ $
章 定理 个 第二卷总共 章 定理 个 第三卷总共 章
$ $ !’ % ( $ !) % & $
定理 个
%’ !
68
书书书第 ５ 章
推理与证明
··················································
独立宣言 的公理化展开方式
!!! " !
独立宣言 是英属北美殖民地人民宣布独立的纲领性文件
! " !
独立宣言 是为了证明反抗大英帝国的完全合理性而撰写的
! " #
它试图借助公理化说明宣言的观点的正确性 使民众深信不疑
# #
独立宣言 首先提出了下面不言而喻的事实
! " $
人人生而平等 上帝赋予他们诸如生存 自由和追求幸福等不
# %
可让与的权利
!
在这个基础上 可以得到下面的结论
! $
为了保障这些权利 人民才组织成立政府 政府由人民同
&"’ # #
意后 取得正当的权利
# (
任何政府一旦损害这些权利 人们就有权改换它或废除
&#’ #
它 建立新政府
# (
新政府所根据的原则及其组织权力的方式 务必使人民认
&!’ #
为 唯有这样才最有可能保障他们的安全与幸福
# !
然后 列举若干具体的不平等事例 例如 司法部门包庇武装
# # #
部门 使犯有死罪的军人逍遥法外 切断北美与世界各地的贸易
# ( #
未得到北美人民的同意就强制征税 任意逮捕和审判北美人民 等
( (
等 这些在立法 司法 行政 军事 贸易等方面对北美殖民地人
! % % % %
民的迫害 是严重侵犯北美人民人权的罪行 从而违背了四项真
# #
理 因而人民就有权更换和废除它 成立一个自由的和独立的
! #
国家
!
最后 郑重宣布独立 并宣誓支持该项宣言 独立宣言 全
# # !&! "
文可上网搜索
’
69
书书书6
第 章
框 图
纸上谈兵岂必输 瞻前顾后细筹谋
形 !
欲兴土木先放样 未动笔墨已成竹
形 !
流程通达多胜算 结构井然不糊涂
形 !
小事大事天下事 事要了然画一图
形 !
框图能够清晰地表达系统的各部分和各
环节之间的关系
! 平行四边形
用框图的形式对一类知识所作的描述就
是知识结构图 对一个生矩产形工艺所作的描述
形
纸上谈兵岂必输 瞻前顾后细筹谋
就是一个工序流程!图 对一个算法的
!
描述就
形
欲兴土木先正放方样形 未动笔墨已成竹
是一个算法程序框图!
!
!
流程通达多胜算 结构井然不糊涂
菱形 ! !
小事大事天下事 事要了然画一图
! !
框图能够清晰地表达系统的各部分和各
环节之间的关系
!
用框图的形式对一类知识所作的描述就
是知识结构图 对一个生产工艺所作的描述
!
就是一个工序流程图 对一个算法的描述就
!
是一个算法程序框图
!
书书书
书书书第 ６ 章
框 图
···················································
知识结构图
!６"．#１!知识结构图
!!
利用框图可以对知识体系进行梳理
!! !
通过框图描述某领域中各阶段知识展开的主要线索与相互关系
时 从不同的角度出发 有不同的描述法 结构关系 分类关系 层
! ! " # #
次关系 逻辑关系 成分关系等 都能得到很好的体现
# # ! !
例 在数系中 实数 有理数 整数之间的成分关系 可以用
!! ! # # !
图 的框图描述
! # "
图
! #
例 对代数方程中的一元一次方程 二元一次方程组 一元二
"! ! # #
次方程 可以进行如下分类 如图
! $ ! $%"
图
! $
通过框图 看清了知识之间相互渗透与综合的关系 便于从整体
! ! !
71
书书书第 ６ 章
框 图
···················································
上把握知识的脉络以及各知识之间的相互联系 既见树木又见森林
! !
例 在平面几何中 特殊四边形的分类关系可以用图 所示
!! ! ! "
的框图描述
"
图
! "
决定一个特殊四边形的基本要素是边长和角度
!
!
例 地球温室效应示意图 图
"! # ! #$!
图
! #
看了上述框图 对于自然界热能的交换和自平衡过程 就有一个
! ! !
直观的概念
!
在有些表格式的框图中 因为出现缺位 而激发了人们追求填补
! !
空缺的发明和发现意识 譬如化学元素周期表的空缺 带动了新元素
! !
的发现
!
72
书书书第 ６ 章
框 图
···················································
习题
! !
决定一个平行四边形需要三个条件 请尽可能多地列举三条件
!! ! !
用三角形的边长和角度来描写三角形相似和全等的条件 列举多种条件
"! " #!
两个三角形相似条件
! $
两个三角形全等条件
$
请上网查阅或参看资料 画出一张生态平衡框图 局部的或整体的
#! ! " #!
设圆的方程是 直线的方程是 用系数 的关系来描写
$! ""#$"%!! $%&"#’! &!’
圆和直线相交 相切和相离的条件 采用框图描述
% " #!
工序流程图
６． ２ 工序流程图
%&"!
!!
请看下面一些例子
!! $
例 某工厂加工一种零件 有三道工序 粗加工 精加工和返
!! ! $ %
修加工 每件坯料先进行粗加工 经过检验后 合格的交付精加工
! ! ! !
不合格的交付返修加工 返修后合格的仍可以再交付精加工 返修后
! !
还不合格的当作废品 精加工后 再进行最后一道检验 合格的作为
! ! !
成品 不合格的当作废品
! !
上述过程用框图画出就是下页的工序流程图 图
" % ’#$
要了解某个工厂的生产全貌 必须要阅读其说明资料 如果提供
! !
工序流程图 就省去了从文字到概貌之转化过程 不但便捷 而且还
! ! !
73
书书书第 ６ 章
框 图
···················································
图
易于记忆
! "
!
工序流程图 是将组
!#$%&’()*%$+,-.%,/,+0($1$)’+21*%$+,33"
成整个工艺过程的所有工序按照其合理的先后顺序及流入生产的位
置 用特定的符号和相互间的连线绘制成的工序安排程序的示意图
# !
例 下面我们来看空调机 单冷机 的工作流程图 图
!! ! " ! ! !"!
图
! !
74
书书书第 ６ 章
框 图
···················································
练 习
根据例 的空调机的工作流程图 图 回答下列问题
! ! " ""# $
如果空调机没有故障 但仍然不工作 有可能是什么原因
!#" # # %
如果当室温已经偏低 空调机仍在工作 有可能是什么地方出了故障
!!" # # %
例 社会调查工作的流程
!! !
要想调查学生在某个敏感问题上是否愿意与父母坦诚交流 不太 这个调查方法恰似
# !!
炒花生 在炒花生的时
容易 因为这牵涉到个人的隐私权 一般的问卷会遭到拒绝 如果调 !
! # ! 候我们必须放进去许多
查者把调查的方式设计好 既保护了学生的隐私权 又能获得有效的 沙子 炒出来的沙子是
# # !
一点用处也没有 但不
调查数据 !
加沙子 花生就会炒
!
!
第一步 设计无记名问卷格式如下 煳了
$ $ !!
务请配合 严格做到
要 求 # &
! 学号是奇数者回答问题 否则回答问题
"# #!
答案栏
问题 你的学号是奇数吗
"$ %
问 题
!
问题 在 问题上你不愿意与父母坦诚交流吗
#$ """" %
不要写出你的姓名和学号
!#" #
不要说出你回答的是哪个问题
!!" #
注意事项 要真实地回答问题
!$" #
无论回答哪个问题答案都写在同一个答案栏内
!%" #
在答案栏内画 表示 是 画 表示 不是
!&" ’#( ’ (# ’$( ’ (!
第二步 设接受调查的学生有 个 可以统计这 个学生中学
!! $ % # %
号是奇数的学生有多少个 譬如说是 个
! & "&
第三步 统计回馈问卷中画 的数目 设有 个
$ ’#( ! ’ "&
第四步 对数据做如下的统计处理
$ $
因为学号是奇数的 个学生 他们对问题的回答肯定都是
& # ’#(#
75
书书书
书书书第 ６ 章
框 图
···················································
而实际上这 张答卷是没有意义的 真正有意义的答卷只有
! ! "#!
