2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（文科）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格
内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.已知集合A=1,3,m，B=3,4，A B=1,2,3,4则m= 2 。
U
解析：考查并集的概念，显然m=2
2-x
2.不等式 >0的解集是 x|-4 x 2 。
x+4
2-x
解析：考查分式不等式的解法 >0等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4<x<2
x+4
p p
cos sin
6 6
3.行列式 的值是 0.5 。
p p
sin cos
6 6
p p
cos sin
6 6 π π π π p 1
解析：考查行列式运算法则 =cos cos -sin sin =cos =
p p 6 6 6 6 3 2
sin cos
6 6
4.若复数z =1-2i（i为虚数单位），则z×z+z = 6-2i 。
解析：考查复数基本运算z×z+z = (1-2i)(1+2i)+1-2i =6-2i
5.将一个总数为A、B 、C三层，其个体数之比为5:3:2。若用分层抽样方法抽取容量为10
0的样本，则应从C中抽取 20 个个体。
2
解析：考查分层抽样应从C中抽取100 = 20
10
6.已知四棱椎P-ABCD的底面是边长为6
的正方形，侧棱PA^底面ABCD，且PA=8，则该四棱椎的体积是 96 。
1
解析：考查棱锥体积公式V = 368=96
3
7.圆C:x2 + y2 -2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d = 3 。
解析：考查点到直线距离公式
31+42+4
圆心（1,2）到直线3x+4y+4=0距离为 =3
5
第1页 | 共7页8.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则P的轨迹方程为 y2=8x
。
解析：考查抛物线定义及标准方程
定义知P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y2=8x
9.函数 f(x)=log (x+3)的反函数的图像与y轴的交点坐标是 (0,-2)
3
。
解析：考查反函数相关概念、性质
法一：函数 f(x)=log (x+3)的反函数为y =3x -3，另x=0，有y=-2
3
法二：函数 f(x)=log (x+3)图像与x轴交点为（-
3
2,0），利用对称性可知，函数 f(x)=log (x+3)的反函数的图像与y
3
轴的交点为（0，-2）
10.
从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率
3
为 （结果用最简分数表示）。
51
解析：考查等可能事件概率
C2 3
“抽出的2张均为红桃”的概率为 13 =
C2 51
52
11.
2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，S表示上海世博
会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白
的执行框内应填入 S←S+a 。
解析：考查算法
æ 1 2 3 ××× n-2 n-1 n ö
ç ÷
2 3 4 ××× n-1 n 1
ç ÷
12.在n行m列矩阵ç 3 4 5 ××× n 1 2 ÷中，
ç ÷
××× ××× ××× ××× ××× ××× ×××
ç ÷
ç ÷
è n 1 2 ××× n-3 n-2 n-1ø
记位于第i行第 j列的数为a (i, j =1,2×××,n)。当n=9时，a +a +a +×××+a = 45
ij 11 22 33 99
。
解析：a +a +a +×××+a =1+3+5+7+9+2+4+6+8=45
11 22 33 99
13.在平面直角坐标系中，双曲线G的中心在原点，它的一个焦点坐标为( 5,0)，
r r
e =(2,1)、e =(2,-1)分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线G上的点P，若
1 2
第2页 | 共7页uuur uur uuur
OP=ae +be （a、bÎR），则a、b满足的一个等式是 4ab=1 。
1 2
r r
解析：因为e =(2,1)、e =(2,-1)是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为
1 2
1
y = x，又c = 5,a = 2,b =1
2
x2 uuur uur uuur
双曲线方程为 - y2 =1，OP=ae +be =(2a+2b,a-b)，
4 1 2
(2a+2b)2
-(a-b)2 =1，化简得4ab=1
4
14.将直线l :x+ y-1=0、l :nx+ y-n=0、l :x+ny-n=0（nÎN*，n³2）围
1 2 3
1
成的三角形面积记为S ，则limS = 。
n n®¥ n 2
n n
解析：B( , ) 所以BO⊥AC，
n+1 n+1
1 n 2 n-1
S = 2( 2 - ) =
n 2 n+1 2 2(n+1)
1
所以limS =
n®¥ n 2
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须
在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
ì2x+ y£3,
ï
ïx+2y£3,
15.满足线性约束条件í 的目标函数z = x+ y的最大值是 [答]（ ）
x³0,
ï
ï îy³0
3
（A）1. （B） . （C）2. （D）3.
2
解析：当直线z = x+ y过点B(1,1)时，z最大值为2
p
16.“x=2kp+ kÎZ ”是“tanx=1”成立的 [答]（ ）
4
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件.
p p 5p
解析：tan(2kp+ ) = tan =1，所以充分；但反之不成立，如tan =1
4 4 4
17.若x 是方程式 lgx+x=2的解，则x 属于区间 [答]（ ）
0 0
（A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2）
第3页 | 共7页7 7 1
解析：构造函数f(x) =lgx+ x-2,由f(1.75) = f( ) =lg - 0
4 4 4
f(2) =lg2>0知x 属于区间（1.75，2）
0
18.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC =5:11:13，则△ABC
（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.
（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
解析：由sinA:sinB:sinC =5:11:13及正弦定理得a:b:c=5:11:13
52 +112 -132
由余弦定理得cosc = 0，所以角C为钝角
2511
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的
规定区域内写出必要的步骤。
19.（本题满分12分）
p
已知0 x ，化简：
2
x p
lg(cosx×tanx+1-2sin2 )+lg[ 2cos(x- )]-lg(1+sin2x).
