2010年高考数学试卷（文）（上海）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·Word版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2010·高考数学真题

2010 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（文科）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空
格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.已知集合 A1,3,m，
B
3,4，
AB
1,2,3,4则m 2 。
解析：考查并集的概念，显然m=2
2x
 
2.不等式 0的解集是 x|4 x  2 。
x4
2x
解析：考查分式不等式的解法 0等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4<x<2
x4
 
cos sin
3.行列式 6 6 的值是 0.5 。
 
sin cos
6 6
 
cos sin
解析：考查行列式运算法则 6 6 = π π π π  1
cos cos sin sin cos 
  6 6 6 6 3 2
sin cos
6 6
4.若复数 （ 为虚数单位），则 。
z 12i i zzz  62i
解析：考查复数基本运算
zzz  (12i)(12i)12i 62i
5.将一个总数为 A、B 、C三层，其个体数之比为5:3:2。若用分层抽样方法抽取容量为
100的样本，则应从C中抽取 20 个个体。
2
解析：考查分层抽样应从C中抽取100  20
10
6.已知四棱椎PABCD的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA底面ABCD，且PA8，
则该四棱椎的体积是 96 。
1
解析：考查棱锥体积公式V  36896
3
7.圆 的圆心到直线 的距离 3 。
C:x2  y2 2x4y40 3x4y40 d 
解析：考查点到直线距离公式
圆心（1,2）到直线 距离为 31424
3x4y40 3
5
第1页 | 共7页8.动点 到点 的距离与它到直线 的距离相等，则 的轨迹方程为 y28x
P F(2,0) x20 P
。
解析：考查抛物线定义及标准方程
定义知 的轨迹是以 为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y28x
P F(2,0)
9.函数
f(x)log (x3)
的反函数的图像与 y轴的交点坐标是 (0,2)
3
。
解析：考查反函数相关概念、性质
法一：函数 的反函数为 ，另 x=0，有
f(x)log (x3) y 3x 3
3
y=-2
法二：函数 图像与x轴交点为（-2,0），利用对称性
f(x)log (x3)
3
可知，函数
f(x)log (x3)
的反函数的图像与 y轴的交点为（0，-
3
2）
10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率
3
为 （结果用最简分数表示）。
51
解析：考查等可能事件概率
C2 3
“抽出的2张均为红桃”的概率为 13 
C2 51
52
11. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，S 表示上海
世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，
则空白的执行框内应填入 S←Sa 。
解析：考查算法
 1 2 3  n2 n1 n 
 
2 3 4  n1 n 1
 
12.在n行m列矩阵 3 4 5  n 1 2 中，
 
      
 
 
 n 1 2  n3 n2 n1
记位于第 行第 列的数为 。当 时， 45
i j a (i, j 1,2,n) n9 a a a a 
ij 11 22 33 99
。
解析： 1+3+5+7+9+2+4+6+8=45
a a a a 
11 22 33 99
13.在平面直角坐标系中，双曲线 的中心在原点，它的一个焦点坐标为 ，
 ( 5,0)
 
、 分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线 上的点 ，若
e (2,1) e (2,1)  P
1 2
第2页 | 共7页  
OP ae be
（a、
bR
），则a、
b
满足的一个等式是 4ab1 。
1 2
 
解析：因为 、 是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为
e (2,1) e (2,1)
1 2
1
y   x，又c  5,a  2,b 1
2
双曲线方程为 x2 ，
  
= ，
 y2 1 OP ae be (2a2b,ab)
4 1 2
(2a2b)2 ，化简得4ab1
 (ab)2 1
4
14.将直线 、 、 （ ， ）围
l :x y10 l :nx yn0 l :xnyn0 nN* n2
1 2 3
1
成的三角形面积记为S ，则limS  。
n n n 2
n n
解析：B( , ) 所以BO⊥AC，
n1 n1
1 n 2 n1
=
S  2( 2  ) 
n
2 n1 2 2(n1)
1
所以limS 
n
n 2
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须
在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
2x y3,

x2y3,
15.满足线性约束条件 的目标函数z  x y的最大值是 [答]（ ）
x0,

 y0
3
（A）1. （B） . （C）2. （D）3.
2
解析：当直线z  x y过点B(1,1)时，z最大值为2

16.“x2k kZ ”是“tanx1”成立的 [答]（ ）
4
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件.
  5
解析：tan(2k )  tan 1，所以充分；但反之不成立，如tan 1
4 4 4
17.若 是方程式 的解，则 属于区间 [答]（ ）
x lgxx2 x
0 0
（A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2）
7 7 1
解析：构造函数f(x) lgx x2,由f(1.75)  f( ) lg  0
4 4 4
第3页 | 共7页知 属于区间（1.75，2）
f(2) lg2 0 x
0
18.若△ABC的三个内角满足sin A:sinB:sinC 5:11:13，则△ABC
（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.
（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
解析：由sin A:sinB:sinC 5:11:13及正弦定理得a:b:c=5:11:13
由余弦定理得 52 112 132 ，所以角C为钝角
cosc  0
2511
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的
规定区域内写出必要的步骤。
19.（本题满分12分）