张 另外在 张画 的答卷中 也只有 张卷子是对问题作
$ % "!# ! %#!
出了肯定的回答
$
因此得知
$
真正对于问题 作出回答的人数是 个
& $%"#!& ’
不愿意与父母坦诚交流的人数是 个
$%%#!& ’
不愿意与父母坦诚交流的比率是
$%%#!&(%"#!&$
下面就是此项社会调查工作的流程图 图
% ! "&$
图
"" ! "
"
习题
" !
到医院去看病 要先到挂号室挂号 再到科室找医生看病 医生开药之后到收
#$ ! ! !
费处交费 再到取药处取药 对有些患者 医生看病之后让他先做一定的检查
! $ !
检查之前需要先交费 将检查结果拿回去交医生做进一步诊断后再开药 交
% &! )
费 取药 试将以上过程画出流程图来表示
) $ $
请画出记录三个篮球队作轮赛的计分表格 包括总成绩的累计
$$ % &$
76
书书书第 ６ 章
框 图
···················································
从网上下载或查阅资料 写出一个污水处理的流程图
!! ! !
请设计一个调查商店伪劣产品的工作流程图
"! !
例 试用流程图描述一元二次方程 的
!! !! "##$%#$&’$ """$#
求根过程
!
解 一元二次方程 的求根过程可以用流
! "##$%#$&’$ """$#
程图 来表示
% & !
图
% &
实例 用上述流程图求一元二次方程 的根
!
! ##$!#$’($ !
第一步 输入方程
$ ##$!#$’($%
第二步 计算得
$ !’!#(")’)’(*%
第三步 判断 不成立 从 出口
$ *#$ ! &+’ %
第四步 判断 不成立 从 出口
$ *($ ! &+’ %
槡
第五步 两个根为
! *
$ #’( ) !
# #
77
书书书第 ６ 章
框 图
···················································
例 数学建模的流程图如下 图
!! ! ! ""!
图
! "
实例 某皮鞋厂产量预测
! !
实际情境
#
某皮鞋厂从今年 月份开始投产 前 个月的产量分别是 万
# $ $ #
双 万双 万双 万双 由于产品质量好 款式新颖
$#%& $#%’ $#%’( ! $ $
前几个月的产品销售情况良好 厂里分析 产量的增加是由于工人生
! $
产熟练和理顺了生产流程 厂里也暂时不打算增加设备和工人
! !
提出问题
#
在推销产品时 为了使接受的订单不至于过多或过少 需要估计
$ $
今后几个月的产量
!
数学模型
#
将前 个月的月份与产量的关系画在坐标系中 用 个点来表示
$ $ $ $
如图
! #)!
"!#$#"$#!&$#%&"$$!’$#%’"$%!$$#%’("!
图
! #)
78
书书书第 ６ 章
框 图
···················································
设法用适当的函数来模拟月份与产量之间的关系
通过这个例子 我
!
!! !
可以考虑如下函数类型来拟合 们可以了解数学建模的
!
基本思想和过程 假如
一次函数 将 两点的坐标代入 可解出 !
!! "#$%&’! (") " $# 你对这个例子中的数学
计算感到困难 可以先
"#!"’#!! !
不去考虑其中的具体计
得到一次函数 如图
"#"#!%&! # $ !!$! 算过程
!
图
$ !!
二次函数 将 的坐标代入 可解出
%! " ! #*%%&’%&+! ,"(") "
*#-"#"&"’#"#’&"+#"#(!
得到二次函数 如图
"#-"#"&%%&"#’&%&"#( # $ !%$!
图
$ !%
指数函数 将 三点坐标代入 可解出
’! "!#*’%&+! ,"(") "
*#-"#)"’#"#&"+#!#*!
得到指数函数 如图
"#-"#)+"#&%&!#* # $ !’$!
图
$ !’
79
书书书
书书书第 ６ 章
框 图
···················································
检验
!
可以考虑从以下几方面检验
!
以上模型在计算函数中的参数时都没有用到第 个月的产量
!! " !
可以利用这些模型来计算第 个月的产量 看是否接近于实际的
" "
产量
!
由函数计算出的第 个月的产量分别为
"
一次函数模型
#!$ !!#"%
二次函数模型
#$$ !!#%%
指数函数模型
#%$ !!#%&!
第 个月实际产量为 指数函数模型计算结果最接近实际
" !#%’!
情况
!
利用这些模型预测长期变化趋势 看哪一个更合理
$! " !
一次函数模型 按照此模型 产量将月月上升
#!$ "#(#!$%!! " !
这不大合理
!
二次函数模型 按照此模型 产
#$$ "#&(#(&$$%(#%&$%(#’! "
量从 月份开始将逐月下降 这也不合理
" ! !
指数函数模型 开始时上升较快 以
#%$ "#&(#)*(#&$%!#"! "
后上升速度减慢 趋于稳定 这比较符合实际 开始时由于工人技术
" ! !
和工厂管理水平的提高 产量上升较快是合理的 以后由于原有潜力
" !
已经发挥出来 如果不增加工人和设备 上升速度变慢 趋于稳定
" " " "
也是合理的
!
因此 就当前情况看来 指数函数模型较好 可以先采用 随着
" " " !
以后数据的增多 还需要根据新的数据及时作出调整 建立更好的模
" "
型 由于情况的不断变化 要想建立一劳永逸的模型是不可能的
! " !
80
书书书第 ６ 章
框 图
···················································
习题
! !
槡
写出使用计算器求 槡的工作流程图
!! "# $ !
请上网查阅或参看资料 给出一个垃圾处理的工作流程图
%! ! !
设计一个 人投票选举和计数的程序 对下列问题要作出周密的考虑
$! %&& ! "
投票数不超过总数的 投票无效 要重新选举
%#$! ! $
如果投了候选人 之外的 算弃权
"!#!$ ! $
如果没有一个候选人获得半数以上的选票 则要淘汰末位候选人 重新进行
! !
选举
!
九个球 其中有一个空心的略轻一点 用一架天平 称两次 找出空心球 根
’! ! ! ! ! !
据下面的流程图 图 说明判别的过程
% ( !’&! !
图
( !’
!
81
书书书第 ６ 章
框 图
···················································
程序框图
!６"．#３
!
程序框图
!!
在必修第五册第 章 算法初步 中 我们已经介绍过程序框
!! $$ ! " #
图 那是从算法编制的角度认识程序框图 现在我们从知识结构的角
# #
度来看程序框图的意义
!
例 设计一个算法 求 个数 之和
!! # $%% "#"#$#" !
$ & $%%
解 按照加法法则 我们可以从左往右先计算 再把所得
! # "#"#
$ &
结果与 相加 依次进行下去 直到 次加法后得出结果 显然这
" # # ’’ %
#
个过程包含重复操作的步骤 可以利用循环结构来实现
# !
算法步骤如下
&
第一步 赋初始值
& $($#)*+(%’
第二步 赋值
& )*+()*+,"’
$
第三步
&$%$,$’
第四步 若 成立 则输出 结束算法 否则 执行
& $"$%% # )*+# ’ #
第二步
-
程序框图如图 所示
! $. -
图
! $.
82
书书书第 ６ 章
框 图
···················································
从上面的过程可以看出 程序框图就是算法步骤的直观图示 算
! !
法的输入 输出 条件 循环等基本单元构成了程序框图的基本要
" " "
素 基本要素之间的关系由流程线来建立 用程序框图表示的算法
! ! !
比用自然语言描述的算法更加直观 明确 流向清楚 而且更容易改
" " !
写成计算机程序
!
例 写出求形如 的分式方程的解的流程图 其中
" ’
!! & !
#$% #$(
是已知数
%!(!"!’ !
解 流程图如下 图
! # ! "!$%
图
! "!
