2010年高考数学试卷（理）（上海）（解析卷）_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2010·高考数学真题

2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（理科）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接
填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
2-x
1.不等式 >0的解集是 （-4,2） 。
x+4
2-x
解析：考查分式不等式的解法 >0等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4<x<2
x+4
2.若复数z 1-2i（i为虚数单位），则z×z+z  6-2i 。
解析：考查复数基本运算z×z+z  (1-2i)(1+2i)+1-2i 6-2i
3. 动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+20的距离相等，则P的轨迹方程为
y2 8x。
解析：考查抛物线定义及标准方程
定义知P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y28x
p p
cos sin
3 6
4.行列式 的值是 0 。
p p
sin cos
3 6
p p
cos sin
3 6 π π π π p
解析：考查行列式运算法则 =cos cos -sin sin cos 0
p p 3 6 3 6 2
sin cos
3 6
5. 圆C:x2 + y2 -2x-4y+40的圆心到直线l:3x+4y+40的距离d  3 。
解析：考查点到直线距离公式
31+42+4
圆心（1,2）到直线3x+4y+40距离为 3
5
6. 随机变量x的概率分布率由下图给出：
则随机变量x的均值是 8.2
第1页 | 共7页解析：考查期望定义式Ex=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2
7.
2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，S 表示上海世博
会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的
执行框内应填入 S ¬S+a 。
8.对任意不等于1的正数a，函数f(x)=log (x+3)的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标
a
是 （0，-2）
解析：f(x)=log (x+3)的图像过定点（-2,0），所以其反函数的图像过定点（0，-2）
a
9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为
7
黑桃”，则概率P（AÈB）== （结果用最简分数表示）
26
1 13 7
解析：考查互斥事件概率公式 P（AÈB）= + 
52 52 26
æ 1 2 3 ××× n-2 n-1 n ö
ç ÷
2 3 4 ××× n-1 n 1
ç ÷
10．在n行n列矩阵ç 3 4 5 ××× n 1 2 ÷中，
ç ÷
××× ××× ××× ××× ××× ××× ×××
ç ÷
ç ÷
è n 1 2 ××× n-3 n-2 n-1ø
记位于第i行第 j列的数为a (i, j 1,2×××,n)。当n9时，a +a +a +×××+a  45
ij 11 22 33 99
。
解析：a +a +a +×××+a 1+3+5+7+9+2+4+6+8=45
11 22 33 99
11.
将直线l :nx+ y-n0、l :x+ny-n0（nÎN*，n³2）x轴
2 3
第2页 | 共7页、y轴围成的封闭图形的面积记为S ，则limS  1 。
n n
n®¥
n n
解析：B( , ) 所以BO⊥AC，
n+1 n+1
1 n n 1
S =  2 2  所以limS 
n 2 n+1 n+1 n®¥ n 2
12．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去 AOB,将剩余部分沿
V
8 2
OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为
3
解析：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2 2的正三棱锥，
2 6 1 1 3 2 6 8 2
高为 所以该四面体的体积为  16  
3 3 2 2 3 3
l2
13。如图所示，直线x=2与双曲线G: - y2 1的渐近线交于E ,E 两点，记
4 1 2
uuuur uv uuuur uuv uuur uuuv uuuv
OE e ,OE e ，任取双曲线G上的点P，若OPae ,+be (a、bÎR)，则a、b满足的
1 1 2 2 1 2
一个等式是 4ab=1
解析：E (2,1),E (2,-1)
1 2
uuur uur uuur
OPae +be =(2a+2b,a-b)，点P在双曲线上
1 2
(2a+2b)2
 -(a-b)2 1，化简得4ab1
4
14.以集合U=a，b，c，d的子集中选出2个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
（1）a、b都要选出；
（2）对选出的任意两个子集A和B，必有AÍB或BÍA，那么共有 36 种不同的选法。
解析：列举法 共有36种
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在
答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
p
15．“x2kp+ kÎZ ”是“tanx1”成立的 [答]（ A ）
4
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件.