已知0 x ，化简：
2
x 
lg(cosxtanx12sin2 )lg[ 2cos(x )]lg(1sin2x).
2 2
解析：原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20．
20.（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4个全等的矩
形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱
的侧面和下底面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径r取何值时，S 取得最大值？并求出该
最大值（结果精确到0.01平方米）;
(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为 0.3米的灯笼，请
作出
用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.
解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l1.22r(0<r<0.6)，
S3(r0.4)20.48，
所以当r0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；
(2) 当r0.3时，l0.6，作三视图略．
21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。
已知数列a 的前n项和为
S
，且
S n5a 85
，
nN*
n n n n
(1)证明：a 1是等比数列；
n
(2)求数列S 的通项公式，并求出使得S S 成立的最小正整数n .
n n1 n
5
解析：(1) 当n1时，a14；当n≥2时，aSS 5a5a 1，所以a 1 (a 1)，
1 n n n1 n n1 n 6 n1
又a115≠0，所以数列{a1}是等比数列；
1 n
第4页 | 共7页(2) 由(1)知： 5 n1 ，得 5 n1 ，从而 5 n1
a 115  a 115  S 75  n90
n 6 n 6 n 6
(nN*)；
由S >S，得5 n1 2 ， 2 ，最小正整数n15．
n1 n  6    5 nlog 5 25 114.9
6
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小
题满分8分。
若实数x、y、m满足 xm  ym ，则称x比y接近m .
（1）若 比3接近0，求 的取值范围；
x2 1 x
（2）对任意两个不相等的正数 、 ，证明： 比 接近 ；
a b a2bab2 a3b3 2ab ab
（3）已知函数 f(x)的定义域 D  x xk,kZ,xR .任取 xD， f(x)等于
和 中接近0的那个值.写出函数 的解析式，并指出它的奇偶性、最
1sinx 1sinx f(x)
小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.
解析：(1) x(2,2)；
(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有 ， ，
a2bab2 2ab ab a3 b3 2ab ab
因为 ，
|a2bab2 2ab ab||a3 b3 2ab ab|(ab)(ab)2 0
所以 ，即a2bab2比a3b3接近 ；
|a2bab2 2ab ab||a3 b3 2ab ab| 2ab ab
(3) 1sinx, x(2k,2k) ,kZ，
f(x) 1|sinx|,xk
1sinx, x(2k,2k)
f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T，函数f(x)的最小值为0，
 
函数f(x)在区间[k ,k)单调递增，在区间(k,k ]单调递减，kZ．
2 2
23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分8分.
已知椭圆 的方程为 x2 y2 ， 、 和 为 的三个顶
  1(ab0) A(0,b) B(0,b) Q(a,0) 
a2 b2
点.

1
 
（1）若点M 满足AM  (AQ AB)，求点M 的坐标；
2
第5页 | 共7页（2）设直线 交椭圆 于 、 两点，交直线 于点 .若
l : y k x p  C D l : y k x E
1 1 2 2
b2 ，证明： 为 的中点；
k k  E CD
1 2 a2
（3）设点 在椭圆 内且不在 轴上，如何构作过 中点 的直线 ，使得 与椭圆
P  x PQ F l l 
     
的两个交点 、 满足 ？令 ， ，点 的坐
P P PP PP  PQ PP PP  PQ a10 b5 P
1 2 1 2 1 2
  
标是（-8，-1），若椭圆

上的点P、P 满足
PP PP  PQ
，求点P、P 的坐标.
1 2 1 2 1 2
a b
解析：(1) M( , )；
2 2
yk x p
(2) 由方程组 1 ，消y得方程 ，
x2 y2 (a2k2 b2)x2 2a2k pxa2(p2 b2)0
  1 1 1
a2 b2
因为直线 交椭圆 于 、 两点，
l : y k x p  C D
1 1
所以>0，即 ，
a2k2 b2  p2 0
1
设C(x,y)、D(x,y)，CD中点坐标为(x,y)，
1 1 2 2 0 0
 x x a2k p
x  1 2  1
则 0 2 a2k2 b2 ，
1


b2p
y k x  p


0 1 0 a2k2 b2
1
由方程组yk x p，消y得方程(kk)xp，
 1 2 1
yk x
2
 p a2k p
x  1 x
又因为 b2 ，所以 k k a2k2 b2 0 ，
k   2 1 1
2 a2k
1  yk x
b2p
 y


2 a2k2 b2 0
1
故E为CD的中点；
(3) 因为点P在椭圆 内且不在x轴上，所以点F在椭圆 内，可以求得直线OF的斜率
   b2
k ，由PP PP PQΓ知F为PP 的中点，根据(2)可得直线Γl的斜率k  ，从而得直
2 1 2 1 2 1 a2k
2
线l的方程．
1 1 b2 1
F(1, )，直线OF的斜率k  ，直线l的斜率k   ，
2 2 2 1 a2k 2
2
第6页 | 共7页 1
y x1

 2
解方程组 ，消y：x22x480，解得P
1
(6,4)、P
2
(8,3)．
x2 y2

 1
100 25
第7页 | 共7页