这个求解的流程图 是解题过程的真实描述 并且强调了通常解
! !
分式方程问题时 应该注意增根问题的处理
! !
在学习程序框图设计的逻辑严密性的同时 也提醒我们日常解题
!
时要养成严谨的习惯
!
83
书书书第 ６ 章
框 图
···················································
例 公历规定 如果年份数字被 整除而不被 整除 就是
!! ! ! "## "
闰年 如果年份数字被 整除 也是闰年 其他的年份都不是闰
# !## " !
年 这个规则可以用程序框图表示 如图
! " $ "%!
图
$ "%
例如 根据上面的框图 判断 年是否是闰年
" ! " "&’# !
执行过程如图
$ "’!
图
$ "’
因此 年是闰年
""&’# ! !
84
书书书第 ６ 章
框 图
···················································
例 在某地投寄平信 每封信质量 不超过 的邮费
!! ! !!" "#!#
单位 分 标准为
" $ # $
$"#!!""#!$#%&
%&#!!""$#!’#%&
"##
$’#!!""’#!&#%&
%($#!!""&#!"#%$
写出计算邮费的程序框图 要求输入质量输出邮费
! $
解 计算邮费的程序框图如下 图
! " & %)#$
图
& %)
!
练 习
判断 年 年是否是闰年 请画出程序框图
%$ $##’ !$%## $ $
写出下列程序框图的运算结果
$$ $
85
书书书第 ６ 章
框 图
···················································
!!" !!!!!! !""
若输入 则输出结果为
!"!!!!#!!!!!!!!!! $## !!!!#
习题
! !
解分式方程
!
!# $ $%%&##
%&"
一个数列 的前两项 每相邻 项之间具有如
"# ’! #’" #%#’( #% ’!"’""!# %
下框图所表示的关系
$
试写出这个数列的前 项
& #
随意给定一个数列 请编写一个程
%# $!#’#%#(###"#(#)#*#%#&#’#)#%#
序框图 确定一个 使得前 个数的和不超过 而前 个数的和则超
# (# ( (+# (&!
86
书书书第 ６ 章
框 图
···················································
过
!"!
在抛掷硬币的试验中 将一枚均匀硬币抛掷 次 计算正面朝上的频率 设
#! ! $"" ! !
计程序框图表述上述计算过程
!
电脑编辑程序中常用到汉字或符号替换功能 例如 在某段文句
! !
中要将 汗 字都改成 汉 字 替换程序执行的任务就是顺次往下
" # " # !
寻找 汗 字 找到了 汗 字就用 汉 字来替换 直至段落结束
" # ! " # " # !
为止
!
下面这个例题就是针对此项工作所设计的程序
!
例 信息技术处理中的典型案例之一
!! $ %
已知 个数据 并已知 和 凡
$"" &"!"!’!"!’!" ! " $!
$ % # $""
是 者 都用 来代替原有的
"%" ! $ "!
# #
解 程序框图的设计思想
! &
从头到尾逐项检查 检查到是 者进行替换 否则继续向后检
! " !
查 检查的次数控制在 次
! $"" !
替换程序如图
& %"!
图
& %"
!
87
书书书第 ６ 章
框 图
···················································
例 信息技术处理中的典型案例之二
!! ! "
在已知 个数据 中 凡是
!"" #!$!$%$!$%$! $ !#!
! # " !"" "
者 都删除 并将后面的数据前移
$ $ $
请编制一个自动删除其数据的程序
$
解 程序框图的设计思想
! #
从头到尾逐项检查 检查到是 者进行删除 并将后面的数据逐
$ ! $
项前移 否则继续向后检查
$ $
其中有两个 逐项进行 的工作 实际上需要两个循环进行
& ’ $
工作
$
删除程序如图
$ #!$
图
$ #!
本框图的虚线框部分是另一个独立的循环过程 它所完成的工作
! $
是将后面的数据逐个前移 如果把这个循环体用图框
$
88
书书书第 ６ 章
框 图
···················································
!#$
"
来代替 就变成例 中的数据替换程序
! ! %
题中所说的数据如果是一些汉字 此时本程序就是电脑编辑程序
!
中常用的汉字删除功能键所执行的工作 在删除的同时 后面的汉字
! !
自动向前移
%
习题
! !
设计一个程序 将已经排好序的 个数反过来排
"% ! #$ %
设计一个程序 将已知的 个数 分成甲 乙二组 大于 的放到甲组里
#% ! #$ ! " ! "! !
其余的放到乙组里
%
设计一个程序 从已知的 个数中找出最大数
%% ! #$ %
设 是任意实数 求 的绝对值 请编制一个程序框图
&% & ! & ! %
一个数列有 个数 现在想统计小于 的数据个数 请编制一个程序用框图
!% &$ ! %’ !
画出
%
89
书书书第 ６ 章
框 图
···················································
!!!!!
小结与复习
一 指导思想
!
!!
框图是表示一个系统各部分和各环节之间相互关系的图示 它
!
的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系 框
!
图已经广泛应用于算法 计算机程序设计 工序流程的表述 设计
" " "
方案的比较等方面 是表示数学计算与证明过程中主要逻辑步骤的
!
工具 并将成为日常生活和各门学科中进行交流的一种常用表达方
!
式 学习用 流程图 结构图 等刻画数学问题以及其他问题的
! # $"# $
解决过程 有助于提高抽象概括能力和逻辑思维能力 以及清晰地
! !
表达和交流思想的能力
!
二 内容提要
!
!!
知识结构图
!! !
工序流程图
"! !
程序框图
#! !
三 学习要求和需要注意的问题
!
!!
学习要求
!! !
结构图
%!& !
通过实例 了解结构图 运用结构图梳理已学过的知识 整
! ! ’ !
理收集到的资料信息
!
结合作出的结构图与他人进行交流 体会结构图在揭示事物
" !
联系中的作用
!
流程图
%"& !
通过具体实例 进一步认识程序框图
! ! !
90
书书书第 ６ 章
框 图
···················································
通过具体实例 了解工序流程图 即统筹图
! ! " #!
能绘制简单实际问题的流程图 体会流程图在解决实际问题
" !
中的作用
!
需要注意的问题
!! !
学习框图 应从分析实例入手 运用框图表示数学计算与证明
! !
过程中的主要思路与步骤 实际问题中的工序流程 某一数学知识
$ $
系统的结构关系等 在运用框图的过程中理解流程图和结构图的特
!
征 掌握框图的用法 体验用框图表示解决问题过程的优越性
! ! !
四 参考例题
!
!!
例 图 是求正数 的算术平方根近似值 精确到
! " !! " " #$%#
的一个算法的框图
!
图
" !!
!
91
书书书第 ６ 章
框 图
···················································
实例 按照上述算法 求 的算术平方根 精确到
!! ! ! ! " "#$#!
执行过程如图
如果要得到精确到
% !&!
!!
的近似值 应当怎
!"!# !
样修改框图程序
"
图
% !&
故槡
!"$#’!
复 习 题 六
请在下面表格内填入数据 使 个等号皆成立 并用框图将其过程表示出来
$! ! % ! !
$(! " "!!#! # !(!
" " "
"!!#! " ’)! # "!!#!
# # #
&*! " "!!#! # "!!#!
92
书书书
书书书第 ６ 章
框 图
···················································
根据图 中的已知数据 求中心矩形的面积 并用框图将其过程表示出来
!! " !# ! ! !
图
" !#
利用小结与复习中参考例题所介绍的方法 求 的算术平方根 精确到
$! ! ! $ " %&’#!
93
书书书7
第 章
数系的扩充与复数
平方得负岂荒唐
!
左转两番朝后方
!
加减乘除依旧算
"
方程有解没商量
!
人类认识数的范围是一步一步扩充的
!! !
引进了虚数单位 作为方程 的根 数
! ""#$# "
的范围就从实数扩充到复数 夏至
!
