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2022 年上海中考数学真题
一．选择题
1. 8的相反数是（ ）
A. B. 8 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：8的相反数是 ，
故选A．
【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 下列运算正确的是……（ ）
A. a²+a³=a6 B. （ab）2 =ab2 C. （a+b）²=a²+b² D. （a+b）（a-b）=a² -b2
【答案】D
【解析】
【分析】根据整式加法判定A；运用积的乘方计算关判定B；运用完全平方公式计算并判定C；运用平方
差公式计算并判定D．
【详解】解：A.a²+a³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意；
B.（ab）2 =a2b2，故此选项不符合题意；
C.（a+b）²=a²+2ab+b²，故此选项不符合题意
.
D（a+b）（a-b）=a² -b2，故此选项符合题意
故选：D．
【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完
全平方公式、平方差公式是解题的关键．
3. 已知反比例函数y= （k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象
上的为（ ）
A. （2，3） B. （-2，3） C. （3，0） D. （-3，0）
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可．【详解】解：∵反比例函数y= （k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，,
∴k=xy<0，
A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；
C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解
题的关键．
4. 我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，我们计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的
数据，则两种情况计算出的数据一样的是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数，中位数，众数和方差的特点，这组数据都加上6得到一组新的数据，方差不变，平
均数，中位数改变，众数改变，即可得出答案．
【详解】解：将这组数据都加上6得到一组新的数据，
则新数据的平均数改变，众数改变，中位数改变，但是方差不变；
故选：D．
【点睛】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差的意义．理解求解一组数据的平均数，众数，中位数，
方差时的内在规律，掌握“新数据与原数据之间在这四个统计量上的内在规律”是解本题的关键．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题一定有逆命题 B. 所有的定理一定有逆定理
C. 真命题的逆命题一定是真命题 D. 假命题的逆命题一定是假命题
【答案】A
【解析】
【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案．
【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；
B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题
而不是真命题，故此选项不符合题意；D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命
题，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件
和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．
6. 有一个正n边形旋转 后与自身重合，则n为（ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与 一致或有倍数关系的则符合题意．
的
【详解】如图所示，计算出每个正多边形 中心角， 是 的3倍，则可以旋转得到．
A.
B.
C.
D.
观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合故选C．
【点睛】本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立
关系．
二．填空题
7. 计算：3a－2a＝__________．
【答案】a
【解析】
【详解】根据同类项与合并同类项法则计算：3a－2a=（3－2）a=a
8. 已知f（x）=3x，则f（1）=_____．
【答案】3
【解析】
【分析】直接代入求值即可．
【详解】解：∵f（x）=3x，
∴f（1）=3 1=3，
故答案为：×3
【点睛】本题主要考查了求函数值，直接把自变量的值代入即可．
9. 解方程组 的结果为_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用平方差公式将②分解因式变形，继而可得 ④，联立①④利用加减消元法，算出结果
即可．
【详解】解：
由②，得： ③，
将①代入③，得： ，即 ④，
① ②，得： ，
+
解得： ，① ②，得： ，
−
解得： ，
∴方程组 的结果为 ．
【点睛】本题考查解二元二次方程组，与平方差公式分解因式，能够熟练掌握平方差公式分解因式是解决
本题的关键．
10. 已知x- x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____．
【答案】m<3
【解析】
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则Δ>0，即(-2 )2-4m>0，求解即可．