p p
解析：tan(2kp+ )  tan 1，所以充分；
4 4
5p
但反之不成立，如tan 1，所以不必要
4
第3页 | 共7页ìx=1+2t
16.直线l的参数方程是í (tÎR)，则l的方向向量是d 可以是 【答】（C）
îy=2-t
(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2)
1
解析：直线l的一般方程是x+2y-50，k  - ，所以C正确
2
1 1
17.若x 是方程( )x  x3的解，则x 属于区间 【答】（C）
0 2 0
2 1 2 1 1 1
(A)( ,1) (B)( , ) (C)( , ) (D)(0, )
3 2 3 3 2 3
1 1 1 1
æ1ö3 æ1ö3 æ1ö2 æ1ö3 1 1
解析：结合图形

ç
è2
÷
ø
>ç
è3
÷
ø
,ç
è2
÷
ø
ç
è2
÷
ø
，∴x
0
属于区间(
3
,
2
)
1 1 1
18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 , , ，则此人能
13 11 5
【答】（D）
（A）不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形
（C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形
解析：设三边分别为a,b,c，利用面积相等可知
1 1 1
a  b  c,a:b:c 13:11:5
13 11 5
52 +112 -132
由余弦定理得cosA 0，所以角A为钝角
2511
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规
定区域内写出必要的步骤。
19.（本题满分12分）
p
已知0 x ，化简：
2
x p
lg(cosx×tanx+1-2sin2 )+lg[ 2cos(x- )]-lg(1+sin2x).
2 4
=0
20. (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。
已知数列a 的前 n项和为S ，且S n-5a -85，nÎN*
n n n n
（1）证明：a -1是等比数列；
n
（2）求数列S 的通项公式，并求出n为何值时，S 取得最小值，并说明理由。
n n
5
（2）S =n+75( )n-1-90 n=15取得最小值
n 6
第4页 | 共7页5
解析：(1) 当n1时，a -14；当n≥2时，a S -S -5a +5a +1，所以a -1 (a -1)，
1 n n n-1 n n-1 n 6 n-1
又a -1-15≠0，所以数列{a -1}是等比数列；
1 n
(2)
æ5ö n-1 æ5ö n-1 æ5ö n-1
由(1)知：a -1-15×ç ÷ ，得a 1-15×ç ÷ ，从而S 75×ç ÷ +n-90(nÎN*)
n è6ø n è6ø n è6ø
；
æ5ö n-1 2 2
解不等式S n <S n+1 ，得 ç è6 ÷ ø  5 ，n>log 5 25 +1»14.9，当n≥15时，数列{S n }单调递增；
6
同理可得，当n≤15时，数列{S }单调递减；故当n15时，S 取得最小值．
n n
21、（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，
骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径r取何值时，S 取得最大值？并求出该
最大值（结果精确到0.01平方米）;
（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，
当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线AB 与A B 所
1 3 3 5
在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）
解析：(1)
设圆柱形灯笼的母线长为l，则l1.2-2r(0<r<0.6)，S-3p(r-0.4)2+0.48p，
所以当r0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；
uuuur
(2) 当r0.3时，l0.6，建立空间直角坐标系，可得AB (-0.3,0.3,0.6)，
1 3
uuuuur
AB (-0.3,-0.3,0.6)，
3 5
uuuur uuuuur
uuuur uuuuur AB ×AB 2
设向量AB 与AB 的夹角为，则cos 1 3 3 5  ，
1 3 3 5 | u A uu B ur |×| u A uu B uur | 3
1 3 3 5
2
所以A B 、A B 所在异面直线所成角的大小为arccos ．
1 3 3 5
3
22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分1
0分。
若实数x、y、m满足 x-m＞ y-m ，则称x比 y远离m.
（1）若x2 -1比1远离0，求x的取值范围；
第5页 | 共7页（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3 +b3比a2b+ab2远离2ab ab ；
kπ π
（3）已知函数 f(x)的定义域D=｛x|x≠ + ，k∈Z，x∈R ｝.任取xÎD， f(x)等
2 4
于sinx和cosx中远离0的那个值.写出函数 f(x)的解析式，并指出它的基本性质（结论不
要求证明）.
