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2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东A卷）
数学（理科）
一、
选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
x x
x x
1.若集合A={ -2＜ ＜1}，B={ 0＜ ＜2}则集合A ∩ B=
x x
x x
A. { -1＜ ＜1} B. { -2＜ ＜1}
x x
x x
C. { -2＜ ＜2} D. { 0＜ ＜1}
2.若复数z =1+i，z =3-i，则z·z =
1 2 1 2
A．4 B. 2+ i C. 2+2 i D.3
3．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则
A．f（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
A．f（x）与g（x）均为奇函数 B. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
{a } a ×a =2a
4. 4.已知 n 为等比数列，S 是它的前n项和。若 2 3 1，
n
5
a a S
4
且 4与2 7的等差中项为 ，则 5=
A．35 B.33 C.31 D.29
1
m<
4 x2 +x+m=0
5. “ ”是“一元二次方程 ”有实数解“的
A．充分非必要条件 B.充分必要条件
C．必要非充分条件 D.非充分必要条件
3
6.如图1，△
ABC为三角形，AA¢ //BB¢
//
CC¢
,
CC¢
⊥平面ABC 且3
AA¢
=
2 BB¢
=
CC¢
A¢B¢C¢
=AB,则多面体△ABC - 的正视图（也称主视图）是
A B C D
w_w w.k*s_5 u.c o_m
第1页 | 共11页7已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且p(2 ≤X ≤4)=0.6826，则p（X>4）=
A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D0.1585
8.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯
闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯商量的颜色各不相同
。记这这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮
，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5妙。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是
A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
（一）必做题（9-13题）
w_w w.k*s_5 u.c o_m
f(x) x
9. 函数 =lg( -2)的定义域是 .
r r r r r r
a b c (c-a)×(2b) x
10.若向量 =（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件 =-2,则 = .
3
11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b= , A+C=2B,则sinC= .
2
12.已知圆心在x轴上，半径为 的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是
w_w w.k*s_5 u.c o_m
13.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了
抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为x …x (单位：吨)，根据图2所示的程序框图，若n
1 n
=2,且x x 分别为1,2，则输出地结果s为 .
1， 2
w_w w.k*s_5 u.c o_m
14、（几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交
2a
于AB的中点P，PD= 3 ，∠OAP=30°，则CP＝______.
w_w w.k*s_5 u.c o_m
第2页 | 共11页15、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=
2sinq 与 pcosq=-1 的交点的极坐标为______。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算
步骤。
16、（本小题满分14分）
p
x=
已知函数 f(x)= Asin(3x+j)(A>0,xÎ(-¥,+¥),01）的两条直线l 和l 与轨迹E都只有一个交点，且 1 2 求h的值。
1 2 ,
21．（本小题满分14分）
x ,y x ,y
设A( 1 1),B( 2 2)是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,
B)为
w_w w.k*s_5 u.c o_m
x -x y -y
P(A,B)= 2 1 + 2 1 .
xOy x ,y x ,y
对于平面 上给定的不同的两点A( 1 1),B( 2 2)
xOy (A,C) (C,B) (A,B)
(1) 若点C（x, y）是平面 上的点，试证明P +P ³ P ;
xOy
(2) 在平面 上是否存在点C(x, y),同时满足
(A,C) (C,B) (A,B) (A,C) (C,B)
1. ①P +P = P ②P = P
若存在，请求所给出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明。
第5页 | 共11页2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
1．D．【解析】AI B={x|-2< x<1}I {x|0< x<2}={x|0< x<1}．
2．A．【解析】z ×z =(1+i)×(3-i)=1´3+1´1+(3-1)i =4+2i
1 2
3．B．【解析】 f(-x)=3-x +3x = f(x),g(-x)=3-x -3x =-g(x)．
4．C．【解析】设{a }的公比为q，则由等比数列的性质知，a ×a =a ×a =2a ，即
n 2 3 1 4 1
a =2。
4
5 5 1 5 1
由a 与2a 的等差中项为 知，a +2a =2´ ，\a = (2´ -a ) = ．
4 7 4 4 7 4 7 2 4 4 4
1
16(1- )
a 1 1 1 25
∴q3 = 7 = ，即q= ．a =aq3 =a ´ =2，\a =16，S = =31.