【详解】解：∵x- x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(-2 )2-4m>0
解得：m<3，
故答案为: m<3．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根，Δ>0；当方程有两
个相等的实数根，Δ=0；当方程没有实数根，Δ<0”是解题的关键．
11. 甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与分到甲和乙的情况，再利用概
率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树形图如下：由树形图可知所有可能情况共6种，其中分到甲和乙的情况有2中，
所以分到甲和乙的概率为 ，
故答案为：
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可
能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，注意概率=所求情
况数与总情况数之比．
12. 某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为
_____．
【答案】20%
【解析】
【分析】根据该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二
次方程，解此方程即可得解．
【详解】解：设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得，
解得， （舍去）
所以，增长率为20%
故答案为：20%
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的
关键．
13. 为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方
图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值）（0-1小时4人，1-2小时10人，2-3小时14人，3-4
小时16人，4-5小时6人），若共有200名学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是
_____．【答案】88
【解析】
【分析】由200乘以样本中不低于3小时的人数的百分比即可得到答案．
【详解】解：该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用样本估计总体，求解学生阅读时间不低于3小时的人数的百分比是解本题的关
键．
14. 已知直线y=kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：_____．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【详解】∵直线 过第一象限且函数值随着x的增大而减小，
∴ ， ，
∴符合条件的一条直线可以为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数 （ ），当 ， 时，
函数图象过第一象限且函数值随着x的增大而减小．
15. 如图所示，在口ABCD中，AC，BD交于点O， 则 =_____．【答案】
【解析】
【分析】利用向量相减平行四边形法则：向量相减时，起点相同，差向量即从后者终点指向前者终点即可
求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，向量相减平行四边形法则，解题的关键是熟练掌握向量相减平行四
边形法则．
的
16. 如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛 面积为
_____．（结果保留 ）
【答案】400π
【解析】
【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，连接OB，如图，∵AC=11，BC=21，
∴AB=AC+BC=32，
∵OD⊥AB于D，
∴AD=BD= AB=16，
∴CD=AD-AC=5，
在Rt OCD中，由勾股定理，得
△
OD= =12,
在Rt OBD中，由勾股定理，得
△
OB= =20，
∴这个花坛的面积=202π=400π，
故答案为：400π．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆的面积，熟练掌握垂径定理与勾股定理相结合求线段长是解题
的关键．
17. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上， ，则 _____．
【答案】 或
【解析】【分析】由题意可求出 ，取AC中点E，连接DE，则DE 是 ABC的中位线，满足
1 1 1
△
，进而可求此时 ，然后在AC上取一点E，使得DE＝DE，则 ，证明
2 1 2
DEE 是等边三角形，求出EE＝ ，即可得到 ，问题得解．
1 2 1 2
△
【详解】解：∵D为AB中点，
∴ ，即 ，
取AC中点E，连接DE，则DE 是 ABC的中位线，此时DE∥BC， ，
1 1 1 1
△
∴ ，
在AC上取一点E，使得DE＝DE，则 ，
2 1 2
∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠C=60°，BC＝ ，
∵DE∥BC，
1
∴∠DEE=60°，
1 2
∴ DEE 是等边三角形，
1 2
△
∴DE＝DE＝EE＝ ，
1 2 1 2
∴EE＝ ，
1 2
∵ ，∴ ，即 ，
综上， 的值为： 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角
的直角三角形的性质等，根据 进行分情况求解是解题的关键．
18. 定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作
“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____．
【答案】 ##
【解析】
【分析】如图，当等弦圆O最大时，则 经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接
