文档内容
湖北省孝感市部分高中 2024—2025 学年下学期期末联考
高二数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考
证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置.
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
4、考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知数列 ，则 是该数列的（ ）
A. 第5项 B. 第6项
C. 第7项 D. 第8项
【答案】C
【解析】
【详解】由数列 ， ，2 ，…的前三项为 ， ， 可知，数列的通项公式为a ＝ ＝
n
，由 ＝2 ，可得n＝7.故选C.
2. 若 ， ， 成等比数列，则函数 的图像与 轴的交点个数为（ ）．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】由题得 ，再计算 得解.
【详解】因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
令 ，则 ，所以函数 的图像与 轴的交点个数为1个，
故选：B
3. 如图为函数 （其定义域为 ）的图象，若 的导函数为 ，则 的图象
可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据 的图象，分析 的函数值的正、负情况，即可判断.
【详解】解：由 图象知 在上先减后增，故 在 上函数值先负后正，
同理 在 上的符号是先负后正，四个选项中仅有选项A符合.
故选：A.
4. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）A. 当 时， 取得极小值1 B. 当 时， 取得极大值1
C. 当 时， 取得极大值33 D. 当 时， 取得极大值
【答案】B
【解析】
【分析】求导可得 解析式，令 ，可得极值点，利用表格法，可得 的单调区间，代入
数据，可得 的极值，分析即可得答案.
【详解】由题意得 ，
令 ，解得 或 ，
当x变化时， 、 变化如下
x -1
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
所以当 时， 取得极大值1，故B正确、C、D错误，
当 时， 取得极小值，故A错误，
故选：B
5. 如图所示，积木拼盘由 ， ， ， ， 五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现
拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如： 与 为相邻区域， 与 为不相邻区域），现有五种不
同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是（ ）A. 780 B. 840 C. 900 D. 960
【答案】D
【解析】
【分析】先涂 ，再涂 ，再涂 ，再涂 ，最后涂 ，由分步乘法计数原理，可得不同的涂色方法种
数.
【详解】解：先涂 ，则 有 种涂法，再涂 ，因为 与 相邻，所以 的颜色只要与 不同即可，
有 种涂法，同理 有 种涂法， 有 种涂法， 有 种涂法，由分步乘法计数原理，
可知不同的涂色方法种数为 ．
故选：D.
6. 某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后
一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有
A. 720种 B. 600种 C. 360种 D. 300种
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，②，5人排
好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分2步进行分析：
将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有 种情况，
在
② 5人排好后有5个空位可选， 其中任选1个，安排丙，有5种情况，
则有60×5＝300种不同的顺序，
故选D．
【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
7. 已知正九边形 ，从 中任取两个向量，则它们的数量积是正数的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数量积的定义，列出基本事件求概率即可.
【详解】
可以和向量 构成数量积有 一共8个向量，
其中数量积为的正数的向量有： 一共4个，
由对称性可知，任取两个向量，它们的数量积是正数的概率为： .
故选：A
8. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到 ，依据小概率值 的独立性检验（
），可推断（ ）
A. 变量X与Y不独立
B. 变量X与Y不独立，此推断犯错误的概率不超过0.01
C. 无法判断变量X与Y是否独立
D. 变量X与Y独立
【答案】D
【解析】
【分析】由独立性检验的意义判断可得.
【详解】零假设为 :变量X与Y独立.因为 ，所以依据小概率值 的独立性检验，
没有充分证据推断 不成立，因此可以认为 成立，即认为变量X与Y独立.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项积为 ，则下列结论正确的是( )
A. 数列 是等差数列 B. 数列 是等差数列
C. 数列 是等比数列 D. 数列 是等差数列
【答案】ABC
【解析】
【分析】设等差数列 的公差为 ，设等比数列 的公比为 ，求出 ，利用等差数列的定义可判
断 选项；利用等比数列定义可判断C选项．
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，∴ ．
对于A选项， ，∴ 为等差数列，A正确；
对于B选项，令 ，
∴ ，
故数列 是等差数列，B正确；设等比数列 的公比为 ，
对于C选项，令 ，则 ，故数列 是等比数列，C正
确；
对于D选项，∵ 不一定为常数，故数列 不一定是等差数列，故D错
误；
故选：ABC．
10. 已知函数 在R上单调递增， 为其导函数，则下列结论正确的是（
）
A. B.
.