虚数 不虚 它不但是数学理论中不可缺少
# $ "
的一部分 而且在人类的生活 生产和科学研究
" %
中有着重要的应用
!秋分 太阳 春分
平方得负岂荒唐
!
左转两番朝后方
!
加减乘除依旧算
"
冬至
方程有解没商量
!
人类认识数的范围是一步一步扩充的
!! !
引进了虚数单位 作为方程 的根 数
! ""#$# "
的范围就从实数扩充到复数
!
虚数 不虚 它不但是数学理论中不可缺少
# $ "
的一部分 而且在人类的生活 生产和科学研究
" %
中有着重要的应用
!
书书书
书书书第 ７ 章
数系的扩充与复数
·············································
解方程与数系的扩充
!"#数
数数７． １ 解方程与数系的扩充
人类所认识的数的范围是一步一步扩充的
!
这种扩充 一方面是由于描述和解决实际问题的需要 另一方面
! !
也是由于解决数学自身的矛盾的需要
!
比如 最开始人们为了表示物体个数而认识了正整数 并且引入
! !
了加 减 乘 除四则运算 正整数做加法与乘法可以通行无阻 但
" " " ! !
减法与除法就不行了 什么叫减法 就是已知两数的和 与其中一个
! # "
加数 求另一个加数的运算 求 就是求一个 使 这
# ! "$# % %&#’"!
就是解方程 同样 除法也是解方程 求 就是解方程
! ! $ "(# #%’"!
的引入 一方面固然是来自实际的需要 比如为了表示 没有
$ ! ! %
物体 表示计量的起点 比如计量温度 计量距离 等等 但是它
&! ’ " (! !
也使减法 可以进行 方程 有解
"$" ! %&"’" !
分数的引入当然有实际的需要 比如用一把尺去度量某一个长
!
度 不能正好量尽时 需要将尺平均分割成更小的长度单位再去度
! !
量 但这就使除数 不为 时 除法 不但对整数 总能进
! # $ ! "(# "!#
行 而且对分数 也总能进行 也就是说 方程
! "!# ! $ #%’" ’#"$(
在非负的有理数范围内总是有解
!
为了表示具有相反意义的量 引入了负数 这就将数的范围扩大
! !
到了全体有理数 这使得减法 可以畅通无阻 方程 总
! "$# ! %&#’"
是有解
!
在有理数范围内四则运算通行无阻 除数为 例外 但解方程还不
’ $ (!
行 比如 就没有有理数解 但是它的解却是客观存在的 正方形
! %%’% ! $
的对角线长与边长之比就是这个方程的解 但这个比不能用有理数表
!
示 这促使数的范围扩大到全体实数 任意两条线段的长度比都可以用
! !
实数表示 任意一个非负实数都有任意 次的方根 也就是说 当 为
! ) ! $ )
正整数时 方程 当 时总有解 但是 当 时 没有
! %)’" "#$ ! ! "$$ %%’"
解 即使 这样简单的方程都没有解 没有平方根
! %%’$# !$# !
95
书书书第 ７ 章
数系的扩充与复数
············································
这启发我们对数系做再一次的扩充 具体做法是 引进一个新的
数 !
数 用符号 来代表 它满足条件 并且规定这个新的数 可
" ! " !""##数 !
以按照我们熟悉的运算法则以及一个新的法则 与实数进行运
!""##
算 产生一批新的数 与原来的全体实数一起组成一个新的数系
" " 数
复数的概念
$７%．"２
!
复数的概念
!!
规定符号 代表一个数 满足条件 称这个 为虚数单
! " !""##数 !
位 并且允许它与任意一个实数 相乘得到数 还可以再与任意一
数 $ $!"
个实数 相加得到数
% %&$!数
形如 其中 是实数 的数称为复数
%&$!# %"$ $ #&’()*+,-.(/
其中 称为复数 的实部 称为 的虚部
0+1$" % %&$! #1+2*)213$"$ %&$!
#!(24!-215)213$数
通常将复数 的实部记作 将它的虚部记作
’ 6+’" 7(’数
两个复数 是实数 相等的充分必要条
%&$!"(&)!#%"$"(") $
件为 它们的实部相等 且虚部相等 即 且
! " " %"( $")数
例 求以下复数的实部和虚部
!! 8
槡
##$#9!%! #"$:;" "%! #:$9!8
解 实部为 虚部为
!##$#9!<#;#9#$!" #" 9#8
槡 槡 实部为 槡 虚部为
#"$:;" "<#:;" "$;=!" :;" "" =8
实数为 虚部为
#:$9!<=;#9#$!" =" 9#8
容易看出 当虚部 时复数 就是实数 反过来 实数
" $<= %;=! %数 "
也就是虚部为 的复数
% = %;=!8
例 设 若复数 求
"! *"+"#" #"*#>+$&#:*&"$!"?;@!" *"+%
解 根据复数相等的定义 得
! "
>
*" "
$"*#>+"?" $ :
# !&!#
%:*&"<@
%+"#
$
数
#"
96
书书书第 ７ 章
数系的扩充与复数
·············································
我们习惯上用 表示全体实数组成的集合 表示全体复数组成
数 !"
的集合 于是 而 是 的子集合 由 中虚
# "!""#$!!"!$"数#% 数 " ! "
部为 的全体复数组成
" %
当虚部 时 复数 不是实数 称它们为虚数
$#" ! "#$! ! $!#$%!&$’(
特别地 实数为 虚部不为 的复数 称为纯虚数
&)#*+’%% ! "! " $!
$,)’+!#$%!&$’(&)#*+’%%
练 习
在以下哪些范围内进行加 减 乘 除运算 做除法时要求除数不为零 可以
-% & & & $ %
通行无阻
’
全体整数
$-% (
全体有理数
$.% (
全体实数
$/% %
求以下复数的实部和虚部
.% )
-1! 槡 !
$-%!0-($$$ $.% 槡 ($$$ $/%.0 .!($$$ $2%0 3
. .
求满足下列条件的实数 的值
/3 &!’ )
$-%$/&(’%#$&#.%!!&(’!(
$.%&’($&#’%!40.215!3
习题
$ !
下列命题正确的是
-3 $$$%
实数集与复数集的交集是空集 任何两个复数都不能比较大小
$6% $$$7%
任何复数的平方均非负 虚数集与实数集的并集为复数集
$8% $9%
97
书书书第 ７ 章
数系的扩充与复数
············································
以 槡的虚部为实部 以槡 的实部为虚部的新复数为
数" 数#$ % ! %#&数#数 "!!#
槡 槡 槡 槡
"’#数$数# "(#数&# ")#$ %& %#!!!!"*# %& %#
复数 为纯虚数是 的
+" !"##"!!#"!# !$, "!!#
充分非必要条件 必要非充分条件
"’# "(#
充要条件 既非充分又非必要条件
")# "*#
求满足下列条件的实数 的值
-% !!# $
".#"!&+##""数!"+###$%&#%
"数#"!数&#数#"数!##$/#&0%
求当 为何实数时 复数 ’数&’&/ 是 实数
%% ’ ! ($ &"’数&数’&.%## $".# %"数#
’"+
纯虚数 虚数
%"+# %
复数的四则运算
７． ３ 复数的四则运算
12+!
!!
先尝试利用我们所熟悉的运算律以及等式 进行两个复数
#数3$.
的加 减 乘运算
& & "
例 已知复数 与 试求它们的和
"! ($.&数# ($-$+#% ("(!
. 数 . 数
差 积
(&(! ((%
. 数 . 数
解
!("($".&数##""-$+##$".&-#""数$+##$%$#%
. 数
(&( $".&数##&"-$+##
. 数
$".$-#"’数$"&+#(#$&+&%#%
(( $".&数##"-$+##
. 数
$.4-&数#)-&.4"&+##"数#)"&+##
$-&0#&+#&/#数
$-&0#&+#&/4"&.#
$.,&%#%
98
书书书第 ７ 章
数系的扩充与复数
·············································
容易看出
数
两个复数 的加 减 乘运算 利用 将表
!"#!!$"%!"!!#!$!%!!# $ $ ! !! !"!"#
达式化成 的一次多项
可以先看作以 为字母的实系数多项式的运算来进行 再将 !