解析：(1) xÎ(-¥,- 2) ( 2.+¥)；
U
(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有a3 +b3 >2ab ab，a2b+ab2 >2ab ab，
因为|a3 +b3 -2ab ab|-|a2b+ab2 -2ab ab|(a+b)(a-b)2 >0，
所以|a3 +b3 -2ab ab|>|a2b+ab2 -2ab ab|，即a3+b3比a2b+ab2远离2ab ab ；
ì p 3p
sinx, xÎ(kp+ ,kp+ )
ï
ï 4 4
(3) f(x)í ，
p p
ïcosx, xÎ(kp- ,kp+ )
ïî 4 4
p
性质：1f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2f(x)是周期函数，最小正周期T  ，
2
kp p kp kp kp p
3函数f(x)在区间( - , ]单调递增，在区间[ , + )单调递减，kÎZ，
2 4 2 2 2 4
2
4函数f(x)的值域为( ,1]．
2
23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9
分.
x2 y2
已知椭圆G的方程为 + 1(a>b>0)，点P的坐标为（-a，b）.
a2 b2
（1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-
® 1 ® ®
b)，B(a，0)满足PM= (PA+PB),求点M 的坐标；
2
（2）设直线l : y k x+ p交椭圆G于C、D两点，交直线l : y k x于点E.若
1 1 2 2
b2
k ×k - ，证明：E为CD的中点；
1 2 a2
（3）对于椭圆G上的点Q（a cosθ，b
® ® ®
sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆G上存在不同的两个交点P 、P 满足PP +PP =PQ,写出求
1 2 1 2
作点P 、P 的步骤，并求出使P 、P 存在的θ的取值范围.
1 2 1 2
a b
解析：(1) M( ,- )；
2 2
第6页 | 共7页ìyk x+ p
ï 1
(2) 由方程组íx2 y2 ，消y得方程(a2k2 +b2)x2 +2a2k px+a2(p2 -b2)0，
ï + 1 1 1
îa2 b2
因为直线l : y k x+ p交椭圆G于C、D两点，
1 1
所以>0，即a2k2 +b2 - p2 >0，
1
设C(x ,y )、D(x ,y )，CD中点坐标为(x ,y )，
1 1 2 2 0 0
ì x +x a2k p
ïx  1 2 - 1
ï 0 2 a2k2 +b2
则í 1 ，
ï
b2p
y k x + p
ï
î
0 1 0 a2k2 +b2
1
ìyk x+ p
由方程组í 1 ，消y得方程(k
2
-k
1
)xp，
îyk x
2
ì p a2k p
ïx - 1 x
b2 ï k -k a2k2 +b2 0
又因为k - ，所以í 2 1 1 ，
2 a2k
1 ï yk x
b2p
 y
ï
î
2 a2k2 +b2 0
1
故E为CD的中点；
a(1-cos) b(1+sin)
(3) 求作点P 、P 的步骤：1求出PQ的中点E(- , )，
1 2
2 2
b(1+sin)
2求出直线OE的斜率k - ，
2 a(1-cos)
uuur uuur uuur b2 b(1-cos)
3由PP +PP PQ知E为CD的中点，根据(2)可得CD的斜率k -  ，
1 2 1 a2k a(1+sin)
2
b(1+sin) b(1-cos) a(1-cos)
4从而得直线CD的方程：y-  (x+ )，
2 a(1+sin) 2
5将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P 、P 的坐标．
1 2
欲使P 、P 存在，必须点E在椭圆内，
1 2
(1-cos)2 (1+sin)2 1 p 2
所以 + 1，化简得sin-cos ，sin(- ) ，
4 4 2 4 4
p p 3p p p 2
又0< <p，即- -  ，所以- - arcsin ，
4 4 4 4 4 4
p 2
故 的取值范围是(0, +arcsin )．
4 4
第7页 | 共7页