OE，DK，再证明 经过圆心， ，分别求解AC，BC，CF， 设 的半径为 再分别表示
再利用勾股定理求解半径r即可．
【详解】解：如图，当等弦圆O最大时，则 经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，
连接OE，DK，过圆心O， ，
设 的半径为
∴
整理得：
解得：
不符合题意，舍去，
∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的
关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键．
三．解答题
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】原式分别化简 ，再进行合并即可得到答案．
【详解】解：
=
=
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20. 解关于x的不等式组
【答案】-2<x<-1
【解析】
【分析】分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再确定出公共部分，即可求解．
【详解】解： ，
解①得：x>-2，
解②得：x<-1，
∴-2<x<-1．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握根据“大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则性确定不等式组的解集是解题的关键．
21. 一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的
值．
【答案】（1）y=x+1
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：设这个一次函数的解析式y=kx+1，
把A（2，3）代入，得3=2k+1，
解得：k=1，
∴这个一次函数的解析式为y=x+1；
【小问2详解】
解：如图，
设反比例函数解析式为y= ，
把A（2，3）代入，得3= ，
解得：m=6，
∴反比例函数解析式为y= ，当x=6时，则y= =1，
∴B（6，1），
∴AB= ，
∵将点B向上平移2个单位得到点C，
∴C（6，3），BC=2，
∵A（2，3），C（6，3），
∴AC x轴，
∵B（6，1），C（6，3），
∴BC⊥x轴，
∴AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴cos∠ABC= ．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，点的平移，解三角形，坐标与图形，求得AC⊥BC是解题的
关键．
22. 我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．
（1）如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A
点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）
（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为
2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，
此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度
【答案】（1）atan +b米
α（2）3.8米
【解析】
【分析】（1）由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根据四边形CDBE为矩形，得到BE=CD=b，
BD=CE=a，在Rt∆ACE中，由正切函数tanα= ，即可得到AB的高度；
（2）根据AB∥ED，得到∆ABF~∆EDF，根据相似三角形的对应边成比例得到 ，又根据
AB∥GC，得出∆ABH~∆GCH，根据相似三角形的对应边成比例得到 联立得到二元一次方程组
解之即可得；
【小问1详解】
解：如图
由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α
∠B=∠D=∠CEB=90°
∴四边形CDBE为矩形，
则BE=CD=b，BD=CE=a，
在Rt∆ACE中，tanα= ，
得AE=CE=CE×tanα=a tanα
而AB=AE+BE，
故AB= a tanα+b
答：灯杆AB的高度为atanα+b米
【小问2详解】由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8
由于AB∥ED，
∴∆ABF~∆EDF，
此时
即 ①，
∵AB∥GC
∴∆ABH~∆GCH，
此时 ，
②
联立①②得
，
解得：
答：灯杆AB的高度为3.8米
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题的关键是读懂
题意，熟悉相似三角形的判定与性质．
23. 如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，
AE²=AQ·AB求证：（1）∠CAE=∠BAF；
（2）CF·FQ=AF·BQ
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用SAS证明 ACE≌△ABF即可；
（2）先证 ACE∽△AFQ可得△∠AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再证 CAF∽△BFQ，利用相似三角
形的性质得△出结论． △
【小问1详解】
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CF=BE，
∴CE=BF，
在 ACE和 ABF中， ，
△ △
∴ ACE≌ ABF（SAS），
∴△∠CAE=∠△BAF；
【小问2详解】
证明：∵ ACE≌ ABF，
∴AE＝AF△，∠CA△E=∠BAF，
∵AE²=AQ·AB，AC＝AB，
∴ ，即 ，
∴ ACE∽△AFQ，
∴△∠AEC=∠AQF，