! & !"’(# 式后 常数项就是实部
! !
代入 将实部和虚部分别合并 就得到最后的结果 一次项就是虚部
! ! & #
一般地 对任意两个复数 有
" !"#!"$"%!#!"#"$"%!!$"
这些公式不需记
加法
!!
%#!"#!$"#$"%!$’#!"$$"##"%$!& 忆 只要自己按照多项
!
减法
式展开的法则以及等式
数#!"#!$(#$"%!$’#!($$"##(%$!&
进行运算就
乘法
!"! "#
数#!"#!$#$"%!$’#!$(#%$"#!%"#$$!& 行了
我们已经会做复数的加 减 乘法 那么 对任意两个复数 #!
% % & "
和 当 时能否做除法求它们的商 为此
)
)’!"#! )’$"%!" )"$ #& "
# " " )
"
只要将商
!"#!
$"%!
的分子分母同乘适当的非零复数 将分母化为实数即可
" &
注意到
#######$"%!$#$(%!$’$"(%"!"
’$""%"&
当 时 实数 不同时为 因此 将商
$"%!"$ " $"% $"$""%"$$& " 实际计算时不需记
!!
的分子分母同乘 就可将分母化为正实数 从而将商 忆这个公式 只要会将
!"#! $(%! $""%"" !
分子分母乘以适当的复
$"%!
化为复数的标准形式 数将分母化为正实数就
&
行了 前 面 一 个 公 式
!
!"#! #!"#!$#$(%!$
#### ’ ""#$!#""%$!#&""#
$"%! #$"%!$#$(%!$ 反而更有用 更值得
$" !
熟记
#!$"#%$"#(!%"#$$! !
’ 将虚数分母
$""%"
!! !"#!
乘以 化为正实数
!$#!
!$"#% (!%"#$ 的过程 类似于
’ $""%" " $""%" !& !""#" !
在初中化简根式时将含
例 已知复数 求 及 ) 根号的分母 槡 乘
"# )’#%"!")’&’(!& )(# #& !"# %
# " " ) " 以 槡 化为有理式
!$# %
解 的过程 只不
# &%(!
#)(# ’ ’ !"$#"% &
" &’(! #&’(!$#&%(!$ 过我们现在不是 分母
"
有理化 而是 分母
&%(! & ( #! "
’ ’ " !& 实数化
&""(" ") ") #&
99
书书书
书书书
书书书
书书书
书书书第 ７ 章
数系的扩充与复数
············································
! !#"$ !!#"$"!%#’$"
数数 !" "
! %&’$ !%&’$"!%#’$"
"
%#’$#($$) " !!
" "$ # $%
%"#’" "* "*
解决了复数的加 减 乘 除四则运算问题 我们再来尝试讨论
# # # $
在复数范围内开平方的问题 也就是求解一元二次方程 的问
$ &""’
题 一元二次方程 在实数范围内没有解 我们引入一个新的
% &""$! $
数 作为它的一个解 将数的范围扩大到了复数 这个方程在复数范
$ $ %
围内有解 同时由 知道方程 在复数范围内
$$ !$$"""$""$! &""$!
我们在实数集合之 有两个解 与 也就是说 在复数范围内 有两个平方根 很
!! %$ $$% $ $! %
外为 强行规定了一
!! 自然要问 除了 以外 别的负实数在复数范围内是否有平方根
个平方根 "! 是否需要在 % $! $ &
复数集合之外再规定一 进一步可以问 任意复数 在复数范围内是否有平方根 比如
个什么符号使它的平方 $ ’#($ & $
在复数范围内是否有平方根 方程 在复数范围内是否有解
等于
"" $ &""$ &
例 在复数范围内解下列方程
!数 %
!!"&""$’’ !""&""$%
解 容易验证 槡 槡 因此
利用这个方法 可 数 !!" !) ’$"""!’""$""’+!$!""$’$
!! !
求出任意负实数 的平 槡 是方程 的两个根 也就是 的两个平方根
! ) ’$ &""$’ $ $’ %
方根为 槡 注意
" #!!$ 设 是方程 的复数根 其中
其中的 是正实数 !"" &"’#($!’$(""( &""$ $ ’$(
#! !
因而 槡 是正实数的 是待定系数 则
#! %
算术平方根
$
%’"$(""-$
!’#($"""$# !’"$(""#"’($,$#
$
&"’("!%
问题归结为在实数范围内求解方程组
%’"$(""-$ !
$
&"’("!% "
由 式得 代入 得
! (")’$ "
容易看出 对任意
!! ! )"’""!%
的复数
!"#!"!!#"!#!
槡
用同样的方法 待定系 仅当 时 即 有实数解
! "
" ("’ $"’""!$ ’"" $ ’") %
数法 可求出方程 " "
# $"%
的复数根 你不妨
!"#! & 故关于 的上述方程组有两组实数解 槡 于是方程
一试 "
& ’$( ("’") %
待定系数法也可用 "
来 求 两 个 复 数 的 商
!"#!10只0要由等式
! "$"
’"(!
列出
)!#"’"(!#%!"#!
方程组来求待定实数
就行了 你愿意
$!) &
试试吗
$
书书书
书书书
书书书
书书书第 ７ 章
数系的扩充与复数
·············································
槡 槡
有两个复数根 它们也就是 的两个平方根
!! !"
数!"" # $ "# " %
! !
例 在复数范围内解一元二次方程
!! 数!$数$#$%%
解 判别式 方程无实数根 但在复
! !"#!&&’#’#$()"%# %
数范围内 有两个平方根 槡 由求根公式可得方程的复数解
&) * )"#
槡 槡
&#* )" # )
!!!!! "& # "%
! ! !
由于在复数范围内开平方已经通行无阻 因此 利用求根公式可
# #
以求出任何一个一元二次方程的根 利用判别式判别实系数一元二次
%
方程是否有根的定理应当修改为
$
设 是实系数一元二次方程
’数!$(数$)"% !’#%" #!"(!&&’)
是它的判别式 则
#
槡
当 时 方程有两个不同的实根
&(# !
!$% # %
!’
当 时 方程有两个相同的实根
(
!"% # & %
!’
槡
当 时 方程有两个不同的虚根
( &!
!"% # & # "%
!’ !’
代数基本定理
在实数范围内 负数没有平方根 因此当实系数一元二次方程
! !
的判别式 时方程无实数解 但在复数
’数!$(数$)"% !"(!&&’)"% %
范围内 当 时它也有两个平方根 槡 因此可以由求根公
! !"% * &!"!
槡
式求出该方程的两个虚根
( &!
& # "%
!’ !’
这说明了 在复数范围内 所有的实系数一元二次方程
! ! ’数!$
都有根 并且可以用求根公式求出它的所有根
(数$)"% ! %
101
书书书第 ７ 章
数系的扩充与复数
············································
更进一步 假定一元二次方程 的系数 都
数 !"!#$"#%&" !数$数%
是复数 则判别式 是复数 但不论 取什么值 在复数
数 !&$!’#!% ( ! 数
范围内总是有平方根 且当 时它总有两个不同的平方根 因
" !!" #数
此仍然能够用求根公式求出一元二次方程的全部根 当 时有两
" !!"
个不同的根 这说明了 在复数范围内解一元二次方程可以通行
#( 数
无阻
(
对于更高次数的复系数一元 次方程
准确地说 当
!! ! !" ) ! " ")#! $ ")’$#$#
时 不存在由方程的 一般来说不存在求根公式 但可以证明 不论
! 系数 ! 经过加 减 乘 ! )’$ "#! ) &""! " !"#数 ( %
" " " 它的系数取什么复数值 这个一元 次方程在复数范围内总是有根
除和开方运算来表示的
数 ) (
求根公式 这个结论在代数学发展史上具有重要的意义 称为代数基本定理
" 数
这个定理是由高斯首先提出并
"%&’()*+’,)-./+01+*2’3-4+51)#6
证明的 现在已经有很多种证明 这些证明都用到大学数学的知识
数 ( 数
就不能向中学生介绍了
(
练 习
化简下列各式
$( (
!$"!’!7#2"’!’!82"#!98:2"#"""" !!"!$72"##
$82
!9"!982"!972"# " !#" (
$72
已知 且 求 的值
!( *#!$ !*#*2";&’;#2$ * (
在复数范围内解下列方程
9( %
!$""!#!"#9<"# " !!""!’#"#=<"(
习题
" !