a 8 2 4 1 1 8 1 5 1
4 1-
2
1 1-4m 1
5．A．【解析】由x2 +x+m=0知，(x+ )2 = ³0 Û m£ ．
2 4 4
1 1 1
（或由D³0得1-4m³0，\m£ 。）m< Þm£ ， 反之不成立，故选A。
4 4 4
6．D．
1 1
7．B．【解析】P(X >4)= [1-P(2< X <4)]= (1-0.6826)=0.1587.
2 2
8．C．【解析】共有5！=120个不同的闪烁，每个闪烁时间为5秒，共5×120=600秒；每两个闪
烁之间的间隔为5秒，共5×（120—1）=595秒。那么需要的时间至少是600＋595=1195秒。
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
9． (2,+¥)．【解析】由x-2>0，得x>2，所以函数的定义域为(2,+¥)．
v v v v v
10．2．【解析】c-a=(0,0,1-x)，(c-a)×(2b)=2(0,0,1-x)×(1,2,1)=2(1-x)=-2，解
得x=2．
11．1．【解析】由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B
第6页 | 共11页1 3
=60°．由正弦定理知， = ，
sinA sin60o
1
即sin A= ．由a1，\h= 3.。
[来
解法2：由题意知直线l 和l 都是椭圆E的切线，由对称性知，两直线的倾斜角分别为45°
1 2
第10页 | 共11页x2 x2
和135°，设其方程为y =±x+h，代入椭圆E的方程 + y2 =1得 +(±x+h)2 =1，即
2 2
3x2 ±4hx+2h2 -2=0
由D=0得16h2 -4´3´(2h2 -2)=0，即h2 =3，Qh>1，\h= 3.
21．（1）证明：由绝对值不等式知，
r(A,C)+r(C,B)=|x-x |+|x -x|+| y- y |+| y - y
1 2 1 2
³|(x-x )+(x -x)|+|(y- y )+(y - y)|
1 2 1 2
=|x -x |+| y - y |
2 1 2 1
=r(A,B)
当且仅当(x-x )×(x -x)³0且(y- y )×(y - y)³0时等号成立。
1 2 1 2
（2）解：由r(A,C)+r(C,B)=r(A,B)得
(x-x )×(x -x)³0且(y- y )×(y - y)³0 （Ⅰ）
1 2 1 2
由r(A,C)=r(C,B)得 |x-x |+| y- y |=|x -x|+| y - y| （Ⅱ）
1 1 2 2
因为A(x ,y )，B(x ,y )是不同的两点，则：
1 1 2 2
1° 若x = x 且y ¹ y ，不妨设y < y ，
1 2 1 2 1 2
y + y
由（Ⅰ）得 x= x = x 且y £ y£ y ，由（Ⅱ）得 y = 1 2 ，
1 2 1 2 2
x +x y + y
此时，点C是线段AB的中点，即只有点C( 1 2 , 1 2)满足条件；
2 2
x +x y + y
2° 若x ¹ x 且y = y ，同理可得：只有AB的中点C( 1 2 , 1 2)满足条件；
1 2 1 2 2 2
3° 若x ¹ x 且y ¹ y ，不妨设x < x 且y < y ，
1 2 1 2 1 2 1 2
由（Ⅰ）得x £ x£ x 且y £ y£ y ，
1 2 1 2
x +x y + y
由（Ⅱ）得x+ y = 1 2 + 1 2 ，
2 2
x +x y + y
此时，所有符合条件的点C的轨迹是一条线段，即：过AB的中点( 1 2 , 1 2)，斜
2 2
x +x y + y
率为-1的直线x+ y = 1 2 + 1 2 夹在矩形AABB 之间的部分，其中A(x ,y )，
2 2 1 1 1 1
A(x ,y )，B(x ,y )，B (x ,y )。
1 2 1 2 2 1 1 2
第11页 | 共11页