∴∠AEF=∠BQF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BQF=∠AFE，
∵∠B=∠C，
∴ CAF∽△BFQ，
△∴ ，即CF·FQ=AF·BQ．
【点睛】本题考查了等腰三角形 的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌
握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
24. 已知： 经过点 ， ．
（1）求函数解析式；
（2）平移抛物线使得新顶点为 （m＞0）．
①倘若 ，且在 的右侧，两抛物线都上升，求 的取值范围；
② 在原抛物线上，新抛物线与 轴交于 ， 时，求 点坐标．
【答案】（1）
（2）①k≥2
②P的坐标为（2 ，3）或（-2 ，3）
【解析】
【分析】（1）把 ， 代入 ，求解即可；
（2）①由 ，得顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了m
个单位，根据 ，求得m=2，在 的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质即可
求出k取值范围；
②把P（m，n）代入 ，得n= ，则P（m， ），从而求得新抛物线解析式为：y= (x-m)2+n= x2-mx+m2-3，则Q(0，m2-3)，从而可求得BQ=m2，BP2=
，PQ2= ，即可得出BP=PQ，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|
m|，根据等腰三角形的性质可得BC= BQ= m2，∠BPC= ∠BPQ= ×120°=60°，再根据tan∠BPC= tan
60°= ，即可求出m值，从而求出点P坐标．
【小问1详解】
解：把 ， 代入 ，得
，解得： ，
∴函数解析式为： ；
【小问2详解】
解：①∵ ，
∴顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，
∵平移抛物线使得新顶点为 （m＞0）．
∴抛物线向右平移了m个单位，
∴ ，
∴m=2，
∴平移抛物线对称轴为直线x=2，开口向上，∵在 的右侧，两抛物线都上升，
又∵原抛物线对称轴为y 轴，开口向上，
∴k≥2，
②把P（m，n）代入 ，得n= ，
∴P（m， ）
根据题意，得新抛物线解析式为：y= (x-m)2+n= x2-mx+m2-3，
∴Q(0，m2-3)，
∵B（0，-3），
∴BQ=m2，BP2= ，
PQ2= ，
∴BP=PQ，
如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，
∵BP=PQ，PC⊥BQ，
∴BC= BQ= m2，∠BPC= ∠BPQ= ×120°=60°，∴tan∠BPC= tan 60°= ，
解得：m=±2 ，
∴n= =3，
故P的坐标为（2 ，3）或（-2 ，3）
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角
形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般．
25. 平行四边形 ，若 为 中点， 交 于点 ，连接 ．
（1）若 ，
①证明 为菱形；
②若 ， ，求 的长．
（2）以 为圆心， 为半径， 为圆心， 为半径作圆，两圆另一交点记为点 ，且 ．
若 在直线 上，求 的值．
【答案】（1）①见解析；②
（2）
【解析】【分析】（1）①连接AC交BD于O，证 AOE≌ COE(SSS)，得∠AOE=∠COE，从而得∠COE=90°，则
AC⊥BD，即可由菱形的判定定理得出结论△； △
②先证点E是 ABC的重心，由重心性质得BE=2OE，然后设OE=x，则BE=2x，在Rt AOE中，由勾股定
理，得OA2=AE△2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=△25-9x2,从而得9-
△
x2=25-9x2，解得：x= ,即可得OB=3x=3 ，再由平行四边形性质即可得出BD长；
（2）由⊙A与⊙B相交于E、F，得AB⊥EF，点E是 ABC的重心，又 在直线 上，则CG是 ABC
△ △
的中线，则AG=BG= AB，根据重心性质得GE= CE＝ AE，CG=CE+GE= AE，在Rt AGE中，
△
由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-( AE)2= AE2,则AG= AE,所以AB=2AG= AE，在Rt BGC中，
△
由勾股定理，得BC2=BG2+CG2= AE2+（ AE）2=5AE2，则BC= AE，代入即可求得 的值．
【小问1详解】
①证明：如图，连接AC交BD于O，
∵平行四边形 ，
∴OA=OC，
∵AE=CE，OE=OE，
∴△AOE≌ COE(SSS)，
∴∠AOE=∠△COE，
∵∠AOE+∠COE=180°，
∴∠COE=90°，∴AC⊥BD，
∵平行四边形 ，
∴四边形 是菱形；
②∵OA=OC，
∴OB是 ABC的中线，
∵ 为 △ 中点，
∴AP是 ABC的中线，
∴点E是△ ABC的重心，
∴BE=2OE△，
设OE=x，则BE=2x，
在Rt AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,
∴9-x△2=25-9x2，
解得：x= ,
∴OB=3x=3 ，
∵平行四边形 ，
∴BD=2OB=6 ；
【小问2详解】
解：如图，∵⊙A与⊙B相交于E、F，
∴AB⊥EF，
由（1）②知点E是 ABC的重心，
△
又 在直线 上，
∴CG是 ABC的中线，
△
∴AG=BG= AB，GE= CE，
∵CE= AE，
∴GE= AE，CG=CE+GE= AE，
在Rt AGE中，由勾股定理，得
△
AG2=AE2-GEE=AE2-( AE)2= AE2,
∴AG= AE,
∴AB=2AG= AE，
在Rt BGC中，由勾股定理，得
△
BC2=BG2+CG2= AE2+（ AE）2=5AE2，∴BC= AE，
∴ ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性质，
本题属圆与四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，属是考常考题目．