C D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据导函数与函数单调性的关系一一判定即可.
【详解】因为函数 ，所以 .
因为函数 在R上单调递增，所以 ,对于任意的 恒成立，
所以 恒成立，即A正确；
但 大小不确定，故B错误；
对于方程 ，有 ，即 ，所以C正确，D错误；
故选：AC.
11. 李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自
行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，
样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（ ）A. P(X＞32)＞P(Y＞32)
B. P(X≤36)＝P(Y≤36)
C. 李明计划7：34前到校，应选择坐公交车
D. 李明计划7：40前到校，应选择骑自行车
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先利用正态分布，确定 和 ，再结合正态分布的对称性，和 的原则，即可求解.
【 详 解 】 A. 由 条 件 可 知 ， ， 根 据 对 称 性 可 知
，故A错误；
B. , ，所以 ，故B正确；
C. = ，所以 ，故C正确；
D. ， ， 所 以
，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12. 已知等比数列 的前 项中，所有奇数项的和为 ，所有偶数项的和为 ，则
的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设等比数列 的公比为 ，根据已知条件求出 的值，结合等比数列求和公式求出 的值，进
而可求得 的值.
【详解】设等比数列 的公比为 ，设等比数列 的前 项中，设所有奇数项的和为 ，所有偶数项的和为 ，
则 ，
所以， ，
又 ，则 ，
因此， .
故答案为： .
13. 从集合 中任取两个互不相等的数 ， ，组成复数 ，其中虚数有______个.
【答案】36
【解析】
【分析】
若复数 为虚数，则 ，分 两种情况讨论即得解.
【详解】从集合 中任取两个互不相等的数 ， ，组成复数 ，当 时，对应的
有6个值；当 取1,2,3,4,5,6时，对应的 只有5个值.所以虚数有 （个）.故答案为:36.
【点睛】本题考查了虚数的定义，考查了学生概念理解，数学运算，分类讨论的能力，属于基础题.
14. 为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得如表所示的数据:
单位:名
疗效
性别 合计
无效 有效
男性患者 15 35 50
女性患者 6 44 50
合计 21 79 100α 0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
设 :服用此药的效果与患者的性别无关， （小数点后保留3位有效数字），从而得出结论:服
用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的概率不大于___________.
【答案】0.05
【解析】
【分析】计算卡方，再由独立性检验比较可得.
【详解】由公式计算得 ，根据小概率值 的
独立性检验，认为服用此药的效果与患者的性别有关，判断出错的概率不大于0.05.
故答案为：0.05.
四、解答题：本题共5小题，共77分
15. 已知数列 是等差数列， ，且 成等比数列.给定 ，记集合
的元素个数为b.
k
（1）求 的值;
（2）求满足 的最小自然数 的值.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）设数列 的公差为 ，根据题意，列出方程，求得 ，得到 ，结合
，分别求得 的值；
（2）由（1）得到 ，求得 ，当 和 时，可得 ， ，进而得到 的最小值.
【
小问1详解】
解：设数列 的公差为 ，
因为 成等比数列，且 ，所以 ，
即 ，即 ，解得 ，所以 ，
又因为 ，
当 时，集合 ，所以集合中元素的个数 ；
当 时，集合 ，所以集合中元素的个数 ；
【小问2详解】
解：由集合 的元素个数为 ，
结合（1）可得 ，
所以 ，
当 时，可得 ；
当 时，可得 ，
又由 ，
所以数列 为单调递增数列，所以 的最小值是 .