设 求 及 的值
!" !"
$( +&>0? 72?2’ $ +!$+9 +!#+#$ (
9 9
102
书书书
书书书第 ７ 章
数系的扩充与复数
·············································
已知 求 的值
$"#$
数! "# ! "’ !
%&数$
解方程
"! "数%数$%&%()!
计算下列各值
’!#%$ !
$数!!!$"!!!$’!!!$*!
根据上述结果找出规律 并计算 的值
#数$ ! $%)) !
化简
#"$ "%&$&$数&$"&%&$%))!
根据下列条件 求
*! ! ’!
#%$’#%&$$#数&
#数$’$%&’$(#’&’$!
复数的几何表示
７． ４ 复数的几何表示
+,’!
!!
我们知道 实数可以用一条数轴上的点来表示 具体表示方法如
! !
下 取一条规定了方向的直线 在直线上取定一点 作为原点 取
" ! ( !
定一个单位长 则这条直线成为一条数轴 每个实数 由数轴上唯一
! ! "
一点 表示 记 为沿着数轴的正方向 长度等于单位长的向量 则
) ! ! ’ !
数轴上点 与它所表示的实数 的关系为 也就是说 每个
##"
) " ()#"!! "
实数 都可用平行于数轴的向量 来表示 如图
##"
" ()#"! ! + %!
由实数的这种几何表示法得
到启发 可以想到用平面上的点
!
和向量来表示复数 根据复数相
!
图
等的定义可知 任何一个复数
+ %
! ’#
都可以由一个有序实数对 唯一确定 而有序实数对 与
"&*$ #"!*$ ! #"!*$
平面直角坐标系中的点是一一对应的 因此 在平面上建立直角坐标
! !
系 以每个复数 的实部 和虚部 组成坐标 在平面上
! ’#"&*$ " * #"!*$!
103
书书书第 ７ 章
数系的扩充与复数
············································
可以画出唯一的一个点 同时也决定唯一一个向量 这个向
""!
数!""##" $数"
量的坐标也是 将复数 用平面上这个点 表示 同时
!""##% "&#! 数!""## "
也用平面上这个向量 表示 这就将全体复数与平面上点的
""!
$数’!""## "
集合建立了一一对应关系 也将全体复数与平面上全体向量的集合建
"
立了一一对应关系 如图
% " #%
图
" #
按上述方式与全体复数建立了一一对应关系的平面叫作复平面
轴叫作实轴 轴叫作虚轴
!$%&’()*’(+,)#"( !-)+(+*!.#") !!&+/!,+-0
实轴上的点都表示实数 除原点外 虚轴上的点都表示纯虚数
+*!.#% " " %
特别地 数 用沿 轴正方向的单位向量 表示 数 用沿
" 1 ( !’!1"2# " ! )
1
轴正方向的单位向量 表示 设复平面上的向量 的坐标为
!’!2"1# % !
#
则 将这个表达式中的 分别换成 就得
!""##" !’"!&#!" !"! 1"!"
1 # 1 #
到 所表示的复数
! "&#!%
例 在复平面上画出分别表示以下复数 的
!# !1# *"*"*"*
1 # 3 4
点
数"数"数"数%
1 # 3 4
*’1"#*’!"#*’453!"#*’463!%
1 # 3 4
求出表示以上复数的向量
!##
的模 试推
""! ""! ""! ""!
$数"$数"$数"$数 %
1 # 3 4
广你的结论
%
表示以上复数的点中是否
!3#
有两个点关于实轴对称 它们所代
$
表的复数有什么关系
$
解 如图
# !1# " 3%
由 的坐标 图
!## 数"数"数"数 " 3
1 # 3 4
104
书书书第 ７ 章
数系的扩充与复数
·············································
分别算出各向量的模为
数!""#"数""!#"数#"$#"数#"!$#"
##" ##"
!"#!$!"#!$!"
! %
槡
##" ##"
!"#!$ #%%$%$&’!"#!&
$ #
一般地 由表示复数 的向量 的坐标为 可求出它的
##"
" ’%(( "# 数’"(#
模为 槡
##"
!"#!$ ’%%(%&
点 关于实轴对称 它们所表示的复数
数$# #数#"$#"#数#"!$# "
$ #
与 的实部相同 虚部互为相反数
#)$( #*$( " &
对任意复数 我们将它在复平面上所对应的向量的模
)$’%(("
槡 称为复数 的模 也称为 的绝对值 记作
’%%(% ) 数+,-./0#" ) " !)!&
写成公式 即
" 想一想 当复数
!! ! !
槡 是实数时 用这个公式
!
!’%((!$ ’%%(%" 算出 是否与以
其中
"!"!
前熟悉的绝对值一致
’"($!& "
对任意复数 如果保持它的实部 不变 将虚
)$’%((数’"($!#" ’ "
部 变成它的相反数 得到的复数 称为原来的复数 的共轭
( !(" ’!(( )
复数 记为 也就是说
数1,23.45601,+7/082.+90:#" )%&
’%(($’!((&
当然 反过来也有 因此
" ’!(($’%((" )$)&
于是 例 的 的结论可以推广为
" ! 数$# $
复平面上两点 关于 轴对称 它们所代表的复数相互
#"* + &
共轭
&
做除法时用到的重要公式
’数,%-(#数,!-(#$,%%-%"
可以重新叙述为
’))%$!)!%"
即 槡
’!)!$ ))%&
设复数 分别由向量 表示 如图 即
##" ##"
)$’%(("!$,%-( "#""* " ; #&
则这两个复数的和
##" ##"
"#$数’"(#""*$数,"-#& )%!$数’%,#%数(%
由向量 表示 是以 为
##" ##" ##"
-#( ".$数’%,"(%-#$"#%"* "". "#""*
邻边的平行四边形的对角线 这也就是说 复数 的加法由对应
& " )"!
105
书书书
书书书第 ７ 章
数系的扩充与复数
············································
图
数 "
的向量 的加法来表示
""! ""!
!"!!# $
类似地 复数的减法由对应的向量的减法来表示
! "
""! ""! ""!
%&!’#(&)$*#+&,$#""!!-’#(&)!+&,$’!"&!#!
与 同向平行且长度相等
!- #" $
复数 与任一实数 的乘法由复数对应的向量 与 的乘法
""!
% . !" .
表示
"
""! ""!
.%’.(*.+#""!!/’#.(!.+$’.!"$
例 已知 是复平面上的平行四边形 是原点
!# !012 !! !0!2
分别表示复数 是 的交点 如图 求
$%#!&%"#!/ !1!02 ! 数 ’$ 1!
表示的复数
/ $
图
数 ’
解 由于 分别代表 代表的
""! ""! ""! ""! ""!
# !0!!2 $%#!&%"#!!1’!0*!2
复数为 这也就是 表示的复数
#$%#$%#&%"#$(’%’#! 1 $
代表的复数为 这也就是 表示
""! )""! ) ’ ’
!/’ !1 #’%’#$’ * #! /
& & & &
的复数
$
106
书书书第 ７ 章
数系的扩充与复数
·············································
阅读与思考
数数数
的几何意义
ｉ２! ＝ ! "－１#"的几何意义
用平面向量来表示复数 使复数有了几何意义 我们已经知道了 既然复数由向量代
! $ !!
表 容易认为复数相乘
复数的加减运算的几何意义 但还不知道复数乘法的几何意义 因此 !