2 2
解析：原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)-lg(sinx+cosx)2=0．
20.（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形
骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧
面和下底面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径r取何值时，S 取得最大值？并求出该
最大值（结果精确到0.01平方米）;
(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作
出
用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.
解析：(1)
设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0<r<0.6)，S=-3p(r
-0.4)2+0.48p，
所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；
(2) 当r=0.3时，l=0.6，作三视图略．
21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。
已知数列a 的前n项和为S ，且S =n-5a -85，nÎN*
n n n n
(1)证明：a -1是等比数列；
n
(2)求数列S 的通项公式，并求出使得S >S 成立的最小正整数n.
n n+1 n
第4页 | 共7页5
解析：(1) 当n=1时，a =-14；当n≥2时，a =S -S =-5a +5a +1，所以a -1= (a -1)，
1 n n n-1 n n-1 n 6 n-1
又a -1=-15≠0，所以数列{a -1}是等比数列；
1 n
(2)
æ5ö n-1 æ5ö n-1 æ5ö n-1
由(1)知：a -1=-15×ç ÷ ，得a =1-15×ç ÷ ，从而S =75×ç ÷ +n-90(nÎN*
n è6ø n è6ø n è6ø
)；
æ5ö n-1 2 2
由S n+1 >S n ，得 ç è6 ÷ ø 5 ，n>log 5 25 +1»14.9，最小正整数n=15．
6
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满
分8分。
若实数x、y、m满足 x-m y-m ，则称x比y接近m.
（1）若x2 -1比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab ab ；
（3）已知函数 f(x)的定义域D x x¹kp,kÎZ,xÎR .任取xÎD， f(x)等于
1+sinx和1-sinx中接近0的那个值.写出函数 f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小
正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.
解析：(1) xÎ(-2,2)；
(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有a2b+ab2 >2ab ab，a3 +b3 >2ab ab，
因为|a2b+ab2 -2ab ab|-|a3 +b3 -2ab ab|=-(a+b)(a-b)2 0，
所以|a2b+ab2 -2ab ab||a3 +b3 -2ab ab|，即a2b+ab2比a3+b3接近2ab ab ；
ì1+sinx, xÎ(2kp-p,2kp)
(3) f(x)=í =1-|sinx|,x¹kp,kÎZ，
î1-sinx, xÎ(2kp,2kp+p)
f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T=p，函数f(x)的最小值为0，
p p
函数f(x)在区间[kp- ,kp)单调递增，在区间(kp,kp+ ]单调递减，kÎZ．
2 2
23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分
8分.
x2 y2
已知椭圆G的方程为 + =1(a>b>0)，A(0,b)、B(0,-b)和Q(a,0)为G的三个顶
a2 b2
第5页 | 共7页点.
uuuur 1 uuur uuur
（1）若点M 满足AM = (AQ+ AB)，求点M 的坐标；
2
（2）设直线l : y =k x+ p交椭圆G于C、D两点，交直线l : y =k x于点E.若
1 1 2 2
b2
k ×k =- ，证明：E为CD的中点；
1 2 a2
（3）设点P在椭圆G内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F 的直线l，使得l与椭圆G
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
的两个交点P、P 满足PP +PP = PQ PP +PP = PQ？令a=10，b=5，点P的坐
1 2 1 2 1 2
uuur uuur uuur
标是（-8，-1），若椭圆G上的点P、P 满足PP +PP = PQ，求点P、P 的坐标.
1 2 1 2 1 2
a b
解析：(1) M( ,- )；
2 2
ìy=k x+ p
ï 1
(2) 由方程组íx2 y2 ，消y得方程(a2k2 +b2)x2 +2a2k px+a2(p2 -b2)=0，
ï + =1 1 1
îa2 b2
因为直线l : y =k x+ p交椭圆G于C、D两点，
1 1
所以>0，即a2k2 +b2 - p2 >0，
1
设C(x ,y )、D(x ,y )，CD中点坐标为(x ,y )，
1 1 2 2 0 0
ì x +x a2k p
ïx = 1 2 =- 1
ï 0 2 a2k2 +b2
则í 1 ，
ï
b2p
y =k x + p=
ï
î
0 1 0 a2k2 +b2
1
ìy=k x+ p
由方程组í 1 ，消y得方程(k
2
-k
1
)x=p，
îy=k x
2
ì p a2k p
ïx= =- 1 =x
b2 ï k -k a2k2 +b2 0
又因为k =- ，所以í 2 1 1 ，
2 a2k
1 ï y=k x=
b2p
= y
ï
î
2 a2k2 +b2 0
1
故E为CD的中点；
(3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k ，由
2
uuur uuur uuur b2
PP +PP =PQ知F为P P 的中点，根据(2)可得直线l的斜率k =- ，从而得直线l的方
1 2 1 2 1 a2k
2
程．
第6页 | 共7页1 1 b2 1
F(1,- )，直线OF的斜率k =- ，直线l的斜率k =- = ，
2 2 2 1 a2k 2
2
ì 1
y= x-1
ï
ï 2
解方程组í
x2 y2
，消y：x2-2x-48=0，解得P
1
(-6,-4)、P
2
(8,3)．
ï
+ =1
ïî100 25
第7页 | 共7页