16. 函数 ．
（1）讨论 的单调性；（2）若 有最大值M，且 ，求a的值．
【答案】（1）答案见解析；（2）1
【解析】
【分析】
（1）求出 ，分 或 两种情况讨论可得；
（2）由（1）可得 ，则 ，构造函数 ，利用导数可求最大值
得出 ，则 ，即可得出 .
【详解】解：（1）易知 ， ，
当 时 对任意的 恒成立；
当 时，若 ，得 ，若 ，得 ，
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）由（1）可得当 时， 单调递增，则 没有最大值， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
，即 ，
， ，即 ，
令 ，
，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
，
，
， .
【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是先得出 ，再根据导数求出函数单调性，
得出 .
17. 已知函数 为常数，e=2.71828…，曲线 在点 处的切线与x轴平行.
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求 的单调区间；
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 单调递增区间是 ，单调递减区间是
【解析】
【详解】试题分析：（1）求出函数的导函数，函数在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，说明f′（1）
=0，则k值可求；（2）求出函数的定义域，然后让导函数等于0求出极值点，借助于导函数在各区间内的
符号求函数f（x）的单调区间
试题解析：（I） ，
由已知， ，
（II）由（I）知， .设 ，则 ，即 在 上是减函数，
由 知，当 时 ， ，
当 时 ，从而 .
综上可知， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
考点：利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义
18. 某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，
甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案:两家公司从 个招标
问题中随机抽取 个问题，已知这 个招标问题中，甲公司可正确回答其中的 道题目，而乙公司能正确
回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.
（1）求甲、乙两家公司共答对 道题目的概率；
（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
【答案】（1） （2）甲公司竞标成功的可能性更大.
【解析】
【详解】试题分析：（1）分两种情况求概率：甲答对 道题、乙答对 道题；甲答对 道题、乙答对 道
题；其中甲答对 道题概率为 ,乙答对 道题概率为 ，最后根据概率乘法公式与
加法公式求概率，（2）分别求甲、乙公司正确完成面试的题数期望和方差，期望较大、方差较小的公司
竞标成功的可能性更大.先确定随机变量可能取法，求出对应概率(甲答对 道题概率为 ,乙答对道题概率为 )，利用期望公式及方差公式求期望与方差.
试题解析：（1）由题意可知，所求概率 .
(2)设甲公司正确完成面试的题数为 ,则 的取值分别为 ， ， .
, ， .
则 的分布列为：
.
设乙公司正确完成面试的题为 ,则 取值分别为 ， ， ， .
, ,
,
则 的分布列为：
,
.（或 ）
.( )由 , 可得，甲公司竞标成功的可能性更大.
19. 中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组
为了获得茶水温度y（单位： ）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在 室温，
用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点
图以及如表所示数据.
73.5 3.85
表中： ，
（1）根据散点图判断，① 与② 哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归
方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度y关于时间
x的回归方程；
（2）已知该茶水温度降至 口感最佳，根据（1）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约
需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？
附：（1）对于一组数据 ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二
乘估计分别为 ，（2）参考数据： ， ， ， ，
【答案】（1）②更适宜， ；
（2）7.5min.
【解析】
【分析】（1）根据散点图选择②，取对数，再利用最小二乘法公式求出回归直线方程即可.
（2）利用（1）中回归方程，列出关于 的方程求解即得.
【小问1详解】
由散点图知，更适宜的回归方程为②，即 .
由 ，得 ，两边取自然对数，得 ，
令 ，则 ，
，
结合表中数据，得 ，
结合参考数据可得 ，由 ，得 ，
所以茶水温度y关于时间x的回归方程为 .
【小问2详解】
依题意， 室温下，茶水温度降至 口感最佳，
即 ，整理得 ，
于是 ，解得 ，
所以在相同条件下，刚泡好的茶水大约需要放置7.5min才能达到最佳引用口感.