! ! 由向量的数量积代表
!
还不知道 有什么意义 也就是两个 相乘为什么得 请自己举例验证看是否
#!"#" ! # #"$
如此 比如 由 正
要解释 先看 的几何意义 将平面上每个向 ! !! "
#!"#"! "#"#!"" $ 方向上的单位向量
!
量 用从原点 出发的有向线段 来表示 即 用 乘 代表 与 的乘积是"
! % %& " !"% ## & " #! #" ! !! !
否等于 与 的数量
将它变为 其效果是将 绕 旋转 变为 同时 ! !
#!"% ## &’ " ! %& % "$%& %&’! 积
"
又如"
!!
与"
#$!
的
也就将平面上每个点 绕 旋转 变到 也就是关于 作中 乘积是否等于它们所对
& % "$%& &’! %
应的向量的数量积
心对称 将向量 乘 也就是乘了 再乘 转了 "
$ % ## & " "#"#!! #" ’"! "$%& 可以用
!!!!!"""!
再转 就是转 每条这样的有向线段 都转回原来的位 两句诗来说明 后转
"$%&! ()%&! %& # $
两次转向前 负负为正
置 相当于乘了 这就是说 %
! "$ "#"#!""$ 很显然 向量乘
#& !!
向量乘 是旋转 可以将这个旋转平均分成两次来完 就是向后转 连乘两个
#" "$%&! %
就是后转再后转
成 每次旋转 连转两次就是转 假如规定一个新的数 !! %
! *%&! "$%&$ #! 回到原来的位置
#
将复平面上每个向量 乘 就是沿逆时针方向旋转 那么
##"
!"%& # *%&!
乘 就是连续旋转两个 也就是旋转了 相当于乘 如 沿逆时针方向转
#! *%&! "$%&! #"! !!
俗话说就是 向
图 这就说明了 !"#! "
+ )$ #!"#"$ 左转 左转再左转
#! " !
等于 向 后 转 就 是
#!
本章开始的
$%"#&!
诗句 平方得负岂荒
"
唐 左转两番朝后方
$ #
说的 就 是 这 个 意 思
!
左转两番朝后方 是
" #
众所周知的常识 有什
!
么荒唐和虚幻的呢 当
$
然 右转两番朝后方
!" #
图 也是对的 这就是说
数数 + ) !
有两
%#$&%"#&!#&
个平方根
’$!
107
书书书
书书书
书书书
书书书第 ７ 章
数系的扩充与复数
············································
练 习
已知复数 在复平面内画出这些复数和它们的
)
数" #$%!!&’(%!!)%!*! ’#%!
(
共轭复数所对应的向量 并求出它们的模
! "
复数 对应点在虚轴上 则实数
(" #$"%(!(%#&"%(!%!(#% ! %$!!!!"
若复数 所对应的点在第三象限内 求实数 的取值范围
#" "!#$’(#!"’(!(#% ! ’ "
习题
! !
复数 则 在复平面内对应的点位于第 象限
数" #$#$%!#$数’%! #$#$# ! ! "
数 ( 数 (
设 画出满足条件的点构成的图形
(" #"!!(# # #)! "
实数 取何值时 复平面内表示复数 的点满
#" ’ ! #$"’(!#’!数+#&"’(!,’&数+#%
足下列条件
%
位于第四象限 位于直线 上
"数# &!!!!!!!"(# ($) "
是任意复数 求证
&"# " %
是实数
"数##&#$ &
是实数
"(## %#$$#"
根据复数的几何意义证明
)" % # ! # # #&# # # & # "
数 ( 数 ( 数 (
108
书书书第 ７ 章
数系的扩充与复数
·············································
数数数数数
小结与复习
一 指导思想
!
数数
在问题情境中了解数系的扩充过程 体会实际需求与数学内部
!
的矛盾在数系扩充过程中的作用 感受人类理性思维的作用以及数
!
学与现实世界的联系
!
二 内容提要
!
数数
复数及其相关概念
!! !
虚数单位 其中
"!# $"" "#"#!#%
复数 具有形状 其中 是实数 的数称为复
"## $ $%&"" $!& #
数 其中 称为复数 的实部 称为 的虚部
! $ $%&" !& $%&" !
虚数 当 时 为虚数 特别地
"$# $ &"% !$%&""$!&#!# ! !
叫纯虚数
&""&"%# %
复数的模 若 则复数 的模为
"&# $ ’"$%&""$!&#!#! ’
槡
$’$" $#%&#!
复数相等的充要条件 ’$"(!
#! $$%&""(%)""$!&!(!)#!#%&
(&")!
复数的四则运算 一般地 对任意两个复数
$! $ ! $%&"!(%)"
"$!&!(!)#!#!
加法
$"$%&"#%"(%)"#""$%(#%"&%)#"%
减法
$"$%&"##"(%)"#""$#(#%"&#)#"%
乘法
$"$%&"#"(%)"#""$(#&)#%"$)%&(#"%
除法 当 时 $%&" "$%&"#"(#)"#
$ (%)""% ! " !
(%)" (#%)#
在复数范围解简单的方程
&! !
109
书书书第 ７ 章
数系的扩充与复数
············································
三 学习要求和需要注意的问题
!
数数
学习要求
!! !
理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件
!!" #
了解复数的代数表示法及其几何意义
!"" #
能进行复数代数形式的四则运算 了解复数代数形式的加
!#" $
减运算的几何意义
!
需要注意的问题
"! !
在复数概念与运算的教学中 应注意避免烦琐的计算与技
!!" $
巧训练
#
注意向量与复数的几何意义相结合
!"" !
四 参考例题
!
数数
例 设 求满足条件 且 的复
!
!数 """$ "# "# #"$"#$"
"
数
"!
解 设
数 "%&#’%!&$’"#"$
则
! ! &$’%
数"# %&#’%# %&#’%# !
" &#’% &"#’"
! ! & " ! ’ "
(数"# %&# #’$ %!
" &"#’" &"#’"
! ’
)数"# "#$数(数’$ %&$
" &"#’"
或
(数’%& &"#’"%!!
又
)数#"$"#$"$
(数#!&$""#’%#%"$数(数!&$"""#’"%’!
当 时
!!"数 ’%& $!&$"""%’$
或
数(数&%’ &%&!
又
)数"$&$
数(数"%’!
当 时
!""数 &"#’"%! $
110
书书书第 ７ 章
数系的扩充与复数
·············································
数!!"#!"!$"#"!%$#
"
数!"% #
$
槡
"%
数!&%’ #
$
槡
" "%
数!(% ’ &)
$ $
槡
综合 得 或
" "%
!""!!" (%$ (% ’ &)
$ $
例 已知复数 满足 槡 的虚部为 所对应的
!! ( "("% !#(! !#(
点 在第一象限
* )
求 若 在复平面上对应点分别为
!"" ($ !!" (#(!#(#(! *#
求
+#,# ’()#*+,)
解 令
!!"" (%-$.&!-$*#.$*")
槡
/"("% !#
数!-!$.!%!) !
又
/!(!%!-$.&"!%-!#.!$!-.&#
数!!-.%!#!数!-.%") "
由 可解得&-%"#或 &-%#"# 舍去
!" % % ! "
’.%" ’.%#")
数!(%"+&)
!!"(!%!"+&"!%!&#(#(!%"+&#!&%"#&)
如图 所示 点 在复平面上
, , # *#+#,
的坐标依次为
*!"#""#+!*#!"#,!"#
#"")
))( ))(
数!+*% !"##""#+,% !"##-"#
))( ))(
+*%+, "+-
数!’()#*+,% ))( ))( %槡 槡
"+*""+," !% "*
槡 图
$ ! % , ,
% 槡% )
! % %
111
书书书第 ７ 章
数系的扩充与复数
············································
复 习 题 七
对于下列三个命题
数! !
任何复数的模都是非负数
"数# $
槡 槡 槡 槡 则这些复数的对应点共圆
""#"# #$%"# "% &$%"#$ #%"#"%$% $
数 " & ’
的最大值为槡 最小值为
"&#!()*!%$*$+!! "% ,!
其中正确的命题是
""""!
若复数 是纯虚数 则
"! "#*$+""$$"数%()*""# %"#&,%"!#% "#""""!
若复数 则
$
"的虚部为
&! "#"%$%"#数%&$% % " """"!
数 " " #
数
把复数 对应的点向右平移一个单位 再向下平移一个单位得到点 把所
’! 数-$ % &%
得向量 绕点 按逆时针方向旋转 得到向量 则 点对应的复数为
%%$ %%$
’& ’ .,/% ’(% (
""""""!
求满足下列各条件的复数
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数,
"&#!"!$"&# $ " "’#""#1-"’$!
数%"$
已知 槡 槡 槡 求
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数 " 数 " 数 " 数 "
已知 求 的最大值
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112
书书书第 ７ 章
数系的扩充与复数
·············································
数的"次方根
在实数范围内 方程 只有一个根 但在复数范围内则不然
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用代数方法求方程 的全部复数根
## !!"" #
提示 将方程变形为 左边分解因式得 分别求
" !!$"$%# #!$"$#!&%!%"$"%#
出 和 的复数根 凑到一起就是 的复数根
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在复平面上画出 的复数根所对应的点 观察这些点组成什么样的图形
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对任意角 通过计算验证等式
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并由此推出
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#()*!%+*+,!$!"()*!!%+*+,!!#
根据上面的等式 找出使 的 你得到了方程 的哪
""# ! #()*!%+*+,!$!"" !# !!""
些根 这些根在复平面上的点组成什么样的图形
% %
113
书书书第 ７ 章
数系的扩充与复数
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数学文化
数数数
数系扩充小史
数系扩充小史
自然数的原始概念在人类的文字尚未出现时即已形成 例如前
!
人清点猎物的数目 拿过一只猎物 例如山鸡 就扳一个指头 或
! " # !
在一个小土坑里放上一颗石子 或在绳子上打一个结 这些事物的
! !
多寡都是自然形成的 所以后人称其为自然数 由于双手有 个
! ! !"
指头 所以古代中国和印度等国发明了十进制计数法 南美洲气候
! !
炎热 那里古代人类打赤脚 所以古玛雅文明中有二十进制 自然
! ! !
数的概念究竟是何时何地的人们首先创立 是不可考究的事了 据
! !
考古学家估计大约在 万年以前 有的甚至说 万年以前 人类
# ! $" !
已有自然数的概念 公元前 世纪左右 中国发明了数字 从一到
! # ! "
九 而且我国古代人已有一一
#$ !
对应计数的观念 例如想数数人有多少 则问 几口人 人与嘴
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一一对应 牛与头一一对应 自然数是数学的祖先 世纪 德
! ! !!% !
国数学家克罗内克说 上帝创造了自然数 其余 数学 都是人
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造的
!’
公元元年左右 中国 九章算术 中由除法与减法引入了分数
! ( )
和负数
!
公元 年 印度人首先把零当成数看待 且创造了数字
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公元 世纪由阿拉伯数学家花拉子
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米把这十个数字引入欧洲 由于花氏是阿拉伯人 欧洲人误称
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为阿拉伯数字 其实应正名为印度数字 但已沿袭多年
!!*!% ! !
的 阿拉伯数字 之称 不易改变称谓了
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公元前 世纪毕达哥拉斯学派的著名数学家希帕苏斯提问单位
(
正方形的对角线有多长 当时毕达哥拉斯学派的信条是 万物皆
! %
114
书书书第 ７ 章
数系的扩充与复数
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数 他们和当时全人类都认为数就是正分数和正整数 此外不存
数" "
在别的什么数 但由勾股定理 单位正方形对角线长 应满足
! " " "!#
若 是既约分数 则会引出矛盾 为了维护毕达哥拉斯的尊
$
!" "# " !
%
严和世俗对数的偏见 毕氏竟因此下令把他的得意门生希帕苏斯投
"
入爱琴海 使其葬身鱼腹 但问题并没有解决 对角线是物 它的
" ! " "
长就应该是数 但这个数不是毕达哥拉斯时代人们所知道的数 于
! "
是出现了第一次数学危机 当然应当承认事实 而不是事实服从传
! "
统的观念 所以从那之后人们发现了一种不是自然数与分数的数
" "
名曰 无理数 无理数比负数发现得早 数学家们把有理数与无
# 数! "
理数统称为实数 但直到 世纪 数学家们才搞清楚什么是无理
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数 什么是实数
" !
年 意大利著名数学家卡丹用三次方程
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槡& 槡 槡& 槡
的求根公式 $ !$"! !%"& $ !$"! !%"&求解时
&# ’ ( ’ ( ( "
! ! & ! ! &
面对负数开平方但又不能把这种数舍去的局面 例如
" &&#"$&’%"
它有一个根 是 而把 代入公式则得这个根
& %" %#"$"$#% &
"
槡 槡
& 槡 & 槡
&# !( ("!"’ !) ("!"!
"
卡丹叹道 对这种量进行运算 感到道德上的折磨 但结果令人
&# " "
满意 卡丹称诸如槡 这种负数开平方的量为 诡辩量 但这
!数 ("!" # 数"
里已经不能再像过去解一元二次方程那样见到 则
!#)!(%*+"’"
声称根在实数范围无意义而舍弃 事实上 如果这时把 舍弃
! " & "
"
舍弃的是实根 所以人们开始接受负数开平方的运算 确认运算
%! "
结果 也 是 一 个 数 年 笛 卡 儿 称 负 数 开 平 方 的 结 果 是
!"*&+ "
虚数
# 数!#
年 挪威数学家韦塞尔对 槡 作出几何解释 平面
"+#+ " *’) (" "
直角坐标系中 若一点 的坐标为 则向量 用复数
%%$
" , $*")%" -, *’
槡 表示 年 高斯引入记号 使槡 则复数
) (" !",’" " -" ("#-" *’
槡 写成
) (" *’)-!
数系扩充的谱图如下页
&
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书书书第 ７ 章
数系的扩充与复数
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116
书书书附 录
·····················································
附 录
!
数学词汇中英文对照表
按词汇所在页码的先后排序
! "
中文名 英 文 名 页 码
! ! ! !
试验组
! !"#!$%&!’()*+$,-# .
对照组
/,’($,*+$,-# .
样本点
0)&#*!,-(/,&! 1
样本空间
0)&#*!0#)/! 1
独立
%’2!#!’2!’( 3
线性回归模型
*%’!)$$!+$!00%,’&,2!* ..
正态密度
’,$&)*2!’0%(4 .3
正态分布
’,$&)*2%0($%5-(%,’ .6
合情推理
#*)-0%5*!$!)0,’%’+ 77
归纳
%’2-/(%,’ 77
类比
)’)*,+4 78
演绎推理
2!2-/(%9!%’:!$!’/! ;.
综合法
04’(<!0%0&!(<,2 ;3
分析法
)’)*40%0&!(<,2 ;3
反证法
$!2-/(%,’(,)50-$2%(4 =>
工序流程图
?,$@%’+#$,/!2-$!(!/<’,*,+%/)*
#$,/!00 3;
复数
/,&#*!"’-&5!$ 81
实部
$!)*#)$( 81
虚部
%&)+%’)$4#)$( 81
虚数
%&)+%’)$4’-&5!$ 83
纯虚数
#-$!%&)+%’)$4’-&5!$ 83
代数基本定理
A-’2)&!’()*B<!,$!&%’C*+!5$)D>.
复平面
/,&#*!"#*)’! D>;
117
书书书附 录
·····················································
实轴
!"#$#%&’ ()*
虚轴
&+#,&-#!.#%&’ ()*
模
+/01$" ()2
共轭复数
3/-41,#5"3/+6$"%-1+7"! ()2
118
书书书普通高中课程标准实验教科书
数 学
!!
选修 文科
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责任编辑 胡 旺